Metodologia de índices de ações: o caso brasileiro

(1)

FUNDAC

¸ ˜

AO GET ´

ULIO VARGAS

ESCOLA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM ECONOMIA

Metodologias de ´

Indices de A¸

c˜

oes: O Caso Brasileiro

Guido Maia da Cunha

Rio de Janeiro Mar¸co 2018

(2)

Guido Maia da Cunha

Metodologias de ´

Indices de A¸

c˜

oes: O Caso Brasileiro*

Disserta¸cão submetida a Escola de P´ os-Gradua¸cão em Economia como requisito parcial para obten¸cão de grau de Mestre em Economia

Orientador: Felipe Iachan

Rio de Janeiro Mar¸co 2018

(3)

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Mario Henrique Simonsen/FGV

Cunha, Guido Maia da

Metodologia de índices de ações: o caso brasileiro / Guido Maia da Cunha. – 2018.

46 f.

Dissertação (mestrado) - Fundação Getulio Vargas, Escola de Pós- Graduação em Economia.

Orientador: Felipe Iachan Inclui bibliografia.

1. Risco (Economia). 2. Ações (Finanças). 3. Mercado de capitais. I. Iachan, Felipe Saraiva. II. Fundação Getulio Vargas. Escola de Pós-Graduação em Economia. III. Título.

CDD – 332

(4)

(5)

Abstract

O objetivo dessa disserta¸cão é avaliar os efeitos que certas metodologias usadas na constru¸cão de ´ındices e portfolios têm sobre suas performances e como elas diferem entre si. Para isso, analisaremos o caso do ´ındice Ibovespa cuja metodologia foi alterada em 2014. Esse trabalho analisa os indicadores de performance dos principais ´ındices de a¸cões brasileiros durante o per´ıodo que engloba os anos 2003 a 2013, incluindo também uma simula¸cão para o que teria sido o Ibovespa caso as mudan¸cas implementadas em 2014 estivessem em vigor durante esse per´ıodo. Posteriormente, por meio de testes e regressões, é feita uma tentativa de encontrar fatores que expliquem as diferen¸cas encontradas nos comportamentos dos ´ındices. Os principais resultados encontrados são que a metodologia antiga do Ibovespa é menos eficiente e gera performance inferior aos outros três ´ındices avaliados, todos utilizando uma pondera¸cão por market cap. Além disso, encontra-se evidências de que per´ıodos de piores rendimentos relativos do Ibovespa coincidem com momentos de grande atividade no mercado acionário, indicando uma rela¸cão positiva entre os diferenciais de retorno dos ´ındices e o n´ıvel de transa¸cões realizadas no per´ıodo.

(6)

1

Introdu¸

c˜

ao

Os primeiros ´ındices de a¸cões foram criados com o objetivo de permitir que investi-dores acompanhassem o desempenho das a¸cões de determinados grupos de empresas, em uma época na qual as informa¸cões sobre o mercado acionário não eram tão abundantes como hoje. Com o passar dos anos, as próprias bolsas de valores ou empresas ligadas a elas passaram a construir e divulgar ´ındices amplos, que visam refletir a performance agregada de todo mercado acionário em questão. Hoje, além do caráter informativo sobre o desempenho agregado das a¸cões contidas neles, os ´ındices são muito utilizados como instrumentos diretos de diversifica¸cão de investimento e como benchmarks de compara¸cão para as performances de outros portfolios.

Em teoria, os ´ındices amplos buscam capturar a performance do portfolio de mer-cado, no qual há diversifica¸cão completa. Isto é, um bom ´ındice amplo de a¸cões deve refletir os movimentos mais relevantes, sob o ponto de vista de um agente (investidor) representativo, dos ativos negociados em determinada bolsa de valores. Assim, um in-vestidor que reproduz um ´ındice amplo na constru¸cão do seu portfolio tem por objetivo expor o seu investimento apenas a fatores de risco sistemático, ou seja, que não são inerentes apenas a uma classe ou conjunto de ativos.

Mas por que um investidor deveria querer reproduzir o portfolio de mercado e manter seu investimento exposto apenas a fatores de risco sistemático? Desde que Markowitz (1952) introduziu a chamada Modern Portfolio Theory, incorporando a an´alise do im-pacto de risco na teoria de sele¸cão de portfolios, a discussão em torno do que seria o portfolio ´otimo pautou boa parte da literatura de finan¸cas. Nesse contexto, o Capital

Asset Pricing Model (CAPM), disseminado por Sharpe (1964), se tornou o principal

referencial te´orico tanto para modelos de asset pricing quanto para investidores inter-essados em otimizar a performance dos seus portfolios.

O CAPM prevê, entre outras coisas, que, em um mercado eficiente, a pondera¸cão dos ativos em um portfolio é ótima, em termos de média-variância, quando segue o crit´erio de market capitalization. Em outras palavras, nenhum outro portfolio ´e capaz de apresentar retornos esperados iguais ou superiores e variância inferior aos

(7)

apresen-tados por um portfolio que reproduz exatamente o mercado de ativos, em termos de participa¸cão de cada ativo nele. Devido a sua simplicidade, o CAPM acabou sendo amplamente difundido e, com isso, a pondera¸cão por market cap se tornou a padrão para diversos ´ındices de a¸cões, usados como referenciais para os investidores. Apesar disso, o modelo passou a receber cr´ıticas em fun¸cão de algumas de suas premissas -consideradas irrealistas - como a homogeneidade nas expectativa dos investidores e a possiblidade de venda a descoberto ilimitada.

Haugen and Baker (1991) argumentam que, exceto sob condi¸cões muito restritivas, investimentos em portfolios ponderados por market cap são ineficientes. Segundo eles, ainda que os mercados sejam informacionalmente eficientes e que, em equil´ıbrio, os investidores otimizem racionalmente a rela¸cão entre risco e retorno esperado, a pon-dera¸cão por market cap não é eficiente caso: (1) investidores discordem com rela¸cão ao risco e ao retorno esperado de algum ativo; ou (2) haja qualquer tipo de restri¸cão com rela¸cão a vendas a descoberto; ou (3) os retornos dos investimentos estejam sujeitos a qualquer tipo de taxa¸cão; ou (4) alguma alternativa de investimento não seja inclu´ıda no portfolio; ou (5) investidores estrangeiros atuem no mercado local. Em qualquer um desses cenários, os autores argumentam que será poss´ıvel encontrar um portfolio com o mesmo retorno esperado e com variância menor.

Hsu (2006), por sua vez, afirma que a pondera¸cão por market cap também não é ´

otima caso os pre¸cos dos ativos apresentem ru´ıdos e não reflitam completamente os fundamentos das empresas. Nesse caso, os ativos que estão subvalorizados terão capi-taliza¸cão inferior ao seu valor justo e, inversamente, os ativos que estão sobrevalorizados terão capitaliza¸cão superior ao que deveriam. Com isso, um portfolio ponderado por market cap tenderia a colocar mais peso em ativos sobrevalorizados e menos peso em ativos subvalorizados, o que resultaria em uma performance pior do que a de outros po-tenciais portfolios uma vez que os ru´ıdos dos pre¸cos sejam eliminados. Nesse contexto, Hsu argumenta em favor de metodologias alternativas1_{, n˜}_{ao dependentes de pre¸cos de}

ativos, como a melhor forma de evitar esse vi´es negativo apresentado pela pondera¸c˜ao por market cap.

Apesar das cr´ıticas, a pondera¸cão por market cap continua sendo a metodologia mais utilizada pelo mercado de a¸cões na elabora¸cão de ´ındices que buscam refletir a perfor-mance geral dos mercados e atuar como benchmark para outros portfolios. Fatores

(8)

como a alta liquidez, a fácil replica¸cão e o baixo turnover dessa metodologia fazem com que ela permane¸ca sendo usada pela grande maioria dos mais importantes ´ındices de bolsas de valores do mundo, como o S&P 500 (EUA), FTSE-100 (Reino Unido), DAX-30 (Alemanha), CAC 40 (Fran¸ca), SSE 180 (China), KOSPI (Coreia do Sul), IPSA (Chile), ASX 200 (Austrália). Duas raras exce¸cões são o Dow Jones (EUA) e o Nikkei 225 (Japão), que adotam o sistema de pondera¸cão por pre¸co, o qual explicaremos mais detalhadamente na próxima se¸cão.

Apesar de o mercado de capitais brasileiro contar com dois ´ındices amplos pondera-dos por market cap - IBrX 100 e IBrX 50 -, até 2013, o Ibovespa, principal ´ındice de bolsa de valores do Brasil, também era uma exce¸cão. Desde a sua cria¸cão em 1968, o Ibovespa utilizava uma metodologia diferente das usadas pelo resto do mundo, ponderando as a¸cões que o compunham por um ´ındice de negociabilidade ao invés de ponderar por market cap. Esse ´ındice de negociabilidade, estabelecido pela própria BM&FBovespa, era uma fun¸cão do volume e do número de trocas geradas por cada a¸cão. Esses critérios foram mantidos até 2013, quando a BM&FBovespa anunciou altera¸cões na metodolo-gia do Ibovespa “tendo em vista, principalmente, o cenário econômico atual e visando mantê-lo como o ´ındice que representa, com mais exatidão, o desempenho do mercado brasileiro”2_{. Dentre as v´}_{arias modifica¸c˜}_{oes realizadas, a mais relevante foi a mudan¸ca}

do método de pondera¸cão por ´ındice de negociabilidade para o método de pondera¸cão por market cap.

Um dos principais objetivos dessas altera¸cões foi eliminar poss´ıveis distor¸cões geradas pelo fato de se vincular o peso de determinada a¸cão no ´ındice única e exclusivamente ao quanto ela está sendo negociada nos últimos per´ıodos. Por essa metodologia, por exemplo, uma a¸cão de uma empresa em processo de falência e que gera uma corrida entre os investidores para se livrar daquele ativo pode adquirir importância grande no ´ındice, mesmo se a empresa tiver tamanho insignificante ou se o pre¸co da a¸cão estiver próximo de zero. Nesse caso, o efeito negativo gerado por essa a¸cão no ´ındice poderia ser muito maior do que o real efeito sobre o mercado acionário como um todo, que é exatamente o que um ´ındice amplo busca refletir. Como explicaremos mais detalhada-mente na próxima se¸cão, um caso semelhante a esse ocorreu, de fato, entre 2010 e 2013 com a empresa OGX e motivou boa parte das discussões que antecederam a mudan¸ca de metodologia anunciada pela BM&FBovespa em 2013.

2_{Fonte: “Hist´}_{orico de Adequa¸}_c˜_{oes Metodol´}_{ogicas dos ´}_{Indices da BM&FBovespa”, Junho de 2014.}

(9)

Neste trabalho, come¸caremos expondo as mudan¸cas metodológicas e suas principais motiva¸cões. Em seguida, exploramos e testamos as diferen¸cas metodológicas entre os ´ındices brasileiros com diferentes tipos de pondera¸cão e tentamos avaliar a eficiência de cada um deles, levando em conta várias janelas temporais. Além disso, analisaremos al-gumas poss´ıveis causas desses distanciamentos e se eles são, de alguma forma, poss´ıveis de prever.

2

Metodologia

dos

´

Indices

Amplos

da

BM&FBovespa

Apesar de ser apurado há muito tempo - desde janeiro de 1968 -, até 2013 o Ibovespa nunca havia sofrido nenhuma altera¸cão metodológica. Em setembro de 2013, a BM&FBovespa anunciou uma série de altera¸cões na metodologia do ´ındice, propostas por um grupo de trabalho criado com o objetivo de adequá-lo às grandes evolu¸cões recentes do mercado acionário brasileiro e manter seu car´ater de principal benchmark para investidores do pa´ıs.

A seguir, explicaremos os principais critérios adotados para a constru¸cão dos ´ındices Ibovespa, antes e depois das mudan¸cas metodológicas, IBrX 100 e IBrX 50.

2.1 Ibovespa pr´e-2014

2.1.1 Crit´erios de Inclus˜ao

1. Estar entre os ativos que representem, em conjunto, 80% do somat´orio total do

´Indice de Negociabilidade - descrito abaixo -, em ordem decrescente, no per´ıodo referente `as 3 carteiras anteriores.

(10)

3. Ter participa¸cão, em termos de volume financeiro, maior ou igual a 0.1% no mer-cado à vista, no per´ıodo referente às 3 carteiras anteriores.

2.1.2 ´Indice de Negociabilidade IN = PP i=1 q_η i η νi ν P

onde P ´e o número de preg˜oes no per´ıodo, ηi é o número de neg´ocios com o ativo i no

mercado `a vista, η ´e o número de negócios totais no mercado `a vista, νi é o volume

financeiro gerado pelos neg´ocios com o ativo i no mercado à vista e ν ´e o volume finan-ceiro gerado pelos negócios totais no mercado à vista.

2.1.3 Crit´erios de Pondera¸c˜ao

1. ´Indice de Negociabilidade

ωi =

INi

PN80 i=1INi

onde ωi é o peso atribu´ıdo à a¸c˜ao i, INi é o seu respectivo Índice de Negociabilidade e

N80 é a última a¸cão, em ordem decrescente, a fazer parte do conjunto que representa

(11)

2.2 Ibovespa p´os-2014

1. Estar entre os ativos que representem, em conjunto, 85% do somatório total do Índice de Negociabilidade - descrito abaixo -, em ordem decrescente, no per´ıodo referente às 3 carteiras anteriores.

2. Estar presente em 95% dos preg˜oes no per´ıodo referente `as 3 carteiras anteriores.

3. Ter participa¸c˜ao, em termos de volume financeiro, maior ou igual a 0.1% no

mer-cado `a vista, no per´ıodo referente `as 3 carteiras anteriores.

4. N˜ao ser classificado como “Penny Stock” (A¸c˜ao com valor inferior a R$ 1,00)

2.2.2 ´Indice de Negociabilidade IN = PP i=1 3 r ηi η _ν i ν 2 P

1. Market Cap dos ativos em circula¸c˜ao - free float. 2. Peso no ´ındice n˜ao pode ultrapassar os 20%.

(12)

3. Peso não pode ser superior a duas vezes a participa¸cão que a a¸cão teria caso o ´ındice ainda fosse ponderado de acordo com o Índice de Negociabilidade.

ωi =

M Ci

PN85 i=1M Ci

onde ωié o peso atribu´ıdo à a¸c˜ao i, M Ci´e o seu respectivo market cap e N85é a última

a¸c˜ao, em ordem decrescente, a fazer parte do conjunto que representa 85% do somat´orio total dos market caps.

2.3 IBrX 100 (IBrX 50)

Uma vez que as metodologias para o IBrX 100 e para o IBrX 50 são idênticas, exce¸cão feita ao primeiro tópico do critério de inclusão, a exposi¸cão será feita conjuntamente.

1. Estar entre os 100 (50 para o IBrX 50) ativos com maior ´Indice de Negociabilidade, no per´ıodo referente `as 3 carteiras anteriores.

2. Estar presente em 95% dos preg˜oes no per´ıodo referente `as 3 carteiras anteriores.

3. N˜ao ser classificado como “Penny Stock” (A¸c˜ao com valor inferior a R$ 1,00)

2.3.2 ´Indice de Negociabilidade

O Índice de Negociabilidade usado para o IBrX 100 e para o IBrX 50 é idêntico ao usado para o Ibovespa e passou pela mesma modifica¸cão em 2014:

(13)

INP r´e−2014 = PP i=1 r ηi η νi ν P 2014 ⇓ INP ´os−2014 = PP i=1 3 r ηi η _ν i ν 2 P

1. Market Cap dos ativos em circula¸c˜ao - free float.

ωi =

M Ci

PN85 i=1M Ci

onde ωié o peso atribu´ıdo à a¸c˜ao i, M Ci´e o seu respectivo market cap e N85é a última

a¸c˜ao, em ordem decrescente, a fazer parte do conjunto que representa 85% do somat´orio total dos market caps.

(14)

3

An´

alise do Comportamento dos ´

Indices Amplos

da BM&FBovespa

Usando como motiva¸cão as discussões observadas na literatura sobre a eficiência de diferentes metodologias de pondera¸cão de portfolio e as mudan¸cas realizadas pela BM&FBovespa em seus ´ındices, temos como objetivo, nessa sessão, analisar e comparar os comportamentos desses quatro ´ındices mencionados na sessão anterior. Vale notar que a metodologia utilizada para a constru¸cão do ´ındice Ibovespa até 2014 era única e diferente da utilizada em todo o mundo. Talvez por isso, não encontramos trabalhos que a testem, emp´ırica ou teoricamente, frente a outras metodologias de pondera¸cão, como buscamos fazer aqui.

3.1 Dados

As séries de ´ındices utilizadas foram disponibilizadas pela BM&FBovespa, têm o dia 30 de dezembro de 2002 como data-base e abrangem o per´ıodo entre 2003 e 2013, inclu-sos. Para o IBrX 100, IBrX 50, e para a antiga metodologia do Ibovespa - cuja série será aqui chamada simplesmente de Ibovespa -, os valores utilizados são referentes às real-iza¸cões efetivas dos ´ındices. Já para a nova metodologia do Ibovespa - aqui chamado de Novo Ibovespa - utilizamos uma simula¸cão realizada pela própria BM&FBovespa com o objetivo de avaliar como teria sido o comportamento do Ibovespa no passado, se as mudan¸cas nas regras anunciadas em 2013 já estivessem em vigor.

´

E importante ressaltar que a série simulada do Novo Ibovespa é um contra-factual im-perfeito uma vez que estando em vigor, a nova metodologia do ´ındice poderia afetar não só o comportamento dos investidores, como os pre¸cos e retornos dos ativos negociados. Assim como a maior parte da literatura, Chen et al. (2004), por exemplo, encontram evidências de que a inser¸cão de uma a¸cão no S&P 500 leva a um aumento permanente no seu pre¸co, causado pelo aumento da conscientiza¸cão dos investidores com rela¸cão `

a empresa em questão, enquanto a exclusão não surte qualquer efeito. Nesse sentido, é de se esperar que, caso haja viés nos retornos da série simulada do Novo Ibovespa, ele seja negativo, uma vez que estamos desconsiderando eventuais aprecia¸cões causadas pela inser¸cão de algumas a¸cões no ´ındice. Como nossos resultados apontam para uma performance superior do Novo Ibovespa quando comparado ao Ibovespa, esse viés está

(15)

ao nosso favor, sendo poss´ıvel, portanto, que as diferen¸cas sejam ainda maiores do que as aqui encontradas.

Além dos dados da BM&FBovespa, usamos dados diários da Bloomberg relativos ao mercado acionário brasileiro, como pre¸co, volume e número de negocia¸cões realizadas envolvendo cada a¸cão na BM&FBovespa. Assim como Cooper et al. (2004), estab-elecemos janelas temporais - t, t − 3, t − 5, t − 10, t − 30 e t − 50 - para analisar as performances acumuladas dos ´ındices e identificar comportamentos espec´ıficos.

3.2 Performance

Para avaliar as diferen¸cas de performances dos ´ındices, iniciaremos analisando a rentabilidade acumulada. Como se pode observar no Figura 1, os diferentes ´ındices pare-cem ter evolu´ıdo de forma semelhante at´e 2010, com um ´ındice apresentando rentabil-idade acumulada maior que o outro em alguns momentos e o inverso ocorrendo em outros per´ıodos. A partir de 2011, o IBrX 100 come¸ca a descolar positivamente dos demais ´ındices, enquanto ocorre o contr´ario com o Ibovespa. A Tabela 1 quantifica esses descolamentos: ao final do per´ıodo analisado, o IBrX 100 rendeu 532,99%, enquanto o Ibovespa rendeu 357,09% e, entre eles, o Novo Ibovespa e o IBrX 50 renderam semel-hantes 468,07% e 455,51%, respectivamente. Colocando em termos relativos, o IBrX 100, o Novo Ibovespa e o IBrX 50 renderam, respectivamente, 175,90 p.p, 110,98 p.p e 98,42 p.p a mais que o Ibovespa.

A Tabela 1 também nos permite observar mais detalhadamente as rentabilidades dos ´ındices ano a ano. Além de ser o ´ındice com maior rentabilidade acumulada ao final do per´ıodo, em 6 dos 11 anos analisados, o IBrX 100 gera o maior retorno entre os ´ındices e, em nenhum dos anos, gera o menor. O Ibovespa, por sua vez, apresenta o pior retorno de todos em 6 anos diferentes, mas também é o com maior rentabilidade em outros 3, o que indica potencialmente um grau de volatilidade maior que os demais. A tabela confirma ainda que o Novo Ibovespa e o IBrX 50 apresentam rentabilidades, geralmente, medianas e semelhantes.

(16)

Figura 1: Rentabilidade Acumulada - Ln

Em termos metodológicos, como os critérios de pondera¸cão desses dois ´ındices e do IBrX 100 são iguais, o critério de inclusão parece ser o que aproxima o Novo Ibovespa mais do IBrX 50 do que do IBrX 100. Analisando as carteiras do Novo Ibovespa, essa tendência é confirmada: em média, entre 50 e 70 empresas compõem o ´ındice. Assim, uma poss´ıvel interpreta¸cão para a origem dos diferenciais de rentabilidade entre esses ´ındices é a maior diversifica¸cão existente no IBrX 100, que tenderia a gerar retornos

maiores.

Usando dados diários de retorno na tabela 2 e 3, é poss´ıvel confirmar algumas das expectativas em torno do comportamento dos ´ındices. Durante o per´ıodo analisado, o Ibovespa apresenta as maiores medidas de volatilidade dentre todos os ´ındices: maior variância, maior varia¸cão interquartil, maior percentil 90 e menor percentil 10. Em con-trapartida, o IBrX 100 apresenta comportamento oposto, com os menores indicadores de volatilidade: menor variância, menor varia¸cão interquartil, menor percentil 90 e

(17)

maior percentil 10. Al´em disso, novamente, o Novo Ibovespa e o IBrX 50 geraram resultados intermedi´arios e semelhantes.

Tabela 1: Rentabilidade Acumulada Anual e ao Final do Per´ıodo - %

Adicionalmente, como é poss´ıvel observar nas tabelas já mencionadas e na Figura 2, os quatro ´ındices tˆem skewnesses negativas, ou seja, a cauda esquerda mais pesada quando comparadas a uma distribui¸cão log-normal, com as massas das suas distribui¸cões concentradas à direita. Outro resultado comum a todos os ´ındices é um excesso de curtose positiva, indicando a ocorrˆencia de mais outliers do que o previsto quando con-siderados retornos log-normais. Note ainda que esses resultados independem da janela temporal utilizada3_.

Sob o ponto de vista de um investidor, as análises de rentabilidade e volatilidade de um portfolio só têm sentido quando feitas conjuntamente. Nesse contexto, estendemos a investiga¸cão para examinar as performances dos ´ındices ajustadas ao seus riscos. Para 3_{Por motivos de concis˜}_{ao, mostramos aqui apenas as janelas de 1 e 50 dias. Os resultados, no entanto, n˜}_{ao se alteram} se levarmos em considera¸cão janelas de 3, 5, 10 ou 30 dias.

(18)

isso, usamos o conceito de eficiência de Sharpe, que atribui uma maior eficiência ao portfolio com o maior excesso de retorno por unidade de desvio (ou risco), seguindo a fórmula a seguir: SRi = E [R i− Rf] q var (Ri− Rf) ≈ E [Rq i− Rf] var (Ri)

onde Ri ´e o retorno do portfolio i em quest˜ao e Rf ´e o retorno do portfolio livre de

risco usado como referˆencia4_.

Usando esse conceito como base de compara¸cão, a Tabela 4 expõe os ´ındices de Sharpe no ano e no per´ıodo completo. Novamente, o IBrX 100 é o ´ındice que apresenta o melhor desempenho, tendo a maior razão de Sharpe em 7 dos 11 anos analisados e também quando considerado o per´ıodo inteiro. De forma semelhante, o Ibovespa tem o pior desempenho, com a menor razão de Sharpe na janela completa, além de em 6 dos 11 anos analisados. Seguindo essa defini¸cão, podemos ranquear os ´ındices por ordem decrescente de eficiência, definida em termos de retorno por risco: IBrX 100, Novo Ibovespa, IBrX 50 e Ibovespa. Esse resultado corrobora os resultados anteriores, no sentido de apontar que os ´ındices ponderados por market cap apresentam melhor performance do que o Ibovespa e sua metodologia de pondera¸cão por negociabilidade.

Outro fator a ser observado é a correla¸cão entre os diferentes ´ındices durante difer-entes per´ıodos, afinal as divergências de performance agregada entre as séries podem ser consequência direta de uma menor correla¸cão entre os portfolios em questão. No entanto, apesar das consistentes diferen¸cas entre os ´ındices nos indicadores analisados até agora, a Tabela 5 nos mostra que a correla¸cão par a par entre as séries é muito alta. Como era de se esperar em fun¸cão da sua metodologia, o Ibovespa apresenta a menor correla¸cão com os demais ´ındices, mas mesmo assim os valores são elevados. A Tabela 6 nos dá ainda as correla¸cões seriais anuais e podemos observar que a do Ibovespa com os demais ´ındices é mais baixa nos primeiros três e nos últimos dois anos. A análise dos dados de performance anuais parece indicar que não há rela¸cão clara entre per´ıodos de correla¸cão inferior e per´ıodos de rentabilidade ou volatilidade relativa alta ou baixa, mas entender a origem da menor correla¸cão em alguns anos pode ser

(19)

um exec´ıcio futuro interessante, pois pode nos ajudar a entender as consequˆencias das diferen¸cas metodol´ogicas entre os ´ındices.

Tabela 2: Estat´ısticas Descritivas - Ln (Retorno Di´ario)

(20)

(21)

Tabela 4: ´Indice de Sharpe

(22)

Tabela 6: Matriz de Correla¸c˜ao Anual dos Retornos Di´arios

(1) Novo Ibov - Ibov; (2) Novo Ibov - IBrX 100; (3) Novo Ibov - IBrX 50; (4) Ibov - IBrX 100; (5) Ibov - IBrX 50.

3.3 Diferenciais de Rentabilidade

Nesta sessão, buscaremos entender melhor as origens das diferen¸cas sistemáticas de performances dos ´ındices, avaliando o comportamento dos diferenciais de rentabilidade nas várias janelas temporais consideradas. Resultados nesse sentido podem ajudar a esclarecer quais as vantagens e desvantagens das diferentes metodologias utilizadas na constru¸cão não só de ´ındices, mas de portfolios em geral.

Antes de tentar entender as diferen¸cas sistemáticas de performance entre os ´ındices, é necessário se certificar de que elas são estatisticamente significantes e não apenas frutos de ru´ıdos quaisquer. Para isso, realizaremos testes t de média para avaliar se os diferenciais médios de retorno são, de fato, diferentes de zero e também testes F de variância para avaliar se as variâncias das séries de ´ındices são distintas entre si. Os resultados estão reportados nas tabelas 7 e 8.

(23)

Nos testes t, as hipóteses nulas avaliadas são que os diferenciais médios de retorno dos ´ındices em questão são nulos. Observe na Tabela 7 que, quando consideradas janelas iguais ou superiores a 3 dias, a hipótese nula é rejeitada para todos os pares, exceto o formado por Novo Ibovespa e IBrX 50. Isso implica que, para essas janelas, o diferencial de rentabilidade é estatisticamente significante - diferente de zero - para todos os pares compostos pelo Ibovespa e algum dos outros três ´ındices e também para o par Novo Ibovespa - IBrX 100. Por outro lado, temos que o diferencial entre Novo Ibovespa e IBrX 50 é estatisticamente nulo para todas as janelas avaliadas e, portanto, pode ser considerado irrelevante. Esses resultados apontam que os diferenciais de retorno entre o Ibovespa e os ´ındices ponderados por market cap não são desprez´ıveis, sendo, portanto, objetos válidos de estudo.

Como argumentamos, ter retorno esperado superior não significa, necessariamente, que um ´ındice ou portfolio é melhor e mais desejável que o outro. Para uma avalia¸cão mais robusta, devemos testar também a significância estat´ıstica das diferen¸cas de variância entre os ´ındices aqui expostos. Para isso, utilizamos testes F de variância nos quais a hipótese nula a ser testada é a de que a razão entre as variâncias das séries de ´ındices é igual a 1. Pela Tabela 8, a um n´ıvel de significância de 95%, apenas para o par IBrX 100 e Ibovespa as diferen¸cas de variâncias são estatisticamente sig-nificantes em todas as janelas temporais analisadas. Para janelas de 30 e 50 dias, as diferen¸cas do Novo Ibovespa e do IBrX 50 para o Ibovespa também são significantes, enquanto as diferen¸cas do IBrX 100 para o Novo Ibovespa são significantes apenas em janelas inferiores a 10 dias. Note ainda que em todos esses casos as razões são inferiores a 1, indicando menor variância para os ´ındices à esquerda. Por fim, assim como no caso do teste de médias do diferencial de rentabilidades, também não há significância nas diferen¸cas entre a variância do IBrX 50 e a do Novo Ibovespa, sinalizando que as divergências entre esses ´ındices tendem a ser resultados apenas de ru´ıdos nas duas séries.

Os resultados dos testes realizados indicam que, para quase todas janelas analisadas, os ´ındices ponderados por market cap - Novo Ibovespa, IBrX 100 e IBrX 50 - têm re-torno médio superior e variância igual ou inferior ao Ibovespa, quando considerado um n´ıvel de significância de 95%. Essas caracter´ısticas são desejáveis do ponto de vista dos investidores e indicam uma maior eficiência de portfolios ponderados por market-cap quando comparados a portfolios ponderados por um indicador de liquidez e negocia-bilidade - no caso, o Índice de Negocianegocia-bilidade da BM&FBovespa. Sob essa ótica, a mudan¸ca da metodologia do ´ındice Ibovespa parece ter sido positiva para os investidores que o utilizam como benchmark do mercado brasileiro.

(24)

Adicionalmente, utilizamos o teste - não paramétrico - Kolmogorov-Smirnov para avaliar as distribui¸cões dos retornos de cada ´ındice. Na Figura 9 é poss´ıvel observar que a distribui¸cão dos retornos do Ibovespa é estatisticamente diferente da distribui¸cão dos retornos do IBrX 100 para todas as janelas de tempo analisadas e também difere da distribui¸cão dos retornos do Novo Ibovespa e do IBrX 50 para as maiores janelas. Esse resultado refor¸ca os resultados dos testes t e F no sentido de haver diferen¸cas estatisticamente significantes entre os retornos dos ´ındices ponderados por market cap e o Ibovespa, seja em termos de momentos ou em termos da distribui¸cão como um todo.

Para uma avalia¸cão mais definitiva da efetividade da mudan¸ca de metodologia, no entanto, é necessário entender melhor as origens das divergências entre o Ibovespa e os demais ´ındices. Nesse caso, os histogramas dos diferenciais de retorno exibidos na Figura 35 _{ajudam de certa forma a caracterizar os seus comportamentos e sugerem}

algumas potenciais explica¸cões para a existência de uma divergência de performance estatisticamente significante entre os ´ındices.

Tabela 7: Testes t de M´edia

5_{Novamente por motivos de concis˜}_{ao, foram expostos apenas os gr´}_{aficos relativos `}_{as janelas de 1 e 50 dias - os casos} extremos.

(25)

Tabela 8: Testes F de Variˆancia

(26)

Figura 3: Histogramas - Ln (Diferencial de Retorno Di´ario) e Ln (Diferencial de Retorno Acumulado em 50 dias)

(27)

Pelos histogramas dos diferenciais de retorno entre os ´ındices, é poss´ıvel observar, especialmente quando considerados retornos acumulados em per´ıodos superiores a 1 dia, que as distribui¸cões dos diferenciais têm massas concentradas em valores positivos, o que, diante dos resultados prévios, era esperado, afinal o Ibovespa foi o ´ındice que ap-resentou piores resultados em termos de rentabilidade quando comparado aos demais. Por outro lado, é interessante notar que as distribui¸cões apresentam assimetrias em suas caudas, com as negativas sendo mais longas e pesadas do que as positivas, o que parece indicar que momentos de maiores divergências entre os ´ındices coincidem com momentos em que o Ibovespa tem retorno superior aos demais.

3.4 Rela¸c˜ao entre Retorno e Negociabilidade

A metodologia do Ibovespa, quando comparada com as dos outros ´ındices, dá maior peso para empresas cujas a¸cões são muito negociadas, mesmo que elas não sejam tão grandes em termos de market cap, e menor peso para grandes empresas cujas a¸cões apresentam menores ´ındices de negociabilidade. A princ´ıpio, uma poss´ıvel explica¸cão para os diferenciais de rentabilidade é que, em alguns per´ıodos, a¸cões de empresas de determinado porte geram maiores retornos que as de outro e isso faria com que ´ındices que as privilegiam obtivessem melhores resultados. Os testes apresentados na Figura 4, no entanto, indicam que não há autocorrela¸cão significante em nenhuma das séries de diferenciais avaliadas, o que enfraquece a hipótese de que um ´ındice supere o outro consistentemente em alguns per´ıodos e o inverso ocorra em outros.

Uma explica¸cão mais razoável para o comportamento dos diferenciais é a de que eles sejam gerados pelo impacto de variáveis relacionadas a liquidez, como volume negociado e número de transa¸cões realizadas no per´ıodo, sobre o cálculo do ´ındice de negociabilidade. Essa poss´ıvel explica¸cão é corroborada pelo número crescente de evidˆencias na literatura de asset pricing e de corporate finance que apontam para uma correla¸cão negativa entre variáveis de liquidez e retornos futuros das a¸cões das firmas. Em Scheinkman e Xiong (2003), diferen¸cas de opiniões entre investidores que sofrem de excesso de confian¸ca com rela¸cão às suas informa¸cões privadas tendem a aumentar o volume negociado e distorcer os pre¸cos dos ativos, podendo gerar bolhas financeiras que culminam em grandes perdas.

Baker e Stein (2004) e Baker e Wurgler (2007) argumentam que vari´aveis de liquidez podem ser usadas como medidas de um suposto “sentimento” de investidor, o qual

(28)

de-finem como uma cren¸ca com rela¸cão a futuros fluxos de caixa e riscos de investimentos que não são justificados pelos fatos ou fundamentos. A¸cões especulativas - de empresas novas, de baixa capitaliza¸cão de mercado ou com dificuldades financeiras - seriam mais sens´ıveis a esse sentimento em fun¸cão da maior dificuldade e subjetividade para a de-termina¸cão dos seus reais valores de mercado. De acordo com as evidências emp´ıricas, a¸cões desse tipo passam a ser negociadas com maior frequência e em maior quanti-dade conforme apresentam boa performance e, em fun¸cão dessa cren¸ca não justificada, acabam sendo sobrevalorizadas. O resultado é que nos per´ıodos seguintes a esse mo-mentos de otimismo, essas a¸cões tendem a performar mal conforme o mercado se ajusta.

´

E fácil ver o poss´ıvel impacto dessa rela¸cão negativa entre liquidez e retorno futuro em um ´ındice que adota pondera¸cão por variáveis de negociabilidade como o Ibovespa: o maior peso para a¸cões mais negociadas seria, na realidade, um maior peso para a¸cões cujos retornos futuros são inferiores, gerando um viés negativo indesejado no ´ındice em questão. Nesse sentido, é emblemático o caso da OGX - Óleo e Gás Participa¸cões - , empresa cuja a¸cão (OGXP3) compôs o ´ındice Ibovespa entre 2010 e 2013. No ano de 2009, um ano após sua estreia na BM&FBovespa, o pre¸co das a¸cões da OGX saltou de R$ 510 para R$ 1805, uma valoriza¸cão de cerca de 254 %. Essa aprecia¸cão gerou um aumento considerável na liquidez dessa a¸cão e, em janeiro de 2010, ela foi inclu´ıda no ´ındice Ibovespa, permanecendo nele até agosto de 2013. Nesse per´ıodo em que a a¸cão da OGX fez parte do ´ındice Ibovespa, seu pre¸co caiu de R$ 1805 para R$ 30, uma desvaloriza¸cão de 98,25%. Mesmo com o valor de mercado da empresa em queda vertig-inosa, que culminou em um pedido de recupera¸cão judicial, a a¸cão da OGX permaneceu como parte relevante do ´ındice durante muito tempo em fun¸cão dos seus elevados in-dicadores de negociabilidade, gerando um impacto negativo sobre sua performance que seria evitado em caso de uma metodologia diferente.

Nesse contexto, analisaremos aqui, de forma geral, a hipótese de que momentos de maior ou menor movimenta¸cão no mercado podem favorecer a performance de um ou de outro ´ındice. Em especial, estamos interessados em avaliar se há, de fato, alguma previsibilidade dos retornos futuros ao observarmos indicadores de liquidez como vol-ume negociado e número de transa¸cões. Para testar essa hipótese, inicialmente rodamos regress˜oes simples do diferencial de rentabilidade dos ´ındices sobre dummies referentes aos quartis de volume total e de número de transa¸cões nas janelas avaliadas. Além disso, para avaliar em módulo os diferenciais, testamos também o impacto das mesmas variáveis independentes sobre os quadrados dos diferenciais de rentabilidade. Os resul-tados estão reportados nas tabelas 9 a 12.

(29)

Nas regressões referentes ao diferencial de rentabilidade, em todas janelas e pares de ´ındices considerados, o coeficiente referente ao último quartil do número de transa¸cões é estatisticamente significante e positivo, a um n´ıvel de significância de 95%. Já os co-eficientes referentes aos quartis de volume total só apresentam significância estat´ıstica na janela de 50 dias e, mesmo assim, ela deixa de existir quando inclu´ımos os quartis de número de transa¸cões na regressão. Desses resultados, podemos inferir que há uma rela¸cão positiva entre per´ıodos com maior número de transa¸cões realizadas e per´ıodos de diferencial de rentabilidade positivo, ou seja, o Ibovespa tende a ter performance inferior aos demais ´ındices em momentos de muita atividade no mercado. Adicional-mente, não parece haver rela¸cão direta significativa entre os diferenciais e o total de volume transacionado.

Já nas regressões com o quadrado do diferencial de rentabilidade como variável de-pendente, tanto o coeficiente relativo ao primeiro quanto o relativo ao último quartil do número de transa¸cões totais são positivos e estat´ısticamente significantes em todas especifica¸cões e janelas consideradas. Além disso, eles são crescentes ao longo dos quar-tis, o que indica uma rela¸cão positiva entre os quartis e os quadrados dos diferenciais. Os coeficientes referentes aos quartis de volume total apresentam o mesmo comporta-mento, com a diferen¸ca de que ao inclu´ırmos os quartis de número de transa¸cões nas regressões, os coeficientes do primeiro quartil de volume deixam de ser significativos. Esses resultados fornecem evidências de que quanto maiores o volume e número de ne-gocia¸cões totais, mais distantes de zero tendem a ser os diferenciais de rentabilidade do Ibovespa e dos demais ´ındices.

Por fim, como teste de robustez, rodamos regressões localmente lineares para avaliar os resultados encontrados acima. Nas Figura 5, 6 e 7, como esperado, é poss´ıvel observar a inclina¸cão positiva na curva referente à rela¸cão entre os diferenciais de rentabilidades e os números de transa¸cões para janelas de 50 dias, embora a inclina¸cão não seja tão evidente quando consideramos janelas diárias. Já para as rela¸cões entre os quadrados dos diferenciais de rentabilidade, a inclina¸cão positiva sugerida pelos resultados anteri-ores também é confirmada, inclusive para as janelas mais curtas.

´

E importante ter em mente que a entrada e pondera¸cão de a¸cões no Ibovespa estão as-sociadas a um ´ındice de negociabilidade relativamente elevado, ou seja, uma a¸cão tende a adquirir importância no Ibovespa conforme é mais negociada. Ao mesmo tempo, as evidências apontam para uma performance relativa pior do Ibovespa em

(30)

momen-tos de maior atividade do mercado acionário. Nesse sentido, os resultados descritos nos parágrafos anteriores dialogam com a literatura que prevê rela¸cão negativa entre variáveis de liquidez e retorno esperado, uma vez que a maior relevância atribu´ıda a a¸cões com elevados n´ıveis de liquidez e com baixos retornos parece ser a principal re-sponsável pela performance inferior do Ibovespa quando comparado aos demais ´ındices ponderados por market cap.

4 Conclus˜

ao

Apesar de diversas metodologias alternativas de pondera¸cão de portfolios terem sido propostas na literatura, a metodologia de pondera¸cão por market cap continua sendo a mais utilizada na formula¸cão de ´ındices de a¸cões de bolsas de valores. Até 2013, o Ibovespa, principal benchmark do mercado acionário brasileiro, seguia uma metodolo-gia própria de pondera¸cão de acordo com um ´ındice de negociabilidade criado pela própria BM&FBovespa. A partir de 2014, essa metodologia deixou de ser utilizada e a pondera¸cão por market cap foi adotada.

Esse trabalho analisa os diferentes ´ındices amplos de a¸cões brasileiros, comparando seus comportamentos ao longo de 11 anos. Na primeira parte da análise, examinamos os principais indicadores de performance e eficiência dos ´ındices, comparando o com-portamento dos seus retornos, volatilidades e correla¸cões. Nessa avalia¸cão, são obtidas evidências de uma performance superior por parte dos ´ındices ponderados por market cap - IBrX 100, IBrX 50 e Novo Ibovespa - quando comparados ao Ibovespa sob a metodologia antiga.

Em seguida, o foco se torna os diferenciais de rentabilidade, em especial entre o Ibovespa e os demais ´ındices. Para todos os ´ındices ponderados por market cap, en-contramos diferenciais positivos estatisticamente significantes contra o Ibovespa, além de variância inferior para o IBrX 100. Além disso, verificamos que não há autocor-rela¸cão nas séries dos diferenciais e, por meio de regressões lineares e localmente lin-eares, encontramos evidências de que os momentos de pior retorno relativo do Ibovespa - quando comparado aos demais ´ındices - coincidem com momentos de maior número de transa¸cões realizadas no per´ıodo e também obtemos evidências de que uma maior atividade no mercado acionário está correlacionada com o maior distanciamento, em

(31)

m´odulo, entre as performances do Ibovespa e dos outros ´ındices.

No contexto dos resultados encontrados aqui, seria interessante para extensões fu-turas construir séries de ´ındices para o mercado brasileiro que utilizem as metodologias alternativas aqui descritas, além de reproduzir detalhadamente os ´ındices já existentes. Esse exerc´ıcio permitiria não só a compara¸cão de um conjunto maior de metodologias, mas também a análise detalhada da rela¸cão entre as divergências de performance e as divergências de pesos atribu´ıdos às a¸cões por cada uma dessas metodologias, o que pode ajudar a explicar algumas das evidências encontradas aqui.

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

References

[1] Arnott, R., Hsu, J. and Moore, P. (2005): “Fundamental Indexation”, Financial Analyst Journal, v. 61, n. 2, p. 83-99.

[2] Arnott, R., Kalesnik, V., Moghtader, P. and Scholl, C. (2010): “Beyond Cap Weight - The Empirical Evidence for a Diversified Beta”, Journal of Indexes, January/February 2010, p. 16-29. [3] Baker, M. and Stein, J. (2004): “Market Liquidity as a Sentiment Indicator”, Journal of Financial

Markets, v. 7, p. 271-299.

[4] Baker, M. and Wurgler, J. (2007): “Investor Sentiment in the Stock Market”, Journal of Economic

Perspectives, v. 21, n. 2, p. 129-152.

[5] Benartzi, S. and Thaler, R. (2001): “Naive Diversification Strategies in Defined Contribution Saving Plans”, The American Economic Review, v. 91, p. 79-98.

[6] Booth, D. and Fama, E. (1992): “Diversification Returns and Asset Contributions”, Financial

Analysts Journal, v. 48, n. 3, p. 26-32.

[7] Chen, H., Noronha, G. and Singal, V. (2004): “The Price Response to S&P 500 Index Additions and Deletions: Evidence of Asymmetry and a New Explanation”, The Journal of Finance, v. 59, n. 4, p. 1901-1929.

[8] Choueifaty, Y. and Coignard, Y. (2008): “Toward Maximum Diversification”, The Journal of

Portfolio Management, v. 35, p. 40-51.

[9] Clarke, R., Silva, H. and Thorley, S. (2006): “Minimum-Variance Portfolios in the U.S. Equity Market”, The Journal of Portfolio Management, v. 33, p. 10-24.

[10] Cooper, M., Gutierrez, R. and Hameed, A. (2004): “Market States and Momentum”, The Journal

of Finance, v. 59, n. 3, p. 1345-1365.

[11] Demey, P., Maillard, S. and Roncalli, T. (2010): “Risk-Based Indexation”, Available at SSRN:

https://ssrn.com/abstract=1582998.

[12] DeMiguel, V., Garlappi, L. and Uppal, R. (2009): “Optimal Versus Naive Diversification - How Inneficient is the 1/N Portfolio Strategy”, The Review of Financial Studies, v. 22, n. 5, p. 1915-1953.

[13] Estrada, J. (2008): “Fundamental Indexation and International Diversification”, The Journal of

Portfolio Management, v. 34, n. 3, p. 93-109.

[14] Fernholz, R., Garvy, R. and Hannon, J. (1998): “Diversity-Weighted Indexing”, The Journal of

Portfolio Management, v. 24, n. 2, p. 74-82.

[15] Haugen, R. and Baker, N. (1991): “The Efficient Market Inefficiency of Capitalization-Weighted Stock Portfolios”, The Journal of Portfolio Management, v. 17, n. 3, p. 35-40.

[16] Hsu, J. (2006): “Cap-Weighted Portfolios are Sub-Optimal Portfolios”, The Journal of Investment

(41)

[17] Maillard, S., Roncalli, T. and Teiletche, J. (2010): “On the Properties of Equally-Weighted Risk Contributions Portfolios”, The Journal of Portfolio Management, v. 36, n. 4, p. 60-70.

[18] Neukirch, T. (2008): “ Alternative Indexing with the MSCI World Index”, Available at SSRN:

https://ssrn.com/abstract=1106109.

[19] Perold, A. (2007): “Fundamentally Flawed Indexing”, Financial Analyst Journal, v. 63, n. 6, p. 31-37.

[20] Plyakha, Y., Uppal, R. and Vilkov, G. (2012): “Why Does an Equal-Weighted Portfolio Outper-form Value- and Price-Weighted Portfolios”, Working Paper EDHEC.

[21] Sharpe, W. (1964): “A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk”, The Journal of

Finance, v. 19, n. 3, p. 425-442.

[22] Scheinkman, J. and Xiong, W. (2003): “Overconfidence and Speculative Bubbles”, Journal of

(42)

Apˆ

endice

A

Metodologias de Pondera¸

c˜

ao de Portfolios

A.1

Market Cap

Popularizado pelo CAPM, o método de pondera¸cão por market cap garante que o impacto de uma varia¸cão de pre¸co de uma a¸cão sobre o portfolio seja proporcional ao valor total de mercado da empresa em questão. A maior parte dos ´ındices que utilizam essa metodologia levam em considera¸cão apenas as a¸cões livres à negocia¸c˜ao - free float - para o cálculo do market cap sob o argumento de melhor refletir as varia¸cões do mercado acionário, uma vez que a¸c˜oes fora do free float n˜ao estão sendo negociadas e, portanto, não impactam o mercado.

Em termos gerais, um ´ındice ponderado por market cap ´e calculado da seguinte forma: Indext= X i QiPi,t em que Qi = M Ci,t−1 P jM Cj,t−1 · Indext−1 ! · 1 Pi,t−1

e M Ci,t = OSi,t· Pi,t

onde t ´e uma data qualquer de repondera¸c˜ao, Pi,t ´e o pre¸co da a¸c˜ao i na data t e

OSi,t é o número de a¸c˜oes i em circula¸cão na data t - outstanding shares.

Além de serem eficientes sob as condi¸cões previstas pelo CAPM, ´ındices ponderados por market cap apresentam propriedades desejadas como a alta liquidez, fácil replica¸cão e baixos custos de transa¸cão. A alta liquidez é justificada em fun¸cão da atribui¸cão de pesos maiores para empresas com maior valor de mercado e que também tendem a ser mais l´ıquidas, ao passo que a relativa simplicidade da fórmula para o cálculo dos

(43)

pesos torna a replica¸cão fácil por parte dos investidores. Além disso, como ´ındices desse tipo não são rebalanceados para corrigir flutua¸cões no pre¸co, eles tendem a apresentar menores custos de transa¸cão do que outros ´ındices cujos pesos são independentes dos pre¸cos das a¸cões. Hsu (2006) e Plyakha et al. (2012), no entanto, argumentam que essa ausência de corre¸cão das flutua¸cões nos pre¸cos dos ativos tem efeitos indesejados, pois gera um viés negativo na performance desses ´ındices, uma vez que tendem a dar pesos maiores para empresas sobrevalorizadas, cujos pre¸cos tendem a cair no futuro. Defensor da pondera¸cão por market cap, Perold (2007) rebate esse argumento afirmando que utilizar essa metodologia na constru¸cão de um portfolio não altera a probabilidade de que uma a¸cão esteja sobrevalorizada ou subvalorizada. Nesse caso, a no¸cão de que esse estratégia de pondera¸cão tenha um viés negativo seria falsa.

A.2

Pre¸

cos

O método de pondera¸cão por pre¸cos dos ativos atrela o impacto de uma varia¸cão de pre¸co de um ativo sobre o portfolio ao valor nominal desse ativo. Para exemplificar, consideremos um portfolio com apenas duas a¸cões, A e B. Se o pre¸co da a¸cão A é $90 e o pre¸co da a¸cão B é $10, então o peso da a¸cão A no portfolio será 90% e o da a¸cão B será 10%. Nesse caso, a empresa com maior pre¸co da a¸cão será sempre a com maior peso no portfolio, mesmo que seja a empresa com menor valor de mercado. Isso ocorre pois nessa metodologia os pesos dependem apenas do valor nominal das a¸cões e não do valor de mercado das empresas.

Muito mais simples que um ponderado por market cap, um ´ındice ponderado por pre¸cos ´e calculado da seguinte forma:

Indext=

P

iPi,t

N

onde Pi,t é o pre¸co da a¸c˜ao i na data t e N ´e o número de a¸cões que compõem o ´ındice.

A principal vantagem da pondera¸cão por pre¸cos é a não necessidade de repondera¸cões e, consequentemente, custos de transa¸cão praticamente nulos. Apesar de ainda ser adotada por alguns ´ındices, como o Dow Jones e o Nikkei 225, essa metodologia não é

(44)

mais tão utilizada. Isso se dá porque um ´ındice que utiliza esse método está vulnerável a grandes distor¸cões causadas pelas diferen¸cas nos valores nominais das a¸cões, que dificilmente têm correla¸cão com as diferen¸cas de representatividade das empresas no mercado acionário - o que, em geral, um ´ındice utilizado como benchmark busca refletir.

A.3

Pesos Iguais

Classificada como uma estratégia ingênua por Benartzi and Thaler (2001) por seu caráter heur´ıstico, a metodologia de pesos iguais para diferentes ativos dentro de um portfolio é possivelmente uma das mais utilizadas na prática, especialmente por investi-dores inexperientes. A ideia por trás desse tipo de pondera¸cão é garantir que varia¸cões equivalentes nos pre¸cos de ativos distintos tenham impacto igual na carteira de um investidor. Assim, em um portfolio composto por n a¸c˜oes, será atribu´ıdo a cada uma delas peso _n1.

A constru¸cão de um ´ındice de a¸cões com pesos iguais para cada uma delas segue a seguinte fórmula: Indext= X i QiPi,t em que Qi = ₁ N · Indext−1 · 1 Pi,t−1

onde t ´e uma data qualquer de repondera¸c˜ao, Pi,t ´e o pre¸co da a¸c˜ao i na data t e N ´e

o número de a¸cões que compõem o ´ındice.

O método de atribuir pesos iguais para cada ativo presente no portfolio é eficiente em um cenário em que prever retorno e risco seja imposs´ıvel e que não haja qualquer consenso entre os investidores. Essa propriedade contrasta essa forma de pondera¸cão com a metodologia de pondera¸cão por market cap, que é ótima em um contexto de mer-cado informacionalmente eficiente. Além disso, nesse caso, as repondera¸cões tendem a corrigir flutua¸cões de pre¸cos, evitando que sejam atribu´ıdos pesos maiores para ativos

(45)

potencialmente sobrevalorizados ou pesos menores para ativos potencialmente subval-orizados. Dessa forma, não haveria o mesmo viés negativo na performance que há nos portolios e ´ındices que seguem a pondera¸cão por market cap, de acordo com a literatura.

Arnott et al. (2010) e Demey et al. (2010) encontram evidências de que portfo-lios ponderados de forma igualitária tendem a apresentar performances superiores a portfolios ponderados por market cap. Por outro lado, esses mesmos estudos argumen-tam que essa metodologia requer maior volume de opera¸cões, gerando potencialmente maiores custos de transa¸cão, o que eventualmente poderia anular ou até mesmo reverter a diferen¸ca de resultado entre os portfolios. Em outro estudo de compara¸cão de ´ındices, DeMiguel et al. (2009) identificam performances melhores em ´ındices que atribuem pesos iguais às a¸cões que os compõem quando comparados a ´ındices que seguem outras metodologias, como a de m´ınima variância, que será explicada adiante.

A.4

Fundamentos

A metodologia de pondera¸cão de portfolios por fundamentos consiste em utilizar indicadores econômicos e contábeis como medidas de tamanho e importância relativa das empresas. Dentre os indicadores utilizados pela literatura est˜ao: dividendos, book

value, fluxos de caixa, receitas, emprego, etc. A utiliza¸c˜ao de um ou de uma combina¸cão desses indicadores permite que o portfolio em questão seja composto por empresas de relativa relevância no mercado acionário sem que os pesos atribu´ıdos a essas empresas estejam sujeitos a ru´ıdos nos pre¸cos das a¸cões.

Um ´ındice ponderado por fundamentos segue uma f´ormula semelhante `a dos pon-derados por market cap:

Indext= X i QiPi,t em que Qi = Fi,t−1 P jFj,t−1 · Indext−1 ! · 1 Pi,t−1

(46)

onde t ´e uma data qualquer de repondera¸c˜ao, Pi,t ´e o pre¸co da a¸c˜ao i na data t e Fi,t

´e o indicador ou a combina¸c˜ao de indicadores referente a empresa i na data t.

Utilizada inicialmente por algumas institui¸cões financeiras em alguns de seus ´ındices próprios, essa metodologia passou a ser mais explorada pela literatura na última década. Arnott et al. (2005) popularizaram o termo fundamental indexation e encontram evidências de que a pondera¸cão por fundamentos apresenta retornos maiores e volatil-idades menores do que a usual pondera¸cão por market cap. Estrada (2008) obtém resultados semelhantes e argumenta ainda que essa metodologia permite a manuten¸cão da correla¸cão entre pesos e liquidez, umas das principais vantagens da pondera¸cão por market cap quando comparada a outras formas de pondera¸cão. Adicionalmente, as-sim como o método de atribuir pesos iguais para diferentes ativos, a pondera¸cão por fundamentos também garante que os pesos sejam independentes de eventuais ru´ıdos nos pre¸cos, evitando o poss´ıvel viés negativo atribu´ıdo à pondera¸cão por market cap. Por outro lado, Perold (2007) rebate os defensores da pondera¸cão por fundamentos e argumenta que essa metodologia é uma estratégia de sele¸cão ativa complexa e que investidores que não tenham experiência com análise do mercado acionário devem con-tinuar seguindo a pondera¸cão por market cap.

A.5

Metodologias de Otimiza¸

c˜

ao

A.5.1 M´ınima Variˆancia

A estratégia de atribuir pesos aos ativos de forma a minimizar a variância do portfolio é ótima em um contexto em que todos os ativos da carteira apresentem os mesmo re-tornos esperados. Ainda que essa hipótese não seja realista, Haugen and Baker (1991) e Clarke et al. (2006) encontram evidências de que essa metodologia pode produzir retornos superiores e volatilidades inferiores aos gerados pela pondera¸cão por market cap. Em compensa¸cão, em geral, essa estratégia tende a gerar portfolios com pouca diversifica¸cão e muito concentrados em um número pequeno de ativos.

Essa estratégia requer a estima¸cão da matriz de covariância dos retornos de todos os ativos no portfolio e segue a seguinte fórmula:

(47)

ω∗ = arg min ω ω T_{Σ ω} s.a N X i=1 ωi = 1 0 ≤ ωi ≤ 1

onde ω ´e a matriz de pesos e Σ ´e a matriz de covariˆancia dos retornos dos ativos.

A.5.2 M´aximo ´Indice de Sharpe

Diversas metodologias são apresentadas como eficientes sob um determinado conjunto de premissas. Essas hipóteses, em geral, são sempre muito restritivas e não refletem o mundo real. Usando esse argumento, Choueifaty and Coignard (2008) propõem um método que visa utilizar informa¸cões sobre retornos futuros de a¸cões para construir um portfolio que atinja o m´aximo ´ındice de Sharpe poss´ıvel ex-ante, supondo apenas uma rela¸cão linear entre o prêmio esperado pela a¸cão e a volatilidade dos seus retornos -E [Ri] − Rf = γσi, ∀i.

Nesse caso, a estrat´egia segue o seguinte problema de otimiza¸c˜ao restrita:

ω∗ = arg max ω ωT_σ_ˆ q ωT_{Σ ω}ˆ s.a N X i=1 ωi = 1 0 ≤ ωi ≤ 1, ∀i

onde ω ´e a matriz de pesos, ˆσ ´e o vetor de volatilidade estimada dos retornos e ˆΣ ´e a matriz de covariˆancia estimada dos retornos dos ativos.

(48)

A.6

Contribui¸

c˜

oes de Risco Iguais

A estratégia de atribuir pesos aos ativos de forma a minimizar a variância do port-folio leva a carteiras pouco diversificadas e alguns estudos como Booth e Fama (1992) e Fernholtz et al. (1998) mostram que a diversifica¸cão tende a gerar retornos maiores para os investidores. Nesse contexto, alguns estudos como Neukirch (2008) e Maillard et al. (2010) exploram a metodologia de igualdade entre as contribui¸cões de risco dos ativos ao portfolio, bem mais complexa que as anteriores. Essa estratégia garante que todos ativos tenham o mesmo impacto sobre o risco total da carteira e tem a vantagem de gerar efeito semelhante à metodologia de pesos iguais em termos de diversifica¸cão, ao mesmo tempo que leva em conta as contribui¸cões de risco individuais e conjuntas de cada ativo. De forma geral, quanto maior a volatilidade do ativo, menor será o seu peso.

A constru¸cão de um portfolio que segue essa estratégia passa pela seguinte condi¸cão:

ωi ∂σ (ω) ∂ωi = ωj ∂σ (ω) ∂ωj , ∀i, j em que σ (ω) = √ωT_{Σ ω =} N X i=1 ωi ∂σ (ω) ∂ωi = N X i=1 RCi

onde ω é a matriz de pesos, σ ´e a volatilidade do portfolio, e Σ é a matriz de covariˆancia dos retornos dos ativos e RCi é a contribui¸c˜ao de risco do ativo i para o