OTIMIZAÇÃO DE TRAJETÓRIAS
Sandro da Silva Fernandes
Instituto Tecnológico de Aeronáutica Departamento de Matemática
São José dos Campos - SP
1. Introdução
A maioria dos problemas de otimização de desempenho que surgem em Aeronáutica e Astro-náutica podem ser formulados como problemas de Bolza ou Mayer do Cálculo de Variações sujeitos a um conjunto de restrições de desigualdades que definem as limitações físicas das variáveis que descrevem o problema. Por exemplo, o movimento longitudinal de uma aeronave é determinado pela tração fornecida pelo sistema propulsivo e pela deflexão de superfícies de comando denominadas profundores. Por questões de engenharia, existem limitações tanto so-bre a tração quanto soso-bre a deflexão dos profundores, que definem um domínio de operação, o qual denominamos de “domínio de controle”. Notamos que também existem limitações sobre a altitude, velocidade, ...etc que definem um “envelope de vôo”.
Neste trabalho apresentamos de forma bastante sucinta uma abordagem variacional para tais problemas de otimização. A teoria apresentada será aplicada na análise preliminar de um im-portante problema de Astronáutica: o problema de transferências espaciais ótimas
2. Conceitos Básicos
Um sistema dinâmico é descrito por um conjunto de variáveis x1, x2,· · · , xn, que constituem
o “estado” do sistema. Tais variáveis são denominadas “variáveis de estado” e constituem o “vetor de estado”. Geometricamente, o estado de um sistema é visto como um ponto em um espaço Euclideano n - dimensional. A evolução temporal do estado de um sistema, é descrita por um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem,
onde as variáveis u1, u2,· · · , umconstituem as “variáveis de controle” que definem o “vetor de
controle”. Em outras palavras, o controle é um ponto de um espaço Euclideano m - dimensi-onal. De forma geral, o controle u pertence a um subconjunto U ⇢ Rm, o qual denominamos
simplesmente de “domínio de controle”. Assumiremos que U é pré - especificado, i.e. inde-pende do estado e do tempo t. As equações diferenciais que descrevem a dinâmica do sistema são denominadas “equações de estado”, e na forma vetorial são expressas por:
˙xi = fi(x, u, t) (2)
As funções fi(·), i = 1, · · · , n, são funções contínuas do estado e do controle, bem como as
suas derivadas parciais com respeito às variáveis de estado.
Uma função de controle u(t) é dita ser admissível se e somente se: i – é definida e contínua por partes; ii – u(t) 2 U para todo t 2 [t0, tf].
3. Enunciado do Problema de Controle Ótimo
Seja um sistema dinâmico com equações de estado definidas por (2). Uma vez conhecidas as variáveis de controle u1(t), u2(t),· · · , um(t)em um dado intervalo [t0, tf], e dadas as condições
iniciais
xi(t0) = xi0, i = 1,· · · , n (3)
a solução de (2) é unicamente determinada. Consideremos um funcional da forma J[x, u] =
Z tf
t0
L(x, u)dt (4)
onde L(x, u) é uma função contínua do estado e do controle, bem como as suas derivadas parciais com respeito às variáveis de estado. Este funcional é comumente denominado de “índice de performance”, e é denotado simplesmente por IP.
Suponhamos que existam variáveis de controle u1(t),· · · , um(t) para todo t 2 [t0, tf], que
transferem o sistema das condições iniciais (3) até as condições finais,
xi(tf) = xif, i = 1,· · · , n (5)
fornecendo, conseqüetemente, um valor para o índice de performance (4).
O problema de otimização consiste em achar o controle u⇤(t) que transfere o sistema (2) do
estado inicial (3) para o estado final (5) de tal forma que o índice de performance (4) alcance um valor máximo ou mínimo. Os instantes inicial t0 e final tf podem ser ou não fixados, e os
estado inicial x0e final xf podem estar sujeitos a condições especificadas,
(t0, x0)2 S0, (tf, xf)2 Sf, com S0, Sf ⇢ Rn+1
O problema de otimização acima é denominado de Problema de Lagrange. Se considerarmos uma forma mais geral para o índice de performance envolvendo uma função dos estados inicial
e final,
IP [x, u; t0, x(t0), tf, x(tf)] = g(t0, x(t0), tf, x(tf)) +
Z tf
t0
L(x, u)dt (6) teremos o chamado Problema de Bolza; caso o índice de performance envolva apenas uma função dos estados e instantes, iniciais e finais, o problema é denominado de Problema de Mayer.
4. Enunciado das Condições Necessárias para o Problema de
Bolza sem Restrições
A seguir, apresentamos as condições necessárias para o Problema de Bolza sem restrições, as quais podem ser obtidas dos resultados clássicos do Cálculo de Variações.
CONDIÇÕES NECESSÁRIAS: Se u⇤(t), t⇤
0 t t⇤f, é um controle ótimo para o Problema
de Bolza, então:
i - existe um vetor ⇤(t), denominado vetor adjunto, tal que o terno (x⇤, ⇤, u⇤) é um extremo;
i.e. satisfaz as Equações de Euler
x⇤ dt = H T ⇤ dt = H T x Hu = 0,
onde H é a função Hamiltoniana definida por
H(x⇤, ⇤, u⇤) = L(x⇤, u⇤) + ⇤Tf (x⇤, u⇤)
ii - existem Multiplicadores de Lagrange ⌫0 e ⌫f, ⌫0 2 Rp e ⌫f 2 Rq, tais que as condições de
transversalidade são satisfeitas,
H(t⇤f) + gtf + ⌫ T f tf = 0 H(t⇤0) + gt0+ ⌫ T 0't0 = 0 ⇤T(t⇤ f) + gxf + ⌫ T f xf = 0 ⇤T(t⇤ 0) + gx0 + ⌫ T 0'x0 = 0.
iii - para todo t 2 [t0, tf], a função Hamiltoniana H(x⇤(t), ⇤(t), u)atinge o seu máximo em
u⇤(t),
u⇤(t) = arg max
u2Rm H(x
⇤(t), ⇤(t), u),
ou, equivalentemente, a condição necessária de Weierstrass deve ser satisfeita: H(x⇤(t), ⇤(t), u⇤(t)) H(x⇤(t), ⇤(t), u),8t 2 [t0, tf],8u 2 Rm
iv - a Hamiltoniana máxima H(x⇤(t), ⇤(t), u⇤(t))é uma integral primeira.
Notamos que para extremos fracos a condição necessária de Weierstrass pode ser substituída pela condição necessária de Clebsch - Legendre,
µT@
2H
@u2µ 0,
onde µ representa o vetor de variações admissíveis sobre as variáveis de controle.
5. Problemas com Vínculos de Igualdade no Controle
Consideraremos que o domínio de controle U é definido através de um conjunto de restrições de igualdade da forma geral
(u) = 0, (·) : Rm ! Rr, r < m (7) As funções i(·), i = 1, · · · , m, são supostas contínuas com derivadas primeiras contínuas com
respeito às variáveis de controle. A matriz @ /@u é suposta possuir posto r.
Para o Problema de Bolza com restrições de igualdade sobre as variáveis de controle, as condi-ções necessárias podem ser enunciadas como se segue.
CONDIÇÕES NECESSÁRIAS: Se u⇤(t), t⇤
0 t t⇤f, é um controle ótimo para o Problema
de Bolza com restrições de igualdade sobre as variáveis de controle definido por (7), então: i - existe um vetor ⇤(t)contínuo, denominado vetor adjunto, e Multiplicadores de Lagrange
µ(t)tal que a quádrupla (x⇤, ⇤, u⇤, µ)é um extremo; i.e. satisfaz as Equações de Euler
dx⇤ dt = H T d ⇤ dt = H T x Hu = 0 Hµ = 0,
onde H(x⇤, ⇤, u⇤, µ)denota a função Hamiltoniana,
H(x⇤, ⇤, u⇤, µ) = L(x⇤, u⇤) + ⇤Tf (x⇤, u⇤) + µT (u⇤)
ii - existem Multiplicadores de Lagrange ⌫0 e ⌫f, ⌫0 2 Rp e ⌫f 2 Rq, tais que as condições de
transversalidade são satisfeitas,
H(t⇤f) + gtf + ⌫ T f tf = 0 H(t⇤0) + gt0+ ⌫ T 0't0 = 0 ⇤T(t⇤ f) + gxf + ⌫ T f xf = 0 ⇤T(t⇤ 0) + gx0 + ⌫ T 0'x0 = 0.
iii - para todo t 2 [t0, tf], a função Hamiltoniana H(x⇤(t), ⇤(t), u, µ(t))atinge o seu máximo
em u⇤(t),
u⇤(t) = arg max
u2U
H(x⇤(t), ⇤(t), u, µ(t)),
ou, equivalentemente, a condição necessária de Weierstrass deve ser satisfeita: H(x⇤(t), ⇤(t), u⇤(t), µ(t)) H(x⇤(t), ⇤(t), u, µ(t)),8t 2 [t⇤0, t⇤f],8u 2 U iv - a Hamiltoniana máxima H(x⇤(t), ⇤(t), u⇤(t), µ(t))é uma integral primeira.
Para extremos fracos a condição necessária de Weierstrass pode ser substituída pela condição necessária de Clebsch - Legendre,
⇣T@
2H
@u2⇣ 0,
onde ⇣ representa variações admissíveis sobre as variáveis de controle.
Notamos que a função Hamiltoniana do enunciado acima difere ligeiramente da definida na sec-ção anterior, face à presença dos Multiplicadores de Lagrange µ(t), os quais foram introduzidos de forma a incorporar as restrições de igualdade (7) ao problema variacional, reduzindo-o a um problema sem restrições. Esta transformação de um problema com restrições em um problema sem restrições foi amplamente utilizada por Troitskii (1961, 1962) na análise de problemas mais gerais de controle ótimo.
6. Problemas com Vínculos de Desigualdade no Controle
A seguir consideraremos que o domínio de controle U é definido através de restrições de desi-gualdade da forma geral
(u) 0, (·) : Rm ! Rr, (8)
com r < m. As funções i(·), i = 1, · · · , r, satisfazem as mesmas hipóteses da secção
an-terior.As desigualdades (8) determinam uma região fechada do Rm, U ⇢ Rm. No caso mais
simples, os vínculos de desigualdade são da forma umin
k uk umaxk , k = 1,· · · , m, (9)
definindo um hiperparalelepípedo em Rm, onde umin
k e umaxk são respectivamente, os limites
mínimo e máximo prescritos para a variável de controle uk(t). Definindo
k(uk) = (uk umink )(uk umaxk ), k = 1,· · · , m, (10)
expressamos as restrições (9) na forma geral definida por (8),
k(uk) 0, k = 1, · · · , m. (11)
A fim de estabelecer as condições necessárias para o Problema de Bolza com vínculos de de-sigualdade procedemos da seguinte forma. Sejam um+j(t), j = 1,· · · , r, variáveis de controle
auxiliares definidas através das seguintes equações:
Com a introdução destas variáveis de controle auxiliares, as restrições de desigualdade (8) são transformadas em restrições de igualdade semelhantes a (3). Este método de transformação foi originalmente idealizado por Valentine no Cálculo de Variações Clássico e, posteriormente, utilizado por diversos autores em problemas de controle ótimo (Hestenes,1966).
Portanto, os resultados da secção anterior podem ser aplicados. As condições necessárias são, então, referidas à função Hamiltoniana aumentada H(x⇤, ⇤, u⇤, u⇤, µ)definida por
H(x⇤, ⇤, u⇤, u⇤, µ) = L(x⇤, u⇤) + ⇤Tf (x⇤, u⇤) + µT (u⇤, u⇤), (13) sendo (·) : Rm⇥ Rr ! Rr, com
(u, u) + u2m+k = 0, k = 1,· · · , r, (14) e, u = [um+1· · · um+r]T
7. Aplicação
A teoria apresentada nas secções anteriores será aplicada na análise preliminar de um impor-tante problema de Astronáutica: o problema de transferências espaciais ótimas (Marec, 1979). O problema de otimização será formulado como um problema de Mayer com vetores posição e velocidade (elementos cartesianos) como variáveis de estado. Desta forma, as equações de estado são expressas por:
dr dt = v dv dt = g(r, t) + dJ dt = 1 2 2,para sistemas PL dC
dt = , para sistemas VEC,
(15)
onde r é o vetor posição, v é o vetor velocidade, J e C são as variáveis de consumo, definidas de acordo com o tipo de sistema propulsivo, sistema PL ou VEC, respectivamente, e é o vetor aceleração propulsiva (controle),
= D (16)
sendo a magnitude da aceleração e D é a direção (vetor unitário). Para o sistema VEC, a magnitude da aceleração é restrita:
0 max (17)
O problema de otimização consiste em transferir o veículo espacial M do estado inicial (r0, v0, 0)
no instante t0 = 0para o estado final (rf, vf, 0) em um instante final prescrito tf, tal que Jf ou
Cf seja um mínimo (Fig.1). Assumiremos que os estados terminais correspondem ao problema
de transferência simples (não há rendez-vous).
Introduzindo as variáveis adjuntas pr, pv e pJ ou pC, formamos com as Eqs (15) a função
Hamiltoniana H,
H = pr· v + pv· (g(r, t) + D) +
1 2pJ
Figura 1 – Definição de transferência espacial ótima (Marec, 1979).
onde o ponto ‘·’ denota o produto escalar. Segue das condições necessárias que a aceleração ótima é dada por:
⇤ = ⇤D⇤ (19)
com a direção ótima dada, para ambos os sistemas, por: D⇤ = pv
|pv|
(20) e com a magnitude ótima definida por:
⇤ = pv
pJ
,para sistemas PL, (21) e a aceleração é dita ser modulável (Marec, 1979); e pela seguinte lei de controle:
(
se ⇥ > 0⇢ ⇤ =
max: ARCO DE TRAÇÃO MÁXIMA,
se ⇥ < 0⇢ ⇤ = 0 : ARCO DE TRAÇÃO NULA (ARCO BALÍSTICO), (22)
excetuando-se o caso singular, para o sistema VEC. Neste caso, a aceleração ótima é do tipo BANG-BANG, i.e. alterna arcos balísticos com arcos de tração máxima. A função ⇥ = pv+pC
é denominada de função de comutação.
As variáveis J e C são variáveis cíclicas, de forma que as respectivas variáveis adjuntas são constantes e iguais a 1, conforme obtido da condição de transversalidade. Conseqüentemente, a Hamiltoniana máxima H⇤é expressa para cada sistema propulsivo por:
H⇤ = pr· v + pv· g(r, t) + 1 2p
2
v,para sistemas PL, (23)
onde V (pv+ pC) = 0se (pv + pC) < 0e V (pv+ pC) = (pv + pC)se (pv+ pC) > 0.
A aceleração da gravidade g deriva de uma função potencial U, cuja forma depende da hipó-tese adotada. Na maioria dos trabalhos considera-se a hipóhipó-tese clássica de campo gravitacional central Newtoniano, para a qual a aceleração é inversamente proporcional ao quadrado da dis-tância radial r. Para a hipótese mais geral de campo não-central, o geopotencial é desenvolvido segundo harmônicos esféricos envolvendo os polinômios de Legendre.
Das Eqs (23) e (24), considerando-se a hipótese de campo central Newtoniano, podemos ex-pressar a Hamiltoniana máxima como:
H⇤ = H0⇤+ H⇤ (25) onde
H0⇤ = pr· v pv· µ
r3r (26)
onde H⇤
0 denota a Hamiltoniana não-perturbada, que descreve o movimento em campo central
Newtoniano, H⇤é a parcela da Hamiltoniana relativa à aceleração propulsiva ótima, cuja forma
depende do sistema propulsivo considerado.
A resolução completa do problema de transferências espaciais ótimas envolve a determinação da solução do sistema canônico definido pela função Hamiltoniana H⇤que satisfaz as condições
de contorno que caracterizam as órbitas terminais, juntamente com as condições de transversa-lidade. Dependendo da natureza do problema é possível obter soluções analíticas ou numéricas. Para maiores detalhes recomendamos a leitura de Marec (1979).
8. Referências Bibliográficas
V.A. Troitskii (1961). The Mayer-Bolza Problem of the Calculus of Variations and the Theory of Optimum Systems. PMM,25, no 5, 994-1010.
V.A. Troitskii (1962). On Variational Problems of Optimization pf Control Processes. PMM, 26, no 1, 35-49.
M.G. Hestenes, (1966). Calculus of Variations and Optimal Control Theory. John Wiley & Sons, New York.
