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Comportamento termoelástico transiente no acoplamento de cilindros circulares concêntricos

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(1)

COMPORTAMENTO TERMOELÃSTICO TRANSIENTE NO ACOPLAMENTO DE CILINDROS CIRCULARES CONCtNTRICOS

ANTONIO ARLINDO GUIDETTI PORTO

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PUS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM crrNCIAS (M.Sc.)

Aprovada por:

RIO DE JANE! RP

ESTADO DA GUANABARA - BRASIL FEVEREIRO DE 1973

(2)

i

A minha esp·osa A minha filha

(3)

i i

A G R A V E C I M E N T O S

Ao insigne Professor Doutor Luiz Bevilacqua,da COPPE, pelo incentivo, dedicação e ensinamentos recebidos, pela efici-ente orientação da tese, o preito de profundo respeito e o tes-temunho da admiração do autor.

Ao Professor Doutor Djalma Rodrigues Teixeira Filho , da COPPE, pelo apoio e valiosas crTticas construtivas.

Ao Professor Doutor Antonio Luiz Adami, da Universida de de Bras1lia, pela indicação de outras referências bibliogrã-ficas e Üteis pontos de vista trocados.

A meu pai Doutor Arlindo Lopes Porto, pela revisão do manuscrito e incentivo.

Ao Centro de Processamento de Dados da Universidade de Bras1lia, na pessoa de seu ilustre Diretor, Professor Mareio Santos, pelo assessoramento na utilização do computador IBM-1130.

à COPPE/UFRJ, pelo suporte financeiro, em parte.

à Thereza G. Giacomo, funcionãria da Escola de Enge-nharia de São Carlos, da Universidade de São Paulo, pelo

(4)

exce-i exce-i i

lente trabalho datilogrãfico.

Finalmente, o autor agradece aos que direta e indire-tamente contribuiram para a realização deste trabalho.

(5)

i V

S I N O P S E

O presente trabalho fundamentalmente, compreende: cálculo do deslocamento no contorno interno de um cilindro cir cular oco produzido por um campo transiente de temperatura e cálculo da tensão normal transiente na interface do acoplamen-to de dois cilindros circulares sob efeiacoplamen-to têrmico.

Neste estudo admite-se que o material dos cilindros seja homogêneo e isotrõpico e obedeça ã lei de Hooke. Não e considerado acoplamento termodinâmico entre deformação e temp~ ratura e o problema ê analisado com comportamento quase-estát~ co.

(6)

S Y N O P S I S

The fundamental scope of this dissertation can be summarized in two itens:

a) determination of the displacement at the inter-nal boundary of a hollow circular

under a transient temperature field.

cylinder ,

b) determination of the coupling stress betweem a cilinder with radius "a" fitted into a hollow cilinder with radii "a'' and "b", under a trans-ient temperature field.

It is assumed that both cylinders are homogeneous, isotropic and follow Hooke's law for elastic materials.

Strain-temperature coupling is disregarded and the analy~is assumes quasi-static behavior.

(7)

Simbolo A Ai(i=l,2) a SIMBOLOGIA Definição Dimensão

Valor dependente da condição de contorno para deslocamento ou tensão.

Valores dependentes da condição de contorno para deslocamento ou tensão.

Raio interno do cilindro.

Coeficiente de dilatação linear. Raio do cilindro no item 3.3. an(n=l,2, .. ) Pêlos de função complexa. B

b

e

Valor dependente da condição de contorno para deslocamento ou ten sao.

Valor dependente da condição de contorno para deslocamento ou ten sao.

Raio externo do cilindro. L Valor dependente da condição de

contorno para temperatura.

(8)

Símbolo Ci(i=l,2) c c.(i=l,2) 1 ' D E e F F . . 1 F f G Gi(i=l,2,3) Definição

Valores dependentes da condi-çao de contorno para temperat~

ra.

Constante auxiliar. Constantes auxiliares.

Valor dependente da condição de contorno para temperatura. Valor dependente da condição de contorno para temperatura. MÕdulo de elasticidade.

Dilatação cübica.

Função usada para definição da transformada de Laplace.

Força de massa.

Transformada de Laplace de F.

Dimensão

Temperatura inicial.

e

Função auxiliar para cãlculo da inversa da transformada de Laplace da temperatura.

Funções auxiliares para o cãl-culo da inversa da transforma-da de Laplace transforma-da temperatura.

(9)

Símbolo i j Kn ( n =o , 1 , .. ) k Q. M Mi (i=l ,2,3,4) m N n nj (j=l ,2 ,3) Definição

Função de Bessel modificada de primeira especie de ordem

n.

Imaginãrio puro.

Função de Bessel de primeira especie de ordem n.

Expoente inteiro.

Função de Bessel modificada de segunda especie de ordem n. Constante auxiliar. Constante auxiliar. Constante auxiliar. Valores auxiliares. Constante igual a .; 1 +v ªt À+2µ1-v Limite superior de intervalo de tempo.

Ordem das funções de Bessel. Componentes do vetor unitário normal a superfície. Dimensão -1

a

T viii

(10)

Símbolo p p Q q R Res r

s

s T Ti(i=l,2) T Definição Função auxiliar .. Variãvel auxiliar. Função auxiliar. Variãvel auxiliar.

Raio do contorno de integração. Resíduo de função complexa. Coordenada radial.

Função auxiliar

Argumento da função transforma-da de Laplace. PÕlos. PÕlos. Dimensão Temperatura. 9 Temperatura inicial. 9 Temperatura ambiente. 9 Temperaturas. 9 Transformada de Laplace da temperatura.

Solução da equação diferen-cial homogênea.

Solução particular da equaçao diferencial.

(11)

Simbolo

Ti(i=l,2)

t

u

Definição Dimensão

Transformadasde Laplace das temperaturas.

Variãvel tempo.

Constante indicativa de tem-po.

Função auxiliar. Deslocamento radial.

T

T

uij (i ,j=l ,2,3) Componentes do deslocamento.

L L X Y n ( n =o , 1 , .. ) z (l

e

y yi(i=l,2) Variãvel auxiliar.

Função de Bessel de segunda espêcie de ordem n.

Variãvel auxiliar.

Representação das funções.de Bessel.

Coordenada axial.

Difusibilidade têrmica.

!ndice superior de integração. Constante real.

Função auxiliar.

(12)

Símbolo ó .. , J Eij (iJ=l ,2,3) T]

e

À À µ V p Definição Variável auxiliar.

Solução da equaçao dos pÕlos. Símbolo de Kronecker.

Deformação radial. Deformação axial.

Deformação tangencial.

Componentes do tensor tensão. Constante real igual a

lndice inferior de integração. Constante real.

Constante de Lamé.

Constante auxiliar na pg. 29. Solução da equação dos pÕlos. Constante de Lamé.

Constante de Poisson. Massa especifica.

xi

(13)

xii

Símbolo Definição Dimensão

0

rr Tensão normal. FL- 2

ªzz Tensão axial. FL- 2

ªcpcp Tensão tangencial. FL- 2

ºij(i ,j=l ,2,3) Componentes do tensor tensão. FL- 2

(14)

Xi i i 1 N V I C E AGRADECIMENTOS . . . • . . . i i SINOPSE SYNOPSIS SIMBOLOGIA

...

i V V vi INDICE •...•... Xlll CAPITULO I - I NTRO DUÇ)\O . . . .. . . • . . . 1 CAPITULO II - RELAÇÕES BllSICAS E EQUAÇÕES DA TERMO

ELASTI-CIDADE . . . 4 2.1 - Equações Gerais

2.2 - Equação para o Estado Plano de Defor-mação em Coordenadas Cilíndricas e no

4

Caso de Simetria Axial ... ... 6 2.3 - Equação da Condução do Calor

CAPITULO III-PROBLEMAS QUASE-ESTllTICOS

3.1 - Resolução da Equação do Deslocamento

8

9

Radial • . . . . .. . . .. . . .. . . 9 3.2 - Deslocamento do Raio Interno de um Ci

lindro Circular Oco Devido Unicamente a um Campo de Temperatura ... 10

(15)

3.3 - Tensão Normal na Interface de dois Ci lindros Circulares em Contato Devido

Xi V

a um Campo de Temperatura ... 13

CAP1TULO IV - CAMPOS TRANSIENTES DE TEMPERATURA EM COORDE NADAS CIL1NDRICAS . . . 22

4.1 - Resolução da Equação da Condução do Calor

...

"

... .

22

4.2 - Campo de Temperatura em Cilindro Cir-cular Oco . . . .. . . 24

4.3 - Campo de Temperatura em Dois Cilindros Circulares de Mesmo Material em 1nti-mo Contato

...

CAP1TULO V - DESLOCAMENTO NO RAIO INTERNO DE UM CILINDRO CIRCULAR OCO QUE SE OBTtM QUANDO SE APLICA UMA TEMPERATURA CONSTANTE NO CONTORNO INTER 32 NO . . . 4 6 CAP1TULO VI - TENS)\O NORMAL NA INTERFACE PRODUZIDA PELO A COPLAMENTO DE DOIS CILINDROS CIRCULARES ... 51

6. l - Determinação da Tensão Normal ... 51

CAP1TULO VII-CONCLUSÕES . . . 60

TRABALHOS FUTUROS . . . 67

(16)

xv APtNDICE II . . . .. . . • . . . 74 APtNDICE III APENDICE IV

...

78 80 REFERtNCIAS BIBLIOGRÃFICAS ... 92

(17)

1

CAPITULO I

INTROVUÇÃO

A termoelasticidade descreve o comportamento dos cor-pos elãsticos sob a influência de camcor-pos gradientes de tempe-ratura. As equações gerais que ligam tensões, deformações e temperaturas são muito complexas, uma vez que o campo de temperatura depende termodinamicamente da variação da dilata-ção e vice-versa, alêm de, em altas temperaturas, o material se comportar de forma diferente quer elãstica quer termicamen-te. O acoplamento de deformação com temperatura pode ser for-mulado do seguinte modo: aplicando-se cargas no sólido surgi-ra um campo de tempesurgi-ratusurgi-ra e um campo de temperatura produzi-ra um campo de deformação [l], [2].

Quando as deformações, temperaturas e variações de temperatura forem pequenas as expressões que relacionam tensão com deformação e temperatura podem ser linearizadas. O calor produzido no corpo devido as deformações pode ser despre-zado, desde que não seja um caso de choque térmico, o qual o-casionarã uma mudança brusca de temperatura na superfície do sólido. Com essas considerações tem-se um desacoplamento en-tre deformação e temperatura, o que significa que a

(18)

determina-2

çao do campo de temperatura é calculado independentemente das variações de deformação. Ainda com pequenas variações de tem peratura pode-se desprezar o efeito de forças de inércia des-de que não seja problema vibratório ou des-de propagação des-de ondas. Concluindo significa uma termoelasticidade de pequenas defor-mações, de baixas temperaturas e de pequenas variações de tem peratura [l], [2].

Os problemas analisados neste trabalho sao do tipo -desacoplado, sem considerar forças de inércia.

O objetivo principal da tese é a determinação das ten soes que surgem na interface do acoplamento de um cilindro oco com um maciço. Tal acoplamento é obtido aplicando-se uma tem-peratura constante no contorno interno do cilindro oco, duran-te um certo duran-tempo, de tal modo que o cilindro maciço entre sem folga dentro daquele. Logo após surgirã um regime transitório de temperatura o que ocasionarã um transitório de tensões nor-mais na interface.

A determinação dos campos de deslocamento e de tensão pode ser realizada através do uso do método de V.M. Maysel. A qui não foi usado este processo pois os casos que são analisa-dos apresentam simetria axial e a integração direta da equação dos deslocamentos é bastante fãcil.

(19)

3

Dentre os vãrios processos útilizados para a integra-çao da equação da condução do calor aqui foi feito uso da transformada de Laplace.

(20)

4

CAPITULO II

RELAÇDES BÃSICAS E EQUAÇÕES VA TERilOELASTICIVAVE

Seja um sÕlido elãstico homogêneo, isotrõpico sujei-to a um estado de tensão e deformação. Tal estado ê devido ã aplicação de pressões superficiais, de forças e massa e tambêm de um campo de temperatura.

Na termoelasticidade linear as equaçoes que relacio-nam tensões, deformações e temperaturas são chamadas de rela-çoes de Ouhamel-Neuman que são uma generalização

soes de Hooke da elasticidade isotêrmica.

2.1 - Equações Gerais

das

expres-A fim de nao sobrecarregar a tese com deduções longas que estão jã bem expostas em tratados clãssicos, segue-se um resumo das expressões fundamentais para o problema da termoe-lasticidade linear:

e: ..

, J

Equações de Duhamel-Neuman [l]: Deformação em função de tensão

= ªt T áiJ' + l + V[ a .. - --akkº·· i,j,k= V

J

E 1 J l +v 1 J

(21)

5

Tensão em função de deformação

( 2. 2)

Relações entre deformação e deslocamento [l]

e: .. = (u . . + u . . )

lJ 2 .l,J J,l i,j = 1,2,3 ( 2. 3)

Equações de compatibilidade geomÉ!trica

[l]

i,j,k, = 1,2,3 (2.4) ou Equações do movimento [l] a .. . + F 1. = pü1• 1 J 'J Condições de contorno [l] ªij nj = pi ui = gi Equações do deslocamento Substituindo as equaçoes 2. l i,j=l,2,3 ( 2. 5) i ,j = l , 2 , 3 ( 2. 6) [l] e 2.3 em 2.5 no

(22)

ca-6

so estático, temse três equaçoes que envolvem as três compo -nentes do deslocamento.

µ u . k k + ( À+µ ) u k k . + F . - ç T , i = O

1 > , 1 1 i,j,k = 1,2,3 (2.7)

A resolução de tais equaçoes juntamente com as condi-çoes de contorno determina o vetor deslocamento.

2.2 - Equações para o Estado Plano de Deformação em Coorde-nadas Cilindricas e no Caso de Simetria Axial

As expressoes em coordenadas cilindricas ficam bastan te simplificadas quando se tem a simetria axial e, como todos os problemas analisados neste trabalho apresentam tal simetria, seguem-se algumas expressões e equações sujeitas a esta restri ça o:

Equações de Duhamel-Neuman [1]

a = 2µ E + (Ãe - çT)

rr rr (2.8)

a~~= 2µ E~~ + (Ãe - çT) ( 2. 9)

a = Ãe - rT

(23)

7

Relação entre deformação e deslocamento [1]

(2.11) ar

(2.12)

r

=

o

(2.13)

Tensões função do deslocamento radial [1]

Substituindo as expressoes 2.11, 2.12 e 2.13 em 2.8 , 2.9, 2.10,chega-se a: (À + 2µ) aurr + À urr çT 0 rr = ar r

-

(2.14) À aurr (À + 2µ) urr çT a cp cp = - - +

-ar r (2.15) À aurr + À urr çT ªzz = ar r

-

(2.16) Equação do deslocamento [1

J

v2urr urr + 1 ae 2{l+v) ªt aT =

o

2 1 -2v ar 1 -2v ar r (2.17)

(24)

8

2.3 - Equação da Condução do Calor

A equaçao da condução em sõlidos homogêneos, isotrÕpl cos, sem acoplamento de temperatura e deformação e sem fonte interna de calor ê dada da seguinte forma [1]. [3],

[4], [5],

[6

J :

A tria a xi a 1 transforma 2 a 'íJ T -equaçao 2. 18 aT at =

o

em coordenadas de temperatura e independente em: a ( a 2T + _1_

-12_)

aT ar 2 r ar

-

at (2.18)

cilíndricas com sime-da coordenasime-da z se

(25)

9

CAP1TULO III

PROBLEMAS QUASE-ESTÃTICOS

Um campo nao estacionário de tensões, implica em um problema dinámico, isto é, deve-se levar em conta, em geral, a aceleração das partículas nas equações que governam o movimen-to. Se a variação das tensões no tempo for pequena essa acele ração pode ser desprezada. Quando se faz esta aproximação recaise numa classe particular de problemas denominados quase -estáticos.

3.1 - Resolução da Equação do Deslocamento Radial

Admitindo-se um campo de temperatura simétrico e in-dependente da coordenada z, obtém-se um campo de deslocamento do mesmo tipo, desde que nao hajam forças de massa.

A determinação dos deslocamentosé feita através da re solução da equação 2.17.

Depois de algumas transformações algébricas tal equa-çao se transforma em:

(26)

a

ar

[-1-r

1 O

-mT]=o ( 3. 1 )

Através de simples integração obtem-se a expressao do deslocamento:

= A(t) r +B{t) r -1 + m

i

r

-1

r n x T{x,t) dx ( 3. 2)

Os parâmetros A(t) e B{t) sao determinados através

das condições de contorno e a constante n pode ser escolhida convenientemente a partir da geometria do problema analisado.

Com a substituição do deslocamento dado pela 3.2 na

2. 14, tem-se a expressão da tensão normal:

[

-2

-2;r

= 2 . (A+ µ)A(t) - µr B{t)-µmr xT{x,t) dx] (3.3)

n

3.2 - Deslocamento do Raio Interno de um Cilindro Circular Oco Devido Unicamente a um Campo de Temperatura

O cilindro oco, de comprimento ilimitado de raios a

e b interno e externo respectivamente, estã sujeito somente

(27)

11

T(r,t)

Fig. 3.1

De acordo com a suposição acima, as condições de con-torno serão dadas por:

ºrr(a,t)=o ( 3. 4)

o rr ( b, t) = o ( 3. 5)

Escolhendo-se n = a na expressao 3.2 e aplicando-se as condições 3.4 e 3.5,chega-se a um sistema linear em A (t) e B ( t). -2 (À+µ) A (t) - µa B (t) = o (À+µ) A (t) - µb- 2 B (t) = µmb- 2

f,

T(,,t) d, a ( 3. 6)

(28)

12

Cuja resolução conduz a :

A(t) = µ m

1:

T(x,t) dx (À+µ) (b2-a2) ( 3. 7) B(t) a 2 m

f,

T (x,t) dx = (bz - az) ( 3. 8) a

Substituindo-se esses valores em 3.2,obtem-se odes-locamento radial dado por [1]:

• , [; i:

T(,,t)d, + 1

(i

+ 1!I.__ )fr(x,t)dxJ(3.9)

b2 2 -a r À+µ a

Para se determinar o deslocamento radial no raio inter no basta fazer r = a em 3.9, o que conduz a:

m (À+2µ) a

(À+µ) ( b 2 _ a 2)

JS.

T (,,t) d,

a

(3.10)

t

interessante determinar a variação do deslocamento no raio interno que se obtem quando se tem um campo genérico -de temperatura T (r,t) e um campo constante T. (temperatura am

1

-biente), para isso basta determinar o deslocamento para o cam-po Ti e subtrair do deslocamento dado pela 3. 10. Então para o

(29)

campo constante facilmente chega-se a:

urr (a,t) = m ( À + 2µ) a

2 ( Ã +µ)

(3.11)

Consequentemente, o deslocamento no raio interno to-mando-se como referência o deslocamento obtido

ã

temperatura am biente

e:

m (À+ 2µ) a

À + µ - .!_ 2

T.J

1 {3.12)

Ou expressando-se 3.12 em função da relação dos raios, do coeficiente de Poisson e do coeficiente de dilatação linear, vem:

j".

a

(3.13)

3.3 - Tensão Normal na Interface de Dois Cilindros Circula-res em Contato Devido a um Campo de Temperatura

Pretende-se determinar a tensão normal em regime tran-sitõrio na interface do acoplamento de um cilindro oco com um cilindro maciço. No instante inicial o cilindro maciço aloja-se aloja-sem folga dentro do cilindro oco de forma que a tensão

(30)

nor-14

mal na interface e nula. Neste mesmo instante a distribuição de temperatura nos dois cilindros e arbitrãria. E suposto tam bem que a superficie externa do cilindro oco esteja livre de tensões. Nessas condições a tensão normal na superfici e de co~ tato dependerã das distribuições transitõrias de temperatura nos cilindros, que surgem pela troca de calor através da inter face e pela troca de calor através do contorno externo com o meio ambiente.

Segue a dedução da tensão normal na interface.

Sejam dois cilindros infinitos de mesmo material sen-do que o cilindro maciço tem raio a

0 e o cilindro oco raios a e b, interno e externo respectivamente, em um estado natural, correspondente à temperatura T(r,t)=O, onde nãd haja nem defo~ mação nem tensão (Fig. 3.2). Note-se que neste estado natural os raios a e a

0 não são iguais. Mas a partir do instante i-nicial t = O e para qualquer t>O com a aplicação do campo de temperatura T

1 (r,t) no cilindro maciço e T2 (r,t) no cilindro oco os dois cilindros deverão se tocar.

(31)

1 5

Fig. 3.2

Então com a ap}icação dos campos T1 (r,t) e T2 (r,t) (Fig. 3.3),surge um campo de deslocamento e de tensão dados p~ las expressões 3.2 e 3.3,respectivamente.

(32)

l 6

Tem-se então as condições impostas ao problema:

1~ condição - No eixo do cilindro maciço deve-se ter deslocamento e tensão finitos.

Com esta imposição pode-se escrever as expressoes do deslocamento e tensão para a região O~ r ~ a

0 na seguinte for ma:

• ,,1tJ ' ' '

,-1

j',

o

r,

(x,t) dx = 2 {( À + µ) A l ( t) ( r -2 - µr X

r

1{x,t) dx} 1

lo

(3.14) {3.15)

Nesse caso as fÕrmulas 3.2 e 3.3, tem o coeficiente do termo r-l e n nulos.

Para a região a~ r ~ b as expressoes do deslocamento e tensão podem ser escritas da seguinte forma:

-1 -1

Jr

r +mr xT 2{x,t) dx

-2ª

-2(r

µB 2(t)r -µmr

Ja

xT 2(x,t)dx}(3.17)

(3. 16)

(33)

1 7

ve ser livre de tensões, portanto:

ªrr {b,t) = O {3.18)

3? condição - A superfície externa do cilindro maciço deve permanecer em contato com a superfície interna do cilindro oco, então:

(3.19)

4

ª

. con 1çao -d. - Na superfície de contato, deve-se ter a mesma tensão normal, dai segue que:

(3.20)

Como os deslocamentos sao pequenos segue que:

(3.21)

5?

condição - No instante inicial, isto e, para uma distribuição de temperaturas T1 {r,o) e

r

2 (r,o) a tensão nor-mal na interface deve ser nula, consequentemente:

(34)

18

Pela substituição de 3.14 e 3.16 em 3.19,chega-se em:

(3.23)

Como a·- a

0 a expressao 3.23 se transforma em:

a2A1

ltl

-a2A2

1tJ -

B2

1tl • - ,

f

,r

11,,,1,,

+ ,

1• - •,JIJ.241

o

Pode-se observar que a aproximação realizada nao im-plica em desprezar o termo em (a

grandeza dos demais da expressão

- a ) o

3.24,

pois este ê da ordem de uma vez que A

1(t),A 2(t) e B2(t), devem ser da ordem de grandez de (a - a0 ) , desde que a constante m seja suficientemente pequena (ver expressão 3.27 a 3.29).

Substituindo 3.15 e 3.17 em 3.21 e fazendo a mesma a-proximação como a feita em 3.23, tem-se:

l»,I

a

2

A1ltJ - IH,I

a

2

A

2

1tl

+

,B2

1tJ • ,,

;,:T

11,,t)d, 13251

Finalmente substituindo 3.17 em 3. 18, chega-se em:

-2 -2

J

b

- µb B2{t) = µmb xT

2(x,t) dx

a

(3.26)

(35)

19 2 2 a-a

[f

ª

j

b

l

A 1 (t)=µ(b 2-a )( o)+ 2 µm xT1(x,t)dx+ xT2(x,t)dx (3.27) ab (À+ 2µ) b {),+µ) a (À+µ) (ª~ªo) À+ 2µ o a

. 'j'.,,

(,,t) , , (3.29) Substituindo 3. 27 em 3.15, e 3.28 e 3. 29 em 3.17, de-terminam-se as tensões: Para O ,;; r < a \ 2 2 a-a

[fª

j

b

j

ªrr(r,t) = 2 µ(À+µ)(: -a)( o)+µ: xT 1(x,t)dx+ xT2 (x,t)dx-ab (À+ 2µ) b o a (3.30) Para a ;:. r ;:. b

(36)

20

(3.31)

Fazendo r +a na expressao 3.30 ou 3.31,tem-se a ten-sao na interface: 2 2 2 µ(À+µ) (b -a ) (a_ a ) _ o (À + 2µ) ab2 [ ' 2 , ; . , / ' , ,,

1,,t)d,1~,,1,.t)d,J

( 3. 32)

Da condição inicial no raio interno ªrr(a,O) = O de-termina-se a imposição que deve satisfazer os raios externo e interno na interface dos cilindros, isto é,determina-se (a-a

0 ).

Com o valor de (a-a

0) pode-se agora escrever a tensão norma 1 na interface.

{ '',; •' l/:T1

(,,o)d,

-j:T1

(,,t)d,J-- ~~ 2(,,o)d, (,,t)d,J-- [,,1,,t)d,]

(3.33)

(37)

elas-21

ticidade, do coeficiente de Poisson e do coeficiente de dilata çao 1 i near.

a ( a ' t ) = E a t

f ( ./ -

1 )

[1:

T 1 ( X ' o ) d X

-1:

T 1 ( X ' t ) d

J

-rr b{l-v)

l

J

-~:,,c,.,1,, -1.:,,c,.t1,,]]

(3.34)

Seja agora a tensão normal para um caso particular, que sera usado mais tarde, de distribuições iniciais de tempe-ratura:

T

1(r,o) = Ti (temperatura ambiente) (3.35)

(3.36)

Então chega-se em:

Ea t { 2

l

T. a 2

i

ª

J

ºrr(a,t) = 2 (-r - 1) 1 - xT 1 (x,t)dx -(1-v) b 2 0

-1/

:,e,

1,,

-/:,,e,.

q,,J

(3.37)

(38)

22

CAPTTULO IV

CAMPOS TRANSIENTES VE TEMPERATURA EM COORVENAVAS CILTNVRICAS

A determinação do campo transiente de temperatura g~ rado pela condução do calor em sÕlidos homogêneos, isotrÕpicos, sem acoplamento de temperatura com deformação, sem fonte inter na de calor, em coordenadas cilíndricas no caso de simetria ra dial e na independência da coordenada z ê dada pela resolu-ção da equaresolu-ção 2.19.

4.1 - Resolução da Equação da Condução do Calor

Seja T (r,t} solução da equaçao 2.19, admitindo-se que T (r,t} e ar/at sejam continuas para o, t , N e, de ordem ex-ponencial para t > N e que

a

2T/at2, seja seccionalmente conti-nua em o ;-, t ;-, N [7], então pode ser aplicada a transformação de Laplace nessa equação e definindo T como a transformada de T, obtêm-se: + r ar dr s a T = T (r,o) a

chamando q = (~s-}l/ 2 , chega-se a equaçao diferencial:

a

(39)

23

-+ _1_ ~ _ q2T = T(r,o) ( 4. 2)

r dr a

Uma vez que a equaçao diferencial 4.2 ê linear nao ho mogenea, a solução serâ a ·soma da solução geral da homogênea com uma integra 1 particular da não homogênea [8].

A equaçao homogênea ê uma equaçao de Bessel modifica-da de ordem zero [3], [9] cuja solução ê:

( 4. 3)

Pelo mêtodo da variação dos parâmetros determina-se uma integral particular de 4.2 [8], sob a forma:

( 4. 4) com /r Yl (qr) 1

l

xT(x,o) K 0 (qx)dx ( 4. 5) = a 1 'r y2 (qr) =

l

xT(x,o) I 0(qx)dx ( 4. 6) a n

(40)

24

Então a solução geral e:

( 4. 7)

O valor de n sera escolhido de acofdo com a geometria do problema.

Tendo assim o valor da transformada da temperatura,f~ cilmente determina-se a temperatura pela fÕrmula de inversão.

4.2 - Campo de Temperatura em Cilindro Circular Oco

Tomando-se o cilindro circular oco de raios a e b interno e externo respectivamente,

ã

temperatura ambiente Ti, e, se a partir de um determinado instante for mantida uma tem-peratura constante T

0 no contorno interno e, o contorno exter-no permanecer sempre

ã

temperatura ambiente, surgirã um campo transiente de temperatura o qual serã determinado a seguir (F! gura 4.1).

(41)

25 a Fig. 4.1 Condições de Contorno T (a,t) = T 0

(4.8)

T (b,t) = \ ( 4. 9) Condição Inicial T (r,o) = Ti (4.10)

Pela resolução da equaçao da condução do calor feita no item 4. 1, chegou-se na expressão da transformada da temper~ tura dada pela expressão 4.7. Uma vez que a temperatura ini-cial

e

constante, a integral particular, facilmente obtida,

e

(42)

26

tambem, constante e igual a \/s, o que pode ser verificado p~ la substituição desse valor na equação 4.1. Então a solução geral serã:

(4.11)

s

Aplicando-se a transformação de Laplace nas condições de contorno, chega-se a: - T T(a,s)

=

o (4.12) s T(b,s)

=

Ti (4.13) s

Pela substituição de 4.11 nas condições 4.12 e 4.13, tem-se o sistema linear em C e D.

(4.14)

(43)

27 K ( q b) T - T.

e

; o o 1 (4.15) I 0(qa)K0 (qb} - I0 (qb)K0 (qa) s - 1o(qb) T - T. D ; o 1 (4.16} I 0 (qa}K0 (qb) - I0(qb}K0 (qa) s

Substituindo os valores de

e

e D, dados·pelas expres-soes 4.15 e 4. 16 respectivamente, em 4.11, tem-se a transforma ção da temperatura:

+ (4.17)

O valor da temperatura ê obtida pelo cãlculo da inver sa de 4.17 dado pela fÕrmula Al.9 [7].

T(r,t) onde G( s) ; Ou seja: T. +(T -T.) 1

f

G

c,1.S',,

; 1 O 1 21T i K 0 (qb}I0 (qr}-I0 (qb}K0 (qr) s [1

0 (qa )K0 (qb }-I0 (qb) K0 (qa )]

(4.18)

(44)

28

Singularidades de G (s)est

- ( s )l/2

A funçao q = ~ e uma função plurívoca com dois ramos,

a .

- . ±111/2

entao seJa, q = pe

[11], [12].

- st

Substituindo esses valores de q em G(s)e , tem-se:

(4.20) Ko(pbe±irr/2)Io(pre±irr/2)-Io(pbe±irr/2)Ko(pre±irr/2) -p2at

=---=---_::

_____

___::__ ____

-=.. _ _ _ _ _ e 2 [I ( ± i rr / 2 ) K ( b ± i rr / 2 ) I ( b ± i rr / 2 ) K ( ± i rr / 2 )] -p a O pae O p e - 0 p e O pae

Através das fÕrmul as A2. 14 e A2. 15 [3], [9], e, faze~ do uma série de passagens algébricas, obtém-se a expressão:

Y 0 (pb)J0 (pr)-J0(pb)Y0 (pr) =

---=---='---=----=--- p 2 a [J 0 (pa )Y O (pb )-J0 (pb )Y O (pa)] 2 -p at e (4.21)

Isto indica que

G

(s)est e função unívoca apesar de q ser plurivoca.

(45)

29

Os pÕlos sao dados atravês da equaçao:

(4.22)

Onde s = o ê um pÕlo, os demais sao soluções da equa-çao transcendental dada a seguir:

s = (l ª2 Tomando q

=

(-s-)l/ 2

=

(l À a i1r /2 e , o que (4,23) implica que

À 2 e, fazendo uso das fÕrmul as A2. 14 e A2. 15 [3]

[9], a equaçao 4.23 se transforma em:

(4.24)

Tal equaçao tem infinitas raizes reais, Àn' dadas na Tab. A3. 1 [4].

Consequentemente sn = (l sao os demais pÕlos

de G(s), os quais sao sempre negativos.

(46)

30

sao pÕlos ,a inversa e dada pela soma dos residuos [3],

[7].

Como o integrando é da forma d a p e l a f õ rm u l a A 1. 1 4 , [ 3] .

P(s)

s Q ( s ) a inversa e

da-O residuo para s = da-O é:

Res (O) = R.im

s-+O s [K

0 (qb) I0 (qa )-I0 (qb )K0 (qa )]

Fazendo uso de A2. 18 e A2. 20 [3] , [9], tem-se:

b

-( R.n r

Res O ) =

-R. n T

Os demais residuos sao dados pela fÕrmula:

dQ sn (-)s=s ds n (4.25) (4.26) (4.27)

Usando as expressoes A2. 14 e A2.15 [3], [9] chega-se em:

(47)

31

(4.28)

Efetuando-se a derivação (_iÇ_)s=s e, usando as expressoes ds n

A2.7, A2.8, A2.14 e A2.15 [3], [9], então obtem-se:

(4.29)

a 1T

( - - )

2a

"n

2

Fazendo uso da equaçao dos pÕl os 4. 24 e da A2. 16 [ 9

J,

a expressao 4.29 se transforma em:

dQ

()s=s -ds n

1T

2

Consequentemente o residuo paras= sn' e:

(4.30}

Res(sn) = (4.31)

= 1T

/ 2À2t

J0 (Àn)J0 (TÀn)[Y0(TÀn)J0 (Àn/a r)-J0 (TÀn)Y0(Àn/a rll e-aª n J~(TÀn)-J~(Àn)

(48)

32

Então a expressao da temperatura sera:

b

T(r,t) - rr(T -T.) •

O 1

(4.32)

00

- ~ J0(Ãn)J0 (TÀn)[Y0 (TÀn)J0(Àn/a r)-J0 (TÀn)Y0 (Àn/a J;(TÀn)-J;(Àn)

n = l

4.3 - Campo de Temperatura em Dois Cilindros Circulares de Mesmo Material em Intimo Contato.

Os dois cilindros circulares de mesmo material, sendo que o maciço tem raio a e o oco raios a e b, interno e ex-terno respectivamente, estão em intimo contato (Fig. 4.2). O cilindro maciço apresenta inicialmente uma distribuição cons tante de temperatura, Ti enquanto o oco uma distribuição f (r) definida adiante.

r

suposto tambem que a superficie externa do cilindro oco tenha temperatura ambiente Ti. Com essas con-siderações passa-se a determinar o campo transiente de temper~

(49)

33 Fig. 4.2 Condições na interface

a

T l ( )r=a = :ir :JT2 ( )r=a :ir t > o (4.33) T1(a,t) = t > o (4.34)

A condição 4.33 relata que o fluxo de calor que atra-vessa a interface se faz na direção normal, uma vez que se tem o mesmo material e um perfeito contato térmico [3], [4].

A condição 4.34 indica a continuidade da temperatura na interface [3], [4].

Condição no contorno externo

(50)

34

Condição inicial

T1(r,o) =

T;

para o ~ r ~ a ( 4. 36)

para a ~ r ~ b (4.37)

A função f(r) sera dada pela expressao 4.32 para um instante t = t ' isto

e:

o onde Ml

=

M2

=

M3

=

n

=

1 T. + (To

-

Ti ) 1 n 1T 1 in T

-

Ti o R-n T (To

-

l;)

Jo (TÀn )Jo ( "n) J~ (TÀn)-J~(Àn) (4.38) b T (4.39)

(51)

35

O problema que estã sendo analisado e interpretado da seguinte maneira:

Inicialmente toma-se um cilindro, de raios a e b interno e externo respectivamente, ã temperatura ambiente Ti , aplica-se uma temperatura T

0 constante no contorno interno du-rante um intervalo de tempo t = t

0 , com isso a distribuição de temperatura serã dada pela 4.32. Agora introduz-se um cilin-dro, ã temperatura ambiente, de raio a, consequentemente sur girã um transiente de temperatura que tenderã ã temperatura am biente.

Note que tudo se passa como se fosse o cãlculo da dis tribuição de temperatura em um unico cilindro de raio b, com a condição de contorno 4.35 e condição inicial 4.36 e 4.37.

Então a expressao da temperatura para t > o na região

o~ r ~ a estendida na região a~ r ~ b, descreve o campo de temperatura nessa região. Isto quer significar que se pode a-penas determinar a expressão da temperatura para a primeira re gião, e, estendê-la para a segunda, evidentemente, porque am-bas as regiões são de mesmo material em intimo contato. O li-vro "Boundary Value Problems of Heat Conduction" [4], na pági-na 296, apresenta a distribuição de temperatura para as duas

(52)

36

regiões feita pelo processo de separaçao de variãveis para ma-teriais diferentes, e, pode-se observar que quando os materi~s são os mesmos as expressões das temperaturas são iguais.

Pela expressao 4.7 obtêm-se as fÕrmulas:

T;

para o ,,: r ,,; a (4.40)

s

Essa expressao nao envolve K

0 (qr), pois deve ser limi tada para r-+-o.

para a $, r ,r. b (4.41)

As expressoes de y1(qr) e y2(qr) sao tiradas de 4.5 e 4.6 fazendo n = a.

(4.42}

1

;r

--;-- xf(x)I0 (qx}dx (4.43}

(53)

37

Aplicando a transformaçio de Laplace nas condições de contorno vem: t > o (4.44) T1(a,s) = T2{a,s) t > o (4.45) - Ti T2(b,s) = s t > o (4.46) Substituindo 4.40 e 4.41 em 4.44, 4.45 e 4.46 e, fa-zendo uso de A2. 7 e A2.8 [3], [9], chega-se em:

(4.47)

T. I0{qb)C 2+K0 {qb)D 2=-y 1(qb)I0(qb)-y 2(qb)K0(qb)+~

Resolvendo o sistema 4.47 e usando a igualdade A2.17

(54)

38 T. Ti a q c1

=

1 [I0 (qb)K1(qa)+I1(qa)K0 (qb)] -s I0 (qb) s I 0(qb) y1(qb)I 0(qb)+y2(qb)K0 (qb) (4.48) I 0(qb) c2 T; T; a q I 1 ( q a ) K 0 ( q b )

-=

s I0 (qb) s I 0 (qb) Y] (qb) I 0 (qb )+y2(qb) K0 (qb) (4.49) I 0 (qb)

T;

a q º2

=

I 1 (qa) (4.50) s

Então substituindo 4.48 em 4.40, tem-se para o~ r ~ a

-T 1(r,s)

T;

a q [I O ( q b ) K 1 ( q a ) + 11 ( q a ) K O ( q b )] I O ( q r ) s I 0 (qb) T, +-1

s

(4.51)

(55)

39

A expressao da transformada para a região a~ r ~ b nao e necessãria pois a fÕrmula de T

1(r,t) tirada de 4.51, pela in versão, serã vãl ida para toda a região, o ~ r ~ b [4].

O cãlculo do campo de temperatura resume-se na deter-minação da inversa de 4.51.

Seguem-se os cãlculos das integrais que a expressao 4.51 apresenta.

Uma vez que f(x) e dada pela 4.38, e que a serie que aparece nessa função e uniformemente convergente [ld], pode-se escrever:

f

xf(x}K b b 0 (qx}dx = M1.jxK0 (qx}dx - M2 J.xtnxK0 (qx}dx -oo a a b (4.52) -M 3

\r~

/___ 4 [Y o (-rà n ) / : J (~x}K (qx)dx-J o a o o (,à n ) j x v (~x)K (qx}dx] o a o a n=l

Usando as fÕrmulas A2.23, A2.24 e A2.26 [9], c.hega-se

(56)

j

b Ml xf(x)K 0(qx)dx = - [bK1(qb) - aK1(qa)] + Q a M + - 2-[b2nbK1 (qb )-a2naK1 (qa )] q M2 + [ K (qb)K (qa)] -2 o o q 40

L

00 ~ 1 4 - M 3 2 2 2 [J1(,À )Y (,À )-J (,À )Yn o n o n 1(,À n )],À n K0(qb) -n = 1 Àn/a +q (4.53)

Fazendo uso da equação dos pÕlos 4.24 e da igualdade

A2.16 [9], tem-se o valor da integral.

j

b Ml xf(x)K 0(qx) dx = - -q-[bK1(qb)-aK1(qa)] + a M2 M2 + [b2nbK

1 (qb)-a2naK1 (qa)] + [ K (qb)K (qa)]

-q 2 o o q 00

L

M M 4 3 n = l À2/ 2+ 2 n a q 2 1T J 0(Àn)K0 (qb)-J0 (,Àn)K0 (qa) Jo(Àn) (4.54)

(57)

41

b

Cãlculo de xf(x)I (qx}dx

a o

Por raciocinio anãlogo ao cãlculo da integral 4.54, chega-se a:

M

- - 2-[btnbI1 (qb )-atnaI1 (qa)]+ M - 2 [I (qb}-I0 (qa)]-2 o q "' 2 1T q

J0 (Ãn}I0 (qb}-J0 (,Ãn}I0 (qa) Jo(Ãn)

( 4 . 5 5 )

Substituindo 4.54 e 4.55 em 4.51 e, utilizando as

4.39, obtêm-se o valor da transformada da temperatura:

- Ti

T1(r,s)=- +

s

aq[I (qb)K1(qa)+I1(qa)K (qb)1I (qr)

(T -T.) o o o + O 1 s I 0(qb} (4.56) [I O ( q a ) K0 ( q b )- K0 ( q a) I0 ( q b )] I O ( q r) (Ã~/a2+q2) I0 (qb}

(58)

42

Passa-se agora ao cãlculo da inversa.

A temperatura serã dada pela expressao abaixo uma vez que a serie apresentada em 4.56

e

uma serie uniformemente con-vergente [10]. T(r,t)=T.+(T -T.)-1- G1(s)estds+( 0 , )

f

T -T. l O l 211 i ,Q, n T (4.57) onde 61 ( s) = a q

[I

O ( q b ) K 1 ( q a ) + I 1 ( q a ) K0 ( q b ) ] I O ( q r ) (4.58) s I o (qb)

-

[I O ( q a) K0 ( q b) -K0 ( q a )I O ( q b)

J

I O ( q r) G2(s) = (4.59) s I 0(qb) G 3 ( s) = [I O ( q a ) K0 ( q b )- K0 ( q a ) I0 ( q b )

J

I O ( q r ) (4.50) (À~/a2 + q2) I 0 (qb)

Por raciocinio anãlogo a obtenção das singularidades

- - st

(59)

43

singularidades de

G

1 (s )est,

G

2{s )est pÕlos.

e -G3{s)e , sao apenas st

Todas as três funções apresentam pÕlos dados pela ex-pressao:

(4.61)

2 2 2

Note-se que Àn/a +q =o, nao constitui pÕlos pois o nu merador se anula também para esses valores de q e que essa

indeterminação apresenta limite finito.

Então pela 4.61 s=o ê um pÕlo, os demais sao obtidos fazendo q = (s/a) 1/2 = ó/a e i~/2 nessa expressao, conduzindo -assim a equação abaixo.

{4.62)

Tal equaçao apresenta infinitas raízes reais, ºm cu-jas cinco primeiras estão na Tab. A3.2 [41,

correspondentemen--1 - 2 2

(60)

44

As transformadas inversas sao obtidas seguindo têcni-ca idêntitêcni-ca

ã

usada no item 4.2, obtêm-se então:

00 ( 4.63) -1-.

f

0,1,1,'',,

= 2'111 (4.64) 00 ~ ~Jo(óm)Yo(Tóm)Jo(óm/a r) -a/a 2

o

2t = - R.nT + e m T ºm Jl(Tóm) m=l - 1

-f

8

3

1,1,",, •

2'11 i 00 ~

L

ºmJo(óm)Yo(Tóm)Jo(óm/a r) -a/a 2 02 t = e m T (À 2

-o

2 )J (To ) m=l n m 1 m (4.65)

Substituindo 4.63, 4.64,4.65 em 4.57, obtêm-se o cam-po de temperatura: 00 T(r,t)=T.+(T -T.) -'1T

I~

Jl (óm) + Jo(óm) + 1 O 1 T ómtnT m=l o, 2 2 À2 to

I

Jo(TÀm) e -a/a n ôllj Jo ( ô m)

(4.66) + 2 J;(,Àm) - J;(Àm) Àn2 ôm2 n = 1

(61)

Y 0 (,om)J0 (om/a r) Jl('om) -a/a 2

a

2 t ( e m

J

45

Fazendo uso da i gua 1 d ade A2. 16 [9] e da equaçao dos pÕlos 4.62, a expressao 4.66 se transforma em:

(62)

46

CAP!TULO V

VESLOCAMENTO NO RAIO INTERNO VE UM CILINVRO CIRCULAR OCO QUE SE OBTEM QUANVO SE APLICA UMA TEMPERATURA CONSTANTE NO CONTOR-NO I NT ER/10.

Aplicando-se uma temperatura constante no contorno i~ terno de um cilindro circular oco, este apresentarã uma distrl buição transiente de temperatura dada pela expressão 4.32, con sequentemente, surgirã um campo de deslocamento cujo valor do deslocamento para o raio interno serã dado pela 3.13.

= a (1 +

v)

ªt[~~-2

-2~-f~(x,t)dx - ri] a2 (T-l)a

Para se determinar este deslocamento e necessãrio re-solver a integral que aparece na expressão acima, onde T{x,t) e representada pela serie 4.32.

Admitindo-se convergência uniforme desta serie D~,PQ de-se escrever:

j

b xdx + M2

j

b xinx dx

(63)

47

( 5 . 1 )

Os valores de M

1, M2, M3 e M4, sao dados pelas expre~ soes 4.39.

Resolvendo-se cada uma dessas integrais, com a ajuda da fÕrmula A2.22, e com a substituição de M

1 ,M2,M3 e M4 ,obtêm-se: + (To-Ti)(·/-1) 4tnT 1 ( 5. 2)

Pelo uso da igualdade A2.16 [9], e da equação dos pÕ-los 4.24, chega-se a:

j',,1,,t)d, • ,

2 \

(64)

48

}

( 5. 3)

Substituindo 5.3 em 3. 13, tem-se a expressao do deslo camento no contorno r = a. a(l+v)at(T 0-Ti) urr(a,t)=~~~~~~~~ T2-l onde "' U(a,t) e 2 À2 t -a/a n = I À~

[1

+ Jo (Ãn

)j

n = l Jo(TÃn) ( 5. 4) ( 5. 5)

Atraves da fórmula 5.4, obtem-se a figura 5.1 por in-termedio do programa de computação 4. l ,do apendice IV. As cur-vas dessa figura representam grãficos do deslocamento no raio interno do cilindro em função do tempo, e para diversos valo-res da relação do raio externo pelo interno.

A figura 5. 2, representa o deslocamento no raio inter no do cilindro em função da relação dos raios,em regime perma-nente. Foi obtida através da expressão 5.4,fazendo a 5.5 igual a zero,pelo programa de computação 4.2, do apendice IV.

(65)

J

<:::::::::::_-_-_-_ --.

11- 2 - - -

_---_-_-_--_-_--1---~~[--~~~~~--~---~~I

o o 0,1 2 5 1 1 3,0 1 1 1 - - - !--- - ______ , ---~----=--1 . 1 1 1 ! - - - ' - - 1 - - - , 2 3 4 Ol t

(66)

e-' o . e-e

-::, ?> + ô' o 0,5 { t, o,5)

1

0,4 Ti 0,3 - - ( o o ; O ) O , t - l . - - - L - - - 1 - - - + - - - J . - - - i 10 20 30 40

FIG. 5 · 2 - DESLOCAMENTO NO RAIO INTERNO EM REGIME PERMANENTE

o 50 b ' [ , -º (.ll o

(67)

51

CAP!TULO VI

TENSÃO NORMAL ~A INTERFACE PROVUZIVA PELO ACOPLAMENTO VE VOIS CILINDROS CIRCULARES.

Jomando-se um cilindro oco de raios a e b interno e externo respectivamente, ã temperatura ambiente e, aplicandQ -se uma temperatura constante, T = T

0 no contorno interno, su~

girã um transiente de deslocamentos no raio interno dado pela 5.4. Se em um determinado instante t

torno T = T parar= a, for alterada

o

= t o ' a condição de con-para uma condição na in-terface, que se obtêm pela introdução de um cilindro maciço a temperatura constante Ti, perfeitamente ajustado ao cilindro oco, surgirã um novo campo de temperatura que provocara ten-soes na interface r = a, dadas por 3.37.

6.1 - Determinação da Tensão Normal

As expressoes da temperatura, para ambas as regiões , contidas na fÕrmula 3.37, são as mesmas e iguais a 4.67,em co~ sequência do estudo feito no item 4.3, logo a 3.37 se transfor ma em:

2

(68)

52

( 6 . 1 )

Onde f(r) é dado pela expressão 4.32 para t = t

0 , e,

o valor de jabxf(x)dx é dado pela 5.1, para t = t

0 , e os

de-mais termos devem ser calculados.

Cãlculo de ~:T(x,t)dx , (S = a,b)

Pela convergência uniforme de 4.67 llO] ,pode-se escre ver:

f

2 00

í

T.S 2 6 xT(x,t)dx=-1- + (T 0-Ti) - ~ [S(a,t) xJ (___.!!!_x)dx] • 2

2L

O

ª

O T m=] O ( 6. 2) onde: ·•m

J

(6 )

IJ

2(TÃ ) -o./a2 S(a,t)=[-J 1(6 )+ 0 m +26 J (6 ) 0 n e m m o m 6m tnT J2(TÃ )-J2(Ã ) o n o n n = l ( 6. 3)

(69)

53

Entãó com a ajuda da identidade A2.7 [3], [9], efetu~ se a integral acima. Apõs efetuar esta operação e substituin-do as expressões 6.2 com 13 = a,b, e, 5.1 em 6.1, e efetuando

-uma sêrie de passagens algêbricas chega-se na expressão da ten sao normal. Ea(T-T.)[ 2 ºrr(a,t) = - t o 21 - l + .!.___:..!_ +4U(a,t ) + o 2(1-v) T 2tn, 00 4 I.s(a,t) ,Jl{óm)-: Jl {,om) 2 02 t ] + e -o./a m ( 6. 4) T ó2 J2 ( 'ºm) m = l m l

Passa-se agora ao traçado dos grãficos.

As figuras 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, foram obtidas pe-lo programa de computação 4.3, do apêndice IV, pepe-lo uso da ex-pressao 6.4. Essas curvas representam a tensão normal na in-terface em função do tempo, para alguns valores de t

0 e,.

A figura 6.6, corresponde a tensão normal na interface para regime permanente, no caso de t +00 , em função de,. Este

o

grãfico foi feito com o uso da expressao 6.4, tomando~se apenas os dois primeiros termos entre colchetes cujo programa de com-putação ê dado em 4.4, do apêndice IV.

(70)

" -:-~ 0,5 ~ - - - ~ - - - - , - - - , - - - , - 1 - - - , 1 ---,,

~

' ; - I' 1 1 1 -;:... 1-º 1 1 - i

.

Ir

1 1 0,4 +-·--_-- - - J - - - t - - - + - - - i

f

~ o ),,0,6 1

~-=--·----

~t:.-~.

~'='-..

==:= ..

_=:::::::::=t'

=====-==··

~1/~[(_

~º·~

4

======1==========~1

i

i

1 1

l

i

\_I

Wo ,

la2'

0,2 1 - - - · - - - + 1 - - - ~ - - - t - - - 1 ! 1 - e N W . 0,3 +-·

u

' -0,2 - ··-· -0,1 ' 1 1 ' - ! 1 1 !

i

1 '( '_R. 1 o 1 1 -' . ' ' ' ' ' 2 3 4 5 O<t 7

FIG. 6 · l - TENSÃO TRANSIENTE NA INTERFACE PARA 't , 2,0 o

(71)

bt: ...:.- 0,5

_,

.,. ... º '

-=õ

N W 0,4 0,2

J

_j

__ L

___ _

C<fo' IO,O 1

f-r,o

1 , / ,-·0,8 ..

T

0,6 1 1

---· ·---=--=t==--::::::·=--"----;:-:;=--·k---===-=·

b 1

==== · - .

b . 't,

ª

o, 1 · · -0,2

~

______

,

__________________ _

2 3 4 5

°'

t

FIG.-6•2 • TENSAO TRANSIENTE NA INTERFACE PARA '{;, 2,5 7

"'

(72)

li:-

- 1 ~ 1-º

-

~ o N uJ 0,3 - ! -- ---1 0,4 . 1 1 · · - · « · · · · · · -0,2 1 _____ .. _________ _! · --0,2 1 O,l - - - + - - - + - - - , - - -

j-~,

~

-1

' 1 2 3 4 5

(73)

·-

0,5

1

tt >-1 -;. o >-o N w

1,0_[_

~-,8 0,2 0,6 ' 1 04. 1 i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _J_ _____________ _ 0,2 1 0,1 ---·----·----'-~-.1--- ---- - - - · - - - ! ___________ _ ' 2 3 4 5. ()t t

(74)

.~ 0,5 ti" 1-' :, o 1

1 1

--

o N w 0,4 0,3 0,2 0,1 Cl<lo 1 ar' 10,0

-1

--·---r---·-·---·

1 1 0,4 02 2 3 4

FIG. 6·5 ~ TENSAO TRANSIENTE NA INTERFACE PARA 't; : 4,0

e b 'C' ' a 5 u, o:,

(75)

-"

--b" ,-. _, "> o ' '::

=

o- 0,3 N W 0,2 - - - - -- - - t - - - - i 0,1

,_,__-+---+----+---,L

2 3 4 5 6 7 8 9 10 li 12 . 13 14 15 i. 16 17 18 19 20 b '{;' o

(76)

60

CAPITULO VII

CONCLUSÕES

Pela observação da figura 5.1, referente ao desloca-mento transiente no raio interno do'cilindro, observa-se que quanto maior for a relação dos raios T, mais Tentamente odes-locamento vai tendendo ao valor estacionãrio,o que é evidente.

A figura 5.2, que representa o deslocamento no raio interno depois do campo de temperatura ter estacionado, apre-senta um caso interessante, pois

ã

medida que a relação dos raios tende ao infinito, o deslocamento tende a zero. Nota-se também que, quando esta relação tende ao valor um, o desloca-mento toma o valor a at(l+v) (T

0-Ti)/2~orrespondendo ao obtido em uma casca cilindrica circular, de parede delgada e infinita.

Nas figuras 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, correspondentes a tensão normal, na interface do acoplamento de um cilindro oco com um maciço em regime transiente, para vãrios valores dos parâmetros Te t

0 ,constata-se, que a tensão aprese~ta um mãximo para t < 00 • Esse mãximo que ã primeira vista parece es

tranho, no entanto,pode ser explicado da seguinte maneira: Ou rante o intervalo de tempo o~ t < t

(77)

61

e mantida no contorno interno uma temperatura T

0 constante, a qual forçosamente, provocarã no raio correspondente o desloca-mento dado na figura 5.1. Depois de ter percorrido esse lapso de tempo, a condição no contorno interno e alterada pela colo-cação do cilindro B (Fig. 7.1) ã temperatura ambiente, sem fol ga dentro de A. Com isso, ocasionarã um transiente de temper~ tura de tal maneira que em A a temperatura irã diminuindo, fa-zendo com que o raio interno tenda a diminµir; jã no cilindro B o campo de temperatura vai aumentando o que resultarã uma tendencia a aumentar o raio, e em consequencia disso, a tensão na interface vai aumentando. Depois de algum tempo o campo de temperatura em ambos os cilindros vai tendendo ã do ambiente,Q casionando, com isso, um alivio de tensão. Finalmente, esta tenderã, assintoticamente, a um valor que e função de t

0 •

cilindro A cilindro B

(78)

62

Quando t 0 +

00, o valor assintótico estã representado

na figura 6.6, em função de T. Pela observação desse grãfico,

nota-se um caso curioso, pois a medida que a relação dos raios parte de um atê o infinito, a tensão parte de zero e tende a zero e, para o valor T: 2,4, apresenta um mãximo.

'

A expressao usada para o traçado da figura 6.6, pode ser obtida, a titulo de confirmação, por um processo diferente ao que foi aplicado neste trabalho. Processo este que ê mais simples e feito com o auxilio da elasticidade linear, pois a-quela tensão surge quando os dois cilindros estão em temperat~ ra ambiente.

Sabe-se que a tensão na interface ê função da interfe rência de montagem dos cilindros, sendo igual a

[13].

(J =

rr E ( 7 . 1 )

Uma vez que o cilindro maciço, inicialmente, estã a temperatura ambiente, a interferência ê o próprio deslocamen-to do raio interno do cilindro oco, quando deslocamen-tomado por referên-cia ã temperatura do ambiente.

(79)

63

O valor desse deslocamento e dado pela fórmula 5.4 com a 5.5 igual a zero, is to e :

a ( 1 +v) ªt (To-Ti) 2

-[

1 - 1

J

T urr = ( 7. 2) 2 T

-

1 2 tn T

Pela substituição de 7.2 em 7.1, tem-se o valor da tensão procurada, dado abaixo, que coincide com a expressão

6.4 para t 0 + oo e t E ªt (To - \ ) 2 ( 1 - v ) , 2

1 ,

2 -

1 - 11

[ 2 tn T

'J

( 7. 3)

Passa-se agora a analisar a tensão normal, em regime permanente, na interface do acoplamento de dois cilindros que satisfazem, plenamente,· as seguintes condições:

O campo de temperatura do cilindro A (Fig. 7.1), constante e igual a T para t = t

0 •

O campo de temperatura do cilindro B (Fig. 7.1), tambem, constante e igual a Ti (temperatura ambiente), para

t = t

0•

e

(80)

64

A temperatura no contorno r = b e sempre igual a do ambiente.

No instante t = t

0 a interface dos dois cilindros livre de tensões.

e

Evidentemente, apos o acoplamento dos cilindros, sur-girã um regime tránsitÕrio de temperatura que tenderã

ã

tempe-ratura ambiente. Em consequência disto, a tensão normal no r! gime permanente pode ser determinada atravês da expressão 7.1, bastando, apenas calcular a interferência de montagem.

A interferência que e o prõprio deslocamento do raio interno do cilindro oco, ê expressa pela fÕrmula:

urr = a ( l + v) a t (T -

T;)

( 7. 4)

Pela substituição de 7.4 em 7. l , conduz a :

E ªt (T - T. ) 2 l

,

T -( 7 . 5 ) ªrr = 2 ( l

-

\)) T 2

(81)

65

A figura 7.2 representa a tensão na interface contra a relação dos raios,, traçada pelo uso da fórmula 7.5, atra-vés do programa de computação 4.5, do apêndice IV.

r

interessante observar que quando, parte de um ate o infinito, a tensão parte de zero e tende, assintoticamente, a um valor constante sem passar por nenhum mãximo em contrapo-sição ao observado na figura 6.6.

(82)

1,0 " b"

>---

' 0,9 "> >-1

--

a N w 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3

--!-

- - - ~ 1 .0,2 O, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 · 13 14 15 · 16 17 18

FIG. 7-2 -·TENSAO NORMAL NA INTERFACE EM REGIME PERMANENTE PARA CONDIÇAO INICIAL CONSTANTE DE TEMPERATURA.

(83)

67

TRABALHOS FUTUROS

O autor pretende analisar oportunamente a tensão nor mal transiente na interface de dois cilindros, para o caso em que o externo tenha um campo constante de temperatura maior que a do ambiente, antes de ser nele introduzido, sem folga,o~ tro cilindro em temperatura ambiente.

Os trabalhos relativos a este estudo jã foram inicia dos e serao, futuramente, publicados.

(84)

68

APÊNDICE I

1. 1 - TRANSFORMAVA VE LAPLACE

Seja F(t) uma função definida para t > o. Então a transformada de Laplace de F(t) é definida por:

(Al.l)

Tal transformada existe se a integral Al.l converge para algum valor de s.

1.2 -

FUNÇÃO VE ORVEM EXPONENCIAL

Uma função F(t) é dita de ordem exponencial k se exis tem as constantes M > o e k > o tal que IF(t)I < M ekt quando t + 00

1.3 - CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA VA TRANSFORMAVA VE LAPLACE

Se F(t) for seccionalmente continua em o e te N e de ordem exponencial k para t > N, então a transformada F(s) exis te para todos >k.

(85)

69

1.4 - ALGUMAS PROPRIEVAVES VA TRANSFORMAVA VE LAPLACE

Linearidade (Al.2) Primeira Translação sej{F(t)) = F ( s ) , então:

Íl

e ctF(t)l = F(s-c) (Al.3) Segunda Translação ' Se f(F(t)} - {:(t-c) t > e = F (s) e G(t) = t < e Í(G(t)) -cs -então = e F ( s ) (Al.4) Mudança de Escala Se

f\

F,(t)j =

f (

s ) • então ,l\F(ct)} = 1 F

( - )

s (Al.5) e e

(86)

70

Transformada de Derivadas

sej{F(t)} = F(s), então

(Al.6)

Tal expressao e verdadeira se F(t),F'(t), .. ,F(j-l)(t) forem continuas para O~ t ~ N e de ordem exponencial para t>N enquanto que F(j)(t) for seccionalmente continua em o~t~N.

Transformada de Integral F ( s ) , (Al.7) 1.5 - TRANSFORMAVA INVERSA Se F(s) = i{F(t))então a inversa F(t)=

J'.-

1{F(s)j

~

da da por: F(t) = ~ ~1

-jy+i;(s)

2rr i Y i 00 est ds (Al.8)

(87)

es-tara direita de todas as singularidades de F(s).

1.6 - CONTORNO VE BROMWICH

O valor da integral Al .8 pode em cer.tos casos ser de-terminada atravês da integração em um contorno C de tal manei-ra que todas as singularidades estejam dentro de C. (Fig.1.1

1.

F(t) =

__ jc

F(s) est ds 211 i

/r

(Al.9} y B(y+i0) R D X R + 00 A(:(-i0} Fig. 1.1

(88)

72

1.7 - CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA QUE A INTEGRAL SOBRE O ARCO BVA

SEJA ZERO.

Encontrando-se duas constantes M > o e k > o, tal que no arco BOA:

JF(s) J

< (Al.l9)

- st

Então a integral de F(s)e sobre esse arco e zero, quando R -+- "'

Essa condição

e

suficiente para que se possa calcular a inversa da transformada pela fórmula Al.9.

1.8 - SINGULARIVAVES: APENAS POLOS

Se todas as singularidades da função F(s) for apenas pólos; então a inversa, calculada por Al .9, e igual a soma dos residuos de F(s)est nos pólos de F(s).

F(t) = ~esiduos de F(s) est Caso Particular F(s) = P(s) s Q ( s) (Al.11) (Al.12)

(89)

73

Condições Impostas

Q(s) apresenta apenas raizes simples, aj,j=l,2, ... ,N.

P(o) ,;. o

(Al.13) Q(o) "'"o

Então a inversa sera:

N

F(t) = Res(o)

+L

P ( a j ) (Al.14)

ªj (:Qls=a. j = l s J

(90)

APJ".NDICE II

2. 1 - EQUAÇÃO VE BESSEL

d

x - = o

dx

2.2 - EQUAÇÃO VE BESSEL MOVIFICAVA

2. 3 - FUNÇÃO VE BESSEL VE PRIMEIRA ESPECIE VE ORVEM n

00

Jn(kx) =

r(-1

)j ( kx/2) 2j+n

j\j(k+n+l) j=o

2.4 - FUNÇÃO VE BESSEL VE SEGUNVA ESPECIE VE ORVEM n

Jn(kx) cos nTI - J (kx) Yn(kx) = -n

sen

nTI 74 ( A2. 1 ) (A2.2) (A2.3) (A2.4)

2.5 - FUNÇÃO VE BESSEL MOVIFICAVA VE PRIMEIRA ESPECIE VE ORVEM n

00

=\

{kx/2)2j + n L j 1

1

(k+n.+1)

j =o

(91)

75

2.6 - FUNÇÃO VE BESSEL MODIFICAVA VE SEGUNDA ESPtCIE VE ORVEM n

11 =

-2 sen n11

2. 7 - ALGUMAS PROPRIEVAVES VAS FUNÇÜES VE BESSEL

d dx d dx DERIVAÇÕES { k n zn-l (kx} [xn Zn(kx)]= xn zn-1 (kx) - kx -n · (-kx-nzn+l (kx) [x Zn(kx)]= -n kx zn+l{kx) Caso Particular d dx --t-kz 1 (kx} [z 0 {kx}J kZ 1 (kx} z = J 'y' I z = K Z = J,V,K Z = I Z=J,Y,t k = I (A2.6) (A2.7) (A2.8) (A2.9) (A2.10) (A2.ll} (A2.12)

(92)

RELAÇÕES ENTRE ALGUMAS FUNÇÕES eikxJ(x) n . = e±in11/2 J (x) n ±; 11 / 2 e ,; n 11 / 2 [ -J n ( x) ±; y n ( x ) ]

FUNÇÕES DE BESSEL PARA PEQUENOS ARGUMENTOS

r

1 (x) : x/2 Kl (X) : l / X 76 (A2.13) (A2.14) (A2.15) (A2.16) (A2.17) (A2.18) (A2.19) (A2.20) (A2.21)

(93)

INTEGRAIS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE BESSEL

j,

Z 0(k,)d, • .l_ X

z

1 ( k X) k - l x z 1(kx) k

j,

Z

0

(k>)K

0

(t,)d, •

kx z 1(kx) K0(lx) - lx Z0 (kx) K1(tx) =

J,

Z0 (k,)

r,("I'' •

= kx z 1 (kx) I0 (lx) + lx Z0 (kx) 11 (lx) k2 + .e.2

J

'l' ,

K0 (k,)d, •

J

,,, ' ,,

(k,)d, • xln x K 1(kx) k xln x 1 1 (kx) k Z = J,Y Z = K Z = J,Y Z = J,Y 77 (A2.22) {A2.23) (A2.24) (A2.25) (A2.26) (A2.27)

(94)

, APfNDICE III

3.1 - PRIMEIRAS VEZ RAfZ~S VE J (E), n ~ o,1,2,3

n J

1 2,4048 3,8317 5,1356 2 5,5201 7,0156 8,4172 . 3 8,6537 10,1735 11,6198 4 11,7915 13,3237 14,7960 5 14,9309 16,4706 17,9598 TA8. A3.l }8 6,3802 9,7610 13,0152 16,2235 19,4094

(95)

T l , 2 l , 5 2,0 2,5 3,0 3, 5 4,0 xl 15,7014 6,2702 3,1230 2,0732 l ,5485 1 ,2339 l ,0244 x2 31 ,4126 12,5598 6,2734 4,1773 3,1291 2,5002 2,0809 TAB. A3.2 X3 47,1217 18 ,8451 9,4182 6,2754 4,7038 3,7608 3,1322 X4 62,8302 25,1294 12,5614 8,3717 6,2767 5,0196 4,1816 79 X5 78,5385 31,4133 15,7040 10,4672 7,8487 6,2776 5,2301

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