Ricardo Ferreira dos Santos
O USO DA MODELAGEM PARA O ENSINO DA FUNÇÃO SENO NO
ENSINO MÉDIO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Ricardo Ferreira dos Santos
O USO DA MODELAGEM PARA O ENSINO DA FUNÇÃO SENO NO
ENSINO MÉDIO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Sonia Barbosa Camargo Igliori.
Banca Examinadora
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou
Agradecimentos
Agradeço a Deus pela oportunidade que me deu para eu estudar e melhorar a minha formação, ampliar os meus conhecimentos.
Agradeço sem a possibilidade de descrever a minha orientadora Professora Doutora Sonia Barbosa Camargo Igliori pela valiosa contribuição no desenvolvimento da pesquisa.
Agradeço à Professora Doutora Maria Eli Puga Beltrão e ao Professor Doutor Rogério Ferreira da Fonseca por aceitarem fazer parte da Banca Examinadora e pelas importantes sugestões apresentadas para o desenvolvimento do trabalho.
Agradeço a todos os professores do Programa que durante o curso me orientaram possibilitando mudanças em minha prática profissional.
Agradeço à minha família, em especial ao meu pai, pelo tempo que não pude dedicar a eles.
Agradeço à Capes pelo finaciamento parcial dos meus estudos.
Agradeço à Escola, aos Alunos por participarem da pesquisa e pelas discussões e contribuições.
O Autor
Resumo
Esta pesquisa se insere nos estudos de utilização da Modelagem Matemática como estratégia de ensino. Nela é apresentada uma atividade de modelagem para o ensino da função seno. A pesquisa teve dois objetivos principais: analisar os efeitos de uma modelagem matemática no Ensino Médio com vistas à alcançar uma aprendizagem significativa; e avaliar uma proposta de abordagem para a modelagem, por meio de etapas e fases. Nesse segundo caso pretendeu-se verificar se o protoganismo do professor na apresentação do fenômeno preserva as desejadas características da modelagem, ampliar o interesse dos alunos pela Matemática e motivá-los para a construção de um conhecimento novo. Os sujeitos da pesquisa foram quinze alunos do segundo ano do Ensino Médio de uma escola pública de São Paulo, com participação voluntária. A pesquisa é de natureza qualitativa, desenvolvida por meio da observação participante. O modelo utilizado é o apresentado na Proposta Curricular do Estado de São Paulo. A pesquisa norteia-se nas concepções de modelagem de Beltrão (2009), Bassanezi (2006) e na teoria de aprendizagem de Ausubel. As atividades foram desenvolvidas utilizando como âncora as relações métricas no triângulo retângulo, as coordenadas de pontos no plano cartesiano e o estudo de ângulos na circunferência trigonométrica. Como resultado pode-se concluir que a modelagem pode ser utilizada na Educação Básica como metodologia de ensino, traz resultados para a participação dos alunos na construção de seus conhecimentos, porém não é tarefa fácil, pois exige do professor mudanças em sua prática pedagógica e do aluno por ter que assumir uma atitude participativa. A abordagem de etapas e fases foi facilitadora.
Abstract
This research forms part of the studies for the use of Mathematical Modeling as a teaching strategy. In her a modeling activity for teaching the sine function is presented. The research had two main objectives: to analyze the effects of mathematical modeling in high school in order to achieve meaningful learning; and evaluate a proposed approach for modeling, through stages and phases. In this second case it was intended to verify that the protoganismo teacher in presenting the phenomenon preserves the desired features of modeling, increase students' interest in mathematics and motivates you to construct new knowledge. The subjects were fifteen students of the second year of high school to a public school in Sao Paulo, with voluntary participation. This is a qualitative research, developed through participant observation. The model used is shown in Curriculum Proposal of the State of São Paulo. The research is guided by conceptions of modeling Beltrão (2009), Bassanezi (2006) and Ausubel learning theory. The activities were developed using as anchor metric relations in right triangle, the coordinates of points on the Cartesian plane and the study of angles in the trigonometric circle. As a result it can be concluded that modeling can be used in basic education such as teaching methodology, brings results for student participation in the construction of their knowledge, but it is not an easy task because it requires changes in teacher pedagogical practice and student to have to take a participatory attitude. The approach of steps and phases was facilitator.
Lista de Figuras
FIGURAS
Figura 1 ...18
Figura 2 ...19
Figura 3 ...19
Figura 4 ...20
Figura 5 ...20
Figura 6 ...21
Figura 7 ...21
Figura 8 ...31
Figura 9 ...44
Figura 10 ...45
Figura 11 ...45
Figura 12 ...45
Figura 13...46
Figura 14 ...47
Figura 15 ...48
Figura 16 ...48
Figura 17 ...49
Figura 18 ...50
Figura 19 ...51
Figura 20 ...52
Figura 21 ...53
Figura 22 ...56
Figura 23 ...57
Figura 24 ...58
Figura 26 ...59
Figura 27 ...59
Figura 28 ...60
Figura 29 ...67
Figura 30 ...67
Figura 31 ...68
Figura 32 ...68
Figura 33...69 Figura 34...69 Figura 35...70 Figura 36...70 Figura 37...71 Figura 38...71 Figura 39...72 Figura 40...73 Figura 41...74 Figura 42...75 Figura 43...81 Figura 44...82 Figura 45...83 Figura 46...84
Figura 47 ...86
Figura 48...87 Figura 49...89 Figura 50...91 Figura 51...92 Figura 52...93 Figura 53...94 Figura 54...95 Figura 55...96 Figura 56...97 Figura 57...99 Figura 58...100
Figura 60 ...102
Figura 61 ...103
Figura 62 ...104
Figura 63...105
Figura 64 ...108
Figura 65 ...109
Figura 66 ...110
Figura 67.. ...111
Figura 68 ...112
Figura 69...113
Figura 70...114
Figura 71...115
Figura 72...116
Figura 73...117
Figura 74...119
Figura 75...120
Sumário
INTRODUÇÃO... 13
CAPÍTULO I Apresentação da Pesquisa ... 16
1.1 Trajetória profissional e justificativa para o desenvolvimento do trabalho ... 16
1.2 Problemática ... 17
1.3 Objeto matemático em estudo (Função Seno) ... 18
CAPÍTULO II As ciências e a Modelagem Matemática ... 22
2.1 Aspectos da história do ensino da Matemática nos séculos XIX e XX ... 22
CAPÍTULO III Concepções de Modelagem Matemática e Teoria do Ausubel ... 26
3.1 Modelagem Matemática na perspectiva de Bassanezi ... 26
3.2 Modelagem Matemática na perspectiva de Beltrão ... 28
3.3 A Teoria da Aprendizagem Significativa de David Ausubel ... 30
CAPÍTULO IV Procedimentos metodológicos e refenciais teóricos ... 35
4.1 A pesquisa empírica ... 35
4.2 Referenciais teóricos e procedimentos metodológicos ... 40
CAPÍTULO V
Uma abordagem para o ensino da função seno utilizando a modelagem... 42
5.1 Etapa um: atividade para sondagem de habilidades necessárias para a construção do modelo da função Seno ... 42
5.2 As atividades sondagens, resolução dos alunos e análise das respostas . 44
5.3 Análises dos dados da atividade de sondagem ... 53
5.4 As abordagens de ensino descritas por meio de fases e etapas ... 54
CAPÍTULO VI Análise das atividades e os resultados obtidos ... 76
6.1 Desenvolvimento e análise da questão 01 ... 78
6.2 Desenvolvimento e análise da questão 02 ... 89
6.3 Desenvolvimento e análise da questão 03 ... 97
6.4 Desenvolvimento e análise da questão 04 ... 105
6.5 Desenvolvimento e análise da questão 05 ... 113
Considerações finais ... 122
Introdução
Esta pesquisa teve por objetivo analisar a aprendizagem de 15 alunos do 2º ano do Ensino Médio frente à construção do modelo da função seno, proposta como atividade no caderno de Matemática do aluno do 2º ano volume 1, da Rede Estadual de São Paulo. Escolhi essa sequência em função do tema ser apropriado para trabalhar com a modelagem. A minha pretensão era avaliar como os alunos enfrentavam situações que envolviam a modelagem como metodologia em etapas e fases, sendo o tema apresentado pelo professor e os materias utilizados nessa pesquisa o livro didático e o caderno de Matemática do currículo oficial. De um modo geral essa proposta está relacionada ao nosso interesse como professor de Matemática.
A partir de 2002, passei a atuar como professor de Matemática na Escola de Educação Básica, e a minha preocupação maior naquele momento era cumprir o programa definido pela escola. Os conteúdos, a serem desenvolvidos, eram apresentados em livros didáticos, em uma sequência preestabelecida oriunda do ensino tradicional, quando o professor apresentava o conteúdo e na sequência passava uma lista de exercícios. E desde o início, comecei a identificar dificuldades dos alunos da 2ª série do Ensino Médio na aprendizagem do conceito das funções trigonométricas, em particular, na função seno que é objeto desta pesquisa. As dificuldades observadas em minha prática manifestavam-se na construção e interpretação de gráficos, e também, na resolução de situações problema que envolvessem situações do cotidiano.
habilidades para trabalhar com o circulo e ponto no plano cartesiano, porém de acordo o nível de proficiência em Matemática, 36,6% dos alunos do 9º ano demonstram domínio insuficiente nas habilidades e competências desejáveis para o 9º ano.
Durante a minha formação no curso Licenciatura em Matemática e em uma especialização para o Ensino Fundamental II e Médio, observei que os estudantes apresentavam dificuldades quanto ao estudo das funções trigonométricas e as dúvidas apareciam quando as noções eram necessárias para o estudo do Cálculo Diferencial e integral, como limite, derivada, etc. Como professor do Ensino Médio percebi que os alunos apresentam dificuldades semelhantes àquelas encontradas durante a minha formação, entre os alunos da Licenciatura e Especialização em Matemática.
De acordo com os PCNEM+ (2002, p.121), o estudo de função deve ter início diretamente pela noção de função, apresentando situações de dependência de duas grandezas, permitindo o estudo por meio de situações contextualizadas, descritas algébrica e graficamente.
Nesta pesquisa, assumi o pressuposto de que a utilização das definições muito formais e a linguagem puramente técnica aumentam as dificuldades de aprendizagem dos alunos.
Os referenciais teóricos para esta pesquisa são as teorias da aprendizagem significativa de David Ausubel, que embasa as análises efetivadas nos protocolos dos alunos, Bassanezi (2006) e Beltrão (2009) com o uso da modelagem.
No capítulo 1, intitulado “Apresentação da pesquisa”, relatei minha trajetória profissional, que é a justificativa do trabalho, problemática e objeto matemático em estudo.
No capítulo 2, intitulado “As Ciências e a Modelagem Matemática”, descrevi alguns aspectos da história do ensino da Matemática, nos séculos XIX e XX, tendo por base a busca do homem pelo conhecimento, envolvendo a resolução de problemas. É durante essa evolução que o conceito de modelagem matemática aparece como metodologia de ensino. Minha referência principal para isso foi a tese de doutorado de Beltrão (2009).
autores Bassanezi (2006) e Beltrão (2009) e a teoria da aprendizagem significativa do Ausubel.
No capítulo 4, intitulado “Procedimentos metodológicos e referenciais teóricos” delineei a pesquisa empírica, descrição do método da modelagem utilizada, a instituição e as condições da escola onde foi realizada a pesquisa e o perfil dos estudantes.
No capítulo 5, intitulado “Uma abordagem para o ensino da função seno utilizando a modelagem”, descrevi a construção do modelo da função seno seguindo a etapa e fases e as análises da atividade diagnóstica.
CAPÍTULO I
1. Apresentação da Pesquisa
1.1 Trajetória profissional e motivação para o desenvolvimento do trabalho
Desde 2001, quando iniciei o curso de Licenciatura em Matemática na Universidade Guarulhos - UNG, trabalhava como professor de Matemática no Ensino Fundamental II e Médio nas redes particulares e públicas de ensino na cidade de Guarulhos - São Paulo.
Em minha prática sempre observava como os alunos aprendiam determinados conteúdos, e fazia reflexão dos métodos de ensino que aplicava, e como podia melhorar minha prática.
Percebi que os alunos do 2º ano do Ensino Médio sentiam dificuldades para mobilizar conhecimentos dos anos finais do ensino fundamental II, como as operações básicas, interpretar problemas, representar esquemas, tabelas e figuras, e as principais dificuldades encontradas foram na introdução e desenvolvimento das funções trigonométricas: funções seno, cosseno e tangente.
Em 2010, ao cursar especialização em Matemática Para Professores do Ensino Fundamental e Médio na UNICAMP- Universidade de Campinas - iniciei o meu interesse pela pesquisa ao escrever o meu trabalho de conclusão de curso com o tema “Equações Diofantinas”. Já no primeiro semestre de 2011 participei de um evento promovido pelo Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP”, “ IV Jornada de Matemática na sala de aula: Um dia de reflexão”, quando obtive o primeiro contato com o Programa e a partir daí nasce o interesse pela pesquisa em Educação Matemática.
significativa os conteúdos matemáticos aos alunos de modo que haja relações com o cotidiano.
Todos esses fatores foram motivadores para que eu participasse da seleção e ingressasse no Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, com a perspectiva de melhorar a minha formação docente e conhecer o perfil de diferentes pesquisadores que colaboram com a formação de futuros formadores. Escolhi o Programa de Estudos Pós-graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, por ser referência nessa área.
1.2 Problemática
A Educação Matemática tem investido no estudo dos fenômenos de aprendizagem e do ensino do conceito de função em geral, de acordo Oliveira (1997), os alunos confundem atributos do conceito com os exemplos de função, em seu trabalho ela apresenta as dificuldades encontradas no ensino – aprendizagem do conceito de função em geral.
Essas dificuldades no entendimento do conceito de função apontadas em pesquisas e na resolução de problemas do cotidiano leva alunos a considerarem a Matemática uma disciplina difícil. Em minha prática docente, por diversas vezes, ouvi alunos dizerem “porque tenho que estudar Matemática?”, fazendo esse questionamento sempre, buscando do professor respostas que pudessem melhorar os resultados das aprendizagens.
Quando questiono os alunos sobre “por que não gostam de Matemática’’?, respondem, “matéria chata”, “não entendo onde vou utilizar tanta conta”. Infiro dessa atitude que a formação desses alunos não envolveu o estudo da Matemática a partir da resolução de problemas, mas sim treinamentos para resolverem exercícios repetitivos, apenas sustentados pelo processo de mecanização, não oferecendo significado aos alunos.
disso, porque o estudo dessa função está associado a arcos e ângulos e os valores do seno dos ângulos observados.
Toda essa problemática, me levou a considerar uma mudança na metodologia de ensino na abordagem do conceito da Função Seno, utilizando a modelagem matemática no desenvolvimento desse conceito. O fato do aluno participar da construção do conhecimento, como protagonista, permite que o objeto matemático em estudo seja levado a um contexto com mais significado, e a vivência desses alunos com a construção do conceito da função seno por meio de etapa e fases possibilita uma aprendizagem com mais sentidos.
1.3 O objeto matemático em estudo
Apresento aqui o conceito inicial da função seno utilizado nas aulas de Matemática.
A Correspondência entre um número real e um ponto da circunferência trigonométrica
Dada uma circunferência, situada em um plano cartesiano com centro na origem e raio igual a 1, pode-se associar a cada número real x, um arco orientado arc AP com medida algébrica x radianos, conforme Figura 1.
Figura 1:Arco AP de medida x rd, ANTAR (1978, p. 234)
Ou seja a todo número real x associa-se dessa forma um ponto P de uma circunferência do plano cartesiano de centro na origem e raio 1. A circunferência nessas condições é denominada circunferência trigonométrica.
Exemplos:
a) Ao número real x = 0 está associado o ponto A.
Figura 2: Ponto A sobre a circunferência, ANTAR (1978, p.234)
b) Ao número real x = 1 está associado o ponto P de modo que a medida do arc AP = 1 rad 57°
c) Ao número real x = - π está associado o ponto A’, extremidade do arc AA’, com medida do arc AA’ = - π rad = - 180°
Figura 4: Arco AA’ sobre a circunferência, ANTAR (1978, p.235)
d) Ao número real x = 5/2 está associado o ponto Q, extremidade do arc AQ, com medida do arc AQ = rad = 2,5 rad 143°.
Figura 5: Arco AQ sobre a circunferência, ANTAR (1978, p.235)
Figura 6: Arco AM sobre a circunferência, ANTAR (1978, p.235)
FUNÇÃO SENO
Na circunferência trigonométrica conforme Figura 7, seja P o ponto associado a um número real x; P1 a projeção ortogonal de P em 0y. A medida do
segmento 1 , ordenada do ponto P é denominado seno do arco de medida
algébrica x, cuja extremidade é P.
Figura 7: Projeção ortogonal de P em 0y, ANTAR (1978, p.236)
Deve ser observado que, ao número real x, associamos o ponto P, extremidade de um arco AP; por sua vez, ao arco AP está associado um único número real 1 que é o seno do arco AP; assim, fica definida uma função f de R
CAPÍTULO II
2. As Ciências e a Modelagem Matemática
2.1 Alguns aspectos da história do ensino da Matemática nos séc. XIX e XX.
Neste capítulo, serão apresentados alguns aspectos da histórica do ensino da Matemática, nos séculos XIX e XX tendo por base a busca do homem pelo conhecimento envolvendo a resolução de problemas. É durante essa evolução que o conceito de modelagem matemática aparece como metodologia de ensino. Nossa referência principal para isso foi a tese de doutorado de Beltrão (2009).
O matemático Félix Khein (1849-1925) defendeu que os conceitos matemáticos são construídos por meio das aplicações nas ciências naturais, a função, por exemplo, descreve a relação entre diferentes variáveis existentes em observações realizadas dos fenômenos naturais.
Apresentar como aconteceu o desenvolvimento da modelagem em sua essência, implica em fazer uma descrição de como a Matemática se aperfeiçoou no decorrer da história da sociedade.
Os conteúdos matemáticos foram sendo eleborados, ao longo da história, tanto pela necessidade da evolução da sociedade, quanto do desenvolvimento da própria Matemática. Grande parte das descobertas de conceitos matemáticos não tiveram de pronto uma aplicação fora dela, porém em momentos posteriores se fizeram presentes no desenvolvimento das diversas ciências e da tecnologia.
Se buscarmos na história dos povos antigos, temos ainda os babilônios que elaboraram modelos por meio da observação dos movimentos do Sol, da Lua e dos Planetas. Eles descobriram as relações das séries numéricas e formas geométricas, a altura de pirâmides foi medida graças a Tales de Mileto com o uso da semelhança de triângulos e segundo Pitágoras tudo que existe na natureza pode ser representado por meio dos números e das formas, o mesmo elaborou a escala musical, que é utilizada até hoje.
No Renascimento Renné Descartes pesquisador das Ciências, Filosofia, Direito, entre outras áreas, procurou modelar situações cotidianas por meio da Geometria Analítica com o uso do plano cartesiano. A maioria das descobertas que Descartes fez com a Geometria Analítica servem de base hoje, para soluções de situações da Administração, Economia, Infomática, etc.
A Matemática teve um impulso maior no contexto industrial, com a revolução industrial, pois foi necessária a criação de modelos teóricos para a implementação de máquinas que substituiriam operários, centros de produção, armazenamento, logística, entre outros.
Mesmo com a criação de diversos modelos para descrever fenômenos físicos e do cotidiano de civilizações antigas, o termo modelagem matemática, como um meio para solucionar um problema, somente adquiriu a concepção de forma, descrição, e elaboração de uma expressão matemática que represente um fenômeno natural no século XX.
O termo “modelagem matemática” como forma para escrever, formular, modelar e resolver problemas de diversas áreas do conhecimento de acordo Biembengut (2009) encontra-se já no início do século XX na literatura de Engenharia e Ciências Econômicas.
De acordo Beltrão (2009), em alguns momentos da História da Matemática a Matemática era ensinada tendo por base a Matemática Pura, somente no final do século XIX a Matemática Aplicada passou a compor o currículo escolar, devido ao empenho do matemático Félix Klein.
A eliminação da organização excessivamente sistemática e lógica dos conteúdos; a valorização da intuição como elemento inicial importante para futura sistematização; a introdução de conteúdos mais modernos, como funções e cálculo diferencial e integral ainda no ensino secundário (atual ensino médio); a valorização das Aplicações da Matemática para a formação de qualquer estudante de nível secundário, não apenas de futuros técnicos, e a fusão dos conteúdos ensinados (Beltrão 2009, p. 38-39).
Klein defendia uma educação com significados, mas sem que se explorassem os conteúdo mesmo quando eram puramente abstratos, procurando construir significados durante a solução de problemas. Então essa Matemática descrita por ele era chamada de Matemática Aplicada, na qual descrevia uma relação assemelhada ao processo de modelagem.
As ideias de Klein foram defendidas por Hans Freudenthal e Henry Pollak. Ambos participaram de conferências defendendo a inclusão de Aplicações e Modelagem no ensino da Matemática, na década de 1960.
De acordo com Beltrão (2009) apesar da organização curricular nessas décadas ser regida pelos princípios da Matemática Moderna, Henry Pollak se dedicou para a consolidação das ideias de modelagem no ensino.
Biembengut (2009), descreve que no cenário internacional, ocorrem na década de 60 fóruns e debates sobre a modelagem e aplicações dos conhecimentos matemáticos para a ciência e a sociedade. A partir dessas discussões houve grandes impulsos na formação de grupos de pesquisadores sobre o tema modelagem e aplicações.
Em um dos eventos o de Lausanne Symposium, em 1968 na Suíça, de acordo com Beltrão (2009), as questões que se destacaram foram, como ensinar Matemática de modo que seja útil, ou seja que envolvesse situações do cotidiano do estudante, que possibilitasse o desenvolvimento da capacidade de efetuar análise de situações da realidade, e da habilidade para criar modelos que representassem essas situações, e não que se restringisse apenas a aplicações padronizadas.
De acordo com Beltrão (2009), no final da década de 60 surgiu a modelagem no Brasil, por meio de matemáticos brasileiros que participaram de congressos internacionais da área, dentre eles o professor Aristides Camargo Barreto, da PUC do Rio de Janeiro. O objetivo era fazer uso da modelagem em sala de aula como um meio de motivar o aluno para a aprendizagem da Matemática. E conforme Biembengut (2009), Barreto ao mesmo tempo orientou as duas primeiras dissertações de modelagem da PUC-RJ, Modelos na Aprendizagem Matemática, autoria Celso Braga Wilmer, em 1976, e Estratégia combinada de Módulos Instrucionais e Modelos Matemáticos para o ensino e aprendizagem no 2° grau: estudo exploratório, de autoria de Jorge E. Pardo Sáchez, de Costa Rica, em 1979.
Além de Barreto, outros pesquisadores se destacaram no inicio do uso da modelagem em pesquisas no final dos anos 1970 e inicio de 1980, como Ubiratan D’Ambrosio, Rodney C. Bassanezi, João Frederico Mayer, Marineuza Gazetta e Eduardo Sebastiani.
CAPÍTULO III
3. Concepções de Modelagem Matemática e Teoria de Ausubel 3.1 Modelagem Matemática na perspectiva de Bassanezi
A modelagem matemática, na perspectiva de Bassanezi (2006), é apontada como uma nova forma de encarar a Matemática, podendo ser tomada como um método científico ou como uma estratégia de ensino-aprendizagem, mostrando-se eficiente nos resultados, o autor afirma que:
“A modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mudo real” (Bassanezi, 2006, p.16).
O modelo matemático é definido por Bassanezi, como sendo o conjunto de símbolos e relações matemáticas que descreve por meio de uma representação o conteúdo estudado. O autor acrescenta ainda que o modelo consiste em uma linguagem clara, capaz de expressar ideias, sem ambiguidades, derivando um grande arsenal de resultados que possibilitou usar outros métodos (computacionais) para representar soluções por meio de cálculos numéricos.
A Matemática em sala de aula ainda é apresentada, pela maioria dos professores, por métodos tradicionais. O autor defende que o ensino deve privilegiar os interesses e necessidades da comunidade, levando em consideração o aluno como protagonista ativo do desenvolvimento dos conteúdos arrolados no currículo do curso.
Em seus vários aspectos sobre a Modelagem Matemática, Bassanezi defende que:
“quando se procura refletir sobre uma porção da realidade, na
tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela – o processo usual é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizá-los através de um sistema
Nesse sentido, a modelagem é um método científico que prepara o indivíduo para tomar posse do seu papel de cidadão, nas atividades do cotidiano que necessitam dessa interação para ajustar problemas do cotidiano que os cerca, proporcionando aos mesmos a necessidade de agir sobre eles, na busca pela solução. Com esses estudos na formação do cidadão, ele poderá fazer escolhas para profissões no futuro ou buscar mais informações em cursos técnicos ou de ensino superior.
“No processo evolutivo da educação Matemática, a inclusão de
aspectos de aplicações e mais recentemente, resolução de problemas e modelagem, têm sido defendida por várias pessoas envolvidas com o ensino da Matemática. Isto significa, entre outras coisas que a matéria deve ser ensinada de um modo significativo matematicamente, considerando as próprias realidades do sistema
educacional” (Bassanezi, 2006, p. 36).
Processo de modelagem enfatizando as aplicações matemáticas, o desenvolvimento da capacidade geral, e de habilidades por parte dos alunos de criar a partir de atitudes próprias, caminhos para a resolução de problemas;
O pleno desenvolvimento do estudante como cidadão atuante, competente em avaliar e formar juízos próprios, reconhecer e entender exemplos representativos de aplicações de conceitos matemáticos;
O conhecimento do aluno, para a utilização da Matemática como ferramenta nas resoluções de problemas em diferentes contextos;
O desenvolvimento de um rico arsenal que faça o aluno entender e interpretar a própria Matemática em todas as suas facetas;
A competência de levar o aluno a compreender melhor os argumentos matemáticos, guardar os conceitos e os resultados e valorizar a própria Matemática;
O ajuste dessa metodologia alternativa às diversas realidades socioculturais.
O longo tempo que a Modelagem impõe é um sério impedimento para cumprir o programa e respeitar os prazos;
A diferença que a Modelagem traz em relação ao ensino tradicional, um dos fatores causador de confusão ou apatia entre os alunos durante as aulas;
O tema pode não ser motivador, quando escolhido pelo professor; A dificuldade que muitos professores trazem, pelo fato de não serem habilitados para trabalhar com a Modelagem (BASSANEZI, 2006, p. 37).
A Modelagem Matemática, utilizada como estratégia de ensino- aprendizagem é um dos métodos a seguir, para alterar um curso de Matemática, tornando-o mais interessante, indepentende do nível de ensino.
De acordo Bassanezi (2006), uma modelagem eficaz, permite prever, explicar, decidir, entender, de um modo geral, participar do mundo real com a possibilidade de influenciar mudanças. O tema deverá ser escolhido no conjunto aluno/professor, sem a imposição do professor, e as habilidades requeridas para o desenvolvimento deverá dirigir as tomadas de decisões no processo de ensino por meio da Modelagem. O uso de modelagem com alunos da Educação Básica quando o tema já é proposto no Currículo Oficial necessita de algumas mudanças quanto ao tema gerador da construção do modelo.
3.2 Modelagem Matemática na perspectiva de Beltrão
A proposta de modelagem segundo Beltrão (2009) é definida como uma ação da realidade para a Matemática. É como se estivéssemos perguntando: “Onde posso encontrar alguma Matemática para me ajudar a enfrentar este problema?(BELTRÃO, p. 101, 2009)
O processo da modelagem se inicia com o estudo de alguma situação-problema, simplificando e estruturando essa situação, a fim de torná-la mais precisa. A autora, a partir de dados apresentados por Barbosa (2001a) e revelados também em outras pesquisas; sobre as dificuldades enfrentadas pelos professores que trabalham com a modelagem na sala de aula, indica que é preciso:
estudante na escolha do tema a ser modelado; a função de conhecimentos prévios na definição de fenômenos da realidade, ou a participação numa abordagem inicial de apresentação dos conteúdos visando suprir conhecimentos prévios necessários e apresentar de modo introdutório, por meio de outras abordagens de cunho mais convencionais os conteúdos.
Segundo a ótica de vários especialistas como Burak (1992) e Bassanezi (2006), a escolha do tema que vai gerar a construção de um modelo matemático deve ser atribuição dos alunos, e que o conjunto de conhecimentos prévios deve orientar o caminho a seguir nesse processo de construção. Em contraposição, Beltrão, assumindo aspectos de sua prática, indica que os conhecimentos prévios, o prazo fixado previamente para construir o programa do curso e as exigências da instituição se constituem em obstáculos quase intransponíveis para frutificarem as orientações de deixar ao encargo do aluno a escolha do tema no processo de modelagem.
Por isso essa autora propõe a construção do modelo matemático em etapas e fases que descreveremos a seguir:
Inicia-se a pesquisa com uma avaliação de sondagem, buscando revisar alguns tópicos matemáticos que serão importantes para a construção do modelo, na sequência, os conteúdos arrolados na ementa do curso são introduzidos aos alunos pelo professor por meio de um breve histórico e por alguns exemplos de aplicações desses conteúdos relacionadas à especificidade do curso do aluno. Nessa introdução podem ainda ser exploradas situações com o auxílio do computador.
Na etapa seguinte são apresentadas as definições dos conceitos, algumas propriedades importantes e exemplos, os quais seguem a orientação indicada por livros didáticos selecionados segundo o objetivo do curso.
Após a introdução formal dos conceitos, é proposto ao aluno a busca de situações em que o conteúdo estudado tenha sido aplicado, preferencialmente em sua área de atuação. Essa proposta pode ser efetivada individualmente ou em grupo, o material coletado é discutido, tanto sobre o assunto tratado na situação, quanto à Matemática nela envolvida.
Essas fases foram nominadas pela autora de Fase I, II e III somente para organizar as estratégias, considerando que na prática poderá haver fusão entre elas.
3.3 A Teoria da Aprendizagem Significativa do David Ausubel
O psicólogo norte-americano David Paul Ausubel é o autor da Teoria da Aprendizagem Significativa, esta cognitivista que procura explicar os mecanismos ou processos internos que ocorrem na mente humana com relação ao aprendizado, à estruturação do conhecimento e a aquisição do conhecimento.
Essa estrutura cognitiva, segundo Ausubel apud Moreira (1999) representa uma estrutura hierárquica de conceitos que são representações de experiências sensoriais do indivíduo. As diversas pesquisas de Ausubel são concentradas principalmente no aprendizado que ocorre dentro da sala de aula, dando conta das relações estabelecidas entre um novo conhecimento e a relação com as ideias anteriores, como acontece esta organização de ideias e as suas relações.
A aprendizagem significativa para Ausubel apud Moreira (1999) implica na aquisição de novos conceitos, ou ainda, é um mecanismo pelo qual um conhecimento novo se relaciona com aspectos relevantes da sua estrutura cognitiva. Para ocorrer a aprendizagem significativa eficazmente em um indivíduo, são necessárias duas condições:
a) a participação ativa do aluno no aprender: se o indivíduo quiser memorizar o material e nunca de modo não arbitrário e literal, então haverá aprendizagem mecânica;
b) a importância do material escolhido não arbitrário ser potencialmente significativo: o significado lógico depende somente da natureza do material, e o significado psicológico é uma experiência que cada indivíduo tem. Cada aprendiz deve fazer essa varredura dos materiais apontando o que tem significado ou não para si próprio (Moreira, 1999, p. 154).
subsunçores, ancorando em conceitos e proposições relevantes, que já fazem parte da estrutura cognitiva do educando.
Em uma aprendizagem denominada mecânica não ocorre um diálogo lógico e claro entre as novas ideias e as já existentes na estrutura cognitiva do sujeito. Desse modo, elas são guardadas de forma arbitrária, de modo que não garanta flexibilidade no seu uso, nem vida útil longa.
Essa aprendizagem traz como consequência, a falta de acquisição da capacidade, do indivíduo, de expressar o novo conteúdo em uma nova linguagem diferente daquela em que um conteúdo foi primeiramente aprendido. E de fato o indivíduo não aprendeu o significado, o sentido do novo material significativamente potencial, mas somente decorou a sequência de palavras que o define. Desse modo, ele será incapaz de utilizar este conhecimento em outros contextos diferentes do inicialmente utilizado. O autor dessa teoria afirma ainda que a aprendizagem mecânica, em alguns casos é necessária e inevitável, isso quando se trata de conceitos completamente novos para o aprendiz, porém mais adiante esse processo já internalizado se transformará em significativo. Para acelerar esse processo Ausubel propõe os “organizadores prévios”, âncoras criadas a fim de manipular a estrutura cognitiva, interligando conceitos já adquiridos a novas ideias, atuando como “ponte cognitiva” ( Moreira, 1999, p. 156).
Os principais conceitos relativos à aprendizagem, segundo a teoria do Ausubel se relacionam esquematicamente de acordo com Cruz:
De acordo com a Teoria da Aprendizagem Significativa, pode se processar tanto por descoberta quanto por recepção:
Descoberta: o aprendiz deve em primeiro lugar descobrir o conteúdo, criando proposições que representem soluções para os problemas suscitados, ou passos sucessivos para a resolução dos mesmos.
Recepção: o conteúdo é apresentado sob a forma de uma proposição substantiva ou que não apresenta problemas, que o aprendiz apenas necessita de compreender e lembrar.
A aprendizagem poderá parecer significativa em qualquer um dos processos, por descoberta ou recepção se a intenção do aprendiz for de memorização. (Moreira, 1999, p.154)
A aprendizagem significativa segundo Moreira (2014) pode ser classificada em três tipos: a representacional, a de conceitos e a aprendizagem proposicional.
A aprendizagem classificada como básica é a aprendizagem representacional, que dá significado aos símbolos ou palavras, cujo resultado é uma aprendizagem representada em função de um conceito novo, é o tipo de aprendizagem que as demais dependem.
A aprendizagem de conceitos é um caso importante de aprendizagem representacional, pois os conceitos são representados na sua individualidade.
A aprendizagem proposicional se refere aos significados de ideias representadas por meio de proposições ou combinações de palavras (quase sempre representando conceitos).
Para tornar um pouco mais claro o processo de aquisição e da organização de significados na estrutura cognitiva, de acordo Moreira (2014), Ausubel propõe a teoria da assimilação.
Essa teoria tem valor tanto para aprendizagem como para retenção de conteúdos e é apresentada por Moreira:
Como exemplo é dado que o conceito de força nuclear será assimilado pelo conceito mais determinado, já adquirido sobre força.
Na sequência, ocorre à assimilação obliteradora, na qual existe um diálogo das informações novas com as já existente, sendo incorporadas, então há alteração de subsunçor devido à aquisição de um novo conhecimento.
Aprendizagem subordinada, superordenada e combinatória.
Subordinada: é o processo em que a nova informação adquire significado por meio da interação com os subsunçores, refletindo uma relação de subordinação do novo material em relação à estrutura cognitiva preexistente.
Superordenada: está associado ao novo conceito que se aprende ser mais completo do que uma ou um conjunto de ideias que já se conhece. O novo conceito ou proposição mais abrangente que passa a subordinar conceitos ou proposições que já existem na sua estrutura cognitiva. Esse tipo de aprendizagem acontece em menor escala do que a subordinada.
Combinatória: é a aprendizagem de proposições, e, em menor escala, de conceitos que não guardam uma relação de subordinação ou superordenação com proposições ou conceitos específicos.
Quando se selecionam os conceitos para serem trabalhados, deve-se determinar como ocorrerá a sequência dos estudos. Ausubel propõe dois princípios que nortearam este trabalho: diferenciação progressiva e reconciliação integrativa.
Diferenciação progressiva: de acordo com Ausubel esse princípio consiste em que as ideias e os conceitos devem ser preferencialmente trabalhados em uma ordem crescente de especificidade, dos mais simples, para os mais específicos. Para justificar, ele utiliza dois motivos (AUSUBEL, 1978, p. 190, apud, MOREIRA, 2014, p. 169):
1. É menos difícil para seres humanos captar aspectos diferenciados de um todo inclusivo previamente aprendido, do que chegar ao todo a partir de suas partes diferenciadas previamente aprendidas.
Reconciliação integrativa: princípio que consiste na ideia de que a instrução deve explorar as relações entre os conceitos e ideias, apontando similaridades e diferenças significativas e reconciliar discrepâncias reais ou aparentes Moreira (2014).
Nesse processo, a disponibilidade das ideias âncoras e a organização dos conteúdos de modo que exista uma articulação entre as ideias podem favorecer a aprendizagem significativa. Os organizadores prévios são conceitos introdutórios que facilitam a aprendizagem de tópicos ou conjuntos de ideias correlacionadas.
Esses organizadores contribuem na organização sequencial favorecendo a articulação entre ideias e a disponibilidade de ideias âncoras é maximizada.
“o fator isolado mais importante que influência a aprendizagem é aquilo que o aluno já sabe; descubra isso e ensine-o de acordo.” AUSUBEL, apud MOREIRA (2014 p. 171).
O autor descreve seu ponto de vista, propõe que a estrutura cognitiva pode ser estimulada substantivamente, pelos métodos de integração e unificação de conceitos.
O papel do professor está na organização do conteúdo a ser ensinado e seu potencial significativo, de modo a organizá-lo numa sucessão de melhor possibilidade de assimilação. De acordo Moreira (2014, p.170), os itens que seguem são elementos que possibilitam a aprendizagem:
- Organizador do conteúdo a ser ensinado e seu potencial significativo, de modo que abrajam os menos inclusivos até chegar exemplos mais específicos.
- Identificador de subsunçores relevantes à aprendizagem do conteúdo a ser ensinado.
- Diagnóstico para obter informações sobre o que realmente o aluno já sabe. - Uso de metodologia de ensino que dê prioridade a associação com os subsunçores do aprendiz de forma a criar uma aprendizagem significativa.
CAPÍTULO IV
Neste capítulo apresento o referencial teórico e os procedimentos metodológicos envolvendo a pesquisa empírica, a Instituição onde a pesquisa aconteceu e o perfil dos alunos.
4. Procedimentos metodológicos 4.1 A pesquisa empírica
A pesquisa aconteceu em uma escola da Rede Estadual de São Paulo do município de Guarulhos, com a participação de alguns alunos do 2º ano do Ensino Médio, da qual ministro a disciplina Matemática.
Os resultados desta investigação são relativos às duas questões de pesquisa: a modelagem matemática organizada por meio de etapas e fases na construção do modelo da função seno traz resultados favoráveis para a aprendizagem desse conceito?, o uso da modelagem matemática no estudo da função seno amplia a possibilidade de uma aprendizagem significativa?
Os estudos históricos e o conhecimento das pesquisas sobre o tema modelagem foram essenciais para o fortalecimento de nosso entendimento sobre o uso de modelagem como metodologia de ensino para a Educação Básica, mais especialmente no curso ministrado pelo pesquisador, no qual o porquê de se aprender Matemática é questionado pelos alunos em cada tópico que lhes é apresentado que não tem aplicação nos seus problemas do dia-a-dia, como cálculo puramente algébrico.
A sala de leitura onde ocorreram as aulas tem o mesmo tamanho das outras, porém o diferencial são as mesas, que já são preparadas para atividades em duplas ou grupos.
A pesquisa ocorreu em um outro ambiente que aquele que utilizavam normalmente em suas aulas. Os recursos pedagógicos eram os mesmos disponíveis para todos os ambientes da Escola.
Para o desenvolvimento das atividades solicitei à Direção da Escola a autorização para a realização da atividade de modelagem fora do horário das aulas e dependi disso para que a atividade acontecesse.
O contexto social da Escola pode ser considerado crítico. O IDESP da escola não atinge bons níveis há cinco anos, incluindo aí os resultados da aprendizagem dos alunos em Matemática. Em função disso a Direção, Coordenação Pedagógica e a Supervisão Escolar, indicam a necessidade de novas práticas pedagógicas ou novas metodologias de ensino por parte dos professores, em especial daqueles que contribuam para uma melhoria paulatina dos resultados da aprendizagem em Matemática.
Como contribuição ao trabalho de pesquisa na Escola a Direção disponibilizou um profissional docente para observar o desenvolvimento da atividade de pesquisa. A escolha desse profissional ficou a meu critério, a qual se deu em função da organização dos horários e sua disponibilidade para acompanhar as atividades no período vespertino.
O professor que contribuiu com a observação e descrição do processo tem graduação na área de Filosofia e atua no magistério há, aproximadamente, 10 anos. O mesmo me acompanhou em apenas duas tardes, quando os alunos desenvolveram os exercícios de 01 a 05 do caderno do aluno (construção do modelo).
Antes do processo de acompanhamento de observação no desenvolvimento da atividade foram definidos quais procedimentos deveriam acontecer durante todo o processo, “de que modo observar”, ou “oque registrar quando observado”.
No caos de esclarecimento de dúvidas que comprometia o resultado da atividade, procurava atender a todos.
A atividade de modelagem foi desenvolvida no período de duas tardes, aproximadamente, seis aulas de 50 minutos. Em cada tarde ocorreram três aulas sequenciais sem interrupções. É importante ressaltar que anterior a atividade de construção do modelo, houve em torno de cinco aulas de Matemática ministradas por mim, o professor/pesquisador, no período da manhã, como professor das turmas do 2º E.M. da Unidade Escolar, que deram suporte a construção do modelo. Durante essas cinco aulas o professor apresenta a situação de aprendizagem 01 do caderno do aluno, trabalha quatro aulas com correções e explicações no quadro negro e em uma aula utilizei a sala de vídeo para discutir com os alunos o tema gerador do estudo das funções trigonométricas. Apenas quando fomos construir o modelo em etapas e fases de acordo com Beltrão (2009), trabalho esse que resultaria nos protocolos dos sujeitos da pesquisa que seriam avaliados é que utilizei o espaço de sala de aula no contra turno. Eu já tinha contato com a turma, pelo fato de ser o seu professor em outro período.
Nas tardes que ocorreram a construção do modelo, em um primeiro momento apresentei o professor observador, que também já era conhecido pelos 15 participantes voluntários da pesquisa. Descrevi aos alunos qual era o papel dele na sala de aula, o de observador.
Mais adiante, no capítulo 6 deste trabalho, quando analiso as atividades desenvolvidas pelos sujeitos da pesquisa, durante a escrita apresento a contribuição do professor observador em todas as intervenções que foram feitas.
Durante as atividades o professor observador em seus relatórios, que foram dois referentes as duas tardes, sempre descreve a dificuldade que os alunos encontraram para resolver situações simples, como representar um ponto no plano cartesiano. Segundo ele, sempre que a atividade envolvia o plano cartesiano, eles tinham dúvidas sobre qual valor deveria vir no eixo horizontal ou vertical. Dúvidas essas, que foram discutidas durante a atividade sondagem.
Houve a necessidade de uma nova orientação dos alunos sobre o significado da metodologia de ensino que estava sendo utilizada, qual seja a modelagem.
tinham dificuldades na compreensão de vários conceitos que seriam utilizados como âncoras, como revelaram a atividade diagnóstica da primeira etapa.
Vários conceitos já haviam sido trabalhados anteriormente em sala, conforme a proposta curricular do Estado de São Paulo propõe nos cadernos de Matemática do Ensino Fundamental e Médio, porém com esta pesquisa ficou demonstrado que uma grande quantidade de alunos não havia compreendido esses conceitos de forma significativa.
As aulas de Matemática para esta pesquisa se desenvolveram da seguinte forma:
Durante uma semana, no período da manhã, foi desenvolvida em sala de aula a atividade de aprendizagem 01 do caderno dos alunos que está descrita neste capítulo no item 5.4. O seu objetivo foi apresentar o fenômeno em estudo e discutir as possíveis representações gráficas no formato de ondas.
Logo após o término desta atividade, foi feito o convite a todos os alunos que tivessem interesse em participar da pesquisa como sujeito e explicado a condição de horários, documentos que a família deveria assinar em função do recolhimento dos protocolos. Foi perguntado a eles se permitiriam a gravação do áudio das conversas durante as aulas destinadas para a pesquisa. Tudo isso foi conversado e quinze alunos (as) se interessaram, num total de 92 alunos referentes a três turmas. No dia seguinte, eles apresentaram os documentos que a escola sugeriu para que os responsáveis por eles os liberassem a frequentarem a escola durante o período da tarde.
Depois que todos os interessados trouxeram os documentos assinados pelos responsáveis, marcamos para a tarde seguinte um encontro para a realização da atividade de sondagem, em aproximadamente 100 minutos os alunos resolveram as questões da atividade e foram dispensados, marcamos um novo encontro para a correção e para tirar as dúvidas que forem pertinentes.
que ocorreriam a construção do modelo e que teríamos a presença do professor observador, explicando a eles qual era o seu papel nessa pesquisa.
Na primeira tarde programada para a construção do modelo, segundo a proposta de Beltrão (2009), com algumas adaptações para a Educação Básica, houve a apresentação dos textos impressos (atividades) e a leitura das cinco atividades pelos alunos. Questionava-os em relação às dúvidas surgidas da leitura e interpretação dos enunciados de forma que todos participassem. Para o encontro, deixei à disposição dos alunos transferidores e compassos.
Durante o desenvolvimento da atividade que observei e interagi quando a dúvida se relacionasse ao significado do fenômeno e sua interpretação. Essa mediação seria de forma a destacar a releitura do enunciado quando esse não fosse interpretado de maneira correta pelo aluno.
Durante a aplicação da atividade alguns alunos liam por diversas vezes e faziam perguntas quanto à interpretação do enunciado indicando a falta de entendimento de alguns dados. A maior dificuldade estava no uso das ferramentas, em como usar o compasso e o transferidor para a construção do ciclo trigonométrico e a medição de ângulos.
Na segunda tarde do encontro, as atividades foram finalizadas considerando-se a etapa e fases propostas por Beltrão (2009), porém o tempo para algumas duplas não foi suficiente, segundo alguns alunos, isso pelo fato da dificuldade enfrentada no uso das ferramentas geométricas.
Houve um bom desempenho por uma parte significativa dos alunos, algumas duplas resolveram as atividades com sucesso. A maior preocupação deles era com as respostas, em “fazer certo”, ou seja, era forte o contrato didático, conforme Silva (2010). Nessa fase as minhas interações eram quanto ao significado que encontrava em cada resposta nos protocolos.
4.2 Referenciais teóricos e procedimentos metodológicos
Os referenciais teóricos que foram adotados nesta pesquisa, para a elaboração de uma abordagem para o ensino da função seno, utilizando a modelagem como metodologia, englobam concepções de Bassanezi (2006), Beltrão (2009) e a teoria de David Ausubel.
A teoria de Ausubel será a referência para a análise da aprendizagem. Assumimos de Bassanezi (2006), que a modelagem matemática em seus vários aspectos é um processo que alia teoria e prática, motiva o seu usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e transformá-la. E também, que essa estratégia de ensino favorece ao educando a possibilidade de transformar problemas do seu contexto real em problemas matemáticos e resolvê-los fazendo interpretações da sua solução no mundo real.
Utilizaremos o termo modelo de acordo com Bassanezi (2006), como sendo o resultado de uma reflexão sobre uma porção da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela – o processo usual de selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial. Ainda segundo esse autor, a modelagem é como o conjunto de símbolos e relações matemáticas, que de alguma forma, representa o objeto estudado, e que a importância do modelo consiste na linguagem apta para expressar nossas ideias com clareza.
Consideramos como Beltrão (2009), o cenário externo (resultados do Saresp) para a primeira tomada de decisão quanto à elaboração de procedimentos para o uso de modelagem como abordagem de ensino, qual seja identificar o perfil dos estudantes, sujeitos da pesquisa, no que tange a conhecimentos prévios da Matemática Básica Assumimos dessa autora, a proposta da construção do modelo matemático em etapas e fases.
• Na primeira, é dada uma breve introdução histórica sobre a Trigonometria e Astronomia apresentada no livro didático (Matemática volume 2, Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz, 2010)
• Na segunda subfase, são apresentados exemplos de representações gráficas de fenômenos periódicos, seguindo o livro didático e a Proposta Curricular do Estado de São Paulo.
• Na terceira, é feita a apresentação de propriedades (matemática formal), que constam na proposta curricular do Estado de São Paulo.
Na Fase 2, o professor/pesquisador apresenta aos alunos as fases da construção de um modelo, retirado da tese de doutorado de Burak (1992), com o tema água e esgoto o autor estima a população de um município do estado do Paraná, em um curso de formação de professores sobre modelagem.
Na terceira fase acontece a construção do modelo seguindo a proposta de modelagem para a função seno de acordo com a Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo.
4.3 O perfil dos estudantes
A escola está situada na periferia e os estudantes buscam nela lazer e entretenimento, a quantidade de alunos evadidos é significativa e são poucos os pais que acompanham as reuniões para informações detalhadas sobre a questão da aprendizagem dos mesmos. Dados coletados do relatório pedagógico do SARESP 2012 apontam que várias habilidades, consideradas importantes, não foram desenvolvidas nessa escola e com os sujeitos desta pesquisa. E assim sendo o índice de reprovação no Ensino Médio é considerado baixo.
CAPÍTULO V
Este capítulo descreve a construção do modelo, com a atividade de sondagem e a sua análise, trazendo apontamentos sobre as habilidades necessárias para o desenvolvimento da situação de aprendizagem em evidência e apresenta alguns protocolos dos alunos participantes durante as fases da pesquisa com suas análises.
5. Uma abordagem para o ensino da função seno utilizando a modelagem 5.1 Etapa 1: atividade para sondagem de habilidades necessárias para a construção do modelo da função seno.
A atividade de sondagem foi norteada pelo que consta do Relatório Pedagógico do SARESP 2010, no qual se encontra o que segue:
O currículo da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo privilegia o uso de competências como mobilizadoras do conhecimento.
Utilizando de competências, “o Currículo tem o compromisso de articular as disciplinas e atividades escolares com aquilo que se espera que os alunos aprendam” (São Paulo, 2010, p.12). É a partir das competências e habilidades que o aluno fará a leitura crítica do mundo, pois as competências caracterizam-se como modo de ser, de raciocinar e de interagir.
Já as habilidades segundo o documento oficial da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, “Matrizes de Referência do SARESP” (2010b): possibilita inferir, por meio de uma escala adequada, o nível em que os alunos dominam as competências cognitivas avaliadas relativamente aos conteúdos das disciplinas e em cada série ou ano escolares. Os conteúdos e as competências (forma de raciocinar e tomar decisões) podem ser observados a partir das diferentes habilidades a serem consideradas nas respostas às diferentes questões ou tarefas avaliadas.
que é necessário que o aluno faça para dar conta do que foi solicitado em cada questão em níveis de proficiências diversos. A seguir, apresentamos as habilidades requeridas dos sujeitos na avaliação de sondagem, necessárias para a construção do modelo da função seno que é um dos objetivos desta pesquisa.
- Identificar diferentes representações de um mesmo número racional.
- Compreender a relação entre as representações fracionária e decimal de um número.
- Efetuar cálculos com multiplicação e divisão de números decimais.
- Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados.
- Identificar propriedades de triângulos pela comparação de lados e ângulos. - Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações.
- Resolver problemas em diferentes contextos, a partir da aplicação das razões trigonométricas dos ângulos agudos.
- Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados; coordenadas cartesianas e equações lineares.
- Representar pontos, figuras, relações e equações em sistemas de coordenadas cartesianas.
-Resolver problemas que utilizam propriedades dos polígonos (Soma de seus ângulos internos e externos).
5.2 As atividades de sondagem, resolução dos alunos e análise das respostas.
1. Calcule sem o uso da calculadora: a) 10,25 + 1,25 =
b) 13,45 X 0,08 = c) 1 : 2 =
d) 1,25 – 0,80 =
Observa-se que havia 6 duplas e uma terna de alunos identificadas na análise com as letras A,B,C,D,E,F e G.
O primeiro exercício explora as operações com os números decimais e o conhecimento do sistema posicional quanto ao uso de algoritmos para cada uma das operações. Busca avaliar como principais habilidades: efetuar cálculos com multiplicação, adição, subtração e divisão de números decimais, cálculos operatórios envolvendo a adição e subtração. Cinco dos relatórios coletados apontam que os sujeitos da pesquisa conhecem o sistema de numeração, fazendo as devidas transformações de unidades, considerando a vírgula como separador entre as ordens das unidades e dos decimais tanto para a adição quanto para a subtração, como mostra a figura 1 da dupla F, representativa das demais.
Figura 9 - Dupla F
Quando questionados pelo pesquisador/professor, os mesmos dizem ter domínio do cálculo mental para essas operações, como segue:
Figura 10- Duplas A e C
Figura 11- Duplas A e C
No item b, seis duplas conhecem o algoritmo da multiplicação, porém nos produtos erravam quanto à colocação da vírgula, apresentando valores com os algarismos certos, porém posicionalmente errados, como mostra o relatório da dupla F.
Figura 12 - Dupla F
As seis duplas de alunos resolviam a multiplicação de números decimais como se fossem números naturais e isso fica evidente no registro de representação acima.
Já o item c, que exigia habilidades de divisão de números decimais, algumas duplas respondem corretamente, porém sem o uso de registros, apenas apresentam o resultado, talvez em função de ser a divisão de um número pelo seu dobro, pode ter favorecido esse resultado. A divisão foi a operação que os alunos apresentaram maiores dificuldades, e durante a aula de retomada desse conteúdo fiz alguns questionamentos sobre o porquê não apresentarem nenhum tipo de registro para a divisão, alguns responderam de fato que não sabiam como resolver e outros não quiseram se manifestar. Segue a resolução do sujeito A.
Figura 13 - dupla A
2. Uma barra de chocolate é dividida em 6 partes iguais. Sabendo que João comeu duas dessas partes, a fração que representa o que sobrou será:
a) b) c) d) e)
Para a resolução desta questão esperava-se que o aluno tivesse a habilidade de identificar fração como parte/todo. Dos relatórios, apenas duas duplas assinalaram a alternativa incorreta e. No momento da validação por meio de
Figura 14: dupla D
3. Localize os pontos a seguir no Plano Cartesiano.
A (2,-3) , B (-1,-2) , C (-2,4) , D (0,1)
Figura 15- Dupla G.
Figura 16: Dupla F
4. Dado o ponto P(1,2), projete P sobre o eixo dos x e identifique a medida dessa projeção.
Cinco relatórios foram apresentados em branco para essa questão, apenas um relatório apresentou o plano cartesiano e representou o ponto sem sublinhar a projeção sobre o eixo x. A seguir apresento o relatório da dupla E.
Figura 17: Dupla E
Os alunos repetem o erro da localização do ponto, não conseguindo identificar as suas projeções como solicitadas. Durante a aula de correções, após representar o ponto e sublinhar as suas projeções sobre os eixos x e y os alunos que não haviam desenvolvido a tarefa acharam simples e justificaram não ter entendido o que era projeção, ou o que representaria na resolução do problema essas projeções. A leitura e interpretação do enunciado se tornaram um obstáculo para alguns, pois a linguagem de projeção não era usual em outras atividades durante as aulas.
5. Seja β um ângulo de 35°. O complementar de β será:
a) 40° b) 55° c) 45° d) 70° e) 35°
e externos). Na Geometria Euclidiana, dois ângulos complementares são ângulos cujas medidas somadas resultam em 90° ou π/2 rad. Das análises, observamos que cinco duplas acertaram a questão, assinalando a alternativa b, e quase sempre respondiam “faltam 55° para completar” reportando às somas de 35° e 55° que têm como resultado um ângulo reto (90°). Duas duplas deixaram em branco e quando questionadas pelo professor disseram que não haviam estudado em nenhum outro momento os ângulos e as suas classificações quanto ser agudo, reto, adjacente e etc. A seguir apresento a solução da dupla C.
Figura 18: Dupla C
Associando o complementar de um ângulo ao que falta para somar um ângulo reto em triângulos retângulos, retomei na aula de correção das atividades, o assunto classificação dos ângulos, permitindo aos alunos que estavam com dificuldades nesse tópico o conhecimento de outros exemplos que não fizeram parte da atividade de sondagem.
6. Com o uso do transferidor e régua, construir ângulos de:
a) 37° b) 130°
transferidor. Em seis relatórios, as duplas utilizam triângulos para representar o ângulo solicitado, marcando apenas o ângulo de 37° e 130° nas figuras, acertando assim a atividade. Apenas duas duplas não desenvolvem e deixam em branco, em suas justificativas, um integrante da dupla B argumentou não ter coordenação motora para tal atividade, porém na aula de retomada do conteúdo fica evidente do não contato do aluno com o transferidor anterior à atividade. Resolvemos (no quadro para todos os alunos) alguns exemplos juntos de construção de ângulos e essas duas duplas começaram a fazer as construções de modo tímido, porém correto. A seguir apresento uma construção feita pela dupla A, que com o uso de régua e transferidor construiu o ângulo de 37° e de 130º .
Figura 19: Dupla A
7. 72° é a medida do:
a) Suplemento de um ângulo de 98° b) Complemento de um ângulo de 98° c) Suplemento de um ângulo de 108° d) Complemento de um ângulo de 108°
assinalaram a alternativa correta, porém não fizeram registros, cálculos de soma ou subtração que envolvessem os ângulos de 180° e 72°, duas duplas deixaram em branco e a justificativa foi desconhecer a propriedade de um suplemento angular. De acordo com as atividades, segue uma representação da dupla C.
Figura 20: Dupla C
8. No triângulo retângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30 graus. O seno do ângulo B vale:
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d)4/5 e) 5/6
propriedades dos triângulos. Como a medida da soma dos ângulos internos de um triângulo e o Teorema de Pitágoras. As demais duplas fizeram as suas representações geométricas e desenvolveram os cálculos algébricos validando o teorema e a definição do seno de um determinado ângulo no triângulo retângulo, que foi necessário para a resolução da questão. A seguir apresento a solução efetuada pela dupla D. Minha participação nesta atividade foi apenas de leitura do enunciado.
Figura 21: Dupla D
Na representação do triângulo ABC, o ângulo C está para representar o ângulo de 90°, logo o lado AB é a hipotenusa do triângulo. Na aula seguinte, quando foi feita a correção, alguns alunos ainda apresentaram dificuldades na conceituação do seno de um ângulo e na leitura e classificação de triângulos quanto aos seus lados e ângulos.
5.3 Análises dos dados da atividade de sondagem
Essa dificuldade está prevista por Duval em sua teoria de representação semiótica (DUVAL, 2011).
Após a correção da atividade de sondagem dei inicio as fases da
construção do modelo com adaptações ao Ensino Médio de etapa e fases e como propostas por Beltrão (2009).
5.4 As abordagens de ensino descritas por meio de etapa e fases
A construção do modelo do movimento do Sol pela função seno teve como objetivo avaliar se o uso de modelagem matemática para o ensino do conceito da função seno resulta em uma aprendizagem significativa desse conteúdo. A atividade realizada é aquela proposta no caderno vol. 1 de Matemática do 2° EM da Rede Estadual de São Paulo (2009). Essa escolha teve por objetivo contribuir com os professores de Matemática em particular com os da Escola Pública. A construção do modelo da função seno feita na unidade escolar indicada no item 4.1 desta dissertação e teve ainda como objetivo, estudar à luz da Teoria da Aprendizagem Significativa de David Ausubel, se o uso de conhecimentos a priori resulta ou auxilia na conceituação de um novo aprendizado.
