Para a definição de derivada de uma função num ponto que aqui apresentaremos, a seguinte definição será indispensável: ), tal que ( ) 0

ABORDAGEM DO CONCEITO DE DERIVADA SEM LIMITES Maria Clara Martins, ESEC; Jaime Carvalho e Silva, UC Introdução

O conceito de derivada é abordado pela primeira vez na disciplina de Matemática no 11º ano do ensino secundário. De acordo com as orientações curriculares actualmente em vigor esta abordagem é feita numa primeira fase de modo intuitivo e posteriormente trabalhando exemplos com maior complexidade mas recorrendo sempre à teoria de limites. Mas será que o conceito de derivada terá que ser necessariamente abordado recorrendo ao conceito de limite? Não. De facto, iremos, no que segue apresentar uma abordagem do conceito de derivada baseada no livro “Calculus Unlimited” de J. Marsden e A. Weinstein. Trata-se de uma abordagem alternativa visto não envolver a teoria de limites e exigir apenas como pré-requisitos que o aluno esteja familiarizado com funções e gráficos.

Para a definição de derivada de uma função num ponto que aqui apresentaremos, a seguinte definição será indispensável:

Definição 1: [Mudança de Sinal]

Seja f uma função real de variável real e x₀ um número real. A função f muda de sinal negativo para positivo em x₀ se existir um intervalo

] [

a b, contendo x₀ em que f esteja definida (excepto eventualmente em x₀), tal que f x

( )

<0 se a< <x x₀ e f x

( )

>0 se

0

x < <x b. A função f muda de sinal positivo para negativo em x₀ se existir um intervalo

] [

a b, contendo x₀ em que f esteja definida (excepto eventualmente em x₀), tal que

( )

0

f x > se a< <x x₀ e f x

( )

<0 se x₀ < <x b.

Geometricamente, dizemos que uma função f muda de sinal se o seu gráfico atravessa o eixo dos xx de um lado para o outro.

É importante notar que o intervalo

] [

a b, na definição 1 deverá ser escolhido convenientemente. De facto, devemos ter em conta que certas funções podem, num determinado ponto x₀, mudar de sinal positivo para negativo e logo a seguir num ponto x₁, mudar de sinal negativo para positivo.

I.1. Definição de Derivada de uma função num ponto

Apresentaremos de seguida uma motivação para introduzir o conceito de derivada recorrendo à velocidade instantânea de um objecto. Assim, clarifiquemos primeiro o que se entende por movimento uniforme e velocidade de um objecto.

Suponhamos que um objecto de pequenas dimensões, que identificaremos a um ponto, se move segundo uma recta e a sua posição muda linearmente com o tempo. Para simplificar a linguagem diremos que a distância percorrida pelo objecto a partir de um ponto de referência é representada por uma variável y (lei do movimento do objecto) e que y é uma função do tempo. Dizemos que o objecto tem movimento uniforme e que a taxa de variação de y em relação ao tempo é a velocidade do objecto. Assim, podemos concluir que a velocidade de um objecto que tem movimento rectilíneo uniforme é constante pelo que, geometricamente, tal significa que a velocidade coincide com a recta que representa a função y .

Apesar de termos definido movimento rectilíneo uniforme podemos verificar que na natureza é difícil encontrar objectos que o possuam; no entanto, uma vez que é possível determinar a velocidade de um objecto com movimento rectilíneo uniforme, será que é possível fazer o mesmo relativamente a um objecto com um movimento rectilíneo diferente do uniforme? A resposta a esta questão é afirmativa e no caso de um movimento rectilíneo não uniforme, a taxa de variação da distância de um ponto em relação ao tempo em cada instante, dependerá do instante considerado, designando-se por velocidade instantânea.

Para um melhor entendimento do conceito de velocidade instantânea estudaremos o seguinte problema:

Exemplo 1:

Numa auto-estrada com três vias, v1, v2 e v3, num dos sentidos circulam três

automóveis, A1, A2 e A3, cada um em sua via. Os automóveis A1e A3 têm um movimento

uniforme cuja velocidade é 90 km e 120 km por hora, respectivamente. Sabendo que o automóvel A₂ ultrapassa A₁ e é ultrapassado pelo automóvel A₃ exactamente às 12 horas, estime a velocidade de A₂ exactamente às 12 horas.

Resolução:

Uma vez que A₂ é ultrapassado por A₃ exactamente às 12 horas, podemos concluir que a velocidade de A₂ nesse instante é inferior à velocidade de A₃. Analogamente, podemos concluir que a velocidade de A₂ é superior à velocidade de A₁, pois este é ultrapassado por A₂

exactamente às 12 horas. Assim, exactamente às 12 horas, a velocidade do automóvel A₂ está compreendida entre 90 km e 120 km , por hora.

Designando por y₁ e y₂ a distância percorrida pelos automóveis A₁ e A₂, respectivamente, em relação a uma origem comum, podemos concluir que às 12 horas estas duas funções são iguais, ou seja, considerando o tempo medido em horas, y₁

( )

12 = y₂

( )

12 .

Graficamente podemos representar o comportamento das funções y1 e y2 como é

exemplificado na figura 1.

Se designarmos por y a distância relativa entre A2 e A1,

então y = y₂ −y₁.

Nestas condições, a função y será negativa até às 12 horas e será positiva a partir desse momento. Por outro lado, sabemos que a velocidade do automóvel A₁ é inferior à velocidade do automóvel A2 e que este último ultrapassa A1 às

12 horas, logo neste instante A2 terá que ter velocidade superior à

de A₁.

Tendo em conta o exemplo anterior, recorrendo à interpretação geométrica do conceito de velocidade num movimento rectilíneo uniforme, ou seja, uma vez que a representação gráfica de um movimento uniforme com velocidade v é uma recta com declive v então é possível estimar a velocidade, num determinado momento, de um objecto com um movimento não uniforme cuja lei é descrita por uma função f estudando como é que rectas com vários declives intersectam o gráfico de f , ou seja, estudando o sinal das funções diferença que se obtêm.

Vejamos uma aplicação do que foi dito no seguinte exemplo:

Exemplo 2:

A posição de um objecto é definida em função do tempo t por p t( )=2t3. Provar que a sua velocidade em t=1 está compreendida entre 2 e 10.

Resolução:

A posição do objecto dado em t =1 é p(1)=2. Provemos que a sua velocidade é inferior a 10. Para tal consideremos um outro objecto com movimento uniforme cuja

Figura 1: Uma possível representação gráfica das

velocidade é 10 e cuja posição em t=1 é 2. Tem-se então que p t₂

( )

=10t−8 é a lei que traduz o movimento deste objecto. Consideremos agora a função diferença

2 2

d = −p p e estudemo-la em t=1. Temos d t₂

( )

= p t

( )

−p t₂

( )

=2t3−10t+8

Logo, d muda de sinal positivo para negativo em ₂ t=1 e isso significa que no momento t =1, o objecto cuja posição é determinada por p é ultrapassado pelo objecto cuja posição é descrita por p , logo, em ₂ t=1 a velocidade do primeiro é inferior à velocidade do segundo que é 10. De modo análogo, prova-se que a velocidade do objecto em t=1 é superior a 2.

Tendo em conta o exemplo apresentado, podemos dizer que é possível estimar a velocidade num determinado instante comparando a função dada, f , com rectas de equação

(

)

0 0

y−y =m x−x em que

(

x y₀, ₀

)

é um ponto (que coincide com o ponto do gráfico de f que tem como abcissa o momento em que se pretende estudar a velocidade do objecto) da recta e m

é o declive.

Formalizemos então a definição de derivada de uma função num ponto.

Definição 2: [Derivada de uma função num ponto]

Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x . Dizemos que ₀ m é ₀ uma derivada de f em x se forem verificadas as seguintes condições: ₀

1. Para todo o número real m tal que m<m0, a função

( )

( )

0

(

0

)

f x −_f x +m x−x _ muda de sinal de negativo para positivo em x . 0

2. Para todo o número real m tal que m>m₀, a função

( )

( )

0

(

0

)

f x −_f x +m x−x _ muda de sinal de positivo para negativo em x . 0

Se existir m nas condições anteriores, dizemos que f é uma função diferenciável em 0

0

x e escrevemos

( )

0 0

m = f′ x .

Prova-se que se existir f′

( )

x₀ então esse valor é único. Consideremos agora o seguinte exemplo:

Exemplo 3:

A posição no momento x de um objecto é x3. Qual a sua velocidade em x= ? 0

Resolução:

Consideremos a seguinte função diferença

( )

( )

( )

(

)

₍

2

₎

0 0

g x = f x −_f x +m x−x _=x x −m

Se m> , 0 g x

( )

muda de sinal positivo para negativo em x= (Figura 2). 0

Se m< , 0 g x

( )

muda de sinal negativo para positivo em x= (pois 0 2

0

x − > ) m

(Figura 3).

Logo f ′

( )

0 =0 e portanto a velocidade do objecto em x= é zero. 0

Figura 2: Representação gráfica de algumas funções diferença para valores positivos de m.

Figura 3: Representação gráfica de algumas funções diferença para valores negativos de m.

A definição de derivada de uma função f num ponto de abcissa x pode ser interpretada ₀ geometricamente da seguinte forma:

Todas as rectas que passam pelo ponto

(

x₀,f x

( )

₀

)

com declive superior a m₀ = f′

( )

x₀

atravessam o gráfico de f de baixo para cima (da esquerda para a direita no ponto

( )

(

x0,f x0

)

), enquanto que as rectas que passam pelo ponto

(

x0,f x

( )

0

)

com declive inferior a

( )

0 0

m = f′ x atravessam o gráfico de f de cima para baixo (da esquerda para a direita no mesmo ponto). Assim, a recta que tem declive m₀ = f′

( )

x₀ e que passa por

(

x₀,f x

( )

₀

)

será a recta tangente ao gráfico de f em

(

x₀,f x

( )

₀

)

.

É importante referir que nem toda a recta que passa por

(

x0,f x

( )

0

)

e não atravessa o

Exemplo 4:

Mostrar que f não é diferenciável em x= sendo f uma função definida por 0 : f x x → ℝ ℝ ֏ . Resolução:

Se 0≤m≤ a função 1 f x

( )

−mx é sempre positiva ou nula (Figura 4).

Para existir derivada de f no ponto zero teria de existir um número real m tal que para ₀ valores inferiores a esse m a diferença entre f e a recta de declive 0 m que passa pelo ponto

( )

0, 0 , mudasse de sinal de negativo para positivo, e para valores superiores a esse m a ₀ diferença teria de passar de sinal de positivo para negativo. Como existem valores de m onde a função não muda de sinal então conclui-se que f não é diferenciável em x= . 0

Figura 10: Representação gráfica de f e algumas funções definidas por y=mx com 0≤m≤ . 1

I.2. Transições e Derivadas

Neste ponto iremos apresentar uma definição do conceito de derivada um pouco diferente da apresentada em I.1. Assim, iremos reformular esta definição à custa do conceito de ponto de transição. Além disso, o conceito de mudança de sinal também poderá ser reformulado em termos de ponto de transição.

I.2.1. Ponto de Transição, Mudança de Sinal e Ultrapassagem

Algumas mudanças são repentinas, ou definitivas e são marcadas por um ponto de transição. Por exemplo, o pôr-do-sol assinala a transição do dia para a noite, o solstício de Verão marca a transição da Primavera para o Verão. A temperatura de zero graus num termómetro é o ponto de transição de temperaturas positivas para temperaturas negativas. Consideremos ainda o seguinte exemplo:

Exemplo 5:

Uma tartaruga e uma lebre estão a fazer uma corrida em que ora corre uma mais depressa ora corre a outra, ou correm lado a lado, podendo parar mas nunca recuar. Seja _T o período de tempo em que a tartaruga lidera a corrida e _L o período de tempo em que a lebre lidera a prova. O momento em que a lebre ultrapassa a tartaruga é o ponto de transição de _T para _L.

Posto isto, vamos definir matematicamente o conceito de transição.

Definição 3: [Ponto de transição ]

Sejam _A e _B dois conjuntos de números reais. Um número x é um ponto de transição de ₀ A para B se existir um intervalo aberto I contendo x0 tal que:

1. Se x∈I e x<x₀, então x∈A e x∉B. 2. Se x∈I e x>x₀, então x∈B e x∉ A.

Note-se que na corrida entre a tartaruga e a lebre, estas corressem lado a lado num dado intervalo de tempo, então neste caso não haveria nenhum ponto de transição. Ou seja, se para

1

<

t t a tartaruga está à frente da lebre, para t>t₂ a lebre está à frente da tartaruga e se entre t₁ e

2

t os dois animais estão lado a lado, então não há nenhum ponto de transição mas sim um período de transição.

No que se segue, iremos apresentar uma outra caracterização de mudança de sinal de uma função em termos da noção de ponto de transição.

Teorema 1:

Consideremos uma função f , N o conjunto dos elementos do domínio tais que f x

( )

<0 e M o conjunto dos elementos do domínio tais que f x

( )

>0.

A) x0 é um ponto de transição de N para M se e só se f mudar de sinal de negativo

para positivo em x₀.

B) x₀ é um ponto de transição de M para N se e só se f mudar de sinal de positivo para negativo em x0.

Retomando o exemplo da corrida da lebre e da tartaruga, denotemos por T t

( )

a posição da tartaruga no instante t e por L t

( )

a posição da lebre no mesmo instante. Se dissermos que a tartaruga ultrapassa a lebre no instante t₀ então podemos escrever que existe um intervalo aberto

I contendo t₀ tal que:

1. Se t∈ e I t< , então t0 T t

( )

<L t

( )

.

Supondo que as funções T e L são as que estão representadas graficamente na figura 12, podemos verificar que num intervalo contendo t , o gráfico de T está abaixo do gráfico de L ₀ para t inferior a t , e está acima do gráfico de L para t superior a ₀ t . ₀

Importa realçar a importância de escolher um intervalo conveniente onde se verifiquem as condições 1. e 2. pois a lebre poderia alcançar a tartaruga logo a seguir ao momento t , por ₀ exemplo num momento t , e esse momento não pode pertencer ao intervalo escolhido. ₁

Figura 5: Representação gráfica das funções T e L .

Podemos agora definir o que se entende em matemática por ultrapassar.

Definição 4:

Sejam f e g duas funções e A um subconjunto da intersecção dos dois domínios em que

( )

( )

f x <g x , e _B um subconjunto em que f x

( )

>g x

( )

. Dizemos que f ultrapassa g em

0

x se x₀ é um ponto de transição de A para _B.

Obviamente que se existir um intervalo I onde se verifiquem as condições 1. e 2., então em qualquer intervalo J contido em I contendo x₀ também se verificam as mesmas condições.

Exemplo 6: Seja

( )

1 1 f x x =

− e g x

( )

= − +x 1. Mostre que f ultrapassa g em x= . 0

Consideremos I = −∞

]

,1

[

. Para x∈ e I x< tem-se 0 f x

( )

<g x

( )

. De facto,

( )

( )

1 1

(

2

)

0 1 1 x x f x g x x x x − < ⇔ < − ⇔ < − − . Analisando o sinal de

(

2

)

1 x x x − − podemos verificar que esta função é negativa em x∈ e I x< . Para x0 ∈ e I x> tem-se 0

( )

( )

f x >g x . Logo f ultrapassa g em x= , como podemos observar na representação 0 gráfica apresentada.

Ponto onde a tartaruga ultrapassa a lebre

Intervalo onde são satisfeitas as condições 1. e 2.

Os conceitos de ultrapassar e de mudança de sinal podem ser definidos em termos um do outro, de facto, prova-se que f muda de sinal em x₀ se e só se f ultrapassa ou é ultrapassada pela função nula.

I.2.2. Reformulação da definição de Derivada de uma função num ponto

O conceito de derivada foi apresentado anteriormente usando o conceito de mudança de sinal de uma função. Iremos agora apresentar uma definição equivalente com uma terminologia diferente.

Seja f uma função cujo domínio contém um intervalo aberto contendo x₀. Seja A o conjunto dos números m para os quais a função f x

( )

0 +m x

(

−x0

)

(cujo gráfico é a recta com

declive m que passa por

(

x₀,f x

( )

₀

)

) é ultrapassada pela função f em x₀. Seja B o conjunto dos números m para os quais a função f x

( )

0 +m x

(

−x0

)

ultrapassa a função f em x0.

Teorema 2:

Um número m0 é um ponto de transição de A para B se e só se m0 é a derivada de f em x0.

Caso exista, a derivada de uma função num ponto, é única. Este facto, na terminologia que estamos agora a usar, significa que existe um único ponto de transição de A para B .

Exemplo 7:

Calcular a derivada de f x

( )

=x2−x em x= pelo teorema 9.1 Resolução:

Consideremos g x

( )

= f

( )

1 +m x

(

−1

)

ou g x

( )

=m x

(

−1

)

. Queremos definir os conjuntos A e B , sendo A o conjunto dos valores m para os quais f ultrapassa g em x= , e B o 1 conjunto dos valores m para os quais f é ultrapassada por g em x= . Para determinar os 1 conjuntos A e B notemos que f x

( )

−g x

( )

=x2− −x m x

(

− =1

) (

x−1

)(

x−m

)

.

Se m> então f1 − muda de sinal positivo para negativo em g x= , logo f é ultrapassada 1

por g em x= . 1

Se m< então f1 − muda de sinal negativo para positivo em g x= , logo f ultrapassa g em 1

1

x= . Posto isto, A= −∞

]

,1

[

e B=

]

1,+∞

[

logo como 1 é o ponto de transição de A para B ,

Conclusão

A abordagem do conceito de derivada sem limites apresenta-se como uma alternativa ao cálculo, usando o método de exaustão para a derivada em vez de limites. Esta abordagem visa uma compreensão intuitiva dos números reais, no entanto o seu desenvolvimento é rigoroso e todos os resultados são facilmente demonstrados. Esta abordagem recorre muito a raciocínios geométricos, mais do que a usual, por exemplo: a definição de completamento é apresentada em termos de convexidade em contraste com o uso de limites superiores e inferiores, e os cortes de Dedekind são substituídos pela noção de ponto de transição.

A nível de pré-requisitos é exigido ao aluno, conhecimentos de funções, gráficos e álgebra (o aluno deverá estar bastante à vontade com o manuseamento de inequações).

Por não exigir o conhecimento da teoria de limites, esta abordagem parece encaixar-se nos primeiros anos do ensino secundário ou porque não, ainda no ensino básico. O aluno poderá confrontar-se com o conceito de derivada mesmo não conhecendo o conceito de limite podendo resolver problemas de máximos e mínimos da área da física, economia, … que envolvam o conceito de derivada. Parece-nos importante referir que esta abordagem não exige teoria de limites mas exige que o aluno seja capaz de raciocinar geometricamente e resolver, com alguma destreza, equações e inequações. Assim, se do ponto de vista conceptual a abordagem do conceito de derivada sem limites não parece trazer dificuldades, em relação ao domínio da geometria pode originar algumas dificuldades, não porque exija o conhecimento de teoremas profundos mas porque os alunos devem possuir hábitos de trabalho de raciocínios geométricos, tirar conclusões, interpretar e orientar o seu raciocínio a nível geométrico. Além disto, esta abordagem é muito suportada pela ilustração geométrica (“ f ultrapassa g em x se ₀ x é um ₀ ponto de transição de A para B ”) e até física pelo que terá alguma vantagem em ser utilizada no 9º ano em conjunto com a disciplina de Física.

É deixada a sugestão para estudos posteriores: seria interessante avaliar em campo a reacção dos alunos a esta abordagem.

Bibliografia:

JERROLD MARSDEN, ALAN WEINSTEIN, Calculus Unlimited, The Benjamin/ Cummings Publishing Company, Inc. California, 1981.