Este é um número complexo em sua composição padrão "parte real + parte imaginária".

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Forma Polar e Exponencial de Números Complexos

Esse é um desenvolvimento aprofundado de números complexos. Veremos também áreas de trabalho com números complexos e operações com números complexos com a PowerTool de Algebra I & II . [Instruções : Execute primeiramente a seção de recursos de códigos. Embora nenhum resultado seja apresentado imediatamente, essas definições serão usadas posteriormente nesta área de trabalho.]

0. Código

1. A Forma Polar dos Números Complexos

Conceito de Forma Polar

Este é um número complexo em sua composição padrão "parte real + parte imaginária" .

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Quando observamos uma representação geométrica, podemos perceber que esse ponto forma um

triângulo reto onde a parte real do número no eixo x é um cateto e a linha diagonal da origem até o ponto é a hipotenusa. O ângulo que a hipotenusa faz com o eixo x é chamada de argumento do número

complexo .

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E a distância da origem até o ponto é o valor absoluto do número complexo.

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esses dois números podem identificar o ponto completamente. Por exemplo, esse mesmo número pode ser expresso nesta forma - que é chamada a forma trigonométrica ou polar.

2. Convertendo Para a Forma Polar

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Convertendo de forma Componente para Forma Trigonométrica Assm como acima, o processo envolve encontrar duas coisas:

- o argumento e - o módulo.

Encontrando o Argumento

Podemos computar o argumento diretamente usando o Maple, mas, para fazer isso à mão, usaríamos os dois catetos dos triângulo para encontrar a inclinação. esses dois catetos não passam das partes

imaginária e real do número complexo. Uma vez que conhecemos a inclinação, sabemos que é igual à tangente do ângulo. Logo. o inverso da tangente da inclinação, é o ângulo.

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Algo parece estar errado aqui.

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O que houve? Bem, o alcance do arctan é [-Pi/2, Pi/2] que são apenas quadrantes I e IV. No entanto,

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(10) (10) este ponto está, na verdade, no quadrante II. então, se somarmos Pi ao nosso arctan, teremos o

argumento de 2*Pi/3 . Vejamos outro exemplo.

6 Encontrando o Valor Absoluto

O valor absoluto de um número complexo é escencialmente o teorema de Pythagoras. Sabemos que os catetos de um triângulo são as partes real e imaginária de um número complexo.

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5 expressando um Número Complexo na Forma Polar

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Uma vez que sabemos o argumento e o valor absoluto, é só escrever na forma:

z = R*(cos(theta)+I*sin(theta)) Onde R = |z|, and theta = arg(z) .

3. Convertendo da Forma Polar

Convertendo da Forma Trigonemétrica para a Forma Componente

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É ainda mais fácil converter da forma trigonométrica para a forma componente.

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(28) (28) 4. A Forma Exponencial dos Números Complexos

e a uma potência imaginária

Euler descobriu que e, quando elevado a uma potência imaginária, pode ser expresso como um número complexo na forma polar. Uma descoberta obviamente revolucionária feita com a ajuda da série de Taylor, que você estudará em cálculo.

Veja esses exemplos

O valor absoluto de e^(i*theta) para qualquer valor de theta é 1, e todos esses números se encontram no círculo de unidades. theta pode ser qualquer número real.

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1 1.000000000

e a uma Potência Complexa

apesar de isso parecer ser muito mais complicado, na verdade não é por conta das regras mais simples dos expoentes.

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Passa a ser o produto de dois números. e^a é um número real, e e^(I*b) é a forma polar de um número complexo que acabamos de ver.

e

Veja outro exemplo.

5. Desenvolvendo Identidades Trigonométricas em alta Velocidade

Como você deve saber bem, a trigonometria é rica em fórmulas e identidades. Veja se lhe parecem familiares.

Essas fórmulas são mais fáceis de se lembrar do que de se provar - usando geometria. No entanto, elas podem ser rapidamente desenvolvidas usando a forma exponencial dos números complexos. O que

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faremos é expressar uma expressão exponencial em duas formas diferentes, usando as regras básicas de expoentes. Depois expandimos cada lado para a forma polar, e equacionamos a parte real e imaginária de cada lado.

Equate the real parts of the left and right sides

Equate the imaginary parts of the left and right sides

Voilá! Você acaba de desenvolver duas identidades trigonométricas pelo preço de uma. Você tem uma fórmula para o seno da soma dos ângulos, e uma fórmula para o cosseno de uma soma. Quais fórmulas derivaram dessas?

Você pode até impressionar os seus amigos com as suas próprias identidades "que não estão no livro."

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Referências

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