© UNESP 6 Agosto 2008
Autor: Anibal Tavares de Azevedo
Limeira, 03 de Abril 2013
TÓPICOS EM PESQUISA OPERACIONAL
AULA 5 – Programação Linear
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Um problema de programação linear (ppl) é um problema de otimização tal que:
(1)Maximiza ou minimiza uma função objetivo que é uma
função objetivo linear das variáveis de decisão xi,
isto é: f(x1, x2, ..., xn) = c1x1 + ... + cnxn.
(2)Os valores das variáveis de decisão xi devem atender
restrições lineares de desigualdade ou igualdade:
g1(x1, x2, ..., xn) ≤≤≤≤ b1 →→→→ a11x1 + ... + a1nxn ≤≤≤≤ b1
g2(x1, x2, ..., xn) = b2 →→→→ a21x1 + ... + a2nxn = b2
g3(x1, x2, ..., xn) ≥≥≥≥ b3 →→→→ am1x1 + ... + amnxn ≥≥≥≥ b3
(3)As variáveis de decisão xi possuem uma restrição em relação ao sinal que podem assumir:
(3.1) podem ser não-negativas: xi ≥≥≥≥ 0;
(3.2) ou irrestritas: xi = xi’ - xii’, xi’, xii’ ≥≥≥≥ 0.
PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
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(1) Não há economia de escala: o custo de se comprar 1
unidade é igual ao de se comprar 10.000 unidades. PROPRIEDADES para a FUNÇÃO OBJETIVO
(2) A contribuição de uma variável na função objetivo
independe das demais: o lucro ao se fabricar 1 unidade
adicional do produto B não interfere no lucro de se fabricar 1 unidade do produto A.
L(x1) = 3x1 L(x2) = x2 Proporcionalidade
Aditividade
4
PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
(1) Uma restrição independe do valor da variável: o
tempo de processamento de 3 produtos A é o triplo do tempo de processamento de 1 produto A.
PROPRIEDADES para as RESTRIÇÕES
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(2) A contribuição de uma variável na restrição
independe das demais: o tempo de processamento de
produtos A independe do número de produtos B. PROPRIEDADES para as RESTRIÇÕES
Setup
A
B
Aditividade
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PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
O valor da variável é um número real: Um plano ótimo de
produção de 150.001,54 carros pode ser considerado como
150.001 carros. Mas, um plano para produzir 1,63 navios
não é óbvio se a melhor decisão é produzir 1 ou 2 navios. No segundo caso é necessário garantir a
integralidade da solução e, para tanto, é necessário
empregar a modelagem por programação inteira. PROPRIEDADES para as VARIÁVEIS
1,63 navios
2 navios?
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Os parâmetros do modelo são conhecidos com certeza: Os
valores dos coeficientes da função objetivo (lucro ou custo), coeficientes das restrições e disponibilidade de material são conhecidos e sem incerteza.
PROPRIEDADES para os PARÂMETROS
8
PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
A região factível de um PPL é o conjunto de todos os
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Em um problema de maximização, a solução ótima do PPL é o ponto da região factível com maior valor de função objetivo.
DEFINIÇÃO
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PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Analogamente, em um problema de minimização, a solução ótima do PPL é o ponto da região factível com menor valor de função objetivo.
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A resolução de um PPL para mais do que 3 variáveis de decisão depende do desenvolvimento de um método analítico.
12
PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
A resolução de um PPL para mais do que 3 variáveis de decisão depende do desenvolvimento de um método analítico.
Ponto
Ótimo
Ponto
Ótimo
Método Simplex Método de Pontos Interiores© UNESP 6 Agosto 2008
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Uma solução básica de um sistema linear Ax = b, com n
variáveis e m restrições, pode ser obtida ao se fixar
n-m variáveis no valor zero e resolver o sistema
remanescente para as m variáveis restantes. DEFINIÇÃO
Um ponto da região factível de um PPL é um ponto
extremo, se e somente se, é uma solução básica factível
do PPL. TEOREMA 1
Se um PPL tem uma solução ótima, então, ele tem uma
solução básica factível ótima.
TEOREMA 2
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MÉTODO SIMPLEX
Uma solução básica de um sistema linear Ax = b, com n
variáveis e m restrições, pode ser obtida ao se fixar
n-m variáveis no valor zero e resolver o sistema
remanescente para as m variáveis restantes. DEFINIÇÃO
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Toda inequação de menor ou igual pode ser transformada em
uma equação desde que uma variável de folga seja
empregada. Por exemplo:
x1 + 2x2 ≤ 9 ⇔⇔⇔⇔ x1 + 2x2 + x3= 9
x
1+ 2x
2+ x
3= 9
x
12x
2x
39
variável de folga
20
4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2≤ 9
x
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
15
x
1+ 2x
2+ x
3= 9
3 + 6 + 0 = 9
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4
x
20
3
3
1
5
x
12
x
1+ 2x
2+ x
3= 9
x
3= 4
x
2= 2
x
1= 1
1 + 4 + 4 = 9
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Max Z=5x
1+ 2x
2S.a.: x
1≤ 3
x
2≤ 4
x
1+ 2x
2≤ 9
x
1, x
2≥ 0
Max Z=5x
1+ 2x
2S.a.: x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
x
1+ 2x
2+ x
5= 9
x
1, x
2, x
3, x
4, x
5≥ 0
Forma Padrão
24
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
Todo problema de programação linear (PPL) pode ser formulado como um problema que possui apenas restrições de igualdade, isto é, pode ser colocado naForma Padrão. Isto é importante, pois permite a resolução analítica (numérica), e, portanto por meio de um computador, do PPL. Para tanto, é necessário escrever as restrições de modo que um conjunto de variáveis, chamadas de variáveis básicas, depende de um outro conjunto de variáveis, denominadas de variáveis não-básicas. No exemplo anterior, têm-se 3 equações e logo são necessárias 3 variáveis básicas e 2 variáveis não-básicas:
x
3= 3 – x
1x
4= 4 – x
2x
5= 9 – x
1– 2x
2x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
x
1+ 2x
2+ x
5= 9
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Por simplicidade, assume-se que todas as variáveis não-básicas possuem valor 0 e os valores das variáveis básicas
são calculados a partir das não-básicas.
x
3= 3 – x
1x
4= 4 – x
2x
5= 9 – x
1– 2x
2x1 = x2 = 0
x
3= 3
x
4= 4
x
5= 9
Solução inicial:
(
x
1,
x
2,
x
3,
x
4,
x
5)
=
(
0
,
0
,
3
,
4
,
9
)
O procedimento acima é derivado da observação de que existem 3 equações, e portanto, basta definir o valor de 3 variáveis para encontrar a solução do sistema. Assim, adota-se que as variáveis básicas (que são 3: x3 , x4, x5) são
calculadas a partir dasnão-básicas (que são 2: x1, x2) e que
estas, por sua vez, sempre têm valor 0. É importante notar que para esta solução inicial o valor da função objetivo Z é igual a0 e que Z pode ser aumentada.
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
Solução: z = 0 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
(0, 0, 3, 4, 9)
x
1+ x
3= 3
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A solução anterior apresenta como variáveis não-básicas x1 e x2. Logo, se x1 ou x2 passarem a ser variáveis básicas, então, seus valores serão diferentes de 0 e o valor de Z para esta nova solução será maior que o fornecido pela solução inicial. Para escolher qual variável não-básica será básica, dois critérios podem ser empregados:
1. Critério do maior aumento: escolhe-se aquela variável que irá realizar o maior aumento no valor de Z.
2. Critério do primeiro aumento: escolhe-se a primeira variável que irá realizar um aumento no valor de Z.
Max Z=5x
1+ 2x
2Variável não-básica que deve virar variável básica !
28
Para que x1 se torne variável básica (diferente de zero) é necessário que uma variável básica passe a ser não-básica
(igual a zero). Para tanto, verifica-se qual das variáveis básicas causa a maior limitação no aumento de x1:
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
3= 3 – x
1x
4= 4 – x
2x
5= 9 – x
1– 2x
2+
x
3≥ 0
x
4≥ 0
x
5≥ 0
3 – x
1≥ 0
9 – x
1≥ 0
x
1= 3
x
1= 9
Observe que a maior limitação no aumento de x1 decorre da
variável básica x3, tal que, quando x1 for igual a 3
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
A variável não-básica x1(valor zero) vira básica e
passa a valer 3.
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Para a nova solução é necessário reescrever as equações
(restrições) de modo a refletir que x3 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 3).
x
1= 3 – x
3x
3= 3 – x
1x
1= 3 – x
3x
1= 3 – x
3x
4=
x
5=
x
1= 3 – x
3x
4=
x
5=
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
Nova solução:
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Para a nova solução é necessário reescrever as equações
(restrições) de modo a refletir que x3 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 3).
x
1= 3 – x
3x
4= 4 – x
2x
5= 9 –
x
1– 2x
2x
3= 3 – x
1x
1= 3 – x
3x
1= 3 – x
3x
4= 4 – x
2x
5= 9 –
(3 – x
3)
– 2x
2x
1= 3 – x
3x
4= 4 – x
2x
5= 6 + x
3– 2x
2variáveis básicas variáveis não-básicas
Nova solução:
(
x
1,
x
2,
x
3,
x
4,
x
5)
=
(
3
,
0
,
0
,
4
,
6
)
32
4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
Solução: z = 15 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
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Para a nova solução é necessário reescrever também a
função objetivo de modo a refletir que x3 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 3).
x
3= 3 – x
1x
1= 3 – x
3Max Z=5x
1+ 2x
2Exercício 2
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Para a nova solução é necessário reescrever também a
função objetivo de modo a refletir que x3 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 3).
x
3= 3 – x
1x
1= 3 – x
3variáveis não-básicas
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
Max Z=5x
1+ 2x
2Max Z=5
(3 – x
3)
+ 2x
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A solução anterior pode ainda ser melhorada, pois x2 tem uma contribuição positiva no valor de Z.
Max Z = 15 - 5x
3+ 2x
2Variável não-básica que deve virar variável básica !
Assim, x2 deve se tornar variável básica, passar a ter valor diferente de 0, e o valor de Z para esta nova solução será maior que o fornecido pela solução atual.
Variável não-básica com contribuição negativa para Z !
36
Para que x2 se torne variável básica (diferente de zero) é necessário que uma variável básica passe a ser não-básica
(igual a zero). Para tanto, verifica-se qual das variáveis básicas causa a maior limitação no aumento de x2:
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
+
x
x
14≥ 0
≥ 0
x
5≥ 0
Observe que a maior limitação no aumento de x2 decorre da
variável básica , tal que, quando x2 for igual a (variável
básica), será igual a 0 (se tornará não-básica).
x
1= 3 – x
3x
4= 4 – x
2x
5= 6 + x
3– 2x
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Para que x2 se torne variável básica (diferente de zero) é necessário que uma variável básica passe a ser não-básica
(igual a zero). Para tanto, verifica-se qual das variáveis básicas causa a maior limitação no aumento de x2:
+
x
x
14≥ 0
≥ 0
x
5≥ 0
4 – x
2≥ 0
6 – 2x
2≥ 0
x
2= 4
x
2= 3
Observe que a maior limitação no aumento de x2 decorre da
variável básica x5, tal que, quando x2 for igual a 3
(variável básica), x5 será igual a 0 (se tornará não-básica).
x
1= 3 – x
3x
4= 4 – x
2x
5= 6 + x
3– 2x
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
A variável não-básica x2(valor zero) vira básica e
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x
5= 6 + x
3– 2x
2x
2= 3 + x
3/2– x
5/2
x
1= 3 – x
3x
4= 4 –
(3+x
3/2–x
5/2)
x
2= 3+x
3/2–x
5/2
x
1= 3–x
3x
4= 1-x
3/2+x
5/2
x
2= 3+x
3/2–x
5/2
variáveis básicas variáveis não-básicas
x
1= 3 – x
3x
4= 4 –
x
2x
2= 3+x
3/2–x
5/2
Para a nova solução é necessário reescrever as equações
(restrições) de modo a refletir que x5 é variável não-básica (igual a 0) e que x2 é variável básica (igual a 3).
Nova solução:
(
x
1,
x
2,
x
3,
x
4,
x
5)
=
(
3
,
3
,
0
,
1
,
0
)
40
4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
Solução: z = 21 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
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variáveis não-básicas
Max Z = 21 – 4x
3– x
5Max Z = 15 - 5x
3+ 2x
2Max Z = 15 - 5x
3+
2(3 + x
3/2– x
5/2)
Para a nova solução é necessário reescrever também a
função objetivo de modo a refletir que x4 é variável não-básica (igual a 0) e que x2 é variável básica (igual a 3).
x
5= 6 + x
3– 2x
2x
2= 3 + x
3/2– x
5/2
42
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
Max Z =
21 – 4x
3- x
5© UNESP 6 Agosto 2008
A solução anterior não pode ser melhorada, pois nenhuma
variável não-básica (x3, x5) tem uma contribuição positiva
no valor de Z, tal que se entrar na base irá aumentar o valor de Z.
Variável não-básica com contribuição negativa para Z !
Assim, a solução(x1,x2,x3 ,x4,x5)=(3,3,0,1,0) é ótima, pois não existe variável não-básica que se se tornar básica irá fornecer uma melhoria no valor de Z cujo valor máximo é 21.
Variável não-básica com contribuição negativa para Z !
Max Z = 21 – 4x
3- x
5PARE !
44
4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
Solução: z = 0 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
(0, 0, 3, 4, 9)
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
46
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
A variável não-básica x1(valor zero) vira básica e
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
Solução: z = 15 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
( 3, 0, 0, 4, 6 )
48
4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
A variável não-básica x2(valor zero) vira básica e
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
Solução: z = 21 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
( 3, 3, 0 , 1 , 0 )
50
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
Max Z =
21 – 4x
3- x
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
15
MÉTODO SIMPLEX52
O que é um Algoritmo?
É uma sequência finita de passos que resolve um dado problema ! Um bom exemplo de algoritmo é uma receita de bolo, pois a ordem
dos passos pode mudar o resultado final!
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
+
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Início
Determine uma solução inicial
Z tem coef. positivos?
Encontrou a solução ótima
Fim
1. Escolha uma variável não-básica xi com
coeficiente positivo.
2. Determine a variável básica xj que limita xi
e vira não-básica.
3. Modifique as equações das restrições e a função objetivo.
Sim
Não
Algoritmo para resolução analítica
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Exercício 4:
E se no início da resolução analítica do problema anterior a variável não-básica x2 fosse escolhidapara entrar na base ao invés da variável x1? O que
ocorreria? Resolva o problema anterior considerando esta hipótese.
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
Max Z=5x
1+ 2x
2Variável não-básica que deve virar variável básica !
x
3= 3 – x
1x
4= 4 – x
2x
5= 9 – x
1– 2x
2x1 = x2 = 0
x
3= 3
x
4= 4
x
5= 9
Solução inicial:
(
x
1,
x
2,
x
3,
x
4,
x
5)
=
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
Solução: z = 0 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
(0, 0, 3, 4, 9)
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
56
Para que x2 se torne variável básica (diferente de zero) é necessário que uma variável básica passe a ser não-básica
(igual a zero). Para tanto, verifica-se qual das variáveis básicas causa a maior limitação no aumento de x2:
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
3= 3 – x
1x
4= 4 – x
2x
5= 9 – x
1– 2x
2+
x
3≥ 0
x
4≥ 0
x
5≥ 0
4 – x
2≥ 0
9 – 2x
2≥ 0
x
2= 4
x
2= 4,5
Observe que a maior limitação no aumento de x2 decorre da
variável básica x4, tal que, quando x2 for igual a 4
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
A variável não-básica x2(valor zero) vira básica e
passa a valer 4.
58
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Para a nova solução é necessário reescrever as equações
(restrições) de modo a refletir que x4 é variável não-básica (igual a 0) e que x2 é variável básica (igual a 4).
x
3= 3 – x
1x
2= 4 – x
4x
5= 9 – x
1– 2
x
2x
4= 4 – x
2x
2= 4 – x
4x
3= 3 – x
1x
2= 4 – x
4x
5= 9 – x
1– 2
(4 – x
4)
x
3= 3 – x
1x
2= 4 – x
4x
5= 1 – x
1+ 2x
4variáveis básicas variáveis não-básicas
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
Nova solução:
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
Solução: z = 8 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
( 0, 4, 3, 0, 1 )
60
Para a nova solução é necessário reescrever também a
função objetivo de modo a refletir que x4 é variável não-básica e que x2 é variável básica (igual a 4).
x
2= 4 – x
4x
2= 4 – x
4variáveis não-básicas
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
Max Z=5x
1+ 2x
2Max Z=5x
1+ 2
(4 – x
4)
Max Z=8 + 5x
1- 2x
4Variável não-básica que deve virar
Variável não-básica com contribuição
Assim, x1 deve se
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Para que x1 se torne variável básica (diferente de zero) é necessário que uma variável básica passe a ser não-básica
(igual a zero). Para tanto, verifica-se qual das variáveis básicas causa a maior limitação no aumento de x1:
+
x
x
32≥ 0
≥ 0
x
5≥ 0
3 – x
1≥ 0
1 – x
1≥ 0
x
1= 3
x
1= 1
Observe que a maior limitação no aumento de x1 decorre da
variável básica x5, tal que, quando x1 for igual a 1
(variável básica), x5 será igual a 0 (se tornará não-básica).
x
3= 3 – x
1x
2= 4 – x
4x
5= 1 – x
1+ 2x
462
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
A variável não-básica x1(valor zero) vira básica e
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x
5= 1 – x
1+ 2x
4x
1= 1 – x
5+ 2x
4x
3= 3 –
(1 – x
5+ 2x
4)
x
2= 4 – x
4x
1= 1 – x
5+ 2x
4x
3= 2 + x
5- 2x
4x
2= 4 – x
4x
1= 1 – x
5+ 2x
4variáveis básicas variáveis não-básicas
x
3= 3 –
x
1x
2= 4 – x
4x
1= 1 – x
5+ 2x
4Para a nova solução é necessário reescrever as equações
(restrições) de modo a refletir que x5 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 1).
Nova solução:
(
x
1,
x
2,
x
3,
x
4,
x
5)
=
(
1
,
4
,
2
,
0
,
0
)
64
4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
Solução: z = 13 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
© UNESP 6 Agosto 2008
Max Z = 13 – 5x
5+ 8x
4Max Z=8 + 5x
1- 2x
4Max Z=8 + 5
(1 – x
5+ 2x
4)
- 2x
4Para a nova solução é necessário reescrever também a
função objetivo de modo a refletir que x5 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 1).
x
5= 1 – x
1+ 2x
4x
1= 1 – x
5+ 2x
4variáveis não-básicas
Variável não-básica que deve virar variável básica ! Variável não-básica
com contribuição negativa para Z !
Assim, x4 deve se tornar variável básica (“sair do zero”) !
66
© UNESP 6 Agosto 2008
Para que x4 se torne variável básica (diferente de zero) é necessário que uma variável básica passe a ser não-básica
(igual a zero). Para tanto, verifica-se qual das variáveis básicas causa a maior limitação no aumento de x4:
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
+
x
x
32≥ 0
≥ 0
x
1≥ 0
2 – 2x
4≥ 0
1 + 2x
4≥ 0
1 ≥ x
4x
4≥ -1/2
Observe que a maior limitação no aumento de x4 decorre da
variável básica x3, tal que, quando x4 for igual a 1
(variável básica), x3 será igual a 0 (se tornará não-básica).
x
3= 2 + x
5- 2x
4x
2= 4 – x
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
A variável não-básica x4(valor zero) vira básica e
passa a valer 1.
68
x
3= 2 + x
5- 2x
4x
4= 1 + x
5/2- x
3/2
x
4= 1 + x
5/2- x
3/2
x
2=4–
(1 + x
5/2- x
3/2)
x
1=1–x
5+2
(1 + x
5/2- x
3/2)
x
4= 1 + x
5/2- x
3/2
x
2= 3 – x
5/2+x
3/2
x
1= 3 – x
3variáveis básicas variáveis não-básicas
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
4= 1 + x
5/2- x
3/2
x
2= 4 –
x
4x
1= 1 – x
5+ 2
x
4Para a nova solução é necessário reescrever as equações
(restrições) de modo a refletir que x3 é variável não-básica (igual a 0) e que x4 é variável básica (igual a 1).
Nova solução:
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
Solução: z = 21 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
( 3, 3, 0 , 1 , 0 )
70
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RESOLUÇÃO ANALÍTICA
Max Z = 21 – x
5- 4x
3Max Z = 13 – 5x
5+ 8x
4Max Z = 13 – 5x
5+ 8
(1 + x
5/2- x
3/2)
Para a nova solução é necessário reescrever também a
função objetivo de modo a refletir que x5 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 1).
variáveis não-básicas
Variável não-básica com contribuição negativa para Z !
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
15
Max Z =
21 – 4x
3- x
5Solução ótima
72
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
A solução anterior não pode ser melhorada, pois nenhuma
variável não-básica (x3, x5) tem uma contribuição positiva
no valor de Z, tal que se entrar na base irá aumentar o valor de Z.
Assim, a solução(x1,x2,x3 ,x4,x5)=(3,4,0,1,0) é ótima, pois não existe variável não-básica que se se tornar básica irá fornecer uma melhoria no valor de Z cujo valor máximo é 21.
Variável não-básica com contribuição negativa para Z !
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
15
Max Z =
21 – 4x
3- x
5Solução ótima
74
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
Solução: z = 0 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
(0, 0, 3, 4, 9)
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
76
4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
A variável não-básica x2(valor zero) vira básica e
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
Solução: z = 8 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
( 0, 4, 3, 0, 1 )
78
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
A variável não-básica x1(valor zero) vira básica e
© UNESP 6 Agosto 2008
4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
Solução: z = 13 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
( 1, 4, 2 , 0 , 0 )
80
4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
A variável não-básica x4(valor zero) vira básica e
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2+ x
5=9
x
15
x
1+ x
3= 3
x
2+ x
4= 4
Solução: z = 21 ( x1, x2, x3, x4, x5 )
=
( 3, 3, 0 , 1 , 0 )
82
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
15
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
Max Z =
21 – 4x
3- x
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4
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
15
MÉTODO SIMPLEX84
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
Toda inequação de maior ou igual pode ser transformada em
uma equação desde que uma variável de excesso seja
empregada. Por exemplo:
x1 + 2x2 ≥ 9 ⇔⇔⇔⇔ x1 + 2x2 - x3= 9
x
1+ 2x
2- x
3= 9
x
12x
2x
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x
14
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
x
1+ 2x
2≥ 9
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RESOLUÇÃO GRÁFICA
x
14
x
20
3
3
1
(1,4)
(3,3)
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4
x
20
3
3
1
5
x
12
x
1+ 2x
2- x
3= 9
x
3= 2
x
2= 3
x
1= 5
5 + 6 - 2 = 9
88