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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA E INDUSTRIAL
BERNARDO FIGUEIREDO ANTUNES DE ABOIM ABRANTES Licenciado em Ciências da Engenharia Mecânica
Otimização de Topologia de Treliças considerando Encurvadura
MESTRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA Universidade NOVA de Lisboa
Novembro, 2021
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA E INDUSTRIAL
OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA DE TRELIÇAS CONSIDERANDO ENCURVADURA
BERNARDO FIGUEIREDO ANTUNES DE ABOIM ABRANTES
Licenciado em ciências da engenharia mecânica
Orientador: Professor Doutor João Mário Burguete Botelho Cardoso Professor Auxiliar, Universidade NOVA de Lisboa
MESTRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA Universidade NOVA de Lisboa
Novembro, 2021
Júri:
Presidente: Tiago Alexandre Narciso da Silva, Professor Auxiliar, FCT-NOVA Arguentes: Pedro Samuel Gonçalves Coelho,
Professor Auxiliar, FCT-NOVA
Orientador: João Mário Burguete Botelho Cardoso, Professor Auxiliar, FCT-NOVA
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Otimização de Topologia de Treliças considerando Encurvadura
Copyright © Bernardo Figueiredo Antunes de Aboim Abrantes, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa.
A Faculdade de Ciências e Tecnologia e a Universidade Nova de Lisboa têm o direito, perpétuo e sem limites geográficos, de arquivar e publicar esta dissertação através de exemplares impressos reproduzidos em papel ou de forma digital, ou por qualquer outro meio conhecido ou que venha a ser inventado, e de a divulgar através de repositórios científicos e de admitir a sua cópia e distribuição com objetivos educacionais ou de investigação, não comerciais, desde que seja dado crédito ao autor e editor.
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À minha avó, Elsa
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Agradecimentos
Em primeiro lugar, gostaria de agradecer ao meu orientador, Professor Dr. João Cardoso, por ter depositado em mim a confiança para abordar esta temática. Tanto o seu apoio como a sua disponibilidade sempre que surgiram adversidades se provaram fatores determinantes para o sucesso desta dissertação. Agradeço-lhe a constante motivação e o facto de me ter instruído, não só neste período como ao longo da minha formação académica.
Agradeço aos professores do departamento, por terem sedimentado o meu conhecimento e me terem dado ferramentas para enfrentar o futuro.
Aos meus amigos, Bernardo Simões, Daniel Ferreira e João Horta, agradeço a amizade e os momentos partilhados tanto de estudo como de lazer que, de certa forma, facilitaram esta jornada.
À minha namorada agradeço todo o suporte e compreensão que deu incondicionalmente todos estes anos.
Finalmente, quero agradecer aos meus pais, que sempre me desejaram o melhor e sem os quais não seria possível chegar até aqui.
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Resumo
A presente dissertação surge no seguimento do trabalho desenvolvido por Ana Silva [1], que adicionou o cálculo das sensibilidades não lineares ao programa PROAES_NL e validou o seu funcionamento. O objetivo é a criação de um algoritmo de otimização de topologia de treliças, onde se aplica uma metodologia para considerar o problema de encurvadura de barras.
Este fenómeno é crucial no projeto de estruturas e a seu controlo realizando análise linear é altamente complexo sendo, portanto, necessário recorrer à análise não- linear. Porém, dada a natureza do fenómeno, a transição de uma estrutura estável para instável surge muitas vezes de forma abrupta, impedindo a convergência das soluções.
Assim, neste trabalho, foi estudada a introdução de imperfeições geométricas tanto na estrutura como nos elementos que a constituem, de forma a suavizar a transição do domínio estável para instável. Aos elementos barra foram aplicados empenos e às treliças aplicados deslocamentos nas posições dos nós.
Para conseguir aplicar empeno nas barras, cada barra foi modelada por 3 elementos viga utilizando a formulação corrotacional. Foi utilizado o método de análise incremental-iterativa que alia o método de Newton-Raphson a um aumento gradual de carregamento. Para fazer a otimização estrutural, utilizou-se o método de ground structure, tendo sido utilizado o algoritmo SQP com a formulação de minimizar a flexibilidade (compliance), sujeito a um constrangimento de volume. Tudo isto foi implementado com recurso aos algoritmos constituintes do programa PROAES_NL.
Inicialmente foi atestado o bom funcionamento tanto do programa PROAES como do programa PROAES_NL. Verificou-se que o programa é tanto capaz de efetuar o cálculo de gradientes por análise de sensibilidades como por diferenças finitas.
Após terem sido criados os algoritmos, foram testados vários exemplos, de forma a testar a aplicabilidade da metodologia e a influência em cada parâmetro, utilizando o PROAES_NL. Os resultados foram positivos, aproximando-se dos obtidos na literatura.
Palavras-chave: Instabilidade, Encurvadura, Imperfeições Geométricas, Ground Structure, Análise Não-Linear, Otimização de Topologia
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Abstract
The present thesis follows the work developed by Ana Silva [1], who included the non linear sensitivity analysis to the program PROAES_NL and validated its performance. The goal is to create an algorithm for the topology optimization of trusses, where a method is used to consider the problem of buckling in bars.
This phenomenon is critical in structure design and controlling it by performing a linear analysis is highly complex, requiring the use of non linear analysis. However, due to the nature of the phenomenon, the transition between the stable and the unstable domains often occurs in an abruptly way and prevents the convergence of the solutions.
Therefore, in this work, the introduction of geometrical imperfections was studied both for the structure and the elements that compose the structure, in order to smoothen the transition from stable domain to the unstable one. A warp was applied to bar elements and a displacement was applied to the nodes positions.
To achieve an initial deformation in the bars, each bar was modelled by 3 beam elements using the corotational method. An iterative-incremental analysis method was used, which joins the Newton-Raphson method to a gradual increase of the load. In order to perform the structural optimization, the ground structure method was applied, using the SQP algorithm with minimum compliance while subjected to volume constraints. All this was implemented using the algorithms contained within the PROAES_NL program.
The performance of both PROAES and PROAES_NL was initially checked. The program proved to be able to calculate the gradients by sensitivity analysis and by finite differences.
After the creation of the algorithms, several examples were tested to demonstrate the method and the influence of each parameter, using PROAES_NL. The results were positive, being similar to those found on the literature.
Keywords: Buckling, Geometrical imperfections, Ground Structure, Non Linear Analysis, Topology Optimization
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Índice de Conteúdo
Agradecimentos ... VII Resumo ... IX Abstract ... XI Índice de Conteúdo ... XIII Índice de Figuras ... XV Índice de Tabelas ... XVII
Capítulo 1 – Introdução ... 1
1.1 – Enquadramento Geral e Motivação ... 1
1.2 – Objetivos da Dissertação ... 3
1.3 – Estrutura do Relatório ... 3
Capítulo 2 – Revisão de Literatura ... 5
2.1 – Otimização Estrutural ... 5
2.2 – Estabilidade e Encurvadura ... 9
2.3 – Energia Potencial Total e Energia de Deformação ... 13
2.4 – Análise Não Linear ... 17
2.5 – Imperfeições Geométricas ... 24
Capítulo 3 – Metodologia ... 27
Capítulo 4 – Otimização de Topologia ... 33
4.1 – Exemplo 1 – Treliça de 11 barras ... 33
4.2 – Exemplo 2 – Treliça de 38 barras ... 51
4.3 – Exemplo 3 – Treliça de 46 barras ... 55
Capítulo 5 - Conclusões e sugestões de desenvolvimento futuro ... 59
Referências Bibliográficas ... 61
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Índice de Figuras
Figura 2.1-Domínio de projeto e otimização de uma folha de árvore. Retirado de [5] ... 6
Figura 2.2-Comparação entre otimização e folha real. Retirado de [5] ... 6
Figura 2.3-Tipos de otimização. Retirado de [2] ... 7
Figura 2.4-Ground structure inicial ... 8
Figura 2.5-Solução ótima... 8
Figura 2.6-Conceito de estabilidade. Retirado de [10] ... 10
Figura 2.7-Comprimentos equivalentes de encurvadura. Retirado de [10] ... 11
Figura 2.8-Trajetória de carregamento de uma barra perfeita. Retirado de [11] ... 11
Figura 2.9-Referencial para o cálculo da energia de deformação. Retirado de [16] ... 14
Figura 2.10-Variação do comprimento da viga comprimida. Retirado de [16] ... 15
Figura 2.11-Fenómeno de Snap-Through ... 18
Figura 2.12-Diferença entre a análise linear e não linear. Retirado de [16] ... 19
Figura 2.13-Método iterativo de Newton-Raphson. Retirado de [16] ... 20
Figura 2.14-Análise incremental-iterativa. Retirado de [16]... 22
Figura 2.15-Trajetória de carregamento de uma barra com imperfeições. Retirado de [11] .... 24
Figura 2.16-Introdução de imperfeições locais numa ground structure. Retirado de [23] ... 25
Figura 2.17-Introdução de imperfeições globais numa ground structure. Retirado de [24] ... 25
Figura 3.1-Esquema de funcionamento do PROAES. Retirado de [26] ... 28
Figura 3.2-Fluxograma do funcionamento do PROAES. Retirado de [26] ... 29
Figura 3.3-Fluxograma do funcionamento do PROAES_NL_sem_arco ... 31
Figura 4.1-Domínio e imperfeições locais e globais. Retirado de [24] ... 33
Figura 4.2-Barra perfeita e barra imperfeita. Retirado de [24]... 34
Figura 4.3-Soluções ótimas da treliça de 11 barras. Retirado de [24] ... 34
Figura 4.4-Respostas das 6 soluções para: a) pequenos deslocamentos; b) grandes deslocamentos. Retirado de [24] ... 35
Figura 4.5-Ground structure do exemplo 1 ... 36
Figura 4.6- Otimização com sensibilidades calculadas pelo PROAES_NL_sem_arco ... 38
Figura 4.7-Soluções das otimizações linear e não linear da treliça sem imperfeições com P=- 300N ... 38
Figura 4.8-Semelhança entre a análise linear e a análise não linear para cargas baixas ... 39
Figura 4.9-Estabilidade da treliça otimizada com análise não linear e P=-150N ... 40
Figura 4.10-Estabilidade da treliça otimizada com análise não linear e P=-300N ... 41
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Figura 4.11-Estabilidade da treliça otimizada com análise linear e P=-300N ... 42
Figura 4.12-Introdução de imperfeições na treliça de 11 barras ... 43
Figura 4.13-Imperfeições locais e globais na treliça de 11 barras ... 44
Figura 4.14-Treliças iniciais com empenos=0.15 e P=-150N ... 44
Figura 4.15- Treliças otimizadas com empenos 0.15 e P=-150N ... 45
Figura 4.16-Solução ótima para empeno 0.15 e P=-150N ... 45
Figura 4.17-Solução ótima para imperfeição global 0.15 e P=-150N ... 46
Figura 4.18-Solução ótima para imperfeição local=0.15 e global=0.15 e P=-300N ... 47
Figura 4.19-Estabilidade da treliça otimizada com imperfeições locais e globais=0.15 e P=-300N ... 49
Figura 4.20- Influencia das imperfeições na função objetivo ... 49
Figura 4.21-Respostas das treliças ótimas ... 50
Figura 4.22-Ground structure do exemplo 2. Retirado de [1] ... 51
Figura 4.23-Solução ótima da treliça de 38 barras sem imperfeições ... 52
Figura 4.24-Solução ótima da treliça de 38 barras com imperfeição global=0.2 ... 54
Figura 4.25-Solução ótima da treliça de 38 barras adaptada ... 54
Figura 4.26-Ground structure do exemplo 3. Retirado de [1] ... 55
Figura 4.27-Solução ótima da treliça de 46 barras sem imperfeições ... 56
Figura 4.28-Solução ótima da treliça de 46 barras com imperfeição local=0.3 ... 57
Figura 4.29-Solução ótima da treliça de 46 barras com imperfeição global=0.3 ... 57
XVII
Índice de Tabelas
Tabela 4.1-Tipos de imperfeição aplicada para cada combinação ... 35
Tabela 4.2-Resultados das otimizações linear e não linear da treliça sem imperfeições com P=- 300N ... 39
Tabela 4.3-Esforços da treliça otimizada com análise não linear e P=-150N ... 40
Tabela 4.4-Esforços da treliça otimizada com análise não linear e P=-300N ... 41
Tabela 4.5-Esforços da treliça otimizada com análise linear e P=-300N ... 42
Tabela 4.6-Áreas ótimas para empeno 0.15 e P=-150N... 46
Tabela 4.7-Áreas ótimas para imperfeição global 0.15 e P=-150N ... 47
Tabela 4.8-Áreas ótimas para imperfeição local=0.15 e global=0.15 e P=-300N ... 48
Tabela 4.9-Esforços da treliça otimizada com imperfeições locais e globais=0.15 e P=-300N ... 48
Tabela 4.10-Áreas ótimas para a treliça de 38 barras sem imperfeições com P=-100N ... 53 Tabela 4.11-Áreas ótimas para a treliça de 38 barras com imperfeições globais=0.2 e P=-50N 54
XVIII
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Capítulo 1 – Introdução
1.1 – Enquadramento Geral e Motivação
A função principal duma estrutura é resistir a solicitações e no projeto de estruturas, os engenheiros procuram cada vez mais que as estruturas o façam da forma mais eficiente possível. De forma a conseguir isto, é necessário fazer sucessivas análises estruturais, otimizando as estruturas para um certo objetivo ao mesmo tempo que são respeitadas limitações de diversos tipos.
A análise estrutural baseia-se no estudo da resposta duma estrutura após lhe ser aplicado um carregamento. A resposta pode ser estudada por exemplo a nível de tensões ou de deslocamentos. Para isto, podem ser aplicados os tradicionais métodos analíticos, métodos experimentais ou então métodos numéricos como o método dos elementos finitos (MEF) que se baseiam na discretização da estrutura em elementos finitos que compõem uma malha. Tanto os métodos analíticos como os experimentais se tornam inviáveis à medida que se vão estudando estruturas cada vez mais complexas e é por isso mais comum a utilização dos métodos numéricos em ambientes como o ANSYS ou MATLAB, entre outros. A obtenção da resposta nestes métodos passa pela resolução de complexos sistemas de equações e que são tanto mais extensos quanto mais refinada for a malha de elementos.
O conceito de otimização é cada vez mais utilizado, sendo esta uma tendência futura. No âmbito de otimização estrutural, a ideia base é definir variáveis de projeto contínuas ou discretas, de modo a minimizar ou maximizar uma função objetivo ao mesmo tempo que são respeitados constrangimentos necessários para garantir a integridade estrutural [2]. A otimização estrutural subdivide-se em três tipos, sendo estes a otimização dimensional, a otimização de forma e a otimização de topologia, que são aplicadas em diferentes fases do projeto de estruturas.
A otimização de topologia surge numa fase conceptual de projeto e pode ser vista como a forma mais eficiente de distribuir material por um domínio pré-definido. Na maior parte dos casos, este tipo de otimização é feito aplicando modelos contínuos e embora estes estejam bastante bem estudados, a sua aplicabilidade direta é limitada e para gerar
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as formas obtidas é muitas vezes necessário utilizar componentes não normalizados e processos de fabrico bastante específicos, o que acaba por se traduzir em custos mais elevados. Com o crescimento exponencial da tecnologia, para além de um grande poder de processamento que solidifica os métodos computacionais, surgem também novas técnicas de produção como é o caso do fabrico por manufatura aditiva. Com esta técnica, é possível reproduzir as formas complexas obtidas a partir da otimização de topologia com modelos contínuos, estando a ser ultrapassadas as limitações a nível de materiais impressos, resistência e dimensões, inerentes ao aparecimento de uma nova tecnologia.
A um nível industrial, é possível atualmente a utilização de lasers para a fusão de pós metálicos em camadas, aliando a otimização de topologia ao fabrico aditivo para produzir componentes altamente eficientes que resistem tanto a um estado elevado de tensões como de temperaturas, mantendo uma massa reduzida [3]. Por enquanto, o custo elevado, a complexidade do processo e a baixa cadência de produção tornam estes métodos limitados.
Para otimização de treliças, é muito comum a utilização de modelos discretos, como o Ground Structure approach, específico para estruturas reticuladas. Neste método, o domínio é definido por uma rede de nós com diversas barras a ligar esses nós, estando a complexidade do método dependente do número de nós e conectividades. Depois, são removidas todas as barras que não contribuam de forma significativa para a integridade estrutural até serem satisfeitos os critérios de otimização e de projeto.
As treliças são estruturas bastante utilizadas em engenharia, caraterizadas por serem muito rígidas. A otimização das mesmas tem por objetivo aumentar o rácio rigidez/peso. Porém, após a otimização e devido ao fenómeno de encurvadura a que estão sujeitos os membros à compressão, as estruturas não verificam por vezes os critérios de estabilidade, pondo em causa a validade dos modelos utilizados. Este fenómeno tem caráter não linear altamente complexo [4], o que faz com que uma carga admissível pelo limite elástico possa ser acompanhada de grandes deformações, instabilizando a estrutura.
Pelo facto de a estabilidade ser tão crítica no sucesso dum projeto, a sua correta implementação torna-se imprescindível para o desenvolvimento da otimização de topologia de treliças em modelos discretos.
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1.2 – Objetivos da Dissertação
Existe um vasto leque de publicações com respeito a otimização de topologia com pequenos deslocamentos. Porém, não existem muitos trabalhos sobre grandes deslocamentos e considerando a estabilidade. Assim, o principal objetivo desta dissertação é o desenvolvimento de uma metodologia que consiga suavizar a transição do domínio estável para o domínio instável, fazendo com que o algoritmo reconheça que a estrutura deixa de ter comportamento linear, mas que mesmo assim possibilite a convergência do mesmo.
Em [1], Ana Silva validou o programa PROAES_NL, desenvolvido pelo professor auxiliar do DEMI, professor doutor João Cardoso, da Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade Nova de Lisboa, ao qual adicionou a parte de análise de sensibilidades não lineares que calculam as derivadas dos deslocamentos nos nós em relação às áreas das barras.
Esta dissertação desenvolve uma metodologia de otimização de topologia de treliças com o método ground structure approach, recorrendo a análises não lineares no programa PROAES_NL e considerando uma geometria inicial com imperfeições, semelhante à apresentada em [24].
1.3 – Estrutura do Relatório
O presente trabalho encontra-se dividido em 5 partes. Neste capítulo foi feita uma breve introdução e explicado qual o propósito da dissertação. De seguida, no capítulo 2 é realizada uma revisão de literatura enquanto são relembrados alguns conceitos fundamentais como a encurvadura. No capítulo 3, é apresentada a metodologia proposta para incluir de forma implícita a encurvadura nas barras e no capítulo 4 é discutida a otimização de topologia de treliças e apresentados exemplos. Finalmente, no capítulo 5 é feito um balanço do trabalho desenvolvido e são apresentadas sugestões de desenvolvimento futuro.
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Capítulo 2 – Revisão de Literatura
2.1 – Otimização Estrutural
Otimização é um conceito aplicado nas mais diversas áreas. Representa a procura do ótimo. No caso da otimização estrutural, procura a estrutura mais eficiente possível que respeite os critérios de serviço. Segundo [2], “Consiste em determinar um conjunto de parâmetros de uma estrutura (as variáveis de projecto) de modo a minimizar ou maximizar uma função de custo (ou função objetivo) sem violar determinados constrangimentos relacionados com a integridade estrutural”. É um processo iterativo, controlado por um algoritmo de otimização que progressivamente tenta que a função objetivo convirja para um valor ótimo ao mesmo tempo que respeita os limites definidos pelos constrangimentos.
Muitas vezes, quando deparados com um problema, os engenheiros procuram inspiração nas soluções estruturais encontradas pela natureza. Este é um campo de estudo denominado biomimética. Desde fatos de natação inspirados no baixo arrasto hidrodinâmico da pele de animais marinhos, perfis de aviões a jato inspirados na aerodinâmica de aves de rapina, são vários os exemplos. O motivo pelo qual é válido adaptar estas soluções é que também na natureza existe otimização estrutural, e que também acaba por ser um processo iterativo onde a informação é passada para a iteração seguinte através do código genético, adaptando a “estrutura” para as condições que existem no domínio. Em [5], o autor utilizou a otimização de topologia pelo método de ground structure (método geralmente aplicado em treliças) para otimizar um domínio retangular do tamanho duma folha de árvore, simulando o mesmo tipo de apoio (caule) e aplica um carregamento distribuído como se a folha estivesse a ser otimizada para resistir ao vento. Nas figuras 2.1 e 2.2, podem ver-se as condições de carregamento e os resultados da otimização comparados com o design real da folha, respetivamente.
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Figura 2.1-Domínio de projeto e otimização de uma folha de árvore. Retirado de [5]
Figura 2.2-Comparação entre otimização e folha real. Retirado de [5]
Em engenharia, a otimização estrutural tem cerca de 100 anos sendo que ganhou mais expressão quando em 1960, Schmit aliou a utilização de elementos finitos com os métodos numéricos de otimização [2]. A partir dessa data, surgiram inúmeros algoritmos, com a programação não linear a permitir a otimização de problemas com funções objetivo ou constrangimentos não lineares. Um dos algoritmos mais utilizado de programação não linear é o algoritmo SQP (Sequential Quadratic Programming), cuja utilização é devida a Wilson [6] e que foi posteriormente desenvolvido por Han [7], sendo bastante versátil e permitindo obter bons resultados até para problemas com um número considerável de variáveis de projeto.
A otimização estrutural ramifica-se em 3 tipos sendo estes a otimização dimensional, a otimização de forma e a otimização de topologia. Cada um destes tipos é utilizado em fases distintas dum projeto, como se ilustra na figura 2.3.
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Figura 2.3-Tipos de otimização. Retirado de [2]
Na otimização dimensional a forma é fixa e a topologia também, variando apenas os materiais utilizados e/ou as dimensões.
Na otimização de forma, a topologia é fixa e varia a forma. As variáveis de projeto definem os limites do domínio que se está a fazer variar.
Finalmente, a otimização de topologia é uma generalização das anteriores mas neste caso existe a possibilidade de se criarem furos no domínio inicial e de as fronteiras iniciais serem eliminadas.
Os problemas de otimização topológica são por norma discretos, em que existe ou não material em cada porção do domínio. No entanto, muitas vezes eles podem ser resolvidos através de métodos com variáveis contínuas. Existem duas grandes famílias de métodos, uma que trata de otimizar a topologia de um domínio contínuo, em 2D ou 3D e outra que é específica para estruturas do tipo treliça. No primeiro caso pode empregar-se a densidade em cada ponto do domínio como a variável contínua que define a topologia.
No segundo caso é a área da secção transversal de cada barra que define a topologia, assumindo-se que barras com área de secção inferior a um valor prescrito não são necessárias na solução final.
O método escolhido para esta dissertação é designado ground structure approach, e é específico para estruturas reticuladas como é o caso das treliças. Baseia-se na criação de conectividades (nós), espalhados por um domínio às quais são ligadas barras, modeladas por elementos finitos formando uma malha. O número de nós, barras e a
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densidade da malha ditam a complexidade da otimização, com o custo computacional a ser proporcional a essa mesma complexidade. A otimização da ground structure é feita utilizando variáveis de projeto contínuas que representam a área das secções das barras.
Estas variáveis variam entre um valor máximo e um valor mínimo, para o qual as barras são consideradas como irrelevantes para a integridade estrutural e removidas. A otimização com recurso a este método passa por fazer sucessivas análises por elementos finitos, ficando apenas as barras que garantem o melhor valor da função objetivo respeitando os constrangimentos. Em baixo, apresenta-se na figura 2.4 e 2.5 uma ground structure inicial e o layout ótimo, respetivamente.
Figura 2.4-Ground structure inicial
Figura 2.5-Solução ótima
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Um problema de otimização estrutural é matematicamente formulado na forma clássica, como representado pela expressão 2.1:
Onde 𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) é o vetor das 𝑛 variáveis de projeto, 𝑓(𝒙) é a função objetivo, e as funções 𝑔𝑗(𝒙) são os 𝑚 constrangimentos de desigualdade, ℎ𝑘(𝒙) são os 𝑝 constrangimentos de igualdade, 𝑥𝑖𝑙 e 𝑥𝑖𝑢 são os limites inferior e superior de variação das variáveis 𝑥𝑖, respetivamente. Tipicamente, o projeto ótimo utiliza como funções objetivo a minimização de peso ou minimização de flexibilidade, com constrangimentos de volume, de deslocamento ou de tensão.
2.2 – Estabilidade e Encurvadura
O fenómeno da estabilidade, também designado de encurvadura quando aplicado a vigas, é de extrema importância para o projeto de elementos estruturais. Um sistema é considerado estável quando uma pequena perturbação das suas condições iniciais (carregamento) não causa alterações significativas na sua solução de equilíbrio
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(deformada). Um exemplo simples com uma bola livre de rolar sobre uma superfície, retirado de [10], demonstra este conceito de equilíbrio.
Em determinadas condições, uma estrutura pode subitamente passar de um equilíbrio estável para um equilíbrio instável. Nesse caso, qualquer perturbação provoca grandes deslocamentos e o eventual colapso. A falha por encurvadura pode aparecer muito antes de serem atingidos os restantes limites de serviço e é fundamental garantir que não só é controlada a tensão como também os deslocamentos e a estabilidade.
Este fenómeno (buckling em inglês) surge quando membros sob compressão atingem instantaneamente um estado de perda de rigidez axial acompanhado de grandes deslocamentos indesejados. Existem diversos tipos de encurvadura, para barras de treliças pode ocorrer a encurvadura local de uma barra. Mas toda a estrutura pode instabilizar e nesse caso considera-se encurvadura global. O matemático suíço Leonard Euler (1707- 1783) estudou o fenómeno da encurvadura de colunas e chegou a um valor de carga crítica de encurvadura, isto é, a carga de compressão que está associada à passagem da situação de equilíbrio estável para equilíbrio instável. Esse valor é dado pela fórmula de Euler (2.2).
𝑃𝑐𝑟 = 𝜋2𝐸𝐼
𝐿2𝑒 (2.2)
Sendo 𝐸 o módulo de Young e 𝐼 o segundo momento de área, 𝐿𝑒 representa o comprimento equivalente de encurvadura, que depende das condições de apoio do elemento estrutural como indicado na figura 2.7.
Figura 2.6-Conceito de estabilidade. Retirado de [10]
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Para cada barra constituinte duma treliça, o seu comprimento equivalente de encurvadura pode ser considerado igual ao próprio comprimento.
O que torna a encurvadura um fenómeno tão catastrófico é que não se desenvolve proporcionalmente. Isto significa que para níveis baixos de compressão, o membro não sofre qualquer tipo de anomalia, mas quando se atinge a carga crítica pode existir um colapso imediato e completo da estrutura. Isto pode ser exemplificado recorrendo a um gráfico força-deslocamento, retirado de [11].
Figura 2.8-Trajetória de carregamento de uma barra perfeita. Retirado de [11]
Figura 2.7-Comprimentos equivalentes de encurvadura. Retirado de [10]
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Na figura 2.8 vê-se à esquerda uma coluna perfeita a ser carregada pela força 𝑃, com 𝑤 a representar o deslocamento perpendicular ao eixo. Á direita, é ilustrada a trajetória de carregamento da coluna. Para carga inferior a 𝑃𝑐𝑟 o equilíbrio é estável e não existe qualquer deslocamento transversal à medida que a força aumenta. Quando é atingido 𝑃𝑐𝑟, a trajetória de carregamento muda do domínio estável para instável no ponto de bifurcação com a coluna a perder a sua capacidade de resistir à carga e a sofrer grandes deslocamentos transversais, não sendo possível prever matematicamente o sentido do deslocamento.
No caso de uma treliça constituída por múltiplas barras, podem ser destacados 3 tipos de instabilidade. Instabilidade local, global e instabilidade em cadeia. A instabilidade local diz respeito à esbelteza de cada barra considerando a fórmula de Euler.
A instabilidade global relaciona-se com a rigidez da treliça e variação da posição dos nós.
Por último, a instabilidade em cadeia resulta do aparecimento de longas cadeias de membros colineares.
Segundo [12], o projeto ótimo com a minimização do peso ou compliance pode facilmente indicar estruturas com baixos níveis de estabilidade. Embora a otimização estrutural com encurvadura tenha sido bastante estudada para vigas onde existe até uma expressão para as condições de otimalidade, tem havido um grande esforço para o projeto de treliças com encurvadura.
Inicialmente, a estabilidade foi imposta a nível local com constrangimentos de tensão ou deslocamentos para cada elemento em trabalhos como [4], aumentando significativamente o número de constrangimentos. Zhou [13] identificou na ground structure problemas de continuidade pelo desaparecimento de barras e instabilidade com cadeias de membros colineares à compressão ligadas por nós. Na formulação clássica com apenas constrangimentos de tensão, podem ser removidos os nós entre cadeias sem comprometer a solução. No entanto, ao considerar constrangimentos de Euler, a remoção de nós altera o comprimento equivalente de encurvadura e leva a soluções sub-ótimas.
Assim, Rozvany [14] introduziu imperfeições geométricas para identificar cadeias instáveis e prevenir a encurvadura através da adição de uma barra de reforço na cadeia.
Achtziger [4], sugeriu uma formulação matemática que consegue identificar e substituir cada cadeia de barras por uma única barra utilizando constrangimentos baseados em penalizações. Outras formulações consideram a estabilidade em cadeia utilizando
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sobreposição de barras com recurso a variáveis mistas, como é o caso de [15]. No caso da estabilidade global, o problema costuma ser abordado através da imposição de um constrangimento que obriga a matriz de rigidez a ser positiva semi-definida ou então através da resolução de um problema de valores e vetores próprios.
2.3 – Energia Potencial Total e Energia de Deformação
Existe uma abordagem energética da estabilidade, o princípio da energia potencial total estacionária, onde o conceito de estabilidade está associado a um mínimo local da energia potencial total. A utilização deste princípio permite a formulação do método dos elementos finitos, sendo que, para fazer uma análise de estabilidade, é necessário incluir a contribuição da energia de deformação elástica na expressão da energia potencial.
De acordo com [16], a energia potencial total, π, pode ser obtida através da soma da energia de deformação do sistema, U, com a energia potencial das forças aplicadas, V.
𝜋 = 𝑈 + V (2.3)
A energia de deformação para um corpo de volume V é dada por:
𝑈 =1
2∫ 𝜎𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 𝑑𝑉
𝑉
(2.4)
Considerando apenas carregamento axial, o único produto 𝜎𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 diferente de zero é 𝜎11 𝜀11. Assumindo que a tensão e extensão é igual em todos os pontos da mesma secção transversal, então 𝜎11= 𝑃/𝐴, com P a representar a carga axial e A a área da secção.
Admite-se comportamento linear elástico, com 𝜎𝑖𝑗 = 𝐸 𝜀𝑖𝑗, sendo E o módulo de Young.
Com base no referencial indicado na figura 2.9, a expressão 2.4 toma a seguinte forma:
𝑈 =1
2∫ ∫ 𝐸 𝜀112 𝑑𝐴 𝑑𝑥1
𝐴 𝐿
0
(2.5)
14
Figura 2.9-Referencial para o cálculo da energia de deformação dos elementos barra. Retirado de [16]
Assumindo que o deslocamento varia linearmente ao longo do comprimento e utilizando funções de forma, a energia de deformação é:
𝑈 =1
2{𝑢𝐼 𝑢𝐼𝐼} 𝐾𝑗𝑘 {𝑢𝐼
𝑢𝐼𝐼} (2.6)
Onde K, a matriz de rigidez, que contabiliza a energia de deformação associada ao carregamento axial é:
𝐾𝑗𝑘 = [ 𝐴𝐸
𝐿 −𝐴𝐸
𝐿
−𝐴𝐸 𝐿
𝐴𝐸 𝐿
] (2.7)
A energia potencial que é introduzida num corpo por uma força é igual ao produto da força pelo deslocamento do seu ponto de aplicação. Terá sinal negativo caso o deslocamento tenha o mesmo sentido da força e sinal positivo no caso contrário.
Considerando forças aplicadas nos nós no sentido do eixo 𝑥1 do referencial da figura 2.9, a energia potencial é:
V = −𝑢𝑗𝐹𝑗 = −{𝑢𝐼 𝑢𝐼𝐼} {𝑓𝐼
𝑓𝐼𝐼} (2.8)
A energia potencial total fica então:
𝜋 =1
2{𝑢𝐼 𝑢𝐼𝐼} 𝐾𝑗𝑘 {𝑢𝐼
𝑢𝐼𝐼} − {𝑢𝐼 𝑢𝐼𝐼} {𝑓𝐼
𝑓𝐼𝐼} (2.9)
Para encontrar uma posição de equilíbrio, é necessário encontrar um ponto de estacionaridade na energia potencial, ou seja, que a derivada de 𝜋 em relação aos deslocamentos dos nós seja zero.
15
𝜕𝜋
𝜕𝑢𝑘 = 𝐾𝑗𝑘 {𝑢𝐼
𝑢𝐼𝐼} − {𝑓𝐼
𝑓𝐼𝐼} = 0 (2.10)
Para obter os deslocamentos dos nós, basta resolver o sistema linear de equações 2.11.
[𝑲] ∙ {𝒖} = {𝒇} (2.11)
Quando os esforços internos de compressão são de magnitude elevada, o ponto de aplicação da força pode sofrer deslocamento devido à flexão da viga. Nesse momento, deixa de haver uma relação linear entre forças e deslocamentos e a viga passa a ter comportamento não linear. A matriz de rigidez passa então a depender dos deslocamentos axiais dos nós, havendo uma perda de rigidez à flexão com essa carga de compressão. A variação da energia potencial pode ser tida em conta pela variação do comprimento da viga por flexão. Na figura 2.10, ilustra-se esse fenómeno.
Figura 2.10-Variação do comprimento da viga comprimida. Retirado de [16]
O deslocamento δ pode ser dado por:
𝛿 =1
2∫ 𝑢2,12 𝑑𝑥1
𝐿
0
(2.12)
A energia potencial associada à força de compressão P é:
V = −𝑃 𝛿 = −𝑃
2∫ 𝑢2,12 𝑑𝑥1
𝐿
0
(2.13)
Recorrendo a funções de forma para vigas sujeitas à flexão, toma a seguinte forma:
V = −𝑃
2𝑢𝑗 𝐺𝑗𝑘 𝑢𝑘 (2.14) Onde G é a matriz geométrica da viga, cujos coeficientes devem ser multiplicados por P e subtraídos à matriz de rigidez K para obter a diminuição de rigidez.
16 𝐺𝑗𝑘 =
[ 6
5𝐿 1
10 − 6
5𝐿 1 10 1
10 2𝐿
15 − 1
10 − 𝐿
30
− 6
5𝐿 − 1
10 6
5𝐿 − 1
10 1
10 − 𝐿
30 − 1
10 2𝐿 15]
(2.15)
A energia potencial total, π, passa então a ser uma função de várias incógnitas.
São elas o deslocamentos e rotações nos nós, organizados no vetor de deslocamentos generalizados, 𝑢𝑗, para 6 graus de liberdade.
𝑢𝑗 = {𝑢𝐼 𝑣𝐼 𝜃𝐼 𝑢𝐼𝐼 𝑣𝐼𝐼 𝜃𝐼𝐼} (2.16)
𝜋 =1
2𝑢𝑗𝐾𝑗𝑘𝑢𝑘−𝑃
2𝑢𝑗𝐺𝑗𝑘𝑢𝑘− 𝑢𝑗𝐹𝑗 (2.17) A primeira parcela da energia potencial total (2.17) diz respeito à energia de deformação devido à aplicação de cargas. A segunda parcela contabiliza as alterações de rigidez que advém da não linearidade geométrica que ocorre para cargas axiais elevadas.
A última parcela representa a contribuição da energia potencial associada às forças e momentos externos.
As posições de equilíbrio podem agora ser encontradas através dos pontos de estacionaridade da energia potencial total. Derivando a equação (2.17) em ordem a 𝑢𝑗 e igualando a zero, obtém-se a equação de equilíbrio:
(𝐾𝑗𝑘− 𝑃𝐺𝑗𝑘)𝑢𝑘 = 𝐹𝑗 (2.18)
A equação 2.18 pode ser utilizada para resolver diversos tipos de problemas. O mais usual é considerar comportamento linear com a matriz geométrica nula, ficando:
𝐾𝑗𝑘𝑢𝑘 = 𝐹𝑗 𝑜𝑢 [𝑲] ∙ {𝒖} = {𝒇} (2.19)
Esta é uma formulação clássica de análise linear composta por um sistema de equações lineares, que, para um carregamento externo 𝐹𝑗, permite conhecer tanto os deslocamentos como os esforços internos na viga. Pelo facto de ser um sistema de equações, a sua implementação computacional é bastante eficiente, com baixo custo computacional ao mesmo tempo que permite bons resultados.
17
Se for contabilizado o comportamento não linear, a equação 2.17 pode ser abordada de duas formas. Não havendo carregamento externo aplicado nos nós ou cargas distribuídas, 𝐹𝑗 é zero e a equação de equilíbrio fica:
(𝐾𝑗𝑘− 𝑃𝐺𝑗𝑘)𝑢𝑘 = 0 (2.20)
A equação 2.20 representa um problema de valores e vetores próprios cuja resolução fornece as cargas críticas P como valores próprios e os modos de instabilidade como vetores próprios.
Havendo carregamento externo 𝐹𝑗, a equação de equilíbrio (2.18) leva a um sistema de sistema de equações não linear onde P, que representa o esforço interno axial de cada elemento, não é conhecido e depende de 𝑢𝑘. Esta equação é resolvida através de iterações e serviu de base para a metodologia que foi implementada nesta dissertação.
2.4 – Análise Não Linear
A análise linear baseia-se nos pressupostos da teoria da elasticidade linear onde se admite que, para corpos contínuos e com condições de fronteira suficientes para impedir o seu movimento, existem equações de equilíbrio lineares que relacionam o campo de deslocamentos e as cargas aplicadas com solução única [17].
A linearidade destas equações permite uma aproximação ao comportamento real das estruturas. No entanto, existem situações em que existem grandes deslocamentos ou há compressão de colunas esbeltas ou estruturas onde ocorre snap-through, em que uma análise linear simplifica demasiado os fenómenos com resultados bastante diferentes do comportamento real.
18
Figura 2.11-Fenómeno de Snap-Through
Na figura 2.11, pode ver-se a instabilidade gerada numa estrutura pelo fenómeno de snap-through. Ao aplicar uma carga física e incremental, a estrutura passa do ponto 0 para 1, 2 e 3, onde atinge a carga crítica e passa diretamente para o ponto 8. Enquanto as oscilações são amortecidas, a resposta dinâmica alcança o equilíbrio em 8 passando de seguida para o ponto 9. Ao descarregar a estrutura, passa do ponto 9 para o 8, 7 de onde passa diretamente para o ponto 1 continuando a descarregar até chegar a 0.
Alternativamente, se for imposto um deslocamento em vez de força, a trajetória passa de 0 pelos pontos 1, 2, 3 e quando chega ao ponto 4 os esforços internos caem drasticamente para o ponto 6, continuando depois pelos pontos 7, 8 e 9. Ao descarregar a estrutura, a trajetória é 9, 8, 7, 5, 2, 1, 0, havendo um snap-through do ponto 5 para o ponto 2. Este comportamento não é detetado pela análise linear e é por isso necessário recorrer à análise não-linear.
19
Figura 2.12-Diferença entre a análise linear e não linear. Retirado de [16]
Ilustrado na figura 2.12, a relação carga-deslocamento deixa de ser linear quando se considera geometria não linear. Como foi referido anteriormente, o comportamento geometricamente não linear está associado ao facto de a matriz de rigidez depender dos deslocamentos e haver um grande decréscimo na rigidez à flexão para cargas axiais de compressão elevadas. Existe também comportamento não linear do material, com origem na deformação plástica do material, mas que não é estudado nesta dissertação.
Em muitos problemas de análise estrutural, admite-se que as linhas de ação das forças internas e externas não se alteram com a deformação da estrutura. No entanto, este tipo de simplificação não é válido numa análise de estabilidade, sendo por isso necessário escrever as equações de equilíbrio para cada uma das configurações deformadas. As equações de equilíbrio passam então a ser dadas pela equação 2.21, onde se pode notar a dependência que a matriz de rigidez tem em função do vetor dos deslocamentos.
[𝑲(𝒖)] ∙ {𝒖} = {𝒇} (2.21)
Por outro lado, a abordagem energética da estabilidade mantém se válida, com o conceito de estabilidade a ser associado a um mínimo local da energia potencial total.
A resolução da equação 2.21 só é possível recorrendo a um método iterativo, normalmente, o método de Newton-Raphson. A sua aplicação encontra-se esquematizada na figura 2.13.
20
Figura 2.13-Método iterativo de Newton-Raphson. Retirado de [16]
Neste método, o objetivo é encontrar a solução da equação 2.21 através da minimização do resíduo ∆𝑓, iterativamente, calculado através da expressão 2.22.
∆𝑓 = 𝑓 − 𝐾(𝑢) ∙ 𝑢 (2.22)
O processo começa com a primeira iteração onde se considera 𝑢0 = 0 e se avalia a matriz de rigidez, K, da posição indeformada. Em seguida, resolve-se o sistema de equações lineares considerando f para descobrir o primeiro incremento nos deslocamentos, ∆𝑢1, que se soma a 𝑢0 para obter o novo deslocamento 𝑢1.
Com esse deslocamento 𝑢1, calculam-se as forças internas que lhe correspondem e determina-se o valor das forças externas que equilibram as forças internas. Resulta assim 𝑓1.
𝐾(𝑢1) ∙ 𝑢1 = 𝑓1 (2.23)
A diferença entre as forças aplicadas f e as forças aplicadas 𝑓1, que equilibram as forças internas para o deslocamento 𝑢1, será o primeiro resíduo ∆𝑓1.
∆𝑓1 = 𝐾(𝑢1) ∙ 𝑢1 (2.24)
21
Passando agora para a segunda iteração, é calculada a nova matriz de rigidez para a estrutura deformada pelo deslocamento 𝑢1. Resolve-se agora o sistema de equações lineares:
𝐾(𝑢1) ∙ ∆𝑢2 = ∆𝑓1 (2.25)
Obtido então o segundo incremento de deslocamento, ∆𝑢2, pode ser encontrado o deslocamento 𝑢2 simplesmente somando 𝑢1 e ∆𝑢2.
Este processo pode ser repetido em sucessivas n iterações até que o resíduo ∆𝑓𝑛 esteja dentro do critério, utilizando o último deslocamento conhecido 𝑢𝑛, dado por:
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛+ ∆𝑢𝑛+1 (2.26)
Com o objetivo de suavizar a convergência para a posição final de equilíbrio, a aplicação do método de Newton-Raphson pode ainda ser combinada com o aumento gradual de cargas até que atinjam o valor final pretendido. Assim, de acordo com o número de incrementos de carga desejados, é calculada a posição de equilíbrio pelo processo iterativo de Newton-Raphson para cada um desses incrementos.
Esta técnica é denominada de análise incremental-iterativa e constitui uma ferramenta útil nos algoritmos de análise não linear devido ao caráter imprevisível e espontâneo da não linearidade.
Sendo 𝑓𝑇 a carga total aplicada e 𝑁𝑖𝑛𝑐 o número de incrementos escolhidos, utiliza-se o método de Newton-Raphson para obter o equilíbrio para a carga f. O passo entre cada incremento é representado por 𝜆.
𝑓 = 𝜆 ∙ 𝑓𝑇 𝜆 = 1
𝑁𝑖𝑛𝑐 (2.27)
22
Após se verificar a convergência para a primeira posição de equilíbrio, o valor de 𝜆 é incrementado 1/𝑁𝑖𝑛𝑐, sucessivamente, até se atingir a convergência para o valor total de carga f. A análise incremental-iterativa é ilustrada na figura 2.14 exemplificando um número de incrementos de carga 𝑁𝑖𝑛𝑐= 3.
Quando se considera a possibilidade de haver grandes deslocamentos e rotações que afastam a estrutura da configuração inicial, é usual utilizar a formulação corrotacional. Esta formulação permite decompor o movimento de cada elemento finito em três componentes fundamentais, sendo eles a translação de corpo rígido, a rotação do corpo rígido e as deformações presentes no corpo [16]. Ao utilizar a metodologia de elementos finitos baseada em campos de deslocamento, a translação do corpo rígido não tem efeito nas tensões e deformações, no entanto, a rotação tem. Por esse motivo, a formulação corrotacional é muito útil na análise não linear pois separa os deslocamentos
Figura 2.14-Análise incremental-iterativa. Retirado de [16]
23
nodais de cada elemento, u, numa parte associada a rotação de corpo rígido, u r, e outra parte associada à deformação, u d, como representa a equação 2.29.
{𝒖} = {𝒖𝒓} + {𝒖𝑑} (2.29)
Apenas a última parcela, com informação sobre deformação do corpo, é considerada para calcular a energia de deformação de cada elemento.
Historicamente, desde o aparecimento da otimização de topologia, a maioria dos problemas tem sido abordados com recurso a análises lineares de elementos finitos para obter a resposta da estrutura. Embora este método tenha uma grande aplicabilidade em diversos projetos mecânicos, pressupõe sempre que a estrutura apenas sofre pequenos deslocamentos. No caso do projeto de mecanismos ou estruturas de absorção de energia, existem deslocamentos e/ou rotações significativas que implicam a consideração de uma análise não linear geométrica de elementos finitos [18].
Em comparação com inúmeros artigos sobre otimização de topologia com pequenos deslocamentos, os artigos sobre grandes deslocamentos são bastante escassos.
Um dos primeiros trabalhos a abordar a não linearidade geométrica foi feito por Bruns e Tortorelli [19] e desde aí houve alguns trabalhos como o de Buhl et al. [20] onde se evidenciou a diferença de resultados para as soluções obtidas através da análise linear.
Foi com recurso à análise não linear que foram estudadas estruturas que exibem comportamento snap-through em Bruns et al. [21]. Para outros tipos de problemas como é o caso da encurvadura, também esta análise constitui, possivelmente, a ferramenta mais importante na sua deteção. Neste campo, Changizi e Jalalpour [22] propuseram uma metodologia para controlar não só o buckling em cada elemento como a instabilidade de toda a estrutura, utilizando a análise não linear para fazer otimização de topologia duma ground structure com o objetivo de minimizar a compliance, controlando a tensão. Para detetar a instabilidade, foi feita uma análise de valores e vetores próprios (semelhante à eq.2.20) para descobrir quais os fatores de carga e os modos de instabilidade. No trabalho de Ferrari e Sigmund [12] foi implementada a mesma metodologia. Outra vantagem da análise não linear é que permite a introdução de imperfeições para estudar a estabilidade, como se verá a seguir.
24
2.5 – Imperfeições Geométricas
Qualquer estrutura projetada pode apresentar imperfeições quando é construída.
O efeito na resposta estática é normalmente desprezável, no entanto, se a estabilidade for contabilizada, o efeito das imperfeições torna-se importante.
As imperfeições podem tomar diversas formas. Podem ser ao nível do carregamento e a carga ficar excêntrica, podem resultar da anisotropia do material ou até das reações dos apoios não estarem alinhadas com os elementos. Já as imperfeições a nível de geometria podem surgir de forma local com empenos nos elementos estruturais ou de forma geral com a posição dos nós a sofrer deslocamentos.
As imperfeições geométricas são particularmente relevantes nas barras à compressão de uma treliça, como se vê na figura 2.15.
Figura 2.15-Trajetória de carregamento de uma barra com imperfeições. Retirado de [11]
Á esquerda é ilustrado o carregamento de uma barra com um ligeiro empeno inicial, 𝑊0. Á direita, é apresentado um diagrama carga-deslocamento onde se compara a trajetória de carregamento de uma barra perfeita (a tracejado) com uma barra imperfeita.
Pode-se verificar que uma ligeira flecha inicial é suficiente para que exista, uma transição mais gradual entre o deslocamento w no domínio estável, com o deslocamento a crescer exponencialmente à medida que a carga axial se aproxima da carga crítica.
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Os layouts obtidos por otimização de topologia tendem a ser estruturas esbeltas e esparsas, mais suscetíveis a erros de fabrico, incluindo uma menor resistência à encurvadura devido à presença de imperfeições geométricas. Por este motivo, em [23], os autores propuseram um algoritmo que permite incorporar na função objetivo os efeitos não lineares do potencial buckling devido ao desalinhamento dos membros numa treliça
e cujas soluções são dependentes do sentido dos esforços. Em baixo, na figura 2.16 pode ser vista a incorporação dos elementos empenados na ground structure.
Figura 2.16-Introdução de imperfeições locais numa ground structure. Retirado de [23]
Este tipo de abordagem ajuda a que a topologia seja mais vulnerável a instabilidade local. Existem inúmeros trabalhos que abordam a instabilidade local e o buckling de Euler das mais variadas formas. Constrangimentos de encurvadura local para cada elemento, cargas nodais para estabilizar a estrutura, etc.
Um dos grandes problemas de garantir a estabilidade local é que não garante necessariamente a estabilidade global. Um exemplo disso é o aparecimento de cadeias de elementos colineares, muito frequente na otimização de topologia de treliças com ground structure. Rozvany [14] foi dos primeiros trabalhos a introduzir imperfeições geométricas para detetar cadeias de elementos instáveis. A partir daí, surgiram alguns trabalhos a utilizar imperfeições geométricas para abordar a estabilidade global.
Madah e Amir [24,25], apresentaram uma metodologia que não só utiliza imperfeições locais nos elementos (empeno) para capturar instabilidade local como utiliza
Figura 2.17-Introdução de imperfeições globais numa ground structure. Retirado de [24]
26
imperfeições globais para capturar instabilidade global e instabilidade em cadeia. As imperfeições globais foram impostas alterando a posição dos nós, como indicado na figura 17.
27
Capítulo 3 – Metodologia
Esta dissertação surge no seguimento do trabalho da aluna Ana Silva [1], que utilizou análises não lineares para fazer otimização de topologia de treliças com a metodologia ground structure. Utilizando o método corrotacional, tanto no PROAES_NL como no ANSYS, verificou-se que, para cargas inferiores à carga crítica os resultados lineares e não lineares são idênticos. Quando se atinge a carga crítica o método iterativo de Newton-Raphson não converge e deixa de ser possível obter uma solução de equilíbrio.
Este comportamento advém do caráter rígido da treliça.
O desafio deste trabalho é então fazer otimização de topologia de treliças, com recurso a análise não linear, conseguindo a convergência do algoritmo para soluções ótimas resistentes à encurvadura.
Para este objetivo, é estudada a introdução de imperfeições geométricas locais e globais na treliça inicial, sendo analisados os seus efeitos nas topologias ótimas obtidas.
É empregue uma metodologia do tipo ground structure e cada barra constituinte da treliça é modelada como a sequência de 3 vigas colineares. Isto permite que sejam aplicados empenos nas barras desalinhando o eixo das vigas e permite também aplicação de imperfeições globais através da alteração da posição inicial dos nós.
São realizados 3 exemplos de teste. Em todos eles o problema de otimização é formulado com o objetivo de minimizar a compliance com constrangimentos de volume e aplicação de forças pontuais nos nós, sendo as variáveis de projeto as áreas das secções transversais. A aplicação do carregamento é feita de forma incremental recorrendo à análise incremental-iterativa.
As otimizações são feitas através do algoritmo SQP (Sequential Quadratic Programming).
Para realizar as análises estruturais iterativas que permitem resolver a equação 2.21 com a rigidez variável, é utilizada uma variante não linear do programa PROAES, chamado PROAES_NL_sem_arco. O PROAES é um programa desenvolvido no DEMI e resulta do trabalho de vários alunos de mestrado [1,26,27].
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Este programa é escrito em linguagem MATLAB e pode ser corrido em MATLAB ou outras plataformas como o Octave, tendo como principais funcionalidades:
• Realização de análises de modelos estruturais pelo MEF.
• Cálculo de derivadas de funções associadas a performances estruturais, em ordem a variáveis de projeto.
• Otimização de modelos de estruturas, considerando constrangimentos relacionados com o desempenho estrutural.
Para tirar partido destas funcionalidades, é necessário para cada problema criar um ficheiro de texto com a extensão .inp. Este deve conter dados relevantes sobre o modelo de elementos finitos da estrutura como coordenadas de nós, elementos, apoios, módulos de elasticidade, secções transversais, carregamentos, etc. Após este ficheiro ter sido processado pelo PROAES, é criado um ficheiro de dados com a extensão .out onde se apresentam os resultados das análises de elementos finitos. Para fazer o cálculo de performances e sensibilidades, o PROAES serve-se também dum ficheiro criado pelo utilizador chamado opt2ef. Após a execução do programa, os resultados destes cálculos são escritos no ef2opt.
Figura 3.1-Esquema de funcionamento do PROAES. Retirado de [26]
O PROAES é composto por várias sub-rotinas onde há leitura de dados, cálculos e escrita de dados. Uma rotina principal liga todas as partes do programa e de acordo com as instruções dadas, utiliza as sub-rotinas necessárias. A sua estrutura de funcionamento é representada na figura 3.2.
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Figura 3.2-Fluxograma do funcionamento do PROAES. Retirado de [26]
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O PROAES_NL baseia-se no PROAES, com a diferença que as análises de elementos finitos são feitas iterativamente pelo método de Newton-Raphson com as posições dos nós obtidas na análise anterior, reguladas por um controlo de carga pelo método do comprimento de arco. Ana Silva em [1] comprovou o seu bom funcionamento.
O PROAES_NL_sem_arco.m é análogo ao PROAES_NL, sendo que o carregamento deixa de ser aplicado pelo método do comprimento de arco e passa a ser aplicado proporcionalmente, de acordo com o número de incrementos de carga escolhidos pelo utilizador.
A forma como os problemas foram executados computacionalmente segue a ordem que será agora descrita. Primeiro, é criado para cada exemplo um ficheiro.inp com os detalhes da estrutura e onde se modela cada secção como a junção de 3 vigas2D colineares. Em seguida, numa sub-rotina desenvolvida nesta dissertação, chamada gera- nós, escolhe-se a direção e a magnitude de imperfeições locais (empenos) e imperfeições globlais (alteração de posição dos nós). Após execução, as coordenadas dos nós para o nível de imperfeições desejado são calculadas automaticamente e as alterações são feitas no ficheiro.inp.
No PROAES_NL_sem_arco.m são escolhidos os parâmetros de controlo para o método de Newton-Raphson. O número de incrementos de carga utilizado variou entre 5 e 20 sendo que o valor mais baixo acelera a computação e o valor mais alto facilita a convergência. O número máximo de iterações foi fixado em 150 para impedir um ciclo perpétuo. A tolerância utilizada foi de 10-6 por ser suficientemente baixa. O programa é agora executado e seleciona-se o ficheiro.inp a usar.
Para fazer a otimização SQP, é necessário ter 4 sub-rotinas que controlam a função objetivo, os contrangimentos e os gradientes de ambas, alterando os ficheiros opt2ef e lendo os ficheiros ef2opt. São elas a obj.m e grad_obj.m que controlam o valor do deslocamento (objetivo) e as funções con.m e grad_con.m que controlam o volume (constrangimento). É determinado o volume inicial de cada estrutura e qual o volume admissível que se pretende. Estas 4 sub-rotinas são chamadas por uma rotina chamada optimização_SQP onde são escolhidos os limites mínimo e máximo das variáveis de projeto (secções transversais), as áreas iniciais das secções e o valor da tolerância para a convergência do algoritmo que foi fixado em 10-12. As rotinas obj.m , grad_obj.m , con.m .m e grad_con.m é executada após ter sido executado o PROAES_NL_sem_arco.m e
31
caso se verifique a convergência, devolve um vetor com as variáveis de projeto ótimas que satisfazem os requisitos do projeto. A implementação computacional é agora ilustrada com recurso a um fluxograma. Todas as otimizações foram feitas com recurso a computadores do laboratório de mecânica estrutural do DEMI, equipados com processadores intel core i7 de quatro núcleos e com pelo menos 32 Gb de memória RAM DDR3.
opt2ef
PROAES_NL_sem_arco
ef2opt ficheiro.out
Erro <
Tolerância?
Início
gera-nós
ficheiro.in p
Incremento de carga
Sim Não
Otimização SQP
obj grad_obj
con
grad_con Existe convergência
?
Fim Iteração seguinte
Sim Não
Figura 3.3-Fluxograma do funcionamento do PROAES_NL_sem_arco
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33
Capítulo 4 – Otimização de Topologia
4.1 – Exemplo 1 – Treliça de 11 barras
O primeiro exemplo é uma adaptação de um problema formulado em [24] onde os autores estudaram a introdução de imperfeições geométricas locais e globais para encontrar uma solução resistente aos diferentes tipos de instabilidade ou buckling. Para uma ground structure constituída por 11 barras, o problema foi formulado através da minimização da flexibilidade ou compliance com constrangimentos de volume e com a imposição de um deslocamento na estrutura. Para a otimização, os autores utilizaram o algoritmo MMA (Método das Assíntotas Móveis).
Na figura 4.1 apresenta-se à esquerda o domínio inicial proposto (a). Em (b), é ilustrada a ground structure utilizada. É constituída por 13 barras sendo que a treliça base é composta por 11 barras e existem 2 barras que são sobrepostas. A aplicação dos empenos nas barras é ilustrada em (c) onde cada barra é modelada por 2 elementos viga e é aplicado um pequeno deslocamento nos nós que interligam esses 2 elementos para criar as imperfeições locais. Á direita, (d), uma parte dos nós da estrutura é deslocado de forma a criar as imperfeições globais na treliça.
Os autores pretendem com esta abordagem incentivar o aparecimento de encurvadura na estrutura para suavizar a transição de domínio estável para instável. Na figura 4.2 é demonstrado o efeito do empeno numa barra que é sujeita a um esforço de compressão. Pode-se verificar que, numa barra perfeita, o deslocamento aumenta substancialmente apenas quando o valor da carga atinge a carga crítica. Porém, quando a
Figura 4.1-Domínio e imperfeições locais e globais. Retirado de [24]
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barra apresenta um ligeiro empeno inicial, o valor do deslocamento tende a aumentar progressivamente à medida que a carga se aproxima do valor crítico.
Em [24] os autores estudaram o efeito na solução final ótima de várias combinações, considerando a presença/ausência de imperfeições locais ou globais. Por outro lado, o carregamento consistiu num deslocamento up imposto no nó localizado na extremidade inferior direita. A tabela 4.1 mostra as várias combinações analisadas e a figura 4.3 as 6 soluções ótimas obtidas.
Figura 4.2-Barra perfeita e barra imperfeita. Retirado de [24]
Figura 4.3-Soluções ótimas da treliça de 11 barras. Retirado de [24]
