AL aula2

Álgebra Linear

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2020.1

Turmas F1 e F3

Objetivo

Sistemas de Equações Lineares

Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares nas mesmas variáveis. Geralmente, quando são poucas as variáveis, usamos as letras x, y, z, w, t

Caso o número de variáveis seja grande, usamos uma dessas letras com um índice, por exemplo x1, x2, x3, x4, x5,etc.

Forma matricial de um sistema linear

Exemplo de um sistema linear nas variáveis x, y, z    2x + 3y − z = 3 x − 4y + 5z = −3 3x + y + 3z = 7

Escrito na forma matricial   2 3 −1 1 −4 5 3 1 3     x y z  =   3 −3 7  

Propriedades das soluções de um sistema linear

Considere um sistema de m equações lineares nas variáveis x1, x2, . . . xn

AX = B

Onde A é a matriz dos coecientes, X é a matriz das variáveis e B é a matriz dos termos independentes A =      a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a23 · · · a2n ... ... ... ··· ... am1 am2 am3 · · · amn      X =        x1 x2 x3 ... xn        B =        b1 b2 b3 ... bm        Suponha que X? _{= (x}?

1, x?2, x?3, . . . , x?n) seja uma solução desse sistema.

Propriedades das soluções de um sistema linear

Propriedades das soluções de um sistema linear

A sequência X? _{satisfaz cada equação do sistema AX = B, em particular}

ai1x?1+ ai2x?2+ ai3x?3+ · · · + ainx?n= bi

Propriedades das soluções de um sistema linear

A sequência X? _{satisfaz cada equação do sistema AX = B, em particular}

ai1x?1+ ai2x?2+ ai3x?3+ · · · + ainx?n= bi

e

Propriedades das soluções de um sistema linear

A sequência X? _{satisfaz cada equação do sistema AX = B, em particular}

ai1x?1+ ai2x?2+ ai3x?3+ · · · + ainx?n= bi

e

aj1x?1+ aj2x?2+ aj3x?3+ · · · + ajnx?n= bj

Se multiplicamos qualquer uma dessas equações por um número diferente de zero, obtemos uma equação que continua sendo verdadeira.

λai1x?1+ λai2x?2+ λai3x?3+ · · · + λainx?n= λbi

kaj1x?1+ kaj2x?2+ kaj3x?3+ · · · + kajnx?n= kbj

Propriedades das soluções de um sistema linear

A sequência X? _{satisfaz cada equação do sistema AX = B, em particular}

ai1x?1+ ai2x?2+ ai3x?3+ · · · + ainx?n= bi

e

aj1x?1+ aj2x?2+ aj3x?3+ · · · + ajnx?n= bj

Se multiplicamos qualquer uma dessas equações por um número diferente de zero, obtemos uma equação que continua sendo verdadeira.

λai1x?1+ λai2x?2+ λai3x?3+ · · · + λainx?n= λbi

Agora se somamos essas duas equações verdadeiras,

λai1x?1+ λai2x?2+ λai3x?3+ · · · + λainx?n= λbi

kaj1x?1+ kaj2x?2+ kaj3x?3+ · · · + kajnx?n= kbj

obtemos ainda uma equação verdadeira

(λai1+ kaj1)x?1+ (λai2+ kaj2)x?2+ (λai3+ kaj3)x?3+ · · · + (λain+ kajn)x?n= λbi+ kbj

Agora se somamos essas duas equações verdadeiras,

λai1x?1+ λai2x?2+ λai3x?3+ · · · + λainx?n= λbi

kaj1x?1+ kaj2x?2+ kaj3x?3+ · · · + kajnx?n= kbj

obtemos ainda uma equação verdadeira

(λai1+ kaj1)x?1+ (λai2+ kaj2)x?2+ (λai3+ kaj3)x?3+ · · · + (λain+ kajn)x?n= λbi+ kbj

Propriedades das soluções de um sistema linear

Concluímos que as soluções de um sistema linear não se alteram se trocamos duas equações de posição

multiplicamos uma de suas equações por um número diferente de zero

substituímos uma de suas equações por um múltiplo não nulo dela mesma somado com um múltiplo não nulo de alguma outra equação

Propriedades das soluções de um sistema linear

Concluímos que as soluções de um sistema linear não se alteram se trocamos duas equações de posição

multiplicamos uma de suas equações por um número diferente de zero

substituímos uma de suas equações por um múltiplo não nulo dela mesma somado com um múltiplo não nulo de alguma outra equação

Propriedades das soluções de um sistema linear

Concluímos que as soluções de um sistema linear não se alteram se trocamos duas equações de posição

multiplicamos uma de suas equações por um número diferente de zero

substituímos uma de suas equações por um múltiplo não nulo dela mesma somado com um múltiplo não nulo de alguma outra equação

Propriedades das soluções de um sistema linear

Concluímos que as soluções de um sistema linear não se alteram se trocamos duas equações de posição

multiplicamos uma de suas equações por um número diferente de zero

substituímos uma de suas equações por um múltiplo não nulo dela mesma somado com um múltiplo não nulo de alguma outra equação

Como associamos as equações de um sistema linear com as linhas de uma matriz, denimos as operações elementares nas linhas de uma matriz

Propriedades das soluções de um sistema linear

Concluímos que as soluções de um sistema linear não se alteram se trocamos duas equações de posição

multiplicamos uma de suas equações por um número diferente de zero

substituímos uma de suas equações por um múltiplo não nulo dela mesma somado com um múltiplo não nulo de alguma outra equação

Como associamos as equações de um sistema linear com as linhas de uma matriz, denimos as operações elementares nas linhas de uma matriz

trocar duas linhas de posição

multiplicar uma linha por um número diferente de zero

substituir uma linha por um múltiplo não nulo dela mesma somado com um múltiplo não nulo de alguma outra linha

Propriedades das soluções de um sistema linear

Concluímos que as soluções de um sistema linear não se alteram se trocamos duas equações de posição

multiplicamos uma de suas equações por um número diferente de zero

substituímos uma de suas equações por um múltiplo não nulo dela mesma somado com um múltiplo não nulo de alguma outra equação

Como associamos as equações de um sistema linear com as linhas de uma matriz, denimos as operações elementares nas linhas de uma matriz

trocar duas linhas de posição

Sistemas Equivalentes e Matrizes Linha-Equivalentes

Dois sistemas lineares são equivalentes se têm as mesmas soluções.

Duas matrizes são linha-equivalentes se uma é obtida da outra por uma sequência nita de operações elementares nas linhas.

Exemplo

Vamos resolver o sistema do início da aula escrevendo a forma matricial de cada passo    2x + 3y − z = 3 x − 4y + 5z = −3 3x + y + 3z = 7   2 3 −1 1 −4 5 3 1 3     x y z  =   3 −3 7  

Exemplo

Vamos resolver o sistema do início da aula escrevendo a forma matricial de cada passo    2x + 3y − z = 3 x − 4y + 5z = −3 3x + y + 3z = 7   2 3 −1 1 −4 5 3 1 3     x y z  =   3 −3 7  

Passo 1: trocar de posição a primeira e a segunda equações    x − 4y + 5z = −3 2x + 3y − z = 3 3x + y + 3z = 7   1 −4 5 2 3 −1 3 1 3     x y z  =   −3 3 7  

Passos 2 e 3: multiplicar a segunda equação por −1

2 e a terceira equação por − 1 3

Exemplo - continuação

           x − 4y + 5z = −3 −x − 3 2y + 1 2z = − 3 2 −x − 1₃y − z = −7₃       1 −4 5 −1 −3 2 1 2 −1 −1₃ −1             x y z       =       −3 −3 2 −7₃      

Exemplo - continuação

           x − 4y + 5z = −3 −x − 3 2y + 1 2z = − 3 2 −x − 1₃y − z = −7₃       1 −4 5 −1 −3 2 1 2 −1 −1₃ −1             x y z       =       −3 −3 2 −7₃      

Passos 4 e 5: substituir a segunda (e terceira) equação por sua soma com a primeira            x − 4y + 5z = −3 − 11 2y + 11 2 z = − 9 2 − 13₃y + 4z = −16₃       1 −4 5 0 −11 2 11 2 0 −13₃ 4             x y z       =       −3 −9 2 −16₃      

Exemplo - continuação

           x − 4y + 5z = −3 −x − 3 2y + 1 2z = − 3 2 −x − 1₃y − z = −7₃       1 −4 5 −1 −3 2 1 2 −1 −1₃ −1             x y z       =       −3 −3 2 −7₃      

Passos 4 e 5: substituir a segunda (e terceira) equação por sua soma com a primeira        x − 4y + 5z = −3 − 11 2y + 11 2 z = − 9 2      1 −4 5 0 −11 2 11 2           x y      =      −3 −9 2     

Exemplo - continuação

           x − 4y + 5z = −3 y − z = ₁₁9 − 13 3 y + 4z = − 16 3       1 −4 5 0 1 −1 0 −13 3 4             x y z       =       −3 9 11 −16 3      

Exemplo - continuação

           x − 4y + 5z = −3 y − z = ₁₁9 − 13 3 y + 4z = − 16 3       1 −4 5 0 1 −1 0 −13 3 4             x y z       =       −3 9 11 −16 3      

Passos 7 e 8: substituir a primeira equação por sua soma com a segunda multiplicada por 4 e substituir a terceira equação por sua soma com a segunda multiplicada por 13

Exemplo - continuação

           x − 4y + 5z = −3 y − z = ₁₁9 − 13₃ y + 4z = −16₃       1 −4 5 0 1 −1 0 −13₃ 4             x y z       =       −3 9 11 −16₃      

Passos 7 e 8: substituir a primeira equação por sua soma com a segunda multiplicada por 4 e substituir a terceira equação por sua soma com a segunda multiplicada por 13

3            x + z = ₁₁3 y − z = ₁₁9 − 1 3z = − 59 33       1 0 1 0 1 −1 0 0 −1 3             x y z       =       3 11 9 11 −59 33      

Passo 9: multiplicar a terceira equação por −3

Exemplo - continuação

           x + z = ₁₁3 y − z = ₁₁9 z = 59₁₁       1 0 1 0 1 −1 0 0 1             x y z       =       3 11 9 11 59 11      

Exemplo - continuação

           x + z = ₁₁3 y − z = ₁₁9 z = 59₁₁       1 0 1 0 1 −1 0 0 1             x y z       =       3 11 9 11 59 11      

Passos 10 e 11: substituir a segunda ( e primeira ) equação por sua soma (diferença) com a terceira

Exemplo - continuação

           x + z = ₁₁3 y − z = ₁₁9 z = 59₁₁       1 0 1 0 1 −1 0 0 1             x y z       =       3 11 9 11 59 11      

Passos 10 e 11: substituir a segunda ( e primeira ) equação por sua soma (diferença) com a

terceira _        x = −56₁₁ y = 68₁₁       1 0 0 0 1 0             x y       =       −56₁₁ 68 11      

Método: Escalonamento

Para resolver por escalonamento um sistema linear m × n (m equações e n variáveis) AX = B

1 Escreva a matriz ampliada do sistema

A | B

a matriz ampliada do sistema é a matriz com n + 1 colunas: as n de A e a única coluna de B

2 Efetue operações elementares na matriz ampliada do sistema até que as n primeiras

colunas (as que vieram de A) se assemelhem o melhor possível com uma matriz identidade

3 Interprete a matriz resultante, escrevendo o sistema associado

Método: Escalonamento

Para resolver por escalonamento um sistema linear m × n (m equações e n variáveis) AX = B

1 Escreva a matriz ampliada do sistema

A | B

a matriz ampliada do sistema é a matriz com n + 1 colunas: as n de A e a única coluna de B

2 Efetue operações elementares na matriz ampliada do sistema até que as n primeiras

Método: Escalonamento

Para resolver por escalonamento um sistema linear m × n (m equações e n variáveis) AX = B

1 Escreva a matriz ampliada do sistema

A | B

a matriz ampliada do sistema é a matriz com n + 1 colunas: as n de A e a única coluna de B

2 Efetue operações elementares na matriz ampliada do sistema até que as n primeiras

colunas (as que vieram de A) se assemelhem o melhor possível com uma matriz identidade

3 Interprete a matriz resultante, escrevendo o sistema associado

Exercícios

As matrizes a seguir são matrizes ampliadas de sistemas lineares. Resolva cada um deles por escalonamento 1.  1 1 1 4 2 5 −2 3  2.     1 1 1 1 0 1 1 1 −1 4 1 1 −1 1 −4 1 −1 1 1 2     3.   1 2 3 0 2 1 3 0 3 2 1 0   4.       3 2 −4 1 1 −1 1 3 1 −1 −3 −3 2 3 −5 0 −1      

Matrizes na Forma Escada

Denição

Uma matriz M está na forma escada ou é linha-reduzida à forma escada se o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1

cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem as demais entradas iguais a zero

todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas

se há r linhas não nulas e o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki

então k1 < k2< · · · < kr

Matrizes na Forma Escada

Denição

Uma matriz M está na forma escada ou é linha-reduzida à forma escada se o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1

cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem as demais entradas iguais a zero

todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas

se há r linhas não nulas e o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki

Matrizes na Forma Escada

Denição

Uma matriz M está na forma escada ou é linha-reduzida à forma escada se o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1

cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem as demais entradas iguais a zero

todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas

se há r linhas não nulas e o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki

então k1 < k2< · · · < kr

Matrizes na Forma Escada

Denição

Uma matriz M está na forma escada ou é linha-reduzida à forma escada se o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1

cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem as demais entradas iguais a zero

todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas

se há r linhas não nulas e o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki

Exercícios

Decida se cada matriz está ou não na forma escada. Quando não estiver, reduza à forma escada

1.  1 0 1 4 0 1 −5 2  2.     0 1 0 1 0 0 0 0 −1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0     3.   1 2 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0   4.       0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      

Exercícios

Decida se cada matriz está ou não na forma escada. Quando não estiver, reduza à forma escada

1.  1 0 1 4 0 1 −5 2  2.     0 1 0 1 0 0 0 0 −1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0     3.   1 2 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0   4.       0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      

O POSTO e a NULIDADE de uma Matriz

Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz na forma escada

O POSTO e a NULIDADE de uma Matriz

Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz na forma escada Denição

O posto de uma matriz Mm×n, p(M) ou ker(M), é o número de linhas não nulas na sua

O POSTO e a NULIDADE de uma Matriz

Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz na forma escada Denição

O posto de uma matriz Mm×n, p(M) ou ker(M), é o número de linhas não nulas na sua

reduzida à forma escada. Denição

A nulidade de uma matriz Mm×n é n − p(M), ou seja, o número de colunas menos o posto.

O POSTO e a NULIDADE de uma Matriz

Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz na forma escada Denição

O posto de uma matriz Mm×n, p(M) ou ker(M), é o número de linhas não nulas na sua

reduzida à forma escada. Denição

A nulidade de uma matriz Mm×n é n − p(M), ou seja, o número de colunas menos o posto.

Conclusões

De acordo com as observações dos exercícios concluímos que

O sistema AX = B tem solução se e somente se o posto de A é igual ao posto da matriz ampliada do sistema

Se o sistema com m equações e n variáveis, AX = B, tem solução e p(A) = n então essa solução é única

Se o sistema com m equações e n variáveis, AX = B, tem solução e p(A) < n então a nulidade de A, n − p(A), é o grau de liberdade do sistema, ou seja, p variáveis são determinadas em função de n − p(A) variáveis livres.