ESTUDO DE RESOLUÇÃO DO CLIQUE MÁXIMO ATRAVÉS DE OPEN MPI
por
Jéferson Fernandes da Silva
Itajaí (SC), Dezembro de 2013
ESTUDO DE RESOLUÇÃO DO CLIQUE MÁXIMO ATRAVÉS DE OPEN MPI
Área de Algoritmos por
Jéferson Fernandes da Silva
Relatório apresentado à Banca Examinadora do Trabalho Técnico-científico de Conclusão do Curso de Ciência da Computação para análise e aprovação.
Orientador: Rafael de Santiago, M.Sc.
Itajaí (SC), Dezembro de 2013
À minha família e especialmente à Nildo Carlos da Silva, meu querido pai.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por todos os momentos que foram superados e que me fizeram aprender mais sobre a vida.
A minha família, mãe, pai, irmãos, por sempre estarem presentes em minhas escolhas e me ensinarem a ser sempre uma pessoa melhor.
A minha companheira, Micaelly de Oliveira Mesquita, pela compreensão, carinho, reflexões e conselhos.
A todos os professores que me acompanharam nesses anos, que passaram um pouco de seu conhecimento, motivações e visões do mundo ao qual estou sempre sendo preparado.
Ao Rafael de Santiago, professor e orientador, por ter proporcionado diversos momentos de aprendizado, dentro e fora de sala de aula, auxiliando e proporcionando esta oportunidade.
“A tarefa não é tanto ver o que ninguém viu ainda, mas pensar o que ninguém pensou sobre algo que todos vêem”
– Arthur Schopenhauer.
RESUMO
SILVA, Jéferson Fernandes da. Estudo de Estratégia para Abordar Programação Paralela Open MPI em Problemas NP-Completo. Itajaí, 2013. 62 folhas. Trabalho Técnico- científico de Conclusão de Curso (Graduação em Ciência da Computação) – Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar, Universidade do Vale do Itajaí, Itajaí, 2013.
Os problemas NP-Completo estão relacionados a problemas de otimização como alocação de recursos, detecção e correção de erros em comunicação digital, genética, transporte e logística. Estes problemas são conhecidos por sua complexidade computacional exponencial, o que os define como intratáveis para tamanhos consideráveis de entrada. Para que estes problemas possam ser resolvidos em tempo razoável, podem ser utilizadas várias técnicas encontradas na computação, tais como: Algoritmos Aproximados, Heurísticas, Programação Paralela, entre outros. O projeto tem o objetivo de analisar o desempenho do problema NP- Completo Clique Máximo, executando-o sequencialmente, paralelamente na mesma máquina com threads e em mais de uma máquina com threads, nestes últimos utilizando a tecnologia livre Open MPI. O trabalho é fundamentado em livros, pesquisas acadêmicas e artigos científicos, que possibilitaram aprimorar os conceitos pertinentes ao problema NP-Completo e as estratégias abordadas por diversos autores na busca da resolução mais eficiente possível dos problemas desta classe. O desenvolvimento do TTC2 iniciou com as codificações dos algoritmos sequencial e paralelo, para que pudessem ser executados visando efetuar a coleta dos dados a partir de quatro execuções em cada ambiente heterogêneo, onde se obteve a média e os resultados analisados comparativamente, possibilitando posicionar as estratégias abordadas neste trabalho e a tecnologia livre Open MPI. A estratégia abordada foi baseada na utilizada por Pardalos et al. (1997) e tem como objetivo enviar vértices do grafo para que as threads destinadas ao processamento possam obter os cliques que aquele vértice pertence, em múltiplas máquinas em um ambiente de rede. Através dos resultados obtidos é possível observar que para mais densos o paralelismo é justificável, assim destes resultados é importante destacar que as melhoras obtidas são de mais de 2 vezes com relação a programação sequencial.
Palavras-chave: NP-Completo. Computação Paralela. Open MPI.
ABSTRACT
The problems are NP -complete optimization problems related to resource allocation, detecting and correcting errors in digital communication, genetics, transportation and logistics. These problems are known for their exponential computational complexity, which defines them as intractable for sizeable input. Approximate Algorithms, Heuristics, Parallel Programming, among others: that these problems can be solved in reasonable time, various techniques found in computing, such as may be used. The project aims to analyze the performance of NP- Complete Click Maximum running it sequentially, in parallel on the same machine with threads and on more than one machine with threads in recent technology using the free Open MPI. The work is based on books, academic research and scientific articles, which enabled enhance relevant to the problem NP-Complete concepts and strategies discussed by several authors in search of the most efficient possible resolution of the problems of this class. The development of TTC2 began with the encodings of sequential and parallel algorithms, so they could be executed aiming perform data collection from four plays in each heterogeneous environment, where it averaged and compared the results analyzed, enabling positioning strategies addressed in this work and the free Open MPI technology. The strategy was based on the addressed used by Pardalos et al. (1997 ) and aims to send vertices of the graph so that the intended processing threads can get the clicks that vertex belongs, on multiple machines in a network environment. Through the results, we observe that for denser parallelism is justifiable, so these results it is important to note that the improvements obtained are more than 2 times compared with the sequential programming.
Keywords: NP-Complete. Parallel Computing. Open MPI.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Algoritmo Determinístico e Não-determinístico ... 19
Figura 2. Descrição tentativa do mundo NP ... 20
Figura 3. Redução Polinomial ... 21
Figura 4. Redução do ciclo Hamilton para o problema do Caxeiro-Viajante ... 22
Figura 5. Árvore de backtracking ... 23
Figura 6. Um grafo com 4-Clique ... 24
Figura 7. Um grafo com Clique Máximo ... 25
Figura 8. Multicomputadores interconectados ... 29
Figura 9. Classes que compõem o Open MPI ... 31
Figura 10. Resultados da execução do clique do grafo ... 35
Figura 11. Grafo exemplo e os conjuntos V, A e B ... 39
Figura 12. Árvore de backtracking ... 40
Figura 13. Arquitetura em múltiplos computadores ... 41
Figura 14. Divisão do grafo em subgrafos ... 42
Figura 15. Árvore de backtracking paralela ... 43
Figura 16. Resultados obtidos nos grafos menos densos. ... 47
Figura 17. Resultados obtidos nos grafos mais densos. ... 48
Figura 18. Resultados obtidos nos grafos dos grafos com densidades diferentes. ... 48
LISTA DE TABELAS
Tabela 1. Equivalência de tipos de dados ... 33 Tabela 2. Grafos DIMACS utilizados nas execuções para coleta dos dados. ... 45 Tabela 3. Grafos com a mesma quantidade de vértices e densidades diferentes. ... 45
LISTA DE QUADROS
Quadro 1. Estrutura do código MPI em C ... 32
Quadro 2. Código Hello World em Open MPI. ... 33
Quadro 3. Logica MaxClique ... 38
Quadro 4. Resultados da execução sequencial do Clique Máximo. ... 45
Quadro 5. Resultados da execução do Clique Máximo com múltiplas threads. ... 46
Quadro 6. Comparativo entre as execuções do Clique Máximo. ... 46
Quadro 7. Clique Máximo – Função MaxClique ... 55
Quadro 8. Clique Máximo – Bloco Main ... 57
Quadro 9. Clique Máximo – Função MaxCliqueMaster ... 60
Quadro 10. Clique Máximo – Função MaxCliqueSlave ... 61
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
C++ C Plus Plus
CAM Problema do Caminho
CAMHAM Problema do Caminho Hamiltoniano
CD Compact Disc
CPU Central Processing Unit
CUDA Compute Unified Device Architecture
DIMACS Center for Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science
DVD Digital Versatile Disc
E/S Entrada/Saida
GCC GNU Compiler Collection
GPU Graphics Processing Unit
MIMD Multiple Instruction, Multiple Data
MPI Message Passing Interface
MISD Multiple Instruction, Single Data NP Non-Deterministic Polynomial Time
OMPI Open Source Message Passing Interface Layer
OPAL Open Source Message Passing Interface Portable Access Layer OPEN MPI Open Source Message Passing Interface
ORTE Open Source Message Passing Interface Run-Time Enviroment
P Deterministic Polynomial Time
SAT Satisfazibilidade
SIMD Single Instruction, Multiple Data SISD Single Instruction, Single Data
TTC Trabalho Técnico-científico de Conclusão de Curso UNIVALI Universidade do Vale do Itajaí
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ... 12
1.1 PROBLEMATIZAÇÃO ... 14
1.1.1 Formulação do Problema ... 14
1.1.2 Solução Proposta ... 14
1.2 OBJETIVOS ... 14
1.2.1 Objetivo Geral ... 14
1.2.2 Objetivos Específicos ... 15
1.3 METODOLOGIA ... 15
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 17
2.1 TEORIA DA COMPLEXIDADE ... 17
2.1.1 Classe P ... 19
2.1.2 Classe NP ... 20
2.1.3 Classe NP-Completo ... 20
2.1.4 Técnica Branch & Bound ... 22
2.2 PROBLEMA CLIQUE ... 24
2.2.1 Heuristicas ... 25
2.2.2 Programação paralela ... 26
2.2.3 Estrutura de um código MPI ... 31
2.3 TRABALHOS SIMILARES ... 34
2.3.1 Analise Comparativa de Algoritmos NP-Completo Executados em CPU e GPU Utilizando CUDA ... 34
2.3.2 An Exact Parallel Algorithm For The Maximum Clique Problem ... 35
2.3.3 Comparativo e Considerações ... 36
3 DESENVOLVIMENTO ... 37
3.1 ALGORITMO EXATO ... 37
3.1.1 Clique Máximo ... 37
3.2 ALGORITMO PARALELO ... 40
3.3 TESTE E RESULTADOS ... 43
3.3.1 Ambiente de Testes ... 43
3.3.2 Resultados ... 45
4 CONCLUSÕES ... 49
APÊNDICE A. ALGORITMO SEQUENCIAL ... 55
A.1 CLIQUE MÁXIMO ... 55
APÊNDICE B. ALGORITMO PARALELO ... 57
B.1 BLOCO MAIN ... 57
B.2 CLIQUE MÁXIMO MASTER ... 60
B.3 CLIQUE MÁXIMO SLAVE ... 61
1 INTRODUÇÃO
Existem problemas computacionais que são classificados como "fáceis" ou "difíceis".
Esta classificação é obtida através da análise da complexidade dos algoritmos mais eficientes para um determinado problema. A partir de uma análise matemática, extrai-se a complexidade que é representada através de uma função. Se a função for polinomial, significa que o problema pode ser resolvido demandando certa quantidade de recursos (tempo ou espaço) em relação ao volume de entrada. Nestes casos classifica-se o problema como sendo fácil. Caso a função seja exponencial, o problema demandará recursos exponenciais em relação à entrada, caracterizando o problema como difícil (SIPSER, 2007).
Neste contexto existem duas classes de complexidade importantes para o estudo de computação: a Classe P, composta por problemas que podem ser resolvidos em tempo polinomial determinístico, a Classe NP (Polinomial Não-Determinístico) onde os problemas podem ser resolvidos por um algoritmo não determinístico em tempo polinomial e pode ser verificados em tempo polinomial (TOSCANI; VELOSO, 2005; SIPSER, 2007). Para a Ciência da Computação teórica e matemática contemporânea à questão "P = NP" é um dos maiores problemas não resolvidos. Caso essas classes sejam iguais, qualquer problema polinomialmente verificável seria polinomialmente decidível (SIPSER, 2007).
De acordo com Arora e Barak (2009), os problemas da classe NP-Completo possuem complexidade exponencial determinística, pertencem também à classe NP e podem ser reduzidos polinomialmente a todos os problemas da mesma. São exemplos de problemas desta classe: Cobertura de Vértices, K-Coloração, Clique do grafo, Caminho Hamiltoniano, Caixeiro Viajante, Substituição de Expressões Regulares, Chave de Cardinalidade Mínima, Escalonamento em Multiprocessadores, entre outros (GAREY; JOHNSON, 1979).
Este trabalho abordará o problema NP-Completo Clique Máximo, este consiste do problema Clique que é um grafo composto por um conjunto de vértices no qual possuem conexões mútuas, assim Clique Máximo é determinar o máximo de vértices que possuem conexões mútuas (ZIVIANI, 2011).
Problemas NP-Completo são facilmente encontrados e estão relacionados a problemas de otimização: em alocação de recursos, detecção e correção de erros em comunicação digital, genética, transporte e logística (PAPADIMITRIOU;STEIGLITZ, 1998). Para que estes
problemas possam ser resolvidos em tempo razoável, podem ser utilizadas várias técnicas encontradas na Computação: Algoritmos Aproximados, Heurísticas, Programação Paralela entre outros (ZIVIANI, 2011).
A Programação Paralela surgiu para aumentar a disponibilidade, aproveitando a evolução tecnológica e o baixo preço do hardware (STALLINGS, 2010). Uma das abordagens deste tipo de programação é usar múltiplos processadores em paralelo, visando dividir a carga de trabalho. Organizações mais comuns de múltiplos processadores em paralelo são:
Multiprocessadores Simétricos (SMP, do inglês Symmetric Multiprocessor), Clusters e o Sistema de Acesso não Uniforme à Memória (NUMA, do inglês Nonuniform Memory Acess) (STALLINGS, 2010).
A organização SMP é a interligação de um grupo de processadores semelhantes no mesmo computador interligados por barramento ou por algum método de comutação, a organização Cluster é a interligação de um grupo de computadores com recursos próprios e trabalhando de forma unificada, já a organização NUMA utiliza o conceito de Cluster e em cada nó (ou seja, cada maquina) utiliza o conceito de SMP, com o recurso de todos os processos terem acesso a todas as partes da memória principal podendo efetuar operações de leituras e escritas (STALLINGS, 2010).
A tecnologia MPI é uma interface entre aplicativo e programação (API) padronizada utilizada para programação paralela e/ou computação distribuída. É constituída de duas versões, a MPI-1(de 1994) e a MPI-2(de 1996), onde a MPI-2 é uma versão composta pela primeira e mais recursos. A tecnologia livre Open MPI é um projeto de tecnologia MPI (do inglês, Message Passing Interface), open source, desenvolvido e mantido por um consórcio de ensino, pesquisadores e pessoas ligadas à indústria (OPENMPI, 2013).
O trabalho sugerido nesta proposta tem o objetivo de analisar o desempenho de dois problemas NP-Completo ao serem executados sequencialmente em um processador e paralelamente em múltiplos processadores, utilizando a tecnologia livre Open MPI. Neste contexto, pretende-se responder a seguinte pergunta de pesquisa:
Como utilizar a tecnologia livre Open MPI para resolver problemas NP-Completo, de modo a reduzir o tempo de execução em relação às tecnologias sequenciais?
Primeiramente foi efetuado o levantamento do material destinado ao aprofundamento nos conceitos abordados no desenvolvimento do trabalho, assim foi pesquisado os Problemas NP-Completo com o objetivo de observar (conhecer) cada particularidade envolvida e as abordagens conhecidas, aprimorando os conceitos e possibilitando a realização da pesquisa de implementação dos algoritmos sequenciais e paralelos e também foi pesquisado os conceitos e tecnologias para possibilitar o pleno desenvolvimento utilizando a tecnologia livre Open MPI.
Assim concluídas foi possível executar os algoritmos e coletar as informações necessárias para efetuar os comparativos.
1.1 PROBLEMATIZAÇÃO 1.1.1 Formulação do Problema
Posicionar problemas NP-Completo utilizando dois paradigmas da computação, a programação Sequencial e a programação Paralela, buscando melhor aplicar as técnicas conhecidas e obter resultados significativos para que se possa encontrar a resolução destes problemas em tempo polinomial.
Como a tecnologia livre Open MPI alcança alto desempenho os problemas da classe NP-Completo podem ser analisados visando bons resultados.
1.1.2 Solução Proposta
Para solucionar o problema proposto serão codificados algoritmos para programação sequencial para CPU e programação paralela para múltiplas threads e múltiplos computadores com múltiplas threads, utilizando a tecnologia livre Open MPI. Os resultados obtidos serão analisados comparativamente visando posicionar a tecnologia livre Open MPI na resolução dos problemas NP-Completo.
1.2 OBJETIVOS 1.2.1 Objetivo Geral
Identificar estratégias para abordar o problema do Clique Máximo em Programação Paralela utilizando a tecnologia livre Open MPI.
1.2.2 Objetivos Específicos
Os objetivos específicos deste projeto de pesquisa são:
• Levantar algoritmo para o Clique Máximo;
• Codificar o algoritmo sequencial;
• Codificar o algoritmo paralelo;
• Coletar e analisar os dados de forma comparativa e posicionar a perspectiva paralela utilizada;
• Indicar os potenciais da Programação Paralela com relação à Programação Sequencial aplicada ao problema do Clique Máximo.
1.3 METODOLOGIA
Este trabalho foi divido em seis etapas: (i) levantamento de material para fundamentação teórica; (ii) codificação do algoritmo sequencial; (iii) codificação do algoritmo paralelo; (iv) execução e coleta de dados; (v) análise dos resultados dos experimentos; (vi) documentação do TTC.
Na primeira etapa, foram pesquisadas e conceituadas todas as informações necessárias para a realização deste projeto, nas áreas de teoria da complexidade, problemas NP-Completo, programação paralela e tecnologia livre Open MPI. As informações foram extraídas principalmente em trabalhos de conclusão, dissertações de mestrados, livros e artigos.
Na segunda etapa, foi analisada a lógica do algoritmo, onde o mesmo foi codificado e documentado.
Na terceira etapa, que foi realizada no TCC II, foi codificado o algoritmo em programação paralela utilizando a tecnologia livre Open MPI baseando-se na fundamentação e nos trabalhos similares.
Na quarta e quinta etapa, foi realizada a coleta dos dados com base nas execuções dos algoritmos e a analise dos resultados utilizando de uma metodologia comparativa visando a confiabilidade e possibilitando posicionar a tecnologia livre Open MPI.
Na última etapa, foi realizada a documentação do TCC I e TCC II, onde são descritos a fundamentação, codificação dos algoritmos, dados coletados das execuções e análises de resultados obtidos.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A Fundamentação Teórica realiza um levantamento de conceitos importantes relacionais ao projeto deste TTC. Os tópicos a serem destacados são: Classes de Complexidade, Problema NP-Completo Clique Máximo, Programação Paralela e tecnologia livre Open MPI.
2.1 TEORIA DA COMPLEXIDADE
A Teoria da Complexidade estuda a razão de problemas computacionais quanto a sua dificuldade, computacionalmente difíceis ou fáceis e quais destes problemas estão relacionados quanto ao consumo de recurso (SIPSER, 2005).
Um problema computacional é aquele que se pode obter uma solução de acordo com uma determinada entrada. Solução é o que satisfaz a relação com entrada utilizada. Podemos utilizar como exemplo o problema de ordenação, onde a entrada é uma lista preenchida com elementos aleatórios e como solução é gerada uma sequência ordenada de seus elementos (NIKOLAY, 2013).
Problemas computacionais são medidos de acordo com a utilização de tempo e/ou memória. Segundo Cook (1983) a complexidade de tempo é a medida de complexidade mais importante, pois as pesquisas realizadas são fortemente direcionadas para projetar e analisar algoritmos quanto a sua eficiência. O algoritmo que fornece a solução mais rápida é considerado o mais eficiente (GAREY; JOHNSON, 1979).
Para mensurar a complexidade de tempo de um algoritmo é preferível evitar a medida empírica, esta é fortemente dependente da programação e da maquina utilizada para implementar o algoritmo, de maneira que se dois programas são comparados em duas maquinas os resultados poderão ser diferentes devido as características das máquinas serem diferentes. A alternativa para a medida empírica é a utilização de cálculos matemáticos para analisar as dificuldades intrínsecas na resolução do problema (TOSCANI; VELOSO, 2005).
Segundo Toscani e Veloso(2005) para medir a quantidade de trabalho despendido por um algoritmo, é escolhido uma operação, denominada operação fundamental, está somente é aceitável se o número de operações executadas pelo algoritmo é proporcional ao número de execuções da operação fundamental.
Segundo Toscani e Veloso (2012) o esforço de um algoritmo sobre uma dada entrada, considerando a sequencia de passos executados pelo algoritmo e a quantidade de vezes que são executadas as operações fundamentais pode-se descrever pela formula:
→ → ⋯ → → ⋯ →
Equação 1
Um problema computacional pode ser resolvido por vários algoritmos. Logo, para classificá-lo de acordo com uma função de complexidade, considera-se o algoritmo conhecido mais eficiente para resolvê-lo (TOSCANI; VELOSO, 2012).
Dada complexidades dos problemas computacionais, existe um sistema de classificação, chamado de Classes de complexidade, que são conjuntos de problemas que podem ser decididos dentro de um mesmo recurso computacional (ARORA; BARAK, 2009).
Em relação ao recurso computacional requerido, as três classes de complexidade envolvidas no contexto deste trabalho são: P, NP e NP-Completo.
Para compreender as classes de complexidade, os conceitos de algoritmos determinísticos e não determinísticos são fundamentais: (i) algoritmos determinísticos são aqueles que o resultado de cada operação é obtido unicamente; e (ii) algoritmos não determinísticos são aqueles que o resultado não é unicamente definido, sendo capaz de escolher uma dentre as alternativas possíveis a cada passo. Através de um dispositivo teórico é possível execução de múltiplas configurações consumindo o tempo de apenas uma. A Figura 1 ilustra as duas definições. (ZIVIANI, 2011).
Figura 1. Algoritmo Determinístico e Não-determinístico Fonte: Adaptado Sipser (2007)
Nas subseções à seguir são conceituadas e exemplificadas as três classes de complexidade mais relacionadas a este trabalho de conclusão: P, NP e NP-Completo.
2.1.1 Classe P
Segundo Ziviani (2011), a Classe de complexidade P (polynomial time) é o conjunto formado de todos os problemas que podem ser resolvidos por algoritmos determinísticos em tempo polinomial. Os algoritmos de tempo polinomial são considerados rápidos para muitos propósitos e qualquer um pode simular outro com somente algum aumento polinomial no tempo de execução (SIPSER, 2007; CARDOSO, 2012).
Segundo Sipser (2007), a classe P é importante por ser invariante a todos os modelos polinomialmente equivalentes a Maquina de Turing determinística de uma única fita e por corresponder aproximadamente à classe de problemas que são solúveis por um computador em tempo aceitável.
Segundo Ziviani (2011), um problema da Pesquisa Sequencial consiste em percorrer um conjunto de registros, do inicio até encontrar o que se procura, este conjunto que armazenará os dados pode-se uma estrutura de arranjo que possui uma chave que identifica o
registro, assim caso encontre o registro que se procura é retornado à chave ou posição do registro neste arranjo, caso contrario retorna o valor zero.
2.1.2 Classe NP
Segundo Ziviani (2011), a Classe de complexidade NP (Non-Deterministic Polynomial Time) é o conjunto formado por todos os problemas que são solucionados por algoritmos não determinísticos em tempo polinomial. Os problemas desta classe podem ser verificados utilizando algoritmos determinísticos em tempo polinomial, segundo Sipser (2007) esta característica é chamada de Verificabilidade polinomial e é importante para entender a complexidade do problema.
Assim sendo, se P = NP, problemas que são resolvidos em tempo exponencial poderiam ser resolvidos em tempo polinomial, o que resultaria em uma grande redução do tempo de execução. Uma área na qual esta mudança seria importante é a Criptografia. Quando um sistema de criptografia é criado, uma de suas premissas é que para que se possa quebrar a segurança consumindo um tempo exponencial. Caso P = NP, os algoritmos de quebra de criptografia poderiam ser executados mais rapidamente, consumindo segundos ou minutos, ao invés de semanas, meses ou anos (SIPSER, 2007;ARORA; BARAK, 2009).
Figura 2. Descrição tentativa do mundo NP Fonte: Adaptado de Ziviani (2011)
2.1.3 Classe NP-Completo
Segundo Ziviani (2011), Stephen Cook e Leonid Levin buscavam um problema NP que pudesse ser resolvido utilizando um algoritmo polinomial determinista, de forma que
todos os problemas NP também pudessem ser resolvidos em tempo polinomial, assim surgindo à questão P = NP, esta que busca saber se algum problema NP esta contido em P.
Segundo Ziviani (2011), para poder provar que um problema é NP-Completo é preciso seguir alguns passos, como: (i) primeiramente provar que o problema é NP; (ii) e em seguida mostrar que um problema NP-Completo pode ser transformado para o problema NP, através da transformação polinomial.
Segundo Ziviani (2011, p. 413),
Considere II1 e II2 dois problemas “sim/não”, conforme mostrada na Figura 3. Suponha que exista um algoritmo A2 para resolver II2. Se for possível transformar II1 em II2 e sendo conhecido um processo de transformar a solução de II2 em uma solução de II1, então o algoritmo A2 pode ser utilizado para resolver II1. Se as transformações nos dois sentidos puderem ser realizadas em tempo polinomial, então II1 é polinomialmente transformável em II2.
Figura 3. Redução Polinomial Fonte: Adaptado de Ziviani (2011)
Segundo Sipser(2007) para provar que um dado problema B é NP-Completo, verifica- se duas condições: (i) se B esta em NP; e (ii) se todo problema A em NP é polinomialmente redutível a B.
Como exemplo será provado que o problema do caixeiro-viajante é NP-Completo a partir do problema do ciclo de Hamilton, que é um dos primeiros problemas a ser provado como NP-Completo (ZIVIANI, 2011).
Segundo Ziviani (2011) para provar que o problema do caixeiro-viajante é NP- Completo são realizados 2 passos, onde o primeiro consiste em mostrar que o problema está em NP apresentando um algoritmo não determinista polinomial para o problema do caixeiro-
viajante ou a partir de uma solução dada efetuar a verificação em tempo polinomial, o segundo passo consiste em apresentar uma redução polinomial para o problema do ciclo de Hamilton para o problema do caixeiro-viajante. A redução polinomial pode ser efetuada como na Figura 4, onde os vértices representam as cidades e as arestas as distancias, utilizando peso 1 para quando existe a aresta originalmente e o peso 2 para quando não existir.
Figura 4. Redução do ciclo Hamilton para o problema do Caxeiro-Viajante Fonte: Adaptado de Ziviani (2011).
Em muitos casos, opta-se por utilizar uma solução heurística para problemas NP- Completo. Segundo ZIVIANI (2011), uma heurística é uma maneira de resolver um problema computacional gerando uma solução, que pode ser ótima, ou seja, a resposta exata para o problema, próxima ou distante da solução ideal (ótima). Geralmente, justifica-se o uso de uma solução heurística para casos em que a obtenção da solução ótima demandaria tempo exponencial. Com as heurísticas, relaxa-se a exigência de uma solução para um resultado ideal, para uma resposta em tempo polinomial.
2.1.4 Técnica Branch & Bound
Segundo Ziviani (2011), a finalidade desta técnica é eliminar partes do problema que não chegarão a uma solução melhor do que a já obtida. Por exemplo, em um problema de
“caminho”, a cada etapa (ou seja, cada vértice), é verificado o custo do caminho percorrido até aquele ponto, assim se este custo for maior ou igual a um custo obtido então este caminho é eliminado.
Branch & Bound é uma técnica utilizada para encontrar a solução de problemas através da enumeração sistemática de possíveis soluções, assim o algoritmo tende a reduzir o
número de soluções geradas utilizando limitantes inferiores e superiores. A técnica consiste em subdividir um problema em subproblemas menores (branching) e elimina os conjuntos de subproblemas que podem não levar a uma solução ótima (bounding) (CARMO; ZÜGE, 2012).
O limitante superior é um valor estimado, maior ou igual ao valor de uma solução ótima de um determinado subproblema e o limitante inferior pode ser uma estimativa ou a melhor solução de algum subproblema (CARMO; ZÜGE, 2012).
O passo de branching é onde o problema é subdividido em subproblemas e pode ser emprega a técnica de backtracking, que consiste em gerar sistematicamente todas as soluções possíveis, na Figura 5 é ilustrada uma árvore de backtracking e o passo de bounding é onde ocorre a eliminação do subproblema verificando o valor do limitante superior com o valor do limitante inferior do problema global, assim caso o limitante maior seja menor que o limitante inferior é efetuado a eliminação (CARMO; ZÜGE, 2012).
Figura 5. Árvore de backtracking
Fonte: Adaptado de Kreher e Stinson (1999).
Há uma grande busca por algoritmos cada vez mais eficientes, mesmo que não polinomiais, devido ao Problema do Clique Máximo ser um dos problemas fundamentais. Na literatura há diversos algoritmos e diversas abordagens para encontrar a solução exata, destas, duas são consideradas clássicas, Branch & Bound e Lower Bound, a primeira por limites
superiores associada à técnica enumerativas e a segunda por limites inferiores através de algoritmos de procura local (CARMO; ZÜGE, 2012; CAVIQUE; REGO; THEMIDO,2013).
A técnica de Branch & Bound é utilizada em vários algoritmos por diversos autores em sua base, mas cada um difere utilizando abordagens diferentes para problemas diferentes, buscando cada vez mais soluções otimizadas, alguns autores tratam de problemas do mundo real enquanto outros tratam de problemas do mundo artificial. Podem-se citar algumas áreas, tais como análise de mercado, seleção de projetos, teoria da transmissão de sinais, economia, agendamentos, design experimental, visão computacional entre outros (CARMO; ZÜGE, 2012; CAVIQUE; REGO; THEMIDO,2013).
2.2 PROBLEMA CLIQUE
O Clique do Grafo é um problema comprovadamente NP-Completo por Richard Karp em 1972, este possui a característica de que todos os vértices possuem conexões mútuas. O problema do Clique possui algumas variações, tais como k-Clique, Clique Máximo e Clique maximais. O k-Clique é um grafo que possui um tamanho especifico k, ilustrado na Figura 6 (SIPSER, 2007; ZIVIANI, 2011).
Figura 6. Um grafo com 4-Clique Fonte: Adaptado de SIPSER (2007)
Outra variação do problema Clique é o “Clique Máximo” de um grafo, que consiste em um clique com o maior número de vértices que possuem conexões mútuas, conforme ilustrado na Figura 7.
Figura 7. Um grafo com Clique Máximo Fonte: Adaptado de SIPSER (2007)
Uma das aplicações estudadas nos trabalhos similares é um modelo prático do problema, aplicada na área de sistemas distribuídos, sendo esta utilizada em uma rede de computadores espalhados e conectados por internet com a finalidade de testar as condições adversas. O estudo tinha por finalidade encontrar conjuntos estáveis onde os vértices representavam computadores e arestas representavam a conexão com determinada qualidade.
2.2.1 Heuristicas
As heurísticas são maneiras de resolver um dado problema computacional em casos que para chegar a uma solução ideal demandaria de recursos (tempo ou espaço) exponencial, assim as soluções podem ser ótimas, próximas ou distantes da solução ideal.
2.2.1.1 Hill-Climbing
O método de Subida de Encosta (Hill-Climbing) faz analogia à escalada de uma colina, sugerindo que o caminho mais rápido para o topo de uma colina é mover-se de forma contínua no sentido do valor crescente. A busca é efetuada visitando os vizinhos imediatos, desta maneira nenhum vizinho terá o valor mais alto e só termina quando alcança o topo (KREHER; STINSON, 1999).
2.2.1.2 Simulated Annealing
O Recozimento Simulado (Simulated Annealing) é um dos métodos análogo ao processo físico de resfriamento de um metal, este processo consiste em reduzir a energia interna do material cuidadosamente. A função objetivo corresponde ao nível de energia do sistema, esta que se deseja minimizar. Este método utiliza da estratégia de busca na vizinhança de forma semi-aleatória e de probabilidade de aceitação para novas soluções, onde soluções que melhoram o valor da função objetivo são sempre aceitas e soluções que pioram o valor da função objetivo são condicionalmente aceitas (KREHER; STINSON, 1999;
PEREIRA, 2004).
2.2.1.3 Algoritmos Genéticos
Algoritmos Genéticos (Genetic Algorithm) é um método análogo ao processo evolutivo, onde os indivíduos representam a solução do problema, sendo assim, a seleção natural é um critério de escolha das melhores soluções e a eliminação das ruins, o cruzamento e a mutação são meios para a obtenção de novas soluções (LOPES, 1995; AGUIAR, 1998;
KREHER; STINSON, 1999).
2.2.2 Programação paralela
Desde a popularização do computador há uma demanda por computadores cada vez mais eficientes, com maior poder computacional e de armazenamento para resolver diversos problemas na ciência, engenharia e indústria. Alguns incentivos que intensificaram a exploração do paralelismo pode-se destacar os avanços consideráveis na área de tecnologia e a redução do custo do hardware (TANENBAUM, 2007; STALLINGS, 2010).
Segundo Tanenbaum (2007), a velocidade dos circuitos não pode aumentar indefinidamente devido aos limites físicos, como a dissipação de calor e problemas que podem surgir devido a redução do tamanho dos transistores. Na historia dos computadores pode-se destacar que por algumas décadas o principal método de aumento do desempenho nas CPUs(Central Proessing Units) é devido ao incremento da velocidade de operações por segundo dos processadores, conhecido como Clock, partindo de poucas operações por segundo até chegar em frequências entre 1GHz e 4Ghz em meados dos anos 2000, após isto alguns limites físicos foram encontrados, tais como: (i) o alto consumo de energia dos circuitos integrados; (ii) restrições de dissipação de calor; (iii) e limites na fabricação de
resistores ainda menores. Isto motivou arquitetos de computadores buscarem alternativas para se ganhar desempenho (TANENBAUM, 2003).
Os arquitetos de computadores passaram a recorrer ao método paralelização de processamento, seja em múltiplos computadores ou em múltiplas unidades de processamento.
O paralelismo pode ser introduzido em vários níveis, desde o mais baixo, que resultaria em adicionar ao chip da CPU, sendo por meio de pipeline e projetos superescalares, por meio de palavras de instrução, por meio de características para permitir que a CPU possua múltiplos threads de controle e por meio de várias CPUs no mesmo chip. Em um nível seguinte pode-se introduzir placas de CPUs extras ao sistema, estas com funções específicas tais como processamento de pacotes de redes, multimídia e outros. O nível final envolve utilizar a conexão de rede para interligar grades de computadores (TANENBAUM, 2007).
Nas seções seguintes tópicos importantes para o melhor entendimento da programação paralela serão abordados, tais como Taxonomia de Flynn, multiprocessadores, multicomputadores (ou múltiplos computadores) e sistemas distribuídos.
2.2.2.1 Taxonomia de Flynn
Segundo Stallings (2010), a Taxonomia de Flynn é ainda a maneira mais comum de categorizar sistemas com capacidade de processamento paralelo. Esta classificação é baseada em dois conceitos, fluxo de instruções e fluxo de dados, onde o fluxo de instruções corresponde a uma sequência de instruções a ser executada por um computador e o fluxo de dados consiste em uma sequência de dados a ser manipulados por um fluxo de controle. As combinações do fluxo de instruções e fluxo de dados são divididas em SISD (single instruction, single data), SIMD (single instruction, multiple data), MISD (multiple instruction, single data), MIMD (multiple instruction, multiple data) (TANENBAUM, 2007;
STALLINGS, 2010).
• SISD: É um sistema com um único fluxo de instruções que é executada por um único processador para manipular os dados armazenados em uma única memória, um único dado.
• SIMD: É um sistema com um único fluxo de instruções que é executada em vários conjuntos de dados simultaneamente.
• MISD: É um sistema que executa múltiplas instruções em um mesmo dado, pode-se considerar um dado transmitido para um conjunto de processadores para ser executado por uma sequencia de instruções diferentes.
• MIMD: É um sistema que executa múltiplas instruções em múltiplos dados, pode-se considerar um conjunto de processadores que executam sequencias de instruções diferentes simultaneamente para um conjunto de dados diferentes.
Os multiprocessadores e multicomputadores são considerados MIMD.
2.2.2.2 Múltiprocessadores
Segundo Tanenbaum (2003), um multiprocessador é um computador onde duas ou mais CPUs compartilham acesso total a uma memoria RAM comum. Por exemplo, um programa que esta executando em uma das CPUs pode enxergar e manipular qualquer espaço de endereço da memoria virtual.
Segundo Stallings (2010), multiprocessadores é uma das abordagens para melhorar o desempenho, de forma a executar operações em paralelo assim dividindo a carga de trabalho e/ou até mesmo melhorar a disponibilidade. Podem ser divididos em Multiprocessadores Simétricos (Symmetric Multiprocessor) e Sistema de Acesso não Uniforme à Memória (Nonuniform Memory Access).
• Multiprocessadores Simétricos: Segundo Stallings (2010) é uma arquitetura de hardware computacional que consiste na interligação de um grupo de processadores semelhantes no mesmo computador através de barramento ou algum método de comutação. São características possuir dois ou mais processadores semelhantes, compartilhar memória principal e os recursos de entrada e saída, os processadores desempenham a mesma função e o sistema é controlado por um sistema operacional integrado.
• Sistema de Acesso não Uniforme à Memória: Segundo Stallings(2010) é um conjunto de computadores com recursos próprios que são interligados, semelhante ao Cluster e possui a característica de poder efetuar operações utilizando todas as memórias dos computadores interligados, onde o tempo de acesso à memória varia de acordo com a região onde esta a memória.
2.2.2.3 Múlticomputadores
Segundo Tanenbaum (2003), multicomputadores são CPUs fortemente acoplados que não compartilham memória, assim todos os CPU tem sua própria memoria local. A Figura 8 ilustra multicomputadores interconectados. Estes normalmente compartilham de uma interconexão de alta velocidade, podendo ou não possuir um disco rígido. São conhecidos por uma variedade de nomes, como computadores cluster e Clusters of workstations (clusters de estações de trabalho).
Figura 8. Multicomputadores interconectados Fonte: Adaptado de Tanenbaum (2003).
Segundo Stallings (2010), cluster é um conjunto de computadores, estações de trabalho, com recursos próprios que são interligados visando fornecer alto desempenho e disponibilidade de forma unificada.
Os multicomputadores são interconectados pela interface de rede de várias formas, estas são conhecidas como topologias de rede e pode ser switch, anel, grade, toro duplo, cubo ou hipercubo, onde cada uma possui um papel importante na disponibilidade, controle de dados, dimensionamento entre outras (TANENBAUM, 2003).
2.2.2.4 Sistemas Distribuidos
Segundo Tanenbaum (2003), os sistemas distribuídos são semelhantes aos multicomputadores no quesito de não possuírem memoria compartilhada, porém as estações
de trabalho são completas com todos os periféricos e fracamente acopladas, normalmente interligadas através da internet e podem estar espalhadas pelo mundo.
Uma vantagem dos computadores serem fracamente acoplados é que podem ser utilizados por diversas aplicações, porém a desvantagem é que a programação para essas aplicações é difícil devido à falta de um modelo de plataforma comum (TANENBAUM, 2003).
2.2.2.5 Open MPI
Segundo TANENBAUM (2007) a tecnologia MPI (Message-Passing-Interface) é constituída de duas versões, a primeira denominada MPI-1, foi publicada no ano de 1994, composta de todos os requisitos base necessários para o padrão de troca de mensagens e a segunda versão, mais complexa e ampliada denominada MPI-2, foi publicada no ano de 1997.
A tecnologia Open MPI apesar de atender aos tipos de sistemas paralelos citados anteriormente, porém há necessidade de compilar o código para arquiteturas diferentes espera-se maior praticidade em multicomputadores, tendo em vista que estes são fortemente acoplados e normalmente utilizam o mesmo sistema operacional (OPENMPI, 2013).
A MPI é constituída de quatro conceitos principais, estes são Comunicador, tipos de dados de mensagens, operações de comunicação e topologias virtuais.
• O Comunicador é um mecanismo que identifica o grupo de processos e o domínio (contexto) a qual uma operação deve ser efetuada, assim evitando que as mensagens não relacionadas interfiram umas nas outras.
• As mensagens possuem tipos de dados que são suportados, como caracteres, números inteiros, longos, normais e outros, também sendo possível construir outros a partir destes.
• As operações de comunicação são utilizadas para enviar e receber os dados, definir modos, bloqueios e qual a forma de comunicação.
• A topologia virtual são os caminhos de comunicação, de forma a organizar os processos em árvore, anel, grade, toro ou outra.
A tecnologia livre Open MPI é um projeto de tecnologia MPI, open source, desenvolvido e mantido por um consorcio de ensino, pesquisadores e pessoas ligadas à
indústria, com a finalidade de obter altas performances, combinando vários projetos MPI já existentes objetivando uma única implementação MPI integrando as finalidades destes projetos (NEVES, 2009; OPENMPI, 2013).
A arquitetura do Open MPI é composta por três classes componentes, combinadas provem todas as suas funcionalidades, é ilustrada pela Figura 9. A camada OMPI (Open MPI Layer) é a camada mais superior e provê a interface MPI para as aplicações. Mais abaixo esta a camada ORTE (Open MPI Run-Time Enviroment) que provê um ambiente de execução paralelo independente das capacidades do sistema. Logo abaixo, a terceira camada OPAL (Open Portable Access Layer) provê uma maior portabilidade das camadas superiores abstraindo peculiaridades especificas do sistema. Abaixo de todas as camadas está o sistema operacional e os outros serviços necessários executando no local (GRAHAM; WOODALL;
SQUYRES, 2005; NEVES, 2009).
Figura 9. Classes que compõem o Open MPI Fonte: OpenMPI (2013)
2.2.3 Estrutura de um código MPI
Em todos os arquivos que utilizarão os recursos do MPI é obrigatório a inclusão do cabeçalho mpi.h, este contem todas as definições de funções e constantes necessárias durante o desenvolvimento e compilação do programa. No corpo do código todas as chamadas para funções e constantes do MPI devem ser feitas entre MPI_Init e MPI_Finalize, conforme o Quadro 1 (NEVES, 2009).
Quadro 1. Estrutura do código MPI em C
#include <stdio.h>
#include <mpi.h>
int main(int argc, char *argv[]) { MPI_Init(&argc, &argv);
Bloco de comandos e as instruções MPI MPI_Finalize();
}
O MPI segue uma padronização que visa a fácil identificação de métodos e tipos que compõem a API, desta forma todos os identificadores possuem o prefixo “MPI_”. Tipos e constantes são expressas em letra maiúsculas e funções são expressas com a primeira letra maiúscula e as demais em minúsculo, por exemplo, o tipo MPI_SHORT e MPI_Send, respectivamente (OPENMPI, 2013).
É empregado um manipulador de erros próprio para o tratamento de exceções, assim caso ocorra algum problema durante a execução a sinalização e as ações a serem tomadas é responsabilidade da API (OPENMPI, 2013).
Para poder oferecer suporte a várias linguagens foi desenvolvida uma equivalência de tipos de dados entre a API e as linguagens suportadas, a Tabela 1 ilustra a equivalência com a linguagem C.
Tabela 1. Equivalência de tipos de dados
Tipo de Dados do MPI Tipo de Dados do C
MPI_CHAR signed char
MPI_SHORT signed short int
MPI_INT signed int
MPI_LONG signed long int
MPI_UNSIGNED_CHAR unsigned char
MPI_UNSIGNED_SHORT unsigned short int
MPI_UNSIGNED unsigned int
MPI_UNSIGNED_LONG unsigned long int
MPI_FLOAT Float
MPI_DOUBLE Double
MPI_LONG_DOUBLE MPI_LONG_DOUBLE long double
MPI_PACKED MPI_BYTE
Fonte: OpenMPI(2013)
Um exemplo de uma implementação “Hello World” em linguagem C utilizando Open MPI, pode ser visto no Quadro 2:
Quadro 2. Código Hello World em Open MPI.
#include <stdio.h>
#include <mpi.h>
int main(int argc, char *argv[]) { int numprocs, rank, namelen;
char processor_name[MPI_MAX_PROCESSOR_NAME];
MPI_Init(&argc, &argv);
MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &numprocs);
MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &rank);
MPI_Get_processor_name(processor_name, &namelen);
printf("Processo %d em %s de %d\n", rank, processor_name, numprocs);
MPI_Finalize();
}
Fonte: OpenMPI (2013)
2.3 TRABALHOS SIMILARES
Devido à complexidade computacional dos problemas NP-Completo, cientistas e estudiosos buscam por utilizar técnicas conhecidas, adaptando-as e até unindo-as, visando encontrar a solução para os problemas NP-Completo ou a melhor solução possível, e consequentemente tendem a explorar formas de aumentar o desempenho através de algoritmos paralelos.
A seguir é apresentado dois estudos no campo da programação paralela, o primeiro Analise Comparativa de Algoritmos NP-Completo Executados em CPU e GPU Utilizando CUDA e An Exact Parallel Algorithm for the Maximum Clique Problem (Um Algoritmo Paralelo Exato para o Problema do Clique Máximo).
2.3.1 Analise Comparativa de Algoritmos NP-Completo Executados em CPU e GPU Utilizando CUDA
Desenvolvido por Elcio Cardoso na Universidade do Vale do Itajaí em 2012, este teve como objetivo comparar a execução de dois problemas NP-Completo, Clique Máximo e Cobertura Mínima de um grafo, em duas arquiteturas diferentes, primeiramente em CPU e posteriormente em GPU, utilizando da tecnologia CUDA.
O problema do Clique Máximo tem como objetivo encontrar o conjunto de vértices que possui o maior número de conexões mutuas, ou seja, o clique de tamanho máximo em um dado grafo, e o problema da Cobertura Mínima de um grafo tem como objetivo encontrar o conjunto que possui o menor número de vértices que possuem pelo menos uma das pontas de cada aresta (CARDOSO, 2012).
Os algoritmos foram executados e comparados em três ambientes, no primeiro foi usando uma CPU com dois núcleos rodando a 2,4 GHz e os algoritmos desenvolvidos de forma sequencial, no segundo ambiente, uma GPU Nvidia GeForce GT 640 com 384 núcleos CUDA e no terceiro uma GPU Nvidia GeForce GTX 670 com 1344 núcleos CUDA, onde no segundo e no terceiro foi utilizado algoritmos desenvolvidos para buscar o maior desempenho paralelo que esta arquitetura pode oferecer (CARDOSO, 2012).
A Figura 10 apresenta a comparação entre as implementações para a CPU e GPUs, ilustrando o tempo de execução obtido nos três ambientes, sendo que nos ambientes que
utilizam GPU houve a paralização de operações e a divisão em subgrafos. A execução foi dada com as mesmas configurações e dados dos problemas, onde os problemas continham quantidade de vértices diferentes e tamanho do clique diferentes, e os dados foram extraídos da média de cinco execuções em cada ambiente (CARDOSO, 2012).
Figura 10. Resultados da execução do clique do grafo Fonte: Cardoso (2012)
O autor concluiu que quando os grafos são menores a CPU apresenta vantagem sobre a GPU do ambiente 2 devido o volume de dados a ser processados ser menor, e observou que o mesmo não ocorre na GPU do ambiente 3 pois é mais eficiência neste tipo de operação.
Quando os grafos são maiores e consequentemente o volume de dados é maior, as GPUs apresentam vantagem, pois quando o volume de dados aumenta o seu tempo de alocação cresce proporcionalmente e a quantidade de processamento cresce exponencialmente.
2.3.2 An Exact Parallel Algorithm For The Maximum Clique Problem
Desenvolvido por Panos M. Pardalos, Jonas Rappe e Mauricio G. C. Resende e apresentado na conferencia In High Performance and Software in Nonlinear Optimization em 1997, tem como objetivo apresentar um algoritmo paralelo exato portátil para o problema do Clique Máximo em grafos gerais.
Os algoritmos foram executados e comparados em dois ambientes, no primeiro um computador com 2 processadores e no segundo com 4 processadores, na implementação dos algoritmos utilizou-se a linguagem Fortran 77. Os algoritmos foram testados em grafos ponderados e não ponderados onde o tamanho variava de 64 vértices com 1.824 arestas até 500 vértices com 74.983 arestas (PARDALOS; RAPPE; RESENDE, 2013).
Os autores abordaram o problema utilizando a estratégia de Mestre-Escravo, esta estratégia é composta por 2 programas, o programa Mestre e o programa Escravo, onde no primeiro concentra o problema com os dados do conjunto de vértices, operações para dividir em subgrafos e a solução dos subgrafos, no segundo, concentra o recebimento do subgrafo, expansão do nó, o processamento e o envio da solução (PARDALOS; RAPPE; RESENDE, 2013).
Os autores concluíram com os resultados obtidos após vários testes que há um aumento de performance, mais significativamente proporcional com o aumento de tamanho (número de vértices e densidade) do problema.
2.3.3 Comparativo e Considerações
Os trabalhos similares utilizam da programação paralela para obter maior desempenho na resolução dos problemas NP-Completo. Ambos os trabalhos utilizaram abordagens diferentes devido à utilização de programação e arquiteturas diferentes, onde o primeiro desenvolveu um algoritmo sequencial para tratar em uma CPU e também explorou estratégias para a utilização da programação paralela em CUDA visando abordar os problemas NP- Completo clique máximo e cobertura de vértices, e o segundo desenvolveu estratégias para a utilização de programação paralela em CPU, onde foi executado o algoritmo para o problema do clique máximo, em máquinas com duas e quatro CPUs.
Este trabalho se difere do primeiro trabalho similar quanto à utilização da tecnologia CUDA, esta utilizada na implementação da abordagem em programação paralela, e se assemelha na utilização da programação sequencial para o problema NP-Completo clique máximo, possui maior semelhanças com o segundo trabalho, devido à abordagem da programação paralela para CPU, o emprego da tecnologia MPI padrão e estratégias visando resolver o problema do clique máximo.
3 DESENVOLVIMENTO
Serão apresentados tópicos importantes para o desenvolvimento do projeto, testes e análises dos resultados, utilizando das informações obtidas na fundamentação teórica.
Primeiramente será codificado o algoritmo sequencial para posteriormente codificar o algoritmo paralelo, tendo em vista analisar a complexidade envolvida e efetuar a analise dos resultados obtidos.
3.1 ALGORITMO EXATO
Inicialmente o algoritmo para o Clique foi desenvolvido e explorado para ser utilizado em programação sequencial, a seguir será abordado o processo de implementação e análise da complexidade dos problemas.
3.1.1 Clique Máximo
O problema do Clique Máximo pode ser resolvido utilizando a técnica de recursividade, onde é percorrido o grafo em busca da solução, no Quadro 3 é apresentado a lógica utilizada e a função recursiva MaxClique (KREHER; STINSON, 1999). A função utiliza o seguinte conjunto de dados:
• V: Vértices do Grafo;
• A: Adjaventes de V;
• B: Vértices a serem analisados;
• C: Vértices que compõem a árvore de backtracking;
• OptClique: Solução do problema;
• l: Nível da árvore de backtracking.
O algoritmo proposto consiste em percorrer o grafo com base em sua árvore de backtracking utilizando as relações entre vértices já verificadas no conjunto B e identificando os possíveis adjacentes a serem incluídos no clique anterior encontrado.
São realizados pelo algoritmo descrito no Quadro 3 os seguintes passos:
• Verifica-se a quantidade de vértices com ligações simultâneas da solução atual e caso seja superior a solução encontrada, esta então é mantida (até que não reste maiores);
• É criado um conjunto relativo às adjacências mutuas (conjunto C), ao grupo de vértices analisados em questão;
• Repetir os passos 1, 2 e 3 em cada adjacência mútuas identificas no passo 2, até que não haja mais destas adjacências.
Quadro 3. Logica MaxClique
global A[l], B[l], C[l], x[l] (l = 0, 1, ... , n - 1)
MaxClique(l) if l > OptSize {
OptSize <- l + 1
OptClique <- (x[0], ... , x[l-1]) }
if l == 0 { C[l] <- V } else {
C[l] <- A[x[l-1]] ∩ B[x[l-1]] ∩ C[l-1]
}
for each x2 ∈ C[l]{
x[l] <- x2 MaxClique(l + 1) }
main{
OptSize <- 0 MaxClique(0) output(OptClique) }
Fonte: Adaptado de Kreher e Stinson (1999).
Uma representação visual do grafo e os valores dos conjuntos V, A e B do MaxClique pode ser visualizado a seguir na Figura 11.
Figura 11. Grafo exemplo e os conjuntos V, A e B Fonte: Adaptado de Kreher e Stinson (1999).
O grafo utilizado na Figura 11 é composto de 5 cliques maximais e 21 cliques, para obter o clique máximo é utilizado os conjuntos V, A e B, onde o primeiro é o conjunto de todos os vértices do grafo, o segundo é o conjunto dos vértices adjacentes ao vértice que esta sendo utilizado ( definido pela coluna V ) e o terceiro é o conjunto de todos os vértices maiores que o vértice que esta sendo utilizado. O algoritmo tem como finalidade percorrer os vértices do conjunto V utilizando o conjunto A para obter os vértices adjacentes, formando os novos cliques a partir da verificação das conexões mutuas.
Simulando a execução caso o algoritmo iniciasse como elemento selecionado o 2 do conjunto V, então é verificado o conjunto A para obter as adjacências 1, 3, 4 e 5, assim obtém-se os elementos do conjunto B para efetuar a intersecção, obtendo como resultado os elementos 3, 4 e 5, formando os conjuntos [2,3], [2,4], [2,5]. Como os cliques maximais estão nos vértices 0 e 1, ao escolhermos o vértice 2 não encontraremos nenhum com o clique máximo de 3 elementos, como o algoritmo é destinado a solução exata, deve ser executado desde o vértice 0 pois este procedimento é efetuado desde o primeiro até o ultimo elemento do conjunto V.
Na Figura 12 é ilustrada uma arvore de backtracking, tendo como elemento selecionado o elemento 0 do conjunto V.
Figura 12. Árvore de backtracking
Fonte: Adaptado de Kreher e Stinson (1999).
3.2 ALGORITMO PARALELO
O algoritmo paralelo para o problema do Clique Máximo foi codificado utilizando abordagens e estratégias de programação paralela, desenvolvida e estudadas para outros problemas e com outras tecnologias, assim tendo como objetivo explorar as estratégias e o desenvolvimento utilizando da tecnologia livre Open MPI. A arquitetura em múltiplos computadores é ilustrada na Figura 13, onde os computadores serão conectados por meio de uma rede, estes com memoria e processos locais.
Figura 13. Arquitetura em múltiplos computadores Fonte: Adaptado de Pardalos, Rappe e Resende (2013)
O algoritmo paralelo foi abordado visando uma única maquina com múltiplas threads e múltiplas maquinas com múltiplas threads, assim faz necessário ajustes específicos para tratar a escalabilidade que é proporcionada nas duas arquiteturas.
Os autores desenvolveram nos seus trabalhos formas para abordar os problemas e obter um melhor resultado. O trabalho similar 1 abordou os problemas de duas maneiras, a de paralelizar operações e subgrafos e o trabalho similar 2 abordou o problema utilizando da estratégia Mestre-Escravo.
O trabalho similar 1 primeiramente abordou os problemas paralisando operações, de forma que operações importantes como por exemplo a cópia de um vetor foi paralisada, resultando em executar todo o processo em uma única unidade de tempo, a segunda abordagem é a utilização de subgrafos onde é feito a divisão de grafos e processa-los em paralelo, a Figura 14 ilustra um grafo e seus subgrafos.
Figura 14. Divisão do grafo em subgrafos Fonte: CARDOSO (2012).
O trabalho similar 2 abordou o problema através da estratégia de Mestre-Escravo, onde o programa mestre é responsável por dividir o grafo em subgrafos e enviar ao programa escravo, este processa o grafo expandindo-o e ao final retorna uma resposta ao programa mestre.
Na Figura 15 é ilustrada uma arvore de backtracking paralela, tendo todos os elementos do conjunto V processados.
Figura 15. Árvore de backtracking paralela
Os conjuntos de dados utilizados no algoritmo paralelo são os mesmos utilizados na programação sequencial, assim foi adicionado variáveis de controle (tais como vértice recebido, conjunto para saber quais vértices estão processando, entre outras variáveis) para ter um maior controle da comunicação entre os processos, podendo ser conferido o bloco Main e as funções no Apêndice B.
3.3 TESTE E RESULTADOS
Nesta seção será descrito o processo de testes e obtenção dos dados utilizando de três ambientes de execução e contemplando todas as etapas estas que podem ser dividas em três etapas: (i) única máquina com algoritmo sequencial; (ii) única máquina utilizando o Open MPI com múltiplas threads; (iii) múltiplas maquinas com múltiplas threads.
Para uma melhor organização e visualização dos resultados obtidos esta seção foi dividida em três subseções, tais como: Ambientes de Teste e Resultados.
3.3.1 Ambiente de Testes
Os ambientes utilizados para efetuar os testes e obter os dados que são apresentados na seção seguinte foram divididos em três, que são os seguintes:
Ambiente 1: Notebook com CPU Core 2 Duo P8600 @ 2.40GHZ, com 4GB de memória RAM DDR2, com o sistema operacional Windows 7 Ultimate e contendo a biblioteca Open MPI 1.6.1 e Open MPI 1.7 para CygWin.
Ambiente 2: Desktop com CPU Core 2 Duo E8400 @ 3.00Ghz, com 4GB de memoria RAM DDR2, com o sistema operacional Ubuntu 13.10 e contendo a biblioteca Open MPI 1.7.
Ambiente 3: Desktop com CPU Core 2 Duo E8400 @ 3.00Ghz, com 4GB de memoria RAM DDR2, com o sistema operacional Ubuntu 13.10 em um PenDrive e contendo a biblioteca Open MPI 1.7.
Desta maneira no ambiente 1 foi utilizado o compilador para a linguagem C++ do Microsoft Visual Studio 2012 para a biblioteca Open MPI 1.6.1 e para a biblioteca Open MPI 1.7 utilizada no CygWin foi utilizado o GCC versão 4.8.2.
Nos ambientes 2 e 3 foi utilizado a biblioteca Open MPI 1.7 obtida no site oficial, e habilitado a opção “—enable-heterogeneous” para possibilitar que ambientes com sistema operacional de 32bits e 64bits possam se comunicar, o compilador para a linguagem C++ foi utilizado o GCC versão 4.8.2.
As etapas foram dividas em três: (i) Obtenção dos resultados da execução sequencial dos ambientes 1 e 2, onde foi executado uma única thread do processo em cada ambiente até encontrar a solução; (ii) Obtenção dos resultados da execução utilizando cinco threads nos ambientes 1 e 2, onde foi executado cinco threads do processo trabalhando em conjunto em cada ambiente, de forma os ambientes trabalharam isoladamente; (iii) Obtenção dos resultados da execução paralela com threads entre os ambientes, de maneira que o primeiro ambiente contava com cinco threads, sendo uma controladora e as restantes para o processamento, e os demais ambientes com quatro threads para o processamento, desta forma as threads destinadas ao processamento recebem da thread controladora os vértices que são expandidos buscando o grafo, ao final do processamento deste vértice é enviado a solução encontrada para o controlador e aguardado um novo vértice ou o sinal para encerrar.
Para a execução e obtenção dos dados foram selecionados alguns grafos disponibilizados pela DIMACS (Center for Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science) e de quatro grafos com a mesma quantidade de vértices e densidades diferentes, estes e suas características estão descritas na Tabela 2 e Tabela 3, respectivamente. A coluna Densidade expressa a relação vértices e arestas daquele grafo em questão.
Tabela 2. Grafos DIMACS utilizados nas execuções para coleta dos dados.
Grafo Densidade Vértices Arestas Tam. Clique Máximo
johnson8-2-4 0,5555556 28 210 4
hamming6-4 0,3492063 64 704 4
c-fat200-1 0,0770854 200 1534 12
p_hat300-1 0,75 300 10933 8
brock200_2 0,4962814 200 9876 12
keller4 0,6491228 171 9435 11
Tabela 3. Grafos com a mesma quantidade de vértices e densidades diferentes.
Grafo Densidade Vértices Arestas Tam. Clique Máximo
r128_010 0,10 128 1658 5
r128_020 0,20 128 3341 8
r128_030 0,30 128 4907 11
r128_040 0,40 128 6545 13
3.3.2 Resultados
Executou-se o algoritmo exato do Clique Máximo de forma sequencial, utilizando threads e paralelamente com threads, de maneira que possibilitou obter o tempo que a função principal utilizou para analisar todo o grafo e encontrar a solução. Os dados foram coletados de uma média de quatro execuções, visando assim valores com uma maior confiabilidade.
No Quadro 4 pode-se visualizar os resultados obtidos na execução sequencial de cada grafo utilizado, onde os valores estão expressos em milissegundos.
Quadro 4. Resultados da execução sequencial do Clique Máximo.
Grafo
Ambiente 1 – Windows(ms)
Ambiente 1 –
CygWin(ms) Ambiente 2(ms)
johnson8-2-4 2,5000 2,5000 0,6274
hamming6-4 5,0000 5,0000 4,9877
c-fat200-1 238,0005 243,5008 195,0968
p_hat300-1 9799,5175 9972,0400 9080,6000
brock200_2 116845,5000 118637,5000 106505,5000
keller4 1117707,5000 1129250,0000 1004475,0000
r128_010 32,5019 34,2520 26,1291
r128_020 714,5410 734,0420 568,3538
r128_030 17922,5250 17992,2750 14171,3000
r128_040 1125202,5000 1183755,0000 1032782,5000
No Quadro 5 pode-se visualizar os resultados obtidos na execução com múltiplas threads nos ambientes 1 e 2, onde é executado contendo cinco threads para cada grafo, de
