MEDIDAS: CONSIDERAÇÕES SOBRE O CONHECIMENTO PRESENTE NO LIVRO ENSINO DE ARITHMETICA: PARTE THEORICA,
DE LUIZ SCHULER (RIO GRANDE DO SUL, 1904)
Claudemir de Quadros Universidade Federal de Santa Maria claudemirdequadros@gmail.com
Resumo
Neste texto destaca-se a análise dos conceitos de medida abordados no livro Ensino de
arithmetica: parte theorica, de Luiz Schuler, publicado no Rio Grande do Sul em 1904. A
preocupação da Aritmética como um campo de estudo separado da Álgebra e da Geometria, distintamente da tendência atual em que estes campos estão integrados, e que a abordagem usada para introduzir os sistemas metrológicos direciona pouca atenção para aspectos conceituais e teóricos, mas destaca tabelas e conversões entre os sistemas, com ênfase em exercícios e cálculos que requerem memorização, e em situações-problema relacionados com a vida das pessoas. Destaca-se, ainda, que o livro de Luiz Schuler pode ter tido circulação restrita ao Rio Grande do Sul, uma vez que não se encontrou referências a ele nos principais trabalhos que abordam o ensino de Aritmética no Brasil, em especial os de Zuin (2007) e Costa (2010).
Introdução
Ter parâmetros quantitativos de medida sobre determinadas grandezas foi uma perspectiva presente, ao longo do tempo, na vida das pessoas, assim como esteve relacionada às necessidades de descobrir o mundo. Portanto, a idéia de medida surgiu das necessidades de se quantificar grandezas.
Segundo Estrada (2000), os primeiros registros do conceito de medida foram localizados entre os babilônicos. Também foram encontrados com os egípcios, gregos, romanos e chegaram aos dias atuais tendo sido alterados de acordo com as necessidades humanas e com os ajustamentos necessários que um conceito, que faz parte da estrutura da Matemática, teve com o desenvolvimento científico e tecnológico da sociedade. Na origem do conceito de medida estiveram atividades relacionadas com a agricultura, a economia, a arquitetura. Na atualidade, é um conceito presente nas mais diversas áreas do conhecimento.
A Geometria é a área da Matemática em que o conceito de medida tem um papel fundamental, uma vez que, por meio dele, pode-se medir comprimentos, áreas, volumes. Outra área importante é a Trigonometria, que é o estudo dos triângulos, com especial destaque para a medida de ângulos, importante para a Astronomia. Estrada (2000) destaca que é no âmbito da Astronomia que estão registradas as mais antigas relações das pessoas com o conceito de medida, em função da necessidade de estabelecer, compreender ou medir os ciclos do tempo, como anos, meses, dias, horas, minutos, segundos.
Pode-se destacar que a importância do conceito de medida está evidenciada em vários documentos oficiais que estruturam o sistema de escolarização, como os Parâmetros
fundamental este documento destaca competências específicas relacionadas com os conceitos de medidas, quais sejam: compreensão dos conceitos de comprimento, perímetro, área, volume, capacidade, assim como a aptidão para efetuar medições e estimativas em diferentes situações e a compreensão do Sistema Internacional de Medidas. O mesmo documento, em suas orientações, destaca os seguintes objetivos relacionados à questão de medidas: efetuar medições utilizando diferentes instrumentos para resolver problemas do cotidiano das pessoas; construir um conceito aproximado de medida e utilizá-lo para fazer estimativas de medição; identificar que tipo de atributos de um objeto são possíveis de mensuração; compreender o procedimento de medir explorando estratégias e o uso de instrumentos de medição.
Por outro lado, os mesmos parâmetros curriculares enfatizam a importância da referência à História da Matemática e realçam que proporcionar o conhecimento da gênese da Ciência pode ser importante para a compreensão dos conceitos matemáticos.
Ponte (2007), ao tratar dos programas de Matemática para o ensino básico em Portugal, ressalta a importância dos estudantes conhecerem a História da Matemática e terem apreço pela sua contribuição para a cultura e para o desenvolvimento da sociedade contemporânea. No Brasil, os Parâmetros curriculares nacionais para o ensino fundamental
e médio (Brasil, 1998) também sugerem que seja fomentado o interesse pelos fatos históricos
da Matemática e que estes sejam relacionados com os conhecimentos que serão, de uma forma ou de outra, objeto de estudo nas salas de aula. Sugerem, ainda, que seja desenvolvida a capacidade de estabelecer relação entre os fatos históricos da Matemática com a história geral do desenvolvimento da humanidade e da Ciência.
Ball (2001), defende a importância de se considerar o desenvolvimento histórico de determinados conceitos matemáticos ao afirmar que
um conhecimento sólido sobre conceitos e procedimentos matemáticos, reconhecendo a sua importância e evolução ao longo dos tempos, permitirá compreender a Matemática. Mas compreendemos algo quando conhecemos a sua gênese e a sua evolução, quando contactamos com situações que permitiram o desenvolvimento do conceito, da ciência. (Ball, 2001, p. 3)
fundamental e médio, bem como a sua presença na escola secundária ao longo de todo o século 20. Neste contexto, apresentam-se algumas considerações sobre o livro Ensino de
arithmetica: parte theorica, de Luiz Schuler, publicado em São Leopoldo, no Rio Grande do
Sul, em 1904.
Breve história das medidas
De acordo com Boyer (1996), é na Astronomia que se encontram os mais antigos registros das relações do conceito de medida com o homem. Sabe-se que os povos primitivos reconheciam a importância do conhecimento das estações do ano para identificar a época das plantações e das colheitas, assim como reconheciam a importância da posição das estrelas, que lhes permitia perceber o sentido de orientação e os auxiliava nos deslocamentos.
Mas quando, de fato, começou-se a medir? A resposta a esta pergunta é difícil de precisar, mas, provavelmente integrantes de grupos humanos primitivos usavam maneiras intuitivas de medir quando, por exemplo, tinham percepção ou conhecimento de que certa quantidade de alimento saciava a sua fome ou quando comparavam um peixe com outro para saber qual o maior ou menor, ou seja, os procedimentos criados ou desenvolvidos pelos povos primitivos para medir grandezas eram simples: usavam partes do corpo, como o comprimento do pé, a largura da mão, o palmo, o passo, uma vara ou bastão para estabelecer comparações (Struik, 1979).
Boyer (1996) aponta que o homem primitivo comparava a massa de dois corpos equilibrando-os um em cada mão. A partir dessa idéia de comparação foi que surgiu o primeiro instrumento de medida de massas, que foi uma vara suspensa no meio por uma corda. Os objetos eram pendurados nas extremidades e, caso houvesse equilíbrio, era sinal de que possuíam a mesma massa.
Já o tempo era medido pelo registro das repetições dos fenômenos periódicos da natureza. Eram feitos registros do período entre o nascer e o pôr do sol, a sucessão de luas cheias, períodos de inverno e verão. Assim, contavam-se os dias por sóis, os anos por invernos ou verões e os meses por luas cheias. A periodicidade de eventos foi percebida como um modo exato de medir o tempo.
A semana com sete dias foi estabelecida pela divisão do mês em quatro semanas e não tem uma relação com fenômenos naturais. O dia foi determinado pelos períodos de rotação da Terra em torno do seu eixo. A hora é a vigésima parte do dia, tem sessenta minutos e todos os minutos têm sessenta segundos. De acordo com Evans (1992), esta divisão foi estabelecida pelos babilônicos há, aproximadamente, 2000 a. C., pois adotavam o sistema de base sexagesimal de medida.
Nos dias atuais, o ano é o período de tempo em que a Terra faz o movimento de translação em torno do Sol, o que leva 365 dias, 5 horas, 48 minutos, 45 segundos 7 décimos. Como se considera o ano com 365 dias, então, a cada quatro anos as horas e os minutos que sobram formam um dia, que aparece no ano bissexto.
Por fim, pode-se dizer que com o estabelecimento de grupos humanos maiores e mais organizados do ponto de vista social, político, econômico, requereu-se que tais processos de medida fossem aprimorados, pois se observava que os instrumentos de medida usados variavam de pessoa para pessoa. As construções de casas, navios, divisão de terras e o comércio passaram a demandar medidas padronizadas e mais complexas, isto é, que fossem as mesmas em qualquer lugar e situação. Assim, de acordo com o desenvolvimento civilizacional, novos instrumentos e padrões de medidas foram criados.
Na tentativa de estabelecer um padrão de medida e resolver o problema da diversificação de sistemas de medidas, a Academia de Ciência da França, em 1789, propôs a criação e implantação do Sistema Métrico Decimal, constituído por três unidades básicas: o metro, o litro e o quilograma. Este sistema trouxe a possibilidade de padronização das medidas, uma vez que tinha como qualidades a simplicidade, a coerência e a harmonia.
O Sistema Métrico Decimal foi adotado por vários países, inclusive pelo Brasil1, mas não foi possível torná-lo universal. Inglaterra e Estados Unidos mantiveram em vigor os seus próprios sistemas de medidas, pois, segundo alguns cientistas ingleses e norte-americanos a proposta falhava na precisão das definições, bem como não era compatível com o desenvolvimento tecnológico que se iniciava e que demandava medições mais precisas e diversificadas. Assim, em 1960 o Sistema Métrico Decimal foi substituído pelo Sistema Internacional de Pesos e Medidas, que redefiniu os sistemas anteriores, tornando-os mais precisos.
Essas definições ou situações repercutiram no ensino da Aritmética e, em especial, no ensino das medidas no âmbito escolar. Um dos exemplos disso é o livro Ensino de
arithmetica: parte theorica, de Luiz Schuler, publicado em São Leopoldo, Rio Grande do Sul,
em 1904.
O ensino de Arithmética de Luiz Schuler
De acordo com Roxo (1937), os primeiros registros sobre programas oficiais de ensino de Arithmética datam de 1830, com a fundação de escolas primárias e secundárias, como o Colégio Pedro II, criado em 1838. Este colégio foi responsável pela publicação de uma grande variedade de livros, que serviram como referenciais para as demais instituições de ensino secundário do país.
Já Schubring (2003) indica que os livros textos publicados no Brasil, no final do século 19 e início do século 20, foram influenciados pela literatura francesa, principalmente por Lacroix2:
No Brasil a influência de Lacroix foi particularmente extensa. Já nos primeiros três anos de existência da imprensa houve no país cinco traduções de livros utilizados nas escolas de ensino elementar na França, quais sejam: Tratado Elementar D’Arithmetica; Elementos d’Algebra; Tratado Elementar de Aplicações D’Algebra á Geometria; Elementos de Geometria; Tratado Elementar de Cálculo Diferencial e Integral. (Schubring, 2003, p. 127)
Desta afirmação pode-se concluir que, no Brasil, a influência francesa perpassou o ensino secundário e também superior, por um longo período.
O livro Ensino de arithmetica: parte theorica, de Luiz Schuler, na sua terceira edição, é apresentado num volume único e aborda temas relacionados com números inteiros, frações, potências e raízes, medidas razões e proporções, progressões e logaritmos. Os conteúdos são abordados a partir de definições formais e seguidos de exemplos. Não há referência à História
da Matemática e percebe-se a preocupação com o estudo da Aritmética como um campo de estudo separado da Álgebra e da Geometria, distintamente da tendência atual, em que estes campos estão integrados.
O livro se estrutura em oito capítulos, conforme descrito no quadro que segue.
Quadro 1 - Capítulos, temas e subtemas abordados no livro Ensino de arithmetica: parte theorica, de Luiz Schuler.
Capítulo Tema Subtemas
Capítulo 1 Números inteiros Definições. Numeração. Operações. Divisi-bilidade dos números. Números primos. Maior divisor comum e menor múltiplo comum.
Capítulo 2 Frações Definições e propriedades das frações ordinárias. Operações sobre as frações ordinárias. Frações decimais, frações periódicas. Frações aproximadas e continuas.
Capítulo 3 Potências e raízes Operações sobre as potências. Extração da raiz quadrada. Extração da raiz cúbica. Capítulo 4 Medidas Sistema métrico. Sistema antigo. Números
complexos. Conversões de medidas.
Capítulo 5 Razões e proporções Proporções propriamente ditas. Equidiferenças.
Capítulo 6 Aplicações das proporções Regra de três. Regra de juro. Regra de desconto. Divisão proporcional - regra de companhia.
Capítulo 7 Progressões Progressões aritméticas. Progressões geo-métricas.
Capítulo 8 Logaritmos Definições e teoremas. Logaritmos vulgares. Construções de tábuas de logaritmos. Uso das tábuas.
Conforme o subtítulo do livro indica, trata-se da parte teórica. Além disso, na figura 1, se pode ver uma anotação feita à mão e com lápis vermelho, por quem talvez tenha usado o livro, onde se lê 1ª parte. Assim, possivelmente, tenha havido outro livro ou uma segunda parte, talvez de prática ou de exercícios, que não foi localizada.
Todo o conteúdo do livro é estruturado a partir de definições, no geral breves e lacônicas, como, por exemplo: “Quantidade ou grandeza é tudo o que póde aumentar ou diminuir” ou “Arithmetica é a sciencia dos numeros” (Schuler, 1904, p. 3). Sobre as definições das operações, o autor destaca que “limitamo-nos a dar as definições das operações fundamentaes, suppondo concluído o estudo exacto dellas na aula primaria” (Schuler, 1904, p. 5).
Nas operações, além da definição, são apresentados exemplos:
10. Parenthesis ou colchete é um sinal ( ) ou [ ] que indica um todo com o qual se deve operar.
Ex.: (5 - 3) - (3 -2 ) = 2 -1 = 1 [(8 - 5) + (18 - 13)] 8 = (3 + 5) 8 = 64. (Schuler, 1904, p. 5)
Figura 2 - Definição e exemplo do livro Ensino de arithmetica: parte theorica, de Luiz Schuler.
Pela figura 2 pode-se ver que, ao tratar das propriedades das operações, que autor chama de princípios, destaca-se a propriedade (b), pela qual se estabelece que “para multiplicar ou dividir um producto, basta multiplicar ou dividir um factor”. Especialmente para a operação de multiplicação, a propriedade, que hoje chamamos de associativa, é descrita a partir da definição de multiplicação como soma de parcelas iguais, conforme o exemplo (4.5)2 = (5+5+5+5) + (5+5+5+5) = 8.5 (Schuler, 1904, p. 6).
O autor não tem a preocupação em apresentá-la como (4.5)2 = 4(5.2) = 4(2.5) = (4.2)5 = 8.5, que é uma combinação da propriedade comutativa e associativa. Porém, quando existe um produto de mais fatores, Schuler (1904) faz uso das propriedades comutativa e associativa, conforme o exemplo da mesma página: 5.3.2.4 = (5.3)(2.4) = (2.4)(5.3) = (4.2)(3.5) = 4.2.3.5
No caso da divisão de um produto, Schuler (1904), propõe o seguinte: (8.5) ÷ 2 = 4.5. Neste caso, apresenta um exemplo em que o fator que divide o produto é divisível por um dos elementos, mas este fato não é sempre válido, pois se trabalha com o conjunto dos números naturais, (5.3) ÷ 2, que não seria possível ser realizado, pois 5 e 3 não são divisíveis por 2. No estudo da Aritmética, nos livros atuais, o cuidado em verificar a validade das operações aparece em destaque.
No contexto da publicação de Schuler (1904), cabe observar que, no Rio Grande do Sul, a Aritmética apareceu em inúmeras normativas que estruturaram o sistema de escolarização como, por exemplo, na lei n. 14, Lei de Instrução Primária de 1837:
Art. 1º - As escolas publicas de instrucção primaria comprehendem as tres seguintes classes de ensino: 1ª - Leitura, e escripta, as quatro operações de Arithmetica sobre numeros inteiros, fracções ordinarias, e decimais, e proporções, princípios de Moral de Christã, e da religião do Estado, e a Grammatica da Língua Nacional. 2ª - Noções geral de Geometria theorica, e pratica. 3ª - Elementos de Geographia, Francez, e Desenho. (Arriada; Tambara, 2004, p. 15)
instrução primária e secundária da Província de São Pedro do Rio Grande do Sul de 1857; Regulamento de 24 de janeiro de 1859; Regulamento de 26 de janeiro de 1859; Regulamento do curso de estudos da escola normal de 1872; Curso de estudo da escola normal de 1876; Regulamento da instrução pública primária de 1876; Regulamento para escola noturna provincial de 1876; Lei n. 1.046, de 20 de maio de 1876; Regulamento da instrução pública de 1881 e Ato n. 141, de 30 de novembro de 1883.
Já no período republicano e mais próximo do ano de publicação do livro de Luiz Schuler (1904), pelo decreto n. 89, de 1897 (art. 5º), definiu-se que o ensino elementar abrangeria conteúdos relacionados com contar e calcular, aritmética prática, inclusive a regra de três, geometria prática e o sistema métrico. Já no programa para o ensino elementar, estipulado pelo decreto n. 239, de 1899, envolvia o estudo da Aritmética, da Geometria Prática e do Desenho.
Neste contexto, Búrigo3 (2014) afirma que
o programa para o ensino da Aritmética projetava um estudo dos números gradativamente complexificado, iniciando pela contagem, soma e subtração mental, estendendo-se à multiplicação e divisão e aos algoritmos das operações (“na pedra” ou “na lousa”), passando pelas frações decimais e ordinárias, pelo uso do sistema métrico decimal, e avançando, na terceira classe, até as regras de três simples e composta, a extração da raiz quadrada e da raiz cúbica de números inteiros, decimais e fracionários. (p. 15)
Em relação ao conteúdo de medidas apresenta-se, no livro de Schuler (1904), uma introdução dos sistemas de pesos e medidas, bem como tabelas de conversão do sistema antigo para o novo sistema. É importante registrar que o novo sistema não é o atual Sistema Internacional de Pesos e Medidas, criado em 1960. Para melhor compreender o sistema de medidas que era usado mostra-se, na figura a seguir, a equivalência entre o sistema antigo e o novo sistema, chamado de Sistema Métrico Decimal.
Figura 3 - Tabela de relações entre as medidas do sistema métrico e o antigo sistema de medidas.
Analisando-se as relações entre as medidas do sistema métrico e o antigo sistema pode-se destacar, pelo menos, quatro elementos ou situações: primeiro: no sistema antigo usavam-se os tipos de medidas que são empregadas ainda nos dias atuais, quais sejam, comprimento, superfície, volume, capacidade e peso. Segundo: das medidas de comprimento ainda são usadas, oficialmente, apenas a milha e a polegada, e, informalmente, o palmo. Em relação à medida em milha o valor em km também não corresponde ao atual, que equivale a 1,609 km, tratando-se de milha terrestre, embora exista a milha marítima, que equivale a 1,852 km. Terceiro: as medidas de comprimento, superfície e capacidade possuíam subdivisões em itinerárias e ordinárias, agrárias e ordinárias, secos e líquidos, respectivamente, o que não é mais destacado nos livros didáticos. Por fim, das medidas do sistema antigo, muitas desapareceram do cotidiano das pessoas, como as medidas de comprimento - braça e linha. Já as medidas de superfície, légua, geira e vara; as medidas de volume, as medidas de capacidade, como moio, fanga, quarta, almede; e de peso, como quintal, marco e oitava, praticamente inexistem nos dias atuais.
Atualmente, o sistema de pesos e medidas é um conteúdo presente nos livros didáticos voltados para o ensino fundamental e médio, assim como também há recomendações de seu estudo nos parâmetros curriculares nacionais para estes níveis de ensino. Os seus conteúdos estão orientados na direção da comparação de grandezas da mesma natureza pelo uso de instrumentos de medidas de comprimento, área, volume, capacidade, massa, tempo e suas relações, incluindo, também, o sistema monetário. Estes documentos enfatizam a importância do estudo das grandezas e das medidas, pois permite a interligação entre a Aritmética, Álgebra, Geometria e outros campos do conhecimento, diferentemente da proposta do livro analisado. A própria história dos conceitos sugerem caminhos para a abordagem dos conteúdos de forma interligada e um exemplo disto é o estudo dos conjuntos de números porque, quando se amplia os campos numéricos, estes, historicamente, estão associados à resolução de situações-problema que envolvem medidas.
Considerações finais
A preocupação central é com definições formais e lacônicas, seguida de listagem de exemplos da solução do problema. Da leitura do livro percebeu-se que os problemas apresentados, principalmente aqueles vinculados com os sistemas de pesos e medidas, tinham relações com aplicações práticas do conteúdo. Os problemas envolvem as relações entre as medidas dos sistemas e requerem o conhecimento dos valores de conversão. Neste caso, ou era permitido consultar à tabela ou os alunos memorizavam as relações, o que talvez aumentasse o grau de dificuldade de resolução dos problemas.
Destaca-se, ainda, que o livro de Luiz Schuler pode ter tido circulação restrita ao Rio Grande do Sul, uma vez que não se encontrou referências a ele nos principais trabalhos que abordam o ensino de Aritmética no Brasil, em especial os de Zuin (2007) e Costa (2010).
Referências
ARRIADA, Eduardo; TAMBARA, Elomar (org.). Leis, atos e regulamentos sobre educação
no período imperial na Província de São Pedro do Rio Grande do Sul. Brasília: Inep, 2004.
BALL, Deborah L et al. Research on teaching mathematics: the unsolved problem of teachers’ mathematical knowledge - handbook of research on teaching. New York: Richardson, 2001.
BOYER, Carl B. História da matemática. São Paulo: Edgar Blucher, 1996.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.
BÚRIGO, Elisabete Zardo. Aritmética nas escolas primárias gaúchas na primeira metade do século 20: o ensino prescrito. Hist. Educ. (Online), v. 18, n. 44, 2014, p. 9-25.
COSTA, David Antonio da. A aritmética escolar no ensino primário brasileiro (1890-1946). São Paulo: PUCSP, 2010. 278f. Tese (doutorado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
EVANS, Harrell. An introduction to the history of mathematics. USA, 1992.
ESTRADA, Maria Fernanda et al. História da matemática. Lisboa: Universidade Aberta de Lisboa, 2000.
ROXO, Euclides. A matemática na escola secundária. São Paulo: Nacional, 1937.
SCHULER, Luiz. Ensino de arithmetica: parte theorica. 3. ed. São Leopoldo: Thypographia do Centro, 1904.
SCHUBRING, Gert. Análise histórica de livros de matemática. Campinas: Autores Associados, 2003.
STRUIK, Dirk. J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1989.
