Equações do movimento sob forma geral. Fluido de Casson. P.J. Oliveira, Novembro 2009

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Equações do movimento sob forma geral. Fluido de Casson. P.J. Oliveira, Novembro 2009

As equações do movimento sob forma geral, escritas em termos das componentes do tensor das tensões, são úteis para resolver problemas com fluidos não newtonianos. Para fluidos viscoelásticos as tensões são dadas por equações diferenciais ou integrais complexas. Para fluidos newtonianos generalizados (GNF), τ=2

η

D, as tensões seguem as fórmulas aqui dadas mas com a viscosidade η a ser uma função genérica da taxa de deformação

γ

,

η γ

( )
. As equações de conservação em coordenadas cartesianas:

Continuidade:

(

)

( )

(

)

0 y x v z v v t x y z ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ Movimento: yx x x x x xx zx x y z x v v v v p v v v g t x y z x x y z τ τ τ ρ_∂ + ∂ + ∂ + ∂ _= −∂ +_∂ +∂ +∂ _+ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     y y y y xy yy zy x y z y v v v v p v v v g t x y z y x y z τ τ τ ρ_∂ + ∂ + ∂ + ∂ _= −∂ +_∂ +∂ +∂ _+ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     yz xz z z z z zz x y z z v v v v p v v v g t x y z z x y z τ τ τ ρ_∂ + ∂ + ∂ + ∂ _= −∂ +_∂ +∂ +∂ _+ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     Tensões (GNF) : 2 x xx v x τ = η_∂ _ ∂  ; 2 y yy v y τ = η_∂ _ ∂   ; ₂ z zz v z τ = η_∂ _ ∂   y x xy v v y x τ =η_∂ +∂ _ ∂ ∂   ; x z xz v v z x τ =η_∂ +∂ _ ∂ ∂  ; y z yz v v z y τ =η_∂ +∂ _ ∂ ∂   Taxa de deformação 1 2 : 2 :

γ

= γ γ

= D D: 2 2 2 2 2 2 2 2 vx 2 vy 2 vz vx vy vx vz vy vz x y z y x z x z y γ = _∂ _ + _∂ _ + _∂ _ +_∂ +∂ _ +_∂ +∂ _ +_∂ +∂ _ ∂ ∂  ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂          

x

y

z

v

v

_x

v

_z

v

_y

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As equações de conservação em coordenadas cilíndricas

x

=

(

r

, ,

θ

z

)

,

v

=

(

v v v

_r

,

_θ

,

_z

)

: Continuidade:

(

)

(

)

(

)

1 1 0 r z rv v v r r r r θ z ρ _{ρ ρ ρ} θ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ Movimento:

(

)

2 1 1 r r r r r zr r z rr r v v v v v v p v v r g t r r r z r r r r r z θ θ τθ τθθ τ ρ τ ρ θ θ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ _{− +} ∂ _{= −}∂ ₊ ∂ ₊ ∂ _{− +}∂ ₊  _{∂ ∂ ∂ ∂}  _∂  _{∂ ∂ ∂}     

(

2

)

2 1 1 1 r z r z r v v v v v v v p v v r g t r r r z r r r r z θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ τ τ ρ τ ρ θ θ θ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ _{+ +} ∂ _{= −} ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₊∂ ₊  _{∂ ∂ ∂ ∂}  _∂  _{∂ ∂ ∂}     

(

)

1 1 z z z z z zz r z rz z v v v v v p v v r g t r r z z r r r z θ τθ τ ρ τ ρ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  _{+ + +} _{= − +} _{+ +} ₊  _{∂ ∂ ∂ ∂}  _∂  _{∂ ∂ ∂}      Tensões: 2 r rr v r τ = η∂ ∂ ; 1 2 v vr r r θ θθ τ η θ ∂   = _ + _ ∂  ; 2 z zz v z τ = η∂ ∂ 1 r 1 r r v v v v v r r r r r r r θ θ θ θ τ η η θ θ  ∂   ∂  ∂ ∂  = _{  }+ _= _ − + _ ∂   ∂  ∂ ∂    1 z z v v z r θ θ τ η θ ∂ ∂   = _ + _ ∂ ∂   z r zr v v r z τ =η_∂ +∂ _ ∂ ∂   Taxa de deformação: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 vr 2 v vr 2 vz v vr v vz vz vr r r r r z r r r z r r z θ θ θ γ θ θ θ ∂   ∂ ∂   ∂ ∂   ∂  ∂  ∂ ∂       = _{ } + _ + _ + _{ } +_{  }+ _ +_ + _ +_ + _ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂              

z

r

θ

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Escoamento em tubo para fluido de Casson

Para um escoamento de corte simples, o modelo de Casson é definido como: 0

γ

= ,

τ τ

≤ ₀ e

τ

=

τ

₀ +

µγ

,

τ τ

> ₀. (1)

onde

τ

₀ é a tensão de cedência e

µ

um coeficiente de viscosidade. Num escoamento completamente desenvolvido dentro de um tubo circular, gerado por um gradiente de pressões constante P= −dp dz/ , o perfil de velocidades só depende da coordenada radial,

( )

u r , e a taxa de deformação é igual ao gradiente de velocidade,

γ

=du dr/ . As equações do movimento dadas acima, em coordenadas cilíndricas, reduzem-se a:

(

)

1 0 rz p r z r r τ ∂ ∂ = − + ∂ ∂

(

r rz

)

Pr r τ ∂ ⇒ = − ∂ , integrando rz 2 Pr τ ≡ −τ = (2)

Esta equação é sempre válida, qualquer que seja o fluido, e representa o balanço entre as forças de corte sobre uma porção circular de raio r e comprimento longitudinal L e a força de pressão aplicada na secção

π

r2do tubo: ∆p r

π

2 =L2

π τ

r , com

τ

≡ −

τ

_rz a representar a magnitude da tensão de corte.

Na parte central do tubo existe uma zona de escoamento “tampão”, onde o material se move sem se deformar, como um sólido, uma vez que a tensão é aí inferior à tensão de cedência

0

τ τ

< . Essa zona é limitada pela circunferência definida por um raio r₀ onde a tensão é exactamente

τ τ

= ₀ , isto é: 0 0 2 Pr τ = , 0 0 2 r P τ ⇒ = (3)

O raio r₀ define a zona tampão (“plug flow”, no inglês) típica do escoamento com fluido viscoplástico, onde a velocidade é constante (definida adiante, Eq. 8):

0

u=u para 0≤ ≤r r₀ (4)

Fora dessa zona, r₀ ≤ ≤r R, aplica-se a equação (1) de Casson, reescrita como:

(

) (

2

)

2 0

τ

−

τ

=

µγ

, 0 2 0 du dr

τ τ

τ τ

γ

µ

+ − ⇒ =
= − (5)

Com

τ

da equação geral (2) e integrando para obter o perfil de velocidade, tem-se

(

2

)

(

)

8

(

3

)

0 1 2 0 1 3 0 1

u=U _ −y + y −y − y − y _

  para y0 ≤ ≤y 1 (6)

onde foi já inserida a condição fronteira de não escorregamento sobre a parede, u R =( ) 0. Para simplificar a notação usou-se U₀ =PR2/ 4

µ

(velocidade no centro para escoamento

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newtoniano em tubo) e y=r R/ . Quando a tensão de cedência é nula,

τ

₀ =0, a zona tampão não existe r =₀ 0, ou seja y₀ =r₀/R=0, e esta expressão reduz-se ao perfil parabólico em escoamento de Poiseuille.

O caudal é obtido por integração do perfil de velocidade:

0 0 0 1 2 2 0 0 0 2 2 2 ( ) r R r y Q=

∫

u

π

rdr+

∫

u

π

rdr=u

π

r +

π

R

∫

u y ydy O resultado escrito sob forma adimensional é:

1/ 2 4 16 4 1 0 7 0 3 0 21 0 0 ( ) 1 N Q U g y y y y Q =U = = − + − ( 2 / U =Q

π

R ) (7)

com Q₀ =

π

PR4/ 8

µ π

= R U2 _N a representar o caudal para fluido newtoniano em tubo (isto é, sem tensão de cedência), com U₀ =2U_N. A função g r( / )₀ R definida pela Eq. (7) está representada na Figura 1, onde se pode observar o rápido decaimento do caudal quando o raio da zona central sem cedência aumenta.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r₀/R 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 g

Fig. 1- Variação da razão de caudais com o aumento da zona sem cedência (“tampão”).

Por último, a velocidade da zona tampão usada na Eq. (4) é obtida do perfil de velocidades, Eq. (6), fazendo r=r₀ (ou y=y₀):

(

) (

3

)

1

0 0 1 0 1 3 0

u =U _ − y + y _

 . (8)

A Figura 2 mostra o perfil de velocidades obtido com o modelo de Casson para r₀ =0.1R, sendo comparado com o perfil parabólico do modelo newtoniano. Na parte (a) da figura ambos os perfis são normalizados com as respectivas velocidades médias (da Eq. 7 para Casson) e fica visível o efeito de reofluidificação sobre a forma do perfil. Na parte (b) as velocidades são normalizadas com o mesmo valor, a velocidade máxima do caso newtoniano,

- 5 -

ficando notório que, para o mesmo gradiente de pressão, o caudal do fluido de Casson é muito menor do que o caudal do fluido newtoniano.

(a) 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 u(r)/U 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r/ R Casson, y0=0.1 newtoniano r0/R=0.1 (b) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 u(r)/U0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r/ R Casson, y0=0.1 newtoniano r0/R=0.1

Fig. 2 – Perfis de velocidades para fluidos newtoniano e Casson y =₀ 0.1, normalizados com (a) respectiva velocidade média; (b) velocidade máxima do caso newtoniano 2

0 / 4

U =PR µ.

O aumento do atrito na parede que ocorre com o fluido de Casson, comparativamente ao newtoniano, é ilustrado de forma directa na Figura 3, onde o grupo fRe é mostrado em função do tamanho da zona sem cedência r₀/R. Quando r₀/R →0, que equivale a

τ

₀ =0, não há zona sem cedência e o modelo de Casson torna-se igual ao modelo Newtoniano, para o qual o coeficiente de atrito multiplicado pelo número de Reynolds é constante fRe =16 (este grupo é por vezes chamado número de Poiseuille). Os valores da Fig. 3 foram obtidos com o programa dado em Anexo.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 r₀/R 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 fR e /f R eN

Fig. 3 – Variação da razão entre o coeficiente de atrito para fluido de Casson e o correspondente newtoniano com o tamanho da zona tampão.

- 6 - O coeficiente de atrito é obtido a partir da sua definição

2 1 2 w f U

τ

ρ

= (9)

onde a tensão na parede é dada por

τ

_w=PR/ 2(Eq. 2). Note-se que a velocidade média que aqui deve aparecer é a velocidade média para o fluido de Casson, da Eq. (7). Substituindo valores, e fazendo aparecer o número de Reynolds Re=

ρ

U R2 /

η

_ef , temos sucessivamente:

2 2 2 1 2 1 1 8 2 4 w ef ef PR PR f U R U U U

τ

η

ρ

ρ

ρ

µ

η

µ

= = = , ou 1 16 / ef N fRe U U

η

µ

=

(

)

1 N fRe fRe gg ⇒ = ′, (10)

com

(

fRe

)

_N

=

16

, U_N =PR2/ 8

µ

, a função g =U U/ _N dada pela Eq. (7), e a função /

ef

g′ =

η

µ

a representar a viscosidade efectiva adimensional. A viscosidade efectiva deve ser calculada com base na taxa de corte que existe junto à parede, ou seja:

w ef w w

τ

η

η

γ

= =

A taxa de deformação na parede pode ser obtida da primeira parte da Eq. (5), com a tensão da parede dada acima

τ

_w =PR/ 2 e a tensão de cedência dada pela Eq. (3),

(

)

2

(

)

2 0 0 1 1 2 w w PR y

γ

τ

τ

µ

µ

= − = −
ou seja:

(

)

2 0 1 w w w y

τ

µ

η

γ

= = −

(

)

2 0 1 1 g y ′ ⇒ = − (11)

A Figura 3 mostra de forma inequívoca que o coeficiente de atrito na parede para o modelo de Casson calculado segundo a Eq. (10) é maior do que o correspondente newtoniano. Isto acontece apesar do modelo de Casson ser reofluidicante o que, à partida, poderia sugerir maior facilidade de escoamento para um dado gradiente de pressão. Conclui-se que a tensão de cedência é a causa para o aumento da resistência ao movimento no modelo de Casson.

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Anexo 1 – Programa para preparar perfil de velocidades analítico para modelo de Casson

program GNFVIS3 C

C PREPARE velocity profile FOR BLOOD C in pipe flow - CASSON MODEL C

OPEN(10,FILE='gnfvis3.dat') PRINT *,' GIVE Y0'

READ(*,*) Y0 F=1.-16./7.*SQRT(Y0)+4./3.*Y0-1./21.*Y0**4 FF=1./(1.-SQRT(Y0))**2 FRE=1./F/FF Q0=1./2. Q=Q0*F U0=(1.-SQRT(Y0))**3*(1.+1./3.*SQRT(Y0)) PRINT *,' F=',F PRINT *,' U0=',U0 PRINT *,' FRE=',FRE C RANGE OF R ... Y1=0.0 Y2=1.0 N=100 DY=(Y2-Y1)/FLOAT(N) Y=Y1 UNM=0.0 UM=0.0 DO 10 I=1,N+1 UN=1.-Y**2 U=(1.-Y**2)+2.*Y0*(1.-Y)-8./3.*SQRT(Y0)*(1.-SQRT(Y**3)) IF(Y.LE.Y0) U=U0 DYY=DY IF(I.EQ.1.OR.I.EQ.N+1) DYY=DY*0.5 UNM=UNM+UN*DYY*Y UM=UM+U*DYY*Y UUN=UN/Q0 UU=U/Q

C Escrever resultados: Y=r/R; UU=u/U; UUN=(u/U)Newt; U=u/(U0)Newt WRITE(10,100) Y,UU,UUN,U,UN

Y=Y+DY 10 CONTINUE C

PRINT *,' NUMERICAL, MEAN UNM=',2.*UNM,' UM=',2.*UM 100 FORMAT(20(1PE10.3,3X))

STOP END

Anexo 2 – Programa para preparar variação do coeficiente de atrito com o tamanho da zona sem cedência para modelo de Casson

program GNFVIS4 C

C PREPARE velocity profile FOR BLOOD C in pipe flow - CASSON MODEL c VARIED Y0 C OPEN(10,FILE='gnfvis4.dat') C RANGE OF Y0 ... Y1=0.0 Y2=1.0 N=100 DY=(Y2-Y1)/FLOAT(N) Y0=Y1 DO 10 I=1,N+1 F=1.-16./7.*SQRT(Y0)+4./3.*Y0-1./21.*Y0**4 FF=1./(1.-SQRT(Y0))**2 FRE=1./F/FF

- 8 - UN=1./2. U=UN*F U0=(1.-SQRT(Y0))**3*(1.+1./3.*SQRT(Y0)) WRITE(10,100) Y0,F,FRE,U0 Y0=Y0+DY 10 CONTINUE C 100 FORMAT(20(1PE10.3,3X)) STOP END