Um novo método para compor distribuições: uma análise da classe G-Poisson

UMA ANÁLISE DA CLASSE G-POISSON

VITOR EMANUEL DE LYRA SANTOS NAVARRETE

Orientador: Prof. Dr. Gauss MoutinhoCordeiro

Áreade Con entração: Probabilidade

UMA ANÁLISE DA CLASSE G-POISSON

VITOR EMANUEL DE LYRA SANTOS NAVARRETE

Orientador: Prof. Dr. Gauss MoutinhoCordeiro

Áreade Con entração: Probabilidade

Dissertaçãosubmetida omo requerimentopar ial para obtenção dograu

de Mestre em Estatísti a pelaUniversidade Federal de Pernambu o

Catalogação na fonte

Bibliotecária Monick Raquel Silvestre da Silva, CRB4-1217

Santos Navarrete, Vitor Emanuel de Lyra

Um novo método para compor distribuições: uma

análise da classe G-Poisson / Vitor Emanuel de Lyra Santos

Navarrete. - Recife: O Autor, 2013.

xiv, 63 f.: il., fig., tab.

Orientador: Gauss Moutinho Cordeiro.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de

Pernambuco. CCEN. Estatística, 2013.

Inclui bibliografia.

1. Probabilidades. 2. Distribuição de probabilidades I.

Cordeiro, Gauss Moutinho (orientador). II. Título.

Agradeço, ini ialmente, àtodaminha família,mãe,irmãs,avós,tiosetias, primose

primas, que são a base dessa fundação que hamamos de vida. As ligaçõesgenéti as são

uma herança proveniente daengenhosidade damãe natureza e estarão onos o por toda

nossa vida.

Agradeço aos diversos professores que passaram por minha vida e a reditaram, ou

não, em mim. Ao professor Gauss, por toda a pa iên ia durante a orientação deste

trabalho. Atodososprofessoresdoprogramadepós-graduaçãodaUFPE,quepermitiram

a onstrução deste trabalho. Ao professor Juvên io, pelos muitos anos de pa iên ia e

onselhos. Ao professor João Maurí io pela energia. Aos professores da graduação em

AtuáriadaUFC, Iana,Alane, Sérgio,Ana eAlanaque tantome aturaram. E aos tantos

outros professores, do ensino fundamental e médio, dos ursos de língua e de músi a. A

todos estes, o meu eterno agrade imento.

Agradeçotambém aos fun ionáriosquefazemosistemade ensinoandarnos trilhos.

Sem o Emilson,a Valériae o Jimmyeu não teria hegado até aqui.

Mas, também agradeço aos amigos,pois,se a famíliaé a base que onstroio nosso

lar,para oqualsemprepodemosretornar, osamigossão omuroque er aeprotege, que

nos a ompanhaportodaajornada. Noaproximadomeioquarto desé uloquevivi,andei

por vários lugares e, em ada um deles, oletei ao menos um amigo que se tornou um

tijoloem talmuro.

Agradeçoatodoe adaumdestestijolos. AoCleytonqueéoprimeirodequaltenho

lembrança. Ao Daniel pelas noites em laro, quando isso ainda era proibido. A Jayme,

Neto,PedroSilaseThi ianopelastardespreguiçosas. ADanilo,Danieleorestodogrupo

pelasaventuras. AossonhadoresdoCEFET queaindamantémseusideais. AGrei epela

onança e a Nathália pela falta de juízo. A Sérgio e Fábio pela gozação. Ao pessoal

das guildas, Deby, Paloma, André, Guilherme e todoo resto, pois asvezes trabalhar em

grupoé mais divertido. À Natália por ser a pessoa mais pa iente que onheço. A Maira

e Robério, já que alguém tem que pagar a onta. Ao Eunílso pela onança indubitável.

Ao Mário que me ouviu. À Marila , já que ninguém pre isa fazer sentido. À Maristela

de tentativas de  ar ri o. A Talles e Mel, pois pis ina é sempre bom. À Roberta que

não temos nosso próprio ra io ínio?

- DonCorleone.

Re entemente, diversos autores têm investigado novas distribuições de

sobrevivên- ia devido à sua exibilidade para ajustar dados. Muitas dessas novas ditribuições são

obtidas através da omposição de uma distribuição ontínua om uma dis reta. Neste

trabalhoum novo métodopara ompor distribuiçõeséproposto: a lasse G-Poisson.

Di-versaspropriedadesdessadistribuiçãogeralsãoestudadas. AdistribuiçãoLomax-Poisson,

perten ente atal lasse,também éinvestigada.

Palavras- have: Análisedesobrevivên ia;Composição;DistribuiçãoPoisson;Estimadores

Nowadaysmanyauthorsinvestigatenewsurvivaldistributionsgiven theirexibility

to model data. Many of those new distribution are obtained through the omposition

of a ontinuous and a dis rete distribution. In this thesis a new method to ompose

distributionsisproposed: theG-Poisson lass. Manypropertiesofthisgeneraldistribution

are studied. Also, the Lomax-Poisson distribution, ontained in the proposed lass, is

investigated.

Keywords: Composition; Maximum likelihood estimators; Poisson distribution; Survival

1.1 Densidade da distribuição Weibull expone ializada para

α = 2, β = 2

e

algunsvaloresde

a

. . . 3

1.2 Taxa de falha dadistribuição Weibull expone ializadapara alguns valores

doparâmetros. . . 3

1.3 Densidadedadistribuiçãoexponen ialexpone ializadapara

β = 2

ealguns

valores de

a

. . . 4

1.4 Taxa de falha da distribuição exponen ial expone ializada para

β = 2

e

algunsvaloresde

a

. . . 4

1.5 Densidade dadistribuição exponen ial geométri a para alguns valores dos

parâmetros. . . 7

1.6 Taxa de falha da distribuição exponen ial geométri a para alguns valores

dos parâmetros. . . 7

1.7 Densidadedadistribuiçãoexponen ialPoisson para

β = 2

ealgunsvalores

de

θ

. . . 8

1.8 Taxa de falha da distribuição exponen ial Poisson para

β = 2

e alguns

valores de

θ

. . . 8

1.9 Densidade da distribuição exponen ial logarítmi a para

β = 2

e alguns

valores de

q

. . . 10

1.10 Taxa de falhadadistribuição exponen ial logarítmi apara

β = 2

e alguns

1.11 Densidade dadistribuição Weibull geométri a para

α = 2, β = 2

e alguns

valores de

p

. . . 12

1.12 Taxa de falha da distribuição Weibull geométri a para alguns valores do

parâmetros. . . 12

1.13 Densidade da distribuição Weibull Poisson para alguns valores dos

parâ-metros.. . . 13

1.14 Taxa de falha dadistribuição Weibull Poisson para algunsvalores dos

pa-râmtros. . . 13

1.15 Densidadeda distribuiçãoWeibull logarítmi apara alguns valores dos

pa-râmetros. . . 15

1.16 Taxa de falha dadistribuição Weibull logarítmi apara alguns valores dos

parâmetros. . . 15

2.1 Densidadeda distribuiçãoMOEE para

β = 2

e alguns valores de

λ

. . . 19

2.2 Taxa de falhada distribuição MOEE para

β = 2

e algunsvalores de

λ

. . . 19

2.3 Densidadeda distribuiçãoMOEW para

α = 2

,

β = 2

ealguns valores de

λ

. 20

2.4 Taxa de falhada distribuição MOEWpara alguns valores dos parâmetros. 20

2.5 Densidadeda distribuiçãoMOEL para alguns valores dos parâmetros. . . . 22

2.6 Taxa de falhada distribuição MOELpara alguns valores dos parâmetros. . 22

3.1 Densidadeda exponen ial-Poisson para algunsvalores dos parâmetros. . . 34

3.2 Densidadeda Weibull-Poissonpara alguns valores dos parâmetros. . . 34

3.3 Densidadeda gama-Poisson para alguns valores dos parâmetros. . . 35

3.4 Densidadeda normal-Poisson padrãopara alguns valores de

θ

. . . 35

3.5 Afunçãoderis odaexponen ial-Poissonparaalgunsvaloresde

θ

om

λ = 1

. 38

3.6 Histogramados sinistros edensidades ajustadas. . . 48

3.7 Histogramadotempode sobrevivên ia edensidades ajustadas. . . 49

4.1 Densidadeda distribuiçãoLP para alguns valores dos parâmetros. . . 51

4.2 Taxa de falhada distribuição LPpara alguns valores dos parâmetros. . . . 51

3.1 EMVs dosparâmetrosdos modelos easestimativasdos erros-padrõespara

o primeiro onjuntode dados bem omo as estatísti as AIC e BIC

orres-pondentes. . . 47

3.2 EMVs dosparâmetrosdos modelos easestimativasdos erros-padrõespara

o segundo onjunto de dados bem omo as estatísti as AIC e BIC

orres-pondentes. . . 48

4.1 EMVs dos parâmetrosdos modeloseasestimativasdoserros-padrõesbem

Lista de Figuras ix Lista de Tabelas xi 1 Introdução 1 1.1 Composições. . . 5 1.1.1 Exponen ial G . . . 6 1.1.2 Weibull G . . . 11

1.1.3 Outrosmétodos de omposição . . . 16

2 A lasse Marshall-Olkin estendida G 17 2.1 A lasse Marshall-Olkin . . . 17

2.2 A distribuiçãoMarshall-Olkinestendida Lomax . . . 21

2.3 Algumaspropriedades . . . 23

2.3.1 Expansão para adistribuição . . . 23

2.3.2 Momentos eGeratriz de Momentos . . . 24

2.3.3 Entropia . . . 26

2.3.4 Desvios Médios . . . 28

2.3.5 Momentos Probabilisti amentePonderados . . . 29

2.3.6 Estatísti as de Ordem . . . 30

3.1 A lasse G-Poisson . . . 32

3.2 Alguns asos espe iais . . . 33

3.2.1 Exponen ial-Poisson . . . 33

3.2.2 Weibull-Poisson . . . 33

3.2.3 Gama-Poisson . . . 36

3.2.4 Normal-Poisson . . . 36

3.3 AlgumasPropriedades . . . 36

3.3.1 Expansão para adistribuição G-Poisson . . . 36

3.3.2 Função taxade falha . . . 37

3.3.3 Moda . . . 38

3.3.4 Simulação . . . 39

3.3.5 Momentos . . . 39

3.3.6 Função geratrizde momentos . . . 41

3.3.7 Entropia . . . 42

3.3.8 Desvios Médios . . . 43

3.3.9 Momentos Probabilisti amentePonderados . . . 43

3.3.10 Estatísti as de ordem . . . 44 3.4 Estimação . . . 45 3.5 Apli ação . . . 47 4 A distribuição Lomax-Poisson 50 4.1 A distribuiçãoLomax-Poisson . . . 50 4.2 Propriedades . . . 52

4.2.1 Expansão para adistribuição LP . . . 52

4.2.2 Momentos eGeratriz de Momentos . . . 53

4.2.3 Entropias . . . 53

4.2.4 Desvios Médios . . . 54

4.2.5 Momentos Probabilisti amentePonderados . . . 54

4.2.6 Estatísti as de Ordem . . . 55

4.3 Estimadores de MáximaVerossimilhança . . . 56

Introdução

A análisede sobrevivên ia éaáreadaestatísti aqueestudaaquantidadede tempo

trans orridoatéaefetivaçãode umeventodeinteresse. Taleventopodeser tantoamorte

omo a ura de um pa iente ouo tempo até um equipamentonovo falhar. Dessa forma,

a análise de sobrevivên ia tem apli ação em diversas áreas omo medi ina, engenharia,

atuáriae biologia,entre outras.

As distribuições exponen ial, Weibull e gama são omumente empregadas em

es-tudos de sobrevivên ia devido às suas interessantes propriedades. Essas distribuições,

ontudo, apresentam restrições, omo formas limitadasdas suas funçõesde ris o, devido

aoreduzido númerode parâmetros.

A evoluçãoda omputação,entretanto,possibilitaquedistribuiçõesmais omplexas

sejamajustadasaos dados. Assim,diversospesquisadorestêminvestigadonovasmaneiras

de adi ionarparâmetrosàsdistribuiçõesjá onhe idas,tornando asdistribuiçõesgeradas

mais exíveis.

MudholkareSrivastava(1993),porexemplo, propuseramadistribuiçãoWeibull

ex-ponen ializada. As distribuições exponen ializadassão onstruidas da seguinte maneira:

seja

Y

o tempo de falha de uma omponente, interpretado omo uma variável aleatória

om função distribuição

G(.)

. Considerando-se, então, um sistema om

a

omponentes

em paralelo,emque talsistemafalhasetodasas

a

omponentes falharemeostemposde

por

X =

max

{Y

1

, Y

2

, . . . , Y

a

}

e sua função distribuição por

H

a

(x) = G(x)

a

,

(1.1)

em que

H

a

(x)

é hamada de G-exponen ializada, por vezes também referida por G-generalizada. Sua densidade é representada por

h

a

(x) = a G(x)

a−1

g(x).

(1.2)

A função distribuição denida por (1.1) e a densidade denida por (1.2) podem ser

es-tendidas para qualquer

a

real positivo. A quantidade

a G(x)

a−1

atua omo um fator de

orreção nadistribuição original, também, denominada de baseline. É fá il veri ar que

para

a = 1

,

H

a

(x)

éequivalente abaseline

G(x)

, i.e.,

H

1

(x) = G(x)

.

A função distribuiçãoe afunção densidade dadistribuição Weibull(Weibull,1951)

são iguais a

G(x) = 1 − exp[−(x/β)

α

]

e

g(x) =

α x

α−1

β

α

exp[−(x/β)

α

_{], x > 0,}

(1.3)

emque

α > 0

e

β > 0

sãoosparâmetrosdeformaees ala,respe tivamente. Adistribuição

Weibullexponen ializada(WE), então, possui distribuiçãoe densidade dadas por

H

a

(x) = {1 − exp[−(x/β)

α

]}

a

e

h

a

(x) =

a α x

α−1

β

α

exp[−(x/β)

α

]{1 − exp[−(x/β)

α

]}

a−1

.

A função taxa de falha ou função de ris o é denida omo

r(x) = f (x)/F (x)

,

em que

F (x) = 1 − F (x)

é a função de sobrevivên ia. Para a distribuição Weibull

exponen ializada,a função de ris o édada por

r(x) =

a α x

α−1

exp[−(x/β)

α

]{1 − exp[−(x/β)

α

]}

a−1

β

α

_{{1 − {1 − exp[−(x/β)}

α

_]}

a

_}

.

As Figuras 1.1 e 1.2 mostram a densidade e a taxa de falha da distribuição

Wei-bull exponen ializada para alguns valores dos parâmetros. Na Figura1.2, nota-se que a

distribuição Weibull exponen ializada possui função taxa de falha unimodale em forma

de U, enquanto a taxa de falha da distribuição Weibull apenas assume forma res ente,

de res ente e onstante.

GuptaeKundu(1999)investigaramadistribuiçãoexponen ialexponen ializada. A

distribuição exponen ialpossui função distribuiçãoe função densidade iguais a

G(x) = 1 − exp(−x/β)

e

G(x) =

1

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

f(x)

α

=2,

β

=2, a=1

α

=2,

β

=2, a=2

α

=2,

β

=2, a=10

α

=2,

β

=2, a=0.1

α

=2,

β

=2, a=0.5

Figura1.1: DensidadedadistribuiçãoWeibullexpone ializadapara

α = 2, β = 2

ealguns

valores de

a

.

0

2

4

6

8

10

0

5

10

15

x

r(x)

α

=2,

β

=2, a=1

α

=5,

β

=2, a=5

α

=2,

β

=0.5, a=0.1

α

=0.5,

β

=2, a=0.5

α

=0.5,

β

=0.01, a=1000

Figura1.2: Taxa de falhadadistribuiçãoWeibullexpone ializada para algunsvalores do

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

f(x)

β

=2, a=1

β

=2, a=2

β

=2, a=10

β

=2, a=0.1

β

=2, a=0.5

Figura 1.3: Densidade da distribuição exponen ial expone ializada para

β = 2

e alguns

valores de

a

.

0

2

4

6

8

10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

r(x)

β

=2, a=1

β

=2, a=2

β

=2, a=10

β

=2, a=0.1

β

=2, a=0.5

Figura1.4: Taxadefalhadadistribuiçãoexponen ialexpone ializadapara

β = 2

ealguns

respe tivamente, em que

β > 0

é o parâmetro de es ala. A distribuição Weibull, para

α = 1

,éequivalenteadistribuiçãoexponen ial. Adistribuiçãoedensidadedaexponen ial

exponen ializada são

H

a

(x) = {1 − exp(−x/β)}

a

e

h

a

(x) =

a

β

exp(−x/β){1 − exp(−x/β)}

a−1

_,

respe tivamente. Da mesmaforma, para

α = 1

, a distribuição Weibull exponen ializada

é equivalente a distribuiçãoexponen ial exponen ializada.

A função taxade falhapara adistribuição exponen ial exponen ializadaé

r(x) =

a exp(−x/β)[1 − exp(−x/β)]

a−1

β{1 − [1 − exp(−x/β)]

a

_}

.

As Figuras 1.3 e 1.4 mostram a densidade e a taxa de falha da distribuição

expo-nen ial exponen ializada para

β = 2

e alguns valores de

a

. Na Figura 1.4, nota-se que

esta distribuição tem função taxa de falha om forma res ente e de res ente, enquanto

a taxade falhadadistribuição exponen ial ésempre onstante.

1.1 Composições

Além da lasse G-exponen ializada,outro métodopopularpara in luir novos

parâ-metrosemdistribuições onhe idasenvolvea omposiçãodedistribuições. Nestetrabalho

será onsideradoapenasa omposiçãodedistribuições ontínuas omdistribuições

dis re-tas. Seja

F (x|Z = z)

afunçãodistribuição ondi ionalde

X

dadoqueavariávelaleatória

dis reta

Z

teve omo valorobservado

z

. Então, a distribuiçãoin ondi ional de

X

,

F (x)

,

é dada por

F (x) =

∞

X

z=0

F (x|Z = z)P (Z = z).

Considerando-se um sistema que possui um número aleatório de omponentes,

Z

,

e que o tempo de falha de ada omponente,

W

, é independente de

Z

e identi amente

distribuido, omfunção distribuição

G(.)

. Dessa forma, aso osistemapare de fun ionar

assim que oprimeiro omponente falhar(sistema em série), tem-se

X =

min

{W

1

, W

2

, . . . , W

Z

}

e

F (x|Z = z) = G(x)

z

_.

em paralelo),tem-se

X =

max

{W

1

, W

2

, . . . , W

Z

}

e

F (x|Z = z) = G(x)

z

_.

(1.6)

Tambémépossíveldenir

F (x|Z = z)

dediversasoutrasformas. Contudo,omodelo

(1.5)éomais omumenteutilizadopara onstruir distribuições ompostas. Naspróximas

seçõesserão abordadas distribuições ontruídasusando essa metodologia.

1.1.1 Exponen ial G

A distribuiçãogeométri a tem função de probabilidadedada por

P (Z = z) = (1 − p)p

z−1

, p ∈ (0, 1), z = 1, 2, . . .

(1.7)

Dessaforma, AdamidiseLoukas(1998),usando(1.5)para ompor(1.4) om (1.7),

intro-duziramadistribuiçãoexponen ialgeométri aquepossuifunção distribuiçãoedensidade

dadas por

F (x) =

1 − exp(−x/β)

1 − p exp(−x/β)

e

f (x) =

(1 − p) exp(−x/β)

β[1 − p exp(−x/β)]

2

,

respe tivamente. Para

p = 0

adistribuiçãoexponen ialgeométri asereduzàdistribuição

exponen ial.

A função taxade ris o,para a distribuição exponen ialgeométri a, é dadapor

r(x) = {β[1 − p exp(−x/β)]}

−

1

.

As Figuras 1.5 e 1.6 mostram a densidade e a taxa de falha da distribuição

expo-nen ial geométri a para alguns valores dos parâmetros. Na Figura 1.6, nota-se que a

distribuição exponen ial geométri a possui função taxa de falha om forma de res ente,

enquanto a taxade falhadadistribuição exponen ial ésempre onstante.

A distribuiçãoPoisson, trun ada em zero, tem função de probabilidade dada por

P (Z = z) = θ

z

[z!(

e

θ

− 1)]

−

₁

, θ > 0, z = 1, 2, . . .

(1.8)

Ku³ (2007), utilizando (1.5), om

G(x)

dado por (1.4) e

Z

por (1.8), investigou a

distribuição exponen ialPoisson. A distribuição e densidade dela são iguais a

F (x) =

e

θ exp(−x/β)

₋

e

θ

1 −

e

θ

e

f (x) =

θ

e

−

θ−x/β+θ exp(−x/β)

β(1 −

e

−

_θ

)

,

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

f(x)

β

=5, p=0

β

=4, p=0.2

β

=3, p=0.4

β

=2, p=0.6

β

=1, p=0.8

Figura 1.5: Densidade da distribuição exponen ial geométri a para alguns valores dos

parâmetros.

0

2

4

6

8

10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

r(x)

β

=5, p=0

β

=4, p=0.2

β

=3, p=0.4

β

=2, p=0.6

β

=1, p=0.8

Figura1.6: Taxade falhadadistribuição exponen ialgeométri apara algunsvalores dos

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0

1

2

3

4

5

x

f(x)

β

=2,

θ

−>0

β

=2,

θ

=1

β

=2,

θ

=5

β

=2,

θ

=10

β

=2,

θ

=20

Figura1.7: Densidadedadistribuiçãoexponen ialPoisson para

β = 2

ealgunsvaloresde

θ

.

0

2

4

6

8

10

0

1

2

3

4

5

x

r(x)

β

=2,

θ

−>0

β

=2,

θ

=1

β

=2,

θ

=5

β

=2,

θ

=10

β

=2,

θ

=20

Figura1.8: Taxade falhadadistribuiçãoexponen ialPoissonpara

β = 2

ealgunsvalores

respe tivamente. Quando

θ → 0

, a distribuição exponen ial Poisson onverge para a

distribuição exponen ial.

A função taxade ris o,para a distribuição exponen ialPoisson, édada por

r(x) =

θ(1 −

e

θ

₎

e

−

θ−x/β+θ exp(−x/β)

β(1 −

e

−

_θ

)(1 −

e

θ exp(−x/β)

₎

.

AsFiguras1.7e1.8mostramadensidadeeataxade falhadadistribuição

exponen- ial Poisson para

β = 2

e alguns valores de

θ

. Na Figura1.8, nota-se que a distribuição

exponen ialPoissonpossuifunção taxa de falha om formade res ente, enquantoa taxa

de falha dadistribuição exponen ialé sempre onstante.

A distribuiçãologarítmi atem função de probabilidade dada por

P (Z = z) =

(1 − q)

z

−z log(q)

, q ∈ (0, 1), z = 1, 2, . . .

(1.9)

Partindodomodelo(1.5), TahmasbieRezaei(2008) onstruiramadistribuição

exponen- iallogarítmi a,emque

G(x)

édadopor(1.4)e

P (Z = z)

por(1.9). Afunçãodistribuição

e função densidade dadistribuição exponen iallogarítmi asão dadas por

F (x) = 1 −

log[1 − (1 − q)

e

−

x/β

]

log(q)

e

f (x) =

(1 − q)

e

−

x/β

−β log(q)[1 − (1 − q)

e

−

_x/β

]

,

respe tivamente. A distribuição exponen ial logarítmi ase aproxima dadistribuição

ex-ponen ial om parâmetrode es ala

β

quando

q → 1

.

A função taxade ris o orrespondente édada por

r(x) =

−(1 − q)

e

−

_x/β

β[1 − (1 − q)

e

−

x/β

] log[1 − (1 − q)

e

−

x/β

_]

.

As Figuras 1.9 e 1.10 mostram a densidade e a taxa de falha da distribuição

ex-ponen ial logarítmi apara

β = 2

e alguns valores de

q

. Na Figura 1.10, nota-se que a

distribuição exponen ial logarítmi apossui função taxa de falha om formade res ente,

enquanto a taxade falhadadistribuição exponen ial ésempre onstante.

Adi ionalmente, Chahkandi e Ganjali(2009) propuseram a lasse exponen ialsérie

de potên ias, que generaliza as distribuições apresentadas nesta seção, além de possuir

diversos outros submodelos. Diz-se que uma distribuição dis reta perten e à lasse série

de potên ias, trun ada em zero, se sua densidade for es rita daseguinte forma

P (Z = z) =

c

z

φ

z

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

f(x)

β

=2, q−>1

β

=2, q=0.2

β

=2, q=0.4

β

=2, q=0.6

β

=2, q=0.8

Figura1.9: Densidadedadistribuiçãoexponen iallogarítmi apara

β = 2

ealgunsvalores

de

q

.

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

r(x)

β

=2, q−>1

β

=2, q=0.2

β

=2, q=0.4

β

=2, q=0.6

β

=2, q=0.8

Figura 1.10: Taxa de falha da distribuição exponen ial logarítmi a para

β = 2

e alguns

em que

c

z

≥ 0

depende apenas de

z

,

C(φ) =

P

∞

z=1

c

z

φ

z

e

φ ∈ (0, s)

, om

s

es olhido de

formaque

C(φ)

sejasempre nito.

As distribuiçõesgeométri a, Poisson trun ada em zero, logarítmi ae outras, omo

a binomialtrun ada em zero ea binomialnegativatrun ada em zero, são asos espe iais

de (1.10). Dessaforma, seguindo (1.5), a distribuiçãoedensidade da famíliaexponen ial

série de potên ias, respe tivamente, são dadaspor

F (x) = 1 −

C(φ

e

−

x/β

)

C(φ)

e

f (x) =

φ

e

−

x/β

βC(φ)

∂

∂u

[C(u)]

u=φ

e

−x/β

,

e tem omo asos espe iais as distribuiçõesexponen ial geométri a, exponen ial Poisson

e exponen iallogarítmi a.

1.1.2 Weibull G

Barreto-Souza etal. (2011)estudaram adistribuição Weibull geométri a. Partindo

domodelo (1.5), om

P (Z = z)

dado por(1.7), obtém-se adistribuição ea densidade da

Weibullgeométri a omo

F (x) =

1 − exp[−(x/β)

α

_]

1 − p exp[−(x/β)

α

_]

e

f (x) =

α(1 − p)x

α−1

_{exp[−(x/β)}

α

_]

β

α

_{{1 − p exp[−(x/β)}

α

_]}

2

,

respe tivamente. Para

p = 0

, a distribuição Weibull geométri a se reduz à distribuição

Weibull e, para

α = 1

, tem-se que a Weibull geométri a é equivalente à exponen ial

geométri a. Adi ionalmente, Barreto-Souza et al. (2011) notaram que, mesmo para

valores de

p < 0

, adensidade daWeibull geométri a ontinua sendo uma densidade.

A função taxade ris o,para a distribuição Weibull geométri a, édada por

r(x) =

α x

α−1

β

α

_{{1 − p exp[−(x/β)}

α

_]}

.

AsFiguras1.11e1.12mostramadensidadeeataxadefalhadadistribuiçãoWeibull

geométri aparaalgunsvaloresdosparâmetros. NaFigura1.12,nota-sequeadistribuição

Weibullgeométri apossuifunçãotaxadefalha omforma res ente-de res ente- res e nte,

enquanto a taxade falhadadistribuição Weibullé sempre monótona.

Lu e Shi (2012) investigaram a distribuição Weibull Poisson. Utilizando o modelo

(1.5)ees olhendo omovariáveldis retaadistribuiçãoPoisson om parâmetro

θ

,

obtém-se adistribuição e adensidade da Weibull Poisson

F (x) =

e

θ exp[−(x/β)

α

_]

−

e

θ

1 −

e

θ

e

f (x) =

θ α x

α−1

e

−

θ−(x/β)

α

+θ exp[−(x/β)

α

]

β

α

_{(1 −}

e

−

_θ

)

,

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

f(x)

α

=2,

β

=2, p=0

α

=2,

β

=2, p=0.3

α

=2,

β

=2, p=0.5

α

=2,

β

=2, p=0.9

α

=2,

β

=2, p= −2

Figura 1.11: Densidade da distribuição Weibull geométri a para

α = 2, β = 2

e alguns

valores de

p

.

0

2

4

6

8

10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

r(x)

α

=2,

β

=2, p=0

α

=2,

β

=2, p=0.5

α

=2,

β

=2, p=0.9

α

=0.9,

β

=2, p=0.9

α

=2,

β

=2, p= −2

Figura 1.12: Taxa de falha da distribuição Weibull geométri a para alguns valores do

0

2

4

6

8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

f(x)

α

=2,

β

=2,

θ

−>0

α

=2,

β

=5,

θ

=1

α

=2,

β

=2,

θ

=5

α

=2,

β

=2,

θ

=10

α

=5,

β

=2,

θ

=0.5

Figura1.13: Densidade da distribuiçãoWeibull Poisson para alguns valoresdos

parâme-tros.

0

2

4

6

8

10

0

1

2

3

4

5

x

r(x)

α

=2,

β

=2,

θ

−>0

α

=2,

β

=5,

θ

=1

α

=2,

β

=2,

θ

=5

α

=2,

β

=2,

θ

=10

α

=5,

β

=2,

θ

=0.5

Figura 1.14: Taxa de falha da distribuição Weibull Poisson para alguns valores dos

respe tivamente. Quando

θ → 0

, a distribuição Weibull Poisson onverge para a

distri-buição Weibull e, aso

α = 1

, a distribuição Weibull Poisson éequivalente à distribuição

exponen ial Poisson.

A função taxade ris o,para a distribuição Weibull Poisson,é dada por

r(x) =

θ α x

α−1

e

−

(x/β)

α

+θ exp[−(x/β)

α

]

β

α

₍

e

θ exp[−(x/β)

α

_]

− 1)

.

AsFiguras1.13e1.14mostramadensidadeeataxadefalhadadistribuiçãoWeibull

Poisson para alguns valores dos parâmetros. Na Figura 1.14, nota-se que a distribuição

Weibull Poisson possui função taxa de falha om forma res ente-de res ente- res e nte,

enquanto a taxade falhadadistribuição Weibullé sempre monótona.

Ciumara e Preda (2009) introduziram a distribuição Weibull logarítmi a, uja

dis-tribuiçãoe densidade são

F (x) = 1 −

log[1 − (1 − q)

e

−

_(x/β)

α

]

log(q)

e

f (x) =

α(1 − q)x

α−1

e

−

_(x/β)

α

−β

α

_{log(q)[1 − (1 − q)}

e

−

_(x/β)

α

_]

,

respe tivamente. Estadistribuiçãoéobtidaaose ompor(1.3) om(1.9)atravésde(1.5).

Quando

q → 1

, adistribuiçãoWeibull logarítmi aseaproximadadistribuição Weibull e,

para

α = 0

,ela éidênti a à distribuição exponen iallogarítmi a.

A função taxade falhaé dadapor

r(x) =

−α(1 − q)x

α−1

e

−

(x/β)

α

β

α

_{[1 − (1 − q)}

e

−

_(x/β)

α

] log[1 − (1 − q)

e

−

_(x/β)

α

]

AsFiguras1.15e1.16mostramadensidadeeataxadefalhadadistribuiçãoWeibull

logarítmi apara alguns valores dos parâmetros. Na Figura 1.16 nota-se que a

distribui-ção Weibull logarítmi a possui função taxa de falha om forma

res ente-de res ente- res ente, enquanto ataxa de falha dadistribuição Weibull é sempremonótona.

Morais e Barreto-Souza (2011) deniram a lasse Weibull série de potên ias, uja

distribuição edensidade são representadas por

F (x) = 1 −

C(φ

e

−

_(x/β)

α

)

C(φ)

e

f (x) =

φ α x

α−1

e

−

_(x/β)

α

β

α

_C(φ)

∂

∂u

[C(u)]

u=φ

e

−(x/β )

α

,

respe tivamente, om

C(.)

dadopor(1.10). AsdistribuiçõesWeibull geométri a,Weibull

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

f(x)

α

=2,

β

=2, q−>1

α

=2,

β

=2, q=0.2

α

=5,

β

=2, q=0.4

α

=2,

β

=5, q=0.6

α

=5,

β

=5, q=0.8

Figura1.15: DensidadedadistribuiçãoWeibull logarítmi apara algunsvaloresdos

parâ-metros.

0

2

4

6

8

10

0

1

2

3

4

5

x

r(x)

α

=2,

β

=2, q−>1

α

=2,

β

=2, q=0.01

α

=5,

β

=2, q=0.4

α

=2,

β

=5, q=0.6

α

=5,

β

=5, q=0.8

Figura 1.16: Taxa de falha da distribuição Weibull logarítmi a para alguns valores dos

Além das omposições abordadas anteriormente, diversos autores investigaram

ou-tras distribuições ompostas. Barreto-Souza e Bakou hb (2011), por exemplo,

estuda-ram a distribuição exponen ialPoisson-Lindley. Esta distribuição éobtida ao se ompor

uma distrubição exponen ial om a distribuição Poisson-Lindley, na qual

P (Z = z) =

[γ

2

_{(2 + γ + z)][(1 + 3γ + γ}

2

_{)(1 + γ)}

z

_]

−

₁

, γ > 0, z = 1, 2, . . .

,utilizando ométodo(

1.5

). A

distribuição exponen ialPoisson-Lindley possui função taxa de falha de res ente.

Adistribuiçãoexponen ialexponen ializadafoiinvestigadaemsuaversão omposta

om a distribuição Poisson por Risti¢ e Nadarajah (2010) e, quando omposta om a

distribuição binomial, por Bakou h et al. (2012). Perten ente a lasse Weibull série

de potên ias, a distribuição Weibull binomialnegativa foi estudada por Rodriques et al.

(2011).

Nos próximos apítulosdesta dissertação, serão abordadosoutros métodos de

om-posição. No Capítulo2, a lasse de distribuiçõesproposta por Marshall e Olkin(1997)é

investigada e diversas propriedadesda distribuição Marshall-Olkin estendida Lomax são

deduzidas pela primeiravez. No Capítulo 3, uma nova lasse de distribuições que

gene-raliza ostrabalhos de Ku³ (2007)e Lu eShi(2012), além de possuir omo asos espe iais

diversos outros modelos, é estudada. No Capítulo 4, a distribuição Lomax-Poisson é

es-tudada utilizando a teoria desenvolvida no Capítulo3. No Capítulo5, são estabele idas

A lasse Marshall-Olkin estendida G

Neste apítulo revisa-se a lasse de distribuições proposta por Marshall e Olkin

(1997) e algumas de suas propriedades. Diversas propriedades matemáti as inéditas da

distribuição Marshall-Olkin Lomax, ini ialmente abordada por Ghitany et al. (2007),

também são apresentadas.

2.1 A lasse Marshall-Olkin

O trabalho de Marshall e Olkin (1997) props um novo método para adi ionar

um parâmetro de forma a uma variável aleatória onhe ida. Seja

G(x)

uma função de

sobrevivên ia qualquer. A nova distribuição terá sobrevivên ia dadapor

F (x) =

λG(x)

1 − λ G(x)

=

λG(x)

G(x) − λG(x)

, 0 < λ < ∞,

(2.1)

em que

λ = 1 − λ

e

G(x) = 1 − G(x)

é afunção de distribuição dabaseline. Para

λ = 1

,

tem-se que

F (x) = G(x)

.

É possívelmotivar(2.1) daseguinteforma:

ˆ

0 < λ < 1

: Usando o modelo (1.5), om

Z ∼

Geométri a

(λ)

, em que

P (Z = z)

é

dado por(1.7), então

X

terá distribuiçãodada por (2.1); e

ˆ

λ > 1

: Usandoomodelo(1.6), om

Z ∼

Geométri a

(λ

−

1

)

,emque

P (Z = z)

édado

G fazreferên ia àdistribuição original,é

f (x) =

λ g(x)

[1 − λ G(x)]

2

.

(2.2)

Sua função de ris o é dada por

r(x) =

r

G

(x)

1 − λ G(x)

,

(2.3)

em que

r

G

(x) = g(x)/G(x)

é a função de ris o da baseline. Partindo de (2.3), Marshalle

Olkin(1997) mostraram que

r

G

(x) ≤ r(x) ≤ r

G

(x)/λ, 0 < λ ≤ 1,

e

r

G

(x)/λ ≤ r(x) ≤ r

G

(x), λ ≥ 1.

A distribuição Marshall-Olkin estendida exponen ial (MOEE), obtida de (2.1) e

(1.4), tem distribuição edensidade dadas por

F (x) = 1 −

1

e

x/β

_{− λ}

e

f (x) =

λ

e

x/β

β(

e

x/β

_{− λ)}

2

,

respe tivamente. A sua função taxade falhaé

r(x) =

e

x/β

β(

e

x/β

_{− λ)}

.

As Figuras2.1 e 2.2 mostram adensidade ea taxa de falha dadistribuição MOEE

para

β = 2

ealgunsvaloresde

λ

. NaFigura2.2,nota-sequeessa distribuiçãotemfunção

taxadefalha omforma res enteoude res ente,enquantoataxadefalhadadistribuição

exponen ial ésempre onstante.

A distribuiçãoMarshall-Olkinestendida Weibull (MOEW), obtida de (2.1) e(1.3),

tem distribuição edensidade dadaspor

F (x) = 1 −

λ

e

−

_(x/β)

α

1 − λ

e

−

_(x/β)

α

e

f (x) =

λα x

α−1

e

−

_(x/β)

α

β

α

_{[1 − λ}

e

−

_(x/β)

α

_]

₂

.

Sua função taxade falhaé

r(x) =

α x

α−1

β

α

_{[1 − λ}

e

−

_(x/β)

α

]

.

As Figuras2.3 e2.4 mostramadensidade e ataxade falhadadistribuição MOEW

para alguns valores dos parâmetros. Na Figura 2.4, nota-se que essa distribuição tem

função taxa de falhaem forma res ente-de res ente- res e nte , enquanto a taxade falha

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

f(x)

β

=2,

λ

=1

β

=2,

λ

=0.2

β

=2,

λ

=0.8

β

=2,

λ

= 2

β

=2,

λ

= 10

Figura 2.1: Densidadeda distribuiçãoMOEE para

β = 2

e algunsvalores de

λ

.

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

r(x)

β

=2,

λ

=1

β

=2,

λ

=0.2

β

=2,

λ

=0.8

β

=2,

λ

= 2

β

=2,

λ

= 10

0

1

2

3

4

5

6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

f(x)

α

=2,

β

=2,

λ

=1

α

=2,

β

=2,

λ

=0.2

α

=2,

β

=2,

λ

=0.8

α

=2,

β

=2,

λ

= 2

α

=2,

β

=2,

λ

= 10

Figura2.3: Densidade da distribuiçãoMOEW para

α = 2

,

β = 2

e alguns valores de

λ

.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0

2

4

6

8

x

r(x)

α

=2,

β

=2,

λ

=1

α

=5,

β

=2,

λ

=5

α

=2,

β

=0.5,

λ

=0.1

α

=0.5,

β

=2,

λ

=0.5

α

=0.9,

β

=0.3,

λ

= 5

AdistribuiçãoLomax (Lomax,1954),porvezes,também,referida omodistribuição

Pareto Tipo II, tem função de distribuição edensidade, respe tivamente, dadas por

G(x) = 1 − (1 + x/β)

−

α

e

g(x) = αβ

−

1

(1 + x/β)

−

(α+1)

, x > 0,

(2.4)

emque

α > 0

e

β > 0

sãoosparâmetrosdeformaedees ala,respe tivamente. Ghitanyet

al. (2007) investigarama distribuição Marshall-Olkinestendida Lomax(MOEL), obtida

de (2.1) e (2.4). Elatem função distribuição dada por

F (x) = 1 −

λ

(1 + x/β)

α

_{− λ}

(2.5) e função densidade

f (x) =

λ α (1 + x/β)

α−1

β[(1 + x/β)

α

_{− λ]}

2

.

(2.6)

A Figura2.5 apresenta a densidade dadistribuição MOELpara alguns valores dos

parâ-metros.

Ghitany et al. (2007) demonstraramque, para

λ + α(2 − λ) < 0

, a equação (2.6)é

unimodal, om modaigual a

Moda

= β

"

λ α

1 + α



1/α

− 1

#

,

em que

α = 1 − α

. Para

λ + α(2 − λ) ≥ 0

,(2.6) é de res ente.

A função taxade falhaé dadapor

r(x) =

α

β[(1 + x/β) − λ (1 + x/β)

1−α

_]

.

(2.7)

Ghitanyetal. (2007)demonstraramqueaequação(2.7)éunimodalpara

λ+α (1−λ) < 0

,

aso ontrário, ela é des res ente. A Figura 2.6 apresenta a função taxa de falha da

distribuição MOELpara alguns valores dos parâmetros.

A função quantíli a édada por

Q

F

(q) = F

−

1

(q) = β

"

1 +

q λ

1 − q



1/α

− 1

#

, 0 ≤ q ≤ 1.

(2.8)

A equação (2.8) pode ser utilizada fa ilmente para gerar números aleatórios da

0

1

2

3

4

5

6

0.0

0.5

1.0

1.5

x

f(x)

α

=2,

β

=2,

λ

=1

α

=2,

β

=2,

λ

=2

α

=4,

β

=4,

λ

=3

α

=4,

β

=0.5,

λ

=8

α

=4,

β

=0.5,

λ

=20

Figura 2.5: Densidadeda distribuiçãoMOEL para alguns valores dos parâmetros.

0

1

2

3

4

5

6

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

x

r(x)

α

=2,

β

=2,

λ

=1

α

=2,

β

=2,

λ

=2

α

=4,

β

=4,

λ

=3

α

=4,

β

=0.5,

λ

=8

α

=4,

β

=0.5,

λ

=20

A medianaé obtidada equação (2.8) fazendo

q = 1/2

:

Mediana

= M = β[(1 + λ)

1/α

− 1].

2.3 Algumas propriedades

As propriedades apresentadas naSeção 2.2 foramini ialmenteobtidasporGhitany

et al. (2007). Os autores também derivaram outras propriedades omo os momentos

ordinários e adistribuição dos extremos amostrais, por exemplo.

As propriedades obtidas nesta seção para a distribuição MOEL são inéditas na

literatura. Adi ionalmenteummétodoalternativoparaobtençãodosmomentosordinários

é apresentado.

2.3.1 Expansão para a distribuição

Considere a identidade

(1 − z)

−

_ρ

=

∞

X

k=0

Γ(ρ + k)

Γ(ρ) k!

z

k

, |z| < 1,

em que

Γ(a) =

R

∞

t=0

e

−

_t

t

a−1

_dt

é a função gama. Dessa forma, para

λ < 1

, apli ando a

identidadeem (2.2),obtém-se

f (x) = λ g(x)

∞

X

k=0

Γ(k + 2)

Γ(2)k!

λ

k

G(x)

k

.

Umavez que

Γ(a) = (a − 1)!

, para

a

inteiro, a densidade pode, então, ser res rita omo

f (x) =

∞

X

k=0

(k + 1) λ λ

k

g(x)G(x)

k

.

Dado o fato que, se

g(x)

e

G(x)

são a densidade e a função sobrevivên ia de uma

Lomax

(α, β)

, então

g(x)G(x)

k

= (k + 1)

−

₁

g

(k+1)α,β

(x),

(2.9)

emque

g

(k+1)α,β

(x)

éadensidadedaLomax omparâmetrodeforma

(k +1)α

eparâmetro de es ala

β

. Assim, é possível rees rever (2.6) omo

f (x) =

∞

X

k=0

v

k

(λ) =











λ λ

k

,

para

0 < λ < 1,

e

[λ(k + 1)]

−

₁

∞

X

j=k

(−1)

k

(j + 1)



j

k



(1 − λ

−

1

)

j

,

para

λ > 1.

A obtenção de

v

k

(λ)

para

λ > 1

é similar a apresentada. É ne essário apenas notar que a densidade dada por(2.2) pode ser rees rita omo

f (x) =

λ

−

₁

g(x)

[1 − (1 − λ

−

₁

_)G(x)]

₂

.

Para apli ar oresultado (2.9) é ne essário usar dofato que

G(x) = 1 − G(x)

e utilizar a

expansão binomial.

É fá il veri ar que

P

∞

k=0

v

k

(λ) = 1

. Dessa forma, a equação (2.10) revela que a

densidade dadistribuiçãoMOELpode ser expressa omo uma ombinaçãolinear innita

de distribuições Lomax. Assim, diversas propriedades da distribuição gerada podem ser

obtidasdiretamentedas mesmaspropriedadesdadistribuiçãoLomax. Essas propriedades

podem ser en ontradas em Lemontee Cordeiro (2011), porexemplo.

2.3.2 Momentos e Geratriz de Momentos

O

p

-ésimo momentoordináriode uma variávelaleatória

X

é dado por

µ

′

p

=

E

(X

p

_{) =}

Z

R

x

p

f (x)dx.

(2.11)

Tais momentos são importantes, pois são utilizados para obter medidas de tendên ia,

variabilidade e forma. No restante deste apítulo, onsidera-se que

Y ∼

Lomax

(α, β)

. O

p

-ésimo momentoordináriode

Y

é dado por

E

(Y

p

_{) =}

β Γ(α − p) Γ(p + 1)

Γ(α)

, p < α.

(2.12)

Utilizando a expansão (2.10), pode-se al ular os momentos ordinários da distribuição

gerada por

µ

′

p

=

E

(X

p

_{) = β Γ(p + 1)}

∞

X

k=0

v

k

(λ) Γ[α(k + 1) − p]

Γ[α(k + 1)]

, p < α.

(2.13)

m

p

(X; z) =

Z

z

−∞

x

p

f (x)dx.

(2.14) Substitutindo(2.10) em (2.14) tem-se

m

p

(X; z) =

∞

X

k=0

v

k

m

p

(Y

(k+1)α,β

; z),

(2.15)

emque

m

p

(Y

(k+1)α,β

; z)

éomomentoin ompletode

Y

(k+1)α,β

∼

Lomax

((k +1)α, β)

. Pode-se utilizaro MAPLE para al ularosmomentos in ompletos dadistribuição Lomax omo

m

p

(Y

(k+1)α,β

; z) = P

p

(z) + Q

p

(z)

(2.16) om

P

p

(z) =

Γ(p + 1)π csc[π(k + 1)α − πp]

Γ[(k + 1)α + 1]Γ[p − (k + 1)α + 1]

,

Q

p

(z) =

(βz)

p−(k+1)α

2

F

1

[(k + 1)α + 1, (k + 1)α − p; (k + 1)α − p + 1;

−

_βz

1

]

p − (k + 1)α

em que s é a osse ante e

2

F

1

(a, b; c; z)

éa função hipergeométri adenida por

2

F

1

(a, b; c; z) =

∞

X

j=0

(a)

j

(b)

j

(c)

j

z

j

j!

.

Aqui,

(q)

j

éo símbolode Po hhammer denido por

(q)

j

=



1,

para

j = 0

e

q(q − 1) × . . . × (q + j − 1),

para

j = 1, 2, . . .

Para

p = 1

, Lemonte e Cordeiro (2011) provaram que se

Y ∼

Lomax

(α, β)

, então

seu primeiro momentoin ompleto éigual a

m

1

(Y ; q) =

α

β

∞

X

j=0

(−1)

j

_q

j+2

(j + 2)β

j

Γ(α + j + 1)

Γ(α + 1)j!

.

(2.17)

Usando (2.15), obtém-se oprimeiro momentoin ompleto dadistribuição MOEL

m

1

(X; z) =

∞

X

k,j=0

(k + 1)(−1)

j

_{α z}

j+2

_v

k

(λ)Γ[(k + 1)α + j + 1]

(j + 2)β

j+1

_{Γ[(k + 1)α + 1] j!}

.

(2.18)

O

p

-ésimo momentofatorialde res ente de

X

é

µ

′

(p)

=

E

[X

(p)

_{] =}

E

[X(X − 1) × . . . × (X − p + 1)] =

p

X

j=0

s(p, j) µ

′

j

,

(2.19) em que

s(p, j) = (j!)

−

1

[∂

j

_x

(p)

_/∂x

j

_]

x=0

é o número de Stirling do primeiro tipo. Dessa maneira,o

p

-ésimomomentofatorialde res ente danovadistribuição é

µ

′

(p)

=

p

X

j=0

s(p, j) β Γ(j + 1)

∞

X

k=0

v

k

(λ) Γ[α(k + 1) − j]

Γ[α(k + 1)]

, p < α.

Adi ionalmente, osmomentos entrais eos umulantes podem ser al ulados omo

µ

p

=

p

X

j=0



p

j



(−1)

p−j

µ

′

_p−j

1

µ

′

j

(2.20) e

κ

p

= µ

′

p

−

p−1

X

j=1



p − 1

j − 1



κ

j

µ

′

p−j

.

(2.21)

Lemonte e Cordeiro (2011) al ularam a função geratriz de momentos (fgm) da

distribuição Lomax,

M(t; α, β)

,da seguinte forma:

M(t; α, β) =

E

(

e

tY

_{) =}

e

−

_βt

+ α

−

₁

1

F

1

(1; 1 − α; −βt), t < 0,

(2.22)

em que

1

F

1

(a; b; c)

é afunção hipergeométri a onuente, denida por

1

F

1

(a; b; c) =

Γ(b)

Γ(a)

∞

X

j=0

Γ(a + j)

Γ(b + j)

c

j

j!

.

Assim, a fgm daMOELpode ser es rita omo

M(t) =

e

−

βt

+ α

−

1

∞

X

k=0

v

k

(λ)

1

F

1

(1; 1 − α(k + 1)); −βt)

k + 1

, t < 0.

(2.23) 2.3.3 Entropia Entropia de Shannon

A entropiadeShannon éumamedidarela ionada omaquantidadedein erteza de

uma variávelaleatória. Ela é dadapor

ϑ

S

(f ) = − log(λ) −

E

{log[g(X)]} + 2

E

{log[1 − λ G(X)]}.

Para a MOEL, tem-se

E

{log[g(X)]} =

Z

∞

0

log[g(x)] f (x)dx

=

∞

X

k=0

(k + 1)v

x

(λ)

Z

∞

0

log[g(x)] g(x) G(x)

k

dx.

Fazendo

G(x) = u

,obtém-se E

{log[g(X)]} =

∞

X

k=0

(k + 1)v

x

(λ)

Z

1

0

log{g[Q

G

(1 − u)]}u

k

du,

em que

Q

G

(.)

éa função quantíli ada Lomax. Assim, tem-se

E

{log[g(X)]} =

∞

X

k=0

(k + 1)v

x

(λ)

Z

1

0

log[αβ

−

₁

u

α+1

α

] u

k

du

= log



α

β



−

α + 1

α

∞

X

k=0

(k + 1)

−

₁

v

k

(λ).

A segunda esperança pode ser ál ulada daseguintemaneira:

E

{log[1 − λ G(X)]} =

E

(

−

∞

X

j=1

[λ G(X)]

j

j

)

= −

∞

X

j=1

λ

j

j

Z

∞

0

G(x)

j

∞

X

k=0

v

k

(λ)g

(k+1)α,β

(x)dx

= −

∞

X

j=1

λ

j

j

∞

X

k=0

(k + 1)v

k

(λ)

(k + j + 1)

Z

∞

0

(k + j + 1)g(x) G(x)

j+k

d

x

.

A última integralé a densidade de uma Lomax

((k + j + 1)α, β)

. Logo,

E

{log[1 − λ G(X)]} = −

∞

X

j=1

λ

j

j

∞

X

k=0

(k + 1)v

k

(λ)

(k + j + 1)

.

A entropia de Rényi édada por

ϑ

R

(f ; c) =

1

1 − c

log

Z

∞

0

f

c

(x)dx



, c > 0, c 6= 1.

(2.25)

Se

g(x)

e

G(x)

são a densidade e afunção sobrevivên ia de umaLomax

(α, β)

,tem-se

g(x)

c

G(x)

k

=

α

c

β

c−1

_{[(k + c)α + c − 1]}

g

(k+c)α+c−1,β

(x).

(2.26) Pode-se es rever

f (x)

c

=

∞

X

k=0

w

k

(λ) g

α(k+c)+c−1,β

(x),

em que

w

k

(λ) =



















λ

c

_λ

k

_{Γ(2c + k)}

Γ(2c) k!

α

c

β

c−1

_{[α(k + c) + c − 1]}

,

para

0 < λ < 1,

e

(−1)

k

λ

c

∞

X

j=k

Γ(2c + j)

Γ(2c) j!

j

k

(1 − λ

−

₁

)

j

_α

c

β

c−1

_{[α(k + c) + c − 1]}

,

para

λ > 1.

Uma vez que

f (x)

c

é uma ombinação linear de densidades da distribuição Lomax, a

entropia de Rényi pode, então, ser es rita omo

ϑ

R

(f ; c) =

1

1 − c

log

"

∞

X

k=0

w

k

(λ)

#

.

(2.27) 2.3.4 Desvios Médios

Osdesviosdamédiaedamedianasãoumaboamaneirademedirdispersãoemuma

população. Eles são expressos omo

δ

1

(X) =

Z

∞

0

|x − µ

′

1

| f(x) dx

e

δ

2

(X) =

Z

∞

0

|x − M| f(x) dx,

respe tivamente. Tem-se

δ

1

(X) = 2[µ

′

1

F (µ

′

1

) − m

1

(X; µ

′

1

)]

(2.28) e

δ

2

(X) = µ

′

1

− 2m

1

(X; M),

(2.29)

em que

F (.)

é a função distribuição de

X

e

m

1

(X; z)

é o primeiromomento in ompleto dado por (2.18).

Adi ionalmente, pode-se utilizara equação (2.18) para obter as urvas de Lorenze

Bonferroni, índi es úteis para medirdesigualdade de renda. Eles são expressos omo

L(π) =

m

1

(X; q)

µ

′

1

(2.30) e

B(π) =

m

1

(X; q)

π µ

′

1

,

(2.31)

em que

π

é uma probabilidadedada e

q = Q

F

(π) = β[(1 + (π λ)/(1 − π))

1/α

_{− 1]}

.

2.3.5 Momentos Probabilisti amente Ponderados

Os momentos probabilisti amenteponderados (MPPs) são denidos por

M(p, r, s) =

E

{X

p

_{[F (X)]}

r

[1 − F (X)]

s

}.

Usando o teoremabinomialgeralizado, pode-sees rever

M(p, r, s) =

∞

X

j=0

(−1)

j



s

j

 Z

∞

0

x

p

F (x)

r+j

f (x) dx.

Após algumaálgebra obtém-se

f (x) F (x)

a

=

∞

X

m=0

ω

m

(λ) g

(a+m+1)α,β

(x),

(2.32) em que

ω

m

(λ) =



















λ

a+1

_λ

m

_{Γ(a + 2 + m)}

(a + m + 1)Γ(a + 2)m!

,

para

0 < λ < 1,

e

(−1)

m

_λ

−

₁

(a + m + 1)Γ(a + 2)

∞

X

k=m

k

m

(1 − λ

−

₁

)

k

_{Γ(a + 2 + k)}

k!

,

para

λ > 1.

Dessa forma, osMPPs dadistribuição MOEL são expressos por

M(p, r, s) =

∞

X

j,m=0

(−1)

j s

j

β ω

m

(λ) Γ[(r + j + m + 1)α − p] Γ(p + 1)

Γ[(r + j + m + 1)α]

,

(2.33) para

p < α

.

As estatísti as de ordem têm um importante papel naestatísti a teóri a e práti a.

Considere

X

1

, X

2

, . . . , X

n

omoumaamostraaleatóriadeumadistribuiçãoMOEL.Então, a densidade de

X

i:n

, a

i

-ésima estatísti a de ordem,é expressa por

f

i:n

(x) =

f (x)

B(n − i + 1, i)

i−1

X

j=0

(−1)

j



i − 1

j



F (x)

n+j−i

.

Utilizandoo resultado (2.32) tem-se

f

i:n

(x) =

i−1

X

j=0

(−1)

j

i−1

j

B(n − i + 1, i)

∞

X

m=0

ω

m

(λ) g

(m+n+j−i+1)α,β

(x).

(2.34)

A equação(2.34) mostraqueafunção densidade das estatísti asde ordem de uma

amos-tra da distribuição MOEL pode ser expressa omo uma ombinação linear innita de

densidades da Lomax. Assim, é possível utilizar (2.34) para obter diversas propriedades

das estatíti as de ordem de uma amostra da distribuição MOEL baseadas nas mesmas

propriedadesda distribuição Lomax.

2.4 Estimadores de Máxima Verossimilhança

Suponhaque

x

1

, x

2

, . . . , x

n

éumaamostraaleatóriarealizadadadistribuiçãoMOEL. Então, a log-verossimilhança,

ℓ = ℓ(α, β, λ; x)

, pode ser expressa omo

ℓ = n log



λα

β



+ (α − 1)

n

X

i=1

log



1 +

x

i

β



− 2

n

X

i=1

log



1 +

x

i

β



α

− λ



.

(2.35)

Ao se maximizar(2.35) em relação a

α

,

β

e

λ

utilizando uma rotina numéri a de algum

software, porexemplo,arotinaoptim dosoftware R, obtém-seasestimativasde máxima

verossimilhança(EMVs)

α

b

,

β

b

e

bλ

.

As primeiras derivadas de

ℓ(α, β, λ; x)

em relaçãoa

α

,

β

e

λ

são

∂ℓ

∂α

=

n

α

+

n

X

i=1

log



1 +

x

i

β



− 2

n

X

i=1



1 +

x

i

β



α

− λ



−

1



1 +

x

i

β



α

× log



1 +

x

i

β



,

∂ℓ

∂β

= −

n

β

+

n

X

i=1

x

i

β

2

(

2α



1 +

x

i

β



α−1



1 +

x

i

β



α

− λ



−

₁

+ α



1 +

x

i

β



−

1

)

,

∂ℓ

∂λ

=

n

λ

− 2

n

X

i=1



1 +

x

i

β



α

− λ



−

₁

.

Tamém é possível obter as EMVs ao se solu ionar as equações não lineares

∂ℓ/∂α = 0

,

∂ℓ/∂β = 0

e

∂ℓ/∂λ = 0

simultaneamente.

Uma abordagem mais abrangente daestimação de máxima verossimilhançapara a

distribuição MOEL, omo a apli ação em aso de ensura na amostra, por exemplo, é

A lasse G-Poisson

Neste apítulo propõe-se um novo método para ompor distribuições e algumas

de suas propriedades são apresentadas. A lasse estudada possui omo asos espe iais

as distribuições estudadas por Ku³ (2007) e Lu e Shi (2012), além de diversos outros

modelos.

A lasse aqui estudada é orrespondente à lasse exp-

G

, proposta por

Barreto-Souza eSimas (2013). Notrabalho itado, os autoresdesenvolvem diversas propriedades

matemáti as da lasse, além de proporem os modelos exp-Weibull e exp-Beta. Neste

trabalho,diversasnovaspropriedadessãoobtidas,bem omonovosmodelos,perten entes

a lasse,são propostos.

3.1 A lasse G-Poisson

Considere

G(x)

omo a funçãodistribuição de qualquer distribuição baseline

ontí-nua. Dessa forma, a função distribuição da lasse G-Poisson é expressa por

F (x) =

e

θG(x)

_{− 1}

e

θ

_{− 1}

, θ ∈ R, θ 6= 0.

(3.1)

A função densidade orrespondente a (3.1) é

f (x) =

θe

θG(x)

e

θ

_{− 1}

g(x).

(3.2)

ˆ

θ > 0

: Usando o modelo (1.6), om

Z ∼

Poisson

(θ)

, em que

P (Z = z)

é dado por

(1.8), então

X

terá distribuição dadapor(3.1); e

ˆ

θ < 0

: Usando omodelo (1.5), om

Z ∼

Poisson

(|θ|)

, em que

P (Z = z)

é dadopor

(1.8), então

X

terá distribuição dadapor(3.1).

A distribuição baseline éum aso espe ial de (3.2), umavez que para

θ → 0

tem-se

que

F (x)

, dado por (3.1), onverge para

G(x)

.

3.2 Alguns asos espe iais

Nesta seção apresentam-se algunsmodelosespe iais dadistribuiçãoG-Poisson. São

apresentados os modelos exponen ial-Poisson e Weibull-Poisson, anteriormente

onside-rados em Barreto-Souza e Simas (2013), bem omo os novos modelos gama-Poisson e

normal-Poisson. A função densidade(3.2) émaisfá ilde ser trabalhada quandoafunção

distribuição

G(x)

e afunção densidade

g(x)

têm expressões analíti assimples.

3.2.1 Exponen ial-Poisson

A distribuição exponen ial tem distribuição e densidade dadas por (1.4). A

densi-dade dadistribuição exponen ial-Poisson é

f (x; θ) =

θ

e

θ(1−

e

−x/β

)−x/β

β(

e

θ

_{− 1)}

.

(3.3)

A Figura3.1apresenta adensidadedaexponen ial-Poisson para algunsvaloresdos

parâ-metros.

3.2.2 Weibull-Poisson

A distribuição Weibull tem distribuição e densidade dadas por (1.3). A densidade

daWeibull-Poisson é

f (x; θ) =

θαx

α−1

_{exp[θ(1 −}

e

−

(x/β)

α

) − (x/β)

α

_]

β

α

₍

e

θ

_{− 1)}

.

(3.4)

Para

α = 1

, a distribuição Weibull-Poisson se reduz à distribuição exponen ial-Poisson.

A Figura 3.2 apresenta a densidade da distribuição Weibull-Poisson para alguns valores