2) Obter pontos de máximos e mínimos utilizando a monotonicidade das funções

(1)

1

RESPOSTAS - Exercícios do Estudo de Funções.

f : A , A , y f x

 

Prof. Me. Ayrton Barboni

1) Estudar a monotonicidade das funções

a) 2

( ) 3 4

f x x  x

Temos que f '( )x 2x3. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ f x'( )0 2x 3 0  x 3/ 2

2º) Sinal de f ':  +   + 3/2 3/2

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 3/ 2] e estritamente crescente em [3/ 2,  [.

b) 3 2

( ) 4 1

f x x  x 

Temos que 2

'( ) 3 8

f x  x  x. Estudo do sinal de f ':

1º) P/ 2

8 / 3

'( ) 0 3 8 0 S {0, }

f x   x  x  

2º) Sinal de f ': +  +  +  + 0 8/3 0 8/3

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [0,8 / 3] e estritamente crescente em ] , 0] e [8 / 3, [.

c) 2

( ) 5 3

f x  x x

Temos que f '( )x  5 6x. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ f x'( )0  5 6x0  x 5 / 6

2º) Sinal de f ': +   +  5/6 5/6

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [5 / 6,  [ e estritamente crescente em ] , 5 / 6].

d) 4 2

( ) 4 3

f x x  x 

Temos que f x'( )4x38x. Estudo do sinal de f ':

1º) P/ 3

'( ) 0 4 8 0 S { 2, 0, 2 }

f x   x  x   

2º) Sinal de f '  +  +   +  +  2

0 2  2 0 2 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]  , 2] e [0, 2] estritamente crescente em [ 2, 0] e [ 2, [.

e) 2

( ) x

f x x e

(2)

2

1º) P/ 2

'( ) 0 x(2 ) 0 S { 2, 0}

f x   e xx    

2º) Sinal de f ': +  +  +  + 2 0 2 0

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [ 2, 0] e estritamente crescente em ]  , 2] e [0,  [.

f) f x( )x ex

Temos que f x'( )ex(1x). Estudo do sinal de f ':

1º) P/ f x'( )0 ex(1x)0   x 1

2º) Sinal de f '  +   + 1 1

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]  , 1] e estritamente crescente em [ 1,  [.

g) f x( )x.ln ,x x0

Temos que f '( )x lnx 1. Estudo do sinal de f ':

1º) P/ 1

'( ) 0 ln 1 0 S { }

f x   x    e

2º) Sinal de f ':  +   + 0 1

e 0 1

e 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]0,e1] e estritamente

crescente em [e1, [.

h) f x( )lnx2, x0

Temos que '( ) 2

x

f x  . Estudo do sinal de f ':

1º) P/ '( ) 0 2 0

x

f x    não tem solução

2º) Sinal de f '  +   + ₀ 0

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 0[ e estritamente crescente em ]0,  [.

i) 2

( ) /( 9)

f x x x  , x 3 e x3

Temos que

2

2 2

( 9)

'( ) x

x

f x  



 . Estudo do sinal de f ':

1º) P/

2

2 2

( 9)

'( ) 0 x 0

x

f x  



    não tem solução

2º) Sinal de f ':        3 3 3 3

(3)

3

2) Obter pontos de máximos e mínimos utilizando a monotonicidade das funções

a) 2

( ) 3 2

f x x  x

Temos que f '( )x 2x3. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ f x'( )0 2x 3 0  x 3/ 2

2º) Sinal de f ':  +   + 3/2 3/2

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 3/ 2] e estritamente crescente em [3/ 2,  [.

Temos que 2

3 / 2 3 / 2 3 / 2

( ) ( ) 3( ) 2 1/ 4

f     

4º) Ponto mínimo local: m(3/2, 1/4).

b) 4 2

( ) 2

f x x  x

Temos que 3

'( ) 4 4

f x  x  x. Estudo do sinal de f ':

1º) P/ 3

'( ) 0 4 4 0 S { 1, 0, 1}

f x   x  x   

2º) Sinal de f '  +  +   +  + 1 0 1 1 0 1

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]  , 1] e [0, 1] estritamente crescente em [ 1, 0] e [1,  [.

Temos que f( )1 ( )142( )12  1, f( )0 ( )0 42( )0 2 0 e

4 2

1 1 1

( ) ( ) 2( ) 1

f     .

4º) Pontos de mínimo local: m1(1 , 1) e m2(1, 1)

Pontos de máximo local: M(0 , 0).

c) f x( )5x36x

Temos que 2

'( ) 15 6

f x  x  . Estudo do sinal de f ':

1º) P/ 2

'( ) 0 15 6 0 S { 10 / 5, 10 / 5}

f x   x     

2º) Sinal de f ' +  +  +  +  10/ 5 10/ 5  10/ 5 10/ 5

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [ 10/ 5, 10/ 5] e estritamente crescente em ]  , 10/ 5] e [ 10/ 5,  [.

Temos que ( 10/ 5) 4 10 5

f   e ( 10/ 5) 4 10 5

f  .

4º) Pontos de mínimo local: m ( 10/ 5, 4 10) 5



Pontos de máximo local: M ( 10/ 5, 4 10) 5

 .

d) 2

( ) 6 8

f x x  x

(4)

4 1º) P/ f x'( )0 2x 6 0  x 3

2º) Sinal de f ':  +   + 3 3

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 3] e estritamente crescente em [3, [.

Temos que f( )3 ( )3 26( ) 83   1 4º) Ponto mínimo local: m(3, 1).

e) f x( )xln ,x x0

Temos que f '( )x lnx1. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ f x'( )0 lnx 1 0  x e1

2º) Sinal de f ':  +   + 0 1

e 0 1

e 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 1

]0,e ] e estritamente crescente em 1

[e , [.

Temos que 1 1 1

( ) 1.

f e   e  e 4º) Ponto mínimo local: 1 1

m (e,e ).

f) f x( )ex2

Temos que f '( )x 2x ex2. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ f x'( )0 2x ex2 0  x 0

2º) Sinal de f ':  +   + 0 0

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ] , 0] e estritamente crescente em [0,  [.

Temos que 02

(0) 1

f e 

4º) Ponto mínimo local: m (0, 1).

g) f x( )ex2

Temos que f '( )x  2x ex2. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ f x'( )0  2x ex2 0  x 0

2º) Sinal de f ': +   +  0 0

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [0,  [ e estritamente crescente em ] , 0].

Temos que f(0)e02 1

(5)

5

h) 2

( ) 2 /( 1)

f x  x x 

Temos que 2 2 2

'( ) 2( 1) /( 1)

f x   x  x  . Estudo do sinal de f ':

1º) P/ 2

'( ) 0 2( 1) 0 S { 1, 1}

f x    x     

2º) Sinal de  +    +  1 1 1 1

3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]  , 1] e [1,  [ estritamente crescente em [ 1, 1] .

Temos que

2 2( 1) 1

( 1) 1

( ) 1

f  

 

   ,

2 2(1) 1

(1) 1

( ) 1

f



  .

4º) Pontos de mínimo local: m(1 , 1) Pontos de máximo local: M(1, 1).

3) Estudar a concavidade das funções

a) f x( )x34x23x

Temos que 2

'( ) 3 8 3

f x  x  x e f ''( )x 6x8. Estudo do sinal de f '':

1º) P/ f ''( )x 0 6x 8 0  S {4 / 3}

2º) Sinal de f ''  +   + 4 / 3 4 / 3

3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em ] , 4 / 3[ e concavidade p/ cima em e ]4 / 3,  [.

b) 4 3

( ) 2

f x x  x

Temos que 3 2

'( ) 4 6

f x  x  x e 2 ''( ) 12 12

f x  x  x.

Estudo do sinal de f '':

1º) P/ f ''( )x 0 12x212x0  S {0,1}

2º) Sinal de f '' +  + +  + 0 1 0 1

3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em ]0, 1[ e concavidade p/ cima em ] , 0[e ]1,  [.

c) f x( )x.ln ,x x0

Temos que f '( )x lnx1 e f ''( )x 1 x

 .

1º) P/ f ''( )x 0 1/x0  S {}

2º) Sinal de f '' +  + 0 0

(6)

6

d) 2

( ) ln , 0

f x  x x

Temos que f '( )x 2 /x e f ''( )x 2₂ x



 .

1º) P/ 2

''( ) 0 2 / 0 S {}

f x    x   

2º) Sinal de f ''      0 0

3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em {0}.

e) f x( )x e. x

Temos que f x'( ) (1 x e). x e f ''( )x  (2 x e). x.

1º) P/ f ''( )x 0 (2x e). x 0   2 x 0   S { 2}

2º) Sinal de f ''  +   + 2 2

3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em ]  , 2[e concavidade p/ cima em ] 2,  [.

f) 2

( ) . x

f x x e

Temos que 2 '( ) (2 ). x

f x  xx e e 2

''( ) ( 4 2). x

f x  x  x e .

1º) P/ 2

2 2 2 2

''( ) 0 ( 4 2). x 0 S { , }

f x   x  x e       

2º) Sinal de f '' +  + +  +  2 2  2 2  2 2  2 2 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em ] 2 2,  2 2[ e

concavidade p/ cima em ] , 2 2[e ] 2 2, [.

4) Determinar pontos máximos ou mínimos utilizando estudo concavidade

a) 2

( ) 3 4

f x  x  x

Temos que f'( )x 6x4. Se f '( )x 6x 4 0, então x2 / 3. Questão: Teremos em x2 / 3 ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f? Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das alternativas acima. Temos que f ''( )x 6. Logo, f '' é positiva para todo x real e, sendo assim, a concavidade de f estará voltada para cima em x2 / 3. Fato que nos permite concluir que aí teremos um ponto de mínimo local de f.

(7)

7 Conclusão:

Ponto mínimo local: 2

2 / 3 2 / 3

( ) 3( ) 4( ) 4 / 3

f x     . Logo, m(2/3, 4/3).

b) 4 2

( ) 2

f x x  x

Temos que 3 '( ) 4 4

f x  x  x. Se 3

'( ) 4 4 0,

f x  x  x então x { 1, 0,1}. Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal para cada um destes valores de x.

Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade do gráfico de f e, com esta informação, resolveremos a questão.

Temos que f ''( ) 12x  x24.

1º) P/ 2

,

''( ) 0 12 4 0 S { 3 / 3 3 / 3}

f x   x     

2º) Sinal de f '' +  + +  +  3/ 3 3/ 3  3/ 3 3/ 3 Conclusão:

  x 1 é menor que  3/ 3 e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo,

4 2

( 1) ( 1) 2( 1) 1

f        e m( 1, 1)  é ponto mínimo local de f.

 x 0 é valor entre  3/ 3 e 3/ 3 e a concavidade de f é voltada p/baixo. Logo, 4 2

(0) 0 2(0) 0

f    e M(0,0) é ponto máximo local de f.

 x 1 é maior que 3/ 3 e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo,

4 2

(1) (1) 2(1) 1

f     e m(1, 1) é ponto mínimo local de f.

c) f x( )ex2

Temos quef '( )x  2xex2. Se f '( )x  2xex2 0, então x{0}. Questão: Teremos em x0 ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f ? Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das alternativas acima.

Temos que 2 2 ''( ) 2 x (1 2 )

f x   e  x . Estudo do sinal de f '':

1º) P/ 2 2

,

''( ) 0 2 x (1 2 ) 0 S { 2 / 2 2 / 2}

f x    e  x    

2º) Sinal de f '' +  + +  +  2/ 2 2/ 2  2/ 2 2/ 2 Conclusão:

 x 0 é valor entre  2/ 2 e 2/ 2 e a concavidade de f é voltada p/baixo. Logo, 02

(0) 1

(8)

8

d) 3 2

( ) 2 3 12 1

f x  x  x  x

Temos quef '( )x 6x26x12. Se f '( )x 0, então x { 2,1}. Questão: Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal para cada um destes valores de x.

Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos as alternativas correspondentes para cada valor de x.

Temos que f ''( ) 12x  x6. Estudo do sinal de f '':

1º) P/ f ''( )x 0 12x 6 0  S {1 2/ }

2º) Sinal de f ''  +   + 1/ 2 1/ 2 Conclusão:

  x 2 é valor menor que 1/ 2 e a concavidade de f é voltada p/baixo.

Logo, 3 2

2 2 2 2

( ) 2( ) 6( ) 12( ) 1 33

f          e M(1/ 2,33) é ponto máximo local de f.

 x 1 é valor maior que 1/ 2 e a concavidade de f é voltada p/cima.

Logo, 3 2

(1) 2(1) 6(1) 12(1) 1 3

f       e m(1/ 2,3) é ponto mínimo local de f

e) f x( )xln ,x x0

Temos que f'( )x lnx1. Se f '( )x 0, então x{e1}. Questão: Teremos em xe1 ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f ? Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das alternativas acima.

Temos que f ''( )x 1/x. Estudo do sinal de f '':

1º) P/ f ''( )x 0 1/x0  S { }

2º) Sinal de f '' +  + 0 0 e1 Conclusão:

 A concavidade de f é voltada p/cima em

1

xe . Logo,

1 1 1 1

( ) ln( )

f e e e  e e m(e1, 1

e

 ) é ponto mínimo local de f

f)

2

( ) , 1

1

x

f x x

x

 



Temos que

2 2

'( ) 2

( 1)

f x x x

x

 

 . Se f '( )x 0, então x{0, 2}. Questão:

(9)

9 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos as alternativas correspondentes para cada x .

Temos que 3

''( ) 2 / ( 1)

f x  x . Estudo do sinal de f '':

1º) P/ 3

''( ) 0 2 /( 1) 0 S { }

f x   x   

2º) Sinal de f ''  +   + 1 0 1 2

Conclusão:

 x 0 é valor menor que

1

e a concavidade de f é voltada p/baixo. Logo,

2

(0) 0 / (0 1) 0

f    e M(0, 0) é ponto máximo local de f.

 x 2 é valor maior que

1

e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo,

2

(2) 2 /(2 1) 4

f    e m(2, 4) é ponto mínimo local de f.

5) Determinar, se houver, os pontos de inflexão das funções

a) 4 2

( ) 6 12 1

f x x  x  x

Temos que 3

'( ) 4 12 12

f x  x  x e 2

''( ) 12 12

f x  x  .

1º) P/ 2

''( ) 0 12 12 0 S { 1,1}

f x   x     

2º) Sinal de f '' +  + +  + 1 1 1 1 Conclusão:

 A f '' é zero em x 1 e “troca de sinal” na vizinhança de 1. Logo,

4 2

1 1 1

( 1) ( ) 6( ) 12( ) 1 16

f           e I ( 1, 16)₁   é ponto de inflexão de f .

 A f '' é zero em x1 e “troca de sinal” na vizinhança de

1

. Logo,

4 2

1 1 1

(1) ( ) 6( ) 12( ) 1 8

f      e I (1,8)₂ é ponto de inflexão de f .

b) 4 3

( ) 2

f x x  x

Temos que 3 2

'( ) 4 6

f x  x  x e 2

''( ) 12 12

f x  x  x. Estudo do sinal de f '':

1º) P/ f ''( )x 0 

12 x

2



12 x



0  

S {

0,1

}

2º) Sinal de f '' +  + +  + 0 1 0 1 Conclusão:

 A f '' é zero em x0 e “troca de sinal” na vizinhança de 0. Logo,

4 3

(0) (0) 2(0) 0

f    e I (0, 0)₁ é ponto de inflexão de f .

 A f '' é zero em x1 e “troca de sinal” na vizinhança de

1

. Logo,

4 2

1 1

(1) ( ) 2( ) 1

(10)

10 c) f x( )ex2

Temos que f'( )x  2x ex2 e 2 2 ''( ) 2 x (1 2 )

f x   e  x . Estudo do sinal de f '':

1º) P/ 2 2

2

''( ) 0 x (1 2 )

0 S {

2 / 2, 2 / 2

}

e

f x     x



  

2º) Sinal de f '' +  + +  +



2 / 2 2 / 2



2 / 2 2 / 2 Conclusão:

 A f '' é zero em x



2 / 2 e “troca de sinal” na vizinhança de



2 / 2. Logo, ( 2 / 2)2 1/ 2

( 2 / 2)

f



e  e e 1/ 2 1 2 / 2

I ( ,e ) é ponto de inflexão de f

 A f '' é zero em x 2 / 2 e “troca de sinal” na vizinhança de 2 / 2. Logo, ( 2 / 2)2 1/ 2

( 2 / 2)

f e e e I (₁ 2 / 2,e1/ 2) é ponto de inflexão de f .

d) 3

( ) 1

f x x 

Temos que 2

'( ) 3

f x  x e f''( )x 6x. Estudo do sinal de f '':

1º) P/ f ''( )x 0 6x



0 

S {0}

2º) Sinal de f ''  +   + 0 0

Conclusão:

 Note que f '(0) f ''(0)0, mas f '''(0)6 ( 0) e f '' “troca de sinal” na vizinhança de x0, assim teremos ponto de inflexão horizontal em x = 0. Logo, f(0)(0)3 1 1e I(0, 1) é ponto de inflexão horizontal de f.

Observe, neste exemplo, que a f ' não troca se sinal na vizinhança de 0, logo não poderia ter ponto de máximo ou mínimo em x = 0.

6) Obter, se houver, as assíntotas das funções

a) ( ) , 1

1 x

f x x

x

 



1º) Assíntota horizontal:

Temos que lim lim 1 (finito) 1

x x

     . Logo, r: y1 é assíntota

horizontal.

2º) Assíntota vertical

Vemos que x = 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-ção do domínio de f e, também, que

1 1

1 lim ( ) lim

1 0

x x

x f x

x

   



   _{ } 

 _{ } e 1 1

1 lim ( ) lim

1 0

x x

x f x

x

   



   _{ } 

(11)

11 3º) Assíntota inclinada: ya x b

(Deverá ocorrer lim ( )

x

f x a

x 

 e lim



( )



x

b f x ax



  ambos finitos)

Temos lim 1 lim 1 0 1 x x x x a x x      

 e xlim 1 0 1

x x x b  _     _ _

  (finitos). Logo, r:

y

= 0

x

+ 1

é assíntota inclinada (coincide com a horizontal).

Observação: Utilizamos x apenas por comodidade, visto que os limites têm o mesmo valor.

b)

2

( ) , 1

1 x

f x x

x

 



Temos que

2 2

lim lim lim

1

x x x

x x

x

x x

       . Logo, não há assíntota

horizontal.

2

1 1

1 lim ( ) lim

1 0 x x x f x x         _{ } 

 _{ } e

2

1 1

1 lim ( ) lim

1 0 x x x f x x         _{ }   _{ } . O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: x1 como assíntota vertical.

3º) Assíntota inclinada: ya x b

x

f x a

x 

 e lim



( )



x

b f x ax



Temos

2

1

lim lim lim 1

1

x x x

x

x x

x a

x x x

  



   

 e

2 1. 1 lim x x x x b  _     _ _   2 1 1 ( 1)

lim lim 1

x x x x x x x x  _  _     _ _  _ _ _ _  

  (ambos finitos).

Logo, r:

y

= 1

x

+ 1

é assíntota inclinada.

c)

3

2 8

( ) x , 0

f x x

x 

 

Temos que

3 3

2 2

8

lim lim lim

x x x

x x

x

x x

  

 _ _ _{ }

. Logo, não há assíntota

(12)

12 2º) Assíntota vertical

3 2

0 0

8 8

lim ( ) lim

0 x x x f x x         _{ } 

  e

3 2

0 0

8 8

lim ( ) lim

0 x x x f x x          _{ }    . O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: x0 como assíntota vertical.

x

f x a

x 

 e lim



( )



x

b f x ax



Temos 3 3 3 2 3 3 8 8

lim lim lim 1

x x x

x

x x

x a

x x x

  



    e

3 2 1. 8 lim x x x x b       _ _   3 2 2 2 8

8 ( )

lim lim 0

x x x x x x x           _ _ _{ }  

Logo, r:

y

= 1

x

+ 0

é assíntota inclinada.

d) f x( ) senx, x 0 x

 

Temos que lim sen lim[finito] 0

x x

x

x x

    (finito). Logo, r y: 0 é assíntota

horizontal.

0 0

sen

lim ( ) lim 1

x x

x f x

x

    (finito), limite fundamental.

O fato de não haver limite tendendo ao infinito implica que não existe assíntota vertical.

x

f x a

x 

 e lim



( )



x

b f x ax



Temos ₂ finito₂ sen

sen [ ]

lim lim lim 0

x x x

x

x x

a

x x x

  

    e lim sen 0.

x x x x b      _ _   sen lim 1 x x x 

  (ambos finitos).

(13)

13

e) ( ) ₂, 1

( 1) x

f x x

x

 



Temos que lim ₂ lim ₂ lim 1 0 (finito) ( 1)

x x x

x x

x x x

       . Logo, r: y0 é

assíntota horizontal.

2

1 1

1 lim ( ) lim

( 1) 0

x x x f x x              

  e ₁ ₁ 2

1 0 ( ) ( 1) lim lim x x x f x x _      _         

O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: x1 como assíntota vertical.

Temos

2

2 1

( 1)

lim lim 0

( 1) x x x x a x x      

 e 2 0

( 1) lim 0 x x x x b  _   _ _

  (finitos).

Logo, r:

y

= 0

x

+ 0

é assíntota inclinada (coincide com a horizontal).

f)

2

( ) , 2

2 x

f x x

x

  



Temos que

2 2

lim lim lim

2

x x x

x x

x

x x

       . Logo, não há assíntota

horizontal.

Vemos que x = 2 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-ção do domínio de f e, também, que

2

( 2) ( 2)

4 0

lim ( ) lim

2 x x x f x x _          _{ } 

 _{ } e

2

( 2) ( 2)

4 0

lim ( ) lim

2 x x x f x x _          _{ }   _{ }

O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: x 2 como assíntota vertical.

Temos

2

lim lim lim 1

x x x

x

x x

x

x x x

a

  



    e

2 1. 2 lim x x x x b  _     _ _   2 2 2 2 ( 2)

lim lim 2

x x x x x x x x             _ _ _ _   

(14)

14

7) Esboçar o gráfico das funções dadas abaixo (resposta ao lado) a) b)

c) d)

e) f)

g) h) f(x) = x - x3 2

2 0

3

x

f(x) = x - x4 2

1 0

2

y

x -1

f(x) = x . x

1 0

y

x

ln

x y

f(x) = x - xarctg

x y

f(x) = x ex

0

x y

f(x) =

2 0

x - x2

1

x y

f(x) = e

0

/x

1

x y

f(x) =

0

x - 12

x

( )

(15)

15 i)

8) A função f, real de variável real, tem seu gráfico cartesiano descrito abaixo.

Sabendo-se que possui derivadas até terceira ordem, pede os esboços gráficos de

f ' e f ''.

a) I1(0, 3) e I2(?, 2) são pontos de inflexão de f. m1(-1, 2) e m2(3, 0) são pontos mínimos de f.

M(1, 4) é ponto máximo de f.

b) f '( )x 0 em x( ]  , 1[ ]1, 3[ ), visto que f é decrescente nestes intervalos. f '( )x 0 em x( ]1,1[ ]3 ,  [ ), visto que f é crescente nestes intervalos. f '( )x 0 em x { 1, 1, 3}, visto que f tem pontos de máximo e mínimo.

x y

f(x) =

0

x +

2

(16)

16 c) f ''( )x 0 em x]0 [, ? , pois f tem concavidade voltada para baixo neste intervalo. f ''( )x 0 emx( ] , 0[ ]? ,  [ ), pois f tem concavidade voltada para cima nestes intervalos.