João Oliveira & André Marta. Estabilidade de Voo Lista de Problemas

(1)

Jo˜

ao Oliveira & Andr´e Marta

Estabilidade de Voo

Lista de Problemas

(2)

A

Equil´ıbrio e Estabilidade Est´

atica Longitudinais

1. Considere um modelo de uma asa montado num t´unel de vento, em condi¸c˜oes SSL (ρ = 1.225 kg/m3_{) e com uma velocidade de escoamento de 50 m/s. A asa tem uma}

´

area de 1.2 m2 e uma corda média de 0.4 m. O centro de massa da asa está localizado a 25% da corda, atrás do bordo de ataque. Utilizando uma balan¸ca de medi¸cão de for¸cas e momentos (relativamente ao CG) obtiveram-se os seguintes resultados:

α1 = 1◦: L1 = 344.5 N M1 = 0.551 Nm.

α2 = 2.5◦: L2 = 551.3 N M2 = 2.205 Nm.

(Nota: Os ângulos de ataque foram medidos relativamente a uma linha de referência escolhida de forma arbitrária.)

a) Determine a posi¸cão do centro aerodinâmico da asa, o coeficiente do momento de picada em rela¸cão ao centro aerodinâmico da asa e o coeficiente aw.

b) Determine a direçcão da linha de sustenta¸cão nula da asa em rela¸cão à linha de referência mencionada na nota acima.

2. Considere umaaeronave constitu´ıda por uma asa + fuselagem com as seguintes

caracter´ısticas:

* ´Area da asa: Sw = 13.5m2;

* Corda m´edia: ¯c = 1m; Peso: W = 11 120N;

* Distˆancia entre o bordo de ataque da asa e o centro aerodinˆamico do conjunto asa + fuselagem (em cordas): hnwb = 0.18;

* Distˆancia entre o bordo de ataque da asa e o centro de massa (em cordas): h = 0.27 * Coeficiente de momento de picada relativo ao centro aerodinˆamico do conjunto asa

+ fuselagem: Cm_acwb = −0.016

* Declive da curva do CL com α: awb= 0.07/◦

a) Calcule o coeficiente de sustenta¸cão necessário para equilibrar o peso da aeronave, e o respectivo ângulo de ataque, sabendo que a sua velocidade é V = 60m/s em condi¸cões de voo SSL.

b) Nas circunstâncias da al´ınea anterior a aeronave está em equil´ıbrio? Caso não esteja, diga qual a velocidade e o ângulo de ataque necessários para o equil´ıbrio.

c) O ponto de equil´ıbrio calculado na al´ınea anterior ´e est´avel? Justifique.

3. Pretende-se projectar um avi˜ao com as seguintes caracter´ısticas: ¯

VH = 0.48; St/S = 0.14; a = 4.5 rad−1; at= 2.8 rad−1; ae = 1.2 rad−1;

0 = 0; ∂/∂α = 0.47; h = 0.27; hnwb = 0.18; Cmacwb = −0.016.

Determine o ângulo de incidência it do estabilizador que é necessário para que o

avi˜ao esteja em equil´ıbrio (trim) com CL= 0.3 e deflex˜ao nula do leme de profundidade.

(Admita δt= 0 e despreze eventuais efeitos da propuls˜ao).

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4. Um pequeno avião comercial apresenta as seguintes caracter´ısticas longitudinais: xcg/¯c = 0.3; Cmcg = Cm0 + dCmcg dCL CL+ Cmδeδe; Cm0 = 0.05; dCmcg dCL = −0.1; Cmδe = −0.01/ ◦ . (O centro de gravidade é dado em rela¸cão ao bordo de ataque da asa.)

Assuma que Cm0 e Cmδe n˜ao se alteram com o deslocamento do centro de gravidade e

que os valores máximos de deflexão do leme de profundidade são ±20◦. O avião é carregado de tal forma que o seu centro de gravidade se desloca para a posi¸cão xcg/¯c = 0.10.

Determine se o avi˜ao pode ser equilibrado durante a aterragem, em que CL = 1.

[Pergunta 1, 1o _{Teste de 2005]}

5. O aeromodelo acrob´atico radio-comandado, ilustrado na figura abaixo, apresenta as seguintes caracter´ısticas:

m = 7 kg, h = 0.35, S = 78 dm2, St= 12 dm2,

b = 2070 mm, bt= 750 mm,

ε = 0.4αwb, ¯lt= 1170 mm.

Perfil NACA 64A-010 α Cl Cm c/4

0o ₀ ₀

2o 0.3037 -0.0152 O perfil simétrico NACA 64A-010, utilizado em todas as superficies sustentadoras, exibe os valores de coeficiente (2D) de sustenta¸cão e momento de picada em rela¸cão ao quarto de corda conforme tabelado acima.

a) Considerando apenas a contribui¸c˜ao da asa e do estabilizador horizontal, calcule o declive CLα ≡ a do aeromodelo, utilizando a equa¸c˜ao de Helmbold para estimar o declive

de uma asa finita.

a3D = a2D p1 + (a2D πA) 2 ₊a2D πA

b) Calcule a posi¸c˜ao do centro aerodinˆamico hac do perfil.

c) Determine a posi¸cão limite do centro de massa para garantir estabilidade do aero-modelo. (Nota: assuma que a posi¸cão do centro aerodinâmico da asa é a mesma da do perfil hnw = hac).

d) Determine a incidência o estabilizador horizontal para que o aeromodelo voe equili-brado com velocidade V = 20 m/s sem necessidade de deflexão do leme de profundidade, em condi¸cões SSL (ρ = 1.225 kg/m3).

(4)

6. Um avi˜ao com uma configura¸c˜ao convencional tem as seguintes caracter´ısticas: Asa: ¯c = 1.49m S = 16.17m2 _h

nwb = 0.2 Cm_acwb= −0.04 awb= 3.98/rad

Estabilizador: ¯ct = 1.05m St= 3.78m2 it= 2.7o ¯lt = 4m at= 2.95/rad

0 = 0 α = 0.374

O peso total do avião é W = 11787 N. A deflexão do leme de profundidade deve permanecer entre os limites −20◦ < δe < 20◦. Determine a área m´ınima do leme de

profundidade necessária para equilibrar o avião a uma velocidade de V = 95 km/h em condi¸cões SSL (ρ = 1.225 kg/m3_{) para uma margem est´}_{atica K}

n = 0.15.

Nota: Suponha que o leme de profundidade ocupa toda a envergadura do estabilizador e considere que ∂CLt

∂δe ≡ ae = atτ . O parâmetro τ é dado em fun¸cão da razão ¯ce/¯ct pelo

gr´afico: 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ce ct 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Τ [Pergunta 2, 1o _{Exame 2013/2014]}

7. Em ensaios em túnel aerodinâmico verificou-se que o momento de picada de uma asa relativamente a um ponto P situado a metade da corda da asa é dado por (Cmw)P =

−0.043 + 0.27CLw. Admita que quando esta asa ´e montada numa aeronave, os coeficientes

aerodinâmicos ou de estabilidade do conjunto asa+fuselagem são iguais aos da asa isolada. a) Qual a posi¸cão do centro aerodinâmico da asa?

b) O estabilizador horizontal da aeronave tem ´area St = 3.3 m2e est´a colocado de modo

que a distância entre os centros aerodinâmicos da asa e do estabilizador é exactamente 5 m. Determine o maior valor de h para que a aeronave possa voar estavelmente.

c) Admita que δe pode variar entre ±20o. Se a margem est´atica for de 15%, determine

o menor valor da velocidade para que o avi˜ao possa voar em equil´ıbrio e o respectivo valor do ˆangulo de ataque da asa+fuselagem. Comente o resultado.

Outros dados da aeronave:

Sw = 16.5 m2, ¯c = 1.5m, 0 = 0o, α = 0.3, W = 11500 N

awb= 0.07/o, at= 0.065/o, ae = 0.02/o, it= 2◦.

Nota: considere condi¸c˜oes de voo SSL (ρ = 1.225 kg m-3_).

(5)

8. Considere um avião com uma configura¸cão canard. A asa tem uma área S = 13.5 m2, uma corda média ¯c = 1.35 m, awb = 0.075/o e Cm_acwb = −0.05. O canard tem

uma área Sc= 3.2 m2 e ac= 0.07/o, sabendo-se que tem um perfil simétrico. A distância

entre os centros aerodinâmicos da asa e do canard é de 9 m. O efeito do upwash traduz-se no ângulo de upwash ε = 0.3αwb.

a) Deduza uma express˜ao para a derivada Cmα e determine a distˆancia do centro

aerodinˆamico do estabilizador (canard) ao ponto neutro.

b) Tendo o avi˜ao um peso de 11000 N e uma margem est´atica de 7%, determine o ˆ

angulo de incidência do canard e o correspondente ângulo de ataque αwb necessários para

equilibrar o avião se este voar a 2400m de altitude (ρ = 1.0588 kg/m3) com velocidade V = 75 m/s. (Nota: se não resolveu a al´ınea anterior, admita que o ponto neutro se encontra a 7 m do centro aerodinâmico do canard.)

[Pergunta 1, 2o Exame 2014/2015]

9. Um avi˜ao tem as seguintes caracter´ısticas: ¯ c = 1.1m hnwb = 0.24 Cmacwb= −0.06 awb= 0.1/ ◦ _a t = 0.08/◦ ¯ VH = 0.6 St/S = 0.2 b1 = −0.002/◦ b2 = −0.003/◦ it = 2◦ ae= 0.02/◦ 0 = 0 α = 0.4 W = 28289 N S = 16m2.

A deflex˜ao total do leme de profundidade n˜ao deve ultrapassar os limites δe = ±30◦.

a) Determine o limite da posi¸c˜ao centro de massa para que exista estabilidade longi-tudinal com controlo fixo.

b) Qual é a posi¸cão mais à frente (isto é, mais perto do nariz do avião) que o centro de massa pode ter para que se possa garantir o equil´ıbrio à velocidade Vmin = 50 m/s?

c) Determine a posi¸c˜ao do ponto neutro de manche livre. [Pergunta 1, 1o _{Teste 2009]}

10. Considere um avião com massa de 1250 kg, área da asa S = 15m2 e com o centro de massa a 25% da corda, e que se encontra em voo horizontal a baixa altitude com uma velocidade de 100 m/s. Usando os dados e a figura abaixo, determine o ponto neutro e a margem estática para manche livre. Comente os resultados.

Dados do avi˜ao:

St/Sw = 0.35; V¯H = 0.4; εα = 0.4; aw = 0.09/◦; b1 = −0.003/◦; b2 = −0.005/◦; at = 0.08/◦; b0 = 0.0; ae = 0.05/◦. [Pergunta 2, 1o _{Teste de 2006]}

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11. O aeromodelo acrob´atico radio-comandado, ilustrado na figura abaixo, apresenta as seguintes caracter´ısticas: m = 7 kg, it= 2o, h = 0.33, hnwb = 0.3 S = 78 dm2_, _{b = 2070 mm,} St = 12 dm2, bt = 750 mm, Se = 4 dm2, ¯ce = 6 cm, ε = 0.4αwb, ¯lt= 1170 mm, aw = 5.2 /rad, at= 4.8 /rad, ´

E utilizado o perfil simétrico NACA 64A-010 em todas as superficies sustentadoras, e o aeromodelo não possui quaisquer compensadores. Foram realizados ensaios aerodinâmicos do estabilizador horizontal isolado, tendo-se obtido os resultados apresentados nos gráficos abaixo:

a) Calcule o ˆangulo de ataque e a deflex˜ao do leme de profundidade para que o ae-romodelo voe nivelado a uma altitude de 500 m (ρ = 1.1673 kg/m3) com velocidade V = 25 m/s.

b) Estime os paramˆetros b0, b1 e b2 para a lineariza¸c˜ao do coeficiente de momento de

charneira do leme de profundidade.

c) Estime a for¸ca F do actuador do leme de profundidade, conforme ilustrado na figura acima, para a situa¸c˜ao de voo da alinea a), sabendo que o tirante tem um bra¸co de ze = 3 cm de comprimento.

[Pergunta 2, 1o _{Teste (2}a _{Epoca) 2016/2017]}_´

12. Uma aeronave em voo horizontal em condi¸c˜oes SSL (ρ = 1.225kg m-3_{), com}

mar-gem est´atica Kn= 0.15 e carga alar W/S = 1800 N/m2 tem as seguintes caracter´ısticas:

awb = 0.08/◦ at= 0.06/◦ Cm_acwb = −0.04 V¯H = 0.55 ae = 0.025/◦

= 0.36αwb Se= 4m2 ce= 0.5m it= 3◦ G = 1.6 rad/m

St/S = 0.25 b0 = 0 b1 = −0.002/◦ b2 = −0.005/◦ b3 = −0.006/◦

a) Determine a velocidade para for¸ca nula no manche com δt= 0.

b) Determine a deflex˜ao do compensador para equilibrar o avi˜ao com for¸ca nula para V = 120m/s.

c) Calcule o gradiente da for¸ca de controlo dP/dV para os casos das al´ıneas anteriores. Compare a manobrabilidade da aeronave nos dois casos, justificando a resposta.

(7)

13. Um avião está a voar a uma altitude constante de 900 m (ρ = 1.1226 kg m-3) com velocidade V = 100 m/s. Com deflexão nula do compensador, a for¸ca de controlo necessária para equilibrar o avião é P = 40.8N. Para voar em equil´ıbrio com for¸ca nula, ´

e necess´ario δt= 2.7o.

a) Sabendo que G = 1.45rad m-1, Se = 6.7 m2, ce = 0.7 m, determine o valor da

derivada ∂Che ∂δt

.

b) Se o avião alterar a velocidade de equil´ıbrio para V = 170 m/s, a for¸ca de controlo no manche para δt= 0 é P = −28N. Determine a valor de δt necessário para o avião voar

em equil´ıbrio com manche livre `a velocidade V = 170 m/s. [Pergunta 2, 1o Teste de 2011]

(8)

B

Equil´ıbrio e Estabilidade Est´

atica Laterais

1. Considere o bombardeiro russo supersónico Tupolev Tu-22M, conforme ilustrado na figura abaixo. Esta aeronave, com uma configura¸cão de asa baixa, possui uma asa de flecha variável, que pode ser ajustada consoante as condi¸cões de voo. Gama de varia¸cão da flecha da asa: 20o ¡ Λ ¡ 65o; gama de varia¸cão da envergadura: 23 m ¡ b ¡ 34 m.

Outros dados da aeronave:

m = 124000 kg S = 180 m2 _{Γ = 0}◦ _c

root= 10 m ctip = 2.7 m SF = 22 m2

zF = 2 m aF = 0.1/◦

Admita que a aeronave se encontra em voo rectil´ıneo nivelado a uma altitude de 13200m (ρ = 0.2584kg/m3_{, a = 295 m/s) a voar a Mach=1.6. Nestas condi¸c˜}_{oes de voo:}

a) Estime o valor da derivada Clβ para ambas as posi¸c˜oes limite da geometria vari´avel

da asa.

b) Comente o efeito em termos de estabilidade lateral se o piloto passar da posi¸cão de flecha minima para flecha máxima, mantendo todos os outros parâmetros operacionais inalterados.

c) Indique, qualitativamente, qual o efeito que a varia¸c˜ao da geometria da asa tem na derivada Cnβ (considere apenas a contribui¸c˜ao da cauda para esta derivada).

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C

Estados Estacion´

arios e Manobras

1. Um avião está a fazer uma aterragem com vento cruzado em condi¸cões SSL. O vento sopra directamente da direita com uma velocidade de 4,47 m/s. A velocidade do avião durante a aterragem é de 40,24 m/s. O peso do avião é 10675 N. O piloto derrapa (slip) e prancha (bank ) o avião para o manter alinhado com a pista de aterragem. Calcule os ângulos de deflexão do leme de direçcão (rudder ) e dos ailerons necessários para se efectuar a aterragem.

Clβ = −0.1067/rad Clδa = −0.0530/rad Clδr = 0.0070/rad S = 14.68 m

2

Cnβ = 0.0921/rad Cnδa = 0/rad Cnδr= −0.0630 /rad ρ = 1.225 kg/m

3

CYβ = −0.2904/rad CYδa = 0/rad CYδr = 0.1400/rad

2. O Cessna 182 ´e uma aeronave com uma asa de ´area S = 16 m2 _{e corda m´}_edia

¯

c = 1.48 m. Tem peso máximo à aterragem de W = 11800 N, para a qual o centro de massa recomendado deve situar-se a h = 0.264. A velocidade de aterragem é de V = 33 m/s em codi¸cões SSL (ρ = 1.225 kg/m3). Nessa fase de voo, a aeronave apresenta as seguintes derivadas aerodinâmicas laterais-direcionais adimensionais:

Cyβ = −0.303 Cyp = −0.213 Cyr = 0.201 Cyδa = 0 Cyδr = 0.187

Clβ = −0.0969 Clp = −0.494 Clr = 0.2039 Clδa = −0.229 Clδr = 0.0147

Cnβ = 0.0701 Cnp = −0.0960 Cnr = −0.1151 Cnδa = 0.0786 Cnδr = −0.0604

Assuma como válida a aproxima¸cão de ângulos α e β pequenos.

a) Sabendo que os aileron têm uma deflexão máxima de ±16o e o leme de dire¸cão uma deflexão máxima de ±20o, calcule o valor máximo admiss´ıvel de vento lateral durante a aterragem.

b) Calcule o ˆangulo de pranchamento na situa¸c˜ao limite da alinea anterior. [Pergunta 4, 1o _{Teste 2016/2017]}

3. Quando o bimotor da figura se encontra em voo rectil´ıneo nivelado a uma altitude de 3000 m (ρ = 0, 9048 kg/m3) e com uma velocidade de 120 m/s, os dois motores geram uma for¸ca de propulsão de 21120 N. Supondo que o motor esquerdo tem uma avaria e pára, e que o motor da direita passa a desenvolver a mesma for¸ca de propulsão de 21120 N, determine as deflexões do aileron e do leme de direçcão necessárias para manter o avião num voo rectil´ıneo, bem como o ângulo constante de pranchamento. Despreze a resistência adicional do motor e considere que o ângulo de derrapagem é nulo.

[Pergunta 2, 1o Exame de 2005]

Caracter´ısticas da aeronave W = 178000N; S = 87.8m2_{; ¯}_{c = 3.08m; b = 29.3m; y}

p = 4.72m; Cm0 = 0.012.

CLα = 5.24 Cmα = −0.780 CYβ = −0.362 Clβ = −0.125 Cnβ = 0.101

CL_δe = 0.465 Cm_δe = −2.12 CY_δa = 0.000 Cl_δa = 0.200 Cn_δa = 0.000

CLq = 7.83 Cmq = −35.6 CYδr = 0.233 Clδr = 0.0240 Cnδr = −0.107

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4. O bimotor comercial a jacto representado na figura abaixo encontra-se em voo rectil´ıneo com velocidade u0 = 76 m/s em condi¸c˜oes SSL (ρ = 1.225 kg m-3) quando um

dos motores pára. O motor em funcionamento passa a desenvolver uma for¸ca de propulsão de T = 62 kN. A deflexão do leme de direçcão pode variar entre −15o _{< δ}

r < 15o. Usando

os dados e o gráfico abaixo, determine a área do leme de direçcão Sr necessária para

controlar o avi˜ao e mantˆe-lo no rumo (sem derrapagem). Dados da aeronave: S = 91 m

2 _S

F = 30.5 m2 lF = 11 m yT = 4.8 m

b = 28 m aF = 0.1/o Cnδa = 0 FOEI = 1.23

Nota: Considere ∂C_∂δLF

r = aF τ , em que τ ´e um parˆametro adimensional.

[Pergunta 1, 2o Teste (Rec) de 2009/2010]

5. Após a deflexão dos ailerons o avião adquire uma velocidade angular de rolamento que passado suficiente tempo tende para um valor constante. Admitindo válida a teoria linear, e supondo desprezáveis as derivadas cruzadas, calcule a velocidade de rolamento estacionário após uma deflexão dos ailerons de 10◦. A envergadura das asas do avião em causa é b = 15 m e sabe-se que Clp = −0.45 e Clδa = 0.052. Considere que o avião se

encontra a voar com uma velocidade de 70 m/s em condi¸c˜oes SSL. [Pergunta 3, 1o Exame 2014/2015]

(11)

6. Considere um avi˜ao composto unicamente por uma asa e uma cauda e os seguintes dados: Sw = 14 m2, St = 4.6 m2, Cmacw = 0.0, ¯c = 1.8 m, aw = 0.075/

o_{, a}

t = 0.065/o,

εα = 0.4, W = 13 kN. A distância entre os centros aerodinâmicos da asa e da cauda é 6

m. Quando o centro de gravidade do avião se localiza no centro aerodinâmico da asa, o avião encontra-se equilibrado se voar à velocidade V = 50 m/s (com δe = 0).

a) Se o avi˜ao apresentar uma velocidade angular de picada de 10o/s, determine o momento adicional criado pela cauda em torno do centro de gravidade do avi˜ao.

b) Admita que o centro de gravidade do avião se desloca de 0.15 m na direçcão da cauda. Calcule a nova velocidade do avião para o qual este se manterá em equil´ıbrio com velocidade angular de picada nula e sem deflexão do leme de profundidade.

7. Uma aeronave encontra-se em voo rectil´ıneo nivelado a uma altitude de 10000 ft (ρ = 0, 9048 kg/m3) e com uma velocidade de 120 m/s.

a) Determine o valor de α e δe em equil´ıbrio.

b) Determine o incremento ∆δe da deflex˜ao do leme de profundidade que seria

ne-cessário se o avião se encontrasse numa manobra de pull-up (descida-subida) estacionária nivelada com um factor de carga n = 2.

[Pergunta 1, 1o _{Exame de 2005]}

c) Determine o ângulo de pranchamento e o factor de carga, bem como o incremento ∆δe da deflexão do leme de profundidade necessário se o avião iniciar uma volta

coorde-nada com o raio de 2000 m.

Caracter´ısticas da aeronave W = 178000N; S = 87.8m2_{; ¯}_{c = 3.08m; b = 29.3m; y}

p = 4.72m; Cm0 = 0.012.

CLα = 5.24 Cmα = −0.780 CYβ = −0.362 Clβ = −0.125 Cnβ = 0.101

CLδe = 0.465 Cmδe = −2.12 CYδa = 0.000 Clδa = 0.200 Cnδa = 0.000

CLq = 7.83 Cmq = −35.6 CYδr = 0.233 Clδr = 0.0240 Cnδr = −0.107

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D

Derivadas de Estabilidade

1. Considere uma aeronave com uma configura¸cão canard. Sabendo que as áreas da asa e do canard são S e Sc, respectivamente, que as respectivas cordas são ¯c e ¯cc e que a

distância entre o centro aerodinâmico do canard e o centro de massa do avião é lc, deduza

express˜oes para a contribui¸c˜ao do canard para as derivadas de estabilidade CLq e Cmq.

Recorde que ˆq = _2u¯c

0q e use a nota¸c˜ao (CLα)canard = ac. [2.5 val]

[Pergunta 4, 2o Exame 2014/2015]

2. Considere os dados geom´etricos de um jacto privado:

Sw = 21.5 m2; St = 5 m2; SF = 3.5 m2; hnwb = 0.15; h = 0.30;

Γ = 3◦; b = 11 m; lt= 6.5 m; lF = 5.5 m; Cmacw= −0.02;

awb = 0.1/◦; aF = 0.1/◦; Cmα˙ = −3.0; Cmq = −12.0;

croot= 3.0 m ctip= 1.6 m

a) Determine a derivada Cmα.

b) Apresente estimativas para as derivadas Clp e Cnr.

c) ´E poss´ıvel apresentar estimativas para Clr e Cnp? Justifique.

[Adaptado de Exame de 1a Epoca de 2005, Pergunta 3]´

3. Num avião com uma configura¸cão convencional, a principal contribui¸cão para a derivada Cnβ vem do estabilizador vertical. Caso se pretenda modificar esta contribui¸cão,

indique

a) que caracter´ısticas do avi˜ao se devem modificar; b) que outras derivadas s˜ao afectadas.

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4. Um Cessna T37 como o representado na figura est´a em voo de cruzeiro a uma altitude de 30000 ft (ρ = 0.459 kg/m3) com uma velocidade U0 = 139 m/s (M = 0.459).

Tendo em conta as suas caracter´ısticas geométricas e aerodinâmicas, dadas abaixo, calcule uma estimativa para as contribui¸cões da asa e da empenagem vertical para as derivadas aerodinâmicas Clβ e Cnβ. Considere três poss´ıveis ângulos de diedro:

a) Γ = 0o; b) Γ = 2o; c) Γ = 5o.

5. O mesmo que o problema anterior mas para um voo em condi¸c˜oes SSL com velo-cidade U0 = 48.7 m/s (M = 0.143). Propriedades: W = 28289 N; h = 0.27. Asa: S = 16.9 m2; c = 1.67 m;¯ b = 10.30 m; λ = 0.587; ΛLE = 2.4o; Λ1/2 = −2.8o; Λ1/4 = 0.2o. Estabilizador vertical: SF = 2.2 m2; aF = 3.0 rad-1; lF = 4.7 m; zF = 0.75 m; ∂σ ∂β desprez´avel.

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(15)

(16)

(17)

B = q

1 − M2_cos2_Λ

(18)

Contribui¸c˜oes da Cauda: Clβ cauda = −aF SFzF Sb , Cnβ cauda = aFVV VF V 2 1 − ∂σ ∂β .

(19)

E

Estabilidade Dinˆ

amica

1. Considere um jacto comercial que se desloca com velocidade horizontal de 85 m/s em condi¸c˜oes SSL e que tem as seguintes caracter´ısticas:

W = 560000 N; S = 185.8 m2_; _{c = 3.35 m ;}_¯ _I

y = 1.965×106 kg m2;

CD1 = 0.08; CDα = 0.08; CDα˙ = 0; CDq = 0; CDu = 0;

CL1 = 0.68; CLα = 4.5; CLα˙ = 2.7; CLq = 7.7; CLu = 0;

(Cm)0 = 0; Cmα = −0.9; Cmα˙ = −4.1; Cmq= −12.1; Cmu = 0;

(Nota: As derivadas relativamente a ˆangulos s˜ao por radiano)

a) Determine os valores aproximados da frequência natural e do coeficiente de amor-tecimento para o modo fugóide. Use os valores obtidos para estimar o tempo e o número de ciclos necessários para a amplitude das oscila¸cões se reduzir a metade, após uma soli-cita¸cão inicial.

b) Determine os valores aproximados da frequˆencia natural e do coeficiente de amor-tecimento para o modo de per´ıodo curto.

[Exame de 1a _{Epoca de 2005, Pergunta 4]}_´

2. Um avi˜ao, cujos dados se encontram abaixo, e que est´a em voo horizontal a baixa altitude com velocidade u0 = 52 m/s encontra vento de cauda (tailwind ) que varia de

acordo com a altitude. Admita que a velocidade do vento pode ser dada por W = W0 + ΓzE, em que W0 é a velocidade a uma altitude de referência, zE é a varia¸cão de

altitude relativamente à altitude de referência e Γ é o gradiente de velocidade do vento. Determine, para o modo fugóide aproximado:

a) a frequˆencia natural e do factor de amortecimento;

b) para W0 = 10 m/s e Γ = −0.1/s, a varia¸c˜ao da frequˆencia natural e do factor de

amortecimento para o modo fugóide devido à existência de vento. (Despreze a varia¸cão das derivadas de estabilidade devido ao gradiente de velocidade do vento.)

Dados da aeronave:

S = 26 m2_; _¯_{c = 2 m;} _{b = 14 m;} _{W = 48928 N}

Ixx = 20581 kg m2; Iyy = 27439 kg m2; Izz = 46261 kg m2; Ixz = 0

Em voo a baixa altitude:

CDu = 0 CLu = 0.027 CTu = −0.324 Cmu = 0

Clβ = −0.13 Clp = −0.50 Clr = 0.06

Cnβ = 0.120 Cnp = −0.005 Cnr = −0.204

(20)

3. O modo de fug´oide de uma aeronave pode ser aproximado pelo seguinte sistema de equa¸c˜oes:

(

2µ∆ ˙u − Cxu∆u + CL1∆θ = Cxδeδe

2CL1∆u − 2µ∆ ˙θ = CLδeδe

em que µ ´e uma constante. Para este modo aproximado, determine: a) a equa¸c˜ao caracter´ıstica;

b) a frequˆencia natural e o factor de amortecimento;

c) a rela¸c˜ao entre CTu e CDu que assegura a estabilidade do modo.

[2o Teste de 2012/2013, Grupo I]

4. O monomotor a h´elice cujos dados se apresentam abaixo encontra-se em voo de cruzeiro a uma altitude de 5000 ft (ρ = 1.058kg/m3_{) com uma velocidade de u}

0 = 67 m/s.

Para estas condi¸cões de voo verificou-se que, para o modo de rolamento holandês, a frequência natural é ωn = 3.09 rad/s e o factor de amortecimento é ζ = 0.228.

a) Determine as derivadas Cnr e Cnβ.

b) Estime a contribui¸c˜ao da asa+fuselagem para a derivada Cnβ, admitindo que o efeito

do sidewash é desprezável. (Se não resolveu a al´ınea anterior, use os valores Cnr = −0.094

e Cnβ = 0.060).

Dados da aeronave (Cessna 182):

W = 11790 N, S = 16.2 m2_, _{c = 1.5 m,}_¯ _{b = 11.0 m,} _l

F = 5.5 m

Ix = 1285kg m-3, Iy = 1825kg m-3, Iz = 2666kg m-3, Ixz = 0.

Para voo de cruzeiro, altitude 5000 ft, Velocidade u0 = 67 m/s:

CLα = 4.41, CLq = 3.9, CLδe = 0.43, CLu = 0,

Cmα = −0.613, Cmq = −12.4, Cmδe = −1.122, Cmu = 0,

Cyβ = −0.393, Cyp = −0.075, Cyr = 0.214, CDu = 0, CD1 = 0.032.

[Pergunta 3, 2o _{Teste (Rec) 2008/2009]}

5. Uma aeronave encontra-se em voo rectil´ıneo horizontal a uma altitude de 5000 ft (ρ = 1.056 kg/m3) com uma velocidade u0 = 104m/s. Por meio de ensaios em voo

determinou-se que para o modo fug´oide ωn = 0.136 rad/s e ζ = 0.098. Sabendo que

Cmu = 0 e tendo em conta os dados abaixo, determine o valor para que tende o ˆangulo

de subida quando se altera a deflex˜ao do leme de profundidade de ∆δe= −0.5◦.

Dados da aeronave: S = 26.0 m2_; _{c = 2.0 m;}_¯ _{b = 14.0 m;} _{W = 31136 N;} _{g = 9.8 m/s}2_; Ixx = 13670 kg m2; Iyy = 20532 kg m2; Izz = 31237 kg m2; Ixz = 2170 kg m2 CDα = 0.131 CDδe = 0 CD0 = 0.028 CLα = 5.48 CLδe = 0.60 Cmα = −1.89 Cmδe = −2.0 Cyβ = −0.59 Cyp = −0.19 Cyr = 0.39 Cyδr = 0.148 Cyδa = 0 Clβ = −0.13 Clp = −0.50 Clr = 0.14 Clδr = 0.0109 Clδa = 0.156 Cnβ = 0.080 Cnp = −0.019 Cnr = −0.197 Cnδr = −0.0772 Cnδa = −0.0012

(Nota: As derivadas relativamente a ˆangulos s˜ao por radiano) [Exame de 1a Epoca de 2013/2014, Pergunta 5]´

(21)

6. Um Boeing 747 de massa m = 2.557×105kg encontra-se a voar a uma velocidade de 67 m/s em condi¸c˜oes SSL. A partir das suas derivadas de estabilidade laterais-direccionais sabe-se que (em SI):

Yv = −0.08897 Yδr = 0.996 Nv = 2.495 × 10

−3

Nr = −0.217 Nδa = −0.0264 Nδr = −0.151

Considere tamb´em os seguintes momentos de in´ercia modificados: I_z0 = 6.143 × 107 _{kg m}2_; _I0

zx = 1, 0005 × 10

−8 _{kg m}2_.

a) Determine a frequˆencia natural e o factor de amortecimento do modo aproximado de rolamento holandˆes.

b) Calcule as fun¸c˜oes de transferˆencia β(s)/δa(s) e β(s)/δr(s).

c) Determine a resposta estacionária do avião em termos do ângulo de guinada Ψ a uma varia¸cão do tipo impulso da deflexão do leme de direçcão (rudder ) δr = 10◦. (Nota:

recorde que, para um voo estacion´ario nivelado e rectil´ıneo, ˙Ψ = r.) [Exame de 1a Epoca de 2006, Pergunta 6]´

7. Considere uma aeronave em voo horizontal rectil´ıneo nivelado com velocidade u0.

a) Mostre que ap´os um aumento da deflex˜ao do leme de profundidade de ∆δe (tipo

escalão), o valor para que tende a varia¸cão da velocidade da aeronave é: ∆u = u0

CLαCmδe − CmαCLδe

2CW0Cmα

∆δe.

Admita que Cmu = 0, CLu = 0 e CD0 << CLα.

b) Mostre que se chega ao mesmo resultado usando a expressão da deflexão do leme de profundidade para equil´ıbrio e determinando a varia¸cão da velocidade de equil´ıbrio que se obtém quando se aumenta a deflexão do leme de ∆δe. (Nota: admita que (∆u)2/u20 << 1,

fazendo as aproxima¸c˜oes habituais para pequenas perturba¸c˜oes.) [Pergunta 3, 2o _{Teste 2009/2010]}

8. O bimotor com propulsão a hélice cujos dados se encontram abaixo está em voo rectil´ıneo nivelado a baixa altitude (ρ = 1.225 kg m-3) com velocidade u0 = 54.6 m/s.

a) Determine t1/2 (ou t2) para os modos aproximados de rolamento e espiral. Discuta

o resultado quanto `a estabilidade dinˆamica dos modos.

b) Caso pretenda garantir a estabilidade dinˆamica do modo espiral, indique que deriva-das de estabilidade e que caracter´ısticas do avi˜ao modificaria para o conseguir. Justifique a resposta. [Pergunta 4, 2o Teste 2010/2011]

Dados da aeronave (Cessna 310):

S = 16.26 m2_; _¯_{c = 1.46 m;} _{b = 11.25 m;} _{W = 20460 N;} _{g = 9.8 m/s}2_; Ixx = 12042 kg m2; Iyy = 2628 kg m2; Izz = 14911 kg m2; Ixz = 0 CD0 = 0.029 CDα = 0.362 CDu = 0 CLα = 4.58 CLu = 0 CLq = 8.8 CLδe = 0.90 Cmδe = −2.53 Cm0 = 0.07 Cmα = −0.339 Cmα˙ = −14.8 Cmu = 0 Cmq = −29.2 CTu = −0.162 Cyβ = −0.610 Cyp = −0.2093 Cyr = 0.356 Cyδr = 0.230 Cyδa = 0 Clβ = −0.0923 Clp = −0.552 Clr = 0.1746 Clδr = 0.0192 Clδa = −0.1720 Cnβ = 0.1552 Cnp = −0.0615 Cnr = −0.1561 Cnδr = −0.1152 Cnδa = 0.0402

(22)

9. Uma aeronave encontra-se a voar a 40000ft (ρ = 0.30265 kg m−3) com uma velo-cidade (TAS) V = 206 m/s. Verificou-se que as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica para os modos laterais s˜ao:

λ1 = −0.4953/s, λ2 = −0.00118698/s, λ3,4 = −0.0617 ± 1.6936 i (/s).

a) Indique, justificando, a que modos corresponde cada uma destas ra´ızes.

b) Sabendo que Cnr = −0.200, determine valores aproximados para as derivadas Clp,

Cyβ e Cnβ.

Dados adicionais: Ixx = 37950 kg m2; Izz = 63700 kg m2; Ixz = 0; W =

57824 N; b = 10.4 m; S = 21.4 m2_;

[Pergunta 5, 1o _{Exame 2014/2015]}

10. O modo espiral aproximado pode ser caracterizado pelas seguintes equa¸c˜oes: (

0 = Lvv +Lrr,

˙r = Nvv +Nrr.

O avi˜ao cujos dados se encontram abaixo est´a a voar com velocidade u0 = 67 m/s a

uma altitude de 5000ft (ρ = 1.056 kg m-3_{). Use as equa¸c˜}_{oes acima para determinar a raiz}

caracter´ıstica do modo espiral e calcule t1/2 (ou t2) para esta situa¸c˜ao de voo. Comente

os resultados. [Pergunta 6, 2o _{Exame 2014/2015]}

W = 11790 N, S = 16.2 m2, ¯c = 1.5 m, b = 11.0 m, CLα = 4.41, CLq = 3.9, CLδe = 0.43, CD1 = 0.032, Cmα = −0.613, Cmq = −12.4, Cmδe = −1.122, CDδe = 0, CLu = 0, CDu = 0, Cmu = 0, Ix = 1285kg m -3_, Cyβ = −0.393, Cyp = −0.075, Cyr = 0.214, Iy = 1825kg m -3_, Clβ = −0.0923, Clp = −0.484, Clr = 0.0798, Iz = 2666kg m -3_, Cnβ = 0.0587, Cnp = −0.0278, Cnr = −0.0937, Ixz = 0.

(23)

11. O aeromodelo acrobático radio-comandado, ilustrado na figura abaixo, apresenta as seguintes caracter´ısticas: m = 7 kg Ixz = 0 S = 78 dm2 SF = 8 dm2 b = 2000 mm zF = 100 mm u0 = 20 m/s em condi¸cões SSL Clp = −0.50 Clδa = 0.25 (ângulos em radiano)

Um parˆametro importante em acrobacia ´e a capacidade de efetuar um rolamento de ailerons, que consiste no movimento de rolamento em torno do eixo longitudinal, enquanto o modelo permanece num voo aproximadamente retil´ıneo e horizontal.

Para estimar essa capacidade, podem ser utilizadas as equa¸c˜oes de movimento lateral-direcional dadas por:

       ˙v ˙ p ˙r ˙ φ        =     Yv 0 Yr g cos θ Lv Lp Lr 0 Nv Np Nr 0 0 1 tan θ 0            v p r φ        +     Yδa Yδr Lδa Lδr Nδa Nδr 0 0     δa δr

a) A partir do sistema de equa¸cões do enunciado e assumindo que não é utilizado o leme de dire¸cão, escreva a equa¸cão que rege o modo de rolamento aproximado no dom´ınio do tempo. Justifique todas as simplifica¸cões utilizadas.

b) Determine a equa¸c˜ao caracter´ıstica de modo de rolamento aproximado e conclua quanto `a estabilidade desse modo.

c) Expresse a fun¸cão de transferência entre a deflexão de ailerons e a velocidade de rolamento, em termos das derivadas dimensionais manuscritas, utilizando o modo de rolamento aproximado.

d) Calcule a velocidade de rolamento estacionária após o piloto defletir os ailerons 20o, encontrando-se em voo retil´ıneo horizontal a u0 = 20 m/s em condi¸cões SSL.

e) Discuta que caracter´ısticas da asa e cauda dever˜ao ser modificadas, caso se pretenda aumentar a capacidade de rolamento do aeromodelo.

(24)

Solu¸

c˜

oes

A.1. a) hnw = 0.23 , Cmac = −0.003 , aw = 0.075/ ◦ b) αLSN = −1.5◦ A.2. a) CL= 0.3736 , α = 5.34◦ b) Cm = 0.0176 6= 0 (n˜ao equil´ıbrio) , V = 87 m/s , α = 2.54◦ c) Cmα = 0.0063 > 0 (inst´avel) A.3. it= 1.63◦ A.4. δe= −25◦ ∈ [−20/ ◦, 20◦] A.5. a) CLα = 5.82/rad b) hac = 0.3 c) h = 0.544 d) it= 0.032 rad = 1.83◦ A.6. Se= 0.378 m2 A.7. a) hnw = 0.23 b) hn= 0.61 c) V = 25.2 m/s , αwb = 24.1◦ (possibilidade de perda) A.8. a) Cmα = − _¯ lc−lc ¯ c awb+ l_¯_ccS_Scac(1 − α) , lc= ln= 6.99 m b) ic= 0.8◦ , αwb= 2.7◦ A.9. a) h = hn = 0.503 b) h = 0.193 c) h0_n = 0.462 A.10. h0_n = 0.34 , K_n0 = 0.09

A.11. a) αtrim = 0.0413 rad = 2.4◦ , δetrim = 0.0210 rad = 1.2

◦ b) b0 = 0, b1 = −0.005/◦, b2 = −0.020/◦ c) F = 0.645N A.12. a) V = 97.9 m/s b) δt= −0.78◦ c) (dP/dV )_trim a = −5.37 , (dP/dV )trimb = −4.38

(mais f´acil alterar velocidade para V elevado) A.13. a) ∂Che ∂δt = b3 = −0.023/rad b) δt= −0.0112 rad = −0.64◦ B.1. a) Clβ = −0.00116/ ◦ _{p/ Λ = 20}◦_, _C lβ = −0.00445/ ◦ _{p/ Λ = 65}◦

(25)

c) mais flecha tem efeito estabilizador em Cnβ (mais positiva)

C.1. δr = 9.3◦, δa = −11.6◦, φ = 0.75◦

C.2. a) vwindmax = 16.5 m/s para δr = ±20

◦ _(|δ a| < 16◦) b) φ = 4.8◦ C.3. δr = −3.2◦, δa = 0.4◦, φ = 2.4◦ C.4. Sr = 2.1 m2 (τ = 0.2) C.5. p = 0.188 rad/s = 10.8◦/s C.6. a) ∆M = −3296N.m (∆Cm = −0.0854) b) Vtrim = 45.5 m/s

C.7. a) αtrim = 0.0609 rad = 3.5◦, δetrim = −0.0167 rad = −0.96

◦ b) ∆δe = −2.3◦ c) ∆δe= −0.75◦ D.1. CLq carnard = −2 Sc S lc ¯ cac , Cmq carnard = −2 Sc S lc ¯ c 2 ac D.2. a) Cmα = −0.372 b) Clp asa = −0.810/rad, Clp cauda = −0.019/rad,

(Cnr)asa ≈ 0, (Cnr)cauda = −0.466/rad

c) (Clr)asa e Cnp

asa dependem da condi¸c˜ao de voo CL

D.3. a) aF (perfil e alongamento do estab.vertical), SF (´area do estab.vertical) e lF

(comprimentos da cauda) b) Clβ cauda, Cyβ cauda, Cyp cauda, Clp cauda, Cnp cauda, (Cyr)cauda, (Clr)cauda, (Cnr)cauda D.4. a) Clβ asa = −0.00014/ ◦_, _C lβ cauda= −0.00050/ ◦_, _C nβ asa = 0.0000274/ ◦_, Cnβ cauda = 0.0031/ ◦ b) Clβ asa = −0.00058/ ◦ _{(restantes inalteradas)} c) Clβ asa = −0.00124/ ◦ _{(restantes inalteradas)} D.5. a) Clβ asa = −0.00042/ ◦_, _C lβ cauda= −0.00050/ ◦_, _C nβ asa = 0.0000292/ ◦_, Cnβ cauda = 0.0031/ ◦ b) Clβ asa = −0.00085/ ◦ _{(restantes inalteradas)} c) Clβ asa = −0.00148/ ◦ _{(restantes inalteradas)}

E.1. a) ωn = 0.1632 rad/s, ξ = 0.083, t1/2= 51.1 s, N1/2 = 1.32 ciclos

b) ωn = 1.2329 rad/s, ξ = 0.496

E.2. a) ωn = 0.2683 rad/s, ξ = 0.100

(26)

E.3. a) λ2₋ CXu 2µ λ + 1 2 _C L1 µ 2 = 0 b) ωn = √ 2 2 C_L1 µ , ξ = − 1 2√2 CXu C_L1 c) CTu < CDu E.4. a) Cnr = −0.0937, Cnβ = 0.0587 b) Cnβ asa = −0.035 E.5. limt→+∞∆γ(t) = 1.36◦ E.6. a) ωn = 0.4318 rad/s, ξ = 0.354 b) β(s)/δa(s) = _s2_{+0.3060s+0.1865}0.0264 , β(s)/δr(s) = _s20.0149s+0.1542_{+0.3060s+0.1865} c) limt→+∞∆Ψ(t) = −0.587◦ E.7. a) ∆u = u0 CLαC_mδe−CmαC_Lδe 2C_W0Cmα ∆δe b) (igual)

E.8. a) t1/2 rol = 0.38 s, t2 esp= 30.27 s

b) aumentar diedro Γ ou flecha Λ −→ Clβ mais negativo

diminuir ´area SF ou comprimento lF −→ Clr e Cnβ diminuem mas Cnr aumenta

diminuir altura zF −→ Clr diminui

E.9. a) λ2 real perto da origem - modo espiral

λ1 real mais afastada da origem - modo rolamento

λ3 e λ4 complexas conjugadas - modo rolamento holandˆes

b) Clp = −0.521, Cyβ = −0.0896 e Cnβ = 0.1280

E.10. λ = −NvL_L_vr + Nr, t1/2 = 1.24 s, modo espiral est´avel pouco amortecido

E.11. a) ˙p = Lpp + Laδa

b) Lp− λR = 0, λR= L_I_xp < 0 logo modo est´avel

c) Gp δa = _s−LLδa_p

d) limt→+∞p(t) = 200◦/s

e) diminuir envergadura b, aumentar deflex˜ao de ailerons δa, aumentar derivada Clδa (maior ´area de ailerons ou ailerons mais perto do bordo marginal), diminuir derivada