FINANCEIRA MATEMÁTICA

Prof. Marcio Gomes

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MATEMÁTICA

FINANCEIRA

Noções sobre Fluxo de Caixa

O Pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou pagamentos, em dinheiro, previsto para determinado período de tempo.

Representação gráfica de fluxo de caixa

10.000

28.000

12.000

14.000

9.000

7.000

16.000

20.000

5 10 15 20

Exemplo de fluxo de caixa

O Um banco concede um empréstimo de R$ 40.000,00 a um cliente, para pagamento em 6 prestações iguais de R$

9.000,00. Represente graficamente o fluxo de caixa, do ponto de vista do BANCO e do CLIENTE.

Do ponto de vista do banco

0

1 2 3 4 5 6

40.000,00

9.000,00 9.000,00 9.000,00 9.000,00 9.000,00 9.000,00

Do ponto de vista do Cliente

0

1 2 3 4 5 6

40.000,00

9.000,00 9.000,00 9.000,00 9.000,00 9.000,00 9.000,00

Capitalização Composta

O É aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o valor futuro do PERÍODO ANTERIOR.

Comparação entre

capitalização simples e composta

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES taxa mensal i = 10%

meses PV Juros FV

1 100 10 110

2 110 10 120

3 120 10 130

4 130 10 140

5 140 10 150

6 150 10 160

7 160 10 170

8 170 10 180

9 180 10 190

10 190 10 200

11 200 10 210

12 210 10 220

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA taxa mensal i = 10%

mês PV Juros FV

1 100,00 10,00 110,00 2 110,00 11,00 121,00 3 121,00 12,10 133,10 4 133,10 13,31 146,41 5 146,41 14,64 161,05 6 161,05 16,11 177,16 7 177,16 17,72 194,87 8 194,87 19,49 214,36 9 214,36 21,44 235,79 10 235,79 23,58 259,37 11 259,37 25,94 285,31

12 285,31 28,53 313,84

Comparação entre

capitalização simples e composta

0 50 100 150 200 250 300 350

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

VALOR APLICADO

MÊSES

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

FÓRMULAS DOS JUROS COMPOSTOS

FV=PV (1+ i) ⁿ

J=PV[(1+ i) ⁿ – 1]

𝐏𝐕 = 𝐅𝐕 ∙ 𝟏

(𝟏 + 𝐢)

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES

• A taxa de juros (i) e o prazo (n) devem ser expressos na mesma unidade de tempo

• A taxa de juros (i) deve ser usada em valores unitários e não percentuais

• O fator (1 + i)ⁿ é chamado fator de acumulação de capital

Juros compostos na HP

12C

Funções financeiras da HP 12C

O [n]: calcula o número de períodos

O [i]: calcula a taxa de juros

O [PV]: calcula o valor presente

O [PMT]: calcula a prestação

O [FV]: calcula o valor futuro

O [CHS]: troca o sinal

EXERCÍCIO DE SALA 1

O No final de 2 anos, o Sr. Paulo deverá efetuar um pagamento de R$ 2.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4%am. Qual o valor emprestado?

DADOS:

FV = R$ 2.000,00 i(%) = 4% am.

n = 2 anos = 24 meses PV = ?

SOLUÇÃO

𝐏𝐕 = 𝐅𝐕 ∙ 𝟏 (𝟏 + 𝐢)^𝐧

𝐏𝐕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∙ _{𝟏+𝟎,𝟎𝟒}^𝟏 _𝟐𝟒 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∙ _{𝟏,𝟎𝟒}^𝟏 _𝟐𝟒 𝐏𝐕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟏

𝟐, 𝟓𝟔 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟑𝟗 = 𝑹$ 𝟕𝟖𝟏, 𝟐𝟓

OUTRA MANEIRA DE

RESOLVER O EXERCÍCIO DE SALA 1

DADOS:

FV = R$ 2.000,00 i(%) = 4% am.

n = 2 anos = 24 meses PV = ?

SOLUÇÃO

𝐏𝐕 = 𝐅𝐕 ∙ 𝟏 (𝟏 + 𝐢)^𝐧

𝐏𝐕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟏 𝟐, 𝟓𝟔 𝐏𝐕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟑𝟗

Consultando a tabela de fator de acumulação de capital

PV = 𝑹$ 𝟕𝟖𝟏, 𝟐𝟓

UTILIZANDO A HP 12C PRA RESOLVER O EXERCÍCIO DE

SALA 1

DADOS:

FV = R$ 2.000,00 i(%) = 4% am.

n = 2 anos = 24 meses PV = ?

SOLUÇÃO

[f]CLEAR[REG]

2000[FV ] 4[i]

24[n]

[PV] = 781,24

EXERCÍCIO DE SALA 2

A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$16.000,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$22.735,61 no final de 8 meses . Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

RESOLUÇÃO EXERCÍCIO DE SALA 2

DADOS:

FV = R$ 22.735,61 PV = R$ 16.000,00 n = 8 meses

i(%) = ?

SOLUÇÃO TRADICIONAL

𝑭𝑽 = 𝑷𝑽(𝟏 + 𝒊) ^𝒏

𝟐𝟐𝟕𝟑𝟓, 𝟔𝟏 = 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎(𝟏 + 𝒊) ^𝟖 𝟐𝟐𝟕𝟑𝟓, 𝟔𝟏

𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 = (𝟏 + 𝒊) ^𝟖

𝟏, 𝟒𝟐𝟏𝟎

𝟖 = (𝟏 + 𝒊)^{𝟖 𝟖}

𝟏, 𝟎𝟒𝟓 = 𝟏 + 𝒊

𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟓 = 𝟒, 𝟓%𝒂𝒎 𝟏, 𝟒𝟐𝟏𝟎 = (𝟏 + 𝒊) ^𝟖

RESOLUÇÃO EXERCÍCIO DE SALA 2

DADOS:

FV = R$ 22.735,61 PV = R$ 16.000,00 n = 8 meses

i(%) = ?

SOLUÇÃO UTILIZANDO HP 12C

[f]CLEAR[REG]

22735,61[FV ] 16000[CHS][PV]

8[n]

[i] = 4,49  4,5%

EXERCÍCIO DE SALA 3

O Em que prazo o empréstimo de R$

30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% am?

RESOLUÇÃO EXERCÍCIO DE SALA 3

SOLUÇÃO TRADICIONAL DADOS:

FV = R$ 51.310,18 PV = 30.000,00

i (%) = 5% am n = ?

𝑭𝑽 = 𝑷𝑽(𝟏 + 𝒊) ^𝒏 (𝟏 + 𝒊) ^𝒏= 𝑭𝑽

𝑷𝑽

(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓) ^𝒏= 𝟓𝟏𝟑𝟏𝟎, 𝟏𝟖 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 (𝟏, 𝟎𝟓) ^𝒏= 𝟏, 𝟕𝟏𝟎𝟑𝟒 𝒏 ∙ 𝒍𝒏𝟏, 𝟎𝟓 = 𝒍𝒏𝟏, 𝟕𝟏𝟎𝟑𝟒 𝒏 = 𝒍𝒏𝟏, 𝟕𝟏𝟎𝟑𝟒

𝒍𝒏𝟏, 𝟎𝟓 = 𝟎, 𝟓𝟑𝟔𝟔𝟗

𝟎, 𝟎𝟒𝟖𝟕𝟗 = 𝟏𝟏 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔

RESOLUÇÃO EXERCÍCIO DE SALA 3

SOLUÇÃO UTILIZANDO HP 12C DADOS:

FV = R$ 51.310,18 PV = 30.000,00

i (%) = 5% am n = ?

[f]CLEAR[REG]

51310,18[FV ]

30000[CHS][PV]

5[i]

[n] =11 meses

EQUIVALÊNCIA DE TAXAS

O Na capitalização composta, caso a taxa e o prazo não estejam na mesma base, é necessário torná-las equivalentes, ou seja, quando produzem o mesmo montante(FV) no final de determinado período, pela aplicação de um mesmo capital inicial(PV). Veja como se faz:

EQUIVALÊNCIA DE TAXAS

𝑃𝑉 1 + 𝑖_𝑎 = 𝑃𝑉(1 + 𝑖_𝑚)¹² 1 + 𝑖_𝑎 = (1 + 𝑖_𝑚)¹²

1 + 𝑖_𝑎 = (1 + 𝑖_𝑚)¹²

𝒊_𝒂 = (𝟏 + 𝒊_𝒎)^𝟏𝟐−𝟏 (cálculo da taxa anual)

1 + 𝑖_𝑎

12 = 1 + 𝑖_𝑚

𝒊_𝒎 = ^𝟏𝟐 𝟏 + 𝒊_𝒂 − 𝟏 (cálculo da taxa mensal)

FÓRMULA GENÉRICA PARA O CÁLCULO DA TAXA

EQUIVALENTE

𝒊

= (𝟏 + 𝒊

)

−𝟏

Onde:

𝒊_𝒒 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑢 𝑞𝑢𝑒𝑟𝑜 𝒊_𝒕 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑢 𝑡𝑒𝑛ℎ𝑜

𝒒 = 𝑝𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑢 𝑞𝑢𝑒𝑟𝑜 𝒕 = 𝑝𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑢 𝑡𝑒𝑛ℎ𝑜

EXERCÍCIOS DE SALA

1. Determinar a taxa anual equivalente a 2%

am.

2. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% aa.

3. Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ad.

4. Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos.

5. Determinar a taxa anual equivalente a 1% a quinzena.