RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO CONJUNTOS NUMÉRICOS

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CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números Naturais (ℕ)

Definição: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Números Inteiros ( ℤ )

Definição: ℤ = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Números Racionais (ℚ)

Definição – É todo número que pode ser escrito na forma:

p com p ∈ℤ e q ∈ℤ*.

q

Frações, Decimais e Fração Geratriz Decimais exatos

2 = 0,4 1 = 0,25

5 4

RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO

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Números Irracionais (𝕀)

Definição: Todo número cuja representação decimal não é periódica.

Exemplos:

0,212112111... 1,203040... π

Números Reais ( ℝ )

Definição: Conjunto formado pelos números racionais e pelos irracionais.

ℝ = ℚ ∪ 𝕀, sendo ℚ ∩ 𝕀 = Ø

Subconjuntos

ℝ* = {x ∈ R | × ≠ 0} → reais não nulos ℝ+ = {x ∈ R | × ≥ 0} → reais não negativos ℝ*₊ = {x ∈ R | × > 0} → reais positivos ℝ_– = {x ∈ R | × ≤ 0} → reais não positivos ℝ*_- = {x ∈ R | × < 0} → reais negativos

Números Complexos (C)

Definição: Todo número que pode ser escrito na forma a + bi, com a e b reais.

Exemplos:

3 + 2i – 3i – 2 + 7i 9

1,3 1,203040... π

Resumindo:

Todo número é complexo.

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Raciocínio Lógico Matemático – Prof. Dudan

Teoria dos Conjuntos (Linguagem dos Conjuntos)

Classificação dos Conjuntos

Vejamos a classificação de alguns conjuntos:

• Conjunto Unitário: possui apenas um elemento. Exemplo: o conjunto formados pelos nú- meros primos e pares.

• Conjunto Vazio: não possui elementos, é representado por ∅ ou, mais raramente, por { }.

Exemplo: um conjunto formado por elemento par, primo e diferente de 2.

• Conjunto Universo (U): possui todos os elementos necessários para a realização de um es- tudo (pesquisa, entrevista, etc.)

• Conjunto Finito: um conjunto é finito quando seus elementos podem ser contados um a um, do primeiro ao último, e o processo chega ao fim. Indica-se n (A) o número (quantidade) de elementos do conjunto “A”.

Exemplo: A = {1, 4, 7, 10} é finito e n(A) = 4

• Conjunto Infinito: um conjunto é infinito quando não é possível contar seus elementos do primeiro ao último.

Relação de Pertinência

É uma relação que estabelecemos entre elemento e conjunto, em que fazemos uso dos símbolos ∈ e ∉.

Exemplo:

Fazendo uso dos símbolos ∈ ou ∉, estabeleça a relação entre elemento e conjunto:

a) 7 ∈ ℕ b) – 9 ∉ℕ c) 0,5 ∉𝕀

d) – 12,323334 ∈ ℚ

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Relação de Inclusão

É uma relação que estabelecemos entre dois conjuntos. Para essa relação, fazemos uso dos símbolos ⊂, ⊄, ⊃ e ⊅.

A ideia é que um conjunto esteja dentro (contido) do outro e vice-versa.

Exemplos:

Fazendo uso dos símbolos de inclusão, estabeleça a relação entre os conjuntos:

ℕ ⊂ ℤ ℚ⊄ℕ ℝ ⊄ 𝕀 𝕀 ⊄ ℚ

Observações:

• Dizemos que um conjunto “B” é um subconjunto ou parte do conjunto “A” se, e somente se, B ⊂ A.

• Dois conjuntos “A” e “B” são iguais se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A.

• Dados os conjuntos “A”, “B” e “C”, temos que: se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.

• O total de subconjuntos é dado por 2^e, onde "e" é o número de elementos do conjunto.

Exemplo: o conjunto A = {1, 2, 3, 4} possui 16 subconjuntos, pois 2⁴ = 16.

1. Certo dia o professor Dudan estava conversando com mais 4 alunos e tentava descobrir o número total de subconjuntos que poderia formar com os presentes nessa conversa.

Esse número, calculado de forma correta é de . a) 15

b) 16 c) 30 d) 32 e) 40

2. Certo dia o professor Dudan disse em aula que poderia criar 128 subconjuntos com os objetos que havia em sua mesa. Sendo assim é coreto afirmar que o número de objetos na mesa do professor é de.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

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Relações entre Conjuntos

→ Se B é subconjunto de A, pode-se dizer que B é parte de A, ou que B está contido em A.

Um exemplo fácil é a relação entre sua cidade natal e seu estado.

→ A e B são conjuntos disjuntos, eles não possuem elementos em comum, ou seja, nenhum elemento de A também pertence a B, e vice-versa

Um exemplo fácil é a relação entre dois países que não fazem fronteira

→ Os diagramas de A e B estão entrelaçados, significa que estes dois conjuntos possuem apenas alguns elementos em comum.

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União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos

3. Foi feita uma pesquisa alimentar entre os alunos do GG e com isso foi definido que :

A é o conjunto de todas as pessoas que gostam de aspargos e B é o conjunto de todas as pessoas que gostam de brócolis , conforme representado no diagrama a seguir:

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Raciocínio Lógico Matemático – Prof. Dudan Com base nessas informações, é correto afirmar que

a) a região I representa o conjunto de todas as pessoas que gostam de brócolis, mas não gostam de aspargos .

b) a região II representa o conjunto de todas as pessoas que gostam dos dois legumes.

c) a região III representa o conjunto de todas as pessoas que gostam de aspargos, mas não gostam de brócolis.

d) a região IV representa o conjunto de todas as pessoas que gostam dos dois legumes.

e) U representa o conjunto de todas as pessoas que não gostam de nenhum desses dois legumes.

4. No diagrama a seguir, considere que há elementos em todas as seções e interseções.

Nessa situação, é verdade afirmar que.

a) todo elemento de P, que não é elemento de R, é elemento de Q.

b) todo elemento de Q, que não é elemento de R, não é elemento de P.

c) todo elemento de R, que é elemento de Q, não é elemento de P.

d) qualquer elemento de P, que não é elemento de Q, é elemento de R.

e) todo elemento de R, que não é elemento de Q, é elemento de P.

5. Numa turma do GG fez-se uma pesquisa entre os alunos, com duas perguntas apenas: Quer ser policial ? Quer ser professor?

Sabe-se que 83 alunos responderam sim à primeira e 76 responderam sim à segunda.

Se 35 responderam sim às duas e 22 responderam não a ambas, o número de alunos dessa turma é:

a) 216 b) 181 c) 146 d) 123 e) 105

(10)

c) 10 d) 8 e) 3

7. No grupo de professores do GG , verificou-se que 19 gostam de apenas um dos sabores de pizza:

Margarita ou Calabresa;11 gostam de Margarita; 5 gostam dos dois sabores e 9 não gostam de Calabresa. Sendo assim, o número total de professores é igual a:

a) 27 b) 33 c) 38 d) 44 e) 51

E se forem 3 conjuntos??

IMPORTANTE: quando somarmos os três conjuntos integrais teremos um excedente que é resultado de: d + e + f + 2g

Gabarito: 3. B 4. E 5. C 6. D 7. A

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8. A tabela abaixo apresenta os resultados de uma pesquisa que questionou cem alunos do GG a respeito de estudo de RLM, Português e Direito.

IDIOMA QUANTIDADE

RLM 41

Português 29

Direito 26

RLM e Português 15

Português e Direito 8

RLM e Direito 19

RLM/Port/Direito 5

Baseando-se nos resultados dessa tabela, é CORRETO afirmar que o total de participantes da pesquisa que não estuda nenhuma das três disciplinas é igual a:

a) 38 b) 41 c) 59 d) 73 e) 85

9. Numa pesquisa foram entrevistadas 180 pessoas a respeito de suas preferências sobre três tipos de chocolate: amargo, meio amargo e ao leite. Foi constatado que:

110 informaram que gostam de chocolate ao leite; 60 gostam de chocolate meio amargo; 25 gostam de chocolate amargo; 50 gostam de chocolate ao leite e meio amargo; 10 gostam de chocolate amargo e meio amargo; 13 gostam de chocolate ao leite e amargo; e, 5 gostam dos três tipos de chocolate.

Quantas pessoas entrevistadas não gostam de nenhum dos três tipos de chocolate?

a) 10 b) 52 c) 53 d) 68 e) 88

10. Considere as seguintes proposições a respeito de uma pesquisa:

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Disso, conclui-se que:

a) 50 pessoas tomam apenas o refrigerante da marca B.

b) 100 pessoas tomam apenas o refrigerante da marca A.

c) 70 pessoas tomam apenas o refrigerante da marca B.

d) foram consultadas ao todo 205 pessoas.

e) 75 pessoas tomam apenas o refrigerante da marca A.

Conjunto Complementar

Considere A um conjunto qualquer e U o conjunto universo.

Todos os elementos que não estão em A estão no complementar de A.

Veja o diagrama de Venn que representa o complementar de A, indicado por A^C,

Assim o complementar de um subconjunto A se refere a elementos que não estão no conjunto A.

Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo U, sendo o conjunto A^C o complementar de A formado pelos elementos de U que não pertencem a A.

Vamos exemplificar como o contexto é importante para determinar o conjunto complementar.

Considere o conjunto A={0,2,4,6,8,10,…}

Veja como fica se o conjunto universo no nosso contexto for N (números naturais).

A^C=N−A={1,3,5,7,9…}

B) Conjunto universo U=Z

Agora, se o conjunto universo no nosso contexto for Z (números inteiros):

A^C=Z−A={…,−3,−2,−1,1,3,5,7,9…}

Complemento Relativo

Sejam A e B dois conjuntos tais que A c B, chama-se complementar de A em relação a B, indicado por , o conjunto dos elementos que pertencem a B e não pertencem A.

Gabarito: 8. B 9. C 10. E

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Exemplo:

Seja U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , A = {0,2,4,6,8,10} , B= {1,3,5,7,9} e C = {2,4}, determine:

a) b) c)

COMO ISSO PODE SER COBRADO NA SUA PROVA?

11. Para um conjunto qualquer X, n(X) representa a quantidade de elementos de X. Nesse sentido, considere que os conjuntos A, B e C tenham as seguintes propriedades:

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12. Em uma empresa com 120 funcionários, 42 recebem vale-transporte e 95 recebem vale- refeição. Sabendo que todos os funcionários da empresa recebem ao menos um desses dois benefícios, o total de funcionários que recebem ambos os benefícios é igual a

a) 25.

b) 17.

c) 15.

d) 19.

e) 20.

13. Conversando com os 45 alunos da primeira série de um colégio, o professor de educação física verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam vôlei, sendo que 4 alunos não jogam nem futebol nem vôlei. O número de alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei é

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

14. Considere as seguintes proposições a respeito de uma pesquisa:

I – 100 pessoas tomam o refrigerante da marca A.

II – 70 pessoas tomam o refrigerante da marca B.

III – 25 pessoas tomam os refrigerantes das marcas A e B ao mesmo tempo.

IV – 10 pessoas não tomam refrigerantes das marcas A ou B.

Disso,conclui-se que:

a) 50 pessoas tomam apenas o refrigerante da marca b.

b) 100 pessoas tomam apenas o refrigerante da marca a.

c) 70 pessoas tomam apenas o refrigerante da marca b.

d) foram consultadas ao todo 205pessoas.

e) 75 pessoas tomam apenas o refrigerante da marca A.

15. Em uma turma do GG com 20 alunos, 12 são meninas. Além disso, dos 20 alunos, 15 gostam de Matemática. É correto concluir que

a) nenhuma menina gosta de matemática.

b) todas as meninas gostam de matemática.

c) no máximo 7 meninas gostam de matemática.

d) no mínimo 7 meninas gostam de matemática.

e) exatamente 7 meninas gostam de Matemática.

Gabarito: 11. C 12. B 13. C 14. E 15. D

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OPERAÇÕES BÁSICAS

Meus queridos alunos,

Esse módulo foi preparado com carinho para “desenferrujar” todos vocês.

A habilidade do aluno nas operações básicas é fundamental para todos os assuntos referentes a Matemática (Básica ou Financeira) e também de RLM (Raciocínio lógico Matemático).

Dediquem-se ao máximo e lembrem-se que calculadoras são proibidas no dia da prova e consequentemente durante nossas aulas.

Observe que cada operação tem nomes especiais:

• Adição: 3 + 4 = 7, em que os números 3 e 4 são as parcelas e o número 7 é a soma ou total.

• Subtração: 8 – 5 = 3, em que o número 8 é o minuendo, o número 5 é o subtraendo e o número 3 é a diferença.

• Multiplicação: 6 × 5 = 30, em que os números 6 e 5 são os fatores e o número 30 é o produto.

• Divisão: 10 ÷ 5 = 2, em que 10 é o dividendo, 5 é o divisor e 2 é o quociente, neste caso o resto da divisão é ZERO.

Adição e Subtração

Regra de sinais

• A soma de dois números positivos é um número positivo.

(+ 3) + (+ 4) = + 7, na prática eliminamos os parênteses. + 3 + 4 = + 7

• A soma de dois números negativos é um número negativo.

(– 3) + (– 4) = – 7, na prática eliminamos os parênteses. – 3 – 4 = – 7

• Se adicionarmos dois números de sinais diferentes, subtraímos seus valores absolutos e

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(–9) – (-3)= –9+3= –6 (–8) – (+5)= –8–5= –13

Lembrando que quando antes dos parenteses vier um sinal de + , ele derruba os parenteses e mantem o sinal de quem está dentro. Caso venha um sinal de – , ele derruba os parenteses e troca o sinal de quem está dentro.

DICA: Na adição e subtração, um número de sinal positivo representa “o que eu tenho de dinheiro” e um número de sinal negativo, “o que eu devo à alguém”, assim, basta imaginar que você está acertando as contas.

Faça você 1. Calcule:

a) – 5 + 3 = b) + 73 – 41 =

c) – 24 – 13 = d) – 5 + (– 12) =

e) + 51 – 4 = f) + 17 + (–14) =

g) – 9 – (– 25) = h) + 72 – (–12) =

i) + 19 – 25 = j) – 80 + 41 + 57 =

k) – 2 – 22 – 21 = l) – 6 – (+ 31) + 50 =

(17)

2. Calcule:

a) 1234 b) 752 c) 425 d) 1321

+ 463 + 271 – 328 + 412

e) 632 f) 921 g) 2358 h) 32,54

+ 346 – 708 + 426 + 85,89

i) 233,2 j) 5,174 k) 23,42 l) 237,85

– 143,1 – 6,719 + 34,67 – 156,38

m) 17,43 n) 275,74 o) 157,32 p) 329,75

– 29,38 – 131,12 – 38,43 + 158,37

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DIVISORES E MÚLTIPLOS

Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma:

Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3.

Múltiplos de um Número Natural

Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada.

Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2) 2 x 0 = 0

2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8 2 x 5 = 10 2 x 6 = 12 2 x 7 = 14 2 x 8 = 16 2 x 9 = 18 2 x 10 = 20

E assim sucessivamente.

Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3) 3 x 0 = 0

3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 4 = 12 3 x 5 = 15 3 x 6 = 18 3 x 7 = 21 3 x 8 = 24 3 x 9 = 27 3 x 10 = 30

E assim sucessivamente.

Portanto, os múltiplo de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, ...

E os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...

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Divisores de um Número Natural

Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.

48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48.

Observações importantes:

• O menor divisor natural de um número é sempre o número 1.

• O maior divisor de um número é o próprio número.

• O zero não é divisor de nenhum número.

• Os divisores de um número formam um conjunto finito.

Principais Critérios de Divisibilidade

Dentre as propriedades operatórias existentes na Matemática, podemos ressaltar a divisão, que consiste em representar o número em partes menores e iguais.

Para que o processo da divisão ocorra normalmente, sem que o resultado seja um número não inteiro, precisamos estabelecer situações envolvendo algumas regras de divisibilidade.

Lembrando que um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero.

Regras de divisibilidade

Divisibilidade por 1

Todo número é divisível por 1.

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos: 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.

237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

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Todo número natural é divisível por 4 quando os seus últimos dois digitos (dezena e unidade) formarem um número múltiplo de 4.

Exemplo: 156 é divisível por 4, pois "56" é um número múltiplo de 4.

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos: 55 é divisível por 5, pois termina em 5.

90 é divisível por 5, pois termina em 0.

87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.

Exemplos:

54 é divisível por 6, pois é par, logo divisível por 2 e a soma de seus algarismos é múltiplo de 3, logo ele é divisível por 3 também.

90 é divisível por 6, pelo mesmos motivos.

87 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.

Será divisível por 9 todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9.

Exemplos: 81 : 9 = 9, pois 8 + 1 = 9

1107 : 9 = 123, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9 4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27 Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero).

6342 não é divisível por 10 pois não termina em 0 (zero).

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Multiplicação e Divisão

Regra de sinais

• Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais positivos, o resultado é um número positivo.

Exemplos: a) (+ 3) × (+ 8) = + 24 b) (+12)÷(+2)=+6

• Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais negativos, o resultado é um número positivo.

Exemplos: a) (– 6) × (– 5) = + 30 b) (–9)÷(–3)=+3

• Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais diferentes, o resultado é um número negativo.

Exemplos: a) (– 4) × (+ 3) = – 12 b) (+16)÷(–8)=–2

DICA: Na multiplicação/divisão, quando os dois sinais forem iguais, o resultado é ( + ) e, quando forem diferentes, o resultado é ( – ).

Além disso, na MULTIPLICAÇÃO alinharemos os números à direita, como se houvesse uma

“parede” a direita dos numeros.

E na DIVISÃO, temos as seguintes regras:

• Depois de iniciada a divisão, sempre deve cair um algarismo original (que pretence ao Dividendo) por vez e quando ele cair devemos efetuar a divisão. Caso não seja possível dividir colocaremos “0” no quociente e somente assim cairá o próximo algarismo original.

(22)

3. Calcule os produtos e os quocientes:

a) (– 5) × (– 4) = b) 24 ÷ (– 2) =

c) – 5 × 8 = d) (– 14) ÷ (–14) =

e) 32 ÷ (– 16) = f) – 14 × (– 4) =

g) (+ 17) × (+ 2) = h) (– 64) ÷ (– 8) =

i) – 3 x (– 14) ÷ 7 = j) 24 ÷ (– 3) ÷ (+ 4) ÷ (– 2)=

4. Efetue os cálculos a seguir:

a) 432 b) 317 c) 72,3 d) 17,32

x 76 x 32 x 16,2 x 1,9

e) 481 ÷ 37 f) 800 ÷ 25 g) 6513 ÷ 13 h) 721 ÷ 7

i) 618 ÷ 50 j) 2546 ÷ 32 k) 4862 ÷ 36 l) 926 ÷ 13

m) 1223,5 ÷ 25 n) 3585,6 ÷ 32 o) 1256 ÷ 12,5 p) 1,2 ÷ 0,24

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Potência

• No exemplo 7² = 49 temos que: 7 é a base, 2 é o expoente e 49 é a potência.

• A potência é uma multiplicação de fatores iguais: 7² = 7 x 7 = 49

• Todo número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo:

Ex.: a) (– 4)¹ = -4 b) (+ 5)¹ = 5

• Todo número inteiro elevado a zero é igual a 1.

Ex.: a) (– 8)⁰ = 1 b) (+ 2)⁰ = 1

Regra de sinais

• Expoente par com parênteses: a potência é sempre positiva.

Exemplos: a) (– 2)⁴ = 16, porque (– 2) × (– 2) × (– 2) × (– 2) = + 16 b)(+ 2)² = 4, porque (+ 2) × (+ 2) = + 4

• Expoente ímpar com parênteses: a potência terá o mesmo sinal da base.

Exemplos: a) (– 2)³ = – 8, porque (– 2) × (– 2) × (– 2) = – 8

b) (+ 2)⁵ = + 32, porque (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) = + 32

• Quando não tiver parênteses, conservamos o sinal da base independente do expoente.

Exemplos: a) – 2² = – 4 b)–2³=–8 c) +3²=9 d) +5³=+125

5. Calcule as potências:

a) 3² = b) (– 3)² =

c) – 3² = d) (+ 5)³ =

e) (– 6)² = f) – 4³ =

(24)

Propriedades da Potenciação

• Produto de potência de mesma base: Conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Exemplos:

a) a³ x a⁴ x a² = a³⁺⁴⁺² = a⁹

b) (– 5)² x (– 5) = (– 5)²⁺¹ = (– 5)³ = – 125 c) 3-² x 3 x 3⁵ = 3^-2+1+5 = 3⁴ = 81

• Divisão de potências de mesma base: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

Exemplos:

a) b⁵ ÷ b² = b^5-2 = b³

b) (– 2)⁶ ÷ (– 2)⁴ = (– 2)^6-4 = (– 2)² = + 4 c) (– 19)¹⁵ ÷ (– 19)⁵ = (– 19)^15-5 = (– 19)¹⁰

• Potência de potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Exemplos:

a) (a²)³ = a²³ = a⁶

b) [(– 2)⁵]² = (– 2)^5.2 = (– 2)¹⁰ = 1024

• Potência de um produto ou de um quociente: Multiplica-se o expoente de cada um dos elementos da operação da multiplicação ou divisão pela potência indicada.

Exemplos:

a) [(– 5)² x (+ 3)⁴]³ = (– 5)^2.3 x (+ 3)^4.3 = (– 5)⁶ x (+ 3)¹² b) [(– 2) ÷ (– 3)⁴]² = (– 2)^1.2 ÷ (– 3)^4.2 = (– 2)² ÷ (– 3)⁸

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Radicais

Já sabemos que 6² = 36. Aprenderemos agora a operação que nos permite determinar qual o número que elevado ao quadrado equivale a 36.

, pois 6 elevado ao quadrado é 36. Essa operação é a inversa da potenciação e denomina-se radiciação.

Principais Regras

→ Regra do SOL e da SOMBRA

Exemplo:

Propriedades da Radicais

Produto de radicais de mesmo índice: conserva-se uma raiz nesse indice e multiplicam-se os

(26)

Divisão de radicais de mesmo índice: conserva-se uma raiz nesse indice e dividem2-se os radicandos.

Expressões numéricas

Para resolver expressões numéricas é preciso obedecer à seguinte ordem:

1º resolvemos as potenciações e radiciações na ordem em que aparecem.

2º resolvemos as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem.

3º resolvemos as adições e subtrações na ordem em que aparecem.

Caso contenha sinais de associação:

1º resolvemos os parênteses ( ) 2º resolvemos os colchetes [ ] 3º resolvemos as chaves { }

6. Calcule o valor das expressões numéricas:

a) 6²÷3²+10²÷50=

b) 20+2³×10–4²÷2=

c)

d) 3³÷27×2⁰=

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e) 10⁰ + 100⁰ + 1000⁰ =

f) 5²–5×1⁵+5⁰×5³=

7. Aplique seus conhecimentos e calcule o valor das expressões numéricas. Observe as operações indicadas, a existência de sinais de associação e tenha cuidado com as potências.

a) (−1−2−3− 4−5)÷(+15)=

b) (8+10÷2−12)÷(−4+3)=

c) 10³ −(−10)² −10⁰ =

d) (−1)⁸ + 6⁰ −[15+(−40)÷(−2)³ ]=

e) −3 − {−2 −[(−35) ÷ + 2² ]} =

f) 4 −{(−2)² ×(−3)−[−11+(−3)×(−4)]−(−1)} = g) 14 −[(−1)³ ×(−2)² +(−35)÷(+5)]=

h) −2+{−5−[−2−(−2)³−3−(3−2)⁹]+5} = i) −2² −2−2⁰ =

j) −15+10 ÷(2−7) =

(28)

Do Português para o Matematiquês

1.

2. Um número = x

3. O dobro de um número = 2x 4. A metade de um número = 5. O quadrado de um número =

x

²

6. A metade do quadrado de um número = 7. O quadrado da metade de um número = 8. A terça parte de um número =

9. O cubo de um número =

x³

10. O cubo da terça parte de um número = 11. A terça parte do cubo de um número = 12. O triplo da metade de um número = 13. A metade do triplo de um número = 14. A quinta parte de um número = 15. A raiz quadrada de um número = 16. O oposto de um número = – x 17. O inverso de um número = 18. A razão entre a e b = 19. A razão entre b e a =

20. A diferença entre a e b = a – b 21. A diferença entre b e a = b – a

22. A razão entre o cubo de um número e o quadrado desse número = 23. Três números inteiros consecutivos = x, x + 1, x + 2

24. Três números pares consecutivos = x, x + 2, x + 4

(29)

COMO ISSO PODE SER COBRADO NA SUA PROVA?

8. Sabendo que o valor de a é um algarismo entre 0 e 9, a soma dos valores possíveis de a que tornam o número 23a5 divisível por 3 e por 5 é igual a

a) 12 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

9. Considere as afirmativas a seguir.

I – O número 30 tem 8 divisores positivos.

II – O mínimo múltiplo comum de 12 e 15 é 120.

III – O número 221 é um número primo.

É verdadeiro o que se afirma em a) I, II e III.

b) I e II, apenas.

c) II e III, apenas.

d) I, apenas.

e) II, apenas.

10. Acerca do número 256.918, assinale a alternativa correta.

a) O algarismo da ordem das dezenas de milhar tem valor absoluto superior ao valor relativo do algarismo das unidades simples.

b) O valor relativo do algarismo de maior valor absoluto é 200.000.

c) O valor absoluto do algarismo de menor valor relativo é 1.

d) O algarismo da ordem das unidades de milhar tem valor absoluto superior ao valor relativo do algarismo das unidades simples.

e) A soma dos valores absolutos dos algarismos da ordem das centenas de milhar e da ordem das dezenas simples é igual a 3.

11. Considere a conta armada abaixo, onde A, B e C representam algarismos distintos.

Assim, A + C vale

(30)

a) 12.

b) 9.

c) 10.

d) 11.

e) 8.

12. O professor Ravazolo, muito atrapalhado, queria multiplicar 72 por 34. Ele se enganou e multiplicou 72 por 23. O resultado do cálculo que ele fez é menor do que o resultado do cálculo que ele queria fazer em um número de unidades igual a

a) 642.

b) 792.

c) 820.

d) 566.

e) 1656.

13. Os alunos do GG participaram de uma aula especial que foi realizada em duas salas, A e B.

Quando da entrada nas salas, 57 alunos entraram na sala A e apenas 31, na B.

O número de alunos que deveriam passar da sala A para a sala B para que a mesma quantidade de alunos assistisse à aula nas duas salas é igual a

a) 10 b) 13.

c) 16 d) 21 e) 25

14. Apenas uma alternativa representa um número real que, em uma reta numérica real, situa-se entre √25 e √49 . A alternativa que corresponde a esse número é:

a) 88/17 b) 150/18 c) 64/13 d) 93/23 e) √50

15. O número X tem três algarismos. O produto dos algarismos de X é 126 e a soma dos dois últimos algarismos de X é 11. O algarismo das centenas de X é:

a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 9

Gabarito: 8. B 9. D 10. E 11. B 12. B 13. B 14. A 15. C

(31)

FRAÇÕES

Definição

Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números inteiros. A palavra vem do latim fractus e significa "partido", dividido ou "quebrado (do verbo frangere: "quebrar").

Também é considerada parte de um inteiro, que foi dividido em partes exatamente iguais. As frações são escritas na forma de números e na forma de desenhos.

Observe alguns exemplos:

(32)

Exemplo:

Dudan comprou uma barra de chocolate e comeu 3/5 dela.

Sendo assim, ele dividiu a barra em 5 pedaços e comeu 3 delas.

Observe que tambem devemos nos atentar à quantidade que restou, o chamado complemento.

O complemento de 3/5 é 2/5 porque Dudan comeu 3 das 5 partes, sobrando 2 outros pedaços dessa divisao.

Vale ressaltar que é muito importante o aluno entender a ideia dessa complementação das frações pois a cobrança é frequente.

Mais exemplos:

Se gastei 5/8 do meu plano de 3G, entao restam os outros 3/8.

Se após pagar as contas de casa, gastei 3/7 do meu salário, então restam os outros 4/7.

E assim por diante.

Relação entre frações decimais e os números decimais

• Para transformar uma fração decimal em número decimal, escrevemos o numerador da fração e o separamos com uma vírgula, deixando tantas casas decimais quanto forem os zeros do denominador.

Exemplo:

(33)

• Para transformar um número decimal em uma fração decimal, colocamos no denominador tantos zeros quantos forem os números depois da vírgula do número decimal.

Exemplo:

Simplificação de frações

• Simplificar uma fração, como o próprio termo diz, é torna-la mais simples facilitando o uso das operações básicas.

• Para simplificar uma fração, divide-se o numerador e o denominador da fração por um mesmo número.

Exemplo:

• 32/6 dividindo ambos por 2, teremos 16/3

• 27/12 e dividindo ambos por 3, teremos 9/4

• 35/15 e dividindo ambos por 5 teremos 7/3

• Quando o numerador é divisível pelo denominador, efetua-se a divisão e se obtém um número inteiro.

Exemplo:

1. Simplifique as frações, aplicando a regra de sinais da divisão:

(34)

Comparação entre Frações

Para compararmos duas frações, há opções:

1. Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. Por exemplo:

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador.

Isso é obtido por meio do menor múltiplo comum.

Nesse caso como ambas já estão escritas com o mesmo denominador fica fácil perceber que a fração 4/5 é maior que 3/5 pois foram divididas em 5 partes o que torna a comparação simples.

Se as duas frações possuem mesmo numerador mas denominadores diferentes, basta entender a lógica envolvida na fração.

Exemplo:

2/5 < 2/3 pois 2/5 significa dividir a pizza em 5 fatias e tomar 2; já 2/3 representa a divisão em 3 fatias das quais tomamos duas também mas como no segundo caso, a divisão foi em menos partes, as fatias são maiores.

Se as frações nao tem nem o numerador nem o denominador iguais, é preciso ”reescreve-las no mesmo denominador. Isso é obtido por meio do menor múltiplo comum.

Exemplo:

Usaremos frações equivalentes (proporcionais) escritas no mesmo denominador para, assim, compará-las.

O MMC entre 5 e 7 é 35, logo:

logo pela comparacao dos numeradores, temos que:

(35)

Adição e Subtração

• Sendo os denominadores iguais, basta somar ou subtrair os numeradores e manter o denominador.

Para efetuar as operações de soma ou subtração com frações temos duas opções:

1. Podemos usar o clássico m.m.c e transformar as frações dadas em suas frações equivalentes (proporcionais) que sejam escritas no mesmo denominador comum entre 3 e 5 é 15, logo:

Assim divide-se o m.m.c pelo denominador original de cada fração e multiplica-se o resultado pelo numerador, obtendo assim, uma fração equivalente.

E com isso:

Outros exemplos:

2/5 + 3/10 – 3/7 – 1/2

(36)

2. Calcule o valor das expressões e simplifique quando for possível:

(37)

MULTIPLICAÇÃO

Para multiplicar frações, basta multiplicar os numeradores entre si e fazer o mesmo entre os denominadores, independentemente de serem iguais ou não.

Exemplo:

Outro exemplo:

3 x 5 10 6

DIVISÃO

Para dividir as frações, basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração.

Exemplo:

DICA: Dividir por um número é multiplicar pelo seu inverso!

Outro exemplo:

3 ÷ 5

10 6

(38)

Exemplo:

RADICIAÇÃO

Caso seja necessário aplicar um radical numa fração, basta entender que: “a raiz da fração é a fração das raízes.”

Exemplos:

Expoente negativo

Todo número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso do mesmo número com expoente positivo.

Exemplo:

3. Usando todos os recurso aprendidos na aula, resolva:

(39)

COMO ISSO PODE SER COBRADO NA SUA PROVA?

4. Um bolo foi dividido em 20 fatias iguais. Se 14 fatias foram servidas, a fração que representa o que restou do bolo corresponde a:

a) 1/20.

b) 3/10.

c) 6/14.

d) 8/12.

e) 10/14.

5. Duas empreiteiras realizarão conjuntamente uma obra de pavimentação de estradas na cidade de Porto Alegre. Em uma dessas obras, uma das empreiteiras pavimentou 3/5 de uma estrada, e a outra, os 36 km restantes. Em relação à referida estrada, pode-se dizer que sua extensão é de:

a) 64 km b) 81 km c) 90 km d) 105 km e) 135 km

6. Zambeli comeu, inicialmente, um quarto da barra de chocolate que comprou. Depois, comeu um terço do que tinha sobrado.

A fração da barra de chocolate que Zambeli ainda tem para comer é:

a) 1/2;

b) 1/3;

c) 1/4;

d) 3/4;

e) 1/12.

7. Uma pesquisa feita em uma turma do GG constatou que apenas 1/6 de seus alunos são mulheres, e que exatamente 1/4 delas são casadas.

De acordo com a pesquisa, nessa turma, as mulheres que não são casadas correspondem a que fração de todos os seus alunos?

a) 1/3

(40)

8. Um grupo de alunos do GG é composto por estudantes universitários: a metade dos estudantes cursa administração; um quarto deles cursa direito; e o restante, em número de quatro, faz o curso de contabilidade. Nesse caso, a quantidade de estudantes desse grupo é igual a

a) 12.

b) 16.

c) 20.

d) 24.

e) 32.

9. O professor Marcio Hunecke estava viajando, quando percebeu que o marcador do combustível do seu carro indicava 1/8 de tanque cheio. Então, ele decidiu parar em um posto e abastecer, colocando 25 litros de gasolina. Ao ligar o carro, percebeu que, agora, o marcador indicava 3/4 de tanque cheio, então fez algumas contas e verificou que o tanque de seu carro tem capacidade total de

a) 50 litros.

b) 45 litros.

c) 44 litros.

d) 42 litros.

e) 40 litros.

10. O professor Giu fez dois saques consecutivos em sua conta. No primeiro deles, sacou 1/4 do dinheiro que havia na conta. No segundo, sacou 2/5 do valor que havia restado na conta após o primeiro saque. Assinale a alternativa que representa a fração total de dinheiro que o professor Giu sacou de sua conta em relação ao montante inicial, anterior aos saques.

a) 1/3.

b) 3/10.

c) 13/20.

d) 11/20.

e) 9/20.

Gabarito: 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. E 10. D

(41)

M.M.C E M.D.C

Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C)

O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. Observe o M.M.C entre os números 20 e 30:

M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ... e M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ...

Logo, o M.M.C entre 20 e 30 é equivalente a 60.

Outra forma de determinar o M.M.C entre 20 e 30 é pela fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os termos não comuns.

Observe: 20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5 e 30 = 2 x 3 x 5 = 2 x 3 x 5 logo:

M.M.C (20; 30) = 2² x 3 x 5 = 60

A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe:

M.M.C (20, 30) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

DICA: Apenas números naturais tem M.M.C

Um método rápido e fácil para se determinar o M.M.C de um conjunto de números naturais é a FATORAÇÃO.

(42)

Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar os números 6, 8 e 12 como exemplo.

Da fatoração destes três números temos:

O M.M.C (6, 8, 12) será calculado pelo produto desses fatores primos usados na decomposição dos valores dados.

Logo: M.M.C (6 , 8 , 12) = 2.2.2.3 = 24 Qual é o M.M.C (15, 25, 40)?

Fatorando os três números temos:

Assim o M.M.C (15, 25, 40) = 2. 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 600

PROPRIEDADE DO M.M.C.

Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do m.m.c. destes números.

Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 2 , 5 e 6 são exatamente os múltiplos positivos de 30 (m.m.c. (2 ,5 , 6) = 30), ou seja, são 30 , 60, 90,...

Como identificar questões que exigem o cálculo do M.M.C?

Para não ficar em dúvida quanto à solicitação da questão, M.M.C ou M.D.C, basta entender que o M.M.C por ser um “múltiplo comum”, é um número sempre será maior ou igual ao maior dos valores apresentados , logo sempre um valor além dos valores dados.

Apesar do nome Mínimo Múltiplo Comum, é equivocado pensar que o “mínimo” indica um número pequeno, talvez menor que os valores apresentados. Na verdade ele é o menor dos múltiplos e quase sempre maior que todos esses valores de quem se busca o cálculo do M.M.C.

(43)

Exemplo Resolvidos:

Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias; na máquina B; a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia?

Temos que determinar o M.M.C entre os números 3, 4 e 6.

Assim o M.M.C (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12

Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.

Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas; remédio B, de 3 em 3 horas; e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos?

Calcular o M.M.C dos números 2, 3 e 6.

M.M.C(2,3,6)=2*3=6

O mínimo múltiplo comum dos números 2, 3, 6 é igual a 6.

De 6 em 6 horas os três remédios serão ingeridos juntos. Portanto, o próximo horário será às 14 horas.

(44)

Máximo Divisor Comum (M.D.C)

O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o M.D.C entre os números 20 e 30: D (20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20. e D (30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.

Podemos também determinar o M.D.C entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o M.D.C de 20 e 30 utilizando esse método.

20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5 e 30 = 2 x 3 x 5 = 2 x 3 x 5 Logo M.D.C (20; 30) = 2 x 5 = 10

A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea e conjunta dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe:

Logo o M.D.C (20 , 30) = 10

Um método rápido e fácil para se determinar o M.D.C de um conjunto de números naturais é a FATORAÇÃO.

Nela iremos decompor simultaneamente os valores, de forma que todos eles devem ser divididos, ao mesmo tempo, pelo fator primo apresentado, até que se esgotem as possibilidades dessa divisão conjunta.

O produto dos fatores primos utilizados nesse processo é o Máximo Divisor Comum.

Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar novamente os números 6, 8 e 12 como exemplo.

Da fatoração conjunta desses três números, temos:

O M.D.C (6, 8, 12) será calculado pelo produto desses fatores primos usados na decomposição dos valores dados.

Logo: M.D.C (6 , 8 , 12) = 2

(45)

Qual é o M.D.C (15, 25, 40)?

Fatorando os três números, temos:

Assim o M.D.C (15, 25, 40) = 5 Exemplo:

Qual é o M.D.C (15, 75, 105)?

Fatorando os três números, temos:

M.D.C (15, 75, 105) = 3 . 5 = 15

Note que temos que dividir todos os valores apresentados, ao mesmo tempo, pelo fator primo.

Caso não seja possível seguir dividindo todos, ao mesmo tempo, dá-se por encerrado o cálculo do M.D.C.

Propriedade Fundamental

Existe uma relação entre o M.M.C e o M.D.C de dois números naturais a e b.

• m.m.c. (a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b

Ou seja, o produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois números.

(46)

c) + 22 ou – 22 d) 27

e) – 27

Como identificar questões que exigem o cálculo do M.D.C?

Para não ficar em dúvida quanto à solicitação da questão, M.M.C ou M.D.C, basta entender que o M.D.C por ser um “divisor comum”, é um número que sempre será menor ou igual ao menor dos valores apresentados, logo sempre é um valor aquém dos valores dados, dando ideia de corte, fração.

Já o M.M.C, por ser um “múltiplo comum”, é um número que sempre será maior ou igual ao maior dos valores apresentados, logo sempre é um valor além dos valores dados, criando uma ideia de “futuro”.

Apesar do nome Mínimo Múltiplo Comum é equivocado pensar que o “mínimo” indica um número pequeno, talvez menor que os valores apresentados. Na verdade ele é o menor dos múltiplos e quase sempre maior que todos esses valores de quem se busca o cálculo do M.M.C.

DICA: Quando se tratar de M.M.C a solução será um valor no mínimo igual ao maior dos valores que você dispõe. Já quando se tratar de M.D.C a solução será um valor no máximo igual ao menor dos valores que você dispõe.

COMO ISSO PODE SER COBRADO NA SUA PROVA?

11. Denise e Carmem trabalham na mesma sala e programaram seus celulares para alertá-las sobre o horário dos remédios que estão tomando. O celular de Denise emite alerta a cada 90 minutos, e o de Carmem a cada 120 minutos. Se os dois celulares emitiram alerta ao mesmo tempo às 8 horas da manhã, o próximo horário em que isso ocorrerá novamente será às

a) 10 horas.

b) 12 horas.

c) 14 horas.

d) 16 horas.

e) 18 horas.

12. Em uma empresa, há 2 caixas; uma delas com 135 lápis preto, e a outra com 160 canetas azuis.

Todo esse material será dividido em pacotinhos, cada um deles com o mesmo número de

(47)

objetos e na maior quantidade possível, de modo que cada pacotinho não contenha lápis e canetas juntos. O maior número de mesas que podem receber um pacotinho de cada tipo é a) 35.

b) 32.

c) 30.

d) 27.

e) 25.

13. Os professores Gui, Ravazolo e Giu participaram de uma maratona que consistia em correr ao redor de uma pista circular em um parque da cidade. Partindo do ponto inicial, Gui deu uma volta no parque em 8 minutos; Ravazolo fez o mesmo em 12 minutos e Zambeli, em 15 minutos.

Considerando que eles partiram do ponto inicial juntos e no mesmo instante, podemos afirmar que eles voltaram a passar juntos pelo ponto inicial depois de iniciada a corrida após .

a) 45 minutos.

b) 60 minutos.

c) 80 minutos.

d) 120 minutos.

e) 150 minutos.

14. Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizar os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e fazendo o menor número de cortes possível. Sendo assim, a quantidade de novos retalhos de tecido e a medida de cada um deles, valem, respectivamente:

a) 3 e 78 b) 5 e 78 c) 6 e 65 d) 65 e 6 e) 78 e 5

15. Pensando em distribuir brindes entre os alunos do GG a direção comprou os seguintes itens:

140 marcadores de texto, 120 corretivos e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então o número total de pacotinhos feitos foi:

(48)

(49)

SISTEMA DE MEDIDAS

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Definição: O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro. O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medição.

Unidades de medida ou sistemas de medida é um tema bastante presente em concursos públicos e, por isso, é mais um dos assuntos tratados nesse livro.

Para podermos comparar um valor com outro, utilizamos uma grandeza predefinida como referência, grandeza essa chamada de unidade padrão.

As unidades de medida padrão que nós brasileiros utilizamos com maior frequencia são o grama, o litro e o metro, assim como o metro quadrado e o metro cúbico.

Além dessas também fazemos uso de outras unidades de medida para realizarmos, por exemplo, a medição de tempo, de temperatura ou de ângulo.

Dependendo da unidade de medida que estamos utilizando, a unidade em si ou é muito grande ou muito pequena. Nesse caso, então, utilizamos os seus múltiplos ou submúltiplos. O grama geralmente é uma unidade muito pequena para o uso cotidiano, por isso, em geral, utilizamos o quilograma, assim como em geral utilizamos o mililitro ao invés da própria unidade litro, quando o assunto é bebidas por exemplo.

UTILIZAÇÃO DAS UNIDADES DE MEDIDA

Quando estamos interessados em saber a quantidade de líquido que cabe em um recipiente, na verdade estamos interessados em saber a sua capacidade. O volume interno de um recipiente é chamado de capacidade. A unidade de medida utilizada na medição de capacidades é o litro.

(50)

Para sabermos o comprimento de uma corda, é necessário que a meçamos. Nessa medição, a unidade de medida utilizada será o metro ou metro linear.

Se você for fazer uma saborosa torta de chocolate, precisará comprar cacau e o mesmo será pesado para medirmos a massa desejada. A unidade de medida de massa é o grama.

Veja a tabela a seguir, na qual agrupamos essas principais unidades de medida, seus múltiplos e submúltiplos do Sistema Métrico Decimal, segundo o Sistema Internacional de Unidades – SI:

Subconjunto de Unidades de Medida do Sistema Métrico Decimal

Medida de Grandeza Fator Múltiplo Unidades Submúltiplos

Capacidade Litro 10 kl hl dal l dl cl ml

Volume Metro Cúbico 1000 km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

Área Metro

Quadrado 100 km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

Comprimento Metro 10 km hm dam m dm cm mm

Massa Grama 10 kg hg dag g dg cg mg

Observe que as setas que apontam para a direita indicam uma multiplicação pelo fator multiplicador (10, 100 ou 1000 dependendo da unidade de medida), assim como as setas que apontam para a esquerda indicam uma divisão também pelo fator.

A conversão de uma unidade para outra unidade dentro da mesma grandeza é realizada multiplicando-se ou dividindo-se o seu valor pelo fator de conversão, dependendo de a unidade original estar à esquerda ou à direita da unidade a que se pretende chegar, tantas vezes quantos forem o número de níveis de uma unidade a outra.

Exemplos de Conversão entre Unidades de Medida Leitura das Medidas de comprimento

Podemos efetuar a leitura correta das medidas de comprimento com o auxilio de um quadro chamado “quadro de unidades”.

Exemplo: Leia 16,072 m

Km Hm Dam M Dm Cm Mm

Kilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

Km Hm Dam M Dm Cm Mm

1 6, 0 7 2

(51)

Após ter colocado os respectivos valores dentro das unidades equivalentes, lê-se a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal com a unidade de medida o último algarismo.

Veja outros exemplos de leitura:

8,05 km = Lê-se assim: “oito quilômetros e cinco decâmetros”

72,207 dam = Lê-se assim: “setenta e dois decâmetros e duzentos e sete centímetros” 0,004 m

= Lê-se assim: “quatro milímetros”

Observe a tabela abaixo:

Exemplos de Conversão entre Unidades de Medida:

→ Converta 2,5 metros em centímetros

Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque na tabela metro está à esquerda de centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois, para passarmos de metros para centímetros, saltamos dois níveis à direita.

Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de decímetros para centímetros: 2,5 m . 10 . 10 = 250cm

Isso equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.

Portanto: 2,5 m é igual a 250 cm

→ Passe 5.200 gramas para quilogramas

Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na tabela grama está à direita de quilograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gramas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda.

Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e finalmente de hectograma para quilograma:

5200g : 10 : 10 : 10 = 5,2 kg

(52)

15 hl. 10 . 10 . 10 . 10 = 150000 cl

Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.

Portanto: 150.000 cl equivalem a 15 h

→ Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm³?

Para passarmos de milímetros cúbicos para quilômetros cúbicos, passaremos seis níveis à esquerda. Dividiremos então 14 por 1000 seis vezes:

Portanto:

0,000000000000000014 km³, ou a 1,4 x 10-17 km³ se expresso em notação científica equivalem a 14 mm3.

Passe 50 dm2 para hectometros quadrados

Para passarmos de decímetros quadrados para hectómetros quadrados, passaremos três níveis à esquerda. Dividiremos então por 100 três vezes:

50 dm² : 100 : 100 : 100 = 0,00005 km²

Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda. Portanto: 50 dm2 é igual a 0,00005 hm2

EQUIVALÊNCIA ENTRE MEDIDAS DE VOLUME E MEDIDAS DE CAPACIDADE

• Para estabelecermos uma “ponte” entre medidas de volume de capacidade, usaremos as seguintes conversões:

→ 1m³ corresponde a 1.000 litros.

→ 1dm³ corresponde a 1 litro.

→ 1cm³ corresponde a 1 ml.

Exemplos de Conversão entre Medidas de Volume e Medidas de Capacidade

→ Quantos decalitros equivalem a 1 m³?

Sabemos que 1 m³ equivale a 1.000 l, portanto, para convertermos de litros a decalitros, passaremos um nível à esquerda. Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez:

1000l : 10 = 100 dal

Isso equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda. Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:

Como 1 m³ equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 kl para decalitros, quando então passaremos dois níveis à direita. Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes:

ikl. 10 . 10 = 100 dal

(53)

Portanto: 100 dal equivalem a 1 m³.

→ 348 mm3 equivalem a quantos decilitros?

Como 1 cm³ equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348 mm³ por mil, para obtermos o seu equivalente em centimetros cúbicos: 0,348 cm³. Logo 348 mm³ equivale a 0,348 ml, já que cm³ e ml se equivalem.

Nesse ponto, já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade de medida de capacidade.

Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos dois níveis à esquerda.

Dividiremos então por 10 duas vezes:

0,348 ml : 10 : 10 = 0,00348 dl

Logo: 348 mm³ equivalem a 0,00348 dl.

DÚVIDAS FREQUENTES

• Um metro cúbico equivale a quantos metros quadrados?

• Converter medidas em decilitros para gramas.

• Quantos litros cabem em um metro quadrado?

• Como passar litros para milímetros?

• Quantos centímetros lineares há em um metro quadrado?

• Conversão de litros para gramas.

• Um centímetro corresponde a quantos litros?

• Como passar de centímetros quadrados para mililitros?

• Quantos mililitros tem um centímetro?

• Transformar m3 em metro linear.

• Quanto vale um centímetro cúbico em gramas?

Você consegue notar algum problema nessas pesquisas?

(54)

Acredito que a razão dessas dúvidas é o fato de o estudante não conseguir discernir claramente o que são comprimento, área, volume e capacidade, portanto vou procurar esclarecer tais conceitos com maiores detalhes.

SISTEMA DE MEDIDA DE TEMPO

MEDIDAS DE TEMPO

É comum em nosso dia a dia perguntas do tipo:

• Qual é a duração dessa partida de futebol?

• Qual é o tempo dessa viagem?

• Qual é a duração desse curso?

• Qual é o melhor tempo obtido por esse corredor?

Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.

A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.

Um dia é um intervalo de tempo relativamente longo. Nesse período você pode dormir, se alimentar, estudar, se preparar para concursos e muitas outras coisas.

Muitas pessoas se divertem assistindo a um bom filme, porém, se os filmes tivessem a duração de um dia, eles não seriam uma diversão, mas sim uma tortura.

Se dividirmos em 24 partes iguais o intervalo de tempo relativo a um dia, cada uma dessas frações de tempo corresponderá a exatamente uma hora, portanto concluímos que um dia equivale a 24 horas e que 1 24 do dia equivale a uma hora.

Uma ou duas horas é um bom tempo para se assistir um filme, mas para se tomar um banho é um tempo demasiadamente grande.

Portanto, dependendo da tarefa, precisamos fracionar o tempo, nesse caso, a hora.

Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo de tempo correspondente a uma hora, cada uma dessas 60 partes terá a duração exata de um minuto, o que nos leva a concluir que uma hora equivale a 60 minutos, assim como 1 60 da hora equivale a um minuto.

Dez ou quinze minutos é um tempo mais do que suficiente para tomarmos um bom banho ouvindo uma boa música, mas, para atravessarmos a rua, esse tempo é um verdadeiro convite a um atropelamento.

Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo de tempo relativo a um minuto, cada uma dessas partes terá a duração exata de um segundo. Com isto concluímos que um minuto equivale a 60 segundos e que 1 60 do minuto equivale a um segundo.

Das explicações acima podemos chegar ao seguinte resumo:

(55)

• 1 dia = 24 horas

• 1 hora = 60 minutos

• 1 minuto = 60 segundos

Assim, também podemos concluir que :

• 1 hora = 1/24 dia

• 1 minuto = 1/60 hora

• 1 segundo = 1/60 minuto.

MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO SEGUNDO

Quadro de unidades Múltiplo

Minutos Hora Dia

min h d

60s 60 min = 3.600s 24h = 1.440min = 86.400s São submúltiplos do segundo:

• décimo de segundo

• centésimo de segundo

• milésimo de segundo

Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2h40min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.

Observe:

(56)

Tabela para Conversão entre Unidades de Medidas de Tempo

sendo para converter de para multiplique 1h = ¹d

24 horas dias 1

24 1min = ¹h

60 minutos horas 1

60 sendo para converter de para multiplique 1s = ¹min

60 segundos minutos 1

60

1min = 60s minutos segundos 60

1h = 60min horas minutos 60

1d= 24h dias horas 24

Além das unidades vistas anteriormente, podemos também relacionar algumas outras:

Unidade Equivale

Semana 7 dias

Quinzena 15 dias

Mês 30 dias*

Bimestre 2 meses

Trimestre 3 meses Quadrimestre 4 meses

Semestre 6 meses

Ano 12 meses

Década 10 anos

Século 100 anos

Milênio 1000 anos

* O mês comercial utilizado em cálculos financeiros possui, por convenção, 30 dias.

Exemplos Resolvidos

• Converter 25 minutos em segundos

A unidade de tempo minuto é maior que a unidade segundo, já que 1 minuto contém 60 segundos. Portanto, de acordo com o explicado acima, devemos realizar uma multiplicação, mas devemos multiplicar por quanto?

Devemos multiplicar por 60, pois cada minuto equivale a 60 segundos: Visto que:

(57)

A min = 60 seg Então:

Assim, 25 min é igual a 1500 s.

• Converter 2220 segundos em minutos

Este exemplo solicita um procedimento oposto ao do exemplo anterior. A unidade de tempo segundo é menor que a unidade minuto já que: 1s = 60 min

Logo, devemos dividir por 60, pois cada segundo equivale a 60 do minuto: 2.200 ÷ 60 = 37 Note que alternativamente, conforme a tabela de conversão acima, poderíamos ter multiplicado 60 ao invés de termos dividido por 60, já que são operações equivalentes:

2.200 x¹ = 37 60

Assim, 2.220 s é igual a 37 min.

• Quantos segundos há em um dia?

Nos exemplos anteriores nos referimos a unidades vizinhas, convertemos de minutos para segundos e vice-versa.

Como a unidade de tempo dia é maior que a unidade segundo, iremos solucionar o problema recorrendo a uma série de multiplicações.

Pela tabela de conversão acima para convertermos de dias para horas devemos multiplicar por 24, para convertermos de horas para minutos devemos multiplicar por 60 e finalmente para convertermos de minutos para segundos também devemos multiplicar por 60. Temos então o seguinte cálculo:

1 x 24 x 60 x 60 = 864.000

• 10.080 minutos são quantos dias?

Semelhante ao exemplo anterior, só que, nesse caso, precisamos converter de uma unidade menor para uma unidade maior. Como as unidades não são vizinhas, vamos então precisar de uma série de divisões.

De minutos para horas precisamos dividir por 60 e de horas para dias temos que dividir por 24.

O cálculo será então:

10.080 ÷ 60 ÷ 24 = 7

Assim, 10.080 minutos correspondem 7 dias.