2 Teste: 19 de Dezembro de h

(1)

Mestrado em Eng. F´ısica Tecnol ógica (MEFT) Mecânica Quântica 1^◦semestre de 2016-17 Prof. João Paulo Silva (Responsável) Prof. Jorge Crispim Romão

2

^◦

Teste: 19 de Dezembro de 2016 – 18h

Durac¸ao do teste: 1h30

Nota DF: S ó serão cotadas as respostas em que há trabalho mostrado.

I (2 valores)

Para cada uma das afirmaç ões seguintes diga se são verdadeiras ou falsas. Justifique numa linha a sua res- posta, isto é, indique arazãosem fazer contas.

1. Considere um eletrão no estado|^ψ²¹⁰ido átomo de Hidrogénio. Então h^ψ210|^z|^ψ210i=0

2. Uma part´ıcula num potencial central est´a num estado descrito pela express˜ao ψ(r,θ,ϕ) = f(r) cos²(θ)

A probabilidade duma medida deL_zdarL_z=0 ´e igual a_16π⁴⁵ . 3. Considere a soma de dois momentos angulares~_J = ~_J

1+~_J

2 comj1 = 2e j2 = ¹₂. Então o estado com j= ³₂,m=−¹₂ escreve-se, em função dos estados pr óprios dos dois momentos angulares,

³

2,−¹2

= r3

5 |^{2, 0}i¹2,−¹2

− r2

5 |^2,−¹i¹2,+¹₂ 4. Considere a experiˆencia descrita na Figura seguinte:

(2)

Nesta experiência são disparados eletr ões dum estado inicial aleat ório. Esses eletr ões passam primeiro por um analisador de spin segundo a direção~n, onde se selecionaram10⁶eletr ões comspin upnessa direção.

Esses eletr ões passam de seguida por um analisador de spin segundo o eixo dosz, obtendo-se as contagens indicadas para spinupedown. Então a direção~_npode corresponder aθ=60^◦,φ= 0.

II (2 valores)

Considere que o estado dum eletrão no átomo de hidrogénio pode ser descrito pela função de onda ψ(~_r) =aψ2,1,1(r,θ,φ) +bψ2,1,−1(r,θ,φ)

com a,b reais e a,b > 0. As funç ões de ondaψnlm(r,θ φ)são as funç ões pr óprias de H,L²,L_Z no átomo de hidrogénio.

1. Qual o valor m´edio da energia neste estado? Determinea,bpara que o valor m´edio deL_zneste estado, seja

1 2h.¯

2. Determine o valor m´edio der, neste estado, isto ´e

h^riψ≡ h^ψ(~_r)|^r|^ψ(~_r)i

Se n˜ao resolveu a al´ınea anterior expresse o resultado em termos deaeb.

III (3 valores)

Considere um sistema quˆantico com dois estados, com um HamiltonianoH₀que numa base ortonormalizada,

|Îiê|^{I I}i, tem a seguinte representação matricial

H0=

"

E E E E

#

comE>_0.

1. Determine os valores pr óprios,E₁eE₂e os estados pr óprios|¹iê|²ido Hamiltoniano não perturbado,H₀. Identifique|¹icom o estado fundamental.

2. Considere agora que é aplicada ao sistema uma perturbação, agora descrita na base,|¹i^,|²i^por H₁ =

"

0 ∆

∆ 0

#

onde ∆ > ₀ _e ^∆ ≪ E. Calcule as correç ões de primeira ordem aos n´ıveis de energia do sistema não perturbado.

3. Calcule as correç ões de 2âordem aos dois n´ıveis, usando teoria de perturbações.

4. Resolva o problema exatamente para o HamiltonianoH =H₀+H₁e compare com os resultados da al´ınea anterior, no limite em que∆≪Ê.^Nota: a matriz de representação dum operador depende da base.

IV (3 valores)

Considere uma part´ıcula de massam e carga−ê < 0, com spin ¹₂ fixa no espaço. Descrevemos o sistema na base em queSz é diagonal. A part´ıcula está sujeita num campo magnético~_B = B0~_e_y. O Hamiltoniano do sistema é então

H= −_M~ ·~_B= ^e m

~_S·~_B≡^¯^hω0σy

ondeω0= êB_2m⁰. Sabe-se que no instantet =0, o sistema está no estadoupsegundo~_e_z_{, isto é,}

|^ψ(0)i= 1

0

(3)

1. Qual a probabilidade duma medida deS_xdar o valorh/2¯ emt=0?

2. Determine a probabilidade duma medida deS_xdarh/2¯ em func¸˜ao do tempo,P_S

x=^h^¯₂(t). Determine o tempo m´ınimo,T, ao fim do qualP_S

x=^h^¯₂(T) =1.

3. No instante t = T, o campo magnético é rodado instantaneamente para a direção do eixo dos z, isto é,

~_B= B₀~_e_z_para_t >_T. Ao fim de outro intervalo de tempoT (isto ´e, para um tempo total∆t= 2T), faz-se uma medida deS_y. Determine a probabilidade dessa medida dar o valor¯h/2, isto ´eP_S

y=^h^¯₂(2T). Comente o resultado.

Fim do Teste

Formul´ario

• Momento Angular e Harm ´onicas Esf´ericas

Li,Lj

=ihǫ¯ _ijkL_k, L_±= Lx±^iL^y^, [L+,L₋] =2¯hLz, [Lz,L_±] =±^¯^hL±

l(l+1)−^m(m±¹)|^l^,^m±¹i As primeiras harm ónicas esféricas são:

Y₀₀ = √¹ 4π

Y₁₀ = r 3

4π cosθ

Y21 = − r15

8π e^iϕsinθcosθ

Y₁₁ = − r 3

8π e^iϕsinθ

Y₂₂ =

r 15

32π e^i2ϕ sin²θ

Y₂₀ =

r 5

16π 3 cos²θ−¹ com

Y_l,₋_m= (−¹)^mY_lm^∗ e Z

dΩ|^Ylm(θ,ϕ)|² =1

• Equa¸c˜ao Radial

Para um potencial esfericamente simétrico a equação radial é d²

dr² +² r

d

dr−^l(l+1) r² −^2µ

¯

h² (V(r)−^E)

R(r) =0

Fazendo a mudanc¸a de vari´avelu(r) =r R(r)temos d²

dr² −^l(l+1) r² −^2µ

¯

h² (V(r)−^E)

u(r) =0

• Atomo de Hidrogénio e Fun¸c ões Radiais´ A solução geral é

ψnlm(r,θ,ϕ) =R_nl(r)Y_lm(θ,ϕ), com energias E_n=−¹

2mc²α² 1

n², α⁻¹=137.036 As primeiras funç ões radiais são

R₁₀ = 2 1

a₀ 3/2

e⁻^r/a⁰

R21 = √¹ 3

1 2a₀

3/2

r

a₀ e⁻^r/2a⁰

R₃₁ = ⁴

√2 3

1 3a₀

3/2

r a₀

1−_6a^r

0

e⁻^r/3a⁰

R20 = 2 1

2a₀ 3/2

1− _2a^r

0

e⁻^r/2a⁰

R₃₀ = 2 1

3a₀ 3/2

1− _3a^2r

0

+ ^2r

2

27a²₀

e⁻^r/3a⁰

R32 = ²

√2 27√

5 1

3a₀ 3/2

r a₀

2

e⁻^r/a⁰

(4)

Os valores m´edios de algumas potˆencias der D

r^kE

≡

Z ^∞

0 dr r²⁺^kR²_nl(r) r²

= ^a

20n² 2

5n²+1−^3l(l+1) 1

r²

= ²

a²₀n³(2l+1)

h^ri = ^a⁰ 2

3n²−^l(l+1) 1

r

= ¹ a0n² 1

r³

= ²

a³₀n³l(2l+1)(l+1)

a₀ = ^h^¯ mcα

• Atomos Hidrogen ´oides´

Para os átomos comZprot ões e um eletrão, basta fazer

α→^Zα, ^{e portanto} ^a0 → _Z¹^a0, E_n=−¹₂^mc²(Zα)² ¹ n²

• Integrais Oscilador Harm ónico e Átomo Hidrogénio

Z ^∞

0 dx x^α⁻¹e⁻^x= ^Γ(α), Z ^∞

0 dx x^2α⁻¹e⁻^x² = ¹

2Γ(α), Γ(α+1) =αΓ(α), Γ(1) =1, Γ(¹

2) =√ π

• Spin 1/2

1. Os sectores pr ´oprios do operadorS_n=~_S·~_{n, onde,}~_n =sinθcosϕ~_e_x+sinθsinϕ~_e_y+cosθ~_e_z_{, s˜ao}

ψ(S_n= +¯h/2) =







cosθ 2 e^iϕsinθ

2





 ψ(S_n=−^h/2^¯ ) =







sinθ 2

−^e^iϕ^cos^θ₂







2. As matrizes de Pauli s˜ao

σx = ^{0 1} 1 0

!

σy= ⁰ −ⁱ i 0

!

σz = ¹ ⁰ 0 −¹

!

• Adi¸c˜ao de Momento Angular

~_J =~_J

1+~_J

2, J_i²|^ji,m_ii=h¯²j_i(j_i+1)|^ji,m_ii^, ^J²^j,^mj

= ¯h²j(j+1)j,m_j , J_z

j,m_j

=hm¯ _j j,m_j 1. Os valores poss´ıveis parajs˜ao

j₁+j₂,j₁+j₂−^{1, . . . ,}|^j1−^j2| 2. Qualquer estado

j,m_j

se pode exprimir como uma combinac¸˜ao linear dos produtos dos estados

|^j¹^,^m¹i^e|^j²^,^m²ina seguinte forma

j,m_j

=

∑

mj=m1+m2

C(j,m_j;j₁,m₁,j₂,m₂)|^j1,m₁i |^j2,m₂i

onde C(j,mj;j1,m1,j2,m2) s˜ao os coeficientes de Clebsch-Gordon e est˜ao dados na Fig. 1 para os valores mais baixos dej₁ej₂.

3. A relação inversa é (os coeficientes de Clebsch-Gordon são reais)

|^j1,m₁i |^j2,m₂i=

∑

j

C(j,m_j;j₁,m₁,j₂,m₂)j,m_j

(5)

4. Para o ´atomo de Hidrog´enio (~_J =~_L+~_S)

ψ_l+1/2,mj = s

l+mj+1/2

2l+1 Y_l,m_j₋_1/2χ⁺+ s

l+1/2−^m^j

2l+1 Y_l,m_j+1/2χ⁻

ψ_l₋_1/2,m_j = − s

l+1/2−^mj

2l+1 Y_l,m_j₋_1/2χ⁺+ s

l+m_j+1/2

2l+1 Y_l,m_j+1/2χ⁻

• Teoria de Perturba¸c ˜oes

No caso não degenerado, para uma perturbação com HamiltonianoH₁,

∆E⁽n¹⁾= h^φⁿ|^H1|^φⁿi^, ^∆^E⁽ⁿ²⁾=

∑

k6=n

| h^φn|^H1|^φki |²

E⁽_n⁰⁾−^E⁽_k⁰⁾ ^, |^ψⁿi=|^φⁿi+

∑

k6=n

h^φk|^H1|^φni E⁽_n⁰⁾−^E⁽_k⁰⁾ |^φki

• Constantes F´ısicas

¯

h=1.05457266(63)×¹⁰⁻³⁴^Js e=1.60217733(49)×¹⁰⁻¹⁹^C c=1/√_ǫ

0µ0 =2.99792458×¹⁰⁸^m/s µ0 =4π×¹⁰⁷^H/m

m_e =9.1093897(54)×¹⁰⁻³¹ ^kg=0.510998918(44)MeV m_p =1.6726231(10)×¹⁰⁻²⁷ ^kg=938.272029(80)MeV m_n=1.6749286(1)×¹⁰⁻²⁷ ^kg=939.565360(81)MeV hc=1240 nm.eV, ¯hc=197.35 nm.eV

a₀ =0.5291772108(18)×¹⁰⁻¹⁰^m α⁻¹ =137.03599911(46)

µ_B = ^e¯^h

2m_e =5.788×¹⁰⁻⁵^eV/T

(6)

35.CLEBSCH-GORDANCOEFFICIENTS,SPHERICALHARMONICS,

ANDdFUNCTIONS

Note: Asquare-rootsignistobeunderstoodovereveryoeÆient,e.g.,for 8=15read p

8=15.

Y 0

1

= r

3

4 os

Y 1

1

= r

3

8 sine

i

Y 0

2

= r

5

4

3

2 os

2

1

2

Y 1

2

= r

15

8

sinose i

Y 2

2

= 1

4 r

15

2 sin

2

e 2i

Y m

`

=( 1) m

Y m

`

hj

1 j

2 m

1 m

2 jj

1 j

2 JMi

=( 1) J j

1 j

2

hj

2 j

1 m

2 m

1 jj

2 j

1 JMi d

`

m;0

= r

4

2`+1 Y

m

` e

im

d j

m 0

;m

=( 1) m m

0

d j

m;m 0

=d j

m; m 0

d 1

0;0

=os d 1=2

1=2;1=2

=os

2

d 1=2

1=2; 1=2

= sin

2 d

1

1;1

= 1+os

2

d 1

1;0

= sin

p

2

d 1

1; 1

= 1 os

2

d 3=2

3=2;3=2

= 1+os

2 os

2

d 3=2

3=2;1=2

= p

3 1+os

2 sin

2

d 3=2

3=2; 1=2

= p

3 1 os

2 os

2

d 3=2

3=2; 3=2

=

1 os

2 sin

2

d 3=2

1=2;1=2

=

3os 1

2 os

2

d 3=2

1=2; 1=2

=

3os+1

2 sin

2 d

2

2;2

=

1+os

2

d 2

2;1

=

1+os

2 sin

d 2

2;0

= p

6

4 sin

2

d 2

2; 1

=

1 os

2 sin

d 2

2; 2

=

1 os

2

2 d

2

1;1

= 1+os

2

(2os 1)

d 2

1;0

= r

3

2

sinos

d 2

1; 1

= 1 os

2

(2os+1) d 2

0;0

=

3

2 os

2

1

2

+1

5/2 5/2 +3/2

3/2 +3/2 1/5 4/5

−4/51/5 5/2

5/2

−1/2 3/5 2/5

−1−2 3/2

−1/2

2/5 5/2 3/2

−3/2

−3/2 4/5 1/5−4/51/5

−1/2

−2 1

−5/25/2

−3/5

−1/2+1/2 +1−1/2 2/5 3/5

−2/5

−1/2 2 +2 +3/2 +3/2

+5/25/2 5/2

5/2 3/2 1/2

−1/31/2

−1 +10 1/6 +1/2

+1/2−1/2

−3/2 +1/2

2/5

−8/151/15 +1/2 1/10 3/10

3/5 5/2 3/2 1/2

−1/2

−1/31/6 5/2

−5/25/2 1

−3/23/2

−3/5 2/5

−3/2

−3/2 3/5 2/5 1/2

−1

−1 0

−1/2

−1/158/15

−2/5

−1/2−3/2

−1/2 3/10 3/5 1/10 +3/2

+3/2 +1/2−1/2 +3/2

+1/2 +2+1

+2

+1 0

+1 2/5 3/5

3/2 3/5

−2/5

−1 +10 +3/2 +1 1

+3 +1 1 0

3 1/3 +2 2/3

2 3/2

3/2 1/3 2/3 +1/2

0

−1 1/2 +1/2

−2/31/3

−1/2 +1/2 1

+1 1 0 1/2 1/2

−1/2 0 0 1/2

−1/2 1 1

−1

−1/2 1 1

−1/2 +1/2 +1/2+1/2

+1/2

−1/2

−1/2+1/2 −1/2

−1 3/2

2/3 3/2

−3/2 1 1/3

−1/2

−1/2 1/2

−2/31/3 +1+1/2

+1 0

+3/2

2/3 3

3

3 3

−1 1

−2

−3 2/3 1/3

−2 2 1/3

−2/3

−2 0

−1

−2

−1 0 +1

−1 2/5 8/15 1/15

2

−1

−2−1 0 1/2

−1/6

−1/3 1

−1 1/10

−3/10 3/5 0

2 0

1 0 3/10−2/5 3/10 0 1/2

−1/2 1/5 1/5 3/5 +1

+1

−1 0 0

−1 +1 1/15

8/15 2/5

2

+2 2 +1 1/2 1/2

1 1/2 2

0 1/6 1/6 2/3

1 1/2

−1/2 0

0 2

2

−2

−1 1

−1 1/2

−1/2

−1 1/2 1/2 0 0

0

−1 1/3 1/3

−1/3

−1/2 +1

−1

−1 0 +1

0 0

+1

−1 2 1 0 0+1 +1 +1

+1 1/3 1/6

−1/2 1 +1 3/5

−3/10 1/10

−1/3

−1 +1 0

0 +2

+1 +2 3

+3/2

+1/2 +1

1/4 2

2

−1 1

2

−2 1

−1 1/4

−1/2 1/2

1/2

−1/2−1/2 +1/2

−3/2

−3/2 1/2

1 0 0 3/4 +1/2

−1/2 −1/2

2 +1 3/4

3/4

−3/4 1/4

−1/2 +1/2

−1/4 1

+1/2

−1/2+1/2 1

+1/2 3/5

−10 +1/2 0

+1/2 +3/21/2 +5/2

+2 −1/2 +2+1/2

+1 +1/2 1

2×1/2

3/2×1/2

3/2×1 2×1

1×1/2 1/2×1/2

1×1

Notation:

J J

M M

. . . . . .

. . . . . .

m1 m 2 m1 m

2 Coefficients

−1/5

2 2/7 2/7

−3/7 3 1/2

−1/2

−1−2 −2

−1

0 4

1/2 1/2

−3 3

−1/21/2

−2 1

−4 4

−2 1/5

−27/70 +1/2 +7/27/2 7/2

+5/2 3/7 4/7 +2+1 0 1 +2+1

+4 1

4 4 +2 3/14 3/14 4/7

+2 1/2

−1/20 +2

−1 0 +1 +2 +2 +1

−10

3 2

4 1/14 1/14 3/7 3/7

+1 3

1/5

−1/5 3/10

−3/10

+1 2

+2+1

−10

−2

−2−1 0 +1 +2 3/7 3/7

−1/14

+1 1

4 3 2

2/7

−2/7 1/14

1/14 4

1/14 1/14 3/7 3/7

3 3/10

−3/10

−1/51/5

−1

−2

−1 0

−10

−2

−1 0 +1 +1

−10

−2

−1

2

4 3/14 3/14 4/7

−2 −2 −2 3/7

3/7

−1/14

−1 1

−3/101/5 3/10

−1

1 0

0 1/70

1/70 8/35 18/35 8/35

0 1/10

−1/10 2/5

−2/50

0 0

0 2/5

−2/5

−1/10 1/10

0 1/5

−1/51/5

−1/5 1/5

−1/5

−3/10 3/10 +1 2/7

2/7

−3/7 +3

1/2 +2+1

0 1/2 +2+2

+2 +1+2

+1 +3 1/2

−1/2 0 +1 +2 3 4

+1/2+3/2 +3/2

+2 +5/2

4/7 7/2 +3/2 1/7 4/7 2/7

+3/25/2

+2+1

−1 0 16/35

−18/35 1/35

1/35 12/35 18/35 4/35 3/2

+3/2 +3/2

−3/2−1/2 +1/2

−2/52/5 7/2

7/2 4/35 18/35 12/35 1/35

−1/2 5/2 27/70

−3/355/14

−6/35

−1/2 3/2

7/2

−5/2 4/7 3/7

5/2

−5/2 3/7

−4/7

−3/2

−2 2/7

4/7 1/7

−3/25/2

−1−2 18/35

−1/35

−16/35

−3/2

−2/51/5 2/5

−3/2−1/2

−3/2 3/2

7/2 1

−7/2

−1/2

−1/52/5 0

−10

−2 2/5

−1/21/2 1/10 3/10

−1/5

−2/5

−3/2−1/2 +1/2 5/2 3/2 1/2

+1/2 2/5 1/5

−3/2−1/2 +1/2 +3/2

−1/10

−3/10 +1/2

2/5 2/5 +1

−10

−2 0 +3

3 +32

+22 +3/2 1

+3/2

+1/2+1/2 1/2

−1/2

−1/2 +1/2 +3/2

1/2 3 2

3 0 1/20 1/20 9/20 9/20

2 1

3

−1 1/5 1/5 3/5

2

3 3 1

−3

−2 1/2 1/2

−3/2 2 1/2

−1/2

−3/2

−2

−1 1/2

−1/2

−1/2−3/2 0

1

−1 3/10 3/10

−2/5

−3/2−1/2 0

0 1/4

−1/41/4

−1/4 0 9/20 9/20 +1/2−1/2

−3/2

−1/20

−1/20 0 1/4 1/4

−1/4

−3/2−1/2 +1/2 1/2

−1/2 0

1 3/10 3/10

−3/2−1/2 +1/2 +3/2 +3/2+1/2

−1/2

−3/2

−2/5 +1 +1 +1 1/5 3/5 1/5 1/2 +3/2 +1/2

−1/2 +3/2 +3/2

−1/5 +1/2 6/35 5/14

−3/35 1/5

−3/7

−1/2 +1/2 +3/2

2×3/2 5/2

2×2

3/2×3/2

−3

Figure35.1: ThesignonventionisthatofWigner(GroupTheory,AademiPress,NewYork,1959),alsousedbyCondonandShortley(The

TheoryofAtomiSpetra,CambridgeUniv.Press,NewYork,1953),Rose(ElementaryTheoryofAngularMomentum,Wiley,NewYork,1957),

andCohen(TablesoftheClebsh-GordanCoeÆients,NorthAmerianRokwellSieneCenter,ThousandOaks,Calif.,1974). TheoeÆients

herehavebeenalulatedusingomputerprogramswrittenindependentlybyCohenandatLBNL.

Figura 1: Coeficientes de Clebsch-Gordon para j_i = 1/2, 1, 3/2, 2. Fonte: Particle Data Group web page, http://pdg.lbl.gov/2007/reviews/clebrpp.pdf