Universidade Estadual de Campinas Instituto de Computação
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Evandro Cesar Bracht
Problemas de Empacotamento com Restrições de Equilíbrio
Mecânico
CAMPINAS
2016
Evandro Cesar Bracht
Problemas de Empacotamento com Restrições de Equilíbrio Mecânico
Tese apresentada ao Instituto de Computação da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Ciência da Computação.
Orientador: Prof. Dr. Flávio Keidi Miyazawa
Este exemplar corresponde à versão final da Tese defendida por Evandro Cesar Bracht e orientada pelo Prof. Dr. Flávio Keidi Miyazawa.
CAMPINAS
2016
Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): FAPESP, 03/13815-0
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Bracht, Evandro Cesar,
B724p BraProblemas de empacotamento com restrições de equilíbrio mecânico / Evandro Cesar Bracht. – Campinas, SP : [s.n.], 2016.
BraOrientador: Flávio Keidi Miyazawa.
BraTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Computação.
Bra1. Problemas de empacotamento. 2. Otimização combinatória. 3. Algoritmos de computador. 4. Algoritmos branch-and-cut. 5. Equilíbrio mecânico. I. Miyazawa, Flávio Keidi,1970-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Computação. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Packing problems with mechanical equilibrium constraint Palavras-chave em inglês: Packing problems Combinatorial optimization Computer algorithms Branch-and-cut algorithms Mechanical equilibrium
Área de concentração: Ciência da Computação Titulação: Doutor em Ciência da Computação Banca examinadora:
Flávio Keidi Miyazawa [Orientador] Reinaldo Morabito Neto
Maria do Socorro Nogueira Rangel Eduardo Candido Xavier
Fábio Luiz Usberti
Data de defesa: 31-10-2016
Programa de Pós-Graduação: Ciência da Computação
Universidade Estadual de Campinas Instituto de Computação
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Evandro Cesar Bracht
Problemas de Empacotamento com Restrições de Equilíbrio Mecânico
Banca Examinadora:
• Prof. Dr. Flávio Keidi Miyazawa (Orientador) Instituto de Computação, UNICAMP
• Prof. Dr. Reinaldo Morabito Neto
Departamento de Engenharia de Produção, UFSCar • Profa. Dra. Maria do Socorro Rangel
Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, UNESP • Prof. Dr. Eduardo Candido Xavier
Instituto de Computação, UNICAMP • Prof. Dr. Fábio Luiz Usberti
Instituto de Computação, UNICAMP
A ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros da banca encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
Resumo
Neste trabalho investigamos duas variações de problemas de empacotamento com restrições de equilíbrio mecânico: O problema da mochila 0-1 bidimensional e o problema de carregamento de contêiner. Para o problema da mochila 0-1, consideramos restrições de equilíbrio estático e dinâmico aplicadas ao cenário de carregamento de paletes bidimensionais. Para tanto desenvol-vemos um algoritmo “branch-and-cut”, onde os cortes excluem empacotamentos inviáveis. Os empacotamentos viáveis são obtidos através de uma sub-rotina em programação por restrições e as restrições de equilíbrio estático e dinâmico são verificada através de um algoritmo base-ado nas condições físicas de equilíbrio mecânico. No problema de carregamento de contêiner tridimensional com restrição de equilíbrio mecânico, desenvolvemos uma heurística utilizando a metaheurística BRKGA (Biased Random-Key Genetic Algorithms), que considera a forma geométrica e física dos itens, e utiliza um pacote de simulação física ODE, durante a fase de decodificação, para verificar se um dado empacotamento está em equilíbrio mecânico. Posteri-ormente desenvolvemos métodos heurísticos rápidos para testar condições de equilibrio estático e dinâmico em empacotamentos tridimencionais. A combinação de métodos heuristicos e exa-tos permitiu obter empacotamenexa-tos em equilíbrio estático e dinâmico para entradas maiores.
Abstract
In this Thesis, we investigate two variants of packing problems with mechanical equilibrium constraints: The 0-1 two-dimensional knapsack problem and the container loading problem. For the 0-1 knapsack problem, we consider static and dynamic equilibrium conditions applyed to the loading of two-dimensional pallets. We developed a branch-and-cut algorithm, using cutting planes to avoid unstable packings. Feasible packings are obtained using a constraint programming subroutine, and static and dynamic conditions are verified by an algorithm based on mechanical equilibrium theory. In the (three-dimensional) container loading problem, we developed an heuristic based on the metaheuristic BRKGA (Biased Random-Key Genetic Al-gorithms), that considers the geometrical configuration of the packed items and uses the ODE physical simulation package, during the chromossome decodification, to verify if a given pack-ing satisfy mechanic equilibrium conditions. Then, we developed fast aproximate heuristics to test static and dynamic equilibrium conditions in three-dimensional packings. The combined use of heuristic and exact methods allowed to obtain an algorithm capable to obtain packings that satisfy static and dynamic equilibrium conditions for larger instances.
Agradecimentos
São tantas as pessoas que merecem agradecimentos, amigos, familiares, professores, mas algu-mas merecem destaque.
Uma pessoa que merece meu agradecimento especial é a Gislaine, minha esposa. Muito obrigado pela compreensão, paciência, amor, enfim tudo que você me ajudou. Esta tese é tanto sua quanto minha.
Ao professor e orientador Flávio K. Miyazawa, meu muito obrigado pela sua orientação, compreensão, amizade e paciência.
Ao professor Marco Lucio Bittencourt pelas orientações na parte física que foram funda-mentais para ao desenrolar da tese.
Aos amigos que são tantos, ao longo de tantos anos no IC e fora dele, companheiros de cafe, de sala, de bandejão, de republica, vocês me ajudaram muito.
Aos professores que ajudaram na minha formação.
Ao IC e todos os funcionários pela estrutura necessária ao desenvolvimento da tese. À Banca examinadora pelas sugestões e criticas ao trabalho.
À Fapesp pelo financiamento via bolsa de doutorado. Á UEMS pelo afastamento.
Lista de Figuras
2.1 Obtenção de força resultante. . . 18
2.2 Exemplo de uma força externa. . . 20
2.3 Diagrama de corpo livre para força externa. . . 20
2.4 Exemplo de aplicação da lei de transmissibilidade de uma força aplicada sobre objeto rígido. . . 20
2.5 Uma mola com coeficiente de rigidez k e dois nós 1 e 2 com a força F sendo aplicada ao longo do eixo x. . . 22
3.1 Posição ∆vda força vertical resultante. . . . 27
3.2 Em (a), mostramos uma visão de baixo para cima, onde a caixa em cinza escuro está sendo empacotada sobre os itens em cinza claro juntamente com os pontos de apoio. Em (b), mostramos o casco convexo formado usando os pontos de apoio. . . 27
3.3 Pressão que o vento exerce em um empacotamento (esquerda para a direita). . . 29
3.4 Veículo em uma estrada com inclinação θ. . . 29
3.5 Visão aérea de um item prestes a deslizar. . . 31
3.6 Forças e os pontos de referência para verificar se o item i tomba. . . 31
3.7 Diagonal de aplicação das forças em x e y combinadas. . . 33
3.8 Configuração a ser transformada em pórtico espacial. . . 33
3.9 Pontos para formar a grade do pórtico. . . 34
3.10 Grade formada para os itens da figura 3.8. . . 34
3.11 Pórtico obtido após a inclusão dos apoios. . . 34
3.12 Força peso distribuída em cada retângulo do pórtico. . . 35
3.13 Força peso aplicada aos nós do pórtico. . . 35
3.14 Os pontos considerados no diagrama de Voronoi. . . 37
3.15 O diagrama de Voronoi para os pontos considerados. . . 37
3.16 Exemplo de uma pilha de itens. . . 39
3.17 Exemplo de pilha para o caso especial. . . 39
4.1 Vertical forces acting on the packing. . . 47
4.2 Conditions for an item be in vertical static equilibrium. . . 48
4.3 Packing that attends VSE if vertical and horizontal friction are considered. . . . 49
4.4 Wind pressure on a packing (left-to-right). . . 49
4.5 Forces acting on item i. . . 50
4.6 Forces and points to analyze if an item tips over. . . 50
4.7 Wind action avoiding an item to rotate and fall down. . . 51
4.8 Some ways to analyze SE. . . 52
4.9 Graph of forces for a packing. . . 53
4.11 Example of stack in which the test for SE fails. . . 54
4.12 Reference points for a maximal sub-stack. . . 54
4.13 Partial influence of an item in a stack. . . 55
4.14 Vertical friction acting on item i. . . 55
4.15 Forces transferred to i. . . 56
4.16 Example for a singular function and the equivalent free body diagram. . . 58
4.17 Loss of generality for the grid with discretization points on the x-direction. . . 63
4.18 Solutions obtained for the instances RR2, RR5, RS7, and RT9. . . 67
5.1 In (a), we show a representation from below of a red box being packed, which is supported by the gray boxes. We also present the support points in this figure. In (b), we show the convex hull of the supporting points. . . 74
5.2 Vehicle in a slope with inclination θ. . . 75
5.3 A box i supported vertically by a box j′ and horizontally by a box j and the corresponding reference points. . . 76
5.4 A spring with stiffness coefficient k and two nodes 1 and 2 with a force F being applied. . . 77
5.5 In (a), we show a representation from below of a red box being packed, which is supported by the gray boxes. We also present the supporting points in this figure. In (b), we show the irregular grid generated by the supporting points. In (c), we have the spatial frame. . . 79
5.6 In (a), we show a representation from below of a red box being packed, which is supported by the gray boxes. We also present the supporting points in this Fi-gure. In (b), we show the Voronoi diagram of the supporting points considering the bounding box. . . 80
5.7 In order to pack the red box at the given x and y coordinate, we find where it would land if we drop it from infinity height. Note that this packing becomes unstable if we add the red box, so we skip it, going to the next box. . . 82
Lista de Tabelas
4.1 Results for instances RR, RS, and RT . . . 66 5.1 Computational results for the four scenarios. . . 85
Sumário
Resumo 5 Abstract 6 Agradecimentos 7 1 Introdução 13 1.1 Trabalhos Relacionados . . . 14 1.2 Organização do texto . . . 162 Revisão de conceitos da Física 17 2.1 Mecânica das partículas . . . 17
2.2 Corpos Rígidos . . . 19
2.3 Estruturas e Sistemas Hiperestáticos . . . 22
2.3.1 Pórticos Espaciais . . . 23
3 Verificação de Equilíbrio Mecânico 25 3.1 Teste de Equilíbrio Mecânico . . . 25
3.1.1 Equilíbrio estático . . . 26
3.1.2 Equilíbrio Dinâmico . . . 28
3.1.3 Combinação de forças . . . 32
3.2 Usando Pórticos Espaciais no cálculo de reações . . . 33
3.3 Heurística de transferência de força baseada no diagramas de Voronoi . . . 36
3.4 O algoritmo para verificação de Equilíbrio mecânico . . . 38
3.4.1 Equilíbrio em pilhas de objetos . . . 38
3.4.2 Ordem de verificação dos itens . . . 40
3.4.3 O algoritmo em passos . . . 40
4 Mechanical Equilibrium in 2D 0-1 Knapsack 42 Abstract 43 4.1 Introduction . . . 44
4.2 Cargo Stability with Static Equilibrium . . . 46
4.2.1 Vertical static equilibrium . . . 47
4.2.2 Horizontal static equilibrium . . . 48
4.2.3 Equilibrium of packings . . . 51
4.2.4 Equilibrium of stacks . . . 52
4.2.5 Transference of forces . . . 56
4.2.7 Algorithms for horizontal and vertical SE . . . 59
4.3 Integer Formulation . . . 60
4.3.1 Grid of Points for the Bin . . . 63
4.3.2 Relaxed Formulation for the 2KPwS . . . 63
4.4 Computational Experiments . . . 64
4.4.1 Results . . . 65
4.5 Conclusions and Future Works . . . 67
5 Mechanical Equilibrium in Container Loading 69 Abstract 70 5.1 Introduction . . . 71
5.1.1 Related Works . . . 71
5.2 Problem Definition . . . 73
5.3 Testing the Stability of a Packing . . . 73
5.3.1 Statical Stability . . . 74
5.3.2 Dynamic Stability . . . 75
5.4 Transferring the Force . . . 77
5.4.1 Using Spatial Frames . . . 77
5.4.2 Using a Voronoi Diagram . . . 79
5.5 Checking Stability using a Physical Engine . . . 80
5.6 The Heuristic . . . 81
5.6.1 Packing using Dropping Coordinates . . . 81
5.6.2 Local Static Stability Test . . . 82
5.7 Experiments and Discussion . . . 83
5.7.1 Comparing Spatial frame with Vornoi Diagram . . . 83
5.7.2 Results . . . 84
5.8 Conclusions . . . 85
6 Considerações finais 87 6.1 Trabalhos Futuros . . . 88
Capítulo 1
Introdução
Problemas relacionados ao carregamento de contêineres são de grande importância econô-mica, onde boas soluções podem reduzir o número de contêineres utilizados ou então aumentar o volume de carga transportada em um único contêiner [49]. Na área de logística, a carga de um contêiner é realizada por seres humanos ou robôs, e uma condição desejável é que a organiza-ção da carga (empacotamento) seja estável fisicamente, evitando que os itens se movimentem, e especialmente, não sofram rotações ou quedas durante o processo de carregamento, transporte e descarregamento. Neste trabalho utilizamos os termos estabilidade e estável, associados a um empacotamento ou item de um empacotamento, como sinônimos para equilíbrio mecânico.
Um empacotamento que é estável, enquanto o contêiner está parado, é dito estar em equi-líbrio estático. No equiequi-líbrio estático as forças atuantes nos itens são apenas as forças pesos, que são geradas pela aceleração da gravidade. Se o contêiner estiver em movimento, e o empa-cotamento for estável, dizemos que o empaempa-cotamento está em equilíbrio dinâmico, e as forças atuantes são as forças da gravidade, forças geradas pela aceleração, frenagem, curvas, ventos, entre outras.
Não há muitos artigos que tratam da construção de empacotamentos estáveis e muitos ig-noram completamente as restrições de equilíbrio ou abusam na simplificação, para que então sejam capazes de considerá-las [15]. Existe uma falta de abordagens que lidem com condições de equilíbrio estático e dinâmico para problemas de empacotamento, o que impacta na eficiên-cia do processo de carregamento e transporte de mercadorias. Assim como na construção de ferramentas automatizadas para lidar com tais operações. Bortfeldt and G. Wäscher [15] apre-sentam em seu trabalho uma revisão da literatura relacionada aos problemas de empacotamento com restrições práticas.
Neste contexto abordamos dois problemas de empacotamento distintos, resultando em dois trabalhos. No primeiro trabalho investigamos o problema da mochila 0-1, considerando as res-trições de equilíbrio estático e dinâmico, aplicada ao cenário de carregamento de paletes. A abordagem consiste em um algoritmo “branch-and-cut”, que tem como primeiro passo a reso-lução de uma versão relaxada do problema da mochila, obtendo um subconjunto candidato de itens que devem ser empacotados. Em um segundo passo, é utilizado uma abordagem base-ada em programação por restrições para verificar se é possível obter um empacotamento para os itens selecionados. Somente após a obtenção de um empacotamento, no segundo passo, é que verificamos se tal empacotamento está em equilíbrio estático e dinâmico. Caso o empaco-tamento não esteja em equilíbrio, retorna-se ao segundo passo para obter um novo
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 14
mento. Tal processo é repetido até se encontrar um empacotamento que esteja em equilíbrio estático e dinâmico, ou até que não seja possível obter outros empacotamentos para o conjunto dado. Se este for o caso, tal solução é removida do conjunto das soluções possíveis através da in-clusão de uma restrição na formulação relaxada, utilizada no primeiro passo, e então retorna-se ao primeiro passo para a obtenção de um novo subconjunto de itens. Tal trabalho foi desen-volvido em coautoria com Thiago A. de Queiroz (IMTec-UFG/Catalão), Marco L. Bittencourt (FEM-Unicamp) e Flávio K. Miyazawa (IC-Unicamp)
O segundo problema abordado foi o problema de carregamento de contêiner (Container Lo-ading Problem), onde é dado um conjunto de caixas tridimensionais e um contêiner tridimensi-onal, e o objetivo é encontrar um empacotamento em um único contêiner, para um subconjunto dos itens, considerando a restrição de equilíbrio mecânico, e visando maximizar o volume da carga empacotada. Para tanto, utilizando uma abordagem baseada na meta-heurística BRKGA (Biased Random-Key Genetic Algorithm) [38]. Esta abordagem também utiliza uma sub-rotina para verificar se um dado empacotamento satisfaz as condições de equilíbrio mecânico. Além de todos os testes que devem ser realizados, considerando as forças resultantes e os momentos resultantes, para decidir se um dado item do empacotamento satisfaz as condições de equilíbrio mecânico, esta sub-rotina realiza a transferência de forças entre os itens, ponto crucial para a corretude da sub-rotina. Obtemos três variações em tal sub-rotina: a primeira que realiza uma modelagem em pórticos espaciais [18] para a distribuição de forças entre os itens do empaco-tamento; a segunda realiza uma distribuição de forças de forma heurística, usando como base o diagrama de Voronoi [25]; e a terceira que utiliza um pacote de simulação física para verificar se o empacotamento está em equilíbrio. Tal trabalho foi desenvolvido em coautoria com Rafael C. S. Schouery (IC-Unicamp), Marco L. Bittencourt (FEM-Unicamp), Thiago A. de Queiroz (IMTec-UFG/Catalão), e Flávio K. Miyazawa (IC-Unicamp)
Em resumo, as principais contribuições deste trabalho são as seguintes: (i) pela primeira vez o problema de estabilidade de carga, tanto bidimensional quanto tridimensional é abordado con-siderando tanto as restrições de equilíbrio estático como de equilíbrio dinâmico; (ii) no primeiro trabalho apresentamos uma prova de que a abordagem dada para o teste de equilíbrio estático e dinâmico em problemas de empacotamento bidimensionais, é no pior caso O(n3), onde n é
o número de objetos; (iii) no segundo trabalho apresentamos uma abordagem para verificar se um dado empacotamento tridimensional está em equilíbrio estático e dinâmico utilizando dois métodos diferentes para a transferência de forças, um heurístico e outro baseado na teoria de análise estrutural. (iv) ambos os métodos apresentados no primeiro e segundo trabalhos tem como embasamento teórico as áreas de mecânica dos corpos rígidos, e análise estrutural, o que garante uma maior confiabilidade nas respostas obtidas; (v) os métodos desenvolvidos para o teste de equilíbrio estático e dinâmico para o problema de carregamento de contêineres tridi-mensionais podem ser utilizados como caixa preta para qualquer problema de empacotamento 3D.
1.1
Trabalhos Relacionados
Muitos trabalhos na literatura consideram o problema de carregamento de contêiner. Dentre os trabalhos recentes temos o trabalho de Gonçalves e Resende [39], o qual apresenta um algoritmo
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 15
baseado na meta-heuristica BRKGA. O artigo de Zhu e Lim [62], o qual usa uma árvore de busca para decidir qual bloco de caixas vai ser alocado em um espaço livre do tipo cubóide; e o artigo de Araya e Riff [1], o qual utiliza uma busca “beam search” (busca “branch-and-bound” que expande apenas os nós mais promissores), que é uma das melhores abordagens para o problema do carregamento de contêineres, até o momento. Para uma comparativa de abordagens para o problema de carregamento de contêineres, veja o artigo de Zhao et al. [61].
Considerando restrições de estabilidade, Junqueira et al. [45] apresentam uma formulação em programação linear inteira para o problema de carregamento de contêiner no qual os itens são alocados em um recipiente de acordo com as restrição de estabilidade e considerando um limite de carga suportada por cada item. Os autores definem a restrição de estabilidade de um empacotamento baseado em um fator α, que refere-se ao percentual da parte inferior de cada item que deve estar em contato com a superfície de outros itens ou com o piso do contêiner.
O uso do fator α é muito comum na literatura para lidar com restrições de estabilidade. No entanto, é um modelo aproximado e pode obter empacotamentos que não satisfazem as condições de equilíbrio estático para corpos rígidos. Outros trabalhos que usam este método são apresentados por Carpenter e Dowsland [40] e Bischoff [9], no contexto de empacotamento de caixas em paletes; Bischoff e Ratcliff [10], Bortfeldt [13], e Araya e Riff [1] para o problema de carregamento de contêiner; e Gendreau et al. [36]; Fuellerer et al. [33], e Bortfeldt et al. [14] durante o tratamento do problema de roteamento de veículos, com carregamento de contêineres tridimensionais;
Por outro lado, são poucos os trabalhos que consideram os conceitos físicos inerentes a estabilidade de um empacotamento. O trabalho de Silva et al. [26] considera o problema de empacotamentos em recipientes tridimensionais (3D Bin Packing Problem) com restrição de equilíbrio estático e introduz uma abordagem mais realista, considerando um empacotamento estável se este realmente satisfaz as condições físicas de estabilidade, ou seja, um empacota-mento onde as forças e os moempacota-mentos resultantes são zero. Eles também tentaram incorporar o teste de estabilidade dinâmica mas não obtiveram sucesso devido à quantidade de condições externas que devem ser consideradas.
Queiroz et al. [27] considerou a restrição de carregamento com equilíbrio (enquanto os itens são carregados/descarregados o centro de massa de cada item deve estar em uma região “se-gura”) e restrição de limite de peso (o total de peso que um item pode suportar sem que seja da-nificado) aplicados ao problema de empacotamento em faixas bidimensional (Two-Dimensional Strip Packing Problem) apresentando um modelo de programação linear inteira aproximado e uma heurística. As restrições de estabilidade são satisfeitas considerando o equilíbrio estático bidimensional. Queiroz et al. [28] considerou também o equilíbrio estático para o problema de empacotamento em faixa bidimensional satisfazendo ordem de descarregamento dos itens, apresentando duas heurísticas a uma formulação em programação linear e um algoritmo de pla-nos de corte para garantir a estabilidade o que leva a uma abordagem “branch-and-cut”. Ramos et al. [57] considera equilíbrio estático durante o carregamento de contêineres, apresentando um algoritmo que avalia se um dado empacotamento satisfaz as condições de equilíbrio está-tico (utilizado uma adaptação dos métodos apresentados em [26] e [28]) e um algoritmo que determina a sequência de carregamento que mantenha equilíbrio estático durante o processo de carga.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 16
1.2
Organização do texto
Nestes trabalhos utilizamos um método de verificação para determinar se um dado empacota-mento satisfaz as condições de equilíbrio estático e dinâmico, o qual é apresentado na integra no capítulo 3. Em tal metodologia consideramos os itens como corpos rígidos e utilizando tes-tes baseados na definição de estabilidade para corpos rígidos para decidir se um dado item do empacotamento está em equilíbrio. A teoria que dá suporte ao nosso teste de estabilidade é encontrada em livros da área de mecânica dos materiais [5, 42], e os passos adotados na análise são justificados pelo Método das Seções [5], e a transferência de forças entre os itens de um empacotamento é feita de acordo com métodos utilizados em análise estrutural [18, 37, 30].
Como o método de verificação de estabilidade utiliza diversos conceitos, teorias e propri-edades comuns da área de mecânica dos corpos rígidos e análise estrutural, recomendamos ao leitor, que não tenha sua formação na área das engenharias, a leitura do capítulo 2, onde apre-sentamos uma revisão dos principais conceitos, teorias e métodos utilizados.
O primeiro e segundo trabalhos citados na introdução, estão em formato de artigo. O pri-meiro intitulado “The Two-dimensional 0-1 Knapsack Problem with Horizontal and Vertical Cargo Stability” foi submetido para uma revista internacional da área e encontra-se no capítulo 4. Já o segundo trabalho, com o título “Static and Dynamic Mechanical Equilibrium in Loading and Transportation of Containers”, que é uma versão expandida para revista do artigo “Dynamic Cargo Stability in Loading and Transportation of Containers” que foi publicado na “12th IEEE Conference on Automation Science and Engineering” (CASE) [16], encontra-se no capítulo 5.
Capítulo 2
Revisão de conceitos da Física
Os conceitos utilizados neste trabalho são oriundos da mecânica, que pode ser definida como a ciência que prevê as condições de repouso ou movimento dos corpos, sob a ação de forças, e divide-se em três partes: Mecânica dos corpos rígidos, dos corpos deformáveis e dos fluí-dos. Mais especificamente nosso trabalho está relacionado a mecânica dos corpos rígidos que é subdividida em Estática, onde os objetos estão em repouso, e Dinâmica, com os objetos em movimento. Na estática e na dinâmica os objetos são vistos como corpos rígidos, embora es-truturas e maquinas reais sofram deformações decorrentes da ação de forças, tais deformações geralmente são pequenas e não afetam as condições de equilíbrio ou movimento da estrutura [5].
Os conceitos básicos usados na mecânica são espaço, tempo, massa e força: • espaço, está associado a posição de um ponto p ∈ R3;
• tempo, momento em que o evento ocorre; • massa, característica do objeto;
• força, ação de um corpo sobre o outro, força pode ser exercida por contato direto ou a distância. Como exemplo temos as forças gravitacionais e magnéticas.
A força resultante que atua sobre um corpo está relacionado à massa do corpo e ao modo como sua velocidade varia com o tempo.
Um corpo rígido pode ser visto como uma combinação de muitas partículas que ocupam posição fixas umas em relação as outras por isso o estudo da mecânica das partículas é pré-requisito para o estudo de corpos rígidos e os resultados obtidos para uma partícula podem ser usados diretamente em inúmeros problemas que tratam de condições de repouso ou movimento de corpos reais.
Ao longo deste trabalho usaremos de abuso de notação, onde usaremos F tanto para deno-tar a força vetorial−→F , que possui direção, magnitude e ponto de aplicação, quanto apenas a magnitude F da força.
2.1
Mecânica das partículas
O estudo da mecânica elementar se baseia em seis princípios fundamentais que se apoiam em evidências experimentais.
CAPÍTULO 2. REVISÃO DE CONCEITOS DA FÍSICA 18
A lei do paralelogramo para a adição de forças: Estabelece que duas forças que atuam sobre uma partícula podem ser substituídas por uma única força, denominada resultante. Na figura 2.1 a força Fcé a resultante da combinação das forças Fa com Fb. A força resultante é
obtida através da equação
Fc = q F2 a + F 2 b + 2FaFbcos θ, (2.1)
onde θ é o ângulo formado entre as forças Fa e Fb e o ângulo de aplicação da força Fc é θ/2.
Um caso particular ocorre quando as forças Fae Fbsão paralelas, com ângulo θ = 0, neste caso
Fc = Fa+ Fb, pois cos θ = 1.
Fa
Fb
Fc
Figura 2.1: Obtenção de força resultante.
O principio da transmissibilidade: Estabelece que as condições de equilíbrio ou de movi-mento de um corpo rígido permanecerão inalteradas se uma força que atue em um dado ponto da partícula for substituída por uma força de igual magnitude e direção aplicada em um ponto diferente, desde que as duas forças tenham a mesma linha de ação, ou seja possuem a mesma direção e o mesmo sentido.
As três leis fundamentais de Newton:
Primeira Lei: Se a força resultante que atua em uma partícula for nula, esta manterá seu estado, permanecendo em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.
Segunda Lei: Se a força resultante que atua em uma partícula for não nula, a partícula terá uma aceleração de magnitude proporcional a magnitude da resultante e a mesma direção dessa força resultante. Tal lei é estabelecida pela equação
F = ma, (2.2)
onde F é a força resultante, m é a massa da partícula, e a é a aceleração.
Terceira Lei: As forças de ação e reação entre corpos em contato têm a mesma intensidade, a mesma linha de ação e sentidos opostos.
Lei de Newton da gravitação: Essa lei estabelece que duas partículas de massaM e m são mutuamente atraídas com forças iguais e opostas F e −F de magnitude F dada pela expressão
F = GM m
r2 , (2.3)
onde r é a distância entre as duas partículas e G é a constante gravitacional. Um caso particular é o peso, onde é considerado M como a massa da terra e r o raio da terra, para o qual obtemos a gravidade na terra g = GM
r . Assim a força peso de um partícula de massa m é W = mg
CAPÍTULO 2. REVISÃO DE CONCEITOS DA FÍSICA 19
esférica, o valor de g é variável, no entanto na maior parte dos cálculos de engenharia utiliza-se g como uma constante com o valor g = 9, 81m/s2.
Os princípios fundamentais da mecânica listados acima, são utilizados para escrever equa-ções que expressam as condiequa-ções de repouso ou de movimento dos corpos rígidos.
Uma forma de representar as forças é através de um vetor, pois vetores possuem intensidade, direção e sentido e normalmente são representados por setas nas representações gráficas. Assim como várias forças podem ser combinadas para formar uma força resultante, uma força pode ser decomposta em duas ou mais forças que tem o mesmo efeito sobre a partícula. A obtenção das forças equivalentes é possível se um dos dois casos acontecer: 1 - um dos componentes é conhecido ou 2 - a linha de ação de cada componente é conhecida. No nosso caso, deseja-mos trabalhar com as forças decompostas em cada eixo das coordenadas e utilizando a Lei do Paralelogramo obtemos
Fz= F cos θ
z Fh = F sin θz, (2.4)
onde θz é o ângulo formado entre a força e o eixo z (o qual representa a altura), Fz é a força
resultante em z e Fhé a força horizontal atuante no plano xy. Decompondo Fhpodemos obter
as forças resultantes em x e y, que representam a largura e profundidade, respectivamente. Fx= Fhcos θx Fy = Fhsin θx, (2.5)
onde θxé o ângulo da força Fhcom eixo x.
Quando temos uma partícula no espaço que sofre a ação de diversas forças, F1, F2, . . . , Fk,
temos um sistema de forças, e para saber qual a força resultante sobre esta partícula (resolvendo um sistema de forças), podemos decompor cada força Fiem suas componentes Fix, F
y
i e F
z i e
então somando todas as forças dos eixos x, y e z obtemos a força resultante decomposta
Fx= k X i=1 Fix, F y = k X i=1 Fiy, F z = k X i=1 Fiz, (2.6)
para cada um dos eixos. Utilizando a equação 2.1 é possível obter força resultante F da partí-cula. Observe que a aplicação da força F tem o mesmo efeito sobre a partícula que a aplicação das forças Fx, Fy e Fz.
Quando a força resultante tem valor igual a zero, o efeito sobre a partícula é nulo, e diz-se que a partícula está em equilíbrio, de onde obtemos a definição:
Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre uma partícula é igual a zero, a partícula está em equilíbrio.
Onde tal definição é derivada da primeira lei de Newton, e a partir desta definição temos que se Pk i=1F x i = 0, Pk i=1F y i = 0 e Pk i=1F z
i = 0 a partícula está em equilíbrio.
2.2
Corpos Rígidos
Um corpo rígido pode ser visto como um aglomerado de partículas que possuem a suas posi-ções fixas uma em relação a outra. Em um corpo rígido temos dois tipos de forças atuantes,
CAPÍTULO 2. REVISÃO DE CONCEITOS DA FÍSICA 20
as internas, que mantêm juntas as partículas que formam o corpo rígido, e as externas, que representam a ação de outros corpos sobre o corpo rígido em consideração, e são inteiramente responsáveis pelo comportamento externo do corpo rígido. As forças externas são que podem causar o movimento do corpo rígido ou podem garantir que este permaneça em repouso.
Figura 2.2: Exemplo de uma força externa.
F W
R1 R2
Figura 2.3: Diagrama de corpo livre para força externa.
Na figura 2.2 temos um exemplo de corpo rígido (caminhão) sofrendo a influência de forças externas, que além da força F , exercida pelo trator tentando puxar o caminhão, temos a força peso W e as forças de reações, em cada pneu, R1 e R2. A imagem da figura 2.3 representa
o diagrama de corpo livre, que consiste no objeto e a indicação das forças atuantes com seus respectivos pontos de aplicação.
Muitos dos conceitos apresentados até agora aplicam-se diretamente a objetos de corpo rígido, um exemplo é a lei da transmissibilidade de força, onde uma força pode ser aplicada em qualquer posição ao longo da uma linha de ação e o resultado para o corpo rígido é inalterado. Temos ilustrado na figura 2.4 tal caso, onde o efeito causado pela aplicação da força Fa na
superfície esquerda é o mesmo se Fafor aplicada na superfície direita do objeto.
Fa Fa
Figura 2.4: Exemplo de aplicação da lei de transmissibilidade de uma força aplicada sobre objeto rígido.
Outro principio que se aplica em corpos rígidos é que forças paralelas, coplanares ou con-correntes podem ser reduzidas a uma única força, denominada força resultante. Já as condições de equilíbrio de uma partícula não são o suficientes para definirmos o equilíbrio para um corpo
CAPÍTULO 2. REVISÃO DE CONCEITOS DA FÍSICA 21
rígido. Uma força F , aplicada sobre um corpo rígido no ponto de aplicação A, que pode ser de-finida por um vetor posição r que relaciona o ponto A com o ponto de referência O e definimos o momento de F em relação a O como o produto vetorial
MO = r × F, (2.7)
e este, assim como as forças, pode ser decomposto em Mx= r
yFz− rzFy
My = rzFx− rxFz
Mz = r
xFy− ryFx,
onde rxrye rzsão os componentes do vetor posição r.
Complementando a definição de equilíbrio da partícula, as condições necessárias e sufici-entespara que um corpo rígido esteja em equilíbrio são dadas por
k X i=1 Fx i = 0, k X i=1 Fiy= 0, k X i=1 Fz i = 0 (2.8) e k X i=1 Mx i = 0, k X i=1 Miy= 0, k X i=1 Mz i = 0, (2.9)
que ocorre quando a força resultante e o momento resultante em cada eixo é igual a zero, por consequência as forças externas não causam nenhum movimento translacional ou rotacional no corpo considerado.
Na mecânica, toda a teoria de equilíbrio de corpos rígidos é aplicada a estruturas bidimen-sionais e tridimenbidimen-sionais para que seja possível obter as forças de reação nos apoios e então, baseada nestas forças de reação é possível definir dimensões e materiais apropriados para su-portar o peso de toda a estrutura. Um exemplo está na definição das dimensões dos pilares que suportam um edifício. As reações são as forças externas desconhecidas atuantes no sistema de forças e representam a força de oposição, que o solo e outros corpos, exercem em relação a um possível movimento do corpo considerado.
Normalmente os apoios são considerados fixos de modo que o corpo rígido não pode mo-ver, e em cada apoio temos três incógnitas, que são as forças de reação nos eixos x, y e z e os momentos em x, y e z, e resolvendo as seis equações de equilíbrio, dadas nas equações 2.8 e 2.9, obtemos os valores das incógnitas. Os sistemas onde é possível obter os valores de reação utilizando apenas as equações da estática (equações 2.8 e 2.9), são chamados de estaticamente determinados. No entanto, se for permitido que uma das reações tenha liberdade por exemplo, permitir que um apoio tenha deslocamento em x, temos que a equação que representa a força resultante em x para aquele apoio (P Fx) tenha valor diferente de zero. Com isso, obtemos um
sistema com mais incógnitas do que equações e assim, não é possível obtermos as reações do sistema. Nos casos, onde somente as equações da estabilidade não são suficientes para determi-nar os valores das reações, temos os sistemas estaticamente indeterminados ou hiperestáticos. Em complemento a definição de sistemas estaticamente indeterminados, além da liberação das
CAPÍTULO 2. REVISÃO DE CONCEITOS DA FÍSICA 22
restrições nos apoios, um sistema estaticamente indeterminado ocorre quando temos três ou mais apoios que possuem ação concorrentes em um mesmo ponto ou paralelas. Para os sis-temas estaticamente indeterminados é possível determinar os valores das reações introduzindo deformações produzidas pela aplicação de forças.
2.3
Estruturas e Sistemas Hiperestáticos
Como mencionado ao final da seção 2.2, para que seja possível obtermos forças de reação em um sistema hiperestático é necessário a introdução de deformações nos corpos rígidos produzi-das pela aplicação de forças. Um dos métodos utilizado para a resolução de sistemas hiperestá-tico é o método da rigidez (ou deslocamento) [37], onde cada elemento é visto como uma mola que se deforma quando uma força é aplicada, e o total de deformação depende diretamente do material usado e da força aplicada.
O elemento mais simples no método das rigidez é uma mola, que possui apenas deformação axial, ao longo do eixo x. Na figura 2.5 ilustramos uma mola com uma força aplicada ao longo do eixo x. Assumindo que o nó 1 é fixo, e por consequência o deslocamento u1 é zero, a
deformação causada pela força F , pode ser vista no nó 2 como um deslocamento u2, onde este
deslocamento é proporcional ao coeficiente de rigidez da mola k e a força aplicada,
u2= k × F. (2.10)
1 2
k
F
Figura 2.5: Uma mola com coeficiente de rigidez k e dois nós 1 e 2 com a força F sendo aplicada ao longo do eixo x.
Uma barra com, comprimento L, área da seção transversal A, e módulo de elasticidade E, é utilizada como elemento estrutural e pode ser vista como uma mola e dois nós. A mola da figura 2.5 possui dois graus de liberdade, que corresponde aos possíveis deslocamentos que este elemento pode ter. No caso da barra estes dois graus são os deslocamentos u1e u2no eixo
x. Para este caso, a deformação é obtida como ε = u2− u1
L , (2.11)
enquanto que a rigidez, pela lei de Hooke, é dada por σ = εE = u2− u1
L E. (2.12)
A força axial resultante é obtida resolvendo a integral da função de stress através da espessura, e como a área da seção transversal é constante, obtemos
F = AE
CAPÍTULO 2. REVISÃO DE CONCEITOS DA FÍSICA 23
e, usando k = AE
L , a equação acima pode ser reescrita como
F = k 1 −1 −1 1 u1 u2 = KU, (2.14)
onde, K é a matriz de rigidez para o elemento, U é o vetor com os deslocamentos, e F é a força nodal. Note que utilizando este sistemas obtemos os deslocamentos para cada um dos nós quando as forças são conhecidas, e obtemos também as forças quando os deslocamentos são conhecidos.
O tamanho da matriz de rigidez é proporcional ao grau de liberdade adotado para os nós do sistema. No exemplo de mola usado na figura 2.5, o grau de liberdade é dois, pois a mola permite dois deslocamentos, e o grau de liberdade em casa nó é um, pois pode deslocar apenas em x. Em um elemento estrutural do tipo barra utilizado na construção de estruturas mais complexas como grelhas, treliças pórticos, entre outros, o grau de liberdade depende de quais os deslocamentos nas estruturas. Por exemplo em treliças bidimensionais, onde as forças atuantes são sempre aplicadas no eixo da barra, o grau de liberdade em cada nó da barra é três e a matriz de rigidez, tem dimensões 6 × 6 já para estruturas que permitem atuação de forças de modo mais geral, como pórticos espaciais o grau de liberdade em cada nó é seis, gerando uma matriz de rigidez de 12 × 12 para cada elemento de barra. Se o pórtico em questão tiver m nós que interligam os elementos de barra, a matriz que representa a estrutura como um todo tem dimensões 6m × 6m, e em adição, o vetor de forças F e o vetor dos deslocamentos U tem tamanho 6m [30].
As 6 posições no vetor de deslocamento U relacionadas a um nó i representam os desloca-mentos ux
i, u y
i,uzi, e as rotações θxi, θ y
i e θiz, causadas pelas cargas presentes no vetor F , que são
as forças Fx i , F y i e Fize os momentos Mix, M y i e Miz.
2.3.1
Pórticos Espaciais
Em mecânica estrutural, um corpo complexo, uma maquina por exemplo ou a estrutura de um edifício, pode ser visto como uma composição elementos menores rígidos interconectados e com comportamento semelhante ao objeto original. Esta discretização é utilizada para que seja possível analisar as alterações causadas pela aplicação de forças externas. O termo estrutura refere-se a um objeto ou sistema de partes conexas usados para suportar cargas [37]. Alguns exemplos de estruturas em engenharia civil são pontes, torres, estruturas de edifícios.
Qualquer estrutura é composta por poucos elementos diferentes, e estes elementos podem ser classificados de acordo com a forma (reta, plana ou curva). Alguns exemplos de elementos estruturais são colunas, vigas, lajes e arcos;.
Pórtico espacial é um sistema estrutural onde as interconexões dos elementos (juntas) são capazes de transferir forças e momentos para os elementos adjacentes, além dos elementos se-rem capazes de resistir a forças axiais, momento fletor e forças de cisalhamento. Os pórticos são compostos de elementos do tipo barra, onde cada barra possui dois nós e cada nó possui seis graus de liberdade. Os elementos de barra são interconectados, formando um padrão geo-métrico. Um exemplo de pórtico espacial é a estrutura de um edifício feita por vigas estruturais e pilares [18].
CAPÍTULO 2. REVISÃO DE CONCEITOS DA FÍSICA 24
Uma estrutura de pórticos espaciais é projetada para representar uma estrutura real pois se deseja obter os valores das forças de reação. Para tanto, certos nós são fixados, não permitindo deslocamentos. Normalmente estes nós fixados representam a ligação dos pilares, que suportam a estrutura, com o solo, e pelo fato de não possuírem deslocamentos, nas posições do vetor U, e nas linhas e colunas da matriz K relativas a estes nós são atribuídos valores iguais a zero. Fixar um nó para que este não tenha deslocamento é definir as condições de contorno e zerar as respectivas posições em U e K é a aplicação das condições de contorno [30].
Somente após a aplicação das condições de contorno para um pórtico espacial é possível resolver o sistema F = KU, e então obter os valores dos deslocamentos U para os nós que não haviam sido fixados. Usando os deslocamentos obtidos U′ e removendo as condições de
contorno da matriz de rigidez K e resolvendo novamente o sistema F = KU′, obtemos as
forças atuantes para os nós que estão fixados, i.e. as forças de reação.
Note que a complexidade computacional no problema de obtenção das forças de reação para uma estrutura qualquer é limitado pela complexidade de se obter a solução do sistema F = KU. Para obter a solução do sistema basta calcular a inversa da matriz, onde um dos métodos mais conhecidos é o “método de eliminação de Gauss-Jordan”, que possui complexidade O(M3),
onde M é o tamanho da matriz, que no caso de pórticos espaciais temos M = O(n2), onde n é
Capítulo 3
Verificação de Equilíbrio Mecânico
Apresentamos no capítulo anterior a definição de equilíbrio para corpos rígidos, neste capí-tulo vamos utilizar tais definições aplicadas ao problema de empacotamento, apresentando um algoritmo com tal finalidade.
Utilizaremos os termos estabilidade e estável, associados a um empacotamento ou item de um empacotamento, como sinônimo de equilíbrio mecânico. O equilíbrio mecânico pode ser dividido em equilíbrio estático, onde os itens estão em repouso, e dinâmico, onde os objetos estão em movimento retilíneo uniforme.
3.1
Teste de Equilíbrio Mecânico
No momento de carregarmos o contêiner, buscamos o equilíbrio estático, pois este encontra-se em repouso, e as forças atuantes são apenas as forças geradas pela aceleração da gravidade, aqui chamadas de forças verticais. A partir do momento em que o contêiner entra em movimento surgem as forças horizontais, causadas por acelerações, frenagens, curvas e até mesmo ventos laterais e frontais.
Um empacotamento bidimensional (respectivamente tridimensional) P para um conjunto de itens I é um mapeamento P : I → R2 (resp. P : I → R3), onde P (i) é a coordenada
xi, yi(resp. xi, yi, zi) do canto inferior esquerdo (resp. canto inferior esquerdo frontal) do item
i, assumindo que o canto inferior esquerdo (resp. frontal) do contêiner está na origem. Um sistema de objetos (um empacotamento) está em equilíbrio estático quando todos os itens estão em repouso, dado que todas as forças e momentos se anulam. De acordo com as leis de Newton, o equilíbrio estático ocorre quando as seguintes condições são satisfeitas:
k X i=1 − → Fi = − → 0 ; k X i=1 −→ MO i = − → 0 , (3.1) onde−M→O
i é o momento vetorial gerado pelas forças vetoriais
− →
Fi em relação ao ponto de
refe-rência O, e k é o número de forças no sistema. Como visto na seção 2.2 podemos decompor forças e momentos vetoriais em forças e momentos axiais, obtendo as seguintes condições de estabilidade k X i=1 Fx i = 0 k X i=1 Fiy= 0 k X i=1 Fz i = 0 (3.2) 25
CAPÍTULO 3. VERIFICAÇÃO DE EQUILÍBRIO MECÂNICO 26 e k X i=1 Mix= 0 k X i=1 Miy= 0 k X i=1 Miz= 0. (3.3)
Para os problemas de empacotamento bidimensional, consideramos os itens no plano xy, com largura ao longo do eixo x e altura em y, que pode ser interpretado como a visão do fundo de um contêiner, assim não temos forças em z e as equações 3.2 e 3.3 podem ser simplificadas para k X i=1 Fix= 0 k X i=1 Fiy = 0 k X i=1 Miz= 0. (3.4)
3.1.1
Equilíbrio estático
Todas as forças consideradas no equilíbrio estático tem sua origem no peso dos itens. A notação de cada uma das forças verticais consideradas no equilíbrio estático é apresentada a seguir.
Seja A+
i (respectivamente A −
i ) o conjunto dos itens em contato com o topo (respectivamente
fundo) do item i. Então: (i) Fw
i é a força peso do item i, e é dada por Fiw= mig, onde mié a massa do item i, e g é a
aceleração da gravidade; (ii) Fv
i é a força vertical resultante da combinação da força peso Fiwcom as forças recebidas
por i através dos itens em A+ i ;
(iii) Fijé a força recebida por i, vinda do item j ∈ A+i ;
(iv) FN
i é a força normal, perpendicular a superfície de contato com o fundo do item i, possui
valor igual mas sentido contrário a força Fv i.
Obtemos a força vertical resultante de um item i, aqui denominada Fv
i, de acordo com a
lei do paralelogramo, ou seja, é a soma das forças verticais Fi1, . . . Fik, recebidas dos itens em
A+
i com o peso Fiw, pois todas as forças são paralelas entre si, o que resulta em cos θ = 1 na
equação 2.1. O valor ∆vx
i , que representa a coordenada x, do local de aplicação da força Fiv, é dada por
∆vx i = Fw i δix+ Pk j=1Fijδxj Fw i + Pk j=1Fij + xi, (3.5) onde δx j (respectivamente δ x
i) é a distância, no eixo x, entre o ponto onde a força Fij
(respec-tivamente Fw
i ) é aplicada e o ponto de referência, O que é o canto inferior esquerdo frontal
do item i, que está no ponto (xi, yi, zi). O cálculo das coordenadas ∆ vy
i e ∆
vz
i é análogo. Na
figura 3.1 temos uma ilustração da posição ∆vde aplicação da força resultante dos três objetos
destacados.
Utilizando a força resultante Fv
i, é possível identificar rapidamente se um item i está em
equilíbrio estático. Para tanto, basta analisarmos a linha de ação de Fv
i no eixo z, aqui dada
por (∆vx
i ,∆ vy
i ). Mais precisamente, um item i está em equilíbrio vertical se uma das seguintes
CAPÍTULO 3. VERIFICAÇÃO DE EQUILÍBRIO MECÂNICO 27
∆v i
i
Figura 3.1: Posição ∆vda força vertical resultante.
(i) i está no chão do contêiner;
(ii) A linha de ação da força Fivrepresentada pelas coordenadas (∆vx
i ,∆ vy
i ) é perpendicular ao
topo de algum item j ∈ A− i ;
(iii) (∆vx
i ,∆ vy
i ) esta interno ao polígono formado pelo casco convexo dos pontos de contato dos
itens em A−
i com o fundo do item i
Note que o caso (iii) também engloba o segundo caso, pois para cada item j em A−
i são
con-siderados quatro pontos, que são os quatro cantos do item j, se este estiver totalmente embaixo do item i ou os quatro pontos que delimitam a interseção entre i e j. A figura 3.2 ilustra tais interseções.
(a) (b)
Figura 3.2: Em (a), mostramos uma visão de baixo para cima, onde a caixa em cinza escuro está sendo empacotada sobre os itens em cinza claro juntamente com os pontos de apoio. Em (b), mostramos o casco convexo formado usando os pontos de apoio.
Assumindo que os itens em A−
i estão em equilíbrio, os três casos apresentadas são
sufici-entes para definir se um item i está em equilíbrio, pois em cada um dos casos as condições de equilíbrio mecânico, as equações 2.8 e 2.9, são satisfeitas.
Na condição (i), o item está no solo e todas as forças são paralelas ao eixo z e a força resultante Fz
CAPÍTULO 3. VERIFICAÇÃO DE EQUILÍBRIO MECÂNICO 28
também são nulos pois a base do item i está totalmente apoiada e temos apenas forças verticais atuando.
Para verificar se um item, que se enquadra nas condições (ii) ou (iii), satisfaz as condições de equilíbrio mecânico devemos observar qual o momento resultante gerado por todas as forças atuantes em i. Tais forças são Fw
i , Fij e as forças de reação Flr, para todo l que representa os
cantos dos itens em A−
i . Baseado no local de aplicação das forças Fiwe Fij, elas podem ser
di-vididas em dois grupos, forças que têm sua aplicação interna a área formada pelo casco convexo de i e forças externas a esta área, Vamos chamar estes conjuntos de U+ e U− respectivamente.
A única maneira de existir momento resultante em i diferente de zero ocorre quando o momento gerado pelas forças em U+é maior que o momento gerado pelas forças U−, e isto só
é possível se o ponto de aplicação da força Fv
i, dado por ∆xi, ∆ y
i, for externo à área formada
pelo casco convexo de i.
Durante a execução do teste de equilíbrio estático assumimos que os itens em A− i estão
em equilíbrio estático para que possamos verificar quais são as forças de reação entre o item i e os itens em A−i , só então transferir tais forças para os itens j ∈ A
−
i . Somente após a
transferência das forças de reação é dado continuidade na análise do empacotamento restante. Tal abordagem recebe o nome de Método das Seções [5] e é utilizada em análise estrutural em sistemas complexos. O método das seções, consiste em dividir uma estrutura complexa em duas partes, onde é assumido que cada parte respeita as condições de equilíbrio, e então obtém-se as forças de reação nos elementos da fronteira entre as duas partes. De posse destas forças de reação é possível fazer nova divisão, para obter forças de reação entre outros elementos, e assim sucessivamente até que seja possível obter as forças de reação nos pontos desejados.
Para a transferência das forças, que resultam em Fv
i, para os itens j ∈ A−i é montado um
sistema de forças, que considera Fw
i e Fij′, para j′ ∈ A+i e as forças de reação entre o item i e os itens j ∈ A−
i , as quais são as incógnitas do sistema, ou seja, as forças Fjique os itens j ∈ A−i
vão receber. Para obter tais reações, modelamos o sistema das forças atuantes entre i e os itens em A−
i como um pórtico espacial. O processo de construção do pórtico e a transferência de
forças é apresentado na seção 3.2.
3.1.2
Equilíbrio Dinâmico
A partir do momento que o contêiner entra em movimento outras forças horizontais passam a agir sobre a carga. No caso do equilíbrio dinâmico para objetos bidimensionais temos como forças horizontais a forca centrífuga e a força causada pelo vento. A força centrífuga Fc
i está
presente em todos os itens do empacotamento, e é gerada por uma aceleração centrífuga ac,
que surge no momento em que o meio de transporte do contêiner realiza uma curva. Assim como todas as forças baseadas em aceleração, a força centrifuga é proporcional à massa mi de
cada item (Fc
i = mi.ac). Já a força do vento é gerada pela pressão que o vento exerce sobre
a superfície exposta dos itens. Observe que o vento só influenciará os itens individualmente se o meio de transporte for um caminhão aberto, caso contrário, o vento é aplicado a toda a superfície do contêiner. Na figura 3.3 é apresentado um exemplo de como o vento atua em um empacotamento. Note que o item a bloqueia parcialmente o vento que atinge o item b, por isso a força causada pelo vento em b é menor que a força do vento em c independente de b e c terem as mesmas dimensões.
CAPÍTULO 3. VERIFICAÇÃO DE EQUILÍBRIO MECÂNICO 29
Figura 3.3: Pressão que o vento exerce em um empacotamento (esquerda para a direita).
Para o equilíbrio dinâmico em problemas de empacotamento tridimensionais, além da força centrífuga e a força do vento devemos considerar as forças de aceleração e desaceleração. Note que a força gerada pela desaceleração de um item em movimento retilíneo uniforme é análogo a força causada pela aceleração de um objeto em repouso, tudo depende de qual o ponto utilizado como referência. Um objeto que está dentro de um contêiner em movimento, está em repouso se tomarmos o piso do contêiner como referência, e este mesmo objeto, está em movimento se utilizarmos qualquer ponto externo ao contêiner como referência.
Se aaé a aceleração de um item em repouso e aba aceleração causada pela frenagem, todos
os itens possuem forças de aceleração Fa
i = mi.aae força de frenagem Fib = mi.ab. Vale notar
que as forças Fa
i e F
b
i têm sentidos opostos e nunca ocorrem ao mesmo tempo, já a força do
vento Fd
i e a força centrífuga Fic podem ocorrer ao mesmo tempo e em sentidos opostos ou no
mesmo sentido. As informações de acelerações aa, abe ace a pressão do vendo, fazem parte da
entrada do problema e representam os valores máximos, baseados no trajeto a ser percorrido, além disso, consideramos que todas as forças geradas por estas entradas são paralelas ao eixo xy e podemos chamá-las de forças ativas.
θ FN i Fw i Fh i θ Fiw
Figura 3.4: Veículo em uma estrada com inclinação θ.
Um caso especial ocorre quando o veículo passa por uma estrada em aclive ou declive, assim como ilustrado na Figura 3.4, fazendo com que a força peso Fw
i não seja perpendicular
ao fundo da caixa. Neste caso Fw
i é decomposta em força peso Fiw = F w
i cos θ e uma força
horizontal Fh
i = Fiwsin θ. A força peso Fiw, perpendicular ao fundo do item, é somada às
outras forças verticais recebidas pelo item i resultando na força vertical Fv
i perpendicular ao
fundo do item, de forma similar Fh
i é somada às outras forças horizontais de acordo com o
sentido da inclinação. A força horizontal Fh
i atua no sentido frente para traz se for uma subida
ou de traz para frente se for uma descida. Consideramos que todas as forças, exceto a força peso, são aplicadas perpendicularmente a superfície dos objetos quando o veículo esta em uma estrada com inclinação e a inclinação da estrada só é considerada quando o veículo esta em movimento.
Vale observar que nos testes de equilíbrio dinâmico sempre consideram que a estrada é inclinada, pois se o empacotamento for estável utilizando a informação de inclinação, este será estável para uma estrada sem inclinação.
CAPÍTULO 3. VERIFICAÇÃO DE EQUILÍBRIO MECÂNICO 30
Na execução do teste de equilíbrio dinâmico, sempre consideramos a combinação de forças que possa gerar a maior instabilidade no empacotamento. Por exemplo, sempre consideramos a força centrifuga no mesmo sentido que a força vento. Com isso, se o empacotamento passar no teste de equilíbrio dinâmico, para estas condições extremas, ele sempre será estável.
As direções da aplicação das forças ativas em um empacotamento 2D é da esquerda para a direita e vice-versa. Já no 3D temos duas direções adicionais, de frente para traz e vice-versa e é necessário verificarmos se o empacotamento satisfaz as condições de equilíbrio dinâmico em cada uma das direções. Dizemos que um item está em equilíbrio dinâmico se a força resultante e o momento resultante em cada uma das direções x, y e na diagonal for zero.
Em adição às forças horizontais mencionadas, é necessário considerar a força de atrito, caso contrário os itens deslizariam livremente. A força de atrito em um item i tem sempre sentido oposto ao sentido das forças horizontais aplicadas e intensidade limitada por Ff ≤ FNµ, onde
µ é o coeficiente de atrito e FN é a força normal do item i. Dizemos que a força atrito é
limitada por FNµ pois, se a força resultante da soma das forças ativas em i for menor que FNµ
a intensidade da força atrito será igual ao resultado desta soma, mas em sentido oposto. Nos empacotamentos bidimensionais definimos como Al
i(resp. Ari) o conjunto dos objetos
em contato com a lateral esquerda (resp direita) do item i. Já em um empacotamento tridimen-sional, além dos conjuntos Al
i e Ari, temos os conjuntos A f
i e Abi que representam os itens em
contato com a face frontal e posterior do item i, respectivamente. Em adição as forças horizon-tais mencionadas, temos as forças Fl
ij, que são as forças que o item i recebe dos itens j ∈ Al,
que são seus vizinhos horizontais e estão imediatamente em contato com a superfícies esquerda de i. As forças Fr
ij, F f
ije Fijb tem definições análogas. No restante do texto referente ao teste de
estabilidade dinâmica vamos nos referir apenas às forças no sentido esquerdo direito e frontal para trás, as outras combinações de direções são similares.
Para um item i existem dois casos que podem resultar na sua instabilidade dinâmica, o item “pode deslizar” ou “pode tombar”. O item i desliza quando a força horizontal, resultante da soma das forças ativas, for maior que a força de atrito. Vamos denotar por Fh
i a força
resultante das forças horizontais ativas em i. Para obter Fh
i utilizamos a lei do paralelogramo
que tem como resultante a equação 3.6, inicialmente obtendo Fhx
i e Fhy, que são as resultantes
horizontais em paralelas ao eixo x e paralelas ao eixo y e em seguida obtemos
Fih = q (Fhx i )2+ (F hy i )2, (3.6)
pois o ângulo formado entre as forças Fhx
i e F hy i é de 90 o. Assim sendo, se Fh i > F f i , o item i pode deslizar.
A decisão final se um item i desliza realmente, vai depender se existe algum vizinho j que possa evitar que i deslize. Se existir tal vizinho j, dizemos que j está apoiando i. Note que tais vizinhos estão no conjunto do sentido ao qual estão sendo consideradas as forças. Por exemplo, se as forças estão sendo consideradas no sentido da esquerda para direita, se existir vizinho j ele está no conjunto Ar
i. Note que este existir j ∈ Ari é condição necessária mas não suficiente
para evitar que o item i deslize. Para ilustrar tal caso, considere o item i da figura 3.5, observe que se a força resultante Fhx
i for maior que a força de atrito F f
i existe a possibilidade do item i
rotacionar em relação ao ponto p. Isto acontece quando o momento em z, causado pelas forças Fhx
i e F
hy
CAPÍTULO 3. VERIFICAÇÃO DE EQUILÍBRIO MECÂNICO 31
relação ao mesmo ponto. Note que quanto mais próximo o ponto p estiver da linha de ação da força Fhx
i menor é a chance do item i rotacionar, e é possível que em A r
i haja outros itens. Caso
ocorra tal rotação, ou o item j não exista, o item i desliza e o empacotamento é instável. Caso o item j exista e não ocorra a rotação então é necessário transferir a força resultante para j.
j i p x y Fhx i
Figura 3.5: Visão aérea de um item prestes a deslizar.
Ao contrário do que acontece no equilíbrio estático, onde as forças verticais são totalmente transferidas para os itens adjacentes, no equilíbrio dinâmico a força que deve ser transferida, no caso do item deslizar, é dada por
Fis= F hx
i − F
f
i (3.7)
e é transferida para todos os itens em Ar i.
Um item i com força lateral resultante Fhx
i pode não deslizar mas, mesmo assim, pode
tombar, que ocorre quando o momento causado pela força horizontal Fhx
i for maior que o
momento causado pela força vertical Fv
i em relação ao ponto de referencia r.
Para verificar se i pode tombar é necessário identificar os pontos de referência. O primeiro pronto de referência que deve ser considerado r1é o ponto mais a direita da base de suporte do
item i, se o item i estiver no chão tal ponto é o seu canto inferior direito, assumindo forças da esquerda para a direita. Caso o item não esteja no chão o ponto r1 é o ponto mais a direita da
área de contato do item i com seus adjacentes em A−
i . O segundo ponto de referência r2, que
deve ser levado em consideração, é o ponto mais alto na lateral direita de i que esteja em contato com algum item j ∈ Ar
i. Na figura 3.6 temos uma representação dos pontos de referência r1e
r2. Note que se Ari for vazio, o ponto r2não existe.
x z j′ r2 r1 Fhx i δv1 i δh1 i i j
Figura 3.6: Forças e os pontos de referência para verificar se o item i tomba.
Usando o ponto de referência r1, obtemos o valor de δvi1, que corresponde à distância na
vertical do ponto de aplicação da força Fhx
CAPÍTULO 3. VERIFICAÇÃO DE EQUILÍBRIO MECÂNICO 32
horizontal do ponto de aplicação da força Fv
i até o ponto de referência r1. O item i pode tombar
em relação ao ponto r1se:
Fhx i δ v 1 > F v i δ h 1. (3.8)
Se o item i tomba em relação ao ponto r1é necessário verificar se existe algum item j ∈ Ari,
se houver utilize r2como o ponto mais alto no contato entre i e j. De posse do ponto r2, calcule
os valores de δv 2 e δ
h
2 e verifique novamente a desigualdade 3.8 agora utilizando os valores δ v 2 e
δh
2. Caso o momento causado pela força F hx
i for maior que o momento causado pela força F v i
então o item i realmente tomba, caso contrário o item j ∈ Ar
i evita que o item i tombe e por
consequência deve receber a força resultante de i.
Como resultado da desigualdade 3.8, quando o item i não tomba em relação ao item j temos o momento resultante MR
i , que é dado por
MiR= F hx i δ v 2 − F v i δ h 2, (3.9)
e usando este momento resultante obtemos FR i = MR i δR i , (3.10) onde δR
i é a distância na direção z entre o ponto r1e r2.
Para que um item j sirva de apoio para i, que está prestes a deslizar ou tombar, assumimos que j está em equilíbrio estático e dinâmico, só então j recebe a força horizontal resultante. Assim, como no caso de equilíbrio estático, para obter as reações nos itens j ∈ Ar
i, modelamos o
sistema de forças entre i e os itens em Ar
i como uma estrutura de pórtico espacial, tal modelagem
e transferência de força é apresentada na seção 3.2.
3.1.3
Combinação de forças
Como mencionado previamente, ao considerarmos as forças horizontais, consideramos a com-binação das forças que resultam no pior caso para a estabilidade de um empacotamento.
Dados as forças horizontal resultante em x (Fhx
i ) e a horizontal resultante em y (F hy
i )
obte-mos a força resultante horizontal na diagonal xy, da seguinte forma:
Fh i = q (Fhx i )2+ (F hy i )2. (3.11)
Note que a força Fh
i , obtida pela equação 3.11, sempre é maior ou igual a F hx
i e F
hy
i , no
entanto, a verificação se um item i tomba deve ser feita levando em consideração os três casos: somente as forças em x, somente as forças em y e a força resultante em xy. Se faz necessário as três verificações, pois a distância δh1
i usada em 3.8 pode assumir valores distintos em cada
uma das direções.
Na figura 3.7 temos ilustrado um caso onde a δh1
i na direção xy é maior que na direção x e
essa diferença pode ser suficiente para contrabalancear, na desigualdade 3.8, o acréscimo obtido em Fhna direção xy.
CAPÍTULO 3. VERIFICAÇÃO DE EQUILÍBRIO MECÂNICO 33 δh i Fhx i Fhy i δhd i
Figura 3.7: Diagonal de aplicação das forças em x e y combinadas.
3.2
Usando Pórticos Espaciais no cálculo de reações
Nesta seção modelamos um pórtico espacial para representar o sistema de forças formado pelo item i e seus adjacentes, onde as forças de reação obtidas nos pontos de apoio do pórtico repre-sentam as forças de reação entre o item i e os adjacentes.
Na figura 3.8, temos uma visão de baixo para cima do item i(vermelho) apoiado sobre os itens j(amarelo) e k(azul). No modelo em pórtico espacial que representa esta configuração do item i e seus adjacentes j e k utilizamos a área da base do item i como o primeiro pavimento e os quatro cantos que limitam os j e k como pilares de sustentação do primeiro pavimento.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 i j k
Figura 3.8: Configuração a ser transformada em pórtico espacial.
Como estamos utilizando pórticos espaciais, não representamos i como uma placa rígida e sim utilizamos as coordenadas x e y, dos itens adjacentes, para construir uma grade de propa-gação da força peso e das forças pontuais.
No exemplo da figura 3.8 temos as coordenadas xi = {0, 10} e yi = {0, 6} do item i,
xj = {1, 2} e yj = {4, 5} de j, e xk = {7, 10} e yk = {1, 3} de k, obtendo os conjuntos
Cx = xi ∪ xj ∪ xk e Cy = yi ∪ yj ∪ yk e, utilizando o produto cartesiano dos conjuntos
de coordenadas Cx× Cy obtemos um conjunto de pontos da grade do pórtico (figura 3.9). A
formação da grade ocorre quando ligamos estes pontos através de elementos de barra horizontais e verticais, como ilustrado na figura 3.10.
CAPÍTULO 3. VERIFICAÇÃO DE EQUILÍBRIO MECÂNICO 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 j i k
Figura 3.9: Pontos para formar a grade do pórtico.
1 10 7 2 1 0 0 4 3 5 6
Figura 3.10: Grade formada para os itens da figura 3.8.
Esta grade representa o primeiro pavimento do pórtico e, para que este possua solução, é necessário restringi-lo, fixando-o ao solo. No nosso caso, os pilares que vão ligar o primeiro pavimento ao solo, estão conectados aos pontos que desejamos obter as forças de reação, assim como ilustrado na figura 3.11. Tais pilares são as condições de contorno para o pórtico.
Figura 3.11: Pórtico obtido após a inclusão dos apoios.
Além das condições de contorno precisamos calcular a distribuição das forças atuantes em i. Inicialmente consideramos a força peso do item i que possui distribuição de massa uniforme, assim podemos considerar a força peso como distribuída em toda a área do item, mas como
CAPÍTULO 3. VERIFICAÇÃO DE EQUILÍBRIO MECÂNICO 35
temos apenas pontos, precisamos transferir essa força peso para esses pontos da malha. No exemplo dado, o item i tem dimensões 60 × 100 cm, ou 6 × 10 dcm, e possui área 60 dcm2
com força peso de Fw
i = 600N , assim, cada retângulo 1 × 1 dcm recebera peso 10N . A figura
3.12 mostra a distribuição da força peso em cada retângulo da grade proporcional a área do retângulo. 10 10 10 10 10 10 10 10 20 30 50 50 50 100 10 20 50 60 30 30 30
Figura 3.12: Força peso distribuída em cada retângulo do pórtico.
O modelo de pórticos adotado admite apenas cargas nodais, então é necessário transferir o peso em cada retângulo para os respectivos nós. Tal transferência é direta, aplicando 1/4 do peso do retângulo em cada nó deste retângulo, que por sua vez é somado com a contribuição de outros retângulos. Na figura 3.13 mostramos a distribuição para alguns dos retângulos no canto inferior esquerdo de i. 10 20 10 20 50 100 2.5 2.5 2.5 2.5 5 5 2.5 2.5 2.5 2.5 5 5 25 12.5 12.5
Figura 3.13: Força peso aplicada aos nós do pórtico. Para as forças Fij, recebidas dos itens j ∈ A
+
i , a distribuição depende diretamente do ponto
de aplicação. Se este ponto de aplicação coincidir com um nó ela é aplicada totalmente naquele nó, caso contrário a força está interna a um retângulo e então deve ser distribuída de acordo com a distância do ponto de aplicação e os quatro nós do retângulo. Dado um retângulo, formado pelos pontos p1, p2, p3e p4, com largura l e altura h, e uma força Fijaplicada no ponto pftemos
