VISUALIZAÇÃO E GEOMETRIA NOS PRIMEIROS ANOS

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VISUALIZAÇÃO E GEOMETRIA NOS PRIMEIROS ANOS

Elaborado por:

Carla Figueira Cristina Loureiro Elsa Lobo

Maria Paula Rodrigues Pedro Almeida

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ÍNDICE

Conexões entre as tarefas ...……… 4

Material necessário para a realização das tarefas ….……… 5

Apresentação ……… 6

FIGURAS NO PLANO ……….……… 8

Caminhos ……….………. 9

Observa e Desenha 1 ……….……….……….. 12

Observa e Desenha 2 ……….………. 13

Explorando Ângulos ………. 14

Tartaruga Tonta ……… 15

Bandeiras Triangulares ……… 17

Poliminós ……… 21

Figuras com Triminós ……….. 24

Polidiamantes ……… 27

Construindo o Tangram ……….. 29

Construir Figuras com o Tangram ………. 30

Tangram Revisitado ………. 31

Transformar ………... 32

FIGURAS NO ESPAÇO ……….. 33

Policubos 1 …...………. 34

Policubos 2 …..………. 37

Vistas Daqui e Dali ………... 40

Cubos Crescentes ………..……….. 43

Cubos Pintados ………. 46

Propriedades das figuras 48 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E SIMETRIA ……….. 50

Deslizar, voltar e rodar ………. 51

Dobra e Corta ……… 53

Perder Simetria ……… 54

Dobra e Fura 1 ………. 57

Dobra e Fura 2 ………. 58

Tangram ao Espelho ……… 60

RECURSOS ……….. 62

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CONEXÕES ENTRE AS TAREFAS

FIGURAS NO PLANO

Caminhos

Observa e Desenha 1 Observa e Desenha 2, Figuras com Triminós Observa e Desenha 2 Observa e Desenha 1, Figuras com Triminós Explorando Ângulos Tartaruga Tonta

Tartaruga Tonta Explorando Ângulos

Bandeiras Triangulares

Poliminós Figuras com Triminós, Polidiamantes, Policubos 1 Figuras com Triminós Poliminós, Polidiamantes

Polidiamantes Figuras com Triminós, Poliminós, Polidiamantes Construindo o Tangram Construir Figuras com o Tangram, Tangram Revisitado Construir Figuras com o Tangram Construindo o Tangram, Tangram Revisitado, Transformar Tangram Revisitado Construindo o Tangram, Construir Figuras com o Tangram, _Transformar Transformar Tangram Revisitado, Construir Figuras com o Tangram, _{Deslizar, Voltar e Rodar} FIGURAS NO ESPAÇO

Policubos 1 Policubos 2, Vistas Daqui e Dali, Cubos Crescentes, _{Cubos Pintados, Poliminós} Policubos 2 Policubos 1, Vistas Daqui e Dali

Vistas Daqui e Dali Policubos 1, Policubos 2, Cubos Crescentes, _{Cubos Pintados}

Cubos Crescentes Poliminós

Cubos Pintados Vistas Daqui e Dali, Cubos Crescentes, Poliminós Propriedades dos Sólidos

TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E SIMETRIA

Deslizar, voltar e rodar Transformar

Dobra e Corta Dobra e Fura 1, Dobra e Fura 2, Perder Simetria Perder Simetria Dobra e Corta, Dobra e Fura 1, Dobra e Fura 2,

Tangram Revisitado

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MATERIAL NECESSÁRIO PARA REALIZAÇÃO DAS TAREFAS

FIGURAS NO PLANO

Caminhos papel quadriculado

Observa e Desenha 1 papel quadriculado

Observa e Desenha 2 papel quadriculado

Explorando Ângulos papel

Tartaruga Tonta o próprio corpo

Bandeiras Triangulares geoplano, papel ponteado

Poliminós quadrados de espuma

Figuras com Triminós quadrados de espuma

Polidiamantes triângulos equiláteros de espuma

Construindo o Tangram papel colorido

Construir Figuras com o Tangram tangram

Tangram Revisitado triângulos rectângulos isósceles

Transformar geoplano e papel ponteado

FIGURAS NO ESPAÇO

Policubos 1 cubos de encaixe

Policubos 2 cubos de encaixe

Vistas Daqui e Dali cubos soltos ou de encaixe, papel _quadriculado Cubos Crescentes (tetraedros crescentes) polydrons

Cubos Pintados cubos soltos ou de encaixe

Propriedades dos Sólidos Sólidos

TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E SIMETRIA

Deslizar, voltar e rodar cartões com uma figura

Dobra e Corta papel, tesoura

Perder Simetria papel, tesoura

Dobra e Fura 1 papel, furador

Dobra e Fura 2 papel, furador

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APRESENTAÇÃO

Sobre visualização e geometria

Muitos professores não se sentem confortáveis com a geometria, associando-a a um nível de ensino mais elevado ou encarando-a como pouco importante no desenvolvimento de competências matemáticas. Sabemos também que a formação em geometria tem sido pouco valorizada nas opções de ensino de muitos professores e em muitos manuais escolares. Porém, é reconhecido pela investigação em educação matemática que a compreensão aprofundada da geometria tem implicações noutras áreas do currículo pela possibilidade de se estabelecerem conexões fundamentais para uma construção mais sólida do conhecimento matemático. Por exemplo, medida e geometria estão intimamente ligadas no desenvolvimento de conceitos como perímetro, área e volume. A semelhança geométrica é indissociável do estudo da proporcionalidade e confere uma dimensão única à sua compreensão. As transformações de figuras — rotação, translação, reflexão e dilação —, bem como a simetria são essenciais para olhar e compreender o mundo que nos rodeia.

Analogamente à expressão Sentido do Número, que pretende abarcar uma compreensão abrangente e significativa dos números e das operações, podemos falar de Sentido Espacial como uma ideia ampla onde se inclui o desenvolvimento de capacidades de visualização, de conhecimentos de geometria e de atitudes de observação e de atenção pelos objectos. O sentido espacial pode ser descrito como uma intuição sobre as formas e as suas relações. Inclui a habilidade para visualizar mentalmente objectos e relações espaciais. As experiências geométricas, diversificadas e ricas, são indispensáveis para o desenvolvimento do sentido e do raciocínio espacial de cada pessoa.

As primeiras tarefas de geometria a proporcionar aos alunos devem incidir nos raciocínios sobre as formas, tanto no plano como no espaço, e sobre as transformações que se podem fazer nessas formas.

Sobre as tarefas propostas

No conjunto de tarefas apresentadas neste documento apontamos exactamente no sentido da valorização do raciocino espacial e não nos preocupamos com as definições e nomenclaturas. A sequência de tarefas apresentadas não está organizada por nenhuma ordem especial embora apresentemos sugestões de tarefas associadas. Ao contrário do trabalho com os números e as operações, em que há uma hierarquia natural de aprendizagens, em geometria podemos começar por onde quisermos. No entanto, as actividades de visualização e geometria não devem ser isoladas, é importante que haja sequências de tarefas e que estas correspondam a um tempo significativo, daí a nossa sugestão de tarefas associadas. Decidimos arrumar as tarefas em três secções: Figuras no Plano, Figuras no Espaço e Transformações Geométricas e Simetria.

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analisar propriedades de figuras geométricas, nomeadamente recorrendo a materiais manipuláveis e a software geométrico. A aptidão para utilizar a visualização e o raciocínio espacial na análise de situações e na resolução de problemas em geometria e em outras áreas da matemática‖. Consideramos por isso que as propostas que apresentamos ajudam a pôr em prática as orientações dos Programas e do Currículo Nacional.

Uma das nossas intenções foi organizar tarefas para dinâmicas de sala de aula diversificadas. O trabalho sobre visualização e geometria precisa de momentos colectivos, mas também de momentos mais recolhidos e individualizados. Várias das actividades que propomos são excelentes para momentos individuais ou a pares. São tarefas em que cada aluno se confronta com as suas capacidades, ao seu ritmo e sem pressões da discussão colectiva. Estar algum tempo a desenhar sólidos em perspectiva ou através das suas vistas, descobrir as diferentes figuras que se podem construir a partir de uma figura base, por exemplo, são actividades muito formativas, desafiantes e até calmantes. Como recurso para este trabalho mais individualizado, há já muitas actividades interactivas em sites didácticos ou em Cd-roms e que não podem ser esquecidas pelos professores. Mesmo que as condições em termos dos recursos já existentes não sejam as mais favoráveis, a existência destes materiais devia ser usada com o objectivo de exigência de melhores recursos informáticos.

Sobre a forma de apresentação das tarefas

Cada tarefa é exposta seguindo uma matriz de apresentação: Proposta de tarefa para o professor; Hipóteses possíveis; Notas e comentários; Proposta para os alunos. Optámos por iniciar cada tarefa com uma proposta para o professor pois reconhecemos a necessidade de conhecer e ter experimentado previamente a situação que vai ser proposta aos alunos. Além disso, em muitas tarefas a proposta para o professor é mais ampla do que a dos alunos, proporcionando ao professor um conhecimento geométrico mais abrangente e completo. Nas hipóteses possíveis incluímos soluções ou sugestões de apoio à resolução da actividade. As notas e comentários apresentam breves e curtos esclarecimentos sobre aspectos matemáticos, remissões para leituras de textos, sugestões de consultas na internet, experiências com actividades interactivas na internet e justificações matemáticas e didácticas do valor da actividade proposta. Em outras tarefas associadas são indicadas outras tarefas que permitem trabalhar alguns dos conceitos ou os mesmos mas com outro tipo de abordagem e exploração. Finalmente, a proposta para os alunos é feita com indicações sobre a maneira de apresentar a tarefa aos alunos e sobre os materiais de apoio a usar (manipuláveis, folhas de registo, folhas de trabalho). Muitas propostas são apresentadas aos alunos oralmente. No caso das propostas escritas, incluímos o texto pronto a ser usado pelo professor. Nas diversas propostas apresentadas não há qualquer referência ao nível ou ano de escolaridade adequado para cada tarefa. Tendo em conta o conhecimento do que se faz em outros países e a nossa experiência de ensino, consideramos que estas tarefas contemplam aprendizagens importantes de serem realizadas nos 1º e 2º ciclos do Ensino Básico.

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FIGURAS NO PLANO

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CAMINHOS

Quantos caminhos diferentes existem para ir do ponto A ao ponto B? Considere apenas os caminhos mais curtos sobre a linha do quadriculado.

Hipóteses possíveis Com apenas 1 esquina:

a b

Com 2 esquinas:

c d e f

Com 3 esquinas:

g h i j

k l m n

Com 4 esquinas:

o p q r

Com 5 esquinas:

s t

Notas e comentários

Com esta actividade pode explorar-se o traçado de itinerários em quadriculado e a respectiva distância entre dois pontos. Podemos observar que numa grelha quadriculada a distância mais curta entre dois

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segmento de recta. Na grelha quadriculada alguns axiomas da geometria euclidiana são colocados em causa1_.

Outro aspecto que se pode explorar prende-se com a simetria. Há caminhos que se podem obter pela reflexão de outro. Por exemplo a _– b, h _– l, i _– m, j _– n,… Mas para além da simetria de reflexão, está presente a rotação. É o caso de c para f e de d para e, entre outros, em que houve rotação de meia volta. Um terceiro objectivo prende-se com o desenvolvimento de capacidades de visualização.

Outras tarefas associadas

Existem outras tarefas que se podem considerar associadas a esta, embora tenham um valor diferente, que consistem em fazer ditados de percursos em quadriculado ou em descrever esses mesmos percursos, tanto no que diz respeito à orientação como à distância percorrida.

No entanto existe ainda outra possibilidade de conexão com Números e Cálculo. Trata-se de investigar porque são 20 os itinerários encontrados.

Proposta para os alunos

Os alunos podem realizar a tarefa em folhas de papel quadriculado, embora seja mais fácil se lhes for fornecida uma folha de trabalho com os pontos já assinalados dentro de manchas quadriculadas em número superior ao das soluções existentes. É da maior importância a comparação das soluções obtidas entre os diferentes alunos e a discussão de arrumações possíveis, por exemplo, arrumar pelo número de esquinas, ou pela simetria. Tudo depende também do que os alunos serão capazes de observar entre os diferentes itinerários.

1

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CAMINHOS

Quantos caminhos diferentes existem para ir do ponto A ao ponto B?

Considera apenas os caminhos mais curtos sobre a linha do quadriculado.

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OBSERVA E DESENHA 1

Observe a figura dada durante alguns segundos.

Sem o modelo, represente a figura que viu no seu GEOPLANO.

Hipóteses possíveis

Neste caso há apenas um resultado possível. Existem, no entanto muitas figuras interessantes para explorar.

O objectivo desta tarefa prende-se com a percepção de relações espaciais e com o desenvolvimento de capacidades de visualização. A capacidade de visualização é imprescindível no desenvolvimento de competências em geometria2.

Descobrir um padrão numa sequência de imagens propondo-se descobrir a figura seguinte (OBSERVA E DESENHA 2) e percepcionar figuras dentro de outras (FIGURAS COM TRIMINÓS) são duas das tarefas que promovem o desenvolvimento das capacidades de visualização.

Proponha oralmente esta tarefa aos seus alunos. Pode mostrar a figura já montada num geoplano, durante um período adequado de tempo e pedir aos alunos para a representarem nos geoplanos deles. Volte depois a mostrar a figura para que eles possam confirmar a sua solução.

Com este tipo de recurso o professor pode criar uma dinâmica de rapidez fazendo com os alunos este exercício com várias figuras diferentes.

Depois de representadas as figuras os alunos podem descrever as suas características. Pode também apresentar as figuras usando um retroprojector

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OBSERVA E DESENHA 2

Observe a sequência de 6 figuras durante 30 segundos. Esconda a sequência e desenhe-a em papel quadriculado.

Diga como passou de uma figura para a seguinte. Explique como relaciona cada figura com a anterior.

Podemos considerar que a primeira figura é formada por dois rectângulos de 3x2 e que o da direita se desloca para cima e depois para a esquerda, uma quadrícula de cada vez.

Podemos também considerar que as duas quadrículas do canto inferior direito são recortadas e deslocadas para cima e que este processo se repete mais duas vezes, até ao momento em que passam a ser as três quadrículas de cima à direita a passar para a esquerda.

Diferentes pessoas apresentam diferentes processos de memorizar a sequência e de relacionar as figuras entre si.

O objectivo desta tarefa prende-se com o desenvolvimento de capacidades de visualização e com a percepção de relações espaciais.

Descobrir um padrão numa sequência de imagens propondo-se descobrir a figura seguinte (OBSERVA E DESENHA 1) e percepcionar figuras dentro de outras (FIGURAS COM TRIMINÓS) são duas das tarefas que promovem o desenvolvimento das capacidades de visualização.

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EXPLORANDO ÂNGULOS

Como dobrar uma folha de papel de modo a obter dois vincos perpendiculares?

Na verdade basta seguir uma regra muito simples: a primeira dobragem (fig.1) é livre, a segunda tem de fazer coincidir o primeiro vinco sobre ele próprio (fig.2).

É de notar que qualquer outra dobragem (fig.3) que não siga esta regra possibilita a visualização de outros ângulos (fig.4).

Fig.3 Fig.4

Não é imperioso que as dobragens sejam feitas uma sobre a outra. Pode fazer-se a primeira dobragem, desdobrar a folha e voltar a dobrar noutro sentido.

Pode começar-se através da realização de dobragens ao acaso, procurando observar de seguida o efeito que se consegue. Isto até se verificar que há uma forma de dobrar, que deixa a folha dobrada em quatro ângulos iguais. Ao abrir a folha (fig.3) verifica-se a perpendicularidade das linhas formadas pelos vincos, uma vez que os 4 ângulos que definem são congruentes.

A ideia de trabalhar com folhas de papel com contornos irregulares sublinha a noção de amplitude como a ―abertura entre as linhas‖, evitando a confusão com a área, o que poderia surgir se a folha fosse um quadrado ou um rectângulo e pedíssemos para a dobrar em 4 partes iguais.

A comparação de ângulos com a mesma amplitude mas cujos lados tenham diferentes comprimentos permite desfazer a ideia de que um possa ser maior que o outro por ter os lados mais compridos. A visualização de ângulos formados pelos ponteiros de um relógio ou pela abertura de uma porta proporciona o desenvolvimento de uma noção de ângulo mais dinâmica, isto é, como resultado de uma rotação.

Outras tarefas associadas TARTARUGA TONTA

A proposta deve ser colocada oralmente.

É de todo útil que os alunos possam experimentar várias dobragens e verificar que em mais nenhuma (a não ser na que faz coincidir o vinco sobre ele próprio) se verifica a igualdade das aberturas.

Fig.1

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TARTARUGA TONTA

Quantas voltas dá a tartaruga para desenhar a estrela e voltar à posição inicial? E de cada vez que vira, vira sempre o mesmo ou faz ângulos diferentes? Quanto é que vira de cada vez?

Só há, na verdade, uma resposta possível:

3 voltas são 3 x 360º = 1080º

1ª volta 2ª volta 3ª volta 1080º : 10 ângulos iguais = 108º O ângulo interno em cada vértice deste polígono estrelado é 180º – 108º = 72º

O objectivo desta tarefa é abordar de uma forma mais dinâmica a noção de ângulo associando-o à rotação da tartaruga e descobrir a amplitude dos ângulos ―desenhados‖ pela rotação da tartaruga ao traçar diferentes polígonos regulares. Quanto é que roda a tartaruga de cada

vez que vira para desenhar um triângulo equilátero?

A soma das amplitudes dos ângulos descritos pela tartaruga ao desenhar polígonos regulares, ângulos externos do polígono, é sempre um ângulo giro (360º).

Depois de recortados, os ângulos podem justapor-se e pudemos verificar que a

tartaruga fez uma volta completa. Pode também verificar-se, por sobreposição, que os ângulos são iguais. O facto de serem iguais decorre de se tratar de um polígono regular, o que permite o cálculo da amplitude do ângulo, dividindo 360º pelo número de ângulos. Sabendo o valor do ângulo que a tartaruga descreve, pode também calcular-se a amplitude do ângulo interno da figura, uma vez que são suplementares um do outro. Para o triângulo equilátero o ângulo suplementar do ângulo interno é 360º : 3 = 120º. O ângulo interno é 180º – 120º =60º.

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BANDEIRAS TRIANGULARES3

Ajude-me a desenhar uma bandeira triangular diferente.

Use o GEOPLANO (3 por 3) para descobrires triângulos diferentes. Desenhe cada bandeira que construir no papel ponteado.

Dois dos aspectos fundamentais desta tarefa são a construção de figuras iguais em posições diferentes e a passagem da representação no geoplano para o papel ponteado.

Problemas como este permitem aos alunos a exploração, a visualização, a observação e a discussão sobre diferentes conceitos. O objectivo desta actividade prende-se com a aferição de conceitos geométricos, nomeadamente de triângulo, ao mesmo tempo que o professor tem acesso às estratégias utilizadas pelos alunos para analisar figuras geométricas.

O professor pode colocar questões como: ―Todas as figuras representam triângulos?‖ ―O que faz com que todas sejam triângulos?‖ ―O que têm em comum?‖ ―Há alguma figura que não seja triângulo?‖ ―O que a distingue dos triângulos?‖ ―Os triângulos são diferentes?‖ ―Como se distinguem?‖ ―Haverá algum outro tipo de triângulo que não esteja representado?‖

Esta discussão pode depois ser orientada para questões relacionadas com o número de lados e/ou de ângulos (provavelmente os triângulos escalenos terão sido rejeitados, porque com bastante frequência os triângulos apresentados aos alunos são equiláteros e isósceles e sempre posicionados com a mesma orientação).

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Os ângulos também podem ajudar a distinguir triângulos rectângulos, obtusângulos e acutângulos.

Ao limitar, os alunos, ao uso do geoplano e do papel ponteado é natural que o triângulo isósceles 1-1- 2

seja confundido com o equilátero 1-1-1 uma vez que podem pensar que qualquer distância entre dois pregos é entendida como uma unidade, não se tornando evidente que na diagonal esta distância é maior. A construção de um triângulo equilátero pode ser colocada como um desafio. Desafie-os também a justificar a impossibilidade dessa construção no geoplano de malha quadrangular. Se tiver acesso a geoplanos de malha triangular pode discutir a possibilidade de construir um triângulo equilátero e a impossibilidade de construir um triângulo rectângulo.

Esta tarefa pode evoluir naturalmente para a construção livre de bandeiras com outras formas. Poderão assim surgir quadriláteros e outros polígonos, tanto côncavos como convexos.

Bandeiras que são quadriláteros

Bandeiras que são polígonos convexos

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Normalmente, os alunos manifestam grande entusiasmo em tarefas que envolvem a descoberta. Neste caso, é preferível ser o professor a orientar o processo, sobretudo a discussão em colectivo, em vez de trabalharem autonomamente, para evitar a dispersão. Os alunos poderão estar organizados em grupos, preferencialmente em pares. É importante que, nos momentos de discussão, todos os alunos tenham a oportunidade de visualizar o que os colegas descobriram. Para isso, o professor pode solicitar que os pares mostrem, à turma, através do próprio geoplano, dum acetato ou do registo em papel ponteado (ampliado) afixado no quadro ou parede.

Esta tarefa poderá ser desenvolvida ao longo de um único momento ou faseada em vários, ou seja, em dias diferentes.

Material: geoplanos, elásticos e papel ponteado, correspondente à malha do geoplano, para cada par de alunos. Para a discussão: papel ponteado em acetato, canetas de acetato para cada grupo (se possível); retroprojector; ou papel ponteado ampliado (para afixar no quadro ou parede)

Existem diferentes tipos de geoplanos, no mercado, cujas malhas são também de diferentes tipos e/ou dimensões (circular, quadrangular, isométrica). Os mais indicados, para alunos destas idades são os que têm a distância de 5 cm entre pregos e no total 25 pregos (malha quadrangular 5 x 5). Optando pela sua construção, o contraplacado de pinho de 8 mm é uma boa hipótese. (ver matriz em Recursos) Se construirmos estes geoplanos de forma a que os bordos sejam metade da distância entre pregos, podemos unir vários geoplanos, estendendo assim a capacidade de investigação.

A quantidade e a disposição dos pontos do papel ponteado devem corresponder às dos pregos no geoplano. A distância entre os pontos não deverá ser inferior a 1 cm.

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POLIMINÓS

Poliminós são figuras construídas por justaposição de quadrados congruentes.

Obtenha todas os poliminós diferentes que é possível construir com 2, 3, 4 e 5 quadrados. Represente cada um destas figuras em papel quadriculado.

Procure também obter todos os hexaminós, poliminós de 6 quadrados, e que são 35 no total.

Estas composições de quadrados são feitas com a condição de que, em cada figura, qualquer quadrado tenha sempre um lado totalmente justaposto ao de outro quadrado. Assim, não são aceites figuras como estas:

Com 2 quadrados apenas se pode obter um dominó. Figura que dá nome ao jogo tradicional cujas peças são precisamente formadas por 2 quadrados. A designação das peças das famílias seguintes é feita com a composição do prefixo tri, tetra, penta, hexa, seguido de minó. Temos assim dominós, triminós, tetraminós, pentaminós, hexaminós, heptaminós, etc.

Triminós

Tetraminós

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Hexaminós

Notas e Comentários

O reconhecimento de que dois poliminós são ou não congruentes é um dos aspectos geométricos mais importantes nesta actividade. Sobre este assunto ver as notas da actividade POLICUBOS 1, onde se discute a congruência de figuras no plano e no espaço.

Um outro aspecto importante é o reconhecimento de que se obtiveram todas as composições com um dado número de quadrados. Para isso é importante fazer uma pesquisa organizada, começando pelos quadrados todos em fila, movendo depois apenas alguns deles e fazendo-os ocupar posições rotativamente, analisando para cada caso se se obteve ou não uma figura congruente com outra já obtida. As soluções que apresentamos para cada tipo de poliminós foram dispostas com esta preocupação.

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As composições de figuras podem ser feitas com recurso a material manipulável (figuras planas em espuma ou cartolina). Para o registo e representação destas composições podem ser utilizados papéis diversos, adequados à figura base: triangulado, ponteado isométrico, quadriculado simples, quadriculado com diagonais, hexagonal.

Com alguns poliminós da mesma família é possível construir puzzles interessantes.

Puzzles de Pentaminós

Também é interessante analisar quais são, em cada família de poliminós, aqueles que pavimentam e aqueles que não pavimentam o plano.

Para conhecer mais sobre os poliminós há uma publicação muito interessante da autoria de Martin, George. E., 1996, Polyominoes, The Mathematical Association of America, MAA, USA.

Para além da possibilidade de discutir aspectos geométricos importantes, este tipo de actividades promove o desenvolvimento de capacidades de visualização.

Como já referimos, todas as actividades de composição de figuras com estas regras estão ligadas. FIGURAS COM TRIMINÓS e POLIDIAMANTES são duas actividades com o mesmo tipo de objectivos. Há uma ligação muito forte também às actividades de planificação do cubo visto que todas as planificações do cubo são hexaminós. A actividade CUBOS CRESCENTES, explora este aspecto das planificações do cubo. Nesta linha de trabalho sobre planificações, é interessante pensar quais são os pentaminós que são planificação de uma caixa cúbica aberta, isto é, os que dão para montar um cubo com uma face em falta. É uma tarefa que pode ser feita com planifcações de cartolina.

Para o desenvolvimento da memória visual, uma actividade interessante pode ser o professor mostrar um poliminó no retroprojector e depois esconder. Os alunos terão então que reproduzir a figura escondida, com quadrados ou em papel quadriculado. É uma tarefa adequada a ser realizada individualmente ou a pares. Neste caso cada aluno deve ter material para construir a sua figura que depois será comparada com a do colega.

Esta proposta deve ser apresentada aos alunos oralmente. De acordo com o nível de desenvolvimento dos alunos o professor decidirá com que número de peças base vão trabalhar.

A tarefa deve ser realizada com o recurso a quadrados soltos, de espuma ou de cartolina, e folhas quadriculadas para representar os poliminós.

A discussão desta actividade em grande grupo pode ser auxiliada com o suporte do retroprojector onde é possível usar as peças elementares. Podem ser feitos também cartazes em papel de cenário com os quadrados colados ou presos com bostik.

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FIGURAS COM TRIMINÓS4

A Figura 1 poderá ser construída pelos módulos A e B?

Figura 1 A B

Só com o módulo A Só com o módulo B

Com os módulos A e B

O objectivo desta actividade é reconhecer figuras geométricas de vários tamanhos e em diferentes posições, assim como descobrir duas ou mais figuras relacionadas entre si ou com outras. Esta capacidade é designada por "percepção das relações no espaço".

Ao apreenderem a noção das relações espaciais e da profundidade, os alunos poderão calcular e avaliar objectos no seu contexto, e ao imaginarem inicialmente um objecto no espaço, adquirem uma ideia mais precisa do objecto que observam, do que tocando-lhe, apenas, com as mãos. Esta actividade exige que eles manipulem (façam deslizar, invertam e rodem) mentalmente as figuras geométricas.

Os alunos devem ser encorajados a visualizar as soluções. Contudo, a maioria precisará de fazer e usar muitas cópias dos módulos azuis e vermelhos.

Outras tarefas associadas POLIMINÓS e POLIDIAMANTES

Necessitará de cópias da ficha de trabalho CONSTRUIR FIGURAS COM TRIMINÓS, canetas ou lápis azuis e vermelhos, um acetato da ficha de trabalho e várias cópias das figuras azuis e vermelhas para passar no retroprojector.

Distribua as cópias da ficha CONSTRUIR FIGURAS COM TRIMINÓS e dê as seguintes instruções: Existem dois módulos desenhados no interior da moldura quadrada, apresentada na vossa ficha de trabalho. Pintem um de vermelho e o outro de azul (ilustre o procedimento no retroprojector). Como poderiam construir a primeira figura, usando os módulos que pintaram de vermelho e azul? Faça a demonstração, resolvendo o

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problema no retroprojector. Instrua os alunos a "preencherem" a primeira figura usando os dois módulos, o vermelho e o azul. Chame a atenção para o facto de que eles poderão usar mais do que um módulo vermelho ou azul em cada figura. Quando tiverem terminado, peça-lhes para mostrarem as suas soluções no retroprojector. Repita a actividade para as restantes figuras.

CONSTRUIR FIGURAS COM TRIMINÓS

Vais precisar de lápis de cor azul e vermelho, papel quadriculado e tesoura.

A

B

- Faz várias cópias dos módulos A e B e pinta-os de vermelho e azul. - Cada uma das figuras a seguir apresentadas pode ser construída com módulos vermelhos, azuis, ou vermelhos e azuis.

- Usa os módulos vermelhos e azuis para mostrar como é que as figuras abaixo podem ser cosntruídas.

Preenche, com os módulos, os três rectângulos de maneiras diferentes.

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POLIDIAMANTES

Polidiamantes são composições obtidas por justaposição de triângulos equiláteros todos congruentes entre si.

Obtenha todos os polidiamantes que é possível construir com 2, 3, 4 e 5 triângulos equiláteros.

Nesta justaposição, dois lados de triângulos justapõem-se totalmente e não pode haver buracos. As seguintes composições não são aceites como polidiamantes.

De acordo com o número de triângulos usados, os polidiamantes são designados por: diamantes (2); tridiamantes (3); tetradiamantes (4); pentadiamantes (5); hexadiamantes (6); heptadiamantes (7); etc. Mais correctamente as designações a partir da ordem 3 não deveriam conter a sílaba ―di‖, pois isso interpretado à letra dá uma duplicação de contagem de elementos. Tridi deveria significar 6 elementos, tetradi 8, e assim por diante. Porém, do ponto de vista da oralidade soa melhor com essa sílaba, por isso vamos mantê-la.

Tetradiamantes

Pentadiamantes

O reconhecimento da congruência entre dois polidiamantes exige mais segurança na vizualização. É muito comum serem representados polidiamantes congruentes em posições diferentes sem se dar pelo erro de repetição.

A tabela apresenta o número de polidiamantes que é possível construir com os números de triângulos dados.

Nº triângulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº figuras 1 1 1 3 4 12 24 66 160 448

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Às seis figuras da esquerda podemos associar nomes de animais: gaivota, borboleta, cobra, peixe, cisne, pato. Às seis da direita podemos associar nomes de objectos: barco, chapéu, gancho, faca, vela, berço. Estas 12 figuras permitem fazer uma composição perfeita que é um puzzle.

Os polidiamantes podem ser construídos com recurso a triângulos equiláteros de espuma ou de cartolina. Para o registo pode ser utilizado papel triangulado equilátero ou ponteado isométrico.

Para além da possibilidade de discutir aspectos geométricos importantes, este tipo de actividades promove o desenvolvimento de capacidades de visualização.

Como já referimos, todas as actividades de composição de figuras com estas regras estão ligadas. POLIMINÓS, POLIDIAMANTES e FIGURAS COM TRIMINÓS são duas actividades com o mesmo tipo de objectivos.

Analogamente ao que foi dito para os hexaminós, há também uma ligação entre os tetradiamantes e as planificações do tetraedro. Embora neste caso a situação não ofereça a mesma riqueza que a outra.

Esta proposta deve ser apresentada aos alunos oralmente. De acordo com o nível de desenvolvimento dos alunos, o professor decidirá com que número de peças base vão trabalhar.

A tarefa deve ser realizada com o recurso a triângulos soltos, de espuma ou de cartolina, e folhas de papel adequado para representar os polidiamantes.

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CONSTRUINDO O TANGRAM

Esta tarefa pode ser realizada oralmente com os alunos, explorando os conceitos geométricos que vão aparecendo a cada passo.

1. Pegue num quadrado de papel

2. Dobre-o ao meio.

2.1. Que figuras encontrou?

3. Divida-o em 2 partes iguais, pela diagonal. 3.1. Que figuras encontrou?

4. Pegue numa das metades, dobre-a ao meio e corte-a pelo vinco. Obteve 2 peças do TANGRAM.

5. Identifique-as (por nome, por número, por cor, como quiser).

6. Pegue na outra metade do quadrado original e dobre-a de maneira que o vértice que fica em frente ao lado maior encoste ao meio deste lado. Corte-a pelo vinco.

7. Que figuras obteve? O pedaço menor será a 3ª peça do TANGRAM. Identifique esta peça.

8. Pegue na parte maior e dobre-a ao meio. Corte-a pelo vinco. 8.1. Que figuras obteve?

9. Pegue numa delas e dobre-a de modo a obter um quadrado e um triângulo. Separe-os. Obteve mais 2 peças do TANGRAM. Identifique-as.

10. Finalmente, a outra peça dobre-a de modo a obter um paralelogramo e um triângulo. Separe-os. Obteve mais 2 peças do TANGRAM. Identifique-as.

2 rectângulos? 2 triângulos?

2 triângulos rectângulos isósceles

Obtêm-se novamente 2 triângulos rectângulos isósceles.

1 trapézio e 1 triângulo...

(31)

CONSTRUIR FIGURAS COM O TANGRAM

Com as peças do TANGRAM constrói todos os quadrados possíveis. E todos os triângulos.

E todos os rectângulos. E todos os paralelogramos.

Quadrados: Triângulos:

Rectângulos (não quadrados): Paralelogramos:

Esta tarefa possibilita o estabelecimento de relações entre figuras e o desenvolvimento da visualização de figuras dentro de outras. Estes aspectos são importantes no conhecimento das propriedades geométricas das figuras. Ao manusear as peças do TANGRAM os alunos trabalham também, de uma forma implícita, com transformações geométricas, quando precisam de rodar uma peça ou de a voltar.

A tarefa TRANSFORMAR, exige o domínio das mesmas competências, num nível mais abstracto.

(32)

TRANGRAM REVISITADO

Utilize triângulos rectângulos isósceles, todos congruentes entre si, para obter cada um das peças do TANGRAM.

Quantos triângulos destes são necessários para obter todas as peças do TANGRAM?

A peça menor do TANGRAM é um triângulo rectângulo isósceles. Com esta peça é possível obter todas as outras.

Um dos desafios desta actividade é a sua resolução sem recorrer a qualquer material. Para quem conhece muito bem o TANGRAM é um exercício interessante de memória visual.

Uma estratégia poderosa para realizar esta actividade é desenhar o TANGRAM num geoplano. Facilmente se vê a relação entre cada peça e a peça menor, o triângulo rectângulo isósceles mais pequeno.

Observando agora com atenção obtém-se também, mentalmente o número de triângulos necessários para formar cada uma das outras peças.

Esta actividade promove o desenvolvimento de capacidades de visualização e faz a ponte para o conceitos de figuras equivalentes e de medição de áreas.

Esta actividade está naturalmente ligada a todas as actividades que recorrem ao TANGRAM.

(33)

TRANSFORMAR

Em que figuras se pode transformar o quadrado?

Trata-se de cortar a figura de modo a poder compor uma nova figura com as diferentes partes obtidas.

Para cada possibilidade descreva as transformações realizadas.

Seccionar pela diagonal e fazer a translação do triângulo obtido, de modo a obter um paralelogramo.

Seccionar pela diagonal e fazer a rotação do

triângulo obtido, para conseguir um triângulo rectângulo isósceles.

Seccionar por uma diagonal e por outra até ao centro, obtendo dois triângulos que por rotação vão fazer um rectângulo.

Seccionar pelas

diagonais até ao centro, obtendo um triângulo que por translação dará um hexágono côncavo.

Seccionar pelas

diagonais até ao centro, obtendo um triângulo que por rotação dará um hexágono côncavo diferente do anterior.

Estas actividades de seccionar uma figura para compor uma nova figura designam-se por dissecções. Envolvem em grande medida capacidades de visualização. Os processos de seccionar e recompor envolvem transformações geométricas.

Como introdução aos conceitos de translação, rotação e reflexão sugere-se a tarefa DESLIZAR, VOLTAR E RODAR.

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FIGURAS NO ESPAÇO

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POLICUBOS 1

Com vários cubos, colocados de modo a que dois deles tenham sempre uma face sobreposta, obtêm-se novas figuras, habitualmente designadas por policubos. A designação dos policubos varia de acordo com o número de cubos utilizados: dicubos (2); tricubos (3); tetracubos (4); …

Obtenha todos os tetracubos diferentes. Construa outros policubos.

(1) (2) (3)

(4) (5)

(6) (7) (8)

Esta tarefa deve ser realizada com o recurso a cubos de encaixe. Na construção e comparação das diversas hipóteses está presente o desenvolvimento de capacidades de visualização.

É uma tarefa que envolve o conceito de figuras congruentes, conceito este que levanta algumas questões interessantes. Formalmente em português a designação congruente é equivalente a geometricamente igual e há uma tendência crescente para preferir ―congruente‖ a ―geometricamente igual‖. Ao nível elementar e por uma questão de simplificação usa-se apenas a designação ―igual‖. O reconhecimento de figuras congruentes no plano e no espaço oferece dificuldades diferentes.

(36)

Seguindo ainda a definição de Eduardo Veloso, ―Duas figuras no espaço são iguais quando é possível sobrepor — em imaginação — uma a outra, fazendo-a deslizar ou rodar no espaço.‖

Os sólidos (G) e (F), figura 1, podem parecer iguais de acordo com a definição que demos, mas não são, vejamos porquê. Podemos começar por pegar em (F) e rodá-lo 90°, no sentido do ponteiro dos relógios, em torno de um eixo vertical, obtendo a figura 2.

Depois, colocar (G) e levantá-lo numa posição comparável, figura 3.

Percebemos então que são ―irremediavelmente diferentes‖, por causa dos cubos com a pinta vermelha, em posições opostas em relação à parte comum. Apenas com uma reflexão num plano o sólido (F) se transforma no sólido (G). Mas isso não é arrastar ou rodar! Portanto não são igualmente iguais segundo a nossa definição (figura 4).

Esta explicação foi apresentada por Eduardo Veloso no ClicMat. Neste Cd interactivo, editado pelo Ministério da Educação, há algumas actividades para classificação de figuras congruentes no plano e no espaço.

A exploração de todos os tetracubos mostra que a tarefa é rica e interessante, nomeadamente se houver a orientação de garantir que se obtiveram todas as figuras diferentes. A apresentação que fazemos dos tetracubos foi feita no sentido de ilustrar esse raciocínio.

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— desenvolvimento de capacidades de visualização

— organização do raciocínio para ter a certeza de que se obtiveram todos os tetracubos — comunicação do raciocínio

— com dois tetracubos iguais ao nº 4 obtém-se um cubo, haverá mais algum tetracubo com esta possibilidade?

Esta tarefa pode ser ampliada ou continuada a partir de uma orientação diferente, por exemplo: — construir poliminós (quadrados de espuma)

— fazer construções com cubos a partir das 3 vistas dadas (VISTAS DAQUI E DALI) — desenhar as 3 vistas de uma construção feita com cubos (VISTAS DAQUI E DALI)

— CUBOS CRESCENTES

— CUBOS PINTADOS

— POLICUBOS 2

— Com 6 tetracubos (todos excepto o nº 1 e o nº 4) e um tricubo (um canto) obtém-se um puzzle muito conhecido, o soma cubo. O objectivo deste puzzle é construir um cubo com essas 7 peças.

Esta tarefa deve ser proposta aos alunos oralmente e de forma simplificada.

Os alunos podem receber alguns tetracubos construídos com cubos de encaixe, sendo-lhes pedido que construam tetracubos maiores usando quadrados de polydrons.

Pode também ser-lhes pedido que obtenham outros policubos, por exemplo pentacubos. Neste caso para serem construídos com cubos de encaixe.

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POLICUBOS 2

Desenhe estes tetracubos em perspectiva utilizando papel ponteado isométrico.

A representação de objectos em perspectiva é uma actividade matemática muito rica e com grande ligação com a arte e a arquitectura. Há diversos tipos de perspectiva que servem interesses diferentes. As preocupações de representação em perspectiva de um arquitecto ou de um pintor são com certeza mais exigentes do que as de um cidadão comum. Cada tipo de perspectiva obedece a regras diferentes, é importante saber que pode haver elementos da figura que são representados em verdadeira grandeza e outros que não são. Sobre este assunto achamos interessante a leitura do capítulo ―Visualização e representação‖, do livro ―Geometria — Temas actuais‖, de Eduardo Veloso, edição Ministério de Educação, Instituto de Inovação Educacional, 1998.

A perspectiva que o papel ponteado isométrico permite representar não faz parte das que são utilizadas pelos especialistas. Porém, consideramos que é um suporte muito acessível de utilizar para representar alguns sólidos geométricos em perspectiva, nomeadamente os que são construídos com cubos. Os pontos são guias facilitadores e, por isso, esta tarefa pode ser proposta a crianças. O efeito da representação no plano de figuras no espaço é muito desafiante para as crianças. Conforme o nível de desenvolvimento da destreza manual dos alunos, pode ser usado papel de malha menor ou maior.

O objectivo desta tarefa é o desenvolvimento de capacidades de visualização e de destreza manual.

Outras tarefas associadas

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Esta tarefa deve ser proposta aos alunos oralmente e com sólidos mais fáceis de visualizar e representar.

Para a realização da tarefa os alunos precisam de cubos, soltos ou de encaixe, e de papel ponteado isométrico.

Os alunos devem receber os cubos e começar por construir cada um dos sólidos, passando depois à sua representação. Os alunos poderão começar por desenhar, primeiro o cubo isolado, depois o cubo de 8, em seguida os dois prismas quadrangulares e só depois o outro tetracubo da direita. Este tipo de dinâmica facilita a atenção a diferentes ritmos de trabalho dos alunos.

(40)

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VISTAS DAQUI E DALI

Construa a figura feita com 4 cubos.

Represente em papel quadriculado as suas três vistas: vista de cima, vista de lado e vista de frente.

Mude a posição de um dos cubos e represente as vistas do novo sólido. Construa outros sólidos com os mesmos cubos e represente as suas vistas.

Desenhe as vistas de um sólido feito com 6 cubos e construa o sólido.

Um objecto pode ser olhado segundo três orientações diferentes.

Neste caso as representações no plano serão:

vista de cima vista de lado

vista de frente

A representação por vistas é uma das formas de representação bidimensional de objectos a três dimensões. Segundo Eduardo Veloso, ―neste tipo de representação o objecto é visto segundo várias direcções e é assim representado por vários desenhos que correspondem às diversas vistas que se tomam do objecto. Embora em teoria se possam considerar seis vistas, na prática utilizam-se apenas as suficientes para se poder compreender e construir o objecto em questão‖. (p. 135)

Segundo este autor, ―o melhor processo de entender em que consistem as vistas de um objecto é imaginá-lo coimaginá-locado no interior de um cubo e considerar as suas projecções ortogonais sobre as seis faces do cubo (daí as seis vistas). Posteriormente o cubo é planificado, aparecendo assim as seis vistas no mesmo plano‖. (p. 137)

Este tipo de tarefa insere-se na temática de visualização e representação. Sobre este assunto recomenda-se a leitura do capítulo com esrecomenda-se nome do livro ―Geometria — Temas actuais‖, de Eduardo Veloso, edição Ministério de Educação, Instituto de Inovação Educacional, 1998.

Para fazer este tipo de actividade com as crianças pode recorrer-se a acetatos para desenhar cada uma vista de frente

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deve ser colocado ao alto. Neste caso os traços não ficarão muito bem, mas depois de obtidas e referenciadas as três vistas em três acetatos diferentes, o aluno terá que as passar para o papel quadriculado.

Um dos objectivos de tarefas como esta é confrontar cada um com o que vê e com a forma de representar o que vê. Não estão em jogo várias formas de resolver uma situação, por isso este tipo de tarefas é muito favorável para a realização individual ou a par. O par aqui pode ter um papel importante na discussão, pelo facto de ajudar o outro a ver. São por isso tarefas muito adequadas para momentos de trabalho autónomo. No Cd-rom interactivo ClicMat há várias tarefas destas muito ricas. O facto de serem realizadas no computador facilita o trabalho de controle sobre a correcção das respostas.

— CUBOS PINTADOS

— CUBOS CRESCENTES

—POLICUBOS 1

— POLICUBOS 2

Para a realização desta actividade os alunos precisam de cubos soltos e de papel quadriculado. O papel quadriculado de 1cm é mais adequado para alunos pequenos. Como referimos pode ser útil numa fase inicial usar também acetatos.

1. Faz uma construção igual à da figura. Quantos cubos usaste?

2. Repara que a construção que fizeste pode ser vista de frente, de lado e de cima e representada em papel quadriculado.

vista de frente

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No desenho em baixo estão as 3 vistas da construção.

vista de cima vista de lado

vista de frente

Faz agora uma nova construção, com 8 cubos, que tenha as seguintes vistas:

vista de frente vista de lado vista de cima

4. Faz outra construção a teu gosto com os 8 cubos. Desenha as 3 vistas em papel quadriculado e dá a outro colega para ele reproduzir a tua construção.

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CUBOS CRESCENTES

1. Construa um cubo com 6 polydrons.

Abra-o e obtenha as várias planificações possíveis. Represente em papel quadriculado todas as planificações do cubo.

Em cada planificação assinale com a mesma cor as faces que ficam opostas na montagem do cubo.

2. Junte mais polydrons e construa um cubo maior do que o anterior. Isto é, cada face pode ser formada por vários quadrados.

Antes de fazer a construção preveja quantos quadrados vão ser necessários.

Faça um estudo de quantos quadrados seriam necessários para construir cubos cada vez maiores.

Há 11 planificações diferentes do cubo. São 11 dos 35 hexaminós.

O número de quadrados necessários para construir um cubo vai ser igual a 6 vezes o número de quadrados necessários para construir uma face. Este número é um quadrado perfeito. A expressão geral que dá o número de quadrados necessários é 6n2_{, sendo n o número de quadrados por aresta do cubo.}

nº quadrados por aresta 1 2 3 4 5 … n

nº quadrados por face 1 4 9 16 25 … n2 nº total de quadrados 6 24 54 96 150 … 6n2

Esta proposta está construída para ser uma actividade de investigação. Ela pretende levar os alunos a realizarem conjecturas cuja validade depois poderão provar. Deste modo está a contribuir para o desenvolvimento da capacidade de generalização. Está relacionada com o desenvolvimento da pré-disposição para procurar regularidades, fazer e testar conjecturas, formular generalizações, pensar de maneira lógica.

5 4

2 3

(45)

Sobre a primeira parte, o professor pode fazer uma exposição com as várias planificações obtidas pelos alunos. No caso de não terem sido obtidas todas, o professor pode propor aos alunos o desafio de descobrirem mais em outros momentos (trabalho autónomo, em casa, …). Para a exposição das planificações pode ser usado o papel quadriculado gigante. Os alunos podem pintar as planificações e devem recortá-las.

Um alternativa muito interessante para a primeira actividade, é a utilização de 3 cores diferentes de quadrados, dois de cada cor, para a construção do cubo, seguida da pintura da planificação com as mesmas cores. Este tipo de proposta ajuda a desenvolver capacidades de visualização.

Esta tarefa é uma actividade com uma grande riqueza de conexões matemáticas. Na sua exploração ligam-se conceitos e conhecimentos sobre figuras geométricas planas e no espaço (quadrados, cubos e paralelepípedos), sobre números e operações e sobre áreas. Além disso está presente a generalização matemática e a sua utilização para prever características de uma determinada construção geométrica. Um critério interessante e muito prático para avaliar a riqueza educativa de uma actividade matemática é o número de conexões matemáticas que ela nos sugere e as ideias de novas actividades que nos surgem para continuar o trabalho. Quando as questões para colocar aos alunos parecem que ―nascem como cogumelos‖ podemos ter a certeza que estamos perante uma actividade muito rica. Depois dos cubos podem pensar em fazer paralelepípedos. Se esta proposta for adaptada a triângulos equiláteros vão obter tetraedros (pirâmides triangulares), neste caso a generalização para o número de peças por face é também o quadrado do número de peças por aresta. Resultado pouco intuitivo, embora muito interessante do ponto de vista matemático.

— POLIMINÓS

— Construção de paralelepípedos com quadrados de polydrons (análoga a esta fazendo a alteração para paralelepípedos)

— Construção de tetraedros com triângulos equiláteros de polydrons (análoga a esta fazendo a alteração para tetraedros)

A tarefa deve ser apresentada aos alunos de modo a favorecer o trabalho em grupo. Cada aluno começa com 6 quadrados de polydrons para construir o cubo inicial. Depois os alunos de um grupo juntam os seus quadrados para fazer um cubo maior. Se forem 4 alunos no grupo terão o número de cubos exacto para construir o cubo seguinte, com 2 unidades de lado. Para além dos quadrados de polydron os alunos precisam de papel quadriculado para representar as planificações do cubo.

(46)

Para levar os alunos a compreenderem melhor a generalização a que chegaram, poderiam ser colocadas questões do tipo:

- Quantos quadrados são precisos para fazer um cubo com 20 de aresta? - Consegue-se construir um cubo com 1000 quadrados?

- Se cada aluno da escola tivesse um quadrado conseguiríamos construir um cubo gigante? - Se cada português tivesse um quadrado conseguiríamos construir um cubo gigante?

Uma forma de obter estas respostas é continuar a tabela e analisar os números que se obtêm. Embora possa parecer uma tarefa repetitiva de cálculo, tem duas facetas, a prática de cálculo com a observação e análise de números e a identificação de regularidades. Os números da primeira coluna são quadrados perfeitos e os alunos podem observar o seu crescimento muito rápido relativamente ao crescimento da aresta. Este tipo de confronto é um bom contributo para a compreensão da relação entre unidades de medida linear e unidades de medida de área. Para este desenvolvimento é útil ter uma tabela com mais uma coluna à esquerda, como a que se apresenta:

nº quadrados por aresta

nº de quadrados

por face nº total de quadrados

Ao construírem e completarem uma tabela como esta, os alunos estão a trabalhar o conceito de área e estão a calcular áreas de quadrados.

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CUBOS PINTADOS

1. Um cubo de madeira foi pintado de azul. Depois de pintado foi cortado em 8 cubos iguais.

Como são estes 8 cubos? Têm todos o mesmo número de faces pintadas? Registe em papel quadriculado uma planificação possível destes cubos usando cor para as faces pintadas de azul.

2. Pense agora que o cubo pintado de azul foi cortado em 27 cubos iguais. Como são os novos cubos no que respeita às faces pintadas? Quantos há com 3 faces pintadas? 2 faces pintadas? 1 face pintada? Nenhuma face pintada?

3. Faça uma generalização do problema estabelecendo relações entre o número de cubos iguais obtidos e o número de faces com cada tipo de situação de pintura. Use uma tabela.

Os 8 cubos que se obtém são todos iguais, cada um deles corresponde a um vértice do cubo original. Cada um destes cubos têm três faces pintadas de azul e três faces por pintar.

Registamos algumas planificações interessantes de analisar do ponto de vista da posição das faces pintadas. Vale a pena fazer essa análise para as onze planificações do cubo (ver CUBOS CRESCENTES).

A observação destas planificações do cubo pintadas dá uma ideia mais forte ao modo como da planificação se vê a montagem do cubo. Estas planificações em que não se via tão bem se eram ou não planificações do cubo, agora são evidentes.

Para o cubo cortado em 27 cubinhos, a visualização com 3 cores ajuda a distinguir três das quatro hipóteses possíveis.

Os cubos que ficam nos vértices ficam com 3 faces pintadas. Os cubos das arestas, a branco, ficam com 2 faces pintadas. Os cubos das faces, mais escuros, ficam com uma face pintada.

E importa não esquecer que ficou um cubo escondido dentro do cubo sem nenhuma face pintada.

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nº de cubos que ficam na aresta do cubo original

3 faces pintadas 2 faces pintadas 1 face pintada sem faces pintadas total de cubos

2 8 — — — 8

3 8 12 6 1 27

4 8 24 24 8 64

5 8 36 54 27 125

… … … …

n 8 12 (n-2) 6 (n-2)2 (n-2)3 n3

Para o cubo dividido em 8 cubos é interessante verificar que ele pode ser ―virado do avesso‖, isto é, pode ficar com as faces pintadas todas viradas para dentro.

Esta tarefa desenvolve capacidades de visualização e promove o conhecimento do cubo e dos seus elementos principais, 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

A generalização liga esta tarefa com a álgebra de uma forma muito simples e significativa. É uma actividade de conexão bastante rica.

Mesmo sem recorrer à linguagem simbólica usada na tabela é possível descrever a generalização: —Com 3 faces pintadas são sempre 8 cubos, os que ficam nos vértices; — Com 2 faces pintadas ficam sempre, em cada aresta, um número de cubos que é menos 2 que o total de cubos da aresta, como são 12 arestas multiplica-se por 12 esse número; — Dos cubos com uma face pintada ficam em cada face um conjunto em quadrado, …. como são 6 faces este número multiplica-se por 6; — Sem faces pintadas fica sempre lá dentro um cubo cujo aresta tem menos 2 que o original.

Outras tarefas associadas — POLIMINÓS

— CUBOS CRESCENTES — VISTAS DAQUI E DALI

(49)

PROPRIEDADES DAS FIGURAS

Que características é possível observar nos sólidos geométricos? Como os podemos arrumar de acordo com essas características?

Para cada propriedade observada é sempre possível proceder a uma arrumação diferente. Por exemplo:

Os que rolam (têm superfícies curvas) Os que não rolam (só têm superfícies planas) A - só tem superfície curva

B – têm superfícies curvas e planas

Com vértices Sem vértices

Com arestas Sem arestas (a aresta é o segmento de recta

resultante da intersecção de duas superfícies planas)

Com faces rectangulares Sem faces rectangulares

Com menos de 8 vértices Com 8 vértices Com mais de 8 vértices

(50)

O objectivo desta actividade é explorar as propriedades de determinados sólidos. Os alunos poderão observar diversas propriedades como por exemplo: uns sólidos rolam enquanto que outros não; uns têm bicos (vértices) enquanto outros não; uns têm mais vértices que outros; uns têm faces só de uma determinada forma, enquanto outros têm faces de diferentes formas. Proceder a classificações seguindo um determinado critério é uma actividade fundamental para a apropriação do conhecimento. A observação de uma propriedade nos objectos e a classificação segundo essa propriedade promove o desenvolvimento de conceitos. É importante que sejam os alunos a definir os seus critérios de classificação. Esta actividade possibilita a introdução aos conceitos de superfície plana e curva, face, vértice e aresta.

Pode realizar uma actividade semelhante usando figuras planas. Arranje uma diversidade bastante alargada de figuras. Inclua mesmo aquelas que não indicadas no programa, porque o que interessa não é o nome das figuras mas observar propriedades. Pode incluir até figuras côncavas.

Pode começar por mostrar à turma dois sólidos, por exemplo, um prisma quadrangular e um prisma triangular. Em que é que estes dois sólidos se assemelham? (Respostas típicas: são ambos de madeira ou plástico; são da mesma cor; ambos têm vértices ou faces planas; e por aí fora).

Em que é que estes dois sólidos são diferentes? (Respostas típicas: um tem uma face quadrada, o outro tem uma face triangular; um tem 6 vértices, o outro tem 8 vértices; têm cores diferentes).

Repita estas perguntas relativamente a outros dois sólidos, por exemplo, uma pirâmide quadrangular e uma pirâmide triangular.

Vá registando as propriedades observadas pelos alunos. Posteriormente peça-lhes para agruparem os sólidos de acordo com essas propriedades. Comece por usar apenas uma propriedade de cada vez. Experimente depois usar uma segunda propriedade para formar subgrupos dentro de uma primeira classificação. A ideia é seguir um percurso do mais simples para o mais complexo.

(51)

TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E SIMETRIA

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DESLIZAR, VOLTAR E RODAR5

Que movimentos terá de realizar o boneco na posição A para se colocar em B?

A B

Hipóteses possíveis (algumas)

Rodar para a esquerda um quarto de uma rotação completa e voltar-se sobre a cabeça.

Voltar-se sobre a esquerda e rodar para a esquerda um quarto de uma rotação completa.

Voltar-se sobre os pés e rodar para a direita um quarto de uma rotação completa.

Esta tarefa tem como objectivo desenvolver o sentido espacial, experimentando acções sobre objectos tais como deslizar, voltar e rodar. Estas acções serão importantes como uma forma de abordar três transformações básicas em geometria: translação, reflexão e rotação. Estas três transformações estão associadas à simetria. No 1ºCiclo do Ensino Básico só se trabalha a simetria de reflexão, vulgarmente reconhecida apenas por simetria. No entanto, tanto a translação como a rotação são imprescindíveis para trabalhar actividades incluídas no programa como a transformação de sólidos e figuras planas com recurso a material moldável, a papel, geoplano… Deslizar, voltar, rodar ou translação, reflexão e rotação são noções fundamentais para descrever, em termos geométricos, a acção que se exerce sobre uma figura (ou parte dela) para se obter outra.

— TRANSFORMAR

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— Descrever o processo pelo qual, partindo de um quadrado formado pelos triângulos pequenos do TANGRAM, se obtém um triângulo.

Rotação

Material - O próprio corpo ou 1 cartão (7x12 cm por ex.) por criança.

Peça a cada criança para desenhar num lado de um cartão uma figura que a represente vista de frente e do outro lado, vista de trás. Peça-lhes que repitam os desenhos no segundo cartão e escrevam o nome. Desenvolvimento - Com as crianças deitadas no chão, de barriga ou de costas: exemplificar o deslizar. Algumas crianças podem deslizar para a frente, outras para trás, ou até mesmo para os lados. ―Se a tua cabeça está virada para mim no início, para onde é que fica virada depois de deslizares?‖

Experimentar o voltar. Numa volta os alunos movem-se ―de costas‖ para ―de barriga‖ ou ―de barriga‖ para ― de costas‖. Dar a volta pelo lado esquerdo. E pelo lado direito. Dar a volta sobre os pés. Agora sobre a cabeça. ―Quando fazes uma volta o que acontece sempre?‖ ―Se a tua cabeça está a apontar para mim no início, para onde é que aponta depois de uma volta?‖ Se for uma volta para a esquerda ou para a direita a cabeça aponta para o mesmo sítio. Se for uma volta sobre a cabeça ou uma volta sobre os pés, a cabeça aponta para o sentido oposto.

Experimentar o rodar. ―Se estiveres deitado de costas e deres uma volta ficas deitado de barriga. Então como será rodar?‖ ―O corpo fica a apontar na mesma direcção antes e depois de rodar?‖ Nesta altura o ângulo de rotação é irrelevante. Exceptuando a rotação completa, o corpo aponta sempre numa direcção diferente.

Sentados em roda os alunos experimentam as diferentes possibilidades de deslizar, de voltar e de rodar, utilizando os cartões. Discuta como o deslizar é diferente (aponta na mesma direcção quer se esteja de costas ou de barriga). Discuta como o voltar é diferente (mudas sempre de posição mas não apontas sempre na mesma direcção). Discuta como todas as rotações são semelhantes (de costas ou de barriga, quase sempre se fica virado numa direcção diferente.

Continuação - Peça às crianças que descrevam o movimento que os leva de uma posição de partida (A) a uma posição de chegada (B, C, D, E). Use os cartões para ilustrar as várias situações que requerem um, dois ou três movimentos:

A

B C D E

A