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SEQUÊNCIASNUMÉRICAS
Sequências numéricas, de uma maneira informal, podem ser definidas como “listas” de números escritos entre parênteses e separados por vírgula.
EXEMPLOS 1 – (2,3,4,5,6,...) 2 – (6,10,-9,7,12,...)
Nestas sequências podemos ter qualquer tipo de número: positivo, negativo, com raiz, em forma de fração e em qualquer ordem. Os elementos de uma sequência são chamados de “termos”.
As sequências numéricas podem ser finitas, quando é possível “contar” os seus elementos, ou infinitas, quanto não é possível “contar” os seus elementos.
FORMA GENÉRICA DE REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA
Genericamente podemos representar uma sequência por:
(𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 , 𝑎 5 , 𝑎 6 , … , 𝑎 𝑛 )
Onde teremos os seguintes elementos:
A leitura pode ser feita da forma:
𝑎
1 →a índice 1
𝑎
2→a índice 2
𝑎
3 →a índice 3
𝑎
𝑛 →a índice n
Devido indicar posição, as expressões como 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑e assim por diante, são lidas e pronunciadas geralmente utilizando-se de números ordinais, ficando assim:
𝑎
1 →primeiro termo
𝑎
2→segundo termo
𝑎
3 →terceiro termo
𝑎
𝑛 →enésimo termo
PROGRESSÃOARITMÉTICA(P.A) DEFINIÇÃO
ProgressãoAritméticaé uma sequência de números, onde a diferença entre dois termos consecutivos, o direita menos o da esquerda, é uma constante chamada razão.
Ex: (5,8,11,14,...)
Observe que na sequência acima, os valores aumentam de 3 em 3, e neste caso por ser uma progressão aritmética, os termos sempre irão aumentar de 3 em 3.
Ex: (20,16,12,8,...)
Observe que na sequência acima, os valores diminuem de 4 em 4, e neste caso por ser uma progressão aritmética, os termos sempre irão diminuir de 4 em 4.
O valor de aumento ou diminuição de uma progressão é chamado de razão.
CÁLCULO DA RAZÃO DE UMA P.A.
Como o valor da razão pode variar de uma situação para outra, precisamos estabelecer um cálculo que irá nos garantir o valor correto sem adivinhações.
O cálculo da razão deriva da própria definição de P.A., onde é dito que a diferença entre dois termos consecutivos é uma constante. Logo para uma sequência genérica, termos:
(𝑎
1, 𝑎
2, 𝑎
3, 𝑎
4, 𝑎
5, 𝑎
6, … , 𝑎
𝑛) 𝑟 = 𝑎
6− 𝑎
5Para deixarmos mais prático o cálculo vamos trabalhar com sugestões que irão facilitar o desenvolvimento.
1º escolher os dois últimos números escritos na P.A.
2º organizar o cálculo da direita para a esquerda, independentemente do tamanho dos números.
EXEMPLO
Calcular a razão das progressões:
a) (2,7,12,...)
Para iniciarmos, vamos selecionar os dois últimos números escritos na P.A., o 7 e o 12, e logo após organizaremos o cálculo assim:
𝑟 = 12 − 7 = 5 𝒓 = 𝟓
b) (10, 7, 4, ...)
Vamos iniciar selecionando os valores para o cálculo.
𝑟 = 4 − 7 = −3 𝒓 = −𝟑
OBS. O VALOR DA RAZÃO PODE VARIAR DE PROGRESSÃO PARA PROGRESSÃO, OU SEJA, QUALQUER NÚMERO PODE SER USADO COMO RAZÃO DE UMA P.A.
Observe que os números são organizados da direita para a esquerda no cálculo
OBS. É necessário realizar regra de sinais em alguns casos como este que está acima, e a regra que se usa é a da adição e subtração.
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EXERCÍCIOS
01) Determine a razão de cada P.A:
a) (34, 41, 48, 55,...)b) (78, 83, 88,...)
c) (19, 17, 15, 13,...)d) (20,10,0,...)e) (2,4,6,...) f) (16,10,4,...)
TERMOGERAL
A fórmula do termo geral é utilizada para calcular algum valor em determinada posição da P.A., e é escrita da forma:
Nesta fórmula teremos:
EXEMPLO
Calcule o quadragésimo (40º) termo da P.A (7,11,15,...) Primeiro vamos criar uma lista de três elementos que precisamos identificar.
{
𝑎
1=?
𝑛 =?
Retirando os elementos acima:
𝑟 =?
𝒂𝟏será identificado observando qual é o primeiro número da P.A.
𝒏é identificado observando qual é o número ordinal escrito no enunciado da P.A., neste caso o texto cita o quadragésimo termo, que numericamente será representado pelo número 40
𝒏 = 𝟒𝟎
𝒓será calculado subtraindo, da direita para a esquerda, os dois últimos números escritos na P.A. (7,11,15,...), assim:
𝒓 = 𝟏𝟓 − 𝟏𝟏 = 𝟒
Então teremos
{
𝑎
1= 7 𝑛 = 40 𝑟 = 4
Observe que o exercício pede que calculemos o quadragésimo termo da P.A., simbolicamente ele nos pede para calcular 𝒂𝟒𝟎
Com base nos dados que retiramos acima, vamos substituir na fórmula:
𝒂
𝒏= 𝒂
𝟏+ (𝒏 − 𝟏). 𝒓
𝒂
𝟒𝟎= 𝟕 + (𝟒𝟎 − 𝟏). 𝟒
A partir de agora que já fizemos as substituições, ou seja, trocamos as letras por números, vamos então aos cálculos.
Esta é uma expressão numérica que segue um padrão de resolução
02) Utilizando a fórmula do termo geral, calcule o 30º (trigésimo) termo da P.A (3, 7, 11,...).
03)Utilizando a fórmula do termo geral, calcule o 26º (vigésimo sexto)termo da P.A (10, 15, 20,...).
04)Utilizando a fórmula do termo geral, calcule o 52º (quinquagésimo segundo)termo da P.A (0, 4, 8, 12,...).
05)Utilizando a fórmula do termo geral, calcule o 45º (quadragésimoquinto)termo da P.A (2, 4, 6,...).
Cuidado: Na fórmula acima, onde estava a letra 𝒏 colocamos o número 40, onde estava 𝒂𝟏 colocamos o número 7 e onde estava 𝒓 colocamos o número 4
Importante: No final da apostila estará disponível uma lista de números primos de 1 até 100 para facilitar a resolução dos exercícios.
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CLASSIFICAÇÃODEUMAP.A
A classificação de uma P.A. é realizada observando o comportamento dos números ou conhecendo o valor da razão.
Assim, elas são classificadas em crescente, decrescente ou constante. Se os números estiverem aumentando ela é crescente, se os números estiverem diminuindo ela é decrescente, e se o número se repetir sempre, então ela é dita constante.
A forma mais tradicional de conhecer o comportamento de uma P.A. é sabendo o valor da razão.
Em toda P.A de termos reais, temos:
EXERCÍCIOS
06) Calcule o valor da razão e classifique as Progressões Aritméticas a seguir:
a) (5,8,11,...)b) (4,4,4...)c) (20,18,16,...)d) (10, 15, 20,...) SOMADOSTERMOSDEUMAP.A
A soma de uma P.A. é a junção de todos os valores realizada através da adição acumulativa dos termos. Para ilustrar este cálculo trabalharemos um exemplo usando o método mais extenso, que será feito apenas neste momento para visualizarmos o conceito de forma mais simples.
Exemplo.
Vamos realizar a soma dos cinco primeiros termos da P.A.
(3,6,9,12,15).
Para isso precisamos calcular:
3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45
Ou seja, O valor da soma dos cinco primeiros termos da P.A.
será 45.
Quando trabalhamos a soma de poucos números, fica fácil calcular da forma anterior, o problema será quando
Para calcular a soma dos termos de uma P.A, usaremos uma fórmula que facilitará o processo:
Em síntese, para somar com a fórmula, temos que conhecer o primeiro e o último termo da P.A. em questão.
EXEMPLO
Calcule a soma dos 5 primeiros termos da P.A. (3,6,9,12,15) Observe que para jogar na fórmula precisamos destacar o primeiro termo e o último termo que será usado na soma.
Quando fizermos as trocas indicadas acima teremos:
Observe que no lugar de 𝑛 colocamos o número 5.
A partir daí obedecemos a uma ordem de resolução, primeiramente a soma entre parênteses:
Após, resolvemos a multiplicação:
E por fim a divisão então encontrando o valor final:
Logo teremos que a soma dos cinco primeiros termos da p.a. é 45.
EXEMPLO
Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A.
(5,8,11,...).
Observe que nesta situação temos escritos na P.A.
somente os 3 primeiros termos e para realizar a soma dos 20 primeiros termos iremos necessitar do vigésimo termo que será o último termo a ser somado. Para realizar o cálculo de maneira mais clara, vamos organizar iniciando pela busca do vigésimo termo.
Os dados necessários para tal fim serão:
𝒏 = 𝟐𝟎 (o valor de n para este cálculo é a quantidade de termos a serem somados)
𝒂𝟏= 𝟓
𝒓 = 𝟏𝟏 − 𝟖 = 𝟑
Cálculo do Vigésimo termo:
𝒂𝒏= 𝒂𝟏+ (𝒏 − 𝟏). 𝒓 𝒂𝟐𝟎= 𝟓 + (𝟐𝟎 − 𝟏). 𝟑 r> 0 → P.A crescente (razão número positivo)
r = 0 → P.A constante (razão igual a zero) r< 0 → P.A decrescente (razão número negativo)
𝒏: 𝑸𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔 𝒂 𝒔𝒆𝒓𝒆𝒎 𝒔𝒐𝒎𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒂𝟏: 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒊𝒓𝒐 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐 𝒅𝒂 𝑷. 𝑨.
𝒂𝒏: Ú𝐥𝐭𝐢𝐦𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐨 𝐚 𝐬𝐞𝐫 𝐬𝐨𝐦𝐚𝐝𝐨
OBS. A expressão “primeiros termos” serve para definir que a soma será a partir do primeiro número da progressão, diferente disto poderíamos pegar quaisquer cinco termos aleatoriamente.
IMPORTANTE: A SOMA DE UMA P.A. É DITA SOMA FINITA, POIS PODEMOS SOMAR APENAS UMA QUANTIDADE LIMITADA DE ELEMENTOS QUE SERÁ DEFINIDA PELO EXERCÍCIO EM QUESTÃO.
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𝒂𝟐𝟎= 𝟓 + 𝟏𝟗. 𝟑 𝒂𝟐𝟎= 𝟓 + 𝟓𝟕
𝒂𝟐𝟎= 𝟔𝟐
A continuidade do cálculo será dada com a aplicação da fórmula da soma.
𝒔𝒏=(𝒂𝟏+ 𝒂𝒏). 𝒏 Teremos que substituir: 𝟐
𝑛 = 20 𝑎1= 5
𝒔𝟐𝟎=(𝟓 + 𝒂𝟐𝟎). 𝟐𝟎 𝟐
Observe que no meio da expressão aparece 𝑎20 que é na verdade o vigésimo termo calculado anteriormente 𝑎20= 62.
Nosso trabalho agora é realizar a troca na fórmula.
𝒔𝟐𝟎=(𝟓 + 𝟔𝟐). 𝟐𝟎 𝟐
De agora em diante basta obedecer a ordem de resolução.
1º: parênteses.
𝒔𝟐𝟎=(𝟔𝟕). 𝟐𝟎 2º: multiplicação. 𝟐
𝒔𝟐𝟎=𝟏𝟑𝟒𝟎 3º: Divisão. 𝟐
𝒔𝟐𝟎= 𝟔𝟕𝟎
Então, o valor da soma dos 20 primeiros termos é 670.
07) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.A. (2, 5, 8,...).
08) Na P.A (1, 4, 7, ...), calcule a soma dos 15 primeiros termos.
09) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da P.A (1,3,5,...)
PROGRESSÃOGEOMÉTRICA(P.G)
Progressão geométrica é toda sucessão de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se uma constante (razão) pelo termo anterior.
Outra forma de pensar em progressões geométricas é pensar na divisão de dois termos consecutivos, que vai gerar o valor razão, representado pela Letra 𝒒(esta letra é usada para fazer menção a quociente, que na matemática significa divisão)
RAZÃO DE UMA P.G.
A razão será obtida dividindo o último termo escrito pelo termo anterior, organizando este cálculo no formato de fração.
EXEMPLO
Qual é a razão da P.G.(3, 6, 12,...)?
Para facilitar vamos escolher os dois último números escritos na P.G., 6 e 12.
Organizando eles no cálculo teremos:
𝑞 =12 6 = 2 A razão da P.G. é 2
EXEMPLOS
a) Calcule a razão da P.G. (1,3,9,...).
Escolhendo os dois últimos valores e organizando o cálculo:
𝑞 = 9 3 = 3
b) Calcule a razão da P.G. (32, 8, 2,...).
𝑞 = 𝟐 𝟖 = 𝟏
𝟒
CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G.
Dependendo dos termos que compõe uma PG ela será classificada como:
• PG crescente são aquelas que os valores dos termos vão crescendo.
• PG decrescente são aquelas que os termos vão diminuindo.
• PG constante são aquelas que os termos são iguais, ou seja, a razão é igual 1.
• PG oscilante é uma PG que os seus termos intercalam em negativos e positivos
• PG quase nula é uma PG que apenas o 1º elemento é diferente de zero.
Analisando a razão para classificar teremos:
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G.
A fórmula do termo geral da P.G. trabalha com potenciação, e isso demandará mais atenção em determinadas partes do cálculo.
CRESCENTE 𝑞 > 1 : Razão é um número positivo
DECRESCENTE
0 < 𝑞 < 1 : Razão é um número entre zero e um, não podendo ser 1 nem zero.
CONSTANTE 𝑞 = 1 : Razão igual a 1
OSCILANTE 𝑞 = −1 : Razão é um número negativo
NULA 𝑞 = 0 : Razão é zero
Observe que neste exemplo a divisão resultaria num número com vírgula 𝟐𝟖= 𝟎, 𝟐𝟓, o que nos leva então a deixarmos a razão num formato de fração e no máximo realizarmos a simplificação se for possível.
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𝒂𝒏: 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒈𝒆𝒓𝒂𝒍 𝒂𝟏: 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒊𝒓𝒐𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐 𝒒: 𝒓𝒂𝒛Ã𝒐
EXEMPLOS
Calcular o sexto (sexto = 6) termo da P.G. (2,6,18,...) Primeiro vamos realizar a retirada dos itens:
{
𝑎
1= 2 𝑛 = 6 𝑞 = 18
6 = 3
Próximo passo é substituir na fórmula:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏. 𝒒𝒏−𝟏 𝒂𝟔= 𝟐. 𝟑𝟔−𝟏
Neste ponto resolvemos apenas o cálculo 𝟔 − 𝟏.
𝒂𝟔 = 𝟐. 𝟑𝟓
Voltando à expressão 𝒂𝟔= 𝟐. 𝟑𝟓, temos que realizar a troca de 𝟑𝟓 pelo valor 243.
𝒂𝟔= 𝟐. 𝟐𝟒𝟑 Multiplicando os valores obteremos:
𝒂𝟔= 𝟒𝟖𝟔 Assim, o sexto termo da P.G será 486.
EXERCÍCIOS
10) Calcule a razão de cada P.G. a seguir e classifique:
a) (7, 14, 28,...)b) (5, 15, 45,...)c) (20, 10, 5,...) d) (7, 21, 63,...)
11) Determine o termo indicado em cada P.G:
a)
? 2
10
8 1
a q a
b)
? 3
4
6 1
a q a
12) Calcule o 10º termo da P.G (2, 4,8,...) 13)Calcule o 8º termo da P.G (2, 4, 8,...).
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G.
A soma dos termos de uma progressão geométrica finita é dada pela expressão:
𝒔
𝒏= 𝒂
𝟏. (𝒒
𝒏− 𝟏) 𝒒 − 𝟏
Esta soma é dita soma finita e serve para progressões geométricas que são crescentes
Para progressões geométricas decrescentes termos a fórmula 𝑠 = 𝑎1
1 − 𝑞 EXEMPLO
Determine a soma dos doze primeiros elementos da progressão geométrica (2, 8, 32, 128,...).
Trata-se de uma P.G. crescente, logo teremos que aplicar a fórmula
𝑠𝑛=𝑎1. (𝑞𝑛− 1) 𝑞 − 1 Observe que:
𝑎1= 2 𝑞 =128
32 = 4 𝑛 = 12
𝑠12=2. (412− 1) 4 − 1 Primeiro resolveremos412
412 = 4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4 = 16777216
𝑠12=2. (16777216− 1) 4 − 1 Agora vamos aos parênteses
𝑠12=2. (16777215) 3 𝑠12=11184810
3 𝑠12= 3728270
Logo a soma dos 12 primeiros termos da P.G. será 3728270 Importante salientar que o fato da expressão 𝒏 − 𝟏
assumir o papel de expoente, altera a forma de resolução desta etapa.
A expressão 𝟑𝟓 é uma potência, que deve ser resolvida da forma:
𝟑𝟓= 𝟑. 𝟑. 𝟑. 𝟑. 𝟑 = 𝟐𝟒𝟑
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GABARITO
1)a) 7 b) 5 c) -2 d) -10 e) 2 f) -6 02) 119
03) 135 04) 204 05) 90
06)a) razão = 3, crescente b) razão = 0, constante c) razão = -2, decrescente d) razão = 5, crescente 07) 155 08) 330 09) 10000
10) a) 2 b) 3 c) 𝟏
𝟐 d) 3 11) a)280 b) 972 12) 1024 13) 256
