CIRC EL - P ROF MA SSI MO - AP EN DIC E : NÚME ROS COMPLE XOS
INT RODUÇ ÃO: Os números comp le xo s f oram desen vol vid os pe lo matemáti co K. Gauss, a part ir dos estudos da transf ormação de Lap lac e, c om o ún ico o bj eti vo de sol uci onar pr ob lema s em circu itos e létr ic os.
CONSI DE R AÇ ÃO IN ICI AL:
• DEFINIÇÃO FUNDAMENTAL: UNIDADE IMAGINÁRIA “j”
Def inimo s a un ida de imag inár ia “j ” , como sendo um núm ero não rea l de ta l f orma q ue: 1 j2 = −
PROPRIE DA DES:
j0 = 1 ; j1 = j ;j2 = -1 (por def iniç ã o) ; j3 = j2 x j = -1 x j = -j ; j4 = j2 x j2 = ( -1) x ( -1) = 1 ; j5 = j4 x j1 = 1 x j = j ; j6 = j4 x j2 = 1 x (-1) = -1 ; j7 = j4 x j3 = 1 x (-j ) = -j
CONC LU SÃO : (com N inte iro)
j4 N = 1 ; j4 N + 1 = j ; j4 N + 2 = -1 ; j4 N + 3 = -j
1 - CONCEITO B ÁSICO:
DEFINIÇÃ O FUNDAMENTAL: NÚME RO COMPLE XO “
•
Z ”
Def inimo s númer o c omple xo ( In dic ado por “•
Z ” ) como send o q ualq uer núm ero q ue possa s er col oca do na seg ui nte f orma:
b j a Z = +
•
Onde : a é D enom i nado de Coef ic ie nt e Re al e b é d eno minad o d e C oef ici e nte Imag inário.
Note-se entã o q ue um número comp le xo é def in ido por um par de va lores, ao passo q ue um númer o real é def in id o por um úni co va lor ; o q ue nos f a z con cl uir q ue se um número real é um ponto numa re ta ordena da, um número comple xo será um ponto n um pla no ima g inári o. Vis ua l i zan do :
Pel o ac ima e xp osto, podemos c onc lu ir q ue :
a) Não e xiste s enti do na com para ção de doi s N úmeros Comp le xos, j á q ue o s mesmos não po dem ser ente nd ido s co mo pontos numa r eta ori entad a, mas sim como po ntos d e um plano Imaginár io;
b) Números Comp le xo s de vem ser ente nd id os como f erramentas da matemática pura , sendo n úmer os não R eais ; ra zã o pel a q ual não ex iste sentido em
atribuir uma unid ad e aos mesm os
2 - NO T AÇ ÕE S D E UM NÚME RO C OMPLEXO: C omo j á e xp l ica do, um p a r de
va l ores se f az ne cessár io, par a a determin ação de um número comp le xo; poderemo s ter est e par de va lores em co orde nad as cartesi ana s, ou em coord ena das p olar es. Em Coord ena da s cartesi anas, n ece ssitaremo s do par de va l ores “a” e “b” , para loca l i zarmo s um c ompl e xo. E m coorde nad as po l ares necess itaremo s de u m ângulo α (Medido pela convenção do circulo trigonométrico) e de um C omprimen to
(Que ser á a d ist ânc ia d o n úmero c o mple xo até a or ig em do
sistema d e Co orden adas) V isu al i zand o:a) Coordena das Cartes ian as b) Coordenad as Pol ares
Pel o f ato do comprimento “” ser um número real essencialmente posit ivo, costumamos de nom inar o mesmo de “módulo do n úmer o comple xo”, e ai n da costumamos den omi nar o âng ulo α de “fase do número complexo” . No nosso curso uti li zaremos a n otaç ão de Ke nne l l y, ou sej a:
-1 -2 0 1 2 Im Re Re ia Ib Núme ro Rea l Núme ro Comp lexo Im Im Re Re ia Ib Núme ro Comp lexo Núme ro Comp lexo i
α
i• Z =
•
Z α (Lê-se: “Módulo de Z complexo” , “Fase α” )
Que de ve ser as sim interpr etada p ara ca racteri zar um número compl e xo: O âng ul o α medid o a part ir do e i xo r ea l com o sent i do ant i –hor ári o e o comprimento = Z ; • Vis ua li zan do a seg u i r :
a) Coorden adas C artesia nas b) Coorden ad as Po lares ou Retang ul ares (Notação de Kenn el l y)
Nota: Embor a os Números Comp le xo s não sej am vetor es (mas sim Fasore s) ele s poss uem al g umas proprie dad e s vet oria is, ra zão p ela q ua l é usu a l aprese ntarmos o seu módu lo com o send o um vetor o rientado da orige m até o pont o: Im Re i
α
iα
.
.
.
Z Z Z =3 - TR AN S FORM AÇÕES DE UM NÚ MERO COMPL EXO DE UM SIS TEM A DE COORDE N AD AS P AR A OU TRO:
a) T ransf ormação de u m Número Comp le x o d ado em Coor de nada s Cartesia nas para Co orde nad as Polare s:
Sendo da do um N úmero Comp le xo da f orma : Z = a + jb •
, recomend a- se:
• Construir o seu esboço gráfico; Note que afora os eixos principais somente existem q uatro po ssi bi li dad es:
1a : 2a : Im Im Re Re ia Ib i
α
iα
Z = a + jb.
.
.
.
Z Z Z = Im Im Re Re ia ia Ib Ib Iβ Iα Iβ Iα.
.
.
.
Z Z Z Z Ia > 0 Ia < 0 Ib > 0 Ib > 03a : 4a :
• Determine: Z = • a2 + b2 para q ualq uer uma das q uatro poss ib il i dades (T eorema de P itág oras) . Note q ue os sin ais de “a” e d e “b” não tem a m ín ima importâ nc ia na determi naç ão de ste módul o
• Determine β (Menor ângulo formado com o eixo Real) : β =arctg a b
; Note q ue em q ualq uer uma das po ssi bi l ida de acima: 0 < β < 900
• Determine α (Ângulo do n0 comp le xo), por mera ins peç ão visu al do g ráf ico; por e xemp lo, na 1a poss ib il id ade: α = β ; na 2a : α = 1800 - β ; na 3a : α = 1800 + β ; na 4a : α = 3600 - β , ou simplesmente: α =
- β
• Escreva então o N0 comp le xo na f orma polar: = + = α • • Z b j a Z
b) T ransf ormação de um Número Comp le xo dado em Co orde nada s Polar es para
Coor den adas Carte sianas:
Send o da do um Núm ero Comp le xo da f orma : = α • •
Z
Z , recomenda- se:
• Construir o seu esboço gráfico; Note que afora os eixos principais somente existem q uatro po ssi bi li dad es:
1a : 2a : Im Im Re Re ia ia Ib Ib Iβ Iβ Iα Iα
.
.
.
Z Z Z Ia < 0 Ia > 0 Ib < 0 Ib < 0 Im Im Re Re ia ia Ib Ib Iβ Iα Iβ Iα.
.
.
.
Z Z Z Z 0 < < 9 0α 0 900 < < 18 0α 03a : 4a :
• Determine β (Menor ângulo formado com o eixo Real) ; Observe que em q ualq uer caso: 0 < β < 900 . N ote q ue na 1a po ssi bi l ida de β = α ; na 2a : β = 1800 - α ; na 3a : β = α - 1800 ; n a 4a : β = 3600 - α, ou simp lesment e: β = - α
• Qualquer que seja o caso analisado, determine:
a = •
Z . cos β ; b = Z . sen • β
• Determine os sinais de “a” e de “b” pela simples inspeção visual do gráfico. Observe por e xemp lo q ue no 10 ca so te mos: a > 0 e b > 0 ; j á no 20 caso tem-se: a < 0 e b > 0 ; no 30 caso te m-se: a < 0 e b < 0, e f inalme nte no 40 cas o tem-se: a > 0 e b < 0.
• Escreva o N0 c ompl exo na f orma cartesi ana: Z = Z α = a + jb •
•
4 - NOT AÇ ÃO DE EUL ER: Embor a tal notaç ão nã o sej a muito usua l, a mes ma
torna-se impresc in d íve l, na demonstra ção de pr opr ieda d es f undamenta is dos Números Comp le xo s . Demonstra- se p el a teoria d as sér ies q u e :
ϕ + ϕ = ϕ sen j cos ej Im Im Re Re ia Ib Ib Iβ Iβ Iα Iα
.
.
.
Z Z Z 18 00 < < 27 0α 0 27 00 < < 36 0α 0Supo nhamo s então ag ora q ue temos um Número C ompl e xo da f orma Z• = Z• α ; vam os proce der à re presenta ção d o mes mo em coorden adas cartesi anas:
Nestas c ond içõ es po demos escre ver q ue: • Z = a + j b = • Z cosα + j Z senα • ou ai nda: • Z = • Z . ( cosα + j senα ) ∴ α • • • = α = j e Z Z Z PROP RIED AD E S FU ND AM EN T AI S :
a) Neg ati vo d e um Número comple xo : Citamos anter iormente q ue os Númer os Comp le xo s n ão são vetores mas q ue possu em a lguma s p roprie dad es v etori ai s , particu l armente para soma e su btraçã o . V isu al i zemos ent ão o d iagr ama F aso ria l de :
•
Z α , e : - Z α ; teremos: •
Pel a mera obs er vaç ão do d iag rama ac ima : − Z α = Z α ± 1800 • • Im Re i
α
.
.
.
.
Z Z Ia = Z .cosα Z .se nα Ib = iα
iα
.
.
Z Z Im Re Iα Iα + 180 0 Iα − 180 0-b) Número Comple xo Co njuga do:
• Na forma Cartesiana : Sendo dado Z na f orma: • •
Z = a + j b, def ine- s e c omo sendo Z
*
•
o Número Co mple xo Co nj ug ado d e •
Z , como sendo: Z
*
•= a - j b
• Na forma Polar : Sendo dado Z na f orma: • Z• = Z• α , def ine- se como sendo
*
Z •
o Número C ompl e xo Conj ug ado d e • Z , como send o: Z
*
• = • Z -αEm Coord ena das C a rtesian as: Em Coorde nad as po lares:
Proprie dad e Impor tante: “Ao Mu lti pl icarmos um n úmer o Comp lex o, pe lo seu
número C ompl exo c onj uga do, obter emo s como resu ltad o u m número real ig ua l ao
Quadrad o do s eu m odulo”
a) Compro vação em coorde nad as cartes i anas: Sej a: • Z = a + j b ; teremos q ue Z
*
• = a - j b ; portanto: • Z x Z*
• = (a + j b) x (a - j b) = a2 - j ab + j ab - (j b)2 = 2 2 2 2 2 2 Z b a b a = • + = +a) Compro vação em coorde nad as po lare s :
Sej a: Z• = Z• α ; teremos que Z
*
• = Z• − α ; portanto: • Z x Z*
• = Z• α x − α • Z = Z 0 2 • = 2 Z•c) Identid ade ent re dois númer os comple xos: Do is no s c ompl e xos s erão
cons idera dos idênt ic os (ou simp lesment e ig uais) , apen as q uando a parte rea l de um f or ig ual à p arte rea l do outro, e ai nda q uand o a p arte imag i nári a de um f or ig ual a parte imag in ári a de outro; ou sej a:
ia Re Re Im Im Ib - bi Z = a + jb Z = Z α Z = Z -α Z = a - jb
.
.
.
.
.
.
.
.
*
*
Z ZT endo- se : Z1 • = a1 + j b1 , e Z2 • = a2 + j b2 , s e Z1 • = Z2 • então f orçosamente iremo s ter q ue: a1 = a2 , e b1 = b2
3 – OPER AÇ Õ ES C OM NÚMEROS COM PLE XOS a) Adiçã o e Su btraç ão :
Recome ndamo s q ue a adiç ão e a subtraçã o de núm eros comp le xo s, sej am executa das pr eferen cia lmente n a f orma cartesia na :
1 Z • = a1 + j b1 ; Z2 • = a2 + j b2 ⇒ Z1 • ± Z2 • = b ) b b ( j a a a1 ± 2 + 1 ± 2 ;
Ou sej a: Simpl esme nte somar alg ebr ica mente as partes rea i s com as partes rea i s e as parte s imag inár ia s com as parte s ima g inári as d e ca da nú mero, obten do- se as sim uma no va p arte rea l e uma no va parte im ag inár ia.
E xemp lo: Z1 • = 3 - 5j ; Z2 • = - 4 - 6j ⇒ Z1 • + Z2 • = -1 - 11j e ain da : Z1 • - Z2 • = 7 + j
Já diss emos anter i ormente q ue os no s C ompl e xos, nã o são vetores , mas sim f asores – (Que pos s uem alg umas propr i edad es vetor ia is – p articu larment e no c a so de soma e su btraçã o) . Embora tenham os af irmado q ue a a diç ão e a su btração de números comp le xos, devam ser executa das prefere nci alme n te na f orma cartesiana, em alg uns cas os c onven ie ntes po dere mos e xecutar d e f orma direta a s oma e a subtraçã o na f orma pol ar (um cas o t ípi c o é q uan do d isp omo s de no s comp le xos com a mesma f ase, ou com def asag em entre si de 1800 - q ue comportam -se co mo
vetores alinha dos ) . Por exempl o:
3 300 + 5 300 = 8 300 ; 10 2250 + 5 450 = 5 2250 ; etc..
b) Produt o e quo cient e : De pen den do d a con ven iênc ia , po deremos e xecut ar o produto o u o q uo cie nte tanto em coorde nad as cartes ian as , como em coorde nad as po lare s
b.1) Produt o :
a) Em Co orde nad as Cartesia nas: Será obtid o ut i li zand o a reg ra distri but i va d a multi pl ica ção, e lem brando q ue : j2 = -1 ; ou sej a :
(a + j b) . (c + j d) = ac + j ad + j bc - bd = b ) bc ad ( j a bd ac − + + E xemp lo : (3 - 4j ) . (2 + 5j ) = 6 + 15j - 8j + 20 = 26 + 7j
b) Em C oord ena das Polare s: A part ir d a f órmula de Eu ler anter iormente vist a demonstra-se f aci lm ente q ue:
Se: Z1 • = Z1 • α1 e : Z2 • = Z2 • α2 ⇒ Z1 • . Z2 • = Z1 • . Z2 • α1 + α2
Ou sej a : O produto de do is no s comp le xo s em coor den adas pol ares, é o bti do p el o produto d os módu lo s e a soma das fas es ; Exemp lo:
Z1 • = 5 -300 ; Z2 • = 10 450 ⇒ Z1 • . Z2 • = 50 150 b.2) Quociente :
a) Em C oord ena das Cartesia nas: Ser á obt ido m ult ip li can do- se numera dor e denom ina dor, p el o no comp le xo c onju gado do d enomin a dor, e reca in do em seg uida na mult ip l ic ação:
b d c ad bc j a d c bd ac d jdc jdc c bd jbc jad ac ) jd c ( ) jd c ( ) jd c ( ) jb a ( jd c jb a 2 2 2 2 2 2 + − + + + = + + − + + − = − + − + = + + • • • E xemp lo: 1 2j 5 j 10 5 4 j 2 j 2 1 8 j 4 j 6 3 ) j 2 1 ( ) j 2 1 ( ) j 2 1 ( ) j 4 3 ( j 2 1 j 4 3 + − = + − = + − + − + + = + ⋅ − + ⋅ + = − +
OBS: se lembrarmo s da pro prie dad e qu e um número c ompl exo ao ser mult ip l ic ado
pel o se u con j ugad o, resulta no qua drado do se u módu lo, a op eração ac ima se tor na muito mai s ráp ida!
b) Em C oord ena das P olares: T ambém a p artir d a f órmula de Eul er a nteri ormente
vista d emonstra-se f aci lmente q ue: Se: Z1 • = Z1 • α1 e : Z2 • = Z2 • α2 ⇒ 2 1 2 1 Z Z Z Z • • • • = α1 - α2
Ou sej a : O q uocient e de do is no s comp le xo s em coorde nad as polare s, é obtid o pe lo quoc ient e dos mód ul os e a d iferenç a das fases ; Exempl o:
Z1 • = 10 300 ; Z2 • = 5 -450 ⇒ 2 1 Z Z • • = 2 750
c) Poten ciaçã o / Ra diciaçã o - Recom endamos qu e est a s oper açõe s se jam executa das n a forma polar . Sempr e a pa rtir da f órmula de Eu ler, demon stramos f acilmente q ue: n
)
(
Z α • = Z n α.n •Cons id eran do- se q u e a Rad ic iaç ão é um caso parti cu lar d a Potenc ia ção, c onc lu i -se q ue:
n
Z• α = n Z• α/n
Exemp lo 1 : Sej a determinar •
Z = ( 3 - 4j )4 ; se con vertermo s o no 3 - 4j para coor den adas p olar es enc ontraremo s: 3 - 4j = 5 - 53,130 portanto:
( 3 - 4j )4 = ( 5 - 53,130 )4 = 625 - 212,520
Exemp lo 2 : Sej a d e terminar •
Z = − 20 − 15j ; se con vertermos o no - 20 - 15j para coor den adas p olar es enc ontraremo s: - 20 - 15j = 25 233,130 portanto:
j 15 20 −
− = 25 233,130 = 5 116,570
EXERCICIOS P ROPOSTOS
a) SOBR E CON VE RSÕ ES:
1) Para o d iag rama a bai xo, determi nar a f orma cartesia na e polar d os Númer os Comp le xo s in di cad o s: 1 2 3 4 5 6 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -8 -7 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 Z1. Z2. Z3. Z3 Z5. Z4. Z6. Z7. Z8. Im Re
2) Para o d iag rama ab ai xo, determi nar a forma cartes ian a do s números c ompl e xos ind ic ados
b) SOBR E OPE RA ÇÕE S:
1) E xecut e ut il i zand o Coord ena das Carte sia nas e co nf ira p osteriorme nte p el a uti li zaçã o de C oorde nadas Po lares:
a) ( 2 - 5j ) . ( 1 + 4j ) ; b) j 6 8 j 15 20 + − ; c) ) j 2 1 ( ) j 2 2 ( j 15 10 − ⋅ + −
2) E xecut e uti l i zan do C oorden ada s Po lare s: a) ( 2 - 4j )3 ; b) ( 1 - 2j )5 ; c) 4 ) j 4 1 ( ) j 2 1 ( j 6 8 − ⋅ + −
3) No s istema d e eq uaçõe s aba i xo, deter mine X e • Y - ( SUGEST ÃO: Encam inh e • a sol ução pe la reg ra de Kramer ou d os D etermina ntes)
− − = + + − − = + + − • • • • j 30 25 Y ) j 6 4 ( X ) j 2 1 ( j 20 5 Y ) j 4 2 ( X ) j 4 3 ( SOLU ÇÃO: a) ) j 6 4 ( ) j 2 1 ( ) j 4 2 ( ) j 4 3 ( P + − + − = ∆• Portanto: 2j 26 + = + − + − + − + = + ⋅ − − + ⋅ − = ∆•P (3 4j) (4 6j) (1 2j) (2 4j) 12 8j 6j 24 (2 4j 4j 8) ou: ∆•P = 2.(13 + j) Re Im 10 +180o Re Im +127o Re Im -135o 2 0 14,4 1 a) b) c) Re Im 15 -90o Re Im -233o 10 Re Im 28 ,2 +315o d) e) f)
b) ) j 6 4 ( ) j 30 25 ( ) j 4 2 ( ) j 20 5 ( X + + − + − = ∆• ∴ X • ∆ = (5 - 20j ).(4 + 6j)+ ( 2 + 4j ).( 25 + 30j ); X • ∆ = 20 + 30j - 80j + 120 + 50 + 60j + 100j - 120 ⇒ X • ∆ = 70 + 110j = 10.(7 + 11j) c) ) j 30 25 ( ) j 2 1 ( ) j 20 5 ( ) j 4 3 ( Y + − − − − = ∆• ∴ Y • ∆ = -( 3 - 4j ).(25 + 30j) - (1 - 2j ).( 5 - 20j ) ; Y • ∆ = - (75 + 90j -100j +120) – (5 -20j - 10j - 40) ⇒ Y • ∆ = -160 + 40j = 40.(- 4 + j)
[
] [
]
[
] [
]
170 j 136 102 . 5 1 13 11 j 143 j 7 91 . 5 j 13 j 13 j 13 j 11 7 . 5 ) j 13 .( 2 ) j 11 7 .( 10 X 2 2 + = + + + − = − ⋅ + − ⋅ + = + + = • ⇒ 34 j 136 102 X• = + ⇒ • X = 3 + 4 j ;[
] [
]
[
] [
]
170 j 17 51 . 20 1 13 1 j 13 j 4 52 . 20 j 13 j 13 j 13 j 4 . 20 ) j 13 .( 2 ) j 4 .( 40 Y 2 2 + − = + + + + − = − ⋅ + − ⋅ + − = + + − = • 17 j 17 51 . 2 Y• = − + ⇒ • Y = 2.(-3 + j ) ⇒ Y = -6 + 2j •OUT ROS EX ERCÍ CI OS DE N S. CO MPL E X OS
1) Send o: Z1 = 2 − 3j • e Z2 = − 5 + j • determine: 2 1 Z Z Z • • • = SOLU ÇÃO:
a) Diretament e em Coor den adas Carte sianas :
26 j 13 13 ) j ( ) 5 ( j 3 j 15 j 2 10 ) j 5 ( ) j 5 ( ) j 5 ( ) j 3 2 ( j 5 j 3 2 Z 2 2 2 − + = − − + + − − = − − ⋅ + − − − ⋅ − = + − − = • = -0,5 + 0,5j
b) P or co orde nad as Polares :
j 3 2 Z1 = − • = 3,61 -56,310 ; Z2 = −5 + j • = 5,1 168,70 ⇒ • = • 2 1 Z Z 0 0 7 , 168 1 , 5 31 , 56 61 , 3 − ∴ • = • 2 1 Z Z 0,708 - 225,0 10 ≅ - 0,5 + 0,5j
2) Send o Z Z* • •
− + 2 - 4j = 2 j •
Z , calcu le o m ódu lo e a f ase de • Z
SOLU ÇÃO: Sej a • Z = a + j b ; t eremos: (a + j b) – (a - j b) + 2 - 4j = 2j . (a + j b) ∴ 2jb + 2 – 4j = 2ja - 2b ⇒ 2 + j(2b - 4) = -2b + 2ja = − − = ⇒ a 2 4 b 2 ; b 2 2 Dond e: b = -1 , a = -3 ⇒ Z = - 3 - j ou: • • Z = 3,16 161, 60 3) Se Z = • 2 3 j 2 1 +
− , calcu l e : ( Z )• 1 0 0 ; SOLU Ç ÃO:
• Z = 2 3 j 2 1 + − = 1 1200 ⇒ ( • Z )1 0 0 = ( 1 1200 )1 0 0 = 1 1200 00 = =1 33. 3600 + 1200 = 1 1200 = 2 3 j 2 1 + −
5) Determi ne o seg u i nte resu ltado e nco ntrado na te oria q uânt i ca da f oto ion i zaç ão: jb ja 1 ja 1 + + −
, onde a e b são q u antid ade s rea is:
SOLU ÇÃO: verif iq ue a represent ação p ol ar dos comp le xos - 1 + j a e 1 + j a
1 + j a = 1 + a2 α ; - 1 + ja = 1 + a2 1800 - α ; portanto ja 1 ja 1 + + − = α + α − + 2 0 2 a 1 180 a 1 = 1 1800 - 2α = ej (π - 2 α ) ; lo g o tem-se:
(
j( 2 ))
jb jb e ja 1 ja 1 = π− α + + −= e- b . (π - 2 α ) com α = arctg (a) tem-se:
jb ja 1 ja 1 + + − = e- b . (π - 2 a r c t g a ) = e- b .π + 2 b a r c t g a Re Im -1 1 180 0 a α 1 + a2 1 + a 2 - α
OU TR AS AP LI C AÇÕ ES:
a) Determi ne
1) Send o dad o o co mple xo • Z = ) j 2 2 ( 4 ) j 5 ( 3 ω − − ω ω − + ω
determin e ω para que •
Z sej a Real SOLU ÇÃO : Para t anto, determi nemos a parte rea l e a parte imag in ári a do no compl e xo em q uestã o ; teremos
• Z = ) j 2 2 ( 4 ) j 5 ( 3 ω − − ω ω − + ω =
[
] [
]
[
] [
]
D j 2 ) 4 2 ( j 2 ) 4 2 ( j 2 ) 4 2 ( j ) 3 5 ( j 2 ) 4 2 ( j ) 3 5 ( ω − ω + − ⋅ ω + ω + − ω − ω + − ⋅ ω − ω + = ω + ω + − ω − ω + ;Note q ue o de nomi n ador D em q uestão é forços amente um Número R eal de vi do ao f ato da multip li cação p el o conj ug a do ; Prosseg u ind o com o nosso pr ob le ma temos: Re { • Z } = D 2 ) 4 2 ( ) 3 5 ( + ω ⋅ − + ω − ω2 ; Im { • Z } = D ) 4 2 ( 2 ) 3 5 ( + ω ⋅ ω − ω⋅ − + ω −
Para obt ermos o q ue procuramos, ba star á impor a parte ima g inári a de •
Z como sendo zero. Entã o te remos:
- D ) 4 2 ( 2 ) 3 5 ( + ω ⋅ ω+ω⋅ − + ω = 0 ⇒ 10ω + 6ω2 - 2ω + 4ω2 = 0 ⇒ 10ω2 + 8ω = 0 ∴ ω (10ω + 8) = 0 ; portanto : a) ω = 0 ou : b) ω = -5 4 10 8 − = 2) Send o da do o c omple xo • Z = ) j 3 2 ( 5 ) j 2 3 ( 2 ω − − ω ω − + ω
, deter mine ω a fim que •
Z sej a puramente imag inár i o.( ou q ue sua f ase sej a de 900)
SOLU Ç ÃO: Ordenan do e uti l i za ndo o c on j ug ado do den omi na dor:
• Z =
[
] [
]
D j 3 ) 2 5 ( j 2 ) 3 2 ( j 3 2 5 j 2 3 2 ω + − ω ⋅ ω − − ω = ω + − ω ω − + ω ⇒ Re { • Z } = D 6 ) 2 5 ( . ) 3 2 ( ω + ω − − ω2 ; Im { • Z } = D ) 2 5 ( . 2 ) 3 2 ( . 3ω ω + − ω ω − − ; Para q ue •Z sej a i ma gi nário p uro, (ou p ara q ue a su a f ase sej a de 900) , basta rá impor q ue sua p arte real sej a nu la; ou s e j a:
3) Sen do d ado o co mple xo • Z = ) 3 2 ( j 5 2 ) 2 4 ( j 3 4 ω − − ω − ω − + ω
− , determi ne ω a fim que a fase
de •
Z sej a de 450.
SOLU Ç ÃO: Ordenan do e uti l i za ndo o c on j ug ado do den omi na dor:
• Z =
[
] [
]
D ) 3 2 ( j ) 5 2 ( ) 2 4 ( j ) 3 4 ( ) 3 2 ( j 5 2 ) 2 4 ( j 3 4 − ω + − ω ⋅ − ω + − ω = ω − − ω − ω − + ω − ⇒ Re{ • Z } = D ) 3 2 ( . ) 2 4 ( ) 5 2 ( . ) 3 4 ( − ω − ω − − ω − ω ; Im{ • Z } = D ) 5 2 ( . ) 2 4 ( ) 3 2 ( . ) 3 4 ( − ω − ω + − ω − ω Observand o q ue: Se : α = arctg a b ⇒ ⇒ tg(α) = a b = • • } Z { Re } Z { ImPortanto, como: tg 450 = 1 , iremos te r: = 1 ⇒ Re Im Im = Re D ) 5 2 ( . ) 2 4 ( ) 3 2 ( . ) 3 4 ( − ω − ω + − ω − ω = D ) 3 2 ( . ) 2 4 ( ) 5 2 ( . ) 3 4 ( − ω − ω − − ω − ω ; 8 - 20ω - 6ω + 15ω2– (8 - 12ω - 4ω + 6ω2) = 8 -12ω - 6ω + 9ω2 + 8 -20ω - 4ω + 10ω2 ou ai nda: 10ω2 - 3 2ω + 16 = 0 ⇒ ω’ = 2,58 ; ω” = 0,62
3) Send o d ado o comp l exo • Z = ) 2 ( j 2 1 ) 3 1 ( j 2 1 ω − − ω − ω − + ω −
, determi ne ω a fim que a fase de • Z sej a de 600. SOLU Ç ÃO: • Z =
[
] [
]
D ) 2 ( j ) 2 1 ( ) 3 1 ( j ) 2 1 ( ) 2 ( j ) 2 1 ( ) 3 1 ( j ) 2 1 ( − ω + − ω ⋅ − ω + − ω = ω − − ω − ω − + ω − a = Re b = Im α = a rc t g Z . Z. Z. b aRe{ • Z } = D ) 2 ( . ) 3 1 ( ) 2 1 ( . ) 2 1 ( − ω − ω − − ω − ω ; Im{ • Z } = D ) 2 1 ( . ) 3 1 ( ) 2 ( . ) 2 1 ( − ω − ω + − ω − ω • • } Z { Re } Z { Im = tg (600) = 3 ⇒ ) 2 ( . ) 3 1 ( ) 2 1 ( . ) 2 1 ( ) 2 1 ( . ) 3 1 ( ) 2 ( . ) 2 1 ( ω − ω − − ω − ω − ω − ω − + ω − ω − = 3 ; Donde:
(
)
[
2 2]
2 2 1 2 3 6 3 1 2 2 4 2 6 3 2 4 2−ω− ω+ ω + − ω− ω+ ω = − ω− ω+ ω − −ω− ω+ ω ; ou aind a: ω2 (8 + 3 ) - ω(3 3 + 10) + 3 + 3 = 0Reso l vendo a eq uaç ão do 2º g rau: ω’ = 1,13 e ω’’ = 0,43
PROB LEM AS EX TR AS
a) Imagin ário elev a do a imaginário:
Determi ne ( j )j ; Solução: j = 1 900 = 1.ej2 π ⇒ ( j )j = (ej2 )j π = e 2 π −
b) R eal elev ado a i maginário:
Determi ne ( 3 )j ; Solução: ch amand o 3 = eLn(3) teremos: ( 3 )j
= (
Ln(3) e )j = = ejLn(3) = cos(Ln3) + j sen(Ln 3)c) Complex o elev ad o a comple xo:
Determi ne ( 1 + j )( 1 + j ) ; Soluçã o ( 1 + j ) = 2 450 = 2ej4 π portanto: ( 1 + j )( 1 + j ) = ( 2ej4 π ) ( 1 + j ) = ( 2ej4 π )1 . ( 2ej4 π ) j = 2ej4 π . ( 2)j.e 4 π − = = 2e 4 π − ( 2)j.ej4 π = 2e 4 π − . (eLn( 2) )j .ej4 π = 2e 4 π − . ej(4 + Ln( 2)) π = = 2e 4 π − [ cos( 4 π + Ln ( 2 ) ) + j sen ( 4 π + Ln ( 2 ) ) ]