1. Determine os poss´ıveis valores da vari´ avel aleat´ oria em cada item:

3

LISTA DE PROBABILIDADE E ESTAT´ ISTICA Vari´ aveis Aleat´ orias Discretas

Profa. Anna Regina Corbo

1. Determine os poss´ıveis valores da vari´ avel aleat´ oria em cada item:

a) A vari´ avel aleat´ oria ´ e o n´ umero de conex˜ oes soldadas n˜ ao-conformes em uma placa com 1.000 conex˜ oes.

b) Em um sistema de comunica¸c˜ ao por voz com 50 linhas, a vari´ avel aleat´ oria ´ e o n´ umero de linhas em uso em um certo tempo.

c) A vari´ avel aleat´ oria ´ e o teor de umidade de um lote de mat´ eria-prima, medida para o ponto percentual mais pr´ oximo.

2. Verifique que as seguintes fun¸c˜ oes s˜ ao fun¸c˜ oes de densidade e determine as probabili- dades requeridas:

a) x -2 -1 0 1 2

f (x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8 i) P (X 6 2)

ii) P (X > 2)

iii) P (−2 < X < 2) iv) P (X 6 −1 ou X > 1)

b) f(x) = (

)(

)

, x = 0, 1, 2, · · · i) P (X = 2)

ii) P (X 6 2) iii) P (X > 2) iv) P (X > 1)

3. Determine a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao da vari´ avel aleat´ oria do Exerc´ıcio 2.a). Com base nesta, determine tamb´ em as seguintes probabilidades:

a) P (X 6 1, 25) b) P (X 6 2, 2) c) P (−1, 1 < X 6 1) d) P (X > 0)

4. A espessura (em polegadas) de um painel de madeira que um consumidor requer ´ e uma vari´ avel aleat´ oria com a seguinte fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao:

F (x) =



 



 



0, x <

0.2,

6 x <

0.9,

6 x <

1,

6 x

. Determine as seguintes probabilidades:

a) P (X 6 1/8) b) P (X 6 1/4)

c) P (X 6 5/16) d) P (X > 1/8) e) P (X 6 1/2)

5. Determine a m´ edia e a variˆ ancia da vari´ avel aleat´ oria do Exerc´ıcio 2.a).

6. Os poss´ıveis valores de uma vari´ avel aleat´ oria X s˜ ao (0, 1, 2, 3, x), onde x ´ e uma

inc´ ognita. Se cada valor for igualmente prov´ avel e a m´ edia de X for igual a 6, de-

termine x.

7. A vari´ avel aleat´ oria discreta X tem uma distribui¸c˜ ao binomial con n = 10 e p = 0, 01.

Determine as probabilidades:

a) P (X = 5) b) P (X 6 2) c) P (X > 9) d) P (3 6 X < 5)

8. Designe por X o n´ umero de bits recebidos com erros em um canal digital de comu- nica¸c˜ ao e considere que X seja uma vari´ avel binomial com p = 0, 0001. Se 1000 bits forem transmitidos, determine o seguinte:

a) P (X = 1) b) P (X > 1) c) P (X 6 2)

9. Um conjunto de 50 molas ´ e verificado quanto a conformidade com um determinado padr˜ ao. O n´ umero m´ edio de molas n˜ ao conformes em um conjunto ´ e igual a 5. Suponha que o n´ umero de molas n˜ ao conformes em um conjunto seja uma vari´ avel aleat´ oria binomial X.

a) Quais os valores de n e p?

b) Qual ´ e P (X 6 2)?

c) Qual ´ e P (X > 49)?

10. A probabilidade de um alinhamento ´ optico com sucesso em um experimento ´ e de 0, 8.

Considere que as tentativas de se obter este alinhamento sejam independentes.

a) Qual ´ e a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira exatamente quatro tentativas?

b) Qual ´ e a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no m´ aximo quatro tentativas?

c) Qual ´ e a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no m´ınimo quatro tentativas?

11. Em seu caminho matinal, vocˆ e se aproxima de um determinado sinal de trˆ ansito, que est´ a verde em 20% do tempo. Suponha que cada manh˜ a represente um tentativa independente.

a) Qual ´ e a probabilidade de que a primeira manh˜ a que a luz esteja verde seja a quarta manh˜ a que vocˆ e se aproxima?

b) Qual ´ e a probabilidade de que a luz n˜ ao esteja verde durante exatamente 10

manh˜ as consecutivas?

12. Cart˜ oes de circuito integrado s˜ ao verificados em um teste funcional. Um lote cont´ em 140 cart˜ oes e 20 s˜ ao selecionados sem reposi¸c˜ ao para o teste funcional.

a) Se 20 cart˜ oes forem defeituosos, qual ser´ a a probabilidade de que no m´ınimo um cart˜ ao defeituoso esteja na amostra?

b) Se 5 cart˜ oes forem defeituosos, qual ser´ a a probabilidade de que no m´ınimo um cart˜ ao defeituoso apare¸ca na amostra?

13. Um estado tem uma loteria em que seis n´ umeros s˜ ao selecionados aleatoriamente de 40, sem reposi¸c˜ ao. Um jogador escolhe seis n´ umeros antes do sorteio acontecer.

a) Qual ´ e a probabilidade de que os seis n´ umeros escolhidos pelo jogador coincidam com todos os seis n´ umeros sorteados?

b) Qual ´ e a probabilidade de que cinco dos seis n´ umeros escolhidos pelo jogador apare¸cam entre os n´ umeros sorteados?

c) Qual ´ e a probabilidade de que quatro dos seis n´ umeros escolhidos pelo jogador apare¸cam entre os n´ umeros sorteados?

d) Qual ´ e a probabilidade de que no m´ aximo cinco dos seis n´ umeros escolhidos pelo jogador apare¸cam entre os n´ umeros sorteados?

Gabarito:

1) a) X = {0, 1, 2, · · · , 1000}; b) X = {0, 1, 2, · · · , 50}; c) X = {0, 1, 2, · · · , 100}

2) a) f ´ e fun¸c˜ ao densidade pois P

x=−2

f (x) =

+

+

+

+

= 1 i) 1 ii) 0 iii) 0,75 iv) 0,5

b) f ´ e fun¸c˜ ao densidade pois P

x=0

f (x) =

h

4

0

+

+

· · ·

=

·

= 1 i) 0,0469 ii) 0,9844 iii) 0,0156 iv) 0,25

3) a)

b) 1 c)

d)

4) a) 0,2 b) 0,9 c) 0,9 d) 0,8 e) 1 5) E[X] = 0 V[X] = 1,5

6) x = 24

7) a) 2, 40 × 10

b) 0, 9999 c) 9, 91 × 10

d) 1, 138 × 10

8) a) 0, 09049 b) 0, 09517 c) 0, 9984

9) a) n = 50, p = 0, 1 b) 0, 112 c) 4, 51 × 10

10) a) 0, 0064 b) 0, 9984 c) 0, 008

11) a) 0, 1024 b) 0, 02147

12) a) 1 − (0, 9117 × 10

) b) 1 − (0, 199 × 10

)

13) a) 2, 6 × 10

b) 5, 31 × 10

c) 2, 20 × 10

d) 1 − (2, 6 × 10

)