Aspectos Históricos de Simulação em Mecânica de Fraturas
EM423B Grupo 15 Carlos Gregoreki 104721 Gregori Yuji Mandelli Inagaki 105006 Marco Antônio Lasmar Almada 092208 Pili Andwele Rodrigues Antunes 105548 Thiago de Assis Barelli 086500 A mecânica de fraturas é uma área da mecânica que estuda o surgimento e a propagação de descontinuidades geométricas em um material. O aparecimento de rachaduras em um sólido afeta a resistência deste, ao introduzir descontinuidades na estrutura do material. Com a aplicação de uma carga sobre o material, a fadiga pode resultar na propagação das rachaduras, o que pode levar até a uma falha estrutural .
1As fraturas aparecem em diversos campos da atividade humana: na construção civil, elas representam um risco estrutural para as construções; só em 1982, o custo associado aos danos causados por rachaduras foi estimado na casa dos 100 bilhões de dólares . Na construção naval, as fraturas também são um problema sério: durante
2a Segunda Guerra Mundial, muitas das Liberty ships
3tiveram problemas nos cascos, e em alguns casos os navios chegaram a se partir ao meio e afundar. Na indústria
4petrolífera, as propriedades estruturais decorrentes da presença das fraturas permitem o uso de técnicas de fratura hidráulica como parte do processo de extração; porém,
5como todas as etapas de extração, essas técnicas possuem um custo financeiro e ambiental elevado associado a elas.
A realização de simulações a partir dos modelos matemáticos e computacionais para
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WANG, C. H. Introduction to Fracture Mechanics. Melbourne: DSTO Aeronautical and Maritime Research Laboratory, 1996.
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RAZVAN, R. Over the evolution of the fundamental ideas of fracture mechanics. Applied Sciences, v.7 (2005), n.1, pp. 127146.
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Navios de transporte construídos em massa pelos estaleiros americanos durante a Segunda Guerra Mundial. Em certas épocas da guerra, três transportes eram concluídos por dia.
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WANG, C. H. Introduction to Fracture Mechanics.
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ADACHI, J. et al. Computer simulation of hydraulic fractures. International Journal of Rock Mechanics
& Mining Sciences, v. 44 (2007), pp. 739757.
fraturas permite que os materiais sejam testados antes mesmo da sua construção, proporcionando economias de tempo, dinheiro e vidas humanas.
A existência de fraturas e seu impacto na resistência dos materiais já é conhecida da humanidade desde tempos muito antigos, mas a primeira tentativa sistemática de estudo em mecânica de fraturas foi feita por Leonardo da Vinci por volta de 1500, com a descoberta dos efeitos de tamanho nas estruturas. Galileu deu continuidade a esses estudos, investigando a relação entre as dimensões de animais e a resistência de seus ossos, assim como Coulomb, que focou sua atenção nos estudos de rachaduras em pedras.
6Os primeiros estudos analíticos sobre fraturas foram feitos por Kirsch em 1898, mas uma das contribuições iniciais mais relevantes ao estudo das fraturas foi feita por Alan Arnold Griffiths, em 1920, que obteve uma relação matemática envolvendo o tamanho de uma rachadura e a tensão aplicada para sólidos frágeis. Esse trabalho foi estendido por muitos pesquisadores, dentre eles George Rankine Irwin, que propôs que a relação de Griffiths deveria levar em conta também a região plástica na determinação da energia necessária para a expansão de uma rachadura. Tais ideias foram a base para muitos dos métodos desenvolvidos na área de mecânica de fraturas.
7A mecânica de fraturas pode ser dividida basicamente em dois ramos de estudo: a mecânica da fratura elastoplástica (EPFM) estuda o comportamento de materiais dúcteis como aço inox, aço com pouco carbono ou polímeros, nos quais a plasticidade precede a fratura. Já a mecânica da fratura linear elástica (LEFM) descreve muito bem o comportamento de materiais frágilelásticos como aço de alta resistência, vidro, concreto ou gelo, mas deixa de ser uma aproximação boa para materiais dúcteis submetidos a cargas suficientemente altas .
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Para descrever o comportamento dos materiais com fraturas, tanto a EPFM quanto a LEFM fazem uso de modelos conceituais e matemáticos. Modelos são instâncias de teorias, utilizados para descrever a realidade. Existem modelos de vários tipos:
icônicos, que são reproduções em escala de um objeto; conceituais, que representam as características (conceitos) de um objeto; e matemáticos, que descrevem as características de um objeto a partir de equações. Uma simulação é uma ferramenta que, a partir de um modelo, usa dados de entrada para gerar dados de saída ao longo do tempo, tentando reproduzir aspectos da realidade.
9Os modelos matemáticos utilizados para descrever o comportamento tanto de materiais frágeis quanto de materiais dúcteis envolvem a solução de problemas de valor de contorno em equações diferenciais. Como tais equações são custosas de se resolver analiticamente, são empregadas técnicas para encontrar soluções aproximadas, dentre as quais se incluem o Método dos Elementos Finitos e suas variações.
O Método dos Elementos Finitos, cuja origem está relacionada aos trabalhos de diversos matemáticos, envolve a representação do objeto em questão por uma malha finita de elementos, para os quais são resolvidas equações que são aproximações locais das equações diferenciais parciais envolvidas no problema. As soluções são então combinadas para obter a resposta final do problema de forma a minimizar a superfície de erro.
10A partir da segunda metade da década de 1960, o Método dos Elementos Finitos começou a ser empregado na solução de problemas de mecânica de fraturas.
11Porém, as descontinuidades presentes devido à fratura complicavam o uso dos elementos finitos, o que levou ao surgimento de variantes do método, desde a introdução de novas estratégias para a escolha de elementos para a discretização,
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ALBERTS, D. S.; HAYES, R. E. Understanding Command and Control. Washington: CCRP, 2006.
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WESTIN, M. F.; RIBEIRO, R. T. S. Método Dos Elementos Finitos Na Simulação De Tensão E Elasticidade Em Placas.
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abordagem que teve como pioneiros Rao et al. em 1971 , até técnicas mais recentes
12como a scaled boundary finite element method, que combinam os elementos finitos com outras técnicas.
13Além dos desenvolvimentos no uso dos elementos finitos, também foram propostas alternativas, como o uso de métodos nãoestruturados, que não impõem uma divisão do objeto em malha de elementos; já em 1992, Nayroles et al. propuseram o uso de funções de peso para a descrição das descontinuidades.
14Outra alternativa é o uso de malhas nãoestruturadas, como o modelo de fratura discreta, que representa as fraturas como elementos de dimensões menores do que a do problema sendo modelado; um trabalho nessa linha é o de KarimiFard et al. em 2004 .
15Outro avanço nas técnicas de simulação de fraturas foi a adoção de métodos probabilísticos para a modelagem de fatores aleatórios. Com o uso de métodos de Monte Carlo
16e outras técnicas probabilísticas, passa a ser possível modelar situações em que a carga aplicada no corpo segue alguma distribuição de probabilidade.
Os modelos probabilísticos são usados em conjunto com outras técnicas computacionais , por exemplo, na determinação da propagação de rachaduras em
17componentes rotativos de rotores: como as aeronaves desempenham diversos tipos de missões, as cargas podem variar amplamente, e um método de Monte Carlo pode ser empregado para refletir essa distribuição das cargas.
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BONACUSE, P. J. et al. Simulation of Crack Propagation in Engine Rotating Components
Under Variable Amplitude Loading. RTO Symposium on Design Principles and Methods for Aircraft Gas Turbine Engines. Toulouse, França, 1998.
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KARIMIFARD, M.; DURLOFSKY, M. J.; AZIZ, K. An effcient discretefracture model applicable for generalpurpose reservoir simulators. SPE Journal, v. 9 (2004), pp. 227236.
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Os métodos de Monte Carlo são técnicas computacionais que determinam probabilidades a partir da realização de diversas simulações com números aleatórios: a ideia básica é que, para um número suficientemente grande de pontos, a distribuição dos pontos refletirá a distribuição de probabilidade subjacente. Assim, acabam funcionando como amostragem.
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CHOWDHURY, M. S.; SONG, C.; GAO, W. Probabilistic fracture mechanics by using Monte Carlo simulation and the scaled boundary finite element method. Engineering Fracturing Mechanics. V. 78 (2011), pp. 23692389.
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BONACUSE, P. J. et al. Simulation of Crack Propagation in Engine Rotating Components
Os modelos matemáticos empregados para investigar o comportamento das fraturas variam em técnicas, propósicos e complexidade. Porém, mesmo os mais simples deles exigem que sejam feitas muitas contas para a determinação das variáveis relevantes na simulação. Problemas de pequenas dimensões ainda podem ser resolvidos “na mão” com algum esforço, mas qualquer problema de grandes dimensões só se torna viável através do uso de computadores para acelerar as contas.
Por isso, o crescimento do poder computacional de acordo com a Lei de Moore
19aumenta o poder das simulações de fraturas, uma vez que ele permite que sejam empregados modelos cada vez mais complexos, já que se torna possível obter os dados de simulações em tempo factível. Enquanto no início da década de 1970 grandes computadores eram necessários para qualquer problema bidimensional envolvendo elementos finitos,
20já no início da década de 1990 havia poder computacional o suficiente para modelar problemas tridimensionais.
21Após décadas de desenvolvimento, a modelagem matemática de fraturas em materiais já atingiu uma razoável maturidade, com um conjunto de técnicas já bem estabelecidas. Porém, ainda há uma margem considerável para desenvolvimento de novas técnicas, e o crescimento do poder computacional permite que essas técnicas sejam utilizadas para atacar uma gama cada vez maior de problemas.
O uso de modelos matemáticos para a simulação computacional de fenômenos de fraturas é hoje bem comum em diversas áreas da indústria, como a construção civil, a aeronáutica e a extração de petróleo. O crescimento do poder computacional permite o uso de modelos cada vez mais sofisticados, o que permite maior precisão na
Under Variable Amplitude Loading.
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“Lei” informal enunciada por Gordon Moore, cofundador da Intel, segundo a qual o número de transistores em um processador dobraria a cada dois anos. Embora seja um resultado puramente de observação, ela vem se mantendo até hoje, com o poder de processamento dos processadores dobrando em média a cada 18 meses.
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