Propriedades físicas de sistemas com interações competitivas

Instituto de Física Gleb Wataghin - IFGW

Tese de Doutorado

Propriedades Físicas de Sistemas com

Interações Competitivas

RafaelMonteiro Fernandes

Orientador: Prof. Dr. Harry Westfahl Junior

GrupodeTeoria,LaboratórioNacionaldeLuzSíncrotron

Co-Orientador: Prof. Dr. Amir OrdacgiCaldeira

Departamento deFísica daMatériaCondensada,IFGW

Este exemplarcorrespondeàredaçãonaldatesededoutoradodefendidapeloalunoRafael

MonteiroFernandeseaprovadapelacomissãojulgadora(25/06/2008).

HomerSimpson,

afterLisaconstructsaperpetualmotionmachine

Thelaws of thermodynamics arevery simple:

Zeroth: Youmust playthe game.

First: Youcan'twin.

Second: Youcan'tbreak even.

Third: Youcan'tquit the game.

A Deus.

AoHarry,nãosópelaorientaçãodedicadaeimpecável,mastambémpelaamizadeconstruída

e demonstrada ao longo destes três anos. Expresso meu reconhecimento por toda a atenção

dispensadaamimepelasinúmerasevaliosasdiscussõesquetivemos,cientícasounão.

Ao Joerg Schmalian, orientadordurante o estágiode doutoradoem Ames (EUA), porsua

acolhida e pela conança depositada em mim. Agradeço sua inestimável contribuição para o

meu amadurecimentocientíco.

AosmeusprofessoresAmirCaldeira,EduardoMirandaeAntônioMansanares,portodosos

conselhoseaprendizados.

Aos meuspaisemeusirmãos,peloapoioincondicionaloferecidodesdeoprimeiromomento

noqualpenseiemseguirestacarreira. Umapoiotraduzido muitoalémdesuportematerialou

nanceiro,mas,principalmente,expressoporcarinho,reconhecimentoeincentivo.

Aos amigos com quem dividi esta parte da minha vida, compartilhando os momentos de

descontraçãoecomemoração,mastambém osdiasde aiçãoepreocupação. Seéinjusto citar

apenas algunsnomes dentre tantas pessoas importantes, mais injusto ainda, além de deveras

triste,énãocitarnenhum. Porisso,minhamençãoespecialàquelesquemeacompanhamnesta

empreitadadesdeoanode1999,Sergio,Tulio,DaviePedro. AlémdosamigosdeforadaFísica

quehátantosanosestãoaomeu lado,Carlão,Raphinha,JoõeseMarília.

Aopessoaldolamas,pelasinúmerasquintas-feirasnosbaresdeCampinas,alémdosfamosos

churrascosdemdesemana. AtodososamigosdaAPGF,pelasincontáveishistóriasjuntos. À

galeradobasquete,pelapersistênciademonstradaemtodosostreinosecampeonatosdisputados;

agoravocêsvãoprecisarencontraroutropivô.

Aos colaboradores cientícos, e, em particular, àLetícia, companheira de sala ede MnAs

pordoisanos. Registroumagradecimentoespecialpordisponibilizarasgurasdaseção2.1.

UmdosobjetivoscentraisdasCiênciasNaturaisérelacionarasestruturasdosmaisdiversos

sistemas com as funções particulares que os caracterizam. Por exemplo, no que se refere a

materiais,sejamelessintéticosoubiológicos,aciênciaestáconstantementebuscandoapredição

de diferentes propriedades macroscópicas a partir do conhecimento das suas estruturas

mi-croscópicas. Nesta tese, investigamosas propriedadesmagnéticas ede transportede sistemas

queapresentaminteraçõescompetitivasemdiferentesescalasdecomprimento. Comoresultado

desta competição, surge um estadotermodinâmico caracterizadoporumparâmetrode ordem

modulado, dando origem auma série de congurações espacialmente inomogêneas. A

termo-dinâmicadestes estadosmoduladospode serdescritapelochamadomodelode Brazovskii,que

prevêumatransiçãodeprimeiraordem,induzidapelasutuaçõesdoparâmetrodeordem,entre

afasehomogêneaeafasemodulada. HáumavastagamadesistemasencontradosnaNatureza

queparecemseencaixarnestadescrição deBrazovskii,compreendendoestruturastãodíspares

quantocristaislíquidos econdensadosdepíonsem estrelasdenêutrons. Nopresente trabalho,

investigamosdoissistemasfísicosparticulares. Motivadospelaricavariedadededomínios

obser-vadosexperimentalmenteemlmesnosmagnéticos,estudamosaspropriedadesmagnéticasde

blocosferromagnéticosdipolarescomdimensõesnitasecondiçõesdecontornonão-periódicas.

Desenvolvendo uma modelagem baseada na soluçãoda Hamiltonianade Brazovskii, pudemos

explicar, demaneirainéditaeconsistente,aestruturade domíniosmagnéticosdoslmesnos

de MnAs:GaAs, um promissorcandidato aaplicações no campo da spintrônica. Além disso,

estabelecemosuma relaçãoclaraentreofenômeno dereorientaçãomagnéticaea mudançana

forma das curvas de histerese observada nesses lmes. O segundo tipo de sistemas que

in-vestigamosforam osisolantes de Mott, cujas propriedadesde transporte foram determinadas

a partir do modelo de redes de resistores correlacionados. Considerando que a transição de

Mott térmica pertence à classe de universalidade de Ising, mostramos que a condutividade

macroscópica depende não apenas da magnetização, mas também da densidade de energia,

dandoorigemaumcomportamentodecrossover. Atravésdestesresultados,lançamosluzsobre

aaparente e misteriosaincoerência entre as previsões teóricase asmedidas experimentais

re-centes envolvendoisolantesdeMottnão-dopados. Prosseguindoparaasfasesinomogêneasdos

isolantes deMottdopados,estudamosacondutividademacroscópicadasmesofaseseletrônicas

comordenamentodecarga esméticoenemático,asquaissãoencontradasnosniquelatosenos

cupratos,respectivamente. InspiradosnosconceitosdaFísicadoscristaislíquidos,expressamos

deformabastanteintuitivaarelaçãoentreaspropriedadesdetransporteeatermodinâmicadas

One of the prime objectives of Natural Sciences is to relate the structures of systems to

their characteristic functions. For example, in what concerns materials, either synthetic or

biologic, science is constantly seeking for the prediction of dierent macroscopic properties

from theknowledgeof theirmicroscopicstructure. Inthis thesis, weinvestigatethe magnetic

andtransportpropertiesofsystemswithcompetinginteractionsindistinct lengthscales. Asa

resultofsuchacompetition,thereisathermodynamicstatecharacterizedbyamodulatedorder

parameter, originatinga set of spatially inhomogeneouscongurations. Thethermodynamics

ofthesemodulatedstatescanbedescribedbytheso-calledBrazovskiimodel,whichpredictsa

uctuationinducedrstordertransitionfrom thehomogeneousphasetothemodulatedphase.

ThereisalargediversityofsystemsforwhichtheBrazovskiidescriptionseemssuitable,including

utterly disparate structures such asliquid crystals and pion condensatesin neutronstars. In

thepresentwork,weinvestigatetwoparticularphysicalsystems. Motivatedbytherichvariety

of domains experimentallyobservedin magnetic thin lms, we study themagnetic properties

of ferromagnetic dipolar slabs with nite dimensions and non-periodic boundary conditions.

After developinga model based on thesolution of theBrazovskii Hamiltonian, we were able

to explain,in aconsistentandnovelway,the magneticdomainstructures ofMnAs:GaAsthin

lms,whicharepromising candidatesforspintronicsdevices. Moreover,weestablishedaclear

connectionbetweenthelm'smagneticreorientationandtheexperimentallyobservedchangein

thehysterisisloopsshape. ThesecondclassofsystemsweinvestigatedweretheMottinsulators,

whosetransportpropertiesweredeterminedfrom thecorrelatedresistornetwork model. After

consideringthatthenitetemperatureMotttransitionbelongstotheIsinguniversalityclass,we

showedthatthemacroscopicconductivitydepends notonlyonthemagnetization, butalso on

theenergydensity,givingrisetocrossoverbehaviour. Usingtheseresults,weshedlightuponthe

apparentandmysteriousinconsistencybetweenthetheoreticalpredictionsandtheexperimental

measurementsregardingundopedMottinsulators. Proceedingtotheinhomogeneousphasesof

dopedMottinsulators,westudiedthemacroscopicconductivity ofelectronicmesophaseswith

smectic and nematic charge ordering, which are found in the nickelates an in the cuprates,

respectively. Inspired by the concepts from the Physics of liquid crystals, we expressed in

an intuitive way theconnection between thetransport propertiesand the thermodynamicsof

Introdução . . . 1

Capítulo1. OModelo de Brazovskii . . . 7

1.1. Separação defaseseinteraçõescompetitivas . . . 7

1.2. Transiçõesdeprimeiraordeminduzidasporutuações . . . 13

1.3. Soluçãodecampomédioauto-consistentedomodelodeBrazovskii . . . 20

1.4. Flutuaçõeselásticaseoderretimentodafasemodulada . . . 28

Capítulo2. FerromagnetosDipolares com DimensõesFinitas . . . 41

2.1. EstruturamagnéticadoslmesnosdeMnAs:GaAs . . . 41

2.2. HamiltonianaefetivadeGinzburg-Landau: opapeldainteraçãodipolar . . . 45

2.3. Soluçãodecampomédioauto-consistente: diagramadefases . . . 53

2.3.1. Fasedelistras. . . 55

2.3.2. Fasetipobolhas . . . 60

2.4. AplicaçãoaoslmesnosdeMnAs:GaAs . . . 64

2.5. AlémdasimetriaIsing: omodeloXZ . . . 67

2.6. Reorientaçãomagnéticaecurvasdehisterese . . . 71

Capítulo3. Isolantesde Mott Dopados . . . 81

3.1. PropriedadesdetransporteeasfasesmicroscópicasdosisolantesdeMott: saisorgânicos, cupratoseniquelatos . . . 81

3.2. DescriçãomicroscópicadeisolantesdeMottdopadosenão-dopados . . . 88

3.3. Redesderesistorescorrelacionadoseexpansãoperturbativadacondutividade . . . 95

3.4. Transporteemcompostosnão-dopados: classedeuniversalidadedatransiçãotérmica . 101 3.5. Transporteemcompostosdopados: fasesesméticaenemática . . . 112

3.5.1. Faseesmética . . . 113

3.5.2. Fasenemática. . . 118

Capítulo4. Conclusões . . . 125

ReferênciasBibliográcas . . . 129

ApêndiceA. Transição de Kosterlitz-Thouless . . . 137

ApêndiceB. Transformação deHubbard-Stratonovich . . . 145

ApêndiceC. Paredesdedomínios deNéelemblocos ferromagnéticos dipolares . . . 151

Fasesespacialmenteinomogêneas,associadasaquebrasdesimetriastranslacionaise/ou

rota-cionais, são encontradas em uma enorme variedade de sistemas físicos, sob as mais diversas

condiçõesambientes depressão,temperaturaecamposeletromagnéticosexternos. Apesardeo

tamanhotípicodasinomogeneidadesvariardesdeescalasdecomprimentomicroemesoscópicas

até escalas genuinamente macroscópicas, são relativamente poucas as variedades das formas

destas fases inomogêneas,compreendendo umpequeno número de morfologiasbem denidas,

taisquaisfasesdelistras,debolhas,delamelasetipotabuleirodexadrez[1].

Àprimeiravista,ossistemasnosquaisestasfasessemanifestamparecemapresentarpoucos

aspectos em comum. Nos materiais de interesse da chamada Física da Matéria Condensada

Dura- supercondutores,materiaismagnéticos,isolantes deMott[2,3]- ainteraçãoeletrônica

e aenergia cinética são asprincipais responsáveis pelas suaspropriedades macroscópicas

(re-sistividade, susceptibilidade magnética, calor especíco). Contudo, nos sistemas investigados

pelaFísicadaMatériaCondensadaMole-polímeros,cristaislíquidos,microemulsões[4,5]-o

comportamentodaenergialivreédominadopelaentropia,enãopelaenergiainterna. Assim,o

contrasteentreospoucostiposdeformasassumidasporestasfasesinomogêneasealargagama

de sistemas microscópicos associados a elas sugere a atuação de algum mecanismo bastante

geral,comumatodoseles.

Osindícios experimentaiseteóricosreunidosapontamparaainterpretaçãodequeasfases

inomogêneassão manifestaçõesde conguraçõesmoduladas doparâmetro de ordem

termodi-nâmicodosistemafísicomicroscópicosubjacente[1]. Defato,asdistintasmorfologiasobservadas

podem serdescritasporcombinaçõesde vetoresdeonda damodulação demesmamagnitude,

massentidosedireçõesdiferentes. Ofatodepoucostiposdeformasseremassumidasporestas

fases estáassociado ao custo energéticodas conguraçõesreferentes às possíveiscombinações

entreosvetoresdeondadamodulação.

Nesta abordagem, a modulação do parâmetro de ordem surge como o resultado da

com-petiçãoentreinteraçõesdetendênciasdistintas,atuandoemdiferentesescalasdecomprimento

dosistema: emgeral,tem-seumainteraçãoforte,decurtoalcance,quetendeaordenarosistema

uniformemente,eoutrafraca,porémdelongoalcance,quetendeafrustraresteordenamento 1

.

Dessemodo,noqueconcerneasfasesinomogêneas,não importamostiposdasinterações

atu-antes,masapenasseucarátercompetitivo-porexemplo,ainteraçãodetrocaversus adipolar

emsistemasmagnéticos[6]ou,nocasodoscopolímerosdedibloco,acompetiçãoentrea

intera-çãodevanderWaals, quefavorece oscontatosentre monômerosdemesmo tipo,eosvínculos

1

volumétricos introduzidos pelo ponto de ligação covalente do copolímero [7]. O período das

modulações-e, conseqüentemente,ocomprimentotípico dasinomogeneidades-é, namaioria

dasvezes,umafunçãodecrescentedarazãoentreasintensidadesdainteraçãodelongoalcancee

dainteraçãodecurtoalcance,oqueexplicaavariedadedetamanhosdosdomíniosobservados.

Nossoobjetivo,nestatese,éinvestigarosefeitosdamorfologiaedatermodinâmicadasfases

inomogêneas nas propriedades macroscópicas dos sistemas a elas associados - em particular,

naspropriedadesmagnéticase detransporte. Em geral, estasestruturas inomogêneaspodem

serevidenciadasexperimentalmente por medidas deespalhamento deraios X ou denêutrons,

ou ainda por imagens obtidas atravésde técnicas de microscopia eletrônica. A possibilidade

de se correlacionara estrutura às funções destes sistemas pormeio de modelos teóricos é de

extremavaliaparaodesenvolvimentodemateriaiscujaspropriedadespossam serpreviamente

desenhadas.

No que concerne a termodinâmica das fases moduladas, o modelo analítico mais simples

capaz de capturar a essência dos fenômenos físicos envolvidos é o chamado modelo de

Bra-zovskii [8]. Nesta abordagem, as utuações de mais baixa energia do parâmetro de ordem

estendem-se ao redor de uma hiper-superfície esférica no espaço de momentos. Tal cenário

contrastacom os modelos termodinâmicos de fenômenoscríticos mais comumente estudados,

nosquaisasexcitaçõesfundamentaissedãoaoredordeumúnicopontonoespaçodemomentos

-nomodelo

φ

4

,por exemplo,isto ocorrepara

q = 0

[9]. Assim,asutuaçõesnaHamiltoniana deBrazovskiidesempenham umpapelfundamental,demodoqueaaproximaçãomaissimples

decampomédio falhacompletamente nadescrição dodiagramade fasesdosistema. Defato,

sejausando-semétodosdecampomédioauto-consistentesousejausando-setécnicasbaseadas

no Grupo de Renormalização, mostra-se que as utuações do parâmetro de ordem induzem

umatransiçãode primeiraordementre afasedesordenadaeafasemodulada,dandoorigem a

fenômenosforadoequilíbriocaracterísticosdestetipodetransição,comonucleaçãoehisterese.

Háque se mencionar que aHamiltoniana de Brazovskiisurge não sóno âmbitoda Física da

MatériaCondensada,mastambémemsistemas deinteressedaFísicadeAltasEnergias,como

oscondensadosdepíons emestrelasdenêutrons[10].

UsandoosresultadosdomodelodeBrazovskii,estudamos,primeiramente,aspropriedades

magnéticas e a estrutura de domínios de lmes nos magnéticos crescidos sobre substratos

semicondutores,umtipodesistemacompossíveisaplicaçõesnopromissorcampodaspintrônica.

NossooutrointeresseénaspropriedadesdetransportedosisolantesdeMottantiferromagnéticos

dopados, os quais apresentamfases eletrônicas semelhantes às fases esmética e nemática dos

cristaislíquidos,equepodemserdescritaspelaHamiltonianadeBrazovskii.

Nocapítulo1,apresentamosascaracterísticasgeraisdomodelodeBrazovskii,queconstitui

oprincipal instrumento para a subseqüente investigação das propriedadesmacroscópicas dos

sistemas com interações competitivas de nosso interesse. Mostramos como a competição de

interações em diferentes escalas dá origem a uma Hamiltoniana efetiva de Ginzburg-Landau

cujoestadomaisestávelcorrespondeaumafasemodulada. Estudandoosefeitosdasutuações

demaisbaixa energiado parâmetrode ordem,indicamos comoatransição desegundaordem

entre afasedesordenadaeamodulada, previstapelaabordagemdecampomédio,éfrustrada

apre-sentamosasoluçãodecampomédioauto-consistentedaHamiltonianadeBrazovskii,que será

utilizadadurante todoo trabalho, comparando-a,qualitativamente,comsoluçõesoriundasde

outros métodos, como o Grupo de Renormalização e simulações numéricas. Por m,

inves-tigamos o efeito de outros modos de utuação do parâmetro de ordem no diagrama de fases

descritopelasoluçãoauto-consistente -emparticular, focamosnasutuaçõeselásticas dafase

de listrasbidimensional. Baseamo-nosna abordagemde Toner e Nelson[11] parademonstrar

que,naausênciadecamposcristalinosfortes,afasedelistraséderretida,dandoorigemauma

fase nemática - isto é, uma fase que não possui ordem de (quase) longo alcance posicional,

mas apenas ordem de (quase) longo alcance orientacional. Incluindo a atuação dos defeitos

topológicos,indicamoscomoafasenemáticasofreumatransiçãodeKosterlitz-Thoulessparaa

faselíquidaisotrópica.

Ocapítulo2édedicadoaoestudo dosefeitosdetamanhoedascondiçõesdecontornosobre

aspropriedadesmagnéticasdeumblocoferromagnéticodipolarcomlarguraeespessuranitas.

A motivação experimental reside na intrincada estrutura de domínios dos estreitos terraços

ferromagnéticos que são observados nos lmes nos magnéticos de MnAs crescidos sobre o

substratosemicondutorGaAs,paraumlargointervalodetemperaturasdecoexistênciadasfases

α

e

β

. Mostramoscomo ainclusãodasinteraçõesdeIsing edipolar, bem comodascondições decontornodeDirichletapropriadas,levamnaturalmenteàHamiltonianadeBrazovskiiemum

espaçode momentosde dimensões nitas. Generalizando asoluçãoauto-consistente para este

caso, obtemos que atransição de primeira ordem induzida por utuações continua aocorrer,

apesarda discretizaçãodaoutrorasuperfíciecontínuademínimaenergiada Hamiltoniana,ao

redor daqualatuamasexcitaçõesmenosenergéticas. Demonstramos que,demaneirageral,a

fasedelistrascommenormodulaçãoaolongodadireçãolimitadaéamaisestável,einvestigamos

os efeitos de comensurabilidade entre a largura do bloco e o período da modulação sobre a

estabilidadedasfasesobtidas.

AplicandoesteferramentalmatemáticoaocasoconcretodoMnAs:GaAs,propomosuma

ex-plicaçãoconsistente paraonúmerodedomínios observadodentrodosterraçosferromagnéticos

apartirdeimagensde microscopiade forçamagnética(MFM),nointervalo dealtas

tempera-turas daregiãodecoexistência. Paradescreveraestruturadedomíniosnointervalodebaixas

temperaturas da região de coexistência, consideramos o caráter vetorial dos spins do bloco,

desenvolvendoumfuncionaldeGinzburg-LandauparaomodeloXZdipolar. Emseguida,

inspi-radospelosresultadosdaminimizaçãodaHamiltonianaefetivaobtida,concebemosummodelo

fenomenológico capaz de descrever o fenômeno de reorientação da magnetização do terraço,

observada nas imagensde MFM. Aplicandoo métodode Stoner-Wohlfarth [12], relacionamos

estareorientaçãocomamudançanaformadascurvasdehistereseobtidasapartirdemedidas

deespalhamentoressonantederaiosX.Osresultadosapresentadosnestecapítuloderamorigem

atrêsartigos,quejáestãopublicados[13,14,15].

Nocapítulo3,exploramosaspropriedadesdetransportedeisolantesdeMott

antiferromag-néticosdopados-emparticular,consideramosóxidosdemetaisdetransição,comooscupratos

eosniquelatos. Paracertasconcentraçõesdedopantes,háfortes indíciosexperimentaisdeque

estes compostos apresentam fases com listras ricas em buracos alternadas por listras pobres

maiornas listras ricas em buracos (mais condutoras)do que em relação àslistras pobres em

buracos(menoscondutoras). BaseadosnostrabalhosdeKivelsonetal. [16],argumentamosque

estafasedelistras podeserdescritapelo modelodeBrazovskii, eusamosasoluçãodecampo

médio auto-consistente para descrever sua termodinâmica. Resolvendo perturbativamente o

problema de uma rede inomogênea de resistores correlacionados, obtemos uma expansão da

condutividade macroscópica da fase inomogênea em potências do contraste entre as

condu-tividadesmicroscópicas das diferentes fases. Atravésdesta expressão,mostramos que, para o

casodeuma fasede listras comordenamento esmético, oespectrode utuações particulardo

modelode Brazovskii éreetido pelo comportamento anisotrópico do saltona condutividade,

que ocorreconcomitantemente à transição de primeira ordem. Os resultados obtidos trazem

novoselementos para oentendimento das propriedadesde transporte dosniquelatos, além de

forneceremprevisõespassíveisdeseremvericadasexperimentalmente. Parafazercontatocom

osexperimentos envolvendooscupratos, aplicamosomesmoformalismoparaocasoemque a

fasedelistraséderretidapelasutuaçõeselásticas,dandoorigemaumordenamentonemático.

Demonstramos a existência de uma relação linear entre a anisotropia da condutividade e o

parâmetrode ordem nemático, oferecendo uma explicação mais simplese mais intuitiva para

asua ocorrência do que a encontrada na literatura [17], onde são consideradas as utuações

quânticas,enãoclássicas,dasparedesdaslistras.

Ainda neste capítulo, o mesmo formalismo geral da expansão perturbativa da

condutivi-dadede uma redede resistorescorrelacionados éusadopara investigarumoutro problema, a

saber,a classede universalidade datransição de Mott térmica, associada aisolantes de Mott

não-dopados. Este problemafoi propostopelo Prof. Dr. Joerg Schmalian, doLaboratóriode

Ames, na ocasião domeu estágiode doutorado sanduíche no exterior,e realizado em

colabo-raçãocom o grupoliderado pelo Prof. Dr. Eduardo Fradkin, da Universidade de Illinois em

Urbana-Champaign. Atemperaturasnitas,osisolantesdeMottnão-dopadostambémpodem

formar fases inomogêneas, mas que não estão organizadas em listras ou em qualquer outro

padrão. Apesar de haverinterações competitivas neste problema, asescalas de comprimento

associadasaelasnão sãomuitodiferentes -primeirosvizinhosparaotermodehopping elocal

para o termo de Hubbard. Usando resultados de investigações teóricas prévias, descrevemos

atermodinâmica da fase inomogênea ao longo da linha de coexistência, formada porregiões

metálicaseisolantes,porumparâmetrodeordemdeIsing. Emseguida,mostramosque, perto

do ponto crítico, a condutividade macroscópica do sistema depende não só da magnetização,

mas também do comportamento singular da densidade de energia, dando origem aum

com-portamento decrossover. Depossedestes resultados, revisitamosexperimentosrecentes sobre

medidas de condutividade em sistemas bi e tridimensionais próximos da transição de Mott,

mostrandoqueosexpoentesnão-convencionaisporeles obtidospodem,de fato,seratribuídos

àclassedeuniversalidadedeIsing. Apesquisaenvolvidanocapítulo3resultouemdoisartigos

[18,19],sendoqueoprimeirojáestápublicadoeosegundoestásubmetidoparapublicação.

Porm,ocapítulo4trazasconclusõesgeraisdatese,bemcomoasperspectivaspara

inves-tigaçõesposteriores. Quatroapêndicesesmiuçamconceitosque foramapenas tangenciadosno

textoprincipal,asaber: atransiçãodeKosterlitz-Thouless,intimamenterelacionadaàexcitação

aqualpodemserobtidasHamiltonianasefetivasdeGinzburg-LandauapartirdeHamiltonianas

microscópicas (Apêndice B); o cálculoda largura das paredes de domínio de Néeldos blocos

ferromagnéticosdipolaresnitosatravésdaminimizaçãodaenergiatotal(ApêndiceC);omodelo

dasredesderesistoresaleatóriosnolimitedecontrasteinnito,cujaspropriedadesdetransporte

possuemumaíntimarelaçãocomaspropriedadesfractaisdoaglomeradopercolativoincipiente

O Modelo de Brazovskii

Neste capítulo, será introduzido o modelo de Brazovskii, no qual se fundamenta a maior

parte da pesquisa apresentada nesta tese. Trata-se de ummodelomínimo capaz de capturar

asprincipais característicasfísicasde umsistema cominteraçõescompetitivas,equetem sido

utilizado não sóno contexto desistemas fortemente correlacionados - objetos de investigação

deste trabalho- mas tambémna chamadaFísica daMatéria CondensadaMole, relacionada a

polímeros,microemulsõesecristaislíquidos. Apresentamos,noquesesegue,ascaracterísticas

geraisdomodelo, discutindosuaemergêncianadescriçãode sistemasde origenstãodistintas.

As propriedadesfísicas dos sistemas descritosporele serãocalculadaspela solução de campo

médioauto-consistentedaHamiltonianaefetiva,queforneceumcenáriosicamenteconsistente

ematematicamenteconávelparaseremdiscutidasasprediçõesmaisabrangentesdestemodelo.

Porm,serãoapresentadosincrementosaestaaproximaçãoatravésdainclusãodeoutrosmodos

de utuação usualmente presentes nesse tipode sistema - os chamados modos elásticos - e o

mecanismopeloqualelesalteramodiagramadefasesprevistopelo métodoauto-consistente.

1.1. Separação de fases e interações competitivas

Inúmerossistemas físicos apresentama tendência ase auto-organizaremem fases de

equi-líbrionãotriviais,ouseja,fasesquenãosãomeramenteuniformes,mascaracterizadasporuma

intrincada estrutura dedomínios de extensõesespaciais quevariamdaescalados nanômetros

à escala dos centímetros [1]. Por exemplo, em sistemas quase-bidimensionais, fases do tipo

listras (doinglêsstripes)surgememcompostosde óxidosde metaisdetransição dopados[20],

enquanto fases do tipo bolhas são observadas em lmes nos magnéticos sujeitos a campos

magnéticos externos [21]. Já no caso tridimensional, copolímeros de dibloco mostram fases

lamelares, cúbicas oucilíndricas com simetriahexagonal[22] e microemulsõesapresentam

es-truturaslamelaresdeauto-organização[23]. Alémdestes,váriosoutrossistemastêmestruturas

morfológicassimilaresàsdescritasanteriormente,tanto nodomíniodaFísicada Matéria

Con-densadaDura-porexemplo,lmesdesupercondutorestipoIeferrouidos-quantonodomínio

daFísicadaMatériaCondensadaMole-lmes deLangmuir,cristaislíquidos,uidossobuma

instabilidade de Rayleigh-Bénard(verreferênciascitadas em [1]). Uma interessantediscussão

sobreosparalelosentreestasduasgrandessub-áreasdaFísicadaMatériaCondensadapodeser

encontradaem[24].

Figura1.1. Fasestipolistras(esquerda)etipobolhascomsimetriahexagonal(direita)emumsistema

bidimensional. Coresclaras eescuras diferenciam domínios nos quaiso parâmetro deordem assume

diferentesvalores.

sistemas.Contudo,asestruturasmorfológicasobservadaspodemserclassicadasemumnúmero

relativamenterestritodepadrõesgeométricos: em duasdimensões,vericam-seprincipalmente

aexistênciadefasesdotipolistrasedotipobolhas,enquantoqueparasistemastridimensionais

aparecemas fases lamelares, as cilíndricas hexagonais e asesféricas cúbicas. Esta evidência,

portanto, apontapara uma origemfísica comumaestasestruturas dedomínios mesoscópicas.

Taluniversalidademorfológica,porassimdizer,éatribuídaàmanifestaçãodefasesmoduladas

resultantesdacompetiçãodeinteraçõesemdiferentesescalasdosistema.

Fisicamente, o que ocorre é que, enquanto uma interação forte de curto alcance tende a

separarosistemaemduasfasesmacroscópicasdistintasdemodoaevitaroaltocustoenergético

dacriação de paredes de domínios, uma outra interaçãomais fraca, porémde longo alcance,

tende a frustrar a formação destes extensos monodomínios. O resultado desta competição é

queafasedemenorenergianãoémaisauniforme,massim umestadomoduladocujoperíodo

característico é uma função monotonicamente decrescente da razão entre as magnitudes das

interaçõesfraca eforte. Assim, a separaçãode fasesem escala macroscópicadá lugar a uma

auto-organização em que as fases se alternam em escalas mesoscópicas. Neste contexto, as

estruturasdedomínios observadasexperimentalmenteediscutidas noparágrafo anteriornada

maissãoquemanifestaçõesdediferentestiposdemodulação. Porexemplo,asfasestipolistras

em

2D

e as lamelares em

3D

podem ser entendidas como as mais simples fases moduladas que osistema pode assumir, resultantes de uma modulação unidimensional do parâmetro de

ordem. Já as fases do tipo bolhas em

2D

ou as cilíndricas hexagonais em

3D

podem ser descritascomopadrõesde modulaçõesoriginadosdacombinaçãode múltiplosvetoresdeonda

demesmomódulo. A gura1.1ilustraalgunsdestesdistintospadrõesmorfológicos.Ficaclaro

queinúmeras fasesmetaestáveispodem surgirnesse cenário, abrindoinclusiveapossibilidade

deocorrênciadecomportamentosnão-ergódicosintrínsecosaosistema [25].

Matematicamente,omodelomaissimplescapazdeexpressaraenergiadeummicroestado

inomogêneodeumsistemacujafaseordenadaémoduladaécaracterizadopor:

H [φ] =

Z

d

d

x

"

τ

0

2

φ

2

_{(~x) + φ (~x)}

∇

2

+ q

2

0

2

8q

2

0

φ (~x) +

u

4

φ

4

_(~x)

#

,

(1.1)

em que

φ (~x)

denota o parâmetro de ordem,

q

0

é o módulo do vetor de onda descrevendo a modulaçãodafaseordenadae

τ

0

e

u

sãoparâmetrosassociadosàsparticularidadesmicroscópicas dosistema. Namaior parte doscasosde interesse,

τ

0

éuma funçãolinear datemperaturae,

referirmosàfunção

H

, chamá-la-emos deaHamiltonianade Ginzburg-Landaudo sistema [9]. Contudo, deve-se terem mente queela nãoéaHamiltonianamicroscópicapropriamentedita,

mas sim um funcional efetivo, resultante de uma expansãoem potências de

φ

, que fornece a energiadomicroestado

φ (~x)

emunidades daenergiatérmica

k

B

T

. Paraaexpansãoparticular (1.1),caevidentequeseestáassumindoumsistemacomsimetriaporinversões,eportantonão

há campos conjugadospresentes. Neste contexto,afunção departição

Z

do sistema éobtida atravésdaintegraçãofuncional:

Z =

Z

Dφe

−H[φ]

_.

(1.2)

Asoluçãoauto-consistentedaHamiltoniana(1.1),bemcomooseudiagramadefases,foram

estudadospioneiramenteporBrazovskiinocontextodecristaislíquidos colestéricos[8],motivo

peloqualvamos nosreferira(1.1)comoaHamiltonianadeBrazovskiidaquipordiante. Antes

deinvestigarmossuaspropriedades,vamosdiscutircomoelasurgenaturalmentenadescriçãode

uma variedadede sistemasfísicosdiferentes. Especicamente,focaremosnosóxidos demetais

de transição dopados [26], em lmes nos magnéticos com forte anisotropia uniaxial [6], nos

copolímerosde dibloco [7]enasmicroemulsões[27]. Todosessessistemas podem serdescritos

porumparâmetrodeordemescalar

φ (~x)

queassumediferentessignicadosemcadacaso: nos óxidosdopados,eledenotaautuaçãodadensidadedecargalocalemrelaçãoàdensidademédia,

de modoque

φ (~x) > 0

representauma região ricaem buracos, enquanto

φ (~x) < 0

representa umaregiãopobreemburacos. Noslmesnos,oparâmetrodeordemserefereàmagnetização

nadireçãodo eixoanisotrópico;já noscopolímerose nasmicroemulsões,ele estáassociadoàs

utuações, respectivamente, da fração de volume local de um dos monômeros e da fraçãode

volumelocaldamoléculapolar.

Conforme explicado anteriormente, a Hamiltoniana (1.1) surge de uma competição entre

umainteraçãofortedecurtoalcanceeumainteraçãofracadelongoalcance. Darazãoentreas

suasmagnitudeséquedependeoperíodocaracterísticodafasemodulada

d = 2π/q

0

. Aparte referente àinteraçãoforte podeserdescritaporumsimplesmodelo

φ

4

:

H

1

[φ] =

Z

d

d

x

 τ

0

2

φ

2

_{(~x) +}







~

∇φ (~x)







2

+

u

4

φ

4

_(~x)



_.

(1.3)

Fica claro que, para

τ

0

< 0

, a energia é minimizada por uma conguração uniforme, já que variaçõesespaciaisdo parâmetrode ordem custamenergiaao sistema, devidoà presença

do termo







∇φ

~







2

. Assim,no casode oparâmetrode ordemser conservado

R d

d

_{xφ (~x) = cte}

,

como ocorrenosóxidosdopados,noscopolímeros enasmicroemulsões,aHamiltonianaacima

prevêuma separaçãomacroscópicadasfasesenvolvidas,de modoahaverapenas uma parede

de domínio. Um exemplo bastante simples relacionado à experiência cotidiana é o caso da

mistura óleo-água, que pode ser encarada como uma microemulsão sem surfactante: o óleo,

formadopor moléculasapolares,separa-sedaágua,formadapormoléculaspolares,originando

um sistema bifásico bem denido. No caso dos copolímeros de dibloco, os dois monômeros

A

e

B

que compõem o copolímero também tendem a se separar em uma fase macroscópica rica em

A

e outra fase macroscópica rica em

B

, já que contatos

AB

possuem uma atração de van der Waals menor que a dos contatos

AA

ou

BB

. Já no caso dos óxidos dopados, os

portadoresdecargaintroduzidospelosdopantes(usualmente,buracos)delocalizam-seemuma

regiãoseparada daquela ocupadapelos spins localizadosdometalde transição,dando origem

a uma região fortemente condutora apartada de uma outra região com fraca capacidade de

conduçãoelétrica.

Na situação em queo parâmetrode ordem não éconservado, como noslmes magnéticos

comforte anisotropiauniaxial, osistema não possui nenhum vínculo adicional que o obrigue

acriar paredes de domínio, de modo que a tendência expressa por(1.3) para

τ

0

< 0

é a de umaúnicafaseuniformecomamagnetizaçãoapontandoparacimaouparabaixo,seminterface

alguma. Atransiçãodafasedesordenadaparaafaseordenadaéacompanhadaporumaquebra

espontâneadesimetria,jáqueoparâmetrodeordemescolhe arbitrariamenteumadireção,de

maneiraqueafaseordenadaperdeasimetriaporinversãoqueaHamiltoniana(1.3)possui 1

.

Enquanto a interação forte de curto alcance pode ser descrita por (1.3) para todos esses

sistemas, a interação fraca de longo alcance pode ser descrita, de uma maneira geral, pela

expressão:

H

2

[φ] = Q

Z

d

d

xd

d

x

0

e

−

|

~

x−~x

0

|

/ξ

D

φ (~x) φ (~x

0

₎

|~x − ~x

0

_|

n

,

(1.4) que corresponde, grosso modo, a uma interação de Coulomb blindada generalizada, em que

Q

é proporcional ao inverso da permissividade elétrica e

ξ

D

é o comprimento de blindagem. Analisemososignicado destes termo separadamentepara cada sistema: nosóxidosdopados,

a repulsão Coulombiana entre cargas de mesma espécie é quem frustra a separação de fases

ditada pela interação de curto alcance, já que o custo energético de uma fase com todos os

buracosconcentradosnamesmaregiãoseriamuitoalto. Assim,como

φ (~x)

denota autuação da densidade de carga local em relação à densidade média,

Q

pode ser interpretada como a magnitude da interação Coulombiana, e os parâmetros

n

e

ξ

D

assumem os valores

n = 1

e

ξ

D

→ ∞

.

Nocasodoslmesmagnéticosanisotrópicos,emque

φ (~x)

refere-seàmagnetizaçãouniaxial, asdimensõesnitasdolmefazemcomqueainteraçãodipolarentreosmomentosmagnéticos

sejasempre relevante. Sua tendência em desalinhá-los pode ser traduzida em uma tendência

emcriaromaiornúmeropossíveldeparedes dedomínios, frustrandoaexistênciadeumafase

uniforme,previstapor(1.3). Assim,nocontextodaexpressão(1.4),

Q

denotaarazãoentre as magnitudesda interaçãodipolare dainteraçãode troca, e osparâmetros

n

e

ξ

D

assumem os valores

n = 3

e

ξ

D

→ ∞

.

Já para ocasodasmicroemulsões, aadiçãode moléculas surfactantes àmistura óleo-água

frustraaseparaçãode fasesdevidoaosvínculosestequiométricosintroduzidospelas moléculas

anfílicas. Enquanto uma de suasextremidades -a hidrofóbica- prefereseligar àsmoléculas

deóleo, a outra extremidade, hidrofílica, prefere aligação comasmoléculas polaresda água.

Dessemodo,apresençadosurfactanteoriginaumainteraçãoefetivaatrativaentreasmoléculas

de óleo e de água, que pode ser expressa por (1.4). Nesta situação,

n

assume o valor

1

, a constante

Q

éproporcionalàfraçãode volumedo surfactantee

ξ

D

, aocomprimento médiode suasmoléculas. Vale salientarque, como

ξ

D

énito, estainteraçãoéde alcancemaisrestrito

1

que aquelas relacionadas aos sistemas anteriores, em que não havia blindagem propriamente

dita. Dequalquermodo,aindaassim, elaseestende porumaregião maiorqueainteraçãode

curtoalcancedescritapelomodelo

φ

4

.

Por m, no casodos copolímeros, a interaçãofraca de longo alcancesurge devido ao fato

de a molécula composta pelos monômeros

A

e

B

ser incompressível e possuir um ponto de ligação covalente. Os vínculosintroduzidos pela simples existênciadeste ponto originamuma

Hamiltoniana efetiva de interaçãorepulsivaentre monômeros de mesma espécie quepode ser

descrita pela mesma expressão (1.4),com

n = 1

,

ξ

D

→ ∞

euma constante

Q

proporcionalà fraçãodevolumemédiadosmonômeros.

Emtodosossistemasdescritosacima,oresultadodacompetiçãoentreastendênciasopostas

expressas por (1.3)e por(1.4) é osurgimento de uma fase modulada em detrimento de uma

separaçãodefases(oudeumafaseuniforme,nocasodeoparâmetrodeordemnãoser

conser-vado). Istopodeservistomaisdiretamente noespaçodeFourier: denimosatransformadade

Fourierdeumafunçãoqualquer

f (~x)

por:

f

~

q

=

Z

d

d

xf (~x) e

−i~

q·~x

,

(1.5)

demodoquesuatransformadainversaédadapor:

f (~x) =

1

(2π)

d

Z

d

d

qf

~

q

e

i~

q·~x

.

(1.6)

NoespaçodeFourier,aHamiltonianatotalassumeaseguinteforma:

H [φ] =

1

2 (2π)

d

Z

d

d

qφ

~

q

[τ

0

+ g (q)] φ

_−q

~

+

u

4 (2π)

3d

Z

d

d

q

1

d

d

q

2

d

d

q

3

φ

~

q

1

φ

q

~

2

φ

~

q

3

φ

−~

q

1

−~

q

2

−~

q

3

,

(1.7)

emqueacompetição entre asinteraçõesestáexpressaunicamente pela função

g (q) = g

1

(q) +

g

2

(q)

,quecontémumtermodevidoa

H

1

eoutrodevidoa

H

2

. Oprimeiroéobtidodiretamente domodelo

φ

4

,

g

1

(q) = q

2

, traduzindoatendênciadeosistemaminimizaraenergiaatravésda

formaçãodeumestadouniforme

q = 0

. Jáosegundotermodependedaformadainteraçãode longoalcanceemquestão;todavia,emtodososcasosdeinteresse,como umaboaaproximação

pode-se tomar

g

2

(q) = Qq

−n

0

, em que o expoente

n

0

_{∈ N}

depende das particularidades do

sistema. Assim,afrustraçãoéreetidapelofatodeestetermoassumirseumenorvalorapenas

quando

q

→ ∞

, oque corresponderia a um estadoinnitamente modulado. Na gura1.2, apresentamosocomportamentogeraldafunção

g (q)

comoresultadodasomadestesdoistermos individuais. Vale mencionar que, no caso em que

ξ

D

é nito, temos, na verdade,

g

2

(q) =

q

n

_{+ ξ}

−n

D

−1

, de modoque aaproximaçãodescrita anteriormente só éválidapara escalas de

comprimentomuitomenoresque

ξ

D

.

Logo, caclaroqueafunção

g (q)

daHamiltonianatotal(1.7)encontra oseumínimopara umvetordeondacommódulonãonulo

q

0

∼ Q

1

n0+2

,correspondendoaumestadomodulado. A

g

2

g

1

q

g(q)

0

q

Figura1.2. Função

g(q)

(linhasólidaemvermelho)daHamiltonianadeBrazovskiinoespaçodeFourier, equação(1.7),esuascomponentes

g

1

(q)

e

g

2

(q)

(linhaspontilhadas)referentesàsinteraçõesdecurtoe

longoalcance,respectivamente.

q

_y

q

_x

q

₀

Figura1.3. Superfíciedemínimaenergia

q = q

0

daHamiltonianadeBrazovskii,representadanoespaço deFourier. Porsimplicidade,mostramosocasobidimensional.

édescrita,portanto,porumcírculo deraio

q

0

, conformeesquematizadonagura1.3. Através daexpansãode

g (q)

emsériedeTaylor,

g (q) = g (q

0

) +

1

2

(q

− q

0

)

2

 d

2

g

dq

2









q

0

,

(1.8)

torna-seevidente queaHamiltonianaassumeaforma(1.7),apósconsiderarmosasimetriado

sistemaporinversõesdoparâmetrode ordem, alémde realizarum re-escalamentoapropriado

doscamposedoparâmetro

τ

0

proporcionalàtemperaturareduzida. Neste contexto,podemos expressaras diversas estruturasmorfológicas discutidas anteriormente: afase tipolistras e a

faselamelarcamdescritaspor:

hφ

~

q

i =

A

(2π)

d

[δ (~

q

− q

0

ˆ

n) + δ (~q + q

0

n)]

ˆ

óxidosdemetais de transição dopados [28] lmesnos magnéticos[6] copolímeros de dibloco[7] microemulsões [27] parâmetro de ordem utuaçãona densidadedecarga local magnetizaçãoao longodoeixode anisotropia utuaçãona fração de volumedo monômero

A

utuaçãona fraçãode volumeda moléculapolar origemda interaçãoforte (curtoalcance) interação antiferromagnética entrespins localizados + delocalização dos portadores interaçãodetroca contatos

AB

energetica-mentemais custososque contatos

AA

e

BB

(vander Waals) repulsãoentre moléculas polarese apolares origemda interaçãofraca (longoalcance) repulsão Coulombianaentre osportadores introduzidospelos dopantes interaçãodipolar magnética vínculosdevido aopontode ligação covalente; incompressibil-idade vínculos este-quiométricos introduzidos pelasmoléculas anfílicasdo surfactante fasestípicas listras;tabuleirode xadrez listras;bolhas lamelar; esféricacúbica; cilíndrica hexagonal; lamelar

Tabela1.1. Principais características dosquatrosistemas discutidosnestaseção: signicadofísico do

parâmetro de ordem

φ (~

x)

, origemda interação fortede curtoalcance, origem dainteraçãofraca de longoalcanceefasesmaiscomunsencontradasnestessistemas.

emque

A

éaamplitudedoparâmetrodeordeme

n

ˆ

éumversorparaleloàdireçãodemodulação. Jáafasetipobolhaseafasecilíndricahexagonalsãoexpressaspor:

hφ

~

q

i =

A

(2π)

d

3

X

i=1

[δ (~

q

_{− q}

0

n

ˆ

i

) + δ (~q + q

0

n

ˆ

i

)]

hφ (~x)i = 2A

3

X

i=1

cos (q

0

n

ˆ

i

· ~x) ,

(1.10)

emqueacondiçãoadicional

3

P

i=1

ˆ

n

i

= 0

devesersatisfeitapelosversores.Atabela1.1apresentaas principaiscaracterísticasdosquatrosistemaspormenorizadosnestaseção,asaber: osóxidosde

metaisdetransiçãodopados,oslmesnosmagnéticosfortementeanisotrópicos,oscopolímeros

dediblocoeasmicroemulsões.

1.2. Transições de primeira ordem induzidas por utuações

associadas aeste modelo. Antes de enveredarpor uma solução propriamente dita da

Hamil-toniana, vamos abordar seus aspectos mais gerais de forma qualitativa. O modelo prevê a

existênciade uma fase ordenada modulada a baixas temperaturas. A principal pergunta que

surge,então, éacercadocaráter datransiçãoentre afasedesordenada(altastemperaturas)e

estafasemodulada(baixastemperaturas).

Atentativamaissimplesdeseresponderessaquestãoconsisteemusarumaabordagemde

campomédio, que,basicamente,equivaleasubstituir o parâmetrode ordemda Hamiltoniana

(1.1) pelo seu valor médio na fase modulada. De uma maneira mais rigorosa, este método

consiste em fazer uma aproximação de ponto de sela no cálculo da função de partição (1.2),

tomando apenas a contribuição dominante do estado de menor energia

hφ

0

i

no cômputo da integralfuncional:

Z = e

−H[hφ

0

i]

₌

⇒

F =

_{− ln Z = H [hφ}

0

i] .

(1.11)

Porsimplicidade, focaremosna fasede listras somente, descrita por (1.9). A substituição

destaexpressãonaHamiltonianadeBrazovskiiforneceaseguinte energialivre:

F = τ

0

A

2

+

3u

2

A

4

_,

(1.12)

emqueassumimosoparâmetro

u

positivoeoparâmetro

τ

0

proporcionalaumacerta tempera-turareduzida

τ

0

∝

T −T

c

T

c

,demodoqueele possa mudardesinalaosevariaratemperaturado

sistema. Aenergiaassumeseusvaloresextremosparaasseguintesamplitudes

A

:

dF

dA

= 0 =

⇒

(

A

0

= 0

A

_±

=

_±p−

τ

0

3u

(1.13)

Paradeterminaranaturezadospontosextremos,calculamosaderivadasegunda,obtendo:

d

2

_F

dA

2

=

(

2τ

0

para A = 0

−4τ

0

para A = A

±

(1.14)

Portanto, tem-se oseguinte cenário: para

τ

0

> 0

, correspondentea

T > T

c

, oúnico ponto extremo que existe é

A

0

= 0

, que é o mínimo global da energia livre. Ou seja, o estado desordenado

hφi = 0

éomaisestável. Contudo,para

τ

0

< 0

,correspondentea

T < T

c

,oestado desordenadonãoémaisummínimoglobal,masummáximolocal. Omínimoglobaldaenergia

livreé degenerado e ocorrepara osvalores simétricos

A

±

=

±p−

3u

τ

0

, correspondendoa uma faseordenadamodulada

2

. Exatamentenoponto

τ

0

= 0

,quecorrespondeàtemperatura

T = T

c

, aenergiadosdois estadoséa mesmaea amplitudeda fasemodulada assumeomesmo valor

queo correspondente àfase desordenada, ou seja,

A

±

= 0

. Portanto,

T

c

é atemperatura de transiçãodosistema. Alémdisso,comoomódulodoparâmetrodeordemvariacontinuamente

na transição de fase, trata-se de uma transição de segunda ordem. A gura 1.4 apresenta a

-

2

-

1

1

2

A

5

10

15

20

25

30

F

-

2

-

1

1

2

A

5

10

15

F

-

2

-

1

1

2

A

-

2

-

1

1

2

3

4

F

Figura 1.4. Evolução do perl da energia livre

F

(1.12), apresentada em função da amplitude do parâmetro de ordem

A

, com a diminuição da temperatura do sistema. A seqüência corresponde a:

T > T

c

(grácosuperioràesquerda),

T = T

c

(grácosuperioràdireita)e

T < T

c

(grácoinferior).

evoluçãodoperldaenergialivreao sediminuir atemperaturadosistema,enquantoagura

1.5mostracomoaamplitudedoparâmetrodeordemvariacomatemperatura.

Portanto, a abordagem de campo médio prevê uma transição de segunda ordem entre a

fase desordenadae afase modulada. Neste ponto, vale falar umpouco mais sobre transições

de segundaordem: a mais importante propriedade delas reside no caráter universal dos seis

expoentes críticosque acaracterizam,denidos abaixo (omitimos osubscrito datemperatura

reduzida

τ

0

parasimplicaranotação):

-

6

-

4

-

2

0

2

4

6

Τ0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

A

Figura 1.5. Módulo daamplitude doparâmetro de ordem

A

emfunção datemperatura reduzida

τ

0

previstopelaenergialivredecampomédio(1.12). Umatransiçãodesegundaordemocorrepara

τ

0

= 0

,

ξ (τ, h = 0)

_{∼ τ}

−ν

_{φ (τ, h = 0)}

_{∼ |τ|}

β

φ (τ = 0, h)

_{∼ h}

1/δ

χ (τ, h = 0)

_{∼ τ}

−γ

C (τ, h = 0)

_{∼ τ}

−α

_{χ (x}

_{→ ∞, τ = 0) ∼ x}

2−d−η

_.

(1.15)

Nestas relações,

h

é ocampoconjugado,

ξ

éocomprimento de correlação,

χ

éa suscepti-bilidade,

C

é ocalorespecícoe

d

éa dimensionalidadedo sistema. Estes expoentes não são independentes,poisestãorelacionadosporquatrorelaçõesdeescala:

α

= 2

− dν

β (1 + δ)

= 2

− α

2βδ

− γ = 2 − α

γ

= ν (2

_{− η) .}

(1.16)

AteoriadoGrupodeRenormalizaçãoelucidaocaráteruniversaldessesexpoentes,mostrando

queelesnão dependem dosdetalhesmicroscópicosdosistema,masapenas desua

dimensiona-lidade e do número de componentes do parâmetro de ordem. O embasamento físico desta

poderosa técnica, em poucas palavras,residena existênciade uma escalade comprimento do

sistemaquesetornainvariantenopontocrítico: ocomprimentodecorrelaçãodivergente

ξ

→ ∞

(paramaisdetalhes, ver[29],porexemplo).

Aabordagemdecampomédioutilizadaclaramentedesprezaasutuaçõesdoparâmetrode

ordem

δφ = φ

− hφi

aotomarapenasacontribuiçãodovalormédioparaocômputodafunção departição em (1.11). Demaneirageral, existem inúmerosmétodospara selevaremconta a

inuênciadessasutuações.Porexemplo,nocasodomodelo

φ

4

(1.3),podem-seusarastécnicas

doGrupodeRenormalizaçãoparademonstrarque,apesardeocaráterdatransiçãopermanecer

desegunda ordem, os expoentes críticos sofremalteraçõesem relaçãoaos valoresobtidos por

campomédioquandoadimensãodosistemaémenorquequatro(ver,porexemplo,[30]).

Contudo,nomodelodeBrazovskii(1.1)oespectrodeutuaçõesébastantediferentedaquele

domodelo

φ

4

: enquantonesteúltimoasexcitaçõesdemaisbaixaenergiasedãoapenasemtorno

do ponto

q = 0

no espaço de momentos, no primeiro elas ocorrem em torno da hiper-esfera

q = q

0

, como esquematizado na gura 1.3 anterior. Assim, há relativamente mais modos de excitaçãonomodelodeBrazovskii,indicandoquesuainuênciadevesermuitomaisdramática

do que no caso do modelo

φ

4

. A apresentação de métodos sistemáticos capazes de levar em

conta estasutuaçõessedará na próxima seção. Por ora, vamos noslimitar auma discussão

maisqualitativaacercadosresultados obtidosapósainclusãodessas utuaçõesno cálculoda

energialivre(1.12). Atravésdeummétodode campomédioauto-consistente pode-semostrar

queaenergialivreassumeaseguinte formaperturbativaempotênciasdaamplitude

A

[31]:

F = τ

R

A

2

+

u

R

4

A

4

₊

w

R

36

A

6

_,

(1.17)

-

4

-

2

2

4

Τ0

1

2

3

4

5

Τ

R

-

4

-

2

2

4

Τ0

-

1.0

-

0.5

0.5

u

R

-

4

-

2

2

4

Τ0

0.5

1.0

1.5

w

R

Figura1.6. Parâmetros

τ

R

,

u

R

e

w

R

daenergialivre(1.17)renormalizadospelapresençadasutuações doparâmetrodeordememfunçãodatemperaturareduzida

τ

0

.

temperatura reduzida

τ

0

na gura 1.6. Enquanto

τ

R

> 0

e

w

R

> 0

para qualquer tempe-ratura, oparâmetro

u

R

muda de sinal para uma temperatura

T

∗

ligeiramente abaixo de

T

c

, permanecendo negativo para

T < T

∗

. Esta mudança de sinal torna necessária ainclusão do

termodeordem

A

6

naexpressãodaenergialivre,jáqueeladevesersempreumafunçãolimitada

inferiormente. Vale salientar que uma equação idêntica éobtidaatravésde uma expansão do

potencialtermodinâmicoaoinvésdaenergialivre,conformedelineadoem[32].

Vamos agorainvestigarasprevisõessobreocaráterda transiçãodefasesegundoaenergia

livrecorrigidapelasutuações(1.17),comparandocomosresultadosobtidosanteriormentena

abordagemdecampomédio. Osextremosde

F

ocorrempara:

A

0

= 0

A

(1)

_±

=

_±





−3u

R

+ 3

q

u

2

R

−

4

3

w

R

τ

R

w

R





1/2

A

(2)

_±

=

_±





−3u

R

− 3

q

u

2

R

−

4

3

w

R

τ

R

w

R





1/2

.

(1.18)

Calculando aderivadasegundaobtemos:

d

2

_F

dA

2









A=A

0

= τ

R

> 0

,

d

2

_F

dA

2









A=A

(1)

_±

> 0

,

d

2

_F

dA

2









A=A

(2)

_±

< 0 .

(1.19)

-

2

-

1

1

2

A

1

2

3

4

F

-

2

-

1

1

2

A

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

F

-

2

-

1

1

2

A

0.05

0.10

0.15

F

-

2

-

1

1

2

A

-

0.02

0.02

0.04

0.06

0.08

F

Figura 1.7. Evolução do perl da energia livre

F

(1.17), apresentada em função da amplitude do parâmetro de ordem

A

, com a diminuição datemperatura dosistema. A seqüência corresponde a:

T > T

esp

(gráco superiorà esquerda),

T

trans

< T < T

esp

(gráco superiorà direita),

T = T

trans

(grácoinferioràesquerda)e

T < T

trans

(grácoinferioràdireita).

Assim,ospontos

A = A

(2)

±

correspondemamáximoslocaisenãoestãoassociados,portanto,

aestados estáveis do sistema. Como

τ

R

> 0

para qualquertemperatura, afase desordenada

A = 0

correspondea um mínimo da energia livre sempre. Entretanto, isto não signicaque estesejaomínimoglobal. Abaixodatemperaturacorrespondenteàcondição

τ

R

=

3u

2

R

4w

R

,aqual

denotaremospor

T

esp

,afasemoduladacujoparâmetrodeordemtemamplitude

A = A

(1)

±

passa

a ser também um mínimo da energia livre. Portanto, para

T

≤ T

esp

, o sistema possui três mínimoslocais: umem

A = 0

(fasedesordenada)eoutroduplamentedegeneradoem

A = A

(1)

±

(fasemodulada). Paradeterminarqualdeleséomínimoglobal,bastaencontraratemperatura

T

trans

paraaqual:

F



A

(1)

_±



= F (0) .

(1.20)

Substituindo as expressões (1.18), obtemos que a temperatura

T

trans

equivale à condição

τ

R

=

9u

2

R

16w

R

. Dessemodo,para

T > T

trans

,omínimoglobaldaenergialivrecorrespondeàfase desordenada

A = 0

, enquanto para

T < T

trans

ele correspondeà faseordenada

A = A

(1)

±

. A

gura1.7 apresentaaevoluçãodoperldaenergialivrecomadiminuição datemperaturado

sistema.

Apartirdestes resultados,podemoscomporoseguintecenário: para

T > T

esp

,aúnicafase estáveldo sistema éa desordenada. Para

T

trans

< T < T

esp

, há duas fasesem coexistência, sendoqueadesordenadapermanecesendoademenorenergia. Nesteintervalodetemperaturas,

-

6

-

4

-

2

0

2

4

6

Τ0

2

4

6

8

10

12

14

A

Figura1.8. Móduloda amplitudedoparâmetro deordem

A

emfunção datemperaturareduzida

τ

0

, previsto pela energia livre renormalizada pelas utuações (1.17). Umatransição de primeira ordem

ocorrepara

T = T

trans

quandoatemperaturaévariadaadiabaticamente.

limitedemetaestabilidade

T

esp

édenominadadeespinodal. Para

T < T

trans

,afaseestáveléa modulada,enquantooestadodesordenadopassaaserumafasemetaestável.Casoatemperatura

do sistema seja diminuída adiabaticamente, atransição da fasedesordenada para a ordenada

dar-se-á em

T = T

trans

, razão pela qual ela é denominada temperatura de transição. Como

A

(1)

_±

_{6= 0}

para qualquertemperatura, inclusive

T

trans

, atransição defase éacompanhadapor umadescontinuidadenaamplitudedoparâmetrodeordem,comomostradonagura1.8. Assim,

trata-se de uma transição de primeiraordem. É importante notar que, neste casoparticular,

nãoháumatemperaturaespinodalparaafasedesordenada,ouseja,elaésempremetaestável.

Na prática, efeitos dinâmicos de nucleação não incluídos nesta abordagem determinam uma

temperaturaapartirdoqualoestadodesordenadonãoémaisacessível[32].

Ao contrário das transições de segunda ordem, as de primeira ordem não apresentam

ca-racterísticas universais. Entretanto, algumas propriedades gerais são comuns a todas elas.

Conformeexplicado anteriormente,anão serqueatemperatura dosistema sejavariada

adia-baticamente,nãoépossívelsedeterminaruma temperaturadetransição bem denida,devido

àpresençadeumintervalodetemperaturasnoqualhácoexistênciadefases. Estefenômenodá

origemainteressantesefeitosdenão-equilíbriodosistema,omaisnotáveldelessendoahisterese,

queseráabordadacommaisdetalhesnaseção2.6.

Portanto, notamos que a transição de segunda ordem prevista pela abordagemde campo

médio aplicada ao modelode Brazovskiié frustradapelas utuaçõesdo parâmetrode ordem,

dando origem a uma transição de primeira ordem. Neste caso, diz-se que esta transição de

primeira ordem é induzida por utuações [33]. Além dos sistemas descritos pelo modelo de

Brazovskii, outros sistemas também sofrem uma transição de primeira ordem induzida por

utuações,masatravésdemecanismosdistintosdo queoapresentadoaqui. Exemplos detais

sistemas são estruturas antiferromagnéticas do tipo I ou do tipo II, em que o mecanismo da

transiçãoestá associadoaoelevadonúmerodecomponentes doparâmetrodeordem, ecristais

1.3. Solução de campo médio auto-consistente do modelo de

Brazovskii

Conformeexplicado naseção anterior, asutuaçõesdoparâmetrode ordemdomodelode

Brazovskiiinduzemumatransiçãodeprimeiraordementreafasedesordenadaeafasedelistras.

Nesta seção, vamos apresentar um método analítico que, apesar de relativamente simples, é

capazdefornecerresultadossatisfatóriosacercadatemperaturaespinodaldoestadoordenado,

datemperaturadetransiçãoedodiagramadefasesreferenteàHamiltoniana(1.1).

Umagrandezafundamentalnaanálise docomportamentocríticodeumsistema éafunção

decorrelaçãoconectada:

G (~x, ~x

0

_{) =}

_{h(φ (~x) − hφ (~x)i) (φ (~x}

0

₎

_{− hφ (~x}

0

₎

_i)i

G (~x, ~x

0

) =

_{hφ (~x) φ (~x}

0

)

_{i − hφ (~x)i hφ (~x}

0

)

_{i ,}

(1.21)

aqual mede ograu de correlação entre asutuaçõesdo parâmetrode ordem em dois pontos

~x

e

~x

'. Emumsistema comsimetriaportranslaçõesespaciais,estafunçãodependeapenasda distânciarelativa

|~x − ~x

0

_|

entreestespontos. UsandoosconceitosbásicosdeFísica Estatística

(ver, por exemplo, [9]), mostra-se que, para uma Hamiltoniana qualquer

H [φ]

, esta grandeza podeserobtidaintroduzindo-seumcampoconjugadoauxiliar

h (~x)

:

H

0

[φ] =

_{H [φ] −}

Z

h (~x) φ (~x) d

d

x ,

(1.22)

etomando-seaseguintederivadafuncional dafunçãodepartição(1.2):

G (~x, ~x

0

_{) =}

δ

2

ln Z

0

δh (~x) δh (~x

0

₎









h(~

x)=0

,

(1.23) emque

Z

0

refere-seàHamiltoniana

H

0

quecontémocampoconjugado[9]. Paraocasoemque

aHamiltonianaéquadráticanoparâmetrodeordem:

H [φ] =

1

₂

Z

d

d

xd

d

x

0

φ (~x) A (~x, ~x

0

) φ (~x

0

) ,

(1.24)

oscálculospodemserefetuadosdiretamenteatravésdeintegraisfuncionaisgaussianas,fornecendo

oseguinteresultado:

G (~x, ~x

0

_{) = A}

−1

_{(~x, ~x}

0

_{) .}

(1.25)

Entretanto, em geral,existemtermos quárticosna Hamiltonianaque impedem umcálculo

analíticoda funçãodecorrelação,exigindoaaplicaçãodemétodosperturbativos. Dentreeles,

encontram-seexpansõesem

1/N

(emque

N

denotaonúmerodecomponentesdoparâmetrode ordem), métodos que usam as técnicasdo Grupode Renormalização eabordagensde campo

médioauto-consistentes.NoqueconcerneomodelodeBrazovskii,usaremosesteúltimométodo

quandocomparadocomsimulaçõesnuméricas[34, 35]. Conformeexplicado anteriormente,ele

foidelineadoprimeiramenteporBrazovskiiem [8].

Inicialmente,reescrevemosaHamiltonianadeBrazovskii(1.1)daseguinteforma:

H[φ] =

1

₂

Z

d

d

xd

d

x

0

φ (~x) G

−1

0

(~x, ~x

0

) φ (~x

0

) +

u

4

Z

d

d

xφ

4

(~x) ,

(1.26) em que

G

0

(~x, ~x

0

₎

denota a função de correlação nua (isto é, sem levar em conta o termo

quártico):

G

−1

0

(~x, ~x

0

) =

1

(2π)

d

Z

d

d

qG

−1

0

(~

q) e

i~

q·(~x−~x

0

₎

G

0

(~

q) =

1

τ

0

+ (q

− q

0

)

2

.

(1.27)

Agora,escrevemosoparâmetrodeordemdaseguinteforma:

φ (~x) =

hφ (~x)i + ψ (~x) ,

(1.28)

em que

ψ (~x) = φ (~x)

− hφ (~x)i

denotaautuaçãodoparâmetrodeordem, e,portanto, possui valor médio nulo

hψ (~x)i = 0

. Desse modo, ca evidente quea função de correlaçãotambém podeserescritacomo

G (~x, ~x

0

_{) =}

_{hψ (~x) ψ (~x}

0

₎

_i

. Substituindo(1.28)em(1.26), obtemos:

H[φ] = H[ψ] +

1

₂

Z

d

d

xd

d

x

0

hφ (~x)i G

−1

0

(~x, ~x

0

)

hφ (~x

0

)

i +

Z

d

d

xd

d

x

0

hφ (~x)i G

−1

0

(~x, ~x

0

) ψ (~x

0

)

+

u

4

Z

d

d

x

_{hφ (~x)i}

4

+ u

Z

d

d

x

_{hφ (~x)i}

3

ψ (~x)

+

3u

2

Z

d

d

x

_{hφ (~x)i}

2

ψ

2

(~x) + u

Z

d

d

x

_{hφ (~x)i ψ}

3

(~x) .

(1.29)

Retendo apenas os termos que contenham potências pares do campo de utuação

ψ (~x)

chegamosa:

H[ψ, hφi] =

1

₂

Z

d

d

_xd

d

_x

0

_{ψ (~x) G}

−1

0

(~x, ~x

0

) ψ (~x

0

) +

u

4

Z

d

d

_xψ

4

_{(~x) +}

3u

2

Z

d

d

_x

hφ (~x)i

2

ψ

2

_{(~x) .}

(1.30)

Otermolinearde(1.29)foidesprezadopois

hψ (~x)i = 0

. Jáajusticativaparasedesprezar o termo cúbico desta mesma expressão reside nofato de ovértice cúbico

hψψψi

ser pequeno comparado ao vértice quadrático

hψψi

, o qual fornece a função de correlação, que é nossa grandezadeinteresse.

No método auto-consistente de Hartree, transforma-seo termo quártico de (1.30),

ψ

4

, no

produto

ψ

2

_ψ

2



, obtendoassim uma Hamiltonianaquadrática noscampos

ψ

. Como existem seismaneirasdiferentesdeserealizarestacontração,obtemos: