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COMPARATIVO ENTRE OS MÉTODOS DE NEWTON-RAPHSON E
DAS RAÍZES MÚLTIPLAS NO CÁLCULO DE RAÍZES DE FUNÇÕES
Quézia Emanuelly de Oliveira Souza1, Ivan Mezzomo (Orientador)
Resumo: É comum surgir em diversas ciências problemas que exijam a obtenção de raízes de funções ou suas
aproximações. Assim, esse trabalho visa estudar e comparar dois dos métodos numéricos conhecidos para obtenção dessas raízes de funções, sendo eles os métodos de Newton-Raphson e das Raízes Múltiplas. Para a aplicação e comparação dos métodos foram realizados testes a partir da implementação em linguagem de programação C. Foram analisadas funções polinomiais e transcendentais em raízes com e sem multiplicidade e os critérios levados em consideração na comparação foram a convergência para a raiz, o número de iterações e o erro relativo.
Palavras-chave: método de Newton-Raphson; método das Raízes Múltiplas; métodos numéricos; raízes de
funções.
1. INTRODUÇÃO
É comum que cientistas e engenheiros se deparem cotidianamente com situações em que precisam encontrar os pontos que uma determinada função assume valor nulo, ou seja, as raízes ou zeros da função. Mas encontrar os zeros de uma função pode ser um trabalho bastante complicado, logo é natural pensar que ao longo da história os estudiosos tenham se preocupado em desenvolver artifícios que possibilitem o cálculo dessas raízes [1].
Existem métodos analíticos para o cálculo de raízes de tipos específicos de funções, como as polinomiais de até quarto grau ou algumas funções transcendentais mais simples. Dentre esses métodos, podemos citar a fórmula de Bhaskara na resolução de polinômios de segundo grau. Apesar disso, em casos mais complexos, como polinomiais de grau maior que quatro ou a maioria das transcendentais, pode ser muito difícil ou até impossível encontrar o valor real da raiz, conforme sugere o Teorema de Abel. Nesses casos recorremos a métodos numéricos para o cálculo de raízes que são artifícios matemáticos utilizados para encontrar aproximações para os zeros de funções [2].
Os métodos numéricos podem ser diretos ou iterativos, mas neste trabalho nos ateremos aos iterativos que, após o advento dos computadores, vêm sendo cada vez mais utilizados. Diversos métodos numéricos foram definidos ao longo da história, e é notória a importância de estudar e entendê-los melhor. Dentre os métodos mais conhecidos para o cálculo de raízes de funções podemos citar os métodos da Bissecção, Falsa Posição, Ponto Fixo, Newton-Raphson, entre outros.
Cada método desenvolvido possui tanto vantagens quanto limitações. Muitas vezes, é na tentativa de contornar uma das limitações que um novo método é criado. O método do Ponto Fixo, apesar de bastante conhecido, possui limitações como a necessidade de definir uma função de iteração que se adeque aos critérios de convergência definidos no Teorema 3, na Seção 3 deste trabalho. Na tentativa de contornar esse problema foi desenvolvido o Método de Newton-Raphson que possui uma função de iteração fixa que já atende aos critérios de convergência [3].
Segundo [2], o método de Newton-Raphson possui convergência pelo menos quadrática na maioria dos casos, mas sua convergência é comprometida, tornando-se apenas linear nos casos em que a raiz possui multiplicidade. E foi pensando em contornar essa limitação que os matemáticos Ralston e Rabinowitz fizeram uma modificação na função iterativa do método de Newton-Raphson e desenvolveram o método das Raízes Múltiplas, que recupera a convergência pelo menos quadrática em raízes múltiplas. Apesar disso, o método das Raízes Múltiplas também possui suas limitações, como a necessidade do cálculo de duas derivadas, o que nem sempre é uma tarefa simples.
Neste trabalho focaremos nos métodos de Newton-Raphson e das Raízes Múltiplas com o objetivo de desenvolver e implementar seus algoritmos para então compará-los em relação a convergência para a raiz da função, ao número de iterações e ao erro relativo em casos de raízes simples e com multiplicidade, tanto em funções polinomiais quanto transcendentais.
Este trabalho será dividido em seis seções. Esta primeira seção apresenta uma breve introdução sobre o conteúdo geral da pesquisa. Na Seção dois faremos uma revisão bibliográfica dos assuntos indispensáveis para a compreensão das discussões subsequentes. A Seção três irá apresentar uma explanação a cerca dos métodos do Ponto Fixo, de Newton-Raphson e das Raízes Múltiplas. A quarta seção apresentará os problemas que serão
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analisados apresentando detalhadamente a metodologia que será utilizada nos testes. Na quinta seção serão apresentados os resultados dos experimentos computacionais em uma tabela e posterior discussão sobre os resultados. Na sexta e ultima seção apresentaremos as considerações finais do trabalho.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Nesta seção será abordada de forma sucinta os assuntos que são indispensáveis para o entendimento do trabalho.
2.1. Funções Reais de Variáveis Reais
Dentro do estudo da matemática um dos conceitos mais importantes é o de função que expressa a ideia de correlação ou dependência entre elementos de dois conjuntos que estão dentro do conjunto dos números reais.
Função é definida como a regra ou fórmula que relaciona um conjunto 𝐴 a um conjunto 𝐵. Dada uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , dado 𝑥 ∈ 𝐴 , o conjunto dos valores assumidos por 𝑥 é denominado domínio de 𝑓 e o valor 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 são os valores que 𝑓 assume no ponto 𝑥. O conjunto de todos os valores assumidos por 𝑓 é chamado de imagem da função [4].
As funções são divididas em várias classes, como polinomiais, racionais, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais, logarítmicas, entre outras. Para este trabalho, usaremos as funções polinomiais e as transcendentais, que são todas aquelas que não são algébricas, incluindo as funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, por exemplo.
Uma função é dita polinomial de grau 𝑛, tal que 𝑛 ∈ ℕ, sempre que 𝑓: ℝ → ℝ pode ser escrita como: 𝑓(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛+ 𝑎1𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 (1) onde 𝑎0, 𝑎1, ..., 𝑎𝑛 representam números reais denominados coeficientes e 𝑎0 ≠ 0 [4].
De acordo com [5], um fato interessante sobre as funções polinomiais é que podemos determinar o número de raízes contidas baseado no grau do polinômio conforme fundamentado no seguinte teorema:
Teorema 1 – Teorema Fundamental da Álgebra: Uma equação algébrica de grau 𝑛 tem exatamente 𝑛 raízes, reais ou complexas, se cada raiz for contada conforme a sua multiplicidade.
Já função transcendental é definida por [2] como sendo quaisquer funções que não podem ser escritas na forma algébrica, ou seja, uma função que não satisfaça a Equação (2):
𝑓𝑛𝑦𝑛+ 𝑓
𝑛−1𝑦𝑛−1+ ⋯ + 𝑓1𝑦 + 𝑓0= 0 (2) em que 𝑓𝑖 é um polinômio de grau 𝑛 em função da variável 𝑥.
2.2. Zeros de funções
Dentro do estudo da matemática um dos conceitos mais importantes é o de raiz ou zero de função. Segundo [3], a raiz de uma função consiste em um valor real ξ que, quando aplicado em 𝑓, resultará em 𝑓(𝑥) = 0 e graficamente representa os pontos de interseção com o eixo 𝑥.
Para encontrar essas raízes, em alguns casos, são utilizados métodos analíticos, mas a maioria dos tipos de funções dificulta ou até impossibilita o cálculo por esses métodos, tornando necessário recorrer a alguns artifícios matemáticos denominados métodos numéricos, que serão explicados adiante. O cálculo dessas raízes é dividido em duas fases:
Fase 1: Isolamento da raiz: consiste em encontrar o intervalo que contém a raiz;
Fase 2: Refinamento do intervalo: consiste na aplicação dos métodos numéricos para encontrar aproximações para a raiz desejada.
Segundo [5], para o isolamento da raiz pode ser usado método do tabelamento ou de análise gráfica da função. A análise gráfica, segundo [6], pode ocorrer de duas formas. A primeira consiste em esboçar o gráfico da função e analisar os pontos de interseção com o eixo 𝑥. E a segunda, se resume a reescrever a função 𝑓(𝑥), de forma que 𝑓(𝑥) = 𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥), assim as raízes de 𝑓(𝑥) estarão localizadas nos pontos de interseção entre os gráficos de 𝑓1(𝑥) e 𝑓2(𝑥). Embora o primeiro método pareça mais prático, em alguns casos, especialmente quando há combinação de mais de um tipo de função se torna mais simples separar em duas funções cujo
comportamento gráfico é conhecido. Já no método do tabelamento, utiliza-se o teorema de Bolzano como base [7]..
Teorema 2 - Teorema de Bolzano ou Anulamento: Seja 𝑓 uma função contínua em um intervalo [𝑎, 𝑏]. Se 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏) possuírem sinais contrário, então existirá pelo menos um 𝑐 em [𝑎, 𝑏], tal que 𝑓(𝑐) = 0. Se 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏) possuírem sinais contrários então 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0 .
Corolário1: Sob as imposições propostas pelo teorema de Bolzano, se 𝑓′ conservar o sinal em [𝑎, 𝑏], então esse intervalo contém um único zero de 𝑓.
Uma determinada raiz pode ser classificada como simples ou múltipla. Uma raiz simples é aquela que se repete apenas uma vez e uma raiz múltipla é aquela que se repete mais de uma vez e tangencia o eixo 𝑥, sendo assim, corresponde a pontos em que pelo menos a primeira derivada será nula na raiz, ou seja, 𝑓′(ξ) = 0 [2].
Quando a multiplicidade ou número de vezes em que a raiz se repete for par, a raiz coincide com o ponto de máximo ou mínimo da função. Logo, a funçãomantém seu sinal ao passar pelo ponto 𝑓(𝑥) = 0 impossibilitando visualizar a existência de um zero da função naquele intervalo através do tabelamento. Já quando for ímpar, a raiz é um ponto de inflexão, portanto 𝑓(𝑥) muda de sinal na raiz o que viabiliza a identificação do intervalo que contém a raiz através do tabelamento.
Na Fase 2, ocorre o refinamento através da aplicação dos métodos numéricos para o cálculo das raízes das funções dentro do intervalo definido na Fase 1. Consiste basicamente em melhorar as aproximações iniciais até atingir o resultado desejado. A maneira como esse refinamento é realizado é o que difere um método dos demais. Segundo [2], métodos numéricos são técnicas desenvolvidas para a resolução de problemas matemáticos diversos, a partir de operações aritméticas. Existem vários tipos de métodos numéricos, mas todos tem em comum o fato de envolver cálculos laboriosos. Sabendo disso, é compreensível que esses métodos tenham se intensificado nos últimos anos com o advento de computadores cada vez mais rápidos.
As aplicações desses métodos são vastas e, na área da engenharia, por exemplo, podemos destacar o cálculo de raízes de funções e a resolução de sistemas de equações, lineares ou não, entre outros, que em geral são inviáveis de se resolver analiticamente [2].
Segundo [2], os métodos numéricos são subdivididos em métodos diretos e métodos iterativos. Os métodos diretos são aqueles que, a partir de um número finito de operações alcançam o valor real para a solução, como exemplo podemos citar o método da eliminação de Gauss na resolução de sistemas de equações lineares.
Já os métodos iterativos consistem em um algoritmo repetido em ciclos e à conclusão de cada ciclo dá-se o nome de iteração. O objetivo dos métodos iterativos é que a cada iteração se obtenha uma melhor aproximação para o resultado. Sendo assim, é importante definir o momento adequado para finalizar o método de acordo com a aplicação, de modo que se tenha uma aproximação suficientemente boa, mas também se evite a realização de um número excessivo de iterações.
No que se trata de cálculos de zeros de funções, os métodos numéricos são iterativos e visam encontrar uma aproximação tão boa quanto necessário para a raiz partindo de uma aproximação inicial, dentro de um intervalo definido a partir do isolamento da raiz, e subsequente refinamento a partir de iterações. O refinamento não é encerrado até que uma precisão preestabelecida seja alcançada e é a maneira como esse refinamento é realizado que distingue um método de outro [3].
2.3. Erro
Ao estudar os métodos numéricos é imprescindível falar de erros. Existem os erros de arredondamento, de truncamento, absoluto e relativo. Os erros de arredondamento e truncamento são erros causados pela limitação da máquina utilizada, uma vez que elas executam os cálculos através do Sistema do Ponto Flutuante que limita o número de algarismos significativos empregados na representação de um determinado número [6].
Os erros absoluto e relativo dizem respeito a proximidade entre valor calculado e o valor real. Segundo [2], o uso de aproximações finitas para representar números reais é a causa dos erros em geral. É possível calcular os erros absoluto e relativo e nesse cálculo já estão inclusos os erros de truncamento e arredondamento, se existirem.
Segundo [2], o erro absoluto consiste no módulo da diferença entre o valor real ξ e a aproximação encontrada 𝑥̅, ou seja:
𝐸𝑎= |ξ −𝑥̅| (3) Nem sempre a Equação (3) é uma alternativa viável, pois para que seja possível calcular o erro absoluto a partir dela é necessário que existam métodos analíticos capazes de calcular o valor real de ξ. No entanto, sabemos que na maior parte dos casos práticos esse valor não é conhecido. Assim, de modo geral é preciso recorrer a uma estimativa desse erro absoluto através do cálculo de um limitante superior que é dado pela diferença entre a aproximação atual e a anterior, ou seja:
𝐸𝑎= |𝑥𝑘+1− 𝑥𝑘| (4) Segundo [8], ainda assim, o cálculo do erro absoluto possui uma deficiência pelo fato de não se considerar a dimensão do valor analisado. Sendo assim, foi desenvolvido o erro relativo que consiste no erro percentual e é dado por:
𝐸𝑟=⌊𝐸𝑎 ⌋
|𝑥̅| (5)
2.4. Critério de parada
De acordo [8], para verificar se a precisão está adequada são utilizados critérios de parada. Sejam 𝑥𝑘 e 𝑥𝑘+1 duas aproximações sucessivas da raiz da função e 𝜀 uma tolerância ou precisão preestabelecida, são normalmente utilizados os seguintes critérios de parada:
1.
|𝑓(𝑥
𝑘)|≤ 𝜀; 2.|𝑥
𝑘+1− 𝑥𝑘|
≤ 𝜀; 3. |𝑥𝑘+1| − 𝑥𝑘|𝑥𝑘+1| ≤ 𝜀;
4. Número limite de iterações.
3. MÉTODOS NUMÉRICOS
Nesta seção serão abordados os métodos de Newton-Raphson e das Raízes múltiplas, utilizados no desenvolvimento deste trabalho. Porém, como o método de Newton-Raphson é uma melhoria do método do Ponto Fixo, vamos fazer uma abordagem do método do método Ponto Fixo para uma melhor compreensão do método de Newton-Raphson.
3.1. Método do Ponto Fixo
Segundo [3], o método de Ponto Fixo é uma técnica que consiste em obter uma equação 𝑥 = 𝜑(𝑥) equivalente a 𝑓(𝑥) = 0, e partindo de uma aproximação inicial 𝑥0
, gerar sucessivas aproximações 𝑥𝑘
para a raiz ξ. A função de iteração deste método é dada por 𝑥𝑘+1= 𝜑(𝑥
𝑘). Para demonstrar isso partimos de uma função genérica:𝜑(𝑥) = 𝑥 + 𝐴(𝑥)𝑓(𝑥), tal que 𝐴(ξ) ≠ 0. (6) Assim, temos que 𝜑(ξ) =ξ+ 𝐴(ξ)𝑓(ξ) . Partindo da premissa que 𝑓(ξ) = 0, temos que
𝜑(ξ) =ξ (7) Substituindo (6) em (7), obtemos:
ξ= ξ+ 𝐴(ξ)𝑓(ξ) ⟹ 𝐴(ξ)𝑓(ξ) = 0 (8) Como 𝐴(ξ) ≠ 0, então temos que 𝑓(ξ) = 0. Segundo [3], existem condições a serem satisfeitas para que se garanta a convergência para a raiz no método do ponto fixo, já que uma função 𝜑(𝑥) só é considerada função de iteração se satisfaz a Equação (7).
Teorema 3 (convergência): Seja ξ uma raiz de 𝑓, 𝐼 o intervalo que contém a raiz, obtido através do isolamento da mesma, e 𝜑(𝑥) a função de iteração para 𝑓(𝑥) = 0. Se
𝜑(𝑥) e 𝜑′(𝑥) contínua em 𝐼;
|𝜑′(𝑥)| ≤ 1 em 𝐼;
𝑥0∈ 𝐼.
Dentre as vantagens do método do Ponto Fixo podemos citar que ele possui um desempenho regular e previsível, além de ter processo de convergência rápida na maioria dos casos, mas, é notável que o método possui certas limitações, pois é necessário definir funções 𝜑(𝑥) e testá-las nos critérios de convergência definidos no Teorema 3 até que sejam atendidos. Além disso, sua implementação não é tão simples, já que sua função de iteração muda para cada caso.
3.2. Método de Newton-Raphson
Dentre os métodos existentes para o cálculo de raízes de funções, um dos mais conhecidos é o de Newton-Raphson. O método de Newton-Raphson trata de um caso particular do método do Ponto Fixo onde, na tentativa de garantir a convergência, contornando a limitação do método do Ponto Fixo, a função de iteração 𝜑(𝑥) escolhida possui primeira derivada nula na raiz, ou seja, 𝜑′(ξ) = 0 [3]. Assim partindo de uma função 𝜑(𝑥) genérica, busca-se encontrar 𝐴(𝑥) que satisfaça 𝜑′(ξ) = 0.
𝜑(x) = 𝑥 + 𝐴(𝑥)𝑓(𝑥)⟹ 𝜑′(𝑥) = 1 + 𝐴′(𝑥)𝑓(𝑥) + 𝐴(𝑥)𝑓′(𝑥) (9) Aplicando 𝑥 =ξ na Equação (9), temos que
𝜑′(ξ) = 1 + 𝐴′(ξ)𝑓(ξ) + 𝐴(ξ)𝑓′(ξ) (10) Assim, como por definição 𝑓(ξ) = 0, 𝜑′(ξ) = 0, temos:
𝐴(ξ)𝑓′(ξ) + 1 = 0 ⟹ 𝐴(ξ) = −1
𝑓′(ξ) (11)
Substituindo (11) em (9), obtemos:
𝜑(𝑥) = 𝑥 − 𝑓𝑓(𝑥)′(x) (12) No método iterativo de Newton-Raphson, dada uma aproximação inicial da raiz, 𝑥0, as iterações seguintes 𝑥𝑘, são dadas por:
𝑥𝑘+1= 𝑥𝑘− 𝑓𝑓(𝑥′(𝑥𝑘𝑘)) (13)
Dentre as vantagens do método de Newton-Raphson podemos citar a capacidade de encontrar raízes com multiplicidade par, o que não é possível em métodos como Bissecção e Falsa Posição por se basearem no teorema de Bolzano. Além disso, conforme demonstrado na seção 2.3.1, de maneira geral o método apresentará convergência pelo menos quadrática [2].
Apesar disso, o método também possui desvantagens, como não haver um critério que garanta a convergência em qualquer tipo de função, uma vez que as características da função influenciam diretamente em seu desempenho, além de necessitar do cálculo de uma derivada, o que nem sempre é uma tarefa fácil [2]. 3.2.1 Convergência no Método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson pode ser deduzido através do Método do Ponto Fixo, através da interpretação geométrica ou pela série de Taylor. A dedução segundo a série de Taylor oferece a vantagem de informar a taxa de convergência do método. Lembrando que a expansão em série de Taylor pode ser dada por:
𝑓(𝑥𝑘+1) = 𝑓(𝑥𝑘) + 𝑓′(𝑥𝑘)(𝑥𝑘+1− 𝑥𝑘) +𝑓"(𝛼)2! (𝑥𝑘+1− 𝑥𝑘)2 (14) em que α é o maior valor em módulo entre 𝑥𝑘 e 𝑥𝑘+1 . Se truncarmos a série após o termo em que aparece a primeira derivada, obtemos uma aproximação:
𝑓(𝑥𝑘+1) ≈ 𝑓(𝑥𝑘) + 𝑓′(𝑥𝑘)(𝑥𝑘+1− 𝑥𝑘) (15) Para 𝑓(𝑥𝑘+1) = 0
0 = 𝑓(𝑥𝑘) + 𝑓′(𝑥
𝑘)(𝑥𝑘+1− 𝑥𝑘) (16) Isolando xk+1, obtemos a Equação (13). Mas se, ao invés de usar a Equação (15), usássemos a Equação (14),
0 = 𝑓(𝑥𝑘) + 𝑓′(𝑥
𝑘)(𝜉− 𝑥𝑘) +𝑓"(𝛼)2! (𝜉− 𝑥𝑘)2 (17) Subtraindo (16) de (17), temos:
0 = 𝑓′(𝑥
𝑘)(𝜉− 𝑥𝑘+1) +𝑓"(𝛼)2! (𝜉− 𝑥𝑘)2 (18) Sabe- se que o erro é igual a diferencia entre o valor real e o valor da iteração, ou seja:
𝐸𝑡,𝑘+1= 𝜉− 𝑥𝑘+1 (19) Substituindo (19) em (18), temos: 0 = 𝑓′(𝑥 𝑘)𝐸𝑡,𝑘+1+𝑓"(𝛼)2! (𝐸𝑡,𝑘) 2 (20) Logo: 𝐸𝑡,𝑘+1=−𝑓 "(𝜉) 2𝑓′(𝜉)(𝐸𝑡,𝑘) 2 (21) Como o erro é aproximadamente proporcional ao quadrado do erro anterior, podemos dizer que o método de Newton-Raphson tem convergência quadrática [2].
3.3. Método das Raízes Múltiplas
Segundo [2], apesar de em muitos casos o método de Newton-Raphson ser uma excelente opção no cálculo de raízes, alguns fatores podem prejudicar seu desempenho. Um caso particular é quando a raiz analisada possui multiplicidade e, consequentemente, a primeira derivada é nula na raiz, ou seja, 𝑓′(ξ) = 0, originando uma divisão por zero quando se aproxima muito da raiz.
Além disso, os matemáticos Ralston e Rabinowitz observaram que nos casos em que a raiz possui multiplicidade o método de Newton-Raphson tem sua convergência comprometida, tornando-se apenas linear, ao invés de ser pelo menos quadrática, o que significa que o erro calculado será proporcional ao anterior, ao invés de ser proporcional ao seu quadrado. Para contornar isso, os mesmos resolveram definir uma nova função 𝑢(𝑥), que possui as mesmas raízes de 𝑓(𝑥):
𝑢(𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥)′(𝑥) (22) E então aplica-la na Equação (13), obtendo:
𝑥𝑘+1= 𝑥𝑘− 𝑢(𝑥𝑘)
𝑢′(𝑥𝑘) (23) Substituindo (16) em (17), obtemos:
𝑥𝑘+1= 𝑥𝑘− 𝑓(𝑥𝑘)𝑓′(𝑥𝑘)
[𝑓′(𝑥𝑘)]2−𝑓(𝑥𝑘)𝑓"(𝑥𝑘) (24)
Esse método é denominado método das Raízes Múltiplas e não possui mais indeterminação quando a primeira derivada é nula, contornando o problema do método de Newton-Raphson. Além disso, com essa mudança a convergência pelo menos quadrática é recuperada nos casos de raízes múltiplas aumentando, teoricamente, a eficiência do método. Apesar disso, o Método das Raízes Múltiplas também possui suas limitações, como o fato de necessitar do cálculo de duas derivadas da função para sua aplicação.
4. METODOLOGIA
Para esse trabalho serão implementados os métodos de Newton-Raphson e das Raízes Múltiplas em linguagem de programação C, utilizando como critérios de parada |𝑓(𝑥𝑘)| ≤ 𝜀 e número limite de 1000 iterações, com precisão de 𝜀 = 10−7. Vamos utilizar 𝑥0 como aproximação inicial da raiz, escolhido a partir da análise gráfica.
seguida, se dará início ao processo de refinamento, através da implementação dos métodos na aproximação da raiz desejada.
Este trabalho visa fazer um comparativo entre os Métodos de Newton-Raphson e das Raízes Múltiplas, descritos no capítulo anterior, quanto ao número de iterações e o erro relativo mediante a aplicação dos mesmos em funções polinomiais e transcendentais.
Quanto ao erro relativo, nos casos em que se conhece o valor real da raiz serão utilizadas a Equação (3) e a Equação (5) e nos casos em que não é possível saber o valor real, recorremos ao cálculo da estimativa do erro através da utilização da Equação (4) e da Equação (5).
4.1. Problemas
As funções escolhidas para serem analisadas estão listadas a seguir com suas respectivas raízes e suas multiplicidades. São informadas também qual raiz será estudada em cada problema e a aproximação inicial 𝒙𝟎 escolhida a partir da análise gráfica.
Problema 1: 𝑓1(𝑥) = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥2+ 2𝑥 − 1, possui raízes 1 e (𝜋
2+ 2𝑘𝜋), onde 𝑘 é um número inteiro, todas com multiplicidade 2. Será analisada a aproximação da raiz no intervalo [-6,-4], com 𝑥0= −5;
Problema 2: 𝑓2(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥2) (𝑥3− 𝑥2− 𝑥 + 1), possui raízes -1 e 1, de multiplicidades 2 e 3, respectivamente. Serão analisadas as aproximações nas duas raízes e será dividido em Problema 2.1 e Problema 2.2. No problema 2.1 será analisada a aproximação da raiz -1, com 𝑥0= −2 e no problema 2.2 será analisada a aproximação da raiz 1, com 𝑥0= 3;
Problema 3: 𝑓3(𝑥) = 𝑥3− 𝑥2− 𝑥 + 1, possui raízes -1 e 1, de multiplicidades 1 e 2, respectivamente. Serão analisadas as aproximações nas duas raízes e será dividido em Problema 3.1 e Problema 3.2. No problema 3.1 será analisada a aproximação da raiz -1, com 𝑥0= −2 e no problema 3.2 será analisada a aproximação da raiz 1, com 𝑥0= 3;
Problema 4: 𝑓4(𝑥) = 𝑥9− 12𝑥8+ 57𝑥7− 126𝑥6+ 84𝑥5+ 168𝑥4− 336𝑥3+ 96𝑥2+ 192𝑥 − 128, possui raízes 2 e -1, de multiplicidades 7 e 2, respectivamente. Serão analisadas as aproximações nas duas raízes e será dividido em Problema 4.1 e Problema 4.2. No problema 4.1 será analisada a aproximação da raiz 2, com 𝑥0= 4 e no problema 4.2 será analisada a raiz -1, com 𝑥0= −2.
Problema 5: 𝑓5(𝑥) = 𝑥4+ 12 𝑥3+ 54𝑥2+ 108𝑥 + 81, possui raiz -3, com multiplicidade 4. O problema 5 irá analisar a aproximação nessa raiz, com 𝑥0= 0;
Problema 6: 𝑓6(𝑥) = 𝑥3− 4𝑥2− 5𝑥 + 5, possui raízes nos intervalos [-2,0], [0,2] e [4,6], todas com multiplicidade 1. Serão analisadas as aproximações nas raízes contidas nos intervalos [-2,0] e [0,2] e será dividido em Problema 6.1 e Problema 6.2. No Problema 6.1 será analisada a aproximação da raiz contida no intervalo [0,2] partindo de 𝑥0= 0 e no problema 6.2 será analisada a aproximação da raiz contida no intervalo [-2,0] partindo de 𝑥0= −2;
Para uma melhor compreensão dos problemas descritos acima, as Figuras 1 a 6 trazem a representação gráfica de cada um dos problemas analisados. Esses gráficos foram utilizados no processo de isolamento das raízes das funções e escolha do 𝒙𝟎.
Figura 3. Problema 3. (Autoria Própria) Figura 4. Problema 4 .(Autoria Própria)
Figura 5. Problema 5. (Autoria Própria) Figura 6. Problema 6 .(Autoria Própria)
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Os resultados obtidos a partir da aplicação dos métodos de Newton-Raphson e das Raízes Múltiplas em cada um dos problemas descritos na seção anterior estão descritos na Tabela 1. Onde 𝒙𝟎 é a aproximação inicial para a raiz, ξ é o valor real da raiz quando conhecido, 𝒙̅ é a raiz calculada e 𝑬𝒓 é o erro relativo.
Tabela 1. Resultados. (Autoria Própria)
Problema Método 𝒙𝟎 ξ 𝒙̅ nº de iterações 𝑬𝒓
Problema 1 Raízes Múltiplas -5 – -4,7124176247 9 1,05232 × 10
−5 Newton-Raphson -4,7124272901 13 8,12931 × 10−6 Problema 2.1 Raízes Múltiplas -2 -1 -1,0000000000 4 0 Newton-Raphson -1,0000458862 15 4,5884 × 10−6 Problema 2.2 Raízes Múltiplas 3 1 1,0000000018 6 1,8000 × 10 −9 Newton-Raphson 1,0014194974 18 1,41748 × 10−3 Problema 3.1 Raízes Múltiplas -2 -1 -1,0000000000 7 0 Newton-Raphson -1,0000000000 6 0 Problema 3.2 Raízes Múltiplas 3 1 0,9999999991 4 9, 0000 × 10 −10 Newton-Raphson 1,0000055907 16 5,59039 × 10−5 Problema 4.1 Raízes Múltiplas 4 2 1,9982095543 3 8,96025 × 10 −4 Newton-Raphson 2,0580768341 24 2,82190 × 10−2 Problema 4.2 Raízes Múltiplas -2 -1 -1,0000000000 8 0 Newton-Raphson -1,000002643 21 2,64299 × 10−6
Problema 5 Raízes Múltiplas 0 -3 -3,0000000000 1 0
Newton-Raphson -2,9873151522 19 4,24624 × 10−3 Problema 6.1 Raízes Múltiplas 0 – 0,6871505116 6 2,75049 × 10 −8 Newton-Raphson 0,6871505116 5 2,9106 × 10−10 Problema 6.2 Raízes Múltiplas -2 – -1,5090403328 5 3,3134 × 10 −10 Newton-Raphson -1,5090403328 5 1,3253 × 10−10
De acordo com a Tabela 1, em relação ao Problema 1, ambos os métodos convergiram para a raiz analisada. Em relação ao número de iterações, o método das Raízes Múltiplas foi 44,44% mais eficiente que o método de Newton-Raphson. Já quanto ao erro relativo o método de Newton-Raphson se mostrou mais eficiente.
No Problema 2.1 os dois métodos convergiram para a raiz estudada. O método das Raízes Múltiplas foi mais eficiente que o método de Newton-Raphson quanto ao número de iterações e ao erro relativo. A respeito do número de iterações o método das Raízes Múltiplas se mostrou 275% mais eficiente.
No Problema 2.2, os métodos convergiram para a raiz analisada. O método das Raízes Múltiplas teve desempenho mais satisfatório tanto em número de iterações quanto no erro relativo. Em relação ao número de iterações o método das Raízes Múltiplas se mostrou 200% mais eficiente que o método de Newton-Raphson.
No Problema 3.1 os dois métodos convergiram para a raiz desejada. O método de Newton-Raphson foi 16,67% mais eficiente que o método das Raízes Múltiplas em relação ao número de iterações. Quanto ao erro relativo tiveram mesmo desempenho.
No Problema 3.2 os métodos convergiram para a raiz analisada. O método das Raízes Múltiplas foi mais eficiente que o método de Newton-Raphson em relação ao número de iterações e ao erro relativo. Em relação ao número de iterações o desempenho do método das Raízes Múltiplas foi 300% mais satisfatório,
No Problema 4.1 os métodos convergiram para a raiz estudada. O método das raízes múltiplas foi mais eficiente que o método de Newton-Raphson tanto em relação ao número de iterações e ao erro relativo. Sobre o número de iterações, o método das Raízes múltiplas foi 700% mais eficiente.
No problema 4.2 ambos os métodos convergiram para a raiz analisada. O método das Raízes Múltiplas teve desempenho mais satisfatório tanto no número de iterações quanto no erro relativo. Em relação ao número de iterações, o método das Raízes múltiplas se mostrou 162,5% mais eficiente.
No Problema 5 vemos que ambos os métodos convergiram para a raiz analisada. O método das Raízes Múltiplas foi mais eficiente tanto em número de iterações quanto no erro relativo. Quanto ao número de iterações, o método das Raízes Múltiplas teve um desempenho 1800% melhor que o método de Newton-Raphson. Cabe ressaltar que o método das Raízes Múltiplas converge para a raiz na primeira iteração nas funções polinomiais que possuam apenas uma raiz, independente de sua multiplicidade, conforme será demonstrado a seguir.
Dada uma função 𝑓(𝑥) = (𝑥 − ξ)𝑚, onde ξ é a raiz da função e 𝑚 a sua multiplicidade, aplicando-a na Equação (24), obtemos: 𝑥𝑘+1= 𝑥𝑘− (𝑥𝑘−ξ)𝑚[(𝑥𝑘−ξ)𝑚]′ [(𝑥𝑘−ξ)𝑚]′2−(𝑥𝑘−ξ)𝑚[(𝑥𝑘−ξ)𝑚]" 𝑥𝑘+1= 𝑥𝑘− 𝑚(𝑥𝑘−ξ)𝑚(𝑥𝑘−ξ)𝑚−1 (𝑚(𝑥𝑘−ξ)𝑚−1 )2− (𝑚2−𝑚)(𝑥𝑘−ξ)𝑚(𝑥𝑘−ξ)𝑚−2 𝑥𝑘+1= 𝑥𝑘− 𝑚(𝑥𝑘−ξ) 2𝑚−1 𝑚2(𝑥𝑘−ξ)2𝑚−2− (𝑚2−𝑚)(𝑥𝑘−ξ)2𝑚−2 𝑥𝑘+1= 𝑥𝑘− 𝑚(𝑥𝑘−ξ)2𝑚−1 𝑚(𝑥𝑘−ξ)2𝑚−2 𝑥𝑘+1= 𝑥𝑘− (𝑥𝑘− ξ) 𝑥𝑘+1= ξ
No problema 6.1 os dois métodos convergiram para a raiz estudada. O método de Newton-Raphson foi mais eficiente tanto em número de iterações quanto ao erro relativo. O método de Newton-Raphson foi 20% mais eficiente que o das Raízes Múltiplas em relação ao número de iterações.
No problema 6.2 ambos os métodos convergiram para a raiz analisada. Os dois métodos tiveram o mesmo desempenho em relação ao número de iterações. Mas o método de Newton-Raphson se mostrou mais eficiente em relação ao erro relativo.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho fizemos um estudo comparativo entre os métodos de Newton-Raphson e das Raízes Múltiplas no cálculo de raízes com e sem multiplicidade em funções polinomiais e transcendentais. Para essa comparação analisamos a convergência para a raiz, o número de iterações e o erro relativo.
Quanto a convergência para a raiz da função analisada tanto o Método de Newton-Raphson quanto o método das Raízes Múltiplas foi eficaz em todos os dez problemas estudados.
Em relação ao número de iterações o método das Raízes Múltiplas foi mais eficiente em 70% dos problemas e em 10% dos problemas os métodos obtiveram o mesmo desempenho. Nos problemas em que a raiz analisada possuía multiplicidade, independente da função ser polinomial ou transcendental, o método das Raízes múltiplas se mostrou mais eficiente que o método de Newton-Raphson, chegando a ser 1800% mais eficiente no Problema 5. Foi observado que o fato da multiplicidade ser par ou ímpar não influenciou nesse resultado. Já nos problemas em que a raiz não possuía multiplicidade, o método de Newton-Raphson se mostrou até 20% mais eficiente que o método das Raízes Múltiplas. No Problema 6.2, apesar dos dois métodos terem convergido com o mesmo número de iterações, podemos considerar o método de Newton-Raphson mais eficiente, por possuir menor custo computacional uma vez que não precisa do cálculo da derivada segunda da função analisada.
Quanto ao erro relativo o método das Raízes Múltiplas se mostrou mais eficiente que o método de Newton em 60% dos problemas e em 10% dos problemas os dois métodos tiveram o mesmo desempenho. Nos casos de raízes com multiplicidade, seja função transcendental ou polinomial, o método das Raízes Múltiplas se mostrou mais eficiente, com exceção do Problema 1, que o erro relativo no método de Newton-Raphson ficou na ordem de 10−6 enquanto no método das Raízes Múltiplas ficou na ordem de 10−5. Em todos os problemas que a raiz analisada não possuía multiplicidade o método de Newton-Raphson se mostrou mais eficiente.
É importante ressaltar que devido à relevância do tema estudado, tivemos dois artigos aprovados no XXXVIII Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional – CNMAC, intitulados “Estudo comparativo entre os métodos de Newton e das Raízes múltiplas” e “Comparativo entre os métodos da bissecção, falsa posição e raízes múltiplas”.
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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