Quest˜ao 2 (2,5 pontos). Utilizando transformadas de Laplace, encontrar a solu¸c˜ao expl´ıcita do seguinte PVI:
y′′(t)−y(t) =
2t , se t <3;
0 , se t≥ 3; y(0) = 0; y′(0) = 2.
Solu¸c˜ao: A fun¸c˜ao definida por duas express˜oes pode ser reescrita como 2t−2t u3(t), onde u3(t) = u0(t−3), e u0 ´e a fun¸c˜ao-degrau de Heaviside, tamb´em denotada por H e por u. Assim: y′′(t)−y(t) = 2t−2t u3(t).
Aplicando-se a Regra 18 (com f = y e n = 2) ao primeiro membro, e as regras 3 (com n = 1) e 13 (com c = 3 e f(t) = t+ 3 para que f(t−3) seja igual a t) ao segundo, obt´em-se que:
s2Y(s)−0s−2
−Y(s) = 2
s2 −2e−3s
1
s2 + 3 s
∴ (s2−1)Y(s) = 2 + 2
s2 −2e−3s
1
s2 +3 s
∴
∴Y(s) = 2
s2−1+ 2
s2(s2−1) 1−e−3s
− 6
s(s2−1)e−3s. Para as expan- s˜oes em fra¸c˜oes parciais, podem-se considerar termos do tipo M
s−1+ N s+ 1, dos quais se obt´em e±t ou, alternativamente, combin´a-los em M s+N
s2−1 , do qual se obt´em cosseno e seno hiperb´olicos de t. Ambas ser˜ao exemplificadas:
2
s2(s2−1) = A s + B
s2 + C
s−1 + D s+ 1 = (As+B)(s2−1) +Cs2(s+ 1) +Ds2(s−1)
s2(s2−1) ∴
(As+B)(s2−1) +Cs2(s+ 1) +Ds2(s−1) = 2. Calculando-se isto em s = 0 e s =±1, obt´em-se, respectivamente, que −B = 2, 2C = 2 e −2D= 2∴B =−2,C = 1 eD=−1. Mas 0 = (A+C+D)s3 ∴0 =A+ 1−1 =A.
Os termos com C e D podem ser combinados como um termo 2 s2(s2 −1).
6
s(s2−1) = E
s + Gs+H
s2−1 = E(s2 −1) +Gs2+Hs
s(s2−1) = (E+G)s2+Hs−E s(s2−1)
∴6 = (E+G)s2+Hs−E ∴E+G= 0 =H e E =−6∴G= 6. Logo:
y(t) =L−1
2
s2−1 +
2
s2−1 − 2 s2
1−e−3s
−6
s
s2−1 − 1 s
e−3s
(t)
=L−1
4
s2−1− 2
s2 +e−3s
2
s2 +6
s − 6s+ 2 s2−1
(t).
2
Das regras 1, 3 (com n= 1), 7 e 8 (ambas com a= 1), tem-se que:
L−1
4
s2−1 − 2 s2
(t) = 4 senh(t)−2t; e L−1
2
s2 + 6
s − 6s+ 2 s2−1
(t) = 2t+ 6−6 cosh (t)−2 senh(t). Aplicando-se a Regra 13 (com c= 3) a esta ´ultima, conclui-se que:
y(t) = 4 senh(t)−2t+u3(t) (6 + 2(t−3)−6 cosh (t−3)−2 senh(t−3)) ∴ y(t) = 4 senh(t)−2t+u3(t) (2t−6 cosh (t−3)−2 senh(t−3)) =
y(t) = 2et−2e−t−2t+u3(t) 2t−4e(t−3)−2e(3−t) .
Quest˜ao 3. Encontrar a solu¸c˜aocompleta expl´ıcitade cada EDO abaixo:
3.a (2,5 pontos). y(3)(t) + 4y′(t) = 8 sen (2t) pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados;
3.b (1,5 pontos). y′′(t) +y(t) = tan (t) para 0 < t < π 2
Solu¸c˜ao – 3.a: Associado `a EDO dada, est˜ao o operadorP(D) =D3+ 4D e a equa¸c˜ao caracter´ıstica 0 = r3+ 4r= r(r2+ 4), cujas ra´ızes s˜ao 0 e ±2i, todas com multiplicidade 1. Logo, a solu¸c˜ao complementar (da EDO homogˆe- nea associada) ´e yc(t) =C1+C2sen (2t) +C3cos (2t), onde C1, C2, C3 ∈ R. Observe-se que a EDO homogˆenea z(3)(t) + 4z′(t) = 0 em termos de fun¸c˜oes complexas z(t) da vari´avel real t tem solu¸c˜ao completa dada por:
zc(t) =E1+E2e−i2t+E3ei2t, onde E1, . . . , E3 ∈C
Um caminho para se encontrar uma solu¸c˜ao particular da EDO dada pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados ´e: 8 sen (2t) =ℑ(8ei2t). Resolva-se, pois, a EDO (D3+4D)[z(t)] =ei2tparaz(t) fun¸c˜ao complexa da vari´avel real t. MasP(D) = (D−2i)◦(D+ 2i)◦D, enquanto o anulador deei2t´eD−2i.
Compondo-os, tem-se (D−2i)2◦(D+2i)◦D, cuja EDO homogˆenea associada tem solu¸c˜ao completa dada porzc(t) +E4t ei2t, ondeE4 ∈C´e qualquer. Isto mostra que uma solu¸c˜ao particular para a EDO complexa n˜ao-homogˆenea
´e da forma Ht ei2t para um n´umero complexo H a ser determinado. Isto tamb´em pode ser visto ao se corrigir o termo H ei2t (tentativa gen´erica para m´ultiplos de ei2t) com o fator t1, onde o 1 ´e a multiplicidade da raiz 2i na equa¸c˜ao caracter´ıstica da EDO homogˆenea associada a P(D):
3
