ESTRATÉGIAS EXPERIMENTAIS UTILIZANDO MATERIAIS DE
BAIXO CUSTO PARA A SOLUÇÃO DO PROBLEMA DA COROA
DO REI HIERON II
Joaquim Augusto Nogueira Neto
Colégio Pedro II joaquim.nogueiracpii@gmail.com
Robson Costa de Castro
Colégio Pedro II/PROFEPT prof.robinho@gmail.com
Resumo
Atualmente, em muitas aulas de Física, apresentamos aos alunos as descobertas de muitos “gênios” históricos que contribuiram para as ciências naturais. Contudo, às vezes, pela falta de tempo decorrente do excesso de conteúdos a serem cumpridos, deixamos de discutir como essas descobertas foram relevantes para a sua respectiva época. Um dos intrigantes problemas configurados pela ciência foi a lenda sobre Arquimedes e a coroa do rei Hieron II de Siracusa. Assim, a proposta deste estudo foi apresentar a solução do problema da coroa de Hieron desenvolvendo estratégias experimentais utilizando materiais de baixo custo. Nesses experimentos foram usados dois métodos para a obtenção das massas de ouro e prata, representadas nessa pesquisa por arruelas zincadas e de borracha respectivamente. A partir dos resultados encontrados, foi possível observar que os valores das massas obtidos nos dois métodos estão em concordância. Assim, acreditamos que, ao contextualizar “problemas históricos” com conteúdos discutidos em sala de aula, será despertado o interesse dos alunos pelas ciências facilitando o processo de ensino-aprendizagem em Física.
Palavras-Chave: Problema da coroa do rei Hieron; Estratégia experimental; experimento de baixo custo.
STRATEGIC EXPERIMENTS USING LOW-COST MATERIAL TO SOLVE THE KING HIERON'S II CROWN SOLUTION
Abstract
In many Physics classes, we currently present to our students the greatest discoveries made by "geniuses minds" to the natural sciences alongside History. However, due to the significant number of schedules to be accomplished, the time to spend on
discussions about this topic is quite scarce. An intriguing problem brought by science was about the legend of Archimedes and the King Hieron’s II crown, from Syracusa. Therefore, this study aims to present the solution to the King Hieron’s crown by using low-cost material as a strategic experiment. Two methods were used to obtain information about the masses of gold and silver, here represented by galvanised and rubberized washers, respectively. By the results, the masses’ rate obtained in both methods matched each other. In this way, when the “historical problems” are contextualized with the content brought to the classes, we believe that the students’ interest to the sciences will increase, making the teaching-learning process in Physics easier.
Keywords: The King Hieron’s Crown Problem; Strategic Experiment; Low-Cost Experiment
Introdução
A ciência é cercada por diversas “lendas” que habitam o imaginário das pessoas e, em grande medida, são responsáveis pela criação do mito do gênio ou do acaso. Esse mito costuma atribuir a uma pessoa, em geral um gênio, todas as honras e pompas pela descoberta ou compreensão de algum efeito ou fenômeno que é objeto de estudo de inúmeros cientistas e pesquisadores de todo o mundo. O mito do acaso atribui à sorte de algum cientista, que geralmente também será considerado gênio, a autoria exclusiva de algum grande feito para o desenvolvimento da sociedade.
Qual estudante ou professor de física nunca ouviu a história que conta que Isaac Newton, despreocupadamente, estava sentado embaixo de uma macieira quando, de repente, por acaso, uma maçã caiu em sua cabeça e daí surgiu a grande descoberta das Leis da Gravitação? Se a descoberta realmente tivesse sido desta forma, seria um caso em que o acaso encontrou o gênio e... Pronto! Um enorme problema científico da época estava resolvido.
É claro que isso não passa de uma anedota, que embora possa ser justificada por fins pedagógicos, didáticos e ilustrativos, não contribui, positivamente, para entender o desenvolvimento da física e mesmo de qualquer área de conhecimento. O fato teria ocorrido no ano de 1666 e, na época, muitos cientistas já haviam se preocupado e ainda se ocupavam com o problema da gravidade e da queda dos corpos (MARTINS, 2006).
O artigo de Roberto Martins é muito interessante e deixa absolutamente claro qual a postura que um professor pesquisador deve assumir perante a citação desses “fatos históricos”, conforme podemos perceber quando afirma: “Se quisermos nos referir a algum episódio histórico, devemos procurar nos informar sobre se ele realmente ocorreu – e como ocorreu.” (2006. p. 75).
É muito comum que os cientistas sejam retratados como personalidades grandiosas, mentes privilegiadas e por isso, exerçam um papel de fascínio sobre o imaginário popular, sendo elevados ao lugar de heróis. Por vezes, são descritos como pessoas que não cometem erros e que possuem um caráter ilibado, pessoas com uma certa iluminação pessoal que lhes permite ter acesso, de forma exclusiva, a conclusões científicas que, em geral, representam os estudos e reflexões de um número gigantesco de pessoas que anteriormente se debruçaram sobre a questão. Dessa forma, essa narrativa torna os cientistas “super-humanos”. (PAGLIARINI; SILVA, 2006).
A ideia do gênio estende-se para além das fronteiras das ciências da natureza, habitando também o imaginário das pessoas no que se relaciona às obras artísticas da criação humana. Gabriel Peters, em seu artigo “O método na loucura (3): Três retratos da genialidade”, descreve o gênio em três possibilidades. O “gênio possuído”, no qual “[...]a noção de ‘genialidade’ está investida com uma aura de transcendência, magia e milagre” (2018, p.1); o “gênio força da natureza”, uma espécie de mistura “entre rompantes de inspiração[...] e o saber regrado pelo qual a criadora lapida os diamantes brutos de sua inspiração” (2018, p.4) e, por fim, o autor refere-se ao “gênio workaholic” (viciado em trabalho – tradução literal), o qual é descrito como alguém cuja “criatividade extraordinária” está condicionada a “um processo de tentativa e erro, no qual os criadores mais bem-sucedidos seriam também aqueles que, com mais frequência e ousadia, se expuseram a fracassos criativos (2018, p. 7).
Sobre este último, o filósofo alemão Friedrich Nietzsche faz a seguinte afirmação: “[…] Todos os grandes foram grandes trabalhadores, incansáveis não apenas no inventar, mas também no rejeitar, eleger, remodelar e ordenar” (2000: p. 119-120). Essa afirmação, em consonância com a famosa frase atribuída a Isaac Newton, “Se eu vi mais longe, foi por estar sobre ombros de gigantes”1, busca demonstrar o caráter coletivo das grandes descobertas e invenções humanas.
1 Trecho de uma carta de Newton para Robert Hooke, 5 de Fevereiro de 1676, baseado numa metáfora atribuída a Bernardo de
Observando as descobertas norteadas pela ciência, deparamo-nos, por exemplo, com a lenda sobre Arquimedes e a coroa do rei Hieron II de Siracusa. Costuma-se dizer que o famoso matemático estava tentando determinar se o ourives que a fabricou havia substituído uma parte do ouro por prata e que a solução surgiu durante um banho. A lenda afirma que Arquimedes teria notado que transbordava uma quantidade de água da banheira, correspondente ao seu próprio volume, quando entrava nela e que, utilizando um método semelhante, poderia comparar o volume da coroa com os volumes de iguais pesos de prata e ouro. Bastava colocá-los em um recipiente cheio de água, e medir a quantidade de líquido derramado (MARTINS, 2000).
A abordagem de “descobertas históricas”, em sala de aula, pode ocorrer de diversas formas, via textos históricos (MONTEIRO e MARTINS, 2015), recursos audiovisuais (GUAREZI, 2016), experimentos (JARDIM et. al. 2017), visita a museus (CALDAS et. al. 2016) etc. Contudo, dependendo do contexto escolar vivido pelo docente, trabalhar tais estratégias pode ser complicado para desenvolvê-las. Assim, observando a literatura sobre as ferramentas didáticas usadas em sala de aula, deparamo-nos com vários trabalhos que reforçam o uso de materiais de baixo custo no ensino e aprendizagem de física. A utilização desses materiais beneficia o trabalho do professor por serem facilmente obtidos, além de potencializar o interesse e a motivação dos discentes para o aprendizado de física. Dessa forma, a proposta desse estudo foi apresentar o problema da coroa do rei Hieron II, através de estratégias experimentais, de baixo custo, para serem aplicadas aos estudantes do Ensino Médio.
A lenda e suas dificuldades
Conta a lenda que o Rei Hieron II de Siracusa2, após conquistar o poder, havia entregado determinada quantidade de ouro para que um ourives da região confeccionasse uma coroa que seria colocada em um templo para homenagear os deuses imortais que o teriam ajudado. Ocorre que o rei fora informado que o ourives, espertamente, teria misturado certa quantidade de prata ao ouro durante o processo de fundição do metal para a confecção da coroa. Sem conseguir provar se tal acusação seria verdadeira, Hieron II teria convidado Arquimedes para solucionar o problema.
Segundo a lenda, Arquimedes teria percebido, durante um banho, que o volume de água transbordado enquanto introduzia seu corpo em uma banheira completamente cheia, era exatamente igual ao volume da parte imersa de seu corpo. Ao perceber que poderia usar essa observação para medir o volume da coroa e de iguais massas de ouro e de prata, Arquimedes teria saído imediatamente da banheira em direção a sua casa, completamente nu e gritando “Eureka!, Eureka!”, cuja tradução poderia ser “Descobri!, Descobri!”.
Um grande problema, porém, é o fato de não existirem documentos do próprio Arquimedes relatando tal episódio. O mais próximo de uma descrição desse fato foi realizado por Marcus Vitruvius, um arquiteto romano do século I a.C., em sua obra De architectura (MARTINS, 2000). Segue parte importante do texto:
“Quanto a Arquimedes, ele certamente fez descobertas admiráveis em muitos domínios, mas aquela que vou expor testemunha, entre muitas outras, um engenho extremo. Hieron de Siracusa, tendo chegado ao poder real, decidiu colocar em um templo, por causa de seus sucessos, uma coroa de ouro que havia prometido aos deuses imortais. Ofereceu assim um prêmio pela execução do trabalho e forneceu ao vencedor a quantidade de ouro necessária, devidamente pesada. Este, depois do tempo previsto, submeteu seu trabalho, finalmente manufaturado, à aprovação do rei e, com uma balança, fez uma prova do peso da coroa. Quando Hieron soube, através de uma denúncia, que certa quantidade de ouro havia sido retirada e substituída pelo equivalente em prata, incorporada ao objeto votivo, furioso por haver sido enganado, mas não encontrando nenhum modo de evidenciar a fraude, pediu a Arquimedes que refletisse sobre isso. E o acaso fez com que ele fosse se banhar com essa preocupação em mente e ao descer à banheira, notou que, à medida que lá entrava, escorria para fora uma quantidade de água igual ao volume de seu corpo. Isso lhe revelou o modo de resolver o problema: sem demora, ele saltou cheio de alegria para fora da banheira e completamente nu, tomou o caminho de sua casa, manifestando em voz alta para todos que havia encontrado o que procurava. Pois em sua corrida ele não cessava de gritar, em grego: Eureka, Eureka! [ Encontrei, encontrei! ]. Assim encaminhado para sua descoberta, diz-se que ele fabricou dois blocos de mesmo peso, igual ao da coroa, sendo um de ouro e o outro de prata. Feito isso, encheu de água até a borda um grande vaso, no qual mergulhou o bloco de prata. Escoou-se uma quantidade de água igual ao volume imerso no vaso. Assim, depois de retirado o corpo, ele colocou de volta a água que faltava, medindo-a com um
sextarius3, de tal modo que o nível voltou à borda, como inicialmente. Ele
encontrou assim o peso de prata correspondente a uma quantidade determinada de água. Feita essa experiência, ele mergulhou, então, da mesma forma o corpo de ouro no vaso cheio, e depois de retirá-lo fez então sua medida seguindo um método semelhante: partindo da quantidade de água necessária, que não era igual e sim menor, encontrou em que proporção o corpo de ouro era menos volumoso do que o de prata, quando tinham pesos iguais. Em seguida, depois de ter enchido o vaso e mergulhado desta vez a coroa na mesma água, descobriu que havia escoado mais água para a coroa
3 “O sextarius era uma medida romana de volume (0,547 litros, em valores atuais), que tinha esse nome por ser equivalente a 1/6
do que para o bloco de ouro de mesmo peso, e assim, partindo do fato de que fluía mais água no caso da coroa do que no do bloco, inferiu por seu raciocínio a mistura de prata ao ouro e tornou manifesto o furto do artesão”. (VITRUVIUS, De l architecture, livro IX, preâmbulo, §§ 9-12, pp. 5-7).
Esse método, descrito por Marcus Vitruvius, possui algumas dificuldades físicas para sua realização. Conforme afirma Roberto Martins em sua pesquisa:
“Suponhamos que a coroa do rei tivesse um diâmetro da ordem de 20 cm. Então, seria preciso utilizar um recipiente com raio superior a 10 cm, cheio de água, e medir a mudança de nível ou a quantidade de líquido derramado quando a coroa fosse colocada lá dentro. Suponhamos que a massa da coroa fosse da ordem de 1 kg e que a sua densidade (por causa da falsificação) fosse de 15 g/cm3 (um valor intermediário entre a densidade do ouro e a da
prata). Seu volume seria então de 67 cm3. Colocando essa coroa no recipiente
cheio de água, cuja abertura teria uma área superior a 300 cm2, o nível do
líquido subiria uns 2 milímetros. É pouco plausível que fosse possível medir essa variação de nível ou medir a quantidade de líquido derramado com uma precisão suficiente para chegar a qualquer conclusão, por causa da tensão superficial da água4. Se o recipiente estivesse totalmente cheio, ao mergulhar a coroa dentro dele, poderia cair uma quantidade de líquido muito maior ou muito menor do que o volume da coroa (ou mesmo não cair nada). Portanto, é fisicamente pouco plausível que Arquimedes pudesse utilizar esse tipo de método.” (MARTINS, 2000; p. 118-119)
Essa mesma preocupação com relação à forma de medir o volume da coroa, através do deslocamento da água contida em um recipiente, é manifestada por Eugenio Fernández na edição especial da revista National Geographic, quando afirma que a diferença de altura atingida pelo nível da água do recipiente, quando nele estiver imersa a coroa e, depois, quando estiver imerso igual massa de ouro, seria da ordem de aproximadamente 0,4 mm. Segundo ele,
“Seria viável que Arquimedes medisse esta diferença? Dificilmente, tendo em conta que se confunde com o próprio menisco do líquido, ou seja, a curvatura que se produz nas superfícies líquidas devido às interações com as paredes do recipiente” (FERNANDÉZ, 2017; p. 50)
Ainda sobre a descrição do caso por Vitruvius, Martins (2000), de forma irônica ou ingênua, questiona por que um escravo (é plausível supor que escravos preparavam os banhos) de Hieron II encheria, até a borda, a banheira na qual Arquimedes se banharia, se ele próprio teria que secar o chão após o banho? Embora tal questionamento seja interessante, não podemos esquecer que se o preparador de banhos era realmente um escravo, não teria muito controle sobre essa escolha.
4 Tensão superficial é o nome dado ao fenômeno que provoca a formação de uma fina película que ocorre na superfície de líquidos como a água e outros.
As dificuldade mencionadas apresentam-nos uma nova questão. Seria possível Arquimedes medir os percentuais de ouro e prata da coroa através do método da determinação do volume deslocado? Seria possível, para Arquimedes, com as ferramentas disponíveis de seu tempo, obter a resposta para o problema do rei Hieron II?
Como resolver o problema? Seria possível?
Nesta seção, imaginamos que, se o problema da coroa do rei Hieron realmente ocorreu, que ferramentas Arquimedes poderia utilizar para resolvê-lo. A questão fundamental a ser superada é o problema da tensão superficial e das dimensões do recipiente e da coroa.
Arquimedes poderia pensar em medir os pesos dos corpos no ar e imersos na água e, então, comparar os valores obtidos. Dessa forma, não estaria preocupado com a medida do volume dos corpos. Esta solução foi sugerida por Galileu, porém não existem documentos históricos do tempo de Arquimedes que possam atestar a utilização de tal procedimento. Apesar disso, Martins (2000) apresenta-nos a informação de que um historiador, de nome Berthelot, há mais de 100 anos, localizou documentos antigos que favorecem a interpretação de Galileu (BERTHELOT, 1891).
Nesta pesquisa, apresentaremos o estudo sugerido ou proposto por Galileu, chamando-o de “Método 1 - Determinação de “mz” e “mb” através da medida das
massas mergulhadas em água”. Dessa forma, para simular o ouro, utilizaremos arruelas zincadas de ¼ de polegada e para simular a prata, arruelas de ¼ de polegada de borracha. Ambos os tipos de arruelas possuem densidades maiores que a da água e suas densidades são diferentes entre si.
Inicialmente, misturaremos, aleatoriamente, uma determinada quantidade de arruelas zincadas, cuja massa chamaremos de “mz”, à outra quantidade de arruelas de
borracha, cuja massa será “mb”. Essa mistura será a representação da nossa coroa. Para
facilitar a pesagem da coroa, vamos transpassar uma linha nos furos das arruelas, fazendo com que fiquem parecidas com um colar como na Figura 1. Sem contar o número de arruelas de cada tipo, determinaremos os valores de “mz” e de “mb”.
Figura 1: Mistura de arruelas zincadas e de borracha e o "colar".
Fonte: Autores
Apesar da solução encontrada pelo método 1 (descrito anteriormente), buscamos outra solução para o problema que envolvesse a medida dos volumes dos corpos em questão. Chamaremos essa segunda solução de “Método 2 – Determinação de “mz” e
“mb” através da medida dos volumes”.
Fernadéz (2017) apresentou que, ao invés de introduzir os corpos num recipiente completamente cheio para medir o volume transbordado, vamos supor que Arquimedes os tenha introduzido num recipiente parcialmente preenchido e medido a variação na altura da água no interior do recipiente. A diferença de altura entre o nível do líquido deslocado pela massa da coroa e por igual massa de ouro ou de prata seria da ordem de menos de meio milímetro. Esse valor é muito pequeno e se confunde facilmente com o menisco criado na água pela referida tensão superficial. Isso não seria um problema, se a medida pudesse ser feita em um recipiente de pequeno diâmetro, como por exemplo, uma proveta. Em um recipiente desse tipo, o menisco provocado pela tensão superficial não passaria de uma fração de mililitro e a medida do líquido em excesso poderia ser feita com grande precisão. O problema é que não conseguiríamos introduzir uma coroa, com aproximadamente 20 cm de diâmetro, no interior de uma proveta com um raio 10 vezes menor por exemplo.
Para resolver essa questão, poderíamos pensar em um recipiente com um formato de balão volumétrico no qual o balão tivesse pouco mais de 20 cm de diâmetro e o pescoço com dois centímetros de diâmetro. Para tornar possível a introdução da coroa neste recipiente, seria necessário que ele fosse dividido em duas peças que pudessem ser encaixadas de maneira a proporcionarem uma boa vedação, conforme esquematizado na
Figura 2: Recipiente em formato de balão volumétrico dividido em duas partes.
Fonte: Autores
Mas Arquimedes poderia dispor de tal recipiente? A julgar pelas gravuras da época de Arquimedes, nas quais aparecem engenhosas obras de engenharia como o parafuso de Arquimedes, utilizado como dispositivo de elevação de água, na irrigação do delta do Nilo (MATOS, 2013) e as catapultas, que “embora já fossem conhecidas e usadas anteriormente, as de Siracusa tinham alcance regulável de modo a evitar ‘pontos cegos’ e dificultar o avanço do exército inimigo” (MAGNAGHI; ASSIS, 2019. p. 23), não resta dúvidas a respeito da facilidade com a qual Arquimedes poderia dispor do recipiente descrito.
Utilizando esse recipiente, ao colocarmos em seu interior a coroa de aproximadamente 1 kg e densidade aproximada de 15 g/cm3, a altura do nível do líquido no pescoço do recipiente, que possui a forma de uma proveta com 2 cm de diâmetro, seria aproximadamente 4,8 cm maior que a altura do mesmo nível quando em seu interior estivesse colocada igual massa de ouro, cuja densidade é aproximadamente 19,3 g/cm3, e aproximadamente 8,9 cm menor do que quando tivesse igual massa de prata cuja densidade é próxima de 10 g/cm3 no interior da garrafa. Observe a abaixo.
Figura 3 abaixo.
Figura 3: Representação das diferentes alturas dos objetos imersos num balão volumétrico.
Fonte: Autores
Dessa forma, Arquimedes conseguiria, facilmente, determinar os percentuais de ouro e prata existentes na coroa do rei Hieron. Embora esse método possa ser eficiente,
parece um tanto quanto engenhoso e difícil de ser testado por nós. Não temos o tal recipiente descrito em mãos. Existiria outra forma que poderia levar Arquimedes à solução do problema através da determinação dos volumes dos corpos?
Acreditamos que sim. Para medir o volume da coroa, Arquimedes poderia se utilizar de um recipiente com um orifício em sua lateral, a exemplo das clepsidras, que eram utilizadas para medir a passagem do tempo. Assim, mantendo o orifício fechado, encheria o recipiente com água e, ao liberá-lo após o escoamento, conforme
Figura 4(a), teria como medir, com precisão, o volume de água contido no interior do recipiente até o nível do furo, transferindo a água para provetas com diâmetro de aproximadamente 2 cm. Com esse método, que denominamos de “Método 2 – Determinação de “mz” e “mb” através da medida dos volumes”, reduziríamos muito a
diferença criada pela tensão superficial uma vez que o menisco de água tende a se repetir, com pequenas variações, medida após medida.
Em seguida, introduziria a coroa no recipiente e, mantendo o orifício fechado, o encheria com água. Após liberar o orifício, a água escoaria até entrar em equilíbrio na altura do furo, como se observa na
Figura 4(b). Ao transferir a água para as provetas, obteria determinado volume de água. Assim, fazendo a diferença entre o volume obtido na primeira situação e na segunda, poderia determinar o volume da coroa. Repetindo esses passos, determinaria o volume de massas de ouro e de prata, não necessariamente iguais à massa da coroa.
Figura 4: Recipiente utilizado para medida do volume da coroa no Método 2.
Fonte: Autores
Imaginando que a coroa tenha 1 kg de massa e densidade de aproximadamente 15 g/cm3, seu volume seria próximo de 67 cm3. Dispondo de um pedaço de ouro com 100 g, por exemplo, e densidade de 19,3 g/cm3, obteria um volume de 5,2 cm3. Bastaria agora, multiplicar esse volume por 10 para determinar o volume de 1 kg de ouro e igual
procedimento poderia ser feito com a prata.
Embora tenhamos descrito um método para a determinação do volume da coroa e de iguais massas de ouro e prata, vale chamar a atenção para o fato de não haver necessidade da determinação do volume do ouro e da prata por esse tipo de procedimento, como descrito por Vitruvius. Tais objetos poderiam ser construídos em formas geométricas definidas, como um paralelepípedo retângulo, de modo que a determinação da relação entre a massa e o volume fosse mais fácil de ser determinada. Procedimentos experimentais
Nesta pesquisa, não iremos testar exatamente o problema da coroa de Hieron, mas sim construir uma situação problema equivalente para testar os métodos. “Método 1 – Determinação de “mz” e “mb” através da medida das massas mergulhadas em água” e
“Método 2 – Determinação de “mz” e “mb” através da medida dos volumes” descritos
anteriormente e torná-los procedimentos experimentais para serem aplicados com alunos do ensino médio.
Utilizamos uma balança de braços, mostrada na Figura 5, para determinar a massa “Mc” da coroa em unidades de arruelas zincadas (az). Escolhemos esse tipo de balança,
confeccionada artesanalmente, para nos aproximarmos da realidade de Arquimedes, mas o experimento pode ser realizado com uma balança digital, ou com outro tipo qualquer, bastando algumas adaptações.
Figura 5: Balança de braços.
Fonte: Autores
Dividimos as arruelas zincadas em grupos de 10 e 50 unidades transpassadas por uma linha. Isso facilita a realização das medidas de massa. Agora temos que pendurar nossa coroa em um dos suportes da balança e equilibrá-la com os grupos separados de arruelas zincadas para serem usados como contrapeso, conforme
zincadas no suporte da balança até que o fiel indique a igualdade das massas em ambos os lados. A nossa balança possui um erro experimental de uma arruela zincada. Dessa forma, podemos escrever:
Figura 6: Medida da massa da coroa.
Fonte: Autores
𝑀𝑐 = 𝑚𝑧+ 𝑚𝑏 = 𝑀 (1)
Esse procedimento será comum aos dois métodos que utilizaremos para determinar as massas “mz” e “mb” que compõem.
Método 1
Inicialmente, mergulhamos o corpo “Mc” na água e, usando a balança de braços,
determinamos sua massa aparente, conforme a Figura 7.
Figura 7: Coroa imersa em água.
Fonte: Autores Como resultado para essa pesagem, obtemos:
𝑀𝑐𝑖𝑚𝑒𝑟𝑠𝑎 = 𝑀′𝑐 (2)
Mergulhamos “100 az” de arruelas zincada e “100 az” de arruelas de borracha separadamente na água e determinamos suas massas aparentes.
100 𝑎𝑧 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑢𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑧𝑖𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑖𝑚𝑒𝑟𝑠𝑎 = 87 𝑎𝑧 (3) 100 𝑎𝑧 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑢𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑟𝑎𝑐ℎ𝑎 𝑖𝑚𝑒𝑟𝑠𝑎 = 28 𝑎𝑧 (4) Se uma massa de “100 az” de arruelas zincadas possui massa aparente de “87 az”, uma massa “Mc” de arruelas zincadas possui massa aparente “M’z”, dada por:
𝑀′𝑧 = 87 100𝑀𝑐
(5)
Da mesma forma, se uma massa de “100 az” de arruelas de borracha possui massa aparente “28 az”, uma massa “Mc” de arruelas de borracha possui massa aparente “M’b”,
dada por: 𝑀′𝑏 = 28 100𝑀𝑐 = 7 25. 𝑀𝑐 (6)
Com esses valores, podemos resolver um sistema linear para determinar as proporções de “ouro” (mz) e de “prata” (mb) na “coroa”.
Dessa forma, vamos escrever as equações que darão origem ao sistema que levará à solução do nosso problema:
𝑀𝑐 = 𝑚𝑧+ 𝑚𝑏 = 𝑀 (7)
𝑀′𝑐= 𝑚𝑧 𝑖𝑚𝑒𝑟𝑠𝑎+ 𝑚𝑏 𝑖𝑚𝑒𝑟𝑠𝑎 (8)
Através de uma simples regra de três, utilizando as equações (5) e (6) podemos determinar os valores de "mz imersa” e “mb imersa” em função de “mz” e “mb” e, então,
substituí-los na equação (8). Assim teremos: 𝑀′𝑐= 𝑚𝑧. 𝑀′𝑧
𝑀 +
𝑚𝑏. 𝑀′𝑏
𝑀
(9)
Como soluções para o sistema constituído pelas equações (7) e (9), obtemos:
𝑚𝑧 = 𝑀. (𝑀′𝑐− 𝑀′𝑏) 𝑀′𝑧− 𝑀′𝑏 (10) 𝑚𝑏 = 𝑀. (𝑀′𝑧− 𝑀′𝑐) 𝑀′𝑧− 𝑀′𝑏 (11)
Método 2
Para determinar as massas utilizando o “Método 2 – Determinação de “mz” e “mb”
através da medida dos volumes”, utilizaremos, como recipiente, um pote de 2 L de sorvete (
Figura 8(a)), com dimensões aproximadas de 15 cm x 11 cm x 12 cm e com um orifício em sua parede lateral. Mantendo o orifício fechado, vamos introduzir água no recipiente até que seu nível supere a altura do furo. Em seguida, liberamos a saída de água e, após o escoamento cessar, medimos o volume da água contida no recipiente utilizando provetas de 100 ml, conforme
Figura 8(b). Assim, obtemos um volume “V”.
Figura 8: Pote de sorvete e provetas usadas para determinar o volume de água.
Fonte: Autores
Repetiremos os passos anteriores, porém agora com a massa da coroa “Mc” no
interior do recipiente mostrado na
Figura 4. Após o escoamento, medimos o volume de água restante no recipiente, transferindo a água para as provetas e determinamos o volume “V1”. Dessa forma, a
diferença (V-V1) nos dará o volume da coroa (Vc).
Para medir o volume das arruelas zincadas e das arruelas de borracha, podemos colocá-las diretamente no interior das provetas, enchendo de água até que o nível as deixe completamente imersas e, em seguida, transferindo a água para outras provetas e fazendo a diferença entre as medidas, obtemos seus volumes diretamente. Para facilitar a leitura das medidas desses volumes, adicionamos um pouco de corante na água.
Vamos colocar “100 az” de arruelas zincadas em uma proveta, conforme a Figura 9(a), encher de água até deixá-las completamente submersas e fazer a leitura do volume (V2 = 100 ml) e, então, transferir a água para outra proveta, conforme Figura 9(b), e
Figura 9: Medida do volume das arruelas zincadas.
Fonte: Autores
A diferença (V2 – V3 = 33 ml) representa o volume das “100 az” de arruelas
zincadas. Para determinar o volume “Vz” de uma massa de arruelas zincadas igual a da
coroa (Mc), basta resolver uma regra de três simples, de forma que:
𝑉𝑧 = 33 100. 𝑀𝑐
(12)
Repetindo os mesmos passos anteriores, porém agora colocando no interior da proveta “24 az” de arruelas de borracha, mostrado na
Figura 10(a) e adicionando água até que fiquem completamente submersas, faremos a leitura do volume (V4 = 100 ml). Ao transferir a água para outra proveta, a
leitura do volume será (V5 = 56 ml). A diferença (V4 – V5 = 44 ml) corresponderá ao
volume das “24 az” de arruelas de borracha.
Figura 10: Medida do volume das arruelas de borracha.
Fonte: Autores
Novamente, para determinar o volume “Vb” de uma massa de arruelas de borracha
igual a da coroa (Mc), basta resolver uma regra de três simples, de forma que:
𝑉𝑏 =44 24. 𝑀𝑐 =
11 6 . 𝑀𝑐
Vamos agora montar uma equação que se refira ao volume da coroa em função dos volumes “vz” e “vb” das massas “mz” e “mb” nela contida respectivamente.
𝑉𝑐= 𝑣𝑧+ 𝑣𝑏 (14)
Compreendendo que a relação Mz/Vz é uma constante, podemos igualá-la com a
relação mz/vz e, assim, obter os valores de vz e vb a serem substituídos na equação (11).
Logo: 𝑉𝑐= 𝑚𝑧. 𝑉𝑧 𝑀 + 𝑚𝑏. 𝑉𝑏 𝑀 (15)
Resolvendo o sistema constituído pelas equações (7) e (15), obtemos as soluções para os valores de “mz” e “mb”. 𝑚𝑧 = 𝑀. (𝑉𝑏− 𝑉𝑐) 𝑉𝑏− 𝑉𝑧 (16) 𝑚𝑏 =𝑀. (𝑉𝑐− 𝑉𝑧) 𝑉𝑏− 𝑉𝑧 (17)
Realizamos os procedimentos descritos na seção anterior cinco vezes para cada método. Assim, tivemos resultados mais confiáveis e pudemos aferir que os métodos são eficientes para serem aplicados como prática experimental. No caso do Método 2, a medição do volume de água no interior do balde, após a liberação do orifício, foi feita 50 vezes para verificarmos se existiria uma diferença significativa entre as medições devido à tensão superfical da água. Essa preocupação justifica-se devido ao fato de que, no interior de um recipiente com 20 cm de diâmetro, um menisco de cerca de meio milímetro, impercepitível a olho nu, pode esconder aproximadamente 16 cm3 de água, impedindo completamente que seja detectada a diferença entre o volume da nossa coroa de massa “Mc” e o volume das massas “Mz” e “Mb”. Por esse motivo, fizemos tantas
repetições desta medida, conforme mostrado na Tabela 1, onde “n” significa o número de medidas feitas.
Tabela 1: Medidas de volume de água no interior do balde após a liberação do orifício.
n Volume (cm3) n Volume (cm3) n Volume (cm3) n Volume (cm3) n Volume (cm3)
1 1694 11 1694 21 1696 31 1695 41 1696
2 1698 12 1694 22 1694 32 1695 42 1698
3 1695 13 1695 23 1698 33 1698 43 1694
4 1695 14 1697 24 1697 34 1696 44 1695
6 1698 16 1695 26 1697 36 1697 46 1698
7 1697 17 1695 27 1695 37 1695 47 1695
8 1695 18 1698 28 1696 38 1696 48 1697
9 1694 19 1697 29 1698 39 1698 49 1696
10 1696 20 1696 30 1699 40 1698 50 1694
Valor Médio (Média Aritmética) 1696,16
Fonte: Autores
Constatamos que, embora em todas as medições algumas gotas de água permanecessem no interior do recipiente, a diferença máxima de volume constatada foi de 5 ml e deve-se, fundamentalmente, ao pequeno menisco de água causado pela tensão superficial e ao erro experimental das provetas de 100 ml.
Em seguida, repetimos os procedimentos anteriores, porém agora introduzimos, no interior do balde, um colar constituído por arruelas zincadas e arruelas de borracha, conforme Figura 1, que correspondem à nossa coroa. Ao medirmos a massa dessa coroa com a balança de braços (veja
Figura 6), obtivemos Mc = 96 az. Novamente realizamos 50 medidas do volume,
como se observa na Tabela 2.
Tabela 2: Medidas de volume de água no interior do balde contendo a coroa.
n Volume (cm3) n Volume (cm3) n Volume (cm3) n Volume (cm3) n Volume (cm3)
1 1642 11 1639 21 1642 31 1635 41 1644 2 1643 12 1645 22 1644 32 1642 42 1643 3 1638 13 1640 23 1641 33 1641 43 1640 4 1636 14 1642 24 1643 34 1639 44 1641 5 1643 15 1642 25 1638 35 1639 45 1639 6 1644 16 1639 26 1642 36 1643 46 1642 7 1642 17 1641 27 1639 37 1640 47 1638 8 1644 18 1639 28 1644 38 1643 48 1645 9 1644 19 1644 29 1644 39 1639 49 1642 10 1638 20 1645 30 1638 40 1639 50 1639
Valor Médio (Média Aritmética) 1641,16
Fonte: Autores
Fazendo a diferença entre os valores médios do volume de água contida no balde sem a coroa, visto na Tabela 1 e com a coroa, conforme mostrado na Tabela 2, obtemos o volume da coroa (Vc = 55 cm3) e podemos então determinar os valores experimentais
das massas de arruelas zincadas (mz) e das arruelas de borracha (mb), utilizando as
equações (12),(13),(16) e (17). Dessa forma, obtivemos mz = 80,5 az e mb = 15,5 az. Ao
fazermos a contagem das arruelas, para obter os valores reais, encontramos mz real = 79
az e mb real = 17 az.
Como para cobrirmos a massa Mc no interior do balde, o volume de água
ultrapassava 1 L, decidimos substituir o balde pelo pote de 2 L de sorvete, no qual apenas 400 ml são suficientes. Essa substituição facilita a medida do volume de água nas provetas, permitindo que o tempo e o erro experimental para a realização desse
procedimento sejam menores. Resultados experimentais
Nesta seção, vamos apresentar os resultados experimentais obtidos através dos métodos 1 e 2, descritos anteriormente.
Em cada método foram realizados 5 experiências, a fim de verificar se os resultados experimentais são compatíveis com os valores reais e para medirmos o tempo médio de sua realização.
Também calculamos o erro relativo percentual () entre os valores das massas obtidos experimentalmente (mz e mb) e os valores reais (mz real e mb real), utilizando as
seguintes equações. 𝛿 𝑚𝑧 = |𝑚𝑧 𝑟𝑒𝑎𝑙− 𝑚𝑧| 𝑚𝑧 𝑟𝑒𝑎𝑙 . 100 (18) 𝛿𝑚𝑏 = |𝑚𝑏 𝑟𝑒𝑎𝑙− 𝑚𝑏| 𝑚𝑏 𝑟𝑒𝑎𝑙 . 100 (19)
Na Tabela 3, apresentamos os valores obtidos utilizando-se o “Método 1 – Determinação de “mz” e “mb” através da medida das massas mergulhadas em água”.
Tabela 3: Valores obtidos através da medida das massas imersas.
Método 1 Mc(az) M’c(az) M’z(az) M’b(az) mz(az) mb(az) mz real(az) mb real(az) mz (%) mb (%)
1ª Experiência 159 114 138,3 44,5 117,8 41,2 120 40,3 1,8 2,2 2ª Experiência 116 84 100,9 32,5 87,3 28,7 87 28,6 0,3 0,3 3ª Experiência 66 44 57,4 18,5 43,3 22,7 45 21,6 3,8 5,1 4ª Experiência 130 93 113,1 36,4 95,9 34,1 99 32,6 3,1 4,6 5ª Experiência 77 58 67,0 21,6 61,7 15,3 61 14,8 1,1 3,4 Fonte: Autores “Mc” – Medida da massa da coroa (Figura 1).
“M’c” – Medida da massa relativa da coroa imersa em água (
Figura 7).
“M’z” – Determinação da massa relativa de arruelas zincada equivalente à massa
da coroa imersa em água. Ver equação (5).
“M’b” – Determinação da massa relativa de arruelas de borracha equivalente à
massa da coroa imersa em água. Ver equação (6).
“mz” – Determinação da massa de arruelas zincadas existente na coroa obtido pela
equação (10).
pela equação (11).
“mz real” – Medida real da massa de arruelas zincadas existentes na coroa.
“mb real” – Medida real da massa de arruelas de borracha existentes na coroa.
(az) – Unidade de medida de massa simbolizando uma unidade de arruela zincada. mz (%) – Erro relativo percentual para a massa de arruelas zincadas.
mb (%) – Erro relativo percentual para a massa de arruelas de borracha.
Na Tabela 4, apresentamos os valores obtidos utilizando-se o “Método 2 – Determinação de “mz” e “mb” através da medida dos volumes”.
Tabela 4: Valores obtidos através da medida dos volumes5 das massas.
Método 2 Mc(az) Vc(ml) Vz(ml) Vb(ml) mz(az) mb(az) mz real(az) mb real(az) mz (%) mb (%)
1ª Experiência 159 108,0 52,5 291,5 121,7 37,3 120 40,3 1,4 7,4 2ª Experiência 116 76,0 38,3 212,6 90,9 25,1 87 28,6 4,5 12,2 3ª Experiência 66 59,0 21,8 121 41,3 24,8 45 21,6 8,2 14,8 4ª Experiência 130 91,5 42,9 238,3 97,7 32,3 99 32,6 1,3 0,9 5ª Experiência 77 47,5 25,4 141,2 62,3 14,7 61 14,8 2,1 0,7 Fonte: Autores “Mc” – Medida da massa da coroa (Figura 1).
“Vc” – Medida do volume da coroa (
Figura 4).
“Vz” – Determinação do volume de arruelas zincada equivalente à massa da coroa
(Figura 9). Ver equação (12).
“Vb” – Determinação do volume de arruelas de borracha equivalente à massa da
coroa (
Figura 10). Ver equação (13).
“mz” – Determinação da massa de arruelas zincadas existente na coroa obtido pela
equação (16).
“mb” – Determinação da massa de arruelas de borracha existente na coroa obtido
pela equação (17).
“mz real” – Medida real da massa de arruelas zincadas existentes na coroa.
“mb real” – Medida real da massa de arruelas de borracha existentes na coroa.
(az) – Unidade de medida de massa simbolizando uma unidade de arruela zincada.
mz (%) – Erro relativo percentual para a massa de arruelas zincadas.
mb (%) – Erro relativo percentual para a massa de arruelas de borracha. 5 Todos os volumes referem-se à média de 10 medições.
Conclusão
O Ensino de Física vem passando por profundas transformações, dentre as quais podemos citar os aspectos pedagógicos que permeiam a prática docente. Essa migração do ensino tradicional para um ensino mais contextualizado, no qual o aluno torna-se mais ativo, ganha relevância a partir do uso de experimentos de baixo custo. Usando esses materiais, como uma estratégia experimental, acreditamos que o processo de ensino-aprendizagem em Física seja mais atraente e motivador, como observado em Silva e Leal (2016); Nascimento (2016) e Isquierdo e Berghauser (2017), pois os experimentos sugeridos nesse estudo podem ser facilmente replicados pelos docentes em qualquer escola.
Ainda nessa abordagem de uma Física mais experimental, vários autores reforçaram sua respectiva significância na atividade docente. Porém, quando nos deparamos com o uso dessa prática em sala de aula, encontramos um baixo número de estudos que utilizam essa abordagem para resolver essas tais “lendas” históricas. A presente pesquisa apontou que essas lendas podem ser discutidas, em aula, agregando conhecimento histórico e apresentando novas técnicas experimentais para a solução de problemas antigos e contemporâneos.
Na busca por essa contextualização histórico-experimental, a pesquisa apresentou a lenda sobre Arquimedes e a coroa do rei Hieron II de Siracusa e foram apresentados dois métodos para a obtenção das massas de ouro e prata, representadas por arruelas zincadas e de borracha, respectivamente. Na análise do método 2, deparamo-nos com o menisco criado na água pela tensão superficial, mas o estudo observou que sua influência pode ser desprezada, pois ela ocorre de forma aproximada em todas as medidas realizadas (com e sem coroa).
Assim, foi possível observar que os valores das massas obtidos nos dois métodos estão em boa concordância. Dessa forma, contextualizar “problemas históricos” com conteúdos discutidos em sala de aula, utilizando materiais de baixo custo, poderá potencializar o interesse dos alunos pelas Ciências Naturais motivando a aprendizagem em Física.
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