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Teoria e Exercícios

Raciocínio Lógico

Prof. Sérgio Altenfelder

Data de impressão: 29/06/2007

Banco do Brasil

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Raciocínio Lógico

TABELA VERDADE

Iremos abordar nesta apostila uma diferente forma de argumentação que se associa diretamente com a língua portuguesa. Apesar de analisarmos frases muitas vezes de forma subjetiva a matéria que transmitirei a vocês abordará de forma simples, concisa e precisa conclusões das frases ligadas com a nossa língua, que muitas vezes serão levantadas em questões em sala de aula. Porém com a lógica não teremos como discutir a validade da frase, pois ela irá detalhar precisamente o certo do errado. Vamos ao que interessa.

Proposições

Chama-se proposição toda sentença declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Temos dois tipos de proposições: simples e composta.

Proposições Simples

Chama-se proposição simples ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Iremos representar uma proposição simples uma letra minúscula qualquer de nosso alfabeto.

Tipos de Sentenças Exemplos Declarativas Carlos é escritor.

Todos os gatos são pardos

Existem estrelas maiores do que o Sol

Imperativas Segure firme! Não faça isto

Pegue aquele negócio

Interrogativa Quem peidou?

Quantos japoneses moram no Brasil?

Exclamativas Que morena! Parabéns!

Valores Lógicos das Proposições Simples

Podemos classificar uma proposição simples em verdadeira ou falsa.

Exercícios de Fixação

1. Das sentenças abaixo, assinale quais são proposições e ao descobrir que a sentença é uma proposição atribua o valor lógico (V ou F) a elas.

a.) O Chile e o Brasil. i.) Sérgio Altenfelder é professor de Direito Penal b.) Um beijão. j.) O triplo de 5.

c.) Aonde estão Carla e Marcos? k.) Que horas são?

d.) O Brasil foi campeão de futebol em 1982 l.) Pega aquilo no bolso dele.

e.) Que legal! m.) O Brasil ganhou 5 medalhas de ouro em Atlanta f.) 5 . 4 = 20 n.) - 4 - 3 = 7

g.) 4 . 2 + 1 > 4 o.) 4 . 2 + 1 < 9 h.) (-2)3 > 4 p.) (-2)3 < 4

Proposições Compostas

Ao utilizarmos a linguagem combinamos idéias simples, ligando as proposições simples através de símbolos lógicos, formando assim as chamadas proposições compostas.

Conectivos

Vejamos os conectivos (e seus símbolos ) que ligam as proposições simples, formando as proposições compostas. Conjunções XXX e YYY XXX . YYY ou XXX ^ YYY

Disjunções XXX ou YYY XXX v YYY Conectivos

Condicionais Se XXX, então YYY XXX YYY ou XXX YYY

Bicondicionais XXX se e somente se YYY XXX YYY

Para analisar os valores lógicos das proposições compostas, iremos utilizar uma tabela que prevê todos os possíveis valores lógicos que uma sentença pode possuir a partir dos valores lógicos das proposições simples. O nome desta tabela é: TABELA VERDADE.

Número de Linhas da Tabela Verdade

Quando trabalhamos com tabela verdade, é sempre importante verificar quantas linhas deveremos analisar. E para isso é preciso conhecermos a seguinte fórmula:

2

n

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Raciocínio Lógico

Por exemplo, caso formos analisar uma proposição composta com duas proposições simples (p e q), poderemos analisá-las das seguintes maneiras:

p q

V V V F F V F F

Repare que fórmula já previa quatro linhas para serem analisadas. 22 = 4 linhas Vamos analisar agora uma proposição composta com três proposições simples (p,q e r).

p q r V V V V V F V F V F V V V F F F V F F F V F F F

Repare que fórmula já previa oito linhas para serem analisadas. 23 = 8 linhas

2. Assinale a alternativa que exibe a quantidade de linhas que uma proposição composta com 8 proposições simples pode possuir em uma tabela verdade.

a.) 16 linhas b.) 32 linhas c.) 64 linhas d.) 128 linhas e.) 256 linhas

Negação (~p)

Uma proposição quando negada, recebe valores lógicos opostos dos valores lógicos da proposição original. O símbolo que iremos utilizar é ~p.

p ~p

V F F V

Valores Lógicos das Proposições Compostas Tabela verdade do conectivo e, Conjunção ( . ou ^ )

Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso a conjunção e . Simbolicamente temos p . q (lê-se p e q). Este conectivo traduz a idéia de simultaneidade.

Assim, uma proposição composta do tipo: p . q é verdadeira apenas quando as proposições simples p e q forem simultaneamente verdadeiras, em qualquer outro caso p . q é falsa.

Resumindo na tabela verdade:

p q p . q

V V V V F F F V F F F F

A conjunção p . q é verdadeira se p e q são verdadeiras ao mesmo tempo. E caso uma delas for falsa, então p . q é falsa. Veja o exemplo abaixo com frases.

Paris não se situa na África e a África tem uma população predominante negra. Conclusão V

V V

Paris não se situa na África e a África não tem uma população predominante negra. Conclusão F

V F

Paris situa-se na África e a África tem uma população predominante negra. Conclusão F

F V

Paris situa-se na África e a África não tem uma população predominante negra. Conclusão F

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Tabela verdade do conectivo ou, Disjunção não exclusiva ( )

Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso da disjunção não exclusiva ou . Simbolicamente temos

p q (lê-se p ou q). Este conectivo traduz a idéia de que pelo menos uma das hipóteses ocorre.

Assim, uma proposição composta do tipo p q é verdadeira quando pelo menos uma das proposições simples forem

verdadeiras, sendo falsa apenas quando ambas forem falsas. Resumindo na tabela verdade:

p q p q

V V V V F V F V V F F F

A disjunção p q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira. Caso p e q são falsas ao mesmo

tempo então p q é falsa. Veja o exemplo abaixo com frases.

Paris não se situa na África ou a África tem uma população predominante negra Conclusão V

V V

Paris não se situa na África ou a África não uma população predominante negra. Conclusão V

V F

Paris situa-se na África ou a África tem uma população predominante negra. Conclusão V

F V

Paris situa-se na África ou a África não tem uma população predominante negra. Conclusão F

F F

Tabela verdade do conectivo ou, Disjunção exclusiva ( )

Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso da disjunção exclusiva ou . Simbolicamente temos p

q (lê-se ou p ou q). Este conectivo traduz a idéia hipóteses mutuamente exclusivas.

Antes de continuar qualquer tipo de explicação é importante salientar a diferença entre os dois tipos de ou . Esse ou que iremos abordar, dá a idéia de exclusão plena: Ou irei ao shopping ou ao estádio . Repare que o personagem ou vai ao shopping ou vai ao estádio, ele não poderá ir aos dois locais ao mesmo tempo. Temos aqui, a idéia da disjunção que estamos apresentando.

Uma proposição composta do tipo p q é verdadeira quando apenas uma das proposições simples forem verdadeiras,

sendo falsa quando ambas forem falsas ou ambas verdadeiras. Resumindo na tabela verdade:

p q p q

V V F V F V F V V F F F

A disjunção p q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira, caso p e q são falsas ao mesmo

tempo então p q é falsa. Veja o exemplo abaixo com frases. Ir ao cinema e ao teatro serão frases verdadeiras. Ou irei ao cinema ou ao teatro. Conclusão F

V V

Ou irei ao cinema ou não irei ao teatro. Conclusão V

V F

Ou não irei ao cinema ou irei ao teatro. Conclusão V

F V

Ou não irei ao cinema ou não irei ao teatro. Conclusão F F F

Exercício de Fixação

4. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas:

a) 40 = 1 22 = 4 h) 1! = 0 . 0! = 0

b) 2! = 2 . 0! =1 i) Londres é a capital da Inglaterra ou a torre Eiffel situa-se em Londres

c) 40_{= 1 2}3_{= 6} _{j) 2}2_{= 4 2}3_{= 6}

d) 2! = 2 . 0! =0 k) O meridiano de Greenwich passa por Londres e Londres é a capital do Chile

e) Sérgio Altenfelder é professor de matemática e de estatística l) 4 - 1 = 3 2 x 3. = 8 f) Sergio Altenfelder é professor de matemática ou de português m) 32 = 9 2 x 3 = 8 g) Sérgio está de blusa verde ou de blusa branca n) 4 - 1 = 3 . 2 x 3 = 8

5. Sejam as proposições: p: A vaca foi para o brejo q: O boi segue a vaca. Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições abaixo:

a) ~p e) ~p . q i) ~p ~q b) ~q f) p ~q j) ~p . ~q c) p . q g) ~(p . q) k) ~(~q) d) p q h) ~(p q) l) ~(~p)

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6. Sejam as proposições simples. p: João é alto e q: João é jogador de Basquete.

Escreva na forma simbólica

a) João não é alto h) João é alto ou é jogador de basquete. b) Não é verdade que João não é alto i) João é alto e não é jogador de basquete

c) João é alto e é jogador de basquete. j) Não é verdade que João é alto e é jogador de basquete d) João não é alto e é jogador de basquete. k) Não é verdade que João é alto ou é jogador de basquete e) João não é alto ou não é jogador de basquete. l) Não é verdade que João não é alto ou é jogador de basquete f) João não é jogador de basquete. m) João não é alto nem é jogador de basquete.

g) Não é verdade que João não é jogador de basquete

Tabela verdade do conectivo xxx se e somente se yyy , Bicondicional ( )

Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso da bicondicional xxx se somente se yyy .

Simbolicamente temos p q (lê-se p se e somente se q). Este conectivo traduz a idéia de bicondição. Este conectivo não é

muito usado em nossa língua portuguesa,usamos mais em frases matemáticas,para provar certas teorias. É importante apresentar um outro conceito que costuma cair de uma frase condicional.

Temos p q.

p é condição suficiente e necessária para q. Ou ainda p é chamado de causa e efeito ao mesmo tempo. q é condição necessária e suficiente para p Ou ainda q é chamado de causa e efeito ao mesmo tempo.

Este conectivo traduz a idéia de bicondição. Assim, uma proposição composta do tipo p q só será falsa se tivermos p e q apresentando valores lógicos diferentes; e se p e q possuirem os mesmos valores lógicos a frase será verdadeira.

Resumindo na tabela-verdade: p q p q V V V V F F F V F F F V

A bicondicional p q só será falsa se tivermos p e q apresentarem valores lógicos diferentes; e se p e q são proposições com os mesmos valores lógicos a frase será verdadeira.

2 x 3 = 6 se e somente se 2 + 2 + 2 = 6. Conclusão V V V 2 x 3 = 6 se e somente se 2 + 2 + 2 6. Conclusão F V F 2 x 3 6 se e somente se 2 + 2 + 2 = 6. Conclusão F F V 2 x 3 6 se e somente se 2 + 2 + 2 6. Conclusão V F F

Tabela verdade do conectivo Se xxx então yyy , Condicional ( ou )

Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso da condicional Se xxx então yyy . Simbolicamente temos p q (lê-se se p então q). Este conectivo traduz a idéia de condição, em outras palavras, causa e efeito.

É importante apresentar um outro conceito que costuma cair de uma frase condicional. Temos p q.

p é condição suficiente para q. Ou ainda p é chamado de causa.

q é condição necessária para p Ou ainda q é chamado de conseqüência ou efeito

Este conectivo traduz a idéia de condição. Assim, uma proposição composta do tipo p q só é falsa se tivermos p é verdadeira e q falsa; em qualquer outro caso, ela é verdadeira.

Resumindo na tabela-verdade: p q p q V V V V F F F V V F F V

O condicional p q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, p q é verdadeiro. Veja o exemplo

abaixo com frases.

Se o São Paulo ganhou o jogo então ele será o campeão brasileiro de futebol. Conclusão V

V V

Se o São Paulo ganhou o jogo então ele não será o campeão brasileiro de futebol. Conclusão F

V F

Se o São Paulo não ganhou o jogo então ele será o campeão brasileiro de futebol. Conclusão V

F V

Se o São Paulo não ganhou o jogo então ele não será o campeão brasileiro de futebol. Conclusão V F F

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Como este conectivo é muito difícil de entender, vamos imaginar a seguinte situação: Imaginemos que você seja uma pessoa que normalmente carrega seu guarda chuva na sua bolsa ou mala ou de qualquer outra forma.

Supor que está chovendo é uma frase verdadeira e que levar o guarda chuva também será verdadeira. Se não está chovendo então eu levo o guarda chuva. Conclusão V

F V

Se não está chovendo então eu não levo o guarda chuva. Conclusão V

F F

Vamos interpretar as duas situações acima.Pessoas que normalmente carregam seu guarda chuva, em dias que não chove, elas podem ou não carregar seu guarda chuva. Por isso que as frases acima são verdadeiras.

Se está chovendo então eu levo o guarda chuva. Conclusão V

V V

Se está chovendo então eu não levo o guarda chuva. Conclusão F

V F

Vamos interpretar as duas situações acima.Pessoas que normalmente carregam seu guarda chuva, em dias que chove, elas sempre carregam seu guarda chuva. Por isso que das duas frases acima uma verdadeira e a outra é falsa.

Ainda sobre o conectivo se então , temos que memorizar 3 conceitos sobre tal conectivo:

Proposições Inversas: para encontrar a inversa de uma proposição composta basta negar as frases. p q sua inversa é ~p ~q

x ~y sua inversa é ~x y

Proposições recíprocas: para encontrar a recíproca de uma proposição composta basta inverter as frases. p q sua recíproca é q p

x ~y sua recíproca é ~y x

Proposições contrapositivas: para encontrar a contrapositiva de uma proposição composta basta inverter e negar as

frases.

p q sua contrapositiva é ~q ~p x ~y sua contrapositiva é y ~x

7.) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas:

a) 2! = 2 0! = 1 h) 22 = 4 32 = 6 b) 20 = 0 0! = 0 i) 22 = 4 32 = 9 c) 2 é impar 3 é impar j) 2 - 1 = 1 5 + 7 = 3 . 4 d) 52 = 25 3 - 4 = -1 k) 2 é par 3 é impar e) 52 = 125 3 - 4 = 7 l) 2 é impar 3 é par f) 52 = 5 3 - 4 = -1 m) 52 = 25 3 - 4 = 1 g) 5 - 4 = 1 1 = 20 n) 5 - 3 8 8 4 . 5

8.) Sejam as proposições a: O meu time vai jogar contra um time fraco b: Eu vou ao estádio Escreva na linguagem simbólica:

a.) Se o meu time vai jogar contra um time fraco, então vou ao estádio b.) Se o meu time não vai jogar contra um time fraco, então eu vou ao estádio. c.) Se o meu time não vai jogar contra um time fraco, então eu não vou ao estádio. d.) Se o meu time vai jogar contra um time fraco, então eu não vou ao estádio.

9.) Sejam as proposições: p: A vaca foi para o brejo q: O boi seguiu a vaca.

Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições abaixo: a) p q k) p ~q b) ~p ~q l) ~p q c) ~(p q) m) p (p q) d) (p q) ~q n) ~p ~(p q) e) p ~(p q) o) ~(p q) ~q f) ~p q p) ~(p q) g) p q q) p ~q h) ~p ~q r) ~p (p q) i) p ~(p q) s) ~(p q) ~q j) ~p ~(p q) t) p (p q)

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10.) Sejam as proposições: p: João é alto q: João é jogador de Basquete

Escreva na forma simbólica

a.) Se João não é alto então ele é jogador de basquete. b.) Se João não é alto então ele não é jogador de basquete.

c.) É mentira que se João não é alto então ele é jogador de basquete. d.) João é alto se e somente se ele não é jogador de basquete. e.) João não é alto se e somente se ele é jogador de basquete. f.) João não é alto se e somente se ele não é jogador de basquete.

g.) É mentira que João não é alto se e somente se ele é jogador de basquete. h.) É mentira que João não é alto se e somente se ele não é jogador de basquete. i.) Se João é alto então ele é jogador de basquete.

j.) Se João é alto então ele não é jogador de basquete.

k.) Não é verdade que se João é alto então ele é jogador de basquete. l.) Não é verdade que se João é alto então ele não é jogador de basquete. m.) João é alto se e somente se ele é jogador de basquete.

n.) É mentira que se João não é alto então ele não é jogador de basquete. o.) Não é verdade que João é alto se e somente se ele é jogador de basquete. p.) Não é verdade que João é alto se e somente se ele não é jogador de basquete.

Montagem de Tabelas Verdades

Pelo uso repetido dos conectivos estudados e da negação, podemos construir proposições compostas progressivamente mais complexas, cujos valores lógicos não temos condições de determinar imediatamente. No entanto, o valor de uma proposição sempre pode ser determinado a partir dos valores lógicos das proposições simples componentes e dos conectivos utilizados. Um modo organizado, sistemático, de fazer isso é a utilização de uma tabela com todas as possíveis combinações entre os valores lógicos das proposições componentes e com o correspondente valor lógico da proposição composta. A partir do uso desta técnica, podemos descobrir os valores lógicos das proposições compostas e verificar se elas são equivalentes, ou negações, ou tautológicas, contraditórias ou ainda contingentes.

Dupla Negação ~(p)

A dupla negação nada mais é do que a própria proposição. Isto é, p = ~(~p)

p ~p ~(-p)

V F V F V F

~(~p) = p Exemplos

Vamos determinar toso os possíveis valores lógicos da proposição p . ~q, construindo a seguinte tabela-verdade

p q ~q p . ~q

V V F F V F V V F V F F F F V F

Vamos determinar todos os possíveis valores lógicos da proposição ~p ~q construindo a seguinte tabela-verdade:

p q ~p ~q ~p ~q V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V Contingência

Sempre que uma proposição composta recebe valores lógicos falsos e verdadeiros, independentemente dos valores lógicos das proposições simples componentes, dizemos que a proposição em questão é uma CONTINGÊNCIA.

Contradição

Vamos determinar os possíveis valores lógicos da proposição p. ~p, construindo a seguinte tabela verdade:

p q p . ~p

V F F F V F Exemplo: Hoje é sábado e hoje não é sábado

Sempre que uma proposição composta recebe todos os seus possíveis valores lógicos falsos, independentemente dos valores lógicos das proposições simples componentes, dizem que a proposição em questão é uma CONTRADIÇÃO

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Tautologia

Vamos determinar todos os possíveis valores lógicos da proposição p ~p, construindo a seguinte tabela verdade

p ~p p ~p

V F V F V V Exemplo: O céu está claro ou não está.

Sempre que uma proposição composta recebe todos os seus possíveis valores lógicos verdadeiros, independentemente dos valores lógicos das proposições simples componentes, dizemos que a proposição em questão é uma Tautologia

Equivalências Lógicas:

Dizemos que duas proposições compostas são equivalentes quando os valores lógicos das suas tabelas verdades são equivalentes. Vejamos se essas duas frases são equivalentes: p q e ~p q

p q ~p p q ~p q

V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V

Percebe-se que os valores lógicos das duas proposições compostas analisadas são equivalentes. Desse modo podemos dizer que elas são equivalentes.

Analisando outras frases.

A proposição Não é verdade que nossos produtos são caros e duram pouco é equivalente a Nossos produtos não são caros ou não duram pouco . Vamos verificar:

p: Nossos produtos são caros ~p: Nossos produtos não são caros q: Nossos produtos duram pouco ~q: Nosso produtos não duram pouco

~(p . q): Não é verdade que nossos produtos são caros e duram pouco. ~p ~q: Nossos produtos não são caros ou não duram pouco.

p q ~p ~q p . q ~(p . q) ~p ~q

V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V F F V V F V V Como podemos notar ~(p . q) ~p ~q

Analogamente, podemos verificar que a proposição Não é verdade que Bráulio passou no concurso ou se matou. Garante o mesmo que Bráulio não passou no concurso e não se matou. Vamos verificar:

p: Bráulio passou no concurso. ~p: Bráulio não passou no concurso. q: Bráulio se matou.

~q: Bráulio não se matou.

~(p q): Não é verdade que Bráulio passou no concurso ou se matou. ~p . ~q: Bráulio não passou no concurso e não se matou.

p q ~p ~q p q ~(p q) ~p . ~q

V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V Como podemos notar ~(p q) ~p . ~q

Negação de Proposições Compostas

Dizemos que uma proposição composta é a negação da outra quando os valores lógicos das suas tabelas verdades são opostas. Vejamos se uma frase é a negação da outra evice-versa: p q e p . ~q

p q ~q p q p . ~q

V V F V F V F V F V F V F V F F F V V F

Como podemos notar ~(p q) p . ~q. Em outras palavras, a negação da proposição p q é p . ~q

Percebe-se que os valores lógicos das duas proposições compostas analisadas são opostas. Desse modo podemos dizer que uma é a negação da outra e vice versa.

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Exercício de Fixação

11. Se A, B e C são enunciados verdadeiros e X, Y e Z são enunciados falsos. Classifique os enunciados abaixo em verdadeiros ou falsos:

a) (C Z) . (Y B) p) ~{[(~A B) . (~B A)] . ~[(A . B) (~A . ~B)]} b) (A . B) (X . Y) q) ~{[(~C Z) . (~Z C)] . ~[(C . Z) (~C . ~Z)]} c) ~(B X) . ~(Y Z) r) [A (B . C)] . ~[(A . B) (A .C)] d) ~(C B) ~(~X . Y) s) [B (~X . ~A)] . ~[(A . B) (A .C)] e) ~B X t) [B (~X . ~A)] . ~[(B ~X) . (B A)] f) ~X A u) A (B C) g) ~X Y v) A (B Z) h) ~[(~B A) (~A B)] w) A (Y C) i) ~[(~Y Z) (~Z Y)] x) A (Y Z) j) ~[(~C Y) (~Y C)] y) X (B Z) k) ~[(~X A) (~A X)] z) X (B C) l) ~[A (B C)] [(A B) C] aa) X (Y C) m) ~[X (Y Z)] [(X Y) Z] bb) X (Y Z) n) [A . (B C)] ~[(A . B) (A .C)] cc) (X Y) Z o) ~[X . (~A Z)] [(X . ~A) (X . Z)] dd) (A B) Z

12. Sendo: p: Tânia é cantora

q: Tânia é pernambucana

Escreva na linguagem natural as proposições e aponte quais delas podem ser equivalentes:

a.) p q b.) ~p ~q c.) ~(~p ~q) d.) ~( p q ) e.) ~( p q ) f.) ~p ~q

13. Mostre que a proposição (p q) ~p é uma contradição.

14. Mostre que a proposição (p q) ~p é uma tautologia.

15. Mostre que a proposição (p q) ~p é uma contingência.

16. Monte as seguintes tabelas verdades

a.) ~p ~q f.) ~p q k.) ~(p ~q) b.) p ~q g.) p ~p l.) (~p ~q) p c.) p ~q h.) ~p ~q m.) (p q) ~( p ~q) d.) p ~p i.) ~(p ~p) n.) (p q) ~( p ~q)

e.) (p ~p) [p (p . q)] j.) ~p [~(p ~q) (~p . q)] o.) p [(~p . q) ~(p (~q p)]

Testes que podem cair na prova

17. Assinale quais das alternativas abaixo são as corretas conclusões de: r s

Sabemos que o valor lógico de r é verdadeiro e que o valor lógico de s é falso; então pode-se dizer que:

a.) r s b.) r s c.) r s d.) r ~s e.) ~r s

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18. (PUC/RS) Sejam p e q duas proposições. A negação p . q equivale a:

a.) ~p ~q b.) ~p . ~q c.) ~p q d.) ~p q e.) p . ~q

19. Sejam p e q duas proposições. A negação p ~q equivale a:

a.) ~p ~q b.) ~p . ~q c.) ~p q d.) ~p . q e.) p . ~q

20. Sejam p e q duas proposições. A negação p q equivale a:

a.) ~p ~q b.) ~p . ~q c.) ~p q d.) ~p q e.) p . ~q

21. Sejam p e q duas proposições. A proposição p ~q equivale a:

a.) ~p ~q b.) p ~q c.) ~p q d.) ~p q e.) p . ~q

22. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~p q equivale a:

a.) ~p . ~q b.) ~p ~q c.) ~p q d.) ~p ~q e.) p q

a.) ~p q b.) ~p ~q c.) q ~p d.) ~q p e.) p q

a.) ~p ~q b.) ~p . ~q c.) p q d.) ~p . q e.) p ~q

25. Sejam p e q duas proposições. A proposição p ~q tem como contrapositiva a seguinte proposição:

26. Sejam p e q duas proposições. A proposição p ~q tem como inversa a seguinte proposição:

27. Sejam p e q duas proposições. A proposição p ~q tem como recíproca a seguinte proposição:

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28. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~p ~q tem como contrapositiva a seguinte proposição:

a.) ~p q b.) ~p ~q c.) q p d.) ~q p e.) p q

29. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~p ~q tem como inversa a seguinte proposição:

a.) ~p q b.) ~p ~q c.) q ~p d.) ~q ~p e.) p q

30. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~p ~q tem como recíproca a seguinte proposição:

a.) ~p q b.) ~p ~q c.) ~q ~p d.) ~q p e.) p q

31. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~q p tem como contrapositiva a seguinte proposição:

32. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~q p tem como inversa a seguinte proposição:

33. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~q p tem como recíproca a seguinte proposição:

a.) ~p q b.) ~p ~q c.) q ~p d.) ~q p e.) p ~q

34. Sejam p e q duas proposições. A proposição p q tem como inversa a seguinte proposição:

a.) ~p q b.) ~p ~q c.) q ~p d.) q p e.) ~q q

35. Sejam p e q duas proposições. A proposição p q tem como recíproca a seguinte proposição:

a.) ~p q b.) q p c.) q ~p d.) ~q p e.) p q

a.) 16 linhas b.) 32 linhas c.) 64 linhas d.) 128 linhas e.) 256 linhas

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Raciocínio Lógico

38. (Mackenzie/SP) Duas grandezas x e y são tais que se x = 3, então y = 7. Pode-se concluir que:

a.) se x 3, então y 7 b.) se y = 7, então x = 3 c.) se y 7, então x 3 d.) se x = 5, então y - 5

e.) Nenhuma das conclusões acima é válida

39. Considere o argumento

Pedro foi aceito e faltou às provas.

Pedro não foi aceito, então ele faltou às provas

Representando por p

a frase Pedro foi aceito e por q a sentença ele faltou às provas, a tradução

correta do argumento acima, para a linguagem simbólica, é:

a) p q ~p q b) p q ~p q c) ~p q p q d) p . q ~p q e) p q ~p . q

40. Considere as seguintes correspondências I. p (~q ~q)

II. (p q) (q . ~q) III. p [(p q) q] Assinale a alternativa correta:

a) I é contingente, II é contraditória e III é tautológica b) I é tautológica, II é contraditória e III é contingente c) I é tautológica, II é contraditória e III é tautológica d) I é tautológica, II é contingente e III é contingente e) I é contingente, II é contingente e III é tautologia

41. A tabela verdade que corresponde à sentença p ~(p q) é

a) p q ~(p q) p ~(p q) V V F F V F V V F V V V F F V V b) p q ~(p q) p ~(p q) V V V V V F V V F V V V F F F V c) p q ~(p q) p ~(p q) V V F F V F V V F V F V F F F V d) p q ~(p q) p ~(p q) V V V F V F V F F V V F F F F F e) p q ~(p q) p ~(p q) V V F F V F F F F V F V F F V V

42. Se T é uma tautologia, é uma contradição e C é uma contingência, diga qual dentre as seguintes expressões será contingente: a) T (

) b) (

) ~T c) T ( ~ C) d) (C . T) e) (T T) C

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Raciocínio Lógico

43. Se A, B, C são sentenças verdadeiras e X, Y, Z são sentenças falsas, então os valores de verdade de (~A . ~X) (Y C), B (Y Z) e B Z respectivamente são:

a) verdadeiro, verdadeiro, falso b) falso, verdadeiro, falso c) falso, falso, verdadeiro d) verdadeiro, falso, falso e) verdadeiro, falso, verdadeiro

João passou no concurso Logo se João não passou no concurso, então ele faltou às provas

Representando por: p a frase João passou no concurso e por q a sentença ele faltou às provas, a tradução correta do argumento acima, para a linguagem simbólica, é:

a) p q ~p q b) p q ~p q c) ~p q ~p q d) p ~p q e) p q ~p . q

45. Considere as seguintes correspondências

I. p (p ~q) II. (p p) p III. p [(p q) q]

Assinale a alternativa correta:

a) I é contingente, II é contraditória e III é tautológica b) I é tautológica, II é contraditória e III é contingente c) I é tautológica, II é contraditória e III é tautológica d) I é tautológica, II é contingente e III é tautológica e) I é contingente, II é contingente e III é contingente

46. A tabela verdade que corresponde à sentença ~p ~(p ~q) é

a) p q ~q p ~q ~p ~p ~(p ~q) V V F V F F V F V V F V F V F F V V F F V V V V b) p q ~p ~q p ~q ~p ~(p ~q) V V F F V V V F F V V V F V V F F V F F V V F V c) p q ~p ~q p ~q ~p ~q ~p ~(p ~q) V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V F F V V F V V d) p q ~q ~(p ~q) ~p ~(p ~q) V V F V F V F V F V F V F V F F F V V V e) p q ~p ~q p ~q ~(p ~q) ~p ~(p ~q) V V F F V F V V F F V V F V F V V F F V V F F V V V F F

47. Se T é uma tautologia, é uma contradição e C é uma contingência, diga qual dentre as seguintes expressões será contingente: a) C (

) b) (

) ~T c) T ( ~ C) d) ~ (T . T) e) ~ (T T)

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48. Se A, B, C são sentenças verdadeiras e X, Y, Z são sentenças falsas, então os valores de verdade de ~[(~A . ~X) (Y C)], ~B (Y Z) e B Z respectivamente são:

Paulo passou no concurso, ou ele faltou às provas

Logo, se Paulo não passou no concurso, então ele faltou às provas

Representando por: p a frase Paulo passou no concurso e por q a sentença ele faltou às provas, a tradução correta do argumento acima, para a linguagem simbólica, é:

a) p q ~p q b) ~p q ~p q c) ~p q ~p q d) p . q ~p q e) p q ~p . q

50. Considere as seguintes correspondências

I. p (p ~q) II. (p p) (q . ~q) III. p [(p q) q]

Assinale a alternativa correta:

a) I é contingente, II é contraditória e III é tautológica b) I é tautológica, II é contraditória e III é contingente c) I é tautológica, II é contraditória e III é tautológica d) I é tautológica, II é contingente e III é tautológica e) I é contingente, II é contingente e III é contingente

51. A tabela verdade que corresponde à sentença ~p ~(p ~q) é

a) p q ~q p ~q ~p ~(p ~q) ~p ~(p ~q) V V F V F F F V F V V F V V F V F F V V V F F V V V V V b) p q ~p ~q p ~q ~p ~(p ~q) V F F V V V V F V V V V F V F F F V F V V V V V c) p q ~p ~q p ~q ~(p ~q) ~p ~(p ~q) V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V F F V V F V V d) p q ~p ~q p ~q ~(p ~q) ~p ~(p ~q) V V F F V F V V F F V V F V F V V F F V V F F V V V F F e) p q ~q p ~q ~(p ~q) ~p ~(p ~q) V V F V F F V F V V F F F V F F V V F F V V F V

52. Se T é uma tautologia, é uma contradição e C é uma contingência, diga qual dentre as seguintes expressões será contingente: a) T (

) b) (

) ~T c) T ( ~ C) d) ~ (C . T) e) ~ (C T)

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Raciocínio Lógico

53. Se A, B, C são sentenças verdadeiras e X, Y, Z são sentenças falsas, então os valores de verdade de ~[(~A . ~X) (Y C)], B (Y Z) e B Z respectivamente são:

Equivalências Lógicas ou Equivalência entre Proposições

Iremos ver esse tópico novamente, só que agora iremos utilizar um modo de resolver as equivalências de um modo mais rápido. Mas para isso precisamos decorar as propriedades lógicas.

Propriedade das Equivalências Lógicas 1. ~(p . q) ~p ~q 2. ~(p q) ~p . ~q 3. p q ~q ~p 4. p q ~p q 5. ~(p q) p . ~q 6. p q q p 7. ~(p q) p q

Testes que podem cair na prova

54. (PUC/RS) Sejam p e q duas proposições. A negação p . q equivale a:

a) ~p ~q b) ~p . ~q c) ~p q d) ~p q e) p . ~q

55. Sejam p e q duas proposições. A negação p ~q equivale a:

a) ~p ~q b) ~p . ~q c) ~p q d) ~p . q e) p . ~q

56. Sejam p e q duas proposições. A negação p q equivale a:

a) ~p ~q b) ~p . ~q c) ~p q d) ~p q e) p . ~q

57. Sejam p e q duas proposições. A proposição p ~q equivale a:

a) ~p q b) ~p ~q c) ~p q d) ~p q e) p . ~q

58. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~p q equivale a:

a) ~p . ~q b) ~p ~q c) ~p q d) ~p ~q e) p q

a) ~p q b) ~p ~q c) q ~p d) ~q p e) p q

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Raciocínio Lógico

a) ~p ~q b) ~p . ~q c) p q d) ~p . q e) p ~q

61. (Mackenzie/SP) Duas grandezas x e y são tais que se x = 3, então y = 7. Pode-se concluir que:

a) se x 3, então y 7 b) se y = 7, então x = 3 c) se y 7, então x 3 d) se x = 5, então y - 5

e) Nenhuma das conclusões acima é válida

62. Duas grandezas x e y são tais que se x = 3, então y 7. Pode-se concluir que:

a.) se x 3, então y 7 b.) se y = 7, então x 3 c.) se y 7, então x 3 d.) se x = 5, então y - 5

e.) Nenhuma das conclusões acima é válida

63. (MPU/96) Uma sentença logicamente equivalente a: Se Pedro é economista, então Luíza é solteira é:

a.)

Pedro é economista ou Luíza é solteira.

b.)

Pedro é economista ou Luíza não é solteira.

c.)

Se Luíza é solteira, Pedro é economista.

d.)

Se Pedro não é economista então Luíza não é solteira. e.) Se Luíza não é solteira então Pedro não é economista.

64. (ICMS/97) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo,

a.)

Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.

b.)

Rodrigo é culpado.

c.)

Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado.

d.)

Rodrigo mentiu.

e.)

Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.

65. (ICMS/97) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo,

a.) seu esforço é condição suficiente para vencer. b.)seu esforço é condição necessária para vencer. c.) Se você não se esforçar, então não irá vencer. d.) você vencerá só se esforçar.

e.) mesmo que você se esforce, você não vencerá.

66. (FISCAL DO TRABALHO/98) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

a.) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b.) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

c.) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo

d.) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e.) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

67. (FISCAL DO TRABALHO/98) A negação da afirmação condicional se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva é:

a.) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b.) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c.) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d.) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e.) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

68. (FISCAL DO TRABALHO/98) Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:

a.) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b.) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c.) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d.) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e.) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

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Raciocínio Lógico

Lógica da Argumentação

Apresentaremos o estudo da tabela verdade através da lógica verbal, através de argumentos.

69. (MPU/96) Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Ora, Paula é professora. Portanto:

a.) Ana é advogada b.) Sandra é secretária

c.) Ana é advogada, ou Paula não é professora d.) Ana é advogada, e Paula é professora

e.) Ana não é advogada e Sandra não é secretária

70. (AFC/96) Se Beto briga com Glória então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora Raul não briga com Carla. Logo,

a.) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória b.) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema

c.) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema d.) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória e.) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória

71. (AFC/96) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então,

a.) Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais moço do que Pedro b.) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade c.) Carlos e João são mais moços do que Pedro.

d.) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro

e.) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade

72. (AFTN/96) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:

a.) Nestor e Júlia disseram a verdade b.) Nestor e Lauro mentiram

c.) Raul e Lauro mentiram

d.) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade e.) Raul e Júlia mentiram

73. (AFTN/96) José quer ir ao cinema assistir ao filme Fogo contra fogo , mas não tem certeza se o mesmo será exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio tem opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio está enganado, então Luís está enganado. Se Luís está enganado, então o filme estará exibido. Ora, ou filme Fogo contra Fogo está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:

a.) O filme Fogo contra Fogo está sendo exibido b.) Luís e Júlio não estão enganados

c.) Júlio está enganado, mas não Luís d.) Luís está enganado, mas não Júlio e.) José não irá ao cinema

74. José quer ir ao cinema assistir ao filme Fogo contra fogo , mas não tem certeza se o mesmo será exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio tem opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio está enganado, então Luís está enganado. Se Luís está enganado, então o filme não estará exibido. Ora, ou filme Fogo contra Fogo está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:

a.) O filme Fogo contra Fogo está sendo exibido b.) Luís e Júlio não estão enganados

c.) Júlio está enganado, mas não Luís d.) Luís está enganado, mas não Júlio e.) José não irá ao cinema

75. (MPU/96) Se Carlos é mais alto do que Paulo, logo Ana é mais alta do que Maria. Se Ana é mais alta do que Maria, João é mais alto do que Carlos. Ora, Carlos é mais alto do que Paulo, logo,

a.) Ana é mais alta do que Maria e João é mais alto do que Paulo. b.) Carlos é mais alto do que Maria e Paulo é mais alto do que João. c.) João é mais alto do que Paulo e Paulo é mais alto do que Carlos. d.) Ana é mais alta do que Maria e Paulo é mais alto do que Carlos e.) Carlos é mais alto do que João ou Paulo é mais alto do que Carlos

76. (FISCAL DO TRABALHO/98) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:

a.) O Jardim é florido e o gato mia b.) O Jardim é florido e o gato não mia c.) O Jardim não é florido e o gato mia d.) O Jardim não é florido e o gato não mia e.) Se o passarinho canta, então o gato não mia

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Raciocínio Lógico

Arranjo, Combinatória e Permutação

1. Fatorial

Fatorial de n (ou n fatorial): n! = n.(n 1).(n 2). ... .3.2.1, n IN / n 2.

1! = 1 e 0! = 1

Exemplo: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

2. Arranjo: ordem importa

Simples

Com repetição

A

n, p

=

(A

R

)

n, p

= n

p

3. Permutação: caso particular de arranjo

Simples

Com repetição

Circular

P

n

= n!

(P

R

)

n

=

, + + + =n.

(P

C

)

n

= (n 1)!

4. Combinação: a ordem não importa.

Simples

Com repetição

C

n , p

=

(C

= C

n , p Exercícios

01. Uma prova compõe-se de 20 questões do tipo múltipla escolha tendo cada uma 4 alternativas distintas. Se todas as 20 questões forem respondidas ao acaso, o número máximo de maneiras de preencher a folha de resposta será:

a.) 204 b.) 20! c.) 116.280 d.) 4.845 e.) 420

02. Cinco bandeiras coloridas e distintas, hasteadas em um mastro, constituem um sinal em código. Quantos sinais podem ser feitos com sete bandeiras de cores diferentes?

a.) 5.040 b.) 120 c.) 480 d.) 2.520 e.) 1.250

03. De quantas maneiras podemos escolher um comitê de cinco pessoas dentre oito?

a.) 56 b.) 20.160 c.) 336 d.) 252 e.) 250

04. Uma Pizzaria oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelo, pimentão, enchova e mozzarella. De quantas maneiras podemos escolher dois tipos diferentes de pizza?

a.) 10 b.) 120 c.) 20 d.) 25 e.) 50

05. As placas dos automóveis são formadas por duas letras seguidas de 4 algarismos. Qual o número de placas que podem ser formadas com as letras A e B e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo.

a.) 120 b.)240 c.)480 d.) 2.500 e.) 1.250

06. As placas dos automóveis são formadas por duas letras seguidas de 4 algarismos. Qual o número de placas que podem ser formadas:

a.) Com as letras A e B e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo. b.) Com as letras A e B e os algarismos pares.

n!

(n p)!.p!

, , , ...

_n!

!. !. !...

n!

(n p)!

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Raciocínio Lógico

c.) Com as letras A e B sem repeti-las e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo. d.) Com as letras A e B sem repeti-las e os algarismos pares.

e.) Com todas as letras do alfabeto e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo e nenhuma letra. f.) Com todas as letras do alfabeto e os algarismos ímpares, sem repetir nenhum algarismo e nenhuma letra. g.) Com todas as letras do alfabeto e os todos os algarismos, sem repetir nenhum algarismo e nenhuma letra. h.) Com todas as letras do alfabeto e os todos os algarismos

07. As placas dos automóveis são formadas por três letras seguidas de 4 algarismos. Qual o número de placas que podem ser formadas:

a.) Com as letras A, B e C e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo. b.) Com as letras A, B e C e os algarismos pares.

o.) Com as letras A, B e C sem repeti-las e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo. d.) Com as letras A, B e C sem repeti-las e os algarismos pares.

e.) Com todas as letras do alfabeto e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo e nenhuma letra. f.) Com todas as letras do alfabeto e os algarismos ímpares, sem repetir nenhum algarismo e nenhuma letra. g.) Com todas as letras do alfabeto e os todos os algarismos, sem repetir nenhum algarismo e nenhuma letra. h.) Com todas as letras do alfabeto e os todos os algarismos

08. Quantos são os anagramas da palavra ORDEM ?

a.) 120 b.) 72 c.) 720 d.) 24 e.) 48

09. Possuo 5 bolas de cores diferentes. De quantos modos posso distribuí-las a cinco meninos, de modo que cada um receba uma única bola?

a.)120 b.)72 c.)720 d.)24 e.)48

10. Quantos números distintos podemos formar permutando os algarismos do número 777.443

a.) 720 b.) 120 c.) 72 d.) 60 e.) 24

11. Quantos sócios tem um clube de ciclistas, sabendo-se que para numerá-los, foram utilizados todos os números de três algarismos que não contém 0 nem 8?

a.) 56 b.) 336 c.) 40.320 d.) 512 e.) 5.125

12. Um cofre possui um disco com 26 letras. A combinação do catre é formada por 3 letras distintas, numa certa ordem. Se o dono esquecesse essa combinação, qual o nº máximo de tentativas que ele precisaria fazer para abrir o cofre?

a.) 17.576 b.)2.600 c.) 26! d.) 15.600 e.) 10.000

13. Um cofre possuí um disco com 12 letras. A combinação do cofre é uma palavra de 5 letras. Quantas tentativas podem ser efetuadas por uma pessoa que desconheça a combinação?

a.) 125 b.) 12! c.) 95.040 d.) 792 e.) 512

14. Quantas comissões de 4 mulheres e 3 homens podem ser formadas com 10 mulheres e 8 homens?

a.) 1.693.440 b.) 876.000 c.) 11.760 d.) 1.450 e.) 720

15. Os números dos telefones de uma cidade são constituídos de 6 dígitos. Sabendo que o primeiro dígito nunca pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser 7 dígitos, o aumento possível na quantidade de telefones será:

a.) 408.240 b.) 81.000 c.) 810.000 d.) 9.000.000 e.) 8.100.000

16. Uma sociedade é composta de 7 dentistas, 5 escritores e 8 médicos. Quantas comissões de 7 membros podem ser formadas de tal modo que se tenha 2 dentistas, 4 escritores e 1 médico.

a.) 840 b.) 40.320 c.) 8.100 d.) 90.450 e.) 58.100

17. (T.F.C.) Em um campeonato de pedal participam 10 duplas, todas com a mesma probabilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes poderemos ter classificação para os três primeiros lugares?

a.) 240 b.) 270 c.) 420 d.) 720 e.) 740

18. (T.F.C.) Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma podem ser formadas com 10 funcionários de uma empresa?

a.) 120 b.) 210 c.) 720 d.) 4.050 e.) 5.040

19. (A.F.C.) Dez competidores disputam um torneio de natação, em que apenas os quatros primeiros colocados classificam-se para as finais. Quantos resultados possíveis existem para os quatro primeiros colocados?

a.) 4.040 b.) 4.050 c.) 5.040 d.) 10.000 e.) 6.300

20. Um cofre possui um disco com 12 letras. A combinação do cofre é uma palavra de 5 letras distintas. Quantas tentativas infrutuosas podem ser efetuadas por uma pessoa que desconheça a combinação?

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21. Os números dos telefones de uma cidade são constituídos de 6 dígitos distintos. Sabendo que o primeiro dígito nunca pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser 7 dígitos distintos, o aumento possível na quantidade de telefones será:

a.) 408.240 b.) 81.000 c.) 810.000 d.) 9.000.000 e.) 8.100.000

22. Calcule quantos números não múltiplos de dois, de 4 algarismos distintos, podemos formar.

a.) 5.040 b.) 2.520 c.) 1.472 d.) 5.264 e.) 3.120

23. Calcule quantos números múltiplos de cinco, de 4 algarismos distintos, podemos formar.

a.) 1.008 b.) 5.040 c.) 4.032 d.) 5.264 e.) 3.120

25. Uma sociedade é composta de 7 engenheiros, 6 escritores e 4 médicos. Quantas comissões de 5 membros podem ser formadas de tal modo que se tenha:

a.) exclusivamente engenheiros.

b.) 2 engenheiros, 2 escritores e 1 médico. c.) pelo menos 2 médicos

24. Num determinado programa de auditório existem 10 engenheiros e 6 médicos. De quantas maneiras poderão formar comissões de 7 pessoas com pelo menos 4 engenheiros?

a.) 9.360 b.) 46.200 c.) 210 d.) 4.200 e.) 220

26. (A.F.C.) Em uma empresa existem dez supervisores e seis gerentes. Quantas comissões de seis pessoas podem ser formadas, de maneira que participam pelo menos três gerentes em cada uma delas?

a.) 60 b.) 675 c.) 2.400 d.) 3.136 e.) 3.631

27. Com a palavra Pernambuco, determinar;

a.) todos os anagramas possíveis

b.) os anagramas que começam por Per, nesta ordem c.) os anagramas que começam por Per, em qualquer ordem d.) quantos anagramas começam por consoante

e.) quantos anagramas começam por consoante e terminam por vogal

28. 10 pessoas sentam na primeira fileira de um curso de Financeira. De quantas maneiras poderão sentar-se, sendo que quatro determinadas pessoas devem ficar sempre juntas? (sabe-se que a primeira fileira possui dez carteiras)

a.) 17.280 b.) 120.960 c.) 210 d.) 5.040 e.) 45.620

29. 5 pessoas vão ao cinema, encontrando 5 lugares. De quantas maneiras poderão sentar-se?

a.) indistintamente

b.) ficando duas determinadas pessoas sempre juntas c.) ficando duas determinadas pessoas nas extremidades.

30. É necessário colocar 7 livros diferentes em uma estante. De quantas maneiras poderão ajeitar esses livros na estante?

a.) indistintamente

b.) ficando dois livros determinados sempre juntos c.) ficando dois determinados livros nas extremidades.

31. Oito pessoas sentam na primeira fileira de um curso de Financeira. De quantas maneiras poderão sentar-se, sabe-se que a primeira fileira possui oito carteiras?

a.) indistintamente

b.) ficando duas determinadas pessoas sempre juntas. c.) ficando três determinadas pessoas sempre juntas. d.) ficando duas determinadas pessoas nas extremidades.

32. Determinar quantos anagramas tem as palavras:

a.) representante b.) matemática c.) Cuiabá

33. Suponha que no início de um jogo você tenha R$ 50,00. A cada jogada, se você vencer ganha R$ 10,00, e se perder, paga R$ 10,00. Ao final de 3 jogadas os possíveis valores do dinheiro que lhe pode restar são?

a.) a.) 20, 40, 60 ou 80 b.) 30, 50, 70 ou 90 c.) 10, 30, 50 ou 70 d.) 20, 50, 60 ou 90 e.) 10, 20, 40 ou 60

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PROVAS DA UNB

(Petrobras 2004)

As sentenças S1, S2 e S3 a seguir são noticias acerca da bacia de Campos RJ, extraídas e adaptadas da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS.

S1: Foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974.

S2: Foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade de 905 m, no campo de Marlim, em 1995. S3: Foi iniciada a produção em Moréia e foi iniciado o Programa de Desenvolvimento Tecnológico em Águas Profundas (PROCAP), em 1986.

Quanto as informações das sentenças acima, julgue os itens subseqüentes:

1) A negação da união de S1 e S2 pode ser expressa por: Se não foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974, então não foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade de 905 m, no campo de Marlim, em 1995.

2) A negação de S3 pode ser expressa por: Ou não iniciada a produção em Moréia ou não foi iniciado o Programa de Desenvolvimento Tecnológico em Águas Profundas (PROCAP), em 1986.

Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS.

Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia.

Julgue se cada uma dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva acima.

3) Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da importação do petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro no mesmo ano.

4) Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da importação de petróleo e derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano a produção de 100 mil barris/dia.

(Analista de Sistemas SERPRO 2004)

A lógica proposicional trata das proposições que podem ser interpretadas como verdadeiras (V) ou falsas (F) . Para as proposições (ou fórmulas) P e Q, duas operações básicas ¬ e , podem ser definidas de acordo com as tabelas de interpretação abaixo. P ¬ P V F F V P Q P Q V V V V F F F V V F F V

Com base nessas operações, novas proposições podem ser construídas:

Uma argumentação é uma seqüência finita de proposições. Uma argumentação é válida sempre que a veracidade (V) de suas (n-1) premissas acarreta a veracidade de sua n-ésima e última proposição.

Com relação a esses conceitos, julgue os itens a seguir.

1) A seqüência de proposições

Se existem tantos números racionais quanto números irracionais, então o conjunto dos números irracionais é infinito. O conjunto dos números irracionais é infinito.

Existem tantos números racionais quanto números irracionais É uma argumentação da forma

P Q Q P

2) A Argumentação

Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo. Lógica não é fácil.

Sócrates não foi mico de circo

É valida e tem a forma

P Q ¬ P ¬ Q

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Banco do Brasil 2007

Prof. Sérgio Altenfelder

Raciocínio Lógico

A expressão ( y) ( x) P(x, y) é uma fórmula sintaticamente correta da lógica de predicados clássica. Diz-se que uma tal fórmula é semanticamente válida quando as suas variáveis x e y e o predicado P têm alguma interpretação que os verifique. Quanto a esse assunto, julgue o item subseqüente.

4) Se x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e o predicado P(x,y) é interpretado como x < y, então a formula é semanticamente válida.

(TCU 2004)

Texto para os itens 1 a 8

Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬, e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esse operadores estão definidos para cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo.

P Q ¬ P P Q P Q V V F V V V F F F F V V F V F F F V

Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi a praiae R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes:

1. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comercio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬ P (¬ R ¬ Q).

2. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ¬Q.

3. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P Q é falsa.

4. O número de valorações possíveis para (Q ¬R) P é inferior a 9.

As letras P, Q e R representam proposições, e os esquemas acima representam quatro formas de dedução, nas quais, a partir das duas premissas (proposições acima da linha tracejada), deduz-se a conclusão (proposição abaixo da linha tracejada). Os símbolos ¬ e são operadores lógicos que significam, respectivamente, não e então, e a definição de V é dada na seguinte tabela verdade.

Considerando as informações acima e as do texto, julgue os itens que se seguem, quanto à forma de dedução.

5. Considere a seguinte argumentação.

Se juízes fossem deuses, então juízes não cometeriam erros. Juízes cometem erros. Portanto, juízes não são deuses. Essa é uma dedução da forma IV.

6. Considere a seguinte dedução.

De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou roubou uma motocicleta. O réu roubou um carro. Portanto, o réu não roubou uma motocicleta.

Essa é uma dedução da forma II.

7. Dadas as premissas P Q; ¬Q; R P, é possível fazer uma dedução de ¬R usando-se a forma de dedução IV. 8. Na forma de dedução I, tem-se que a conclusão será verdadeira sempre que as duas premissas forem verdadeiras.

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Banco do Brasil 2007

Prof. Sérgio Altenfelder

Raciocínio Lógico

A seguinte forma de argumentação é considerada válida. Para cada x, se P(x) é verdade, então Q(x) é verdade e, para x = c, se P(c) é verdade, então conclui-se que Q(c) é verdade. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

9. Considere o argumento seguinte.

Toda prestação de contas submetida ao TCU que expresse, de forma clara e objetiva, a exatidão dos demonstrativos contábeis, a legalidade, a legitimidade e a economicidade dos atos de gestão do responsável é julgada regular. A prestação de contas da Presidência da República expressou, de forma clara e objetiva, a exatidão dos demonstrativos contábeis, a legalidade, a legitimidade e a economicidade dos atos de gestão do responsável. Conclui-se que a prestação de contas da Presidência da República foi julgada regular.

Nesse caso, o argumento não é válido. 10. Considere o seguinte argumento.

Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato anti-econômico é considerada irregular. A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular. Conclui-se que a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato anti-econômico.

Nessa situação, esse argumento é válido.

Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

11. Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos.

12. Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de 11.000 códigos distintos. O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é superior a 15.000.

13. O número total de códigos diferentes formandos por três letras distintas é superior a 15.000.

(Papiloscopista 2004)

A respeito de contagem, que constitui um dos principais fundamentos da matemática, julgue os itens que se seguem.

1. Considere que, na disputa entre duas equipes, a primeira que vencer 4 jogos será considerada vencedora. Se uma das equipes A tiver vencido os 3 primeiros confrontos, então o gráfico a seguir é capaz de representar todas as possibilidades de A vencer a disputa.

2. O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da palavra Papiloscopista é inferior a 108

3. Considere a seguinte situação hipotética.

Uma grande empresa cataloga seus bens patrimoniais usando códigos formados por uma cadeia de 6 caracteres, sendo três letras iniciais, escolhidas em um alfabeto de 26 letras, seguidas de 3 dígitos, cada um escolhido no intervalo de 0 a 9, não se permitindo códigos com 3 letras iguais e(ou) 3 dígitos iguais.

Nessa situação, a empresa dispõe de até 107 códigos distintos para catalogar seus bens.

Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações.

A afirmou que C matou o líder. B afirmou que D não matou o líder.

C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação no crime. D disse que C não matou o líder.

Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes.

4. A declaração de C não pode ser verdadeira. 5. D matou o líder.