EDOs2009 exercicios

(1)

EQUAC

¸ ˜

OES DIFERENCIAIS, aulas te´

orico-pr´

aticas

Faculdade de Ciˆ

encias da Universidade de Lisboa, 2009

1 Introdu¸

c˜

ao, revis˜

ao

Exerc´ıcio 1.1 A equa¸c˜ao (y2_{+ 2xy)dx − x}2_{dy = 0 n˜}_{ao ´}_{e exacta mas tem o factor integrante y}−2_.

Exerc´ıcio 1.2 Resolver a equa¸c˜ao (homog´enea) y0= x2_3xy−y2.

Exerc´ıcio 1.3 Resolver a equa¸c˜ao (de Bernoulli) y0 =2y_x − x2_y2_.

Exerc´ıcio 1.4 Considere-se a equa¸c˜ao de Ricatti

y0= a(x)y2+ b(x)y + c(x). (R) Verificar que, se for conhecida uma solu¸cão u(x) de (R), então a substitui¸cão y = u +_v1 reduz (R) a uma equa¸cão linear para a nova fun¸cão incógnita v.

Atendendo a que y0 = x3_{(y − x)}2₊y

x tem a solu¸c˜ao y = x, determinar todas as outras solu¸c˜oes.

Exerc´ıcio 1.5 Resolver (2x + y) + (x + 5y)y0= 0 com a substitui¸c˜ao u = x − y, v = x + 2y.

Exerc´ıcio 1.6 Determinar a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao 2(1 + y3_{) + 3xy}2_y0 _{= 0. (Considerar a}

fun¸c˜ao inversa como inc´ognita.)

Exerc´ıcio 1.7 Seja q cont´ınua em [0, ∞) com limx→+∞= q(x) = l. Mostrar que para a equa¸c˜ao

diferencial linear y0+ ay = q(x): (i) se a > 0, todas as solu¸cões têm limite l/a quando x → ∞; (ii) se a < 0, apenas uma solu¸cão tem aquela propriedade.

Exerc´ıcio 1.8 Seja y(x) a solu¸c˜ao do problema de valor inicial y0+ p(x)y = q(x), y(x0) = y0

onde p e q s˜ao cont´ınuas em [x0, ∞). Seja z ∈ C1([x0, ∞)) tal que z0(x) + p(x)z(x) ≤ q(x) ∀x ≥ x0

e z(x0) ≤ y(x0). Mostrar que z ≤ y em [x0, ∞). Concluir que a solu¸c˜ao de y0+ y = cos x, y(0) = 1

satisfaz 2e−x− 1 ≤ y(x) ≤ 1 para x ≥ 0.

Exerc´ıcio 1.9 Determinar, no intervalo [0, ∞), a fun¸c˜ao cont´ınua que satisfaz

y0+ 2y = ϕ(x), ∀x 6= 1 e y(0) = 0 (a) sendo ϕ(x) = ( 1, 0 ≤ x ≤ 1 0, x > 1

(2)

Exerc´ıcio 1.10 Seja f : I ⊂ R → R uma fun¸cão cont´ınua. Considerar a equa¸cão autónoma ˙

x = f (x). (EA)

Mostrar que se x(t) é uma solu¸cão de (EA), então y(t) = x(t + c), c ∈ R, é solu¸cão de (EA). Exerc´ıcio 1.11 Dados a, b > 0 resolver a equa¸cão

p0 = (a − bp)p e representar graficamente as solu¸c˜oes.

Exerc´ıcio 1.12 Determinar a solu¸c˜ao geral de cada uma das seguintes equa¸c˜oes diferenciais: 1. y000− 3y00_{+ 2y}0 _{= 0}

2. y000− y = 0

Exerc´ıcio 1.13 A fun¸cão φ1(x) = x é, em {x > 0}, solu¸cão da seguinte equa¸cão

x3y000− 3x2_y00_{+ 6xy}0_{− 6y = 0.} _(∗)

Determinar uma base de solu¸cões para (*) em {x > 0}. Exerc´ıcio 1.14 Considerar a equa¸cão de variáveis separáveis:

dx

dt = x − x

3_. _(E)

1. Seja φ(t) a única solu¸cão de (E) que verifica a condi¸cão φ(0) = π. Sabendo que φ está definida num intervalo da forma ]a, +∞[, a < 0, indicar, justificando, o valor do seguinte limite

lim

t→+∞φ(t),

(Não é necessário determinar explicitamente φ.) 2. Determinar todas as solu¸cões de (E).

(3)

2 Sistemas planos

Exerc´ıcio 2.1 Esquematizar as traject´orias das solu¸c˜oes dos sistemas seguintes no plano, eviden-ciando o comportamento das mesmas perto da origem.

( x0 = −5x + 2y y0= x − 4y ( x0 = 2x − y y0_{= x + 2y} ( x0 = −x − 4y y0= 9x + 11y

(4)

3 Modelos

Exerc´ıcio 3.1 Uma massa com o peso de 10kg estica uma mola 60cm e fica em equil´ıbrio. Depois a massa é empurrada para cima 10cm acima do seu equil´ıbrio e dá-se-lhe uma velocidade vertical (de cima para baixo) de 50cm/seg. Determinar a lei de movimento da massa. Qual é a sua posi¸cão 10seg depois de ter iniciado o movimento? E nesse instante está a subir ou a descer?

Exerc´ıcio 3.2 O sangue transporta uma substancia para determinado órgão à razão de 3cm3_/seg

e sai do órgão á mesma razão. O órgão tem um volume de l´ıquido de 125cm3_{. Se a concentra¸}_c˜_ao

da subst˜ancia no sangue que entra ´e 0.2g/cm3_{, qual ´}_{e a concentra¸}_c˜_{ao da substˆ}_{ancia no ´}_org˜_ao

em fun¸cão do tempo? Supomos que inicialmente não há substância no órgão. Quando é que a concentra¸cão atinge o valor de 0.1g/cm3_?

Exerc´ıcio 3.3 Ao meio dia a temperatura era de 16o_{C no local do crime.} _{O detective mede}

a temperatura do corpo e obt´em 34.5o_{C. Uma hora mais tarde volta a medir a temperatura do}

cad´aver e obt´em 33.7o_{C. A que horas se deu o crime? (A temperatura normal do corpo humano ´}_e

37o_C.)

Exerc´ıcio 3.4 Uma certa espécie de peixe tem a massa inicial de 7 milhões de toneladas. Na ausência de pesca, a massa aumentaria a uma taxa proporcional à massa com a constante de proporcionalidade 2 (por ano). A pesca comercial provoca diminui¸cão de massa à taxa constante de 15 milhões de toneladas por ano. Quanto tempo demora o peixe a extinguir-se? Qual deveria ser a taxa de pesca para que a quantidade de peixe se mantivesse constante?

Exerc´ıcio 3.5 Verificar que a solu¸c˜ao do problema de valor inicial correspondente ao modelo log´ıstico ´e

p = ap0

bp0+ (a − bp0)e−at

.

Assumindo conhecidos os valores p1 = p(t1) e p2 = p(t2) com t2 = 2t1 (t1 > 0) mostrar que os

coeficientes s˜ao a = 1 t1 lnp2(p1− p0) p0(p2− p1) , b = a p1 p2 1− p0p2 p1p2− 2p0p2+ p0p1) .

Exerc´ıcio 3.6 Uma popula¸cão de 1000 indiv´ıduos de uma espécie de peixe é lan¸cada num lago em 1990. Em 1997 a popula¸cão foi estimada em 3000, e em 2004 foi estimada em 5000. Utilizar o modelo log´ıstico para prever a dimensão da popula¸cão em 2011. Qual é a dimensão limite de acordo com este modelo?

Exerc´ıcio 3.7 Considere-se a equa¸c˜ao log´ıstica generalizada u0(t) = u(b(t) − c(t)u)

onde b e c s˜_{ao cont´ınuas e positivas em R. Esta equa¸cão é de Bernoulli e por isso a mudan¸ca de} incógnita u = 1/y transforma-a numa equa¸cão linear. Mostrar que uma solu¸cão comm u(t0) >

0 está definida e mantém-se positiva para todo o t > t0. Além disso, se B(t) := R t

t0b(s) ds e

assumirmos limt→+∞B(t) = +∞, ent˜ao

lim

t→+∞u(t) = limt→+∞

b(t) c(t) desde que exista o limite do 2o _membro.

(5)

4 Equa¸

c˜

ao do pˆ

endulo e plano de fases

Exerc´ıcio 4.1 Estudar as trajectórias e descrever as solu¸cões da equa¸cão do pêndulo nos casos: K = 4a e K > 4a (ver a seçcão 3).

Exerc´ıcio 4.2 Supondo que F é uma fun¸cão de classe C2 em [−p, q], (−p < 0 < q), 0 = F (0) < F (u) se u ∈ [−p, q] \ 0, F (−p) = F (q) e F0(u) anula-se somente se u = 0, −p, q, estudar as trajectórias e descrever as solu¸cões da equa¸cão

¨

u + F0(u) = 0 com valores em [−p, q].

Exerc´ıcio 4.3 Utilizando as ideias da resolu¸cão do exerc´ıcio anterior, descrever as solu¸cões e suas trajectórias no plano de fases para as equa¸cões

u00+ 2u − 4u3= 0; u00− 2u + 4u3_{= 0.}

Comprovar que no segundo caso todas as solu¸cões tˆ_{em dom´ınio R, enquanto no primeiro algumas} solu¸cões têm como dom´ınio intervalos limitados.

(6)

5 Quest˜

oes de unicidade e estimativas

Exerc´ıcio 5.1 Sejam y e z duas solu¸c˜oes, definidas no mesmo intervalo, de y0 = f (x, y), onde f ´_{e real cont´ınua num dom´ınio aberto de R}2_{. Mostrar que min(y(x), z(x)) e max(y(x), z(x)) s˜}_ao

tamb´em solu¸c˜oes.

Exerc´ıcio 5.2 Seja u uma fun¸c˜ao positiva e C1 tal que u0(t) ≤ Ku(t) ln u(t), a ≤ t ≤ b. Mostrar que u(t) ≤ u(a)eK(t−a)

.

Exerc´ıcio 5.3 Seja f (y) = −y ln y se 0 < y < 1 e defina-se f (y) = 0 noutro caso. Mostrar que y0= f (y) tem uma s´o solu¸c˜ao tal que y(0) = c.

Exerc´ıcio 5.4 Seja f ∈ C1_(Rn_{, R}n) e y(t) uma fun¸cão difernci´_{avel com valores em R}n que é solu¸cão de y0 _{= f (y) definida em [0, β], tal que y(0) = y(β). Mostrar que y(t) se prolonga a R} como solu¸cão periódica, de per´ıodo β, da mesma equa¸cão.

Exerc´ıcio 5.5 Seja f uma fun¸c˜ao real de classe C1 _{e y(t) uma solu¸}_c˜_{ao de y}00_{= f (y) definida em}

[0, β] tal que y0(β) = 0. Mostrar que y(t) se prolonga a [0, 2β] como solu¸cão da mesma equa¸cão, simétrica a respeito da recta t = β.

Exerc´ıcio 5.6 Seja y(t) uma solu¸cão de y0 = cos(y) definida em [0, β] tal que y(0) = 0. Mostrar que y(t) se prolonga a [−β, β] como solu¸cão ´ımpar da mesma equa¸cão.

Exerc´ıcio 5.7 Seja f cont´ınua e Lipschitziana em rela¸cão à segunda vari´_{avel em D = I × R.} Mostrar que a solu¸cão do problema

y00= f (x, y), y(x0) = y0, y0(x0) = y1

´

e o limite (uniforme em qualquer compacto ⊂ I) do m´etodo iterativo zn+1(x) = y0+ (x − x0)y1+

Z x

x0

(x − t)f (t, zn(t)) dt, n = 0, 1, 2, · · · , z0(x) ≡ y0.

SUGEST ˜AO: Representando por T o operador definido pelo 2o _{membro em C[x}

0, x0+∆], a equa¸c˜ao

integral é zn+1= T zn. Apesar de T poder não ser uma contraçcão (para a norma usual) tem-se

|(Tn+1_{y − T}n_{y)(x)| ≤ L}n_∆2n_/(2n)!

o que ´e suficiente para garantir a convergˆencia de Tn_{y. O mesmo num intervalo do tipo [x}

0−∆, x0].

Exerc´ıcio 5.8 Qual é o dom´ınio da solu¸cão não prolongável dos problemas (i) y0= _1−xcos y2, y(0) =

y0? (ii) y0 =_1−xcos y2, y(3) = y0?

Exerc´ıcio 5.9 Consideremos o sistema aut´onomo y0 = f (y) onde f ´e localmente Lipschitziana num aberto G de Rn_{. Representemos por y(x, ξ) o valor em x da solu¸}_c˜_{ao n˜}_{ao prolong´}_{avel que}

satisfaz a condi¸c˜ao inicial y(0) = ξ.

(i) Mostrar que o dom´ınio de y(·, y(s, ξ)) ´e I − s, onde I ´e o dom´ınio de y(·, ξ).

(ii) Mostrar que, ∀s, t tais que existem y(s, ξ) e y(t + s, ξ), ent˜ao y(t, y(s, ξ)) tamb´em existe e tem-se y(t, y(s, ξ)) = y(t + s, ξ).

(iii) Se y é solu¸cão não prolongável e existe T > 0 tal que y(0) = y(T ) e f (y(0)) 6= 0, então y ´

e solu¸cão periódica não constante.

(7)

Exerc´ıcio 5.10 Mostrar que todas as solu¸cões não prolongáveis do sistema plano (5.1) ( x0= U (x, y) y0 = V (x, y) onde U, V ∈ C1 (R2_{) satisfazem xU (x, y) + y}3_{V (x, y) = 0 ∀x, y, tˆ} em dom´ınio R.

6 Dependˆ

encia das solu¸

c˜

oes em rela¸

c˜

ao a condi¸

c˜

oes iniciais

e parˆ

ametros

Exerc´ıcio 6.1 Seja f uma fun¸c˜_{ao localmente Lipschitziana em R. Mostrar que existe > 0 tal} que, se |λ| < , a solu¸c˜ao y(·, λ) do PVI

y0= λ f (y) + cos x, y(0) = 0

tem pelo menos uma raiz no intervalo [3, 3.2]. Supondo f de classe C1 _eRπ

0 f (sin t) dt < 0, mostrar

que pode ser escolhido de forma que, se 0 < λ < , y(π, λ) < 0.

Exerc´ıcio 6.2 Seja f uma fun¸c˜_{ao localmente Lipschitziana em R. Mostrar que existe > 0 tal} que, se |λ| < , a solu¸c˜ao y(·, λ) do PVI

y00+ y = λ f (y), y(0) = 0, y0(0) = 1

tem exctamente um zero em [2, 4]. Se, al´em disso, f ´e C1 _{e sf (s) < 0 ∀s 6= 0, mostrar que pode}

ser escolhido de forma que, se 0 < λ < , y(π, λ) < 0.

Exerc´ıcio 6.3 Provar que o problema (de valores na fronteira) x00= 1 − x2, x(0) = 0, x(4) = 0

tem pelo menos uma solu¸cão. SUGEST ÃO: x02+ 2x3/3 − 2x = const; a solu¸cão com condi¸cões iniciais x(0) = x0(0) = 0 tem no plano de fases uma trajectória que “demora”a atingir o eixo dos xx (anulamento de x0_{) um tempo T = 2.440... e para as condi¸}_c˜_{oes x(0), x}0_{(0) = 2/}√_{3, T = 1.621....}

Exerc´ıcio 6.4 Seja h uma fun¸c˜_{ao cont´ınua com per´ıodo T e 0 < h(t) < 1/4 ∀t ∈ R. Mostrar que} a equa¸cão x0= x(1 − x) − h(t) tem duas solu¸cões T -periódicas.

Exerc´_{ıcio 6.5 Mostrar que existe λ ∈ R tal que a equa¸c˜ao} y0= λ(1 + sin2x + sin2y) + x tem uma solu¸c˜ao que satisfaz y(0) = 0 = y(1).

Exerc´ıcio 6.6 Seja h uma fun¸c˜_{ao cont´ınua com per´ıodo T e 0 < h(t) < 1/4 ∀t ∈ R. Mostrar que} a equa¸cão x0= x(1 − x) − h(t) tem duas solu¸cões T -periódicas.

Exerc´_{ıcio 6.7 Seja f (t, x, v), definida em [0, 1×R}2_{, de classe C}1_{nas segunda e terceira vari´}_aveis,

com ∂f_∂x > 0. Supondo que o problema

x00= f (t, x, x0) x(0) = a, x(1) = b

tem solu¸c˜ao em [0, 1], ent˜ao, se β − b for suficientemente pequeno o problema x00= f (t, x, x0) x(0) = a, x(1) = β

(8)

7 Sistemas lineares

Exerc´ıcio 7.1 A equa¸c˜ao de segunda ordem

u00+ a1(x)u0+ a0(x)u = f (x)

transforma-se na equa¸c˜ao equivalente

(eR a1_y0₎0_{+ e}R a1_a

0y0 = eR a1f.

E, se a1´e de classe C1e f ≡ 0, com a transforma¸c˜ao z = ye

1

2R a1 _obt´_{em-se a equa¸}_c˜_{ao normal sem}

termo em y0 z00+ (a0(x) − 1 2a 0 1(x) − 1 4a1(x) 2_{)z = 0.}

Exerc´ıcio 7.2 Sejam u, v, w as solu¸cões de y000+ y = 0 tais que u(0) = 1, u0(0) = 0, u00(0) = 0; v(0) = 0, v0(0) = 1, v00(0) = 0; w(0) = 0, w0(0) = 0, w00(0) = 1. Verificar que não é necessário determinar explicitamente as solu¸cões para concluir:

u0 = −w; v0= u; w0 = v; W (u, v, w) = u3− v3_{+ w}3_{+ 3uvw = 1.}

Exerc´ıcio 7.3 Sejam p, q, f cont´ınuas num intervalo I. Sejam φ(x), ψ(x) duas solu¸cões linear-mente independentes da equa¸cão homogénea de segunda ordem

u00+ p(x)u0+ q(x) = 0 e seja W (x) o seu Wronskiano. Mostrar que a solu¸c˜ao de

u00+ p(x)u0+ q(x) = f (x), u(α) = 0, u0(α) = 0 ´ e dada por u(x) = − φ(x) W (x) Z x α ψ(t)f (t) dt + ψ(x) W (x) Z x α φ(t)f (t) dt.

Exerc´ıcio 7.4 Seja z(x) a solu¸c˜ao de

u00+ a1u0+ a0u = 0, u(0) = 0, u0(0) = 1

onde os coeficientes ai s˜ao constantes. Mostrar que

y(x) = Z x α z(x − t)f (t) dt ´ e a solu¸c˜ao de u00+ a1u0+ a0u = f (x), u(α) = 0, u0(α) = 0.

Exerc´ıcio 7.5 Se X(x, t) ´e uma matriz fundamental do sistema linear homog´eneo y0 = A(x)y, mostrar que

∂X(x, t)

(9)

Exerc´ıcio 7.6 Verificar que a matriz A =   2 1 −1 −3 −1 1 9 3 −4 

tem apenas um valor pr´oprio e que

a sua exponencial é eAx₌ 1 2e −x   2 + 6x − 3x2 _2x _{−2x + x}2 −6x 2 2x 18x − 9x2 _6x _{2 − 6x + 3x}2  . Exerc´ıcio 7.7 Se A = a −b b a , mostrar que eAx= eax cos(bx) − sin(bx) sin(bx) cos(bx) . (SUGEST ÃO: A actua no plano, identificado com C, como a multiplica¸cão por z = a + ib.)

Exerc´ıcio 7.8 Seja A uma matriz 3 × 3 com valores pr´oprios λ1 (de multiplicidade alg´ebrica 2) e

λ2. Utilizando a igualdade A − λ2= A − λ1− (λ2− λ1) e o teorema de Cayley-Hamilton

(A − λ1)2(A − λ2) = 0

obt´em-se (A − λ1)j+2= (λ2− λ1)j(A − λ1)2. Concluir que

eAx= eλ1x I + x(A − λ1) + _x λ1− λ2 +e (λ2−λ1)x_{− 1} (λ1− λ2)2 (A − λ1)2 .

Exerc´ıcio 7.9 Seja A uma matriz constante tal que aij ≥ 0 sempre que i 6= j. Mostrar que eA

tem todas as entradas ≥ 0. O rec´ıproco vale também. SUGEST ÃO: as solu¸cões de y0 = Ay que têm condi¸cão inicial de componentes ≥ 0 mantêm-se com valores ≥ 0 no futuro.

8 Estabilidade (lineariza¸

c˜

ao)

Exerc´ıcio 8.1 Verificar que, para a equa¸c˜ao do pˆendulo simples com atrito u00+ cu0+ a sin u = 0

(onde c e a são números positivos), a solu¸cão nula é assintoticamente estável. Exerc´ıcio 8.2 Para o sistema não linear

     x0 _{= −x − y + z + xy} y0= x − 2y + 2z + (1 + t2₎−1_zy z0_{= x + 2y + z + sin(x − y)z}

a solu¸cão nula é instável.

Exerc´ıcio 8.3 Verificar que a solu¸cão nula é assintoticamente estável para o sistema

(

x0 = −y + c x(x2_{+ y}2₎

y0_{= x + c y(x}2_{+ y}2₎

(10)

9 Estabilidade (Lyapunov)

Exerc´ıcio 9.1 Verificar que a solu¸cão nula é assintoticamente estável para o sistema (

x0 = −x − y y0= x − y3)

utilizando x2_{+ y}2 _{como fun¸}_c˜_{ao de Lyapunov.}

Exerc´ıcio 9.2 Estudar a estabilidade da origem para a equa¸c˜ao de Li´enard u00+ u0+ g(u) = 0

onde g ´e C1_{, ug(u) > 0 se u 6= 0 e g}0_{(0) > 0. Utilizar uma fun¸}_c˜_{ao de Lyapunov da forma}

v2_{/2 + G(u) + βg(u)v com β pequeno, onde u, v s˜}_{ao as vari´}_{aveis do plano de fases.}

Exerc´ıcio 9.3 Verificar que a solu¸cão nula é instável para o sistema

(

x0 = cx + xy y0= −dy + x2)

onde c > 0 e d > 0, utilizando V = x2_{− y}2_.

Exerc´ıcio 9.4 Estudar a estabilidade da origem para a equa¸c˜ao u00+ au0+ bu + u2= 0 onde a > 0 e b > 0.

Exerc´ıcio 9.5 Para a equa¸c˜ao

u00+ u0+ u + u2

(a) há apenas dois equil´ıbrios, (−1, 0) e (0, 0); (b) estudar a estabilidade destes por lineariza¸cão; (c) verificar que V (x, y) = x2+ y2+2₃x3é fun¸cão de Lyapunov relativamente a (0, 0) no dom´ınio x2+ y2+2₃x3> 0 e esquematizar este dom´ınio (ver figura 13); (d) Os únicos subconjuntos positivamente invariantes, não vazios, do eixo xx são os que contêm algum dos equil´ıbrios; (e) a região de atraçcão da origem contém pelo menos o conjunto

V (x, y) < 1

3 ≡ V (−1, 0);

(f ) na verdade a região de atraçcão da origem contém também pelo menos o rectângulo com um vértice na origem, outro em (−1, 0) e outro em (0,_√1

3). (Sugestão para a última questão: estudar

a direçcão do campo vectorial da equa¸cão nos lados do rectângulo que estão fora do conjunto dado em (e).)

Exerc´ıcio 9.6 Considerar o sistema (

x0 = −a0f (x) −P n i=1aizi

z0_i= −λizi+ bif (x), 1 ≤ i ≤ n

(11)

Exerc´ıcio 9.7 Verificar que para o sistema (

x0 = y + x(k2− x2_{− y}2₎

y0= −x + y(k2_{− x}2_{− y}2₎

a origem é estável se, e só se, k = 0.

Exerc´ıcio 9.8 Estudar a estabilidade da origem para o sistema (

x0 _{= −xy}4

y0= yx4

utilizando V = x4_{+ y}4_.

Exerc´ıcio 9.9 Estudar a estabilidade da solu¸c˜ao nula para a equa¸c˜ao de Van der Pol y00+ µ(y2− 1)y0+ y = 0

de acordo com os valores de µ (µ < 2, µ = 2, µ > 2. Se µ < 0 a solu¸cão nula é assintoticamente estável.

(12)

10 Oscila¸

c˜

ao. Valores pr´

oprios

Exerc´ıcio 10.1 Determinar os valores próprios e as fun¸cões próprias dos problemas seguintes (a)

y00+ λy = 0, y0(0) = 0, y(π/2) = 0. (b)

(x2y0)0+ λx−2y = 0, y(1) = 0, y(2) = 0.

SUGEST ÃO: efectuar a mudan¸ca de variável independente x = 1/t, que converte a equa¸cão numa outra que é autónoma.

(c)

y00+ λy = 0, y(0) = 0, y(1) + y0(1) = 0.

Exerc´ıcio 10.2 Verificar que o problema

x2y00+ xy0+ λy = 0, y(1) = 0, y(e) = 0 ´

e equivalente a

(xy0)0+λ

xy = 0, y(1) = 0, y(e) = 0

e que os valores próprios são λn = n2π2 e as correspondentes fun¸cões próprias são φn(x) =

sin(nπ ln x).

Exerc´ıcio 10.3 Verificar que a solu¸cão geral de x4y00+ λ2y = 0 é y = x(A cosλ_x + B sinλ_x) e determinar os valores próprios e fun¸cões próprias do problema

x4y00+ λ2y = 0, y(α) = 0, y(β) = 0 (0 < α < β).

Exerc´ıcio 10.4 Mostrar que toda a solu¸c˜ao de y00+ xy = 0 tem infinitos zeros no semieixo x > 0.

Exerc´ıcio 10.5 Mostrar que o problema de valores pr´oprios (4)-(B) tem todos os valores pr´oprios positivos se Q(x) < 0, αα0≤ 0 e ββ0 _{≥ 0. SUGEST ˜}_{AO: multiplicar por u e integrar por partes em}

[a, b].

Exerc´ıcio 10.6 Mostrar que o problema de valores próprios (4)-(B) não pode ter senão um número finito de valores próprios negativos. E, se Q(x) > 0, não pode haver mais de um va-lor próprio negativo.

Exerc´ıcio 10.7 Determinar todas as solu¸c˜oes de θ0_{= A sin}2_{θ + B cos}2_{θ, onde A > 0 e B > 0.}

Exerc´ıcio 10.8 (a) Mostrar que, se q(x) < 0, nenhuma solu¸cão não trivial de u00+ q(x)u = 0 pode ter mais do que um zero. SUGEST ÃO: uu0 é crescente. (b) Mostrar que, se q(x) < 0, nenhuma solu¸cão não trivial de u00+ p(x)u0+ q(x)u = 0 pode ter mais do que um zero.

Exerc´ıcio 10.9 Dados dois problemas da forma (4)-(B) diferindo apenas nas fun¸c˜oes Q1(x) ≤

Q2(x), as respectivas sucess˜oes de valores pr´oprios (λ (1) n ) e (λ (2) n ) satisfazem λ (1) n ≥ λ (2) n . A

(13)

Exerc´ıcio 10.10 Dadas solu¸c˜oes ui(x) de (Ei) (ver enunciado do teorema 11.1) mostrar que se u1(a) = u1(b) = 0 e u2(x) 6= 0 ∀x ∈ [a, b], Z b a [Q2(x) − Q1(x)]u1(x)2dx + Z b a [P1(x) − P2(x)]u01(x) 2_{dx +}Z b a P1(x)[u01(x) − u1(x)u02(x) u2(x) ]2dx = 0.

(identidade de Picone). Redemonstrar a partir deste resultado o teorema 11.1. Exerc´ıcio 10.11 Resolver os problemas de valores fronteira

(a) y00+ 2y0+ y = x, y(0) = 0, y(2) = 3 (b) y00+ 4y0+ 7y = 0, y(0) = 0, y0(1) = 1 (c) y00+ y = x2, y(0) = 0, y(π/2) = 1

Exerc´ıcio 10.12 Para que valores de b > 0, A e B tem o problema y00+ 2py0+ qy = 0, y(0) = A, y(b) = B (onde p2_{< q) uma ´}_{unica solu¸}_c˜_ao?

Exerc´ıcio 10.13 Mostrar que o problema

y00+ q(x)y = f (x), y(0) = A, y(b) = B (b > 0) tem uma e uma s´o solu¸c˜ao se q(x) ≤ 0 em [a, b].

(14)

11 Quest˜

oes elementares de equa¸

c˜

oes com derivadas

par-ciais

Exerc´ıcio 11.1 Determinar a solu¸c˜ao geral de xux− yuy+ u = x; xyux− x2uy− yu = xy.

Exerc´ıcio 11.2 Determinar a solu¸c˜ao do problema ux+ uy+ u = ex+2y, u(x, 0) = 0.

Exerc´ıcio 11.3 Determinar a solu¸c˜ao do problema xuy− yux = u, u(x, 0) = h(x), onde h ∈

C1_(R).

Exerc´ıcio 11.4 Mostrar que n˜ao existe solu¸c˜ao u, de classe C1_{numa vizinhan¸}_{ca da origem, para}

a equa¸c˜ao xux+ yuy= 1.

Exerc´ıcio 11.5 Seja u solu¸c˜ao de a(x, y)ux+ b(x, y)uy + u = 0 num aberto que cont´em a bola

unit´aria fechada ¯_{B de R}2_{. As fun¸}_c˜_{oes a e b satisfazem a(x, y)x + b(x, y)y > 0 ∀(x, y) tais que}

x2_{+ y}2_{= 1. Provar que u ≡ 0. SUGEST ˜}_{AO: min} ¯

Bu = maxB¯u = 0.

Exerc´ıcio 11.6 Determinar a solu¸c˜ao do problema misto      ut= βuxx, 0 < x < L, t > 0 ux(0, t) = ux(L, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = f (x), 0 < x < L onde f ´e C1 _{em [0, L].}

Exerc´ıcio 11.7 Determinar a solu¸cão do problema misto (onde p é uma fun¸cão dada, cont´ınua em [0, L])      ut= βuxx+ p(x), 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = U1, u(L, t) = U2, t > 0 u(x, 0) = f (x), 0 < x < L SUGEST ÃO: a solu¸cão é da forma

u(x, t) = v(x) + w(x, t)

onde v, w são solu¸cões da equa¸cão diferencial e v verifica as condi¸cões de fronteira. Portanto w verificará as condi¸cões de fronteira homogéneas (U1 e U2 substitu´ıdos por 0) e a condi¸cão inicial.

Exerc´ıcio 11.8 Determinar a solu¸c˜ao generalizada do problema misto      ut= uxx+ e−x, 0 < x < π, t > 0 u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = sin 2x, 0 < x < L seguindo a sugest˜ao do problema anterior.

(15)

Exerc´ıcio 11.9 Determinar a solu¸c˜ao dos problemas      ut= uxx, 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = L/2 − |x − L/2|, 0 < x < L e      ut= uxx, 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = x(L − x), 0 < x < L

Exerc´ıcio 11.10 Determinar a solu¸c˜ao do problema      utt= uxx, x ∈ R, t ∈ R u(x, 0) = sin x, ut(x, 0) = 1

Exerc´ıcio 11.11 Determinar a solu¸c˜ao do problema          utt= 4uxx, 0 < x < π, t ∈ R u(0, t) = u(π, t) = 0 ∀t u(x, 0) = sin 5x, ut(x, 0) = x(π − x); ∀x ∈ (0, π)

Qual ´e o valor de u(1, 10)?

Exerc´ıcio 11.12 Determinar a solu¸c˜ao generalizada do problema          utt= 4uxx, 0 < x < 1, t ∈ R u(0, t) = u(1, t) = 0 ∀t u(x, 0) = x(1 − x), ut(x, 0) = x(1 − x2); ∀x ∈ (0, 1).

Qual é a regularidade da solu¸cão que se obteve? Qual é o valor de u(1/2, 2)? Exerc´ıcio 11.13 Considerar o problema

     utt= c2uxx, x ∈ R u(x, 0) = φ0(x), ut(x, 0) = φ1(x); ∀x.

Supondo que φ0, φ1 se anulam fora do intervalo (−1, 1), para que valores de x pode ser a solu¸c˜ao