Poti6

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Fatos interessantes sobre triˆ

angulos

Nesta se¸c˜ao iremos abordar de maneira mais geral problemas envolvendo triˆangulos. Para isso, ´e importante saber algumas defini¸c˜oes. J´a entende-mos sobre ˆangulos externos de um triˆangulo, assim como sobre a soma dos ˆ

angulos internos de um triˆangulo qualquer. Aqui, abordaremos problemas envolvendo o que j´a aprendemos com que chamamos de pontos not´aveis de um triˆangulo. Antes disso, lembraremos que uma mediana ´e um segmento que liga um v´ertice ao ponto m´edio do lado oposto a ele. Bissetriz ´e um seg-mento que divide um ˆangulo em duas partes iguais(veja que este fato ´e v´alido para qualquer ˆangulo, o mesmo ser´a necess´ario para resolver o problema ∗, que n˜ao ´e sobre triˆangulos). A mediatriz de um lado do triˆangulo ´e uma reta que passa pelo ponto m´edio do lado do triˆangulo e ´e perpendicular ao mesmo. A altura de um triˆangulo ´e um segmento que sai de um v´ertice do triˆangulo e ´e perpendicular ao lado oposto. Os pontos not´aveis do triˆangulo s˜ao:

Baricentro: O ponto de encontro das medianas de um triˆangulo.

Incentro: O ponto de encontro das bissetrizes internas de um triˆangulo. Ortocentro: O ponto de encontro das alturas de um triˆangulo.

Circuncentro: O ponto de encontro das mediatrizes de um triˆangulo. ´

E poss´ıvel provar que realmente esses segmentos se encontram em um ´unico ponto, mas aqui n˜ao faremos tal demonstra¸c˜ao. Al´em disso, utilizando con-gruˆencia de triˆangulos(assunto que ainda ser´a abordado), podemos provar

que a mediana relativa `a base de um triˆangulo is´osceles ´e a mediatriz da base. Problema 1 Seja I o incentro de um triˆangulo ABC. Sabendo que o ˆangulo B ˆIC = 130o_{, determine a medida do ˆangulo ˆA.}

Solu¸c˜ao: Como B ˆIC = 130o, temos que B₂ˆ +C₂ˆ = 50o. Multiplicando a equa¸c˜ao anterior por 2, temos que ˆB + ˆC = 100o _{e ent˜ao ˆA = 180}o_{− 100}o ₌ 80o_.

Problema 2 Se H ´e ortocentro de um triˆangulo is´osceles ABC de base BC e B ˆHC = 150o_{, determine os ˆangulos do triˆangulo.}

A

H

C B

90º _150º 90º

Solu¸c˜ao: Como B ˆHC = 150o _{e o triˆangulo ABC ´e is´osceles, temos que} B ˆCH = C ˆBH = 15o. Se H ´e o ortocentro, ent˜ao ~BH e ~CH s˜ao alturas e, portanto, H ˆCA = H ˆBA = 60o_{. Logo, B ˆCA = C ˆBA = 75}o _{e B ˆAC = 30}o_.

Problemas Propostos

Problema 3 (Banco OBMEP - 2010) Determine os ˆangulos α e β dados na figura.

45º 130º 50º 70º ® ¯

Problema 4 (Banco OBMEP - 2010) Dados os ˆangulos de 150o _{e 160}o indi-cados na figura, calcule os valores dos ˆangulos x, y e z.

160º 160º 150º 150º x y z

Problema 5 (Banco OBMEP 2011) Seja ABC um triˆangulo com B ˆAC = 30o e A ˆBC = 50o. A reta l corta os lados AB, BC e o prolongamento de AC em D, E e F, respectivamente. Se o triˆangulo BDE ´e is´osceles, quais s˜ao as trˆes poss´ıveis medidas para o ˆangulo C ˆF E?

A B C D E 50º 30º l F

Problema 6 (Banco OBMEP 2015) No desenho abaixo, os pontos E e F pertencem aos lados AB e BD do triˆangulo ABD de modo que AE = AC e CD = F D. Se A ˆBD = 60o_{, determine a medida do ˆangulo E ˆCF .}

A D

B

C

E _F

Problema 7 (Banco OBMEP - 2011) Seja ABC um triˆangulo com AB = 13, BC = 15 e AC = 9. Seja r a reta paralela a BC tra¸cada por A. A

bisse-triz do ˆangulo A ˆBC corta a reta r em E e a bissetriz do ˆangulo A ˆCB corta r em F. Calcule a medida do segmento EF .

Problema 8 (Banco OBMEP 2016 - modificado) No desenho abaixo, C ´

e o ponto de interse¸c˜ao de AE e BF, AB = BC e CE = CF . Se C ˆEF = 70o_, determine o ˆangulo A ˆBC.

Problema 9 O triˆangulo ABC ´e is´osceles de base BC e B ˆAC = 48o_. Os pontos D e E est˜ao sobre os lados AB e AC, respectivamente, tais que D ˆCA = 9o _{e E ˆBC = 33}o_{. Determine a medida do ˆangulo C ˆDE.}

Problema 10 (Banco OBMEP - 2011) Num triˆangulo ABC, o ˆangulo A ˆBC mede 20o _{e o ˆangulo A ˆCB mede 40}o_{. Seja E um ponto sobre BC tal que} BE = BA.

(a) Mostre que o triˆangulo CEA ´e is´osceles.

(b) Sabendo que o comprimento da bissetriz do ˆangulo B ˆAC ´e 2, determine BC − AB.

Problema 11 (Banco OBMEP 2011) No interior de um triˆangulo ABC, toma-se um ponto E tal que AE = BE e AB = EC. Se A ˆBE = a = E ˆCA, E ˆAC = 2a e E ˆBC = 5a, determine a.

Problema 12 (∗)(Banco OBMEP - 2016) Dado um quadril´atero convexo ABCD, se as quatro bissetrizes de seus ˆangulos formam um novo quadril´atero HIJE, calcule a soma dos ˆangulos opostos H ˆIJ + J ˆEH.

A _B C D E I J H ® ¯

Problema 13 Na figura o ˆangulo A ˆDC mede 48o _{e os triˆangulos ACD,} DBE e EAF s˜ao is´osceles de bases AD, DE e EF, respectivamente. Quanto mede o ˆangulo D ˆEF ? A B C D E F 48º

Solu¸c˜oes dos Problemas Propostos

3. No triˆangulo menor, dois ˆangulos medem 70o e 180o − 130o _{= 50}o _{e o} terceiro mede 180o _{− (50}o _{+ 70}o_{) = 60}o_{. Assim, α = 180}o _{− 60}o _{= 120}o_. Olhando agora para o triˆangulo maior, temos 45o_{+ β + 50}o _{= 180}o_{, portanto,} β = 180o− 95o _{= 85}o_.

4. Observemos que os ˆangulos y, 150o _{e 160}o _{s˜ao ˆangulos externos de um} triˆangulo, de modo que y + 150o+ 160o = 360o . Assim, y = 50o. Pela mesma raz˜ao, conclu´ımos que z = 50o_{. Como x, y e z s˜ao ˆangulos internos de um} triˆangulo, temos x + y + z = 180o _{e, portanto, x = 80}o_.

5. Sabemos que B ˆCA = 180o _{− 50}o _{− 30}o _{= 100}o _{e E ˆCF = 80}o_. As-sim, basta calcular a medida do ˆangulo C ˆEF para depois calcular a medida do ˆangulo C ˆF E. Temos trˆes pos´ıveis casos, dependendo quais dos trˆes lados do triˆangulo BDE s˜ao iguais:

(a) Se BD = BE, temos que:

B ˆDE = B ˆED = 180 o_{− 50}o 2 = 65 o e C ˆF E = 180o− 80o_{− 65}o _{= 35}o_. (b) Se BD = DE, temos que:

B ˆED = D ˆBE = 50o e C ˆF E = 180o− 80o_{− 50}o _{= 50}o_. (c) Se DE = BE, temos:

B ˆDE = D ˆBE = 50o, B ˆED = 180o− 50o− 50o = 80o e

C ˆF E = 180o− 80o− 80o = 20o.

6. Consideremos E ˆAC = 2α e F ˆDC = 2β, pois, desta maneira, veja que A ˆEC = E ˆCA = 90o _{− α e D ˆCF = C ˆF D = 90}o _{− β. Da´ı, como} E ˆCF + (90o − α) + (90o _{− β) = 180}o _{⇒ E ˆCF = α + β. Agora,} va-mos usar a informa¸c˜ao do enunciado(na resolu¸c˜ao de todo problema deve-mos procurar utilizar as informa¸c˜oes dadas no enunciado) que nos diz que

A ˆBD = 60o_{. A soma dos ˆangulos internos do triˆangulo ABD ´e dada por} 60o+ 2α + 2β = 180o ⇒ α + β = 60o_{. Logo, E ˆCF = 60}o_. 7. Fa¸camos a figura: A B C E F

Veja que, como BE e CF s˜ao bissetrizes, C ˆBE = E ˆBA e B ˆCF = F ˆCA. Da´ı, como EF ´e paralelo a BC, temos que E ˆF C = A ˆCF e ent˜ao o triˆangulo ACF ´e is´osceles. Do mesmo modo, A ˆEB = A ˆBE e o triˆangulo ABE tamb´em ser´a is´osceles. Logo, EF = EA + AF = AC + AB = 22.

8. Como o triˆangulo CEF ´e is´osceles, ent˜ao C ˆEF = C ˆF E = 70o e F ˆCE = 180o _{− 2 × 70}o _{= 40}o_{. Como os ˆangulos B ˆCA e F ˆCE s˜ao} opos-tos pelo v´ertice estes s˜ao iguais. Veja tamb´em que ABC ´e is´osceles, ent˜ao B ˆAC = B ˆCA = 40o. Logo, A ˆBC = 180 − 2 × 40 = 100o.

A B C D E 33º 33º 57º 48º 81º

Marcando alguns ˆangulos, utilizando que ABC ´e is´osceles, temos que A ˆBC = A ˆCB = 66o _{e ent˜ao B ˆEC = 81}o_{. Perceba que, dessa maneira, DC ´e} perpen-dicular a BE e como C ˆBE = E ˆBD = 33o, o triˆangulo BCD ser´a is´osceles, pois BE ´e mediatriz. Logo, o triˆangulo DEC ´e is´osceles de base DC e, por-tanto, C ˆDE = 9o_.

10. Seguiremos a figura abaixo

A

B

C E D

40º 20º

is´osceles, segue que

A ˆEB = E ˆAB = 180

o_{− 20}o

2 = 80

o_.

Assim, C ˆAE = 120o− 80o _{= 40}o _{e o triˆangulo ACE tem dois ˆangulos de 40}o_, e, portanto, ´e is´osceles com CE = EA.

(b) Seja D o p´e da bissetriz do ˆangulo B ˆAC. A bissetriz divide o ˆangulo C ˆAB em dois ˆangulos de 60o_{. Logo, o ˆangulo}

C ˆDA = 180o− 40o_{− 60}o _{= 80}o_.

Como A ˆEB tamb´em mede 80o_{, temos que o triˆangulo ADE ´e is´osceles.} Fi-nalmente, BC − AB = BC − BE = CE = EA = AD = 2. 11. Vejamos a figura: a a a 2a 5a A B C E

Sabendo que a soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo ´e 180o_{, obtemos} A ˆEB = 180o− (a + a) = 180o_{− 2a e A ˆEC = 180}o_{− (a + 2a) = 180}o_{− 3a.}

Desse modo, temos que

C ˆEB = 360o− (A ˆEC + A ˆEB) = 360o− (180o_{− 3a + 180}o_{− 2a) = 5a.} Como o ˆangulo E ˆBC tamb´em mede 5a, segue que o triˆangulo BEC ´e is´osceles. Assim, AB = CE = BC, isto ´e, o triˆangulo ABC tamb´em ´e is´osceles. Logo, B ˆCA = B ˆAC = 3a e B ˆCA+C ˆAB +A ˆBC = 180o, isto ´e, 3a+3a+6a = 180o, o que resulta em a = 15o_.

12. Como a soma dos ˆangulos internos de qualquer quadril´atero ´e 360o, te-mos que H ˆAD + H ˆDA + J ˆBC + J ˆCB = 180o_{. Da´ı, veja que I ˆHE = 180}o₋ (H ˆAD + H ˆDA) e I ˆJ E = 180o_{− (J ˆBC + J ˆCB). Logo, I ˆHE + I ˆJ E = 180}o e ent˜ao α + β = 180o.

13. Lembrando que em um triˆangulo um ˆangulo externo ´e igual `a soma dos dois ˆangulos internos n˜ao adjacentes, temos que

A ˆCB = C ˆAD + C ˆDA = 2C ˆDA = 96o

Como o triˆangulo CAD ´e is´osceles, C ˆAD = C ˆDA. Do mesmo modo, como C ˆBA ´e externo a EDB e B ˆAC ´e externo ao triˆangulo AFE,

C ˆBA = 2D ˆEA e

B ˆAC = 2F ˆEA.

Somando essas trˆes igualdades e lembrando que a soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo ´e 180o_{, obtemos}

180o = 96o+ 2(D ˆEA + F ˆEA) = 2D ˆEF donde D ˆEF = 42o_.