Os Benefícios da Diversificação Internacional da Integração dos Mercados de Capitais no Contexto de uma Estrutura Multilateral dos Retornos

(1)

Mestrado em Ciências Empresariais – Especialização em Finanças

OS BENEFÍCIOS DA DIVERSIFICAÇÃO INTERNACIONAL E A EXTENSÃO DA INTEGRAÇÃO DOS MERCADOS DE CAPITAIS NO CONTEXTO DE UMA

ESTRUTURA MULTILATERAL DOS RETORNOS

por

Raul Manuel da Costa Vieira

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Ciências Empresariais com especialização

em Finanças pela Faculdade de Economia da Universidade do Porto

Orientado pela

Profª. Doutora Ana Paula Serra

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NOTA BIOGRÁFICA

Raul Manuel da Costa Vieira nasceu a 30 de Maio de 1978 no distrito de Viseu. Em 2001 licenciou-se em Economia pela Faculdade de Economia da Universidade do Porto. Concluiu, na mesma Faculdade, a parte lectiva do mestrado em Ciências Empresariais, especialização em Finanças, em 2006. Iniciou a sua actividade profissional a partir de 2001 e desde então tem desempenhado funções na área da Auditoria Financeira.

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AGRADECIMENTOS

À minha orientadora, pela disponibilidade e empenho, pela paciência, pela profundidade dos seus comentários e pela atitude pedagógica.

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ÍNDICE Nota Biográfica___________________________________________________________ I Agradecimentos__________________________________________________________ II Lista de Tabelas__________________________________________________________IV Lista de Figuras _________________________________________________________ V Lista de Apêndices________________________________________________________VI Glossário ______________________________________________________________ VII Resumo _______________________________________________________________ XV Abstract_______________________________________________________________XVI 1 – Introdução _________________________________________________________1 2 – Benefícios da Diversificação Internacional e o Grau de Segmentação _________9 2.1 – Segmentação e Integração Perfeitas ________________________________12 2.2 - Transição entre Segmentação Parcial e Integração Perfeita_____________24 2.2.1 – Modelo E-L1________________________________________________25 2.2.2 – Modelo E-L2________________________________________________33 3 – Metodologia Empírica _______________________________________________49 3.1 – Especificação do Modelo Empírico _________________________________49 3.2 – Abordagem de Estimação ________________________________________52 3.3 – Medida dos Benefícios de Diversificação ____________________________58 3.4 – Dados _________________________________________________________59 4 - Resultados _________________________________________________________63 5 – Conclusões e Limitações do Estudo Empírico____________________________81 Referências ____________________________________________________________108

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(7)

(8)

GLOSSÁRIO

* – Produto de Hadamard (elemento a elemento) entre matrizes.

A – Coeficiente de Arrow-Pratt de aversão absoluta agregada da totalidade dos investidores, incluindo, no caso do modelo E-L1, investidores restringidos e não restringidos e, no caso do modelo E-L2, os investidores restringidos ao mercado central e os investidores com acesso exclusivo a cada um dos N segmentos periféricos.

a – Vector de coeficientes do modelo GARCH que traduz a resposta das variâncias condicionais aos choques ocorridos no período t-1.

0

A – Coeficiente de Arrow-Pratt de aversão absoluta agregada dos investidores restringidos ao mercado central, no modelo E-L2.

1

A – Coeficiente de Arrow-Pratt de aversão absoluta agregada dos investidores não restringidos, no caso do modelo E-L1.

2

A – Coeficiente de Arrow-Pratt de aversão absoluta agregada dos investidores restringidos, no caso do modelo E-L1.

I

A – Coeficiente de Arrow-Pratt de aversão absoluta agregada dos investidores com acesso exclusivo ao I-ésimo segmento periférico, no modelo E-L2.

k

a – Coeficiente de Arrow-Pratt de aversão absoluta ao risco do investidor k. AAR– Aversão absoluta ao risco.

ARR– Aversão relativa ao risco.

b – Vector de coeficientes do modelo GARCH que traduz a resposta das variâncias condicionais à componente autoregressiva no período t-1.

C – Coeficiente de Arrow-Pratt de aversão relativa do investidor representativo global. CAPM– “Capital Asset Pricing Model”.

c – Vector de coeficientes do modelo GARCH que traduz a resposta das variâncias condicionais aos choques ocorridos no período t-2.

c – Valor de mercado (constante) da carteira M₁h na situação em que a carteira _Ms 1

replica na perfeição a carteira M₁.

1

C – Coeficiente de Arrow-Pratt de aversão relativa do investidor não restringido

representativo, no modelo E-L1.

2

C – Coeficiente de Arrow-Pratt de aversão relativa do investidor restringido

representativo, no modelo E-L1.

I

C – Coeficiente de Arrow-Pratt de aversão relativa do investidor representativo com

acesso exclusivo ao I-ésimo segmento periférico, no modelo E-L2.

J

c – Valor de mercado (constante) da carteira MJh

(

J =1,...,N

)

, na situação em que a

carteira s J

M replica na perfeição a carteira M_J.

k

c – Coeficiente de Arrow-Pratt de aversão relativa ao risco do investidor k. Cov – Covariância incondicional.

(9)

t

Cov – Covariância condicional.

d Vector de coeficientes do modelo GARCH que traduz a resposta das variâncias condicionais aos choques ocorridos no período t-5.

dt – Período de tempo infinitesimal.

e Vector de coeficientes do modelo GARCH que traduz a resposta das variâncias condicionais aos choques ocorridos no período t-7.

( )

⋅

E – Operador Valor Esperado.

I

EQC0 – Equivalente Certo da riqueza agregada dos investidores restringidos ao mercado

central, no modelo E-L2, na situação de integração perfeita.

I

EQC₁ – Equivalente Certo da riqueza agregada dos investidores não restringidos, no

modelo E-L1, na situação de integração perfeita.

I

EQC₂ – Equivalente Certo da riqueza agregada dos investidores restringidos, no modelo

E-L1, na situação de integração perfeita.

I I

EQC – Equivalente Certo da riqueza agregada dos investidores com acesso exclusivo ao I-ésimo segmento periférico, no modelo E-L2, na situação de integração perfeita.

S

modelo E-L1, na situação de segmentação perfeita.

S

E-L1, na situação de segmentação perfeita.

SP

EQC₀ – Equivalente Certo da riqueza agregada dos investidores restringidos ao mercado central, no modelo E-L2, na situação de segmentação parcial.

SP

modelo E-L1, na situação de segmentação parcial.

SP

E-L1, na situação de segmentação parcial.

SP I

EQC – Equivalente Certo da riqueza agregada dos investidores com acesso exclusivo ao I-ésimo segmento periférico, no modelo E-L2, na situação de segmentação parcial.

( )

⋅

−1 t

E – Operador Valor Esperado Condicional (na informação disponível até t-1).

0

H – Matriz de variâncias e covariâncias incondicionais dos retornos r~_It, s It r~ e s

t r~ no caso do modelo E-L2 e dos retornos r~It,

s It

r~ e r~t no caso do modelo E-L1. t

H – Matriz de variâncias e covariâncias condicionais dos retornos r~_It, s It r~ e s

t

r~ , no caso do modelo E-L2, e dos retornos r~It,

s It

r~ e r~t, no caso do modelo E-L1.

K – Número global de investidores, no caso do modelo E-L1, investidores restringidos e não restringidos e, no caso do modelo E-L2, os investidores restringidos ao mercado central e os investidores com acesso exclusivo a cada um dos N segmentos periféricos.

0

K – Número de investidores restringidos ao mercado central, no modelo E-L2.

1

K – Número de investidores não restringidos, no modelo E-L1.

2

(10)

I

K – Número de investidores com acesso exclusivo ao I-ésimo segmento periférico, no modelo E-L2.

I

k – Vector dos coeficientes associados às variáveis instrumentais locais.

W

k – Vector dos coeficientes associados às variáveis instrumentais globais.

M – Capitalização bolsista corrente do mercado global, na situação de integração perfeita. A notação M também é usada para designar a própria carteira representativa do mercado global.

'

M – Capitalização bolsista corrente do mercado global, na situação de segmentação

total.

''

M – Capitalização bolsista corrente do mercado global, na situação de segmentação

parcial.

0

M – Capitalização bolsista corrente da carteira representativa do mercado central, no modelo E-L2, na situação de integração perfeita. A notação M₀ também é usada para designar a própria carteira representativa do mercado central.

1

M – Capitalização bolsista corrente do mercado 1, no modelo E-L1, na situação de

integração perfeita. A notação M₁ também é usada para designar a própria carteira representativa do mercado 1.

2

integração perfeita. A notação M₂ também é usada para designar a própria carteira representativa do mercado 2.

´´ 0

M – Capitalização bolsista corrente do mercado central, no modelo E-L2, na situação de

segmentação parcial.

´´ 1

´´ 2

´ 0

M – Capitalização bolsista corrente do mercado central, no modelo E-L2, na situação de

segmentação total.

´ 1

´ 2

h

M – Capitalização bolsista (virtual) corrente da carteira constituída por uma posição

longa na carteira M e uma posição curta na carteira _Ms_{. A notação}_Mh_{é também}

usada para designar a própria carteira constituída daquela forma.

h

M₁ – Capitalização bolsista (virtual) corrente da carteira constituída por uma posição

longa na carteira M₁ e uma posição curta na carteira _Ms 1 . h

I

M – Capitalização bolsista (virtual) corrente da carteira constituída por uma posição

longa na carteira M_I e uma posição curta na carteira s I

M . A notação h I

M é também usada para designar a própria carteira constituída daquela forma.

I

M – Capitalização bolsista corrente do I-ésimo segmento periférico, no modelo E-L2 na situação de integração perfeita.

(11)

' I

M – Capitalização bolsista corrente do I-ésimo segmento periférico, no modelo E-L2, na

situação de segmentação total.

'' I

M – Capitalização bolsista corrente do I-ésimo segmento periférico, no modelo E-L2, na

situação de segmentação parcial.

s

M – Capitalização bolsista (virtual) corrente da “carteira de diversificação” composta por

activos do mercado central que melhor replica a capitalização do mercado global. A notação s

M é usada para designar a própria “carteira de diversificação”.

s

M₁ – Capitalização bolsista corrente da “carteira de diversificação” composta por activos

do mercado 2 que melhor replica a capitalização do mercado 1. A notação s

M₁ é usada para designar a própria “carteira de diversificação”.

s I

M – Capitalização bolsista (virtual) corrente da “carteira de diversificação” composta por

activos do mercado central que melhor replica a capitalização do I-ésimo segmento periférico. A notação s

I

M é usada para designar a própria “carteira de diversificação”.

M – Capitalização bolsista esperada do mercado global, no final do horizonte de investimento.

0

M – Capitalização bolsista esperada do mercado central, no modelo E-L2, no final do

horizonte de investimento.

1

M – Capitalização bolsista esperada do mercado 1, no modelo E-L1, no final do

2

M – Capitalização bolsista esperada do mercado 2, no modelo E-L1, no final do

I

M – Capitalização bolsista esperada do I-ésimo segmento periférico, no modelo E-L2, no

final do horizonte de investimento.

M – Vector que traduz a composição da carteira M.

0

M – Vector que traduz a composição da carteira M₀.

1

M – Vector que traduz a composição da carteira M₁.

2

M – Vector que traduz a composição da carteira M₂.

I

M – Vector que traduz a composição da carteira MI. s

M – Vector que traduz a composição da carteira Ms.

s

M₁ – Vector que traduz a composição da carteira _Ms 1 . s

I

M – Vector que traduz a composição da carteira MIs. 0

~

M – Vector das capitalizações bolsistas dos activos com risco do mercado central no final do horizonte de investimento.

s

M~ – Vector das capitalizações bolsistas que compõem a carteiraMs.

s I

M~ – Vector das capitalizações bolsistas que compõem a carteira MIs. 0

~

M – Capitalização bolsista da carteira M0, no final do horizonte de investimento. 1

~

M – Capitalização bolsista da carteira M1, no final do horizonte de investimento. 2

~

(12)

h

M~ – Capitalização bolsista (virtual) da carteira Mh, no final do horizonte de investimento.

h

M~₁ – Capitalização bolsista (virtual) da carteira M₁h, no final do horizonte de investimento.

h I

M~ – Capitalização bolsista (virtual) da carteira MIh, no final do horizonte de

investimento.

h J

M~ – Capitalização bolsista (virtual) da carteira MJh, no final do horizonte de

investimento.

s

M~ – Capitalização bolsista (virtual) da carteira Ms, no final do horizonte de investimento.

s M1

~ _{– Capitalização bolsista (virtual) da carteira} _Ms

1, no final do horizonte de

investimento.

s I

M~ – Capitalização bolsista (virtual) da carteira MIs, no final do horizonte de

investimento.

N – Número de segmentos periféricos. No caso do modelo E-L1, há apenas um segmento periférico, que corresponde ao mercado 1.

0

~

P – Vector dos preços correntes dos activos que compõem o mercado central, no modelo E-L2, no final do horizonte de investimento.

2

~

P – Vector dos preços correntes dos activos com risco que compõem o mercado 2, no modelo E-L1, no final do horizonte de investimento.

i

P~ – Preço do i-ésimo activo com risco no final do horizonte de investimento. No caso do

modelo E-L1, i pode designar um activo elegível ou não elegível, enquanto que no modelo E-L2, i pode designar um activo pertencente a qualquer dos segmentos periféricos ou ao mercado central.

i

P – Preço corrente do i-ésimo activo com risco.

i

P – Preço esperado do i-ésimo activo com risco no final do horizonte de investimento.

R – Valor igual a um mais a taxa de juro isenta de risco. RS Rácio de Sharpe.

R~ – Retorno do mercado global.

0 ~ R – Retorno da carteira M0. 1 ~ R – Retorno da carteira M1. h R~ – Retorno da carteira Mh. h R~₁ – Retorno da carteira _Mh 1 . h I R~ – Retorno da carteira MIh. h J R~ – Retorno da carteira MJh

(

J =1,...,N

)

. I R~ – Retorno da carteira MI. s R~ – Retorno da carteira Ms. s R~₁ – Retorno da carteira M₁s. s I R~ – Retorno da carteira MIs.

(13)

s J

R~ – Retorno da carteira MJs

(

J =1,...,N

)

. f

R – Taxa de juro isenta de risco. i

R~ – Retorno do i-ésimo activo com risco.

t MSCI

R _, – Retorno do índice mundial da MSCI.

t e t

e R

R₁_,..., ₂₄_, – Retornos dos 24 índices industriais globais da MSCI.

t MNC t

MNC R

R ₁_, ..., ₂₀_, – Retornos das 20 multinacionais norte-americanas.

CF t

CF R

R ₁_, ,..., ₈– Retorno dos fundos-país.

t ADR t ADR t ADR R R

R ₁_, , ₂_, , ₃_, – Retorno dos ADRs.

It

r~ – Retorno da carteira MI, no momento t, em excesso da taxa isenta de risco. s

It

r~ – Retorno da carteira s I

M , no momento t, em excesso da taxa isenta de risco.

s t

r~ – Retorno da carteira _Ms_{, no momento t, em excesso da taxa isenta de risco.} t

r~ – Retorno da carteira M, no momento t, em excesso da taxa isenta de risco.

s – Número de activos com risco no mercado global.

1

s – Número de activos com risco no mercado 1, no modelo E-L1.

2

s – Número de activos com risco no mercado 2, no modelo E-L1.

T – Número de observações utilizadas na estimação dos modelos E-L1 e E-L2.

( )

⋅

U – Função utilidade .

( )

⋅

´

U – Primeira derivada da função utilidade.

( )

⋅

´´

U – Segunda derivada da função utilidade.

Var – Variância incondicional.

t

Var – Variância condicional.

dt t

W0,+

~ _{– Riqueza agregada dos investidores restringidos ao mercado central, no modelo} E-L2, no final do horizonte de investimento.

1

~

dt t

W₊ – Riqueza agregada dos investidores não restringidos, no modelo E-L1, no final

do horizonte de investimento.

2

~

dt t

W₊ – Riqueza agregada dos investidores restringidos, no modelo E-L1, no final do

I dt t

W+

~ _{– Riqueza agregada dos investidores com acesso exclusivo ao I-ésimo segmento} periférico, no modelo E-L2, no final do horizonte de investimento.

dt t k

W~_,₊ – Riqueza do investidor k, no final do horizonte de investimento.

0 t

W – Riqueza agregada dos investidores restringidos ao mercado central, no modelo E-L2, no início do horizonte de investimento.

(14)

1 t

W – Riqueza agregada dos investidores não restringidos, no modelo E-L1, no início do horizonte de investimento.

I t

W – Riqueza agregada dos investidores com acesso exclusivo ao I-ésimo segmento periférico, no modelo E-L1, no início do horizonte de investimento.

t k

W _, – Riqueza do investidor k, no momento t (início do horizonte de investimento).

x – Vector de variáveis que traduzem todas as composições possíveis para a carteira _Ms 1

ou s I

M , consoante se trate, respectivamente, do modelo E-L1 ou E-L2. y~ – Processo puramente aleatório.

z – Processo estocástico de Wiener.

I

Z – Vector de variáveis instrumentais locais.

1 , −t I

Z – Vector das realizações das variáveis instrumentais locais no período t-1.

W

Z – Vector de variáveis instrumentais globais.

1 , −t W

Z – Vector das realizações das variáveis instrumentais globais no período t-1.

α – Rácio entre a capitalização dos activos com risco e a capitalização da totalidade dos activos.

i

α – Rácio entre o valor de mercado total do activo com risco i e o valor total de mercado

de todos os activos com risco.

0 0

α – Proporção do mercado central detida pela totalidade dos investidores restringidos ao mercado central, no modelo E-L2.

1 1

α – Proporção do mercado 1 detida pela totalidade dos investidores do mercado 1, no

modelo E-L1.

1 2

modelo E-L1.

1 k

α – Proporção do mercado 1 detida pelo investidor k.

2 1

modelo E-L1.

2 2

modelo E-L1.

2 k

α – Proporção do mercado 2 detida pelo investidor k, no modelo E-L1.

fk

α – Proporção da riqueza investida no activo sem risco pelo investidor k.

I I

α – Proporção do I-ésimo segmento periférico detida pela totalidade dos investidores

com acesso exclusivo ao I-ésimo segmento, no modelo E-L2.

ik

α – Proporção da riqueza investida no i-ésimo activo com risco pelo investidor k.

J 0

α – Proporção do J-ésimo segmento periférico

(

J =1,...,N

)

detida pela totalidade dos investidores restringidos ao mercado central, no modelo E-L2.

J I

α – Proporção do J-ésimo segmento periférico

(

J =1,...,N

)

detida pela totalidade dos investidores com acesso exclusivo ao I-ésimo segmento

(

J =1,...,N

)

e J ≠I, no modelo E-L2.

1

(15)

estão restringidos ao mercado 1, relativamente à riqueza global mundial.

2

Γ – Peso da riqueza agregada dos investidores que, na situação de segmentação total, estão restringidos ao mercado 2, relativamente à riqueza global mundial.

k

γ – Riqueza relativa do indivíduo k, i.e., o quociente entre W_k e

∑

k k

W . δ – Preço do risco global na especificação com preços constantes.

t

δ – Preço do risco global na especificação com preços variáveis.

t

ε – Vector dos erros de previsão no sistema de equações do modelo com preços

constantes.

t

η – Vector dos erros de previsão no sistema de equações do modelo com preços

variáveis.

θ – Vector de parâmetros do modelo econométrico. ι – Vector cujos elementos são todos iguais a 1.

Í

λ – Preço do risco local na especificação com preços constantes.

Ít

λ – Preço do risco local na especificação com preços variáveis.

2 ,e I

ρ – Coeficiente de correlação linear entre o retorno da carteira MI e a carteira s I

M .

2 m

σ – Variância do retorno da carteira do mercado global.

i

σ – Desvio padrão do retorno do i-ésimo activo com risco.

ij

σ – Covariância entre os retornos dos i-ésimo e j-ésimo activos com risco.

im

σ – Covariância entre o retorno do i-ésimo activo com risco e o retorno da carteira do

mercado global.

1 −

(16)

RESUMO

Neste trabalho avaliamos os benefícios da integração dos mercados financeiros na perspectiva dos investidores, no contexto de um modelo internacional de avaliação de activos financeiros que contempla situações de integração parcial e que incorpora a estrutura multilateral dos retornos. Para isso, estimamos um modelo GARCH-M para uma amostra de oito mercados emergentes, para o período 1976-2005. Encontramos evidência forte de que o grau de integração da generalidade dos mercados se aprofundou significativamente durante a segunda metade dos anos 90, quando os processos de liberalização já tinham sido iniciados em todos os países estudados. Medimos também os benefícios da diversificação internacional, numa perspectiva de bem-estar, através da variação do equivalente certo de uma função utilidade exponencial. Concluímos que, no final do período em análise, os benefícios para os investidores já tinham sido quase totalmente aproveitados.

(17)

THE BENEFITS OF INTERNATIONAL DIVERSIFICATION AND THE DEGREE OF CAPITAL MARKET INTEGRATION IN THE CONTEXT OF THE

MULTILATERAL STRUCTURE OF RETURNS

ABSTRACT

We assess the benefits to investors resulting from the integration of international capital markets, using an international asset pricing model that assumes mild segmentation and captures the multilateral structure of market returns. We test a GARCH-M parameterization for a sample composed of eight emerging markets over the period 1976-2005. The evidence strongly suggests that, in these markets, there was a significant increase in the degree of integration in the mid “90´s”. By then, all countries had already started their liberalization processes. The welfare effects of international diversification are measured by the change in the certainty equivalent wealth of an exponential utility function. We conclude that, by the end of the period analysed, investors had reaped most of the benefits from international diversification.

(18)

1 – Introdução

O argumento básico para os benefícios associados à diversificação internacional das carteiras de activos financeiros assenta na correlação imperfeita dos retornos dos activos internacionais. Assim, por exemplo, se os retornos em dois mercados diferentes têm médias e desvios padrões idênticos, mas não estão perfeitamente (positivamente) correlacionados, então uma carteira diversificada internacionalmente permite atingir o mesmo retorno médio, mas uma volatilidade inferior à de uma carteira não diversificada. Este argumento, que recebeu bastante atenção na literatura, deu origem a uma série de trabalhos, no contexto da abordagem média-variância de Markowitz e Tobin1, incluindo Grubel (1968) e Levy e Sarnat (1970) que demonstraram que carteiras eficientes, diversificadas internacionalmente,

i.e., construídas com as médias e desvios padrões dos retornos “ex-post” de índices nacionais, dominam os resultados obtidos com as carteiras investidas em mercados nacionais. Além disso, Solnik (1974c) demonstrou que ganhos adicionais em termos de redução da variância se podiam obter com um número relativamente pequeno de activos.

Outro método para evidenciar o potencial da diversificação internacional na redução do risco recorre a regressões dos retornos dos activos individuais, ou dos mercados nacionais, sobre o retorno de um índice do mercado mundial. Esta é a via seguida por autores como Agmon (1972), Solnik (1974b) e Lessard (1976). Nos testes realizados por estes autores a qualidade dos ajustamentos é relativamente fraca, equivalendo a uma elevada proporção da variância dos retornos não explicada. A dimensão das variâncias residuais em qualquer destas regressões sugeria, pois, a existência de amplas possibilidades de redução do risco através da diversificação.

Adler e Dumas (1983) apontam várias limitações a este tipo de análise. A principal limitação, reside, segundo eles, na escolha do índice ou índices a utilizar nas regressões. O argumento é que, enquanto no contexto de um mercado nacional é legítimo interpretar a variância residual das regressões dos retornos dos activos individuais sobre o retorno de

(19)

uma carteira eficiente (coincidente com a carteira de mercado, no caso em que a maioria dos investidores diversifica) como risco diversificável, tal não acontece no contexto internacional, em virtude da presença do risco de câmbio. Se o risco de câmbio não for meramente nominal, então (e assumindo mercados perfeitos) teremos uma situação em que os investidores enfrentam o mesmo conjunto de oportunidades de investimento (porque se assume não existirem barreiras ao investimento internacional) mas diferem no conjunto de oportunidades de consumo em função da sua localização geográfica. De facto, os desvios à Paridade dos Poderes de Compra (PPC) fazem com que investidores em países diferentes avaliem de forma diversa os retornos reais dos mesmos activos e desejem, consequentemente, deter carteiras com composições distintas2. Dado que a evidência empírica revela que os desvios em relação à PPC são a regra (ver Adler e Dumas (1983) para um resumo da literatura), então, ao contrário do que se passava no contexto doméstico, os investidores, num contexto internacional, diferem no conceito de “carteira eficiente” (excepto se tiverem funções utilidade logarítmicas) e nada implica que, em equilíbrio, a carteira de mercado seja eficiente e sirva como referência para a avaliação. Portanto, Adler e Dumas (1983) argumentam que, mesmo assumindo um mundo com mercados financeiros perfeitos, o exercício descrito acima não pode servir de base para avaliar os benefícios da diversificação internacional.

Uma outra abordagem aos benefícios da diversificação internacional passa por comparar a diversificação com índices nacionais e com índices industriais globais (ver, por exemplo, Griffin e Karolyi (1998), Roll (1992) e Heston e Rouwenhorst (1994)). A intuição subjacente a estes estudos é que, se a variação dos retornos dos índices nacionais se dever sobretudo à diferença de estruturas industriais entre os países e, se a representação dos vários países em cada indústria não contribuir significativamente para explicar a variação dos retornos dos índices industriais globais, então o “factor-indústria” é mais relevante do que o “factor-país” e a diversificação por indústrias deverá proporcionar mais benefícios que a diversificação por países. Pelo contrário, se a diferença das estruturas industriais for

1_{O paradigma média-variância formulado por Markowitz (1952) e Tobin (1956) constituiu o ponto de partida}

para o modelo do equilíbrio dos mercados de activos financeiros de Sharpe (1964) e Lintner (1965b).

2_{Ver Karolyi e Stulz (2002) para uma discussão sobre o impacto do risco de câmbio no equilíbrio dos}

(20)

irrelevante para explicar a variação dos índices nacionais e se a variação dos índices industriais globais for sobretudo explicada pela representação dos países em cada indústria, o “factor-país” é o mais importante e a diversificação deveria ser efectuada por países. No contexto de um CAPM (“Capital Asset Pricing Model”) internacional com mercados perfeitos e ausência de risco de câmbio, em que o índice mundial é usado como referência para a avaliação dos activos, o único factor relevante é o mercado mundial, pelo que, como referido por Adler e Dumas (1983), a introdução de variáveis adicionais nas regressões referidas acima, para reflectir os factores “país” e “indústria” (tais como os resíduos das regressões dos índices nacionais ou dos índices industriais globais sobre o índice mundial) não dão qualquer informação sobre os benefícios relativos da diversificação por países ou por indústrias, uma vez que esses factores não influenciam os retornos de forma sistemática.

Por outro lado, se existirem barreiras ao investimento internacional e, consequentemente, os mercados não puderem ser caracterizados como perfeitos, então, mesmo que todos os investidores avaliem da mesma forma os retornos reais de todos os activos (i.e., se PPC se verificar), alguns deles estarão impedidos de adquirir a carteira representativa do mercado mundial. Neste caso, as regressões referidas acima também não servem para avaliar os benefícios da diversificação internacional, porque a dimensão das variâncias residuais indica apenas um alargamento do conjunto de oportunidades de investimento na transição entre as situações de segmentação e de integração do mercado mundial e, para além deste efeito, há também uma alteração do valor dos activos que afecta os benefícios da diversificação para os investidores (ver Subrahmanyam (1975)). Por outro lado, a medida da extensão destes dois efeitos da diversificação internacional – o alargamento das oportunidades de investimento e a variação da riqueza – será diferente consoante o modelo de equilíbrio que for utilizado para caracterizar a situação de partida (segmentação).

A segmentação dos mercados internacionais também tem impacto sobre os resultados dos testes usados frequentemente para avaliar a significância estatística da alteração da fronteira eficiente das oportunidades de investimento (ver, por exemplo, Jobson e Korkie (1989) e Kan e Zhou (2000) para um resumo de várias estatísticas

(21)

propostas na literatura). Aplicados ao estudo dos benefícios da diversificação internacional, estes testes procuram determinar se a fronteira eficiente do investidor se expande ao adicionar activos dos mercados internacionais à respectiva carteira de activos domésticos. Em princípio, a fronteira eficiente desloca-se para cima e para a esquerda (no espaço média-desvio padrão), traduzindo o alargamento das oportunidades de investimento. Contudo, se os mercados forem segmentados, há, adicionalmente, o efeito riqueza associado à diversificação internacional que, como Subrahmanyam (1975) mostra, pode ser positivo ou negativo. Quando o efeito é positivo, a fronteira eficiente pode, efectivamente, deslocar-se para baixo (traduzindo uma diminuição dos retornos esperados, responsável pelo aumento dos preços dos activos) e para a esquerda (traduzindo a diminuição da variância da carteira de variância mínima, como resultado do alargamento das oportunidades de investimento). Se se rejeitar a hipótese nula de que não há uma expansão da fronteira, é importante determinar qual das situações se verificou.

A questão dos benefícios da diversificação internacional aparece, assim, relacionada com o grau de integração dos mercados. Várias abordagens têm sido seguidas para medir o grau de integração financeira. Como vimos anteriormente, uma das primeiras, e talvez mais simples, baseia-se no cálculo das correlações entre os mercados e na análise da sua evolução ao longo do tempo. A intuição por detrás desta abordagem é que, quanto mais integrados os mercados, maiores as correlações entre os retornos. É bem sabido, contudo, que correlações elevadas não são condição necessária nem suficiente para a integração dos mercados (ver Adler e Dumas (1983)). De facto, podem existir factores aleatórios nacionais que afectem especificamente a produção de um país e se reflictam nos retornos, sem que isso resulte de maior ou menor integração. Para além disso, em consequência da especialização induzida pelo comércio internacional, podem haver choques aleatórios específicos de determinadas indústrias a afectar mais uns mercados do que outros, em função do peso desses sectores em cada um deles. Dito de outra forma, se os mercados estão completamente integrados e, portanto, não existem oportunidades de arbitragem, os retornos esperados dos activos podem decompor-se numa componente sistemática e numa componente idiossincrática. Esta última pode, contudo, ser suficientemente importante de forma a fazer com que as correlações dos retornos “ex post” sejam reduzidas. Correlações

(22)

altas, portanto, não são condição necessária de integração. Por outro lado, se dois mercados totalmente segmentados têm a mesma estrutura industrial, podem muito bem apresentar correlações elevadas. Correlações altas, portanto, não são condição suficiente de integração.

Outra via para avaliar o grau de integração financeira, que é a que seguimos, consiste na análise dos preços dos activos e das condições/restrições sobre eles impostas pelas hipóteses da integração/segmentação. Especificamente, a hipótese da integração implica que os retornos dos activos com o mesmo risco sejam iguais, independentemente da respectiva localização, enquanto que, sob a hipótese da segmentação, os retornos ajustados pelo risco podem diferir. No caso dos mercados de capitais, aquelas restrições estão incorporadas em modelos de avaliação que diferem consoante a hipótese correcta. Uma alternativa para tentar aferir qual das hipóteses se adequa melhor à realidade, é derivar modelos de avaliação alternativos, com e sem segmentação, confrontá-los com os dados e verificar qual é que se ajusta melhor. Adler e Dumas (1983) notam contudo que, devido à grande diversidade de estruturas, pode ser impossível testar um modelo contra o outro (no limite podemos não rejeitar nenhum ou mesmo rejeitá-los a todos), o que resulta na impossibilidade de escolher. Por outro lado, Solnik (1977) mostra que, no teste da hipótese nula da segmentação contra a alternativa da integração, pode não ser possível, no contexto da análise média-variância, distinguí-las, nem “ex-ante”, nem “ex-post”. Especificamente, os vários mercados podem ser perfeitamente segmentados e ainda assim, a carteira do mercado global ser eficiente. Como o teste da hipótese da integração é equivalente a testar a eficiência da carteira de mercado, nestas circunstâncias, não rejeitaríamos (erradamente) a hipótese da integração.

O mesmo autor defende então que a forma mais eficiente de testar a integração/segmentação, seria especificar uma determinada imperfeição e analisar o seu impacto nas decisões óptimas dos investidores e nos retornos de equilíbrio.

Exemplos de trabalhos que se enquadram na abordagem sugerida por Solnik são Black (1974), Stulz (1981), Errunza e Losq (1985), Eun e Janakiramanan (1986), Errunza e Losq (1989) e Hietala (1989). Em vez de postularem os extremos da segmentação total ou da integração total, os modelos de Black (1974) e Stulz (1981) incorporam um parâmetro contínuo de segmentação, sob a forma de um imposto proporcional sobre os montantes

(23)

investidos. Black considera um imposto que incide sobre as posições líquidas em cada activo, enquanto que no modelo de Stulz, o imposto incide de igual forma sobre posições longas e curtas. O teste da segmentação nestes modelos consistiria em ajustar o modelo aos dados e a partir daí seguir uma de duas vias: ou estimar a taxa de imposto implícita, ou detectar os seus efeitos por via da análise do impacto sobre as Linhas de Risco do Mercado (LRM) dos vários títulos. Errunza e Losq (1985) estudam, num mundo com apenas dois mercados de capitais, o impacto de uma barreira unilateral que determina que as acções (designadas “não elegíveis”) de um dos mercados sejam procuradas apenas pelos investidores locais que, contudo, podem investir também nas acções (elegíveis) do outro mercado. Os autores derivam um modelo de avaliação de activos que implica que existem duas LRMs, uma para cada tipo de acções, sendo que as acções não elegíveis têm associado um prémio de risco adicional (aquilo que designam de “super risk premium”). O modelo de Errunza e Losq (1989) constitui uma generalização do modelo anterior para o caso de N mercados. Num mundo com dois países, Eun e Janakiramanan (1986) modelizam o impacto sobre os preços de equilíbrio de uma restrição que impende sobre os investidores de um dos mercados, limitando-os a deter uma proporção máxima do número de acções de cada empresa do outro mercado. O modelo de Errunza e Losq (1985) é um caso particular deste modelo, quando aquela proporção máxima é igual a zero. Hietala (1989) deriva um modelo de avaliação (e aplica-o ao mercado finlandês) que traduz as implicações sobre os preços de equilíbrio, num mercado de capitais de pequena dimensão, de uma situação em que os investidores locais só podem investir localmente e os investidores estrangeiros estão limitados a deter uma determinada proporção das acções das firmas locais. Neste sentido, o modelo de Hietala combina o modelo de Eun e Janakiramanan (1986) e o modelo de Errunza e Losq (1985), deixando de existir activos elegíveis em virtude da restrição que limita a proporção máxima destes activos detida por estrangeiros.

A integração dos mercados financeiros acarreta benefícios para os investidores individuais incluindo, por exemplo, a oportunidade de diversificação internacional do risco ou o efeito riqueza resultante da reavaliação dos activos domésticos, após a abertura aos investidores internacionais. Por outro lado, no contexto de um modelo de avaliação de activos intertemporal, como, por exemplo, em Basak (1996), a abertura dos mercados

(24)

permite ainda que os investidores de cada país obtenham um padrão de consumo mais estável ao longo do tempo.

Contudo, para além destes efeitos sobre o bem-estar, a integração também tem impacto sobre a parte real da economia. De facto, a abertura dos mercados de capitais deveria reduzir o custo do capital e provocar um aumento dos valores de mercado no período posterior à liberalização. Bekaert e Harvey (2000) e Henry (2000b) encontram evidência de uma redução do custo do capital após a implementação de reformas liberalizadoras. Por outro lado, Henry (2000a) e Bekaert et al. (2004) documentam aumentos do investimento agregado com efeitos potenciais sobre o crescimento económico. Outros trabalhos (por exemplo, King e Levine (1993), Levine e Zervos (1998), Bekaert e Harvey (1996)) encontram uma relação entre crescimento económico e o grau de desenvolvimento dos mercados financeiros. Além disso, Bartolini e Drazen (1997) argumentam que a liberalização dos fluxos de capitais internacionais pode funcionar como um sinal de que o país está disposto a adoptar políticas macroeconómicas credíveis, por exemplo, reduzindo os défices públicos ou renunciando à utilização do imposto inflacionário. Deste ponto de vista, a abolição das restrições ao investimento internacional pode encorajar também a estabilidade macroeconómica e financeira e contribuir para taxas de crescimento mais altas.

Ao mesmo tempo, contudo, reconhece-se que um grau de abertura muito elevado tem custos que se traduzem nomeadamente na volatilidade acrescida e reversões abruptas dos fluxos de capitais (por exemplo, Classens et al. (1995) tentam distinguir entre fluxos de capitais voláteis, de curto prazo e fluxos de capitais estáveis, de longo prazo). Os receios quanto aos efeitos dessas reversões foram acentuados por uma série de crises financeiras recentes incluindo a crise do peso mexicano em Dezembro de 1994, a crise asiática desencadeada pelo colapso do baht tailandês em Julho de 1997, a crise russa de Agosto de 1998 e o colapso do real brasileiro em Janeiro de 1999.

Posto isto, a questão que motiva a pesquisa desenvolvida nesta dissertação tem a ver com a medida da extensão dos benefícios de diversificação. Mais especificamente, pretendemos analisar a evolução, ao longo do tempo, dos ganhos associados à diversificação internacional, para um conjunto de países emergentes e assumindo um

(25)

determinado modelo de equilíbrio dos mercados financeiros internacionais. Utilizamos o modelo desenvolvido por Errunza e Losq (1989), que contempla uma situação de segmentação (parcial) dos mercados de capitais internacionais, assumindo que a PPC se verifica a todo o momento e centramo-nos na relação entre benefícios da diversificação internacional e o grau de segmentação dos mercados. Estendemos a abordagem de Carrieri

et al. (2002) para modelizar a estrutura multilateral (dos vários países) dos retornos e estimamos o modelo para oito mercados emergentes, para o período entre 1976 e 2005 e avaliamos o grau de integração e a extensão dos benefícios da diversificação com base numa análise de bem-estar. A evidência sugere que houve um movimento crescente de integração destes mercados, com início na primeira metade dos anos 90, até aos dias de hoje, de tal forma que os benefícios da diversificação já tinham, com a excepção de dois países, praticamente sido esgotados no final do período analisado.

Esta tese está organizada da seguinte forma. No capítulo 2 apresentamos o enquadramento teórico que propomos para determinar os efeitos da integração, em termos do modelo de equilíbrio subjacente e da medida dos benefícios de diversificação escolhida. Esta medida constitui uma alternativa aos métodos descritos acima, procurando ultrapassar algumas das suas limitações. No capítulo 3 apresentamos a metodologia e descrevemos os dados e no capítulo 4 apresentamos e discutimos os resultados. O capítulo 5 faz a síntese e enumera as principais limitações do presente trabalho.

(26)

2 – Benefícios da Diversificação Internacional e o Grau de Segmentação

Duas das abordagens aos ganhos da diversificação internacional consistem na análise das correlações dos retornos dos mercados nacionais e em regressões desses retornos sobre o mercado mundial, em que as variâncias residuais, interpretadas como risco diversificável, evidenciam o potencial de redução de risco. Como referido anteriormente, tais resultados não podem servir de base para avaliar o valor da diversificação internacional, porque não têm em conta, nem a segmentação dos mercados, nem eventuais desvios à PPC. O objectivo final desta secção é discutir os ganhos associados à diversificação internacional, tentando acomodar a segmentação, mas continuando a ignorar o risco de câmbio (no pressuposto de que a PPC se verifica a todo o momento).

Para isso, apresentamos vários modelos de avaliação, descrevendo estruturas de mercado com níveis crescentes de integração, inicialmente num mundo com dois mercados de capitais (1 e 2) e de seguida, num mundo com N+1 mercados:

− Segmentação (S): os investidores de cada país transaccionam apenas nos activos do seu mercado.

− Segmentação Parcial (SP): no modelo com dois mercados, os investidores do país 1 (“não restringidos”) transaccionam nos activos de ambos os mercados e os investidores do país 2 (“restringidos”) transaccionam apenas nos activos do seu mercado. No modelo com N+1 mercados, a primeira classe de investidores investe apenas nos activos elegíveis do mercado central e cada uma das restantes N classes investe apenas nos activos de um dos mercados periféricos (mercado local ou doméstico) e nos activos do centro.

− Integração (I): todos os investidores têm acesso ao conjunto de oportunidades de investimento mais alargado.

O modelo usado para descrever o equilíbrio nas situações de segmentação (S) e integração perfeita (I) é o modelo de Sharpe (1964), Lintner (1965b) e Mossin (1966) e a sua extensão internacional (Solnik (1974a)), enquanto que os modelos de Errunza e Losq

(27)

(1985) e Errunza e Losq (1989) são usados para descrever o equilíbrio de segmentação parcial (SP).

Errunza e Losq (1985), Errunza e Losq (1989) e Eun e Janakiramanan (1986) derivam as procuras e os preços de equilíbrio nas três estruturas de mercado apresentadas acima, enquanto que Subrahmanyam (1975) analisa os benefícios de diversificação na transição entre as situações de segmentação (S) e integração perfeita (I) e Errunza e Losq (1989) entre as situações de segmentação parcial (SP) e integração perfeita (I). Por fim, Basak (1996) resume os resultados destes quatro trabalhos, apresentando adicionalmente a comparação de bem-estar entre as situações de segmentação total (S) e segmentação parcial

(SP).

A nossa abordagem empírica centra-se na transição entre segmentação parcial (SP) e integração (I), mas começamos por analisar a transição entre segmentação total (S) e integração (I) por facilitar a dedução dos restantes resultados e por nos dar uma representação da gradação dos benefícios de diversificação em todos os níveis possíveis de integração. Seguindo a abordagem desenvolvida pelos autores mencionados acima, os benefícios de diversificação são analisados numa perspectiva de bem-estar, o que pressupõe a especificação de uma função utilidade. Por outro lado, os modelos de avaliação utilizados são derivados no quadro do paradigma média-variância. Como é sabido, excluindo o caso em que a distribuição dos retornos é normal, nem todas as funções utilidade são compatíveis com a análise média-variância. Borch (1969) mostra que, por exemplo, se não quisermos impor qualquer restrição sobre a distribuição dos retornos, a análise média-variância é consistente apenas com funções utilidade representadas por polinómios de grau 2, como é o caso da função utilidade quadrática. Contudo, a função quadrática implica que os investidores apresentem aversão absoluta ao risco crescente (na riqueza), o que é extremamente implausível3. Felizmente, Tsiang (1972) mostra que em determinadas

3_{Há um amplo consenso, ao nível teórico, de que uma função utilidade} ₍ ₎ ,t k W

U (W_k_,_t denota a riqueza do investidor k no momento t) apropriada deve ter as seguintes propriedades (ver, por exemplo, Lengwiler (2004)):

a) U'(W_k_,_t)>0, i.e., utilidade marginal positiva;

(28)

condições (pouco restritivas) a análise média-variância é válida, como aproximação, mesmo no caso de outras funções utilidade, mais gerais, como a exponencial negativa e a potência, as quais possuem propriedades mais desejáveis do que a função quadrática.

A análise de bem-estar baseia-se numa função utilidade exponencial negativa, designadamente,

(

)

a aW W U kt t k , , exp )

( =− − (W_k,_t representa a riqueza do investidor k no

momento t e a>0) . Esta função apresenta aversão absoluta ao risco (AAR) constante e aversão relativa (ARR) crescente. Note-se que U'

(

Wk,t

)

=exp

(

−aWk,t

)

e

(

Wkt

)

a

(

aWkt

)

U '' _, =− exp− _, , pelo que

(

)

(

W

)

a U W U AAR t k t k = − = , , ' '' e

(

)

(

)

0 ' '' , , , =         − t k t k t k dW W U W U d . Da c) d

[

−U ''(W_k_,_t)/U'(W_k_,_t)

]

/dW_k_,_t ≤0, i.e., a aversão absoluta ao risco deveria decrescer com a

riqueza.

A primeira propriedade é óbvia. A segunda propriedade significa que a função utilidade é côncava, sendo que a concavidade reflecte aversão ao risco. De facto, o prémio de risco exigido pelo investidor para adquirir um activo, cujo retorno, R~_i, segue uma distribuição arbitrária com variância não nula (e que é igual à diferença entre o retorno esperado, E

( )

R~_i , e o equivalente certo), aumenta com a concavidade da respectiva função utilidade.

Como medida do risco, contudo, a segunda derivada é pouco satisfatória, porque varia com transformações lineares da função utilidade, que, como se sabe, resultam em funções equivalentes. O coeficiente de aversão absoluta de Arrow-Pratt, pelo contrário, é igual para funções utilidade equivalentes. A terceira propriedade implica que esta medida decresça com a riqueza, o que é equivalente a assumir que o prémio de risco exigido pelo investidor decresce à medida que a riqueza aumenta. O argumento por detrás do pressuposto da aversão absoluta decrescente é que os activos com risco são “bens normais”, cuja procura aumenta com a riqueza, o que implica prémios de risco decrescentes.

Relativamente ao comportamento da aversão relativa ao risco, i.e., o sinal de

(

)

(

)

[

WktU Wkt U Wkt

]

dWkt

d − _, '' _, / ' _, / _, , contudo, há muito menos consenso, em termos teóricos (ver, por exemplo, Friend e Blume (1975), de tal forma que a justificação para qualquer pressuposto que se assuma tem de se basear na evidência empírica. A aversão relativa crescente implica que, embora o prémio de risco (para um risco constante) diminua à medida que a riqueza aumenta, ele aumenta em proporção da riqueza quando o risco é medido como uma proporção fixa da riqueza. Da mesma forma, a aversão relativa constante e a aversão relativa decrescente implicam, respectivamente, que o prémio de risco se mantém constante e diminui como proporção da riqueza, à medida que esta aumenta. Isto significa que a elasticidade riqueza da procura é, respectivamente, inferior a 1, igual a 1 e superior a 1 na presença de aversão relativa crescente, constante e decrescente.

(29)

mesma forma,

(

)

(

)

kt t k t k t k aW W U W U W ARR _, , , , ' '' = − = e

(

)

(

)

0 ' '' , , , , > =         − a dW W U W U W d t k t k t k t k . A função exponencial negativa possui todas as propriedades mencionadas na nota de rodapé nº 3, à excepção de que a propriedade c) é respeitada apenas marginalmente, i.e., apresenta aversão absoluta constante, em vez de estritamente decrescente.

2.1 – Segmentação e Integração Perfeitas

Os Equilíbrios de Segmentação e de Integração perfeitas

Nesta secção começamos por derivar o CAPM (Sharpe, Lintner e Mossin) que nos permitirá caracterizar as estruturas extremas correspondentes aos equilíbrios de segmentação e de integração perfeita.

A análise que fazemos é em tempo contínuo, o que pressupõe um horizonte de investimento infinitesimal. Assumimos que todos os activos são transaccionáveis (perfeitamente líquidos) e distinguimos entre um activo isento de risco (em termos nominais) e s activos com risco. Assumimos também que existem K investidores com expectativas homogéneas. Em primeiro lugar, supomos que o retorno do i-ésimo activo (com risco), Ri

~

(doravante o til indica variáveis aleatórias), é gerado por um processo gaussiano: dt y dt R E dz dt R E dt Ri i i i i) i~i ~ ( ) ~ ( ~ σ σ = + + = (2.1) Nesta equação, Ri ~

, E(R~i) e σi são, respectivamente, a taxa de retorno instantânea, o seu

valor esperado e o seu desvio padrão; dz = y~ dt , onde z é um processo estocástico cujas realizações ao longo do tempo são independentes e y~ é um processo puramente aleatório,

(30)

ou seja, y~t e ~ são identicamente e independentemente distribuídos e, por construção, yt+l

0 ) ~ (y =

E e _E(~_y2)₌1_;_dt_{é um período de tempo infinitesimal.}

A dinâmica da riqueza para o k-ésimo investidor pode ser escrita da seguinte forma4:       − + + =

∑

+ i f i ik f t k dt t k W R dt R R dt W~_, _, 1 α (~ ) (2.2)

onde Wk,t é a riqueza do k-ésimo investidor no momento t; Rf é a taxa de juro isenta de

risco;αik é a proporção da riqueza investida no i-ésimo activo pelo k-ésimo investidor; e a

restrição orçamental do investidor representativo é:

∑

+ =

i

fk

ik α 1

α _(2.3)

Substituindo (2.1) em (2.2) e diferenciando a utilidade esperada da riqueza final, Wk,t+dt

~

em relação a αik, obtemos as condições de primeira ordem do problema de optimização:

{

}

[

U'(W~_,₊ )W _, E(R~ −R )dt+ y~ dt

]

=0

E kt dt kt i f σi i i=1,...,s (2.4)

Expandindo a função utilidade marginal em (2.4) numa série de Taylor em torno de Wk,t,

obtemos:

(

σ

)

ε α _+      + − + + =

∑

+ U W U W W R dt E R R dt y dt W U i f i i i ik f t k t k t k dt t k ) ~ ~ ( ) ( '' ) ( ' ) ~ ( ' _, _, _, _, (2.5)

4_{A equação (2.2) é obtida da seguinte definição:}

      + + =

∑

+ i i ik f f t k dt t k W R dt Rdt W~, , 1 α . α ~ .

(31)

onde o símbolo ε representa os termos de ordem dt2 ou superior que são eliminados no passo seguinte. Substituindo (2.5) em (2.4) e eliminando todos os termos de ordem dt2 ou superior (incluindo ε), obtemos5_:

(

)

''( ) 0 ) ( ' W, ER −R dt+U W, W,

∑

dt= U ij j jk t k t k f i t k α σ (2.6)

onde σ_ij =σ_iσ_jρ_ij são as covariâncias obtidas a partir de (2.1). Definindo o coeficiente de aversão relativa ao risco de Arrow-Pratt:

) ( ' ) ( '' , , , t k t k t k k W U W W U c =− ,

substituindo em (2.6) e reorganizando, obtemos:

      = −

∑

j ij jk k f i R c R E(~) α σ . (2.7)

Agregando todos os investidores, ponderados pela respectiva riqueza relativa γk,

derivamos a relação de equilíbrio para o i-ésimo activo:

im k j ij jk k f i R C C R E γ α σ =α σ      = −

∑∑

) ~ ( (2.8)

onde o índice m se refere à carteira de mercado (contendo todos os activos com risco, ponderados pelo valor de mercado relativo); =

∑∑

k j jk kα

γ

α é o rácio entre o valor de mercado dos activos com risco e o valor de mercado da totalidade dos activos. Admite-se

5_{Dado que cada covariâcia envolve um par de activos, a sua representação implica, na nossa notação, a}

(32)

que a riqueza global,

∑

k t k

W_, , está totalmente investida em activos com risco, ou seja, que o activo sem risco tem, globalmente, uma oferta líquida nula, pelo que α =1e a expressão (2.8) escreve-se: im f i R C R E(~)− = σ (2.9)

O termo C, um factor comum a todos os activos, é função da medida de aversão relativa de cada investidor, ck, especificamente,

1 / −       =

∑

k k k c

C γ , e é igual ao quociente entre o preço do risco e a variância da carteira de mercado. Podemos ver isto agregando (2.9) para todos os activos ponderados por α_i, o rácio entre o valor de mercado total do activo com risco i e o valor total de mercado de todos os activos com risco, obtendo-se

2 ) ~ ( m f m R R E C

σ

− = (2.10)

Substituindo (2.10) em (2.9), obtemos a relação do CAPM tradicional:

(

(~ )

)

₂ ) ~ ( m im f m f i R E R R R E σ σ − + = (2.11)

A expressão (2.11) diz-nos qual o risco remunerado no mercado. Para um investidor capaz de combinar activos para formar carteiras num mercado eficiente, o único risco relevante é a componente não diversificável, medida pelo respectivo beta _

     2 m im σ σ que

representa a contribuição do activo para o risco total da carteira de mercado.

(33)

) ( ' ) ( '' kt kt k W U W U a =− e a função 1 / 1 −       =

∑

k k a

A do coeficiente ak de cada investidor, C também pode

escrever-se como o produto da capitalização do mercado por A. De facto,

t t k kt kt _W _AW W U W U C =               − = − −

∑

1 1 ) ( ' ) ( ''

, onde Wt representa a riqueza global, a qual se

assume igual à capitalização do mercado, M. Desta forma, os retornos de equilíbrio do i-ésimo activo são dados por6:

) ~ , ~ ( ) ~ (R R CCov R R E i − f = i ou ) ~ , ~ ( ) ~ (R R AMCov R R E i − f = i (2.12)

e os retornos de equilíbrio para o mercado global por:

) ~ ( ) ~ (R R CVar R E − f = ou ) ~ ( ) ~ (R R AMVar R E − f = (2.13)

As funções A e C são, respectivamente, o harmónico global das aversões absolutas e a média harmónica das aversões relativas individuais dos investidores. O harmónico global representa a capacidade média global da acção dos K investidores, agindo em conjunto de forma harmónica. Os investidores promovem, em conjunto, a procura de mercado (acção global), sendo que a procura individual é inversamente proporcional à aversão absoluta

6_{A partir daqui, passamos a escrever} _Cov₍_R~_,_R~₎

i im = σ , σm2 =Var(R~) e ) ~ ( 2 i i =Var R σ .