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TÓPICOS EM PESQUISA OPERACIONAL AULA 5 – Programação Linear

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(1)

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 03 de Abril 2013

TÓPICOS EM PESQUISA OPERACIONAL

AULA 5 – Programação Linear

2

© UNESP 6 Agosto 2008

Um problema de programação linear (ppl) é um problema de otimização tal que:

(1)Maximiza ou minimiza uma função objetivo que é uma

função objetivo linear das variáveis de decisão xi,

isto é: f(x1, x2, ..., xn) = c1x1 + ... + cnxn.

(2)Os valores das variáveis de decisão xi devem atender

restrições lineares de desigualdade ou igualdade:

g1(x1, x2, ..., xn) ≤≤≤≤ b1 →→→→ a11x1 + ... + a1nxn ≤≤≤≤ b1

g2(x1, x2, ..., xn) = b2 →→→→ a21x1 + ... + a2nxn = b2

g3(x1, x2, ..., xn) ≥≥≥≥ b3 →→→→ am1x1 + ... + amnxn ≥≥≥≥ b3

(3)As variáveis de decisão xi possuem uma restrição em relação ao sinal que podem assumir:

(3.1) podem ser não-negativas: xi ≥≥≥≥ 0;

(3.2) ou irrestritas: xi = xi’ - xii’, xi’, xii’ ≥≥≥≥ 0.

PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

(2)

© UNESP 6 Agosto 2008

(1) Não há economia de escala: o custo de se comprar 1

unidade é igual ao de se comprar 10.000 unidades. PROPRIEDADES para a FUNÇÃO OBJETIVO

(2) A contribuição de uma variável na função objetivo

independe das demais: o lucro ao se fabricar 1 unidade

adicional do produto B não interfere no lucro de se fabricar 1 unidade do produto A.

L(x1) = 3x1 L(x2) = x2 Proporcionalidade

Aditividade

4

PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

(1) Uma restrição independe do valor da variável: o

tempo de processamento de 3 produtos A é o triplo do tempo de processamento de 1 produto A.

PROPRIEDADES para as RESTRIÇÕES

(3)

© UNESP 6 Agosto 2008

(2) A contribuição de uma variável na restrição

independe das demais: o tempo de processamento de

produtos A independe do número de produtos B. PROPRIEDADES para as RESTRIÇÕES

Setup

A

B

Aditividade

6

© UNESP 6 Agosto 2008

PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

O valor da variável é um número real: Um plano ótimo de

produção de 150.001,54 carros pode ser considerado como

150.001 carros. Mas, um plano para produzir 1,63 navios

não é óbvio se a melhor decisão é produzir 1 ou 2 navios. No segundo caso é necessário garantir a

integralidade da solução e, para tanto, é necessário

empregar a modelagem por programação inteira. PROPRIEDADES para as VARIÁVEIS

1,63 navios

2 navios?

(4)

© UNESP 6 Agosto 2008

Os parâmetros do modelo são conhecidos com certeza: Os

valores dos coeficientes da função objetivo (lucro ou custo), coeficientes das restrições e disponibilidade de material são conhecidos e sem incerteza.

PROPRIEDADES para os PARÂMETROS

8

PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

A região factível de um PPL é o conjunto de todos os

(5)

© UNESP 6 Agosto 2008

Em um problema de maximização, a solução ótima do PPL é o ponto da região factível com maior valor de função objetivo.

DEFINIÇÃO

10

© UNESP 6 Agosto 2008

PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Analogamente, em um problema de minimização, a solução ótima do PPL é o ponto da região factível com menor valor de função objetivo.

(6)

© UNESP 6 Agosto 2008

A resolução de um PPL para mais do que 3 variáveis de decisão depende do desenvolvimento de um método analítico.

12

PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

A resolução de um PPL para mais do que 3 variáveis de decisão depende do desenvolvimento de um método analítico.

Ponto

Ótimo

Ponto

Ótimo

Método Simplex Método de Pontos Interiores

(7)

© UNESP 6 Agosto 2008

14

© UNESP 6 Agosto 2008

(8)

© UNESP 6 Agosto 2008

16

(9)

© UNESP 6 Agosto 2008

Uma solução básica de um sistema linear Ax = b, com n

variáveis e m restrições, pode ser obtida ao se fixar

n-m variáveis no valor zero e resolver o sistema

remanescente para as m variáveis restantes. DEFINIÇÃO

Um ponto da região factível de um PPL é um ponto

extremo, se e somente se, é uma solução básica factível

do PPL. TEOREMA 1

Se um PPL tem uma solução ótima, então, ele tem uma

solução básica factível ótima.

TEOREMA 2

18

© UNESP 6 Agosto 2008

MÉTODO SIMPLEX

Uma solução básica de um sistema linear Ax = b, com n

variáveis e m restrições, pode ser obtida ao se fixar

n-m variáveis no valor zero e resolver o sistema

remanescente para as m variáveis restantes. DEFINIÇÃO

(10)

© UNESP 6 Agosto 2008

Toda inequação de menor ou igual pode ser transformada em

uma equação desde que uma variável de folga seja

empregada. Por exemplo:

x1 + 2x2 ≤ 9 ⇔⇔⇔⇔ x1 + 2x2 + x3= 9

x

1

+ 2x

2

+ x

3

= 9

x

1

2x

2

x

3

9

variável de folga

20

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

≤ 9

x

1

(11)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

5

x

1

+ 2x

2

+ x

3

= 9

3 + 6 + 0 = 9

22

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

5

x

1

2

x

1

+ 2x

2

+ x

3

= 9

x

3

= 4

x

2

= 2

x

1

= 1

1 + 4 + 4 = 9

(12)

© UNESP 6 Agosto 2008

Max Z=5x

1

+ 2x

2

S.a.: x

1

≤ 3

x

2

≤ 4

x

1

+ 2x

2

≤ 9

x

1

, x

2

≥ 0

Max Z=5x

1

+ 2x

2

S.a.: x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

x

1

+ 2x

2

+ x

5

= 9

x

1

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

≥ 0

Forma Padrão

24

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Todo problema de programação linear (PPL) pode ser formulado como um problema que possui apenas restrições de igualdade, isto é, pode ser colocado naForma Padrão. Isto é importante, pois permite a resolução analítica (numérica), e, portanto por meio de um computador, do PPL. Para tanto, é necessário escrever as restrições de modo que um conjunto de variáveis, chamadas de variáveis básicas, depende de um outro conjunto de variáveis, denominadas de variáveis não-básicas. No exemplo anterior, têm-se 3 equações e logo são necessárias 3 variáveis básicas e 2 variáveis não-básicas:

x

3

= 3 – x

1

x

4

= 4 – x

2

x

5

= 9 – x

1

– 2x

2

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

x

1

+ 2x

2

+ x

5

= 9

(13)

© UNESP 6 Agosto 2008

Por simplicidade, assume-se que todas as variáveis não-básicas possuem valor 0 e os valores das variáveis básicas

são calculados a partir das não-básicas.

x

3

= 3 – x

1

x

4

= 4 – x

2

x

5

= 9 – x

1

– 2x

2

x1 = x2 = 0

x

3

= 3

x

4

= 4

x

5

= 9

Solução inicial:

(

x

1

,

x

2

,

x

3

,

x

4

,

x

5

)

=

(

0

,

0

,

3

,

4

,

9

)

O procedimento acima é derivado da observação de que existem 3 equações, e portanto, basta definir o valor de 3 variáveis para encontrar a solução do sistema. Assim, adota-se que as variáveis básicas (que são 3: x3 , x4, x5) são

calculadas a partir dasnão-básicas (que são 2: x1, x2) e que

estas, por sua vez, sempre têm valor 0. É importante notar que para esta solução inicial o valor da função objetivo Z é igual a0 e que Z pode ser aumentada.

26

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Solução: z = 0 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

(0, 0, 3, 4, 9)

x

1

+ x

3

= 3

(14)

© UNESP 6 Agosto 2008

A solução anterior apresenta como variáveis não-básicas x1 e x2. Logo, se x1 ou x2 passarem a ser variáveis básicas, então, seus valores serão diferentes de 0 e o valor de Z para esta nova solução será maior que o fornecido pela solução inicial. Para escolher qual variável não-básica será básica, dois critérios podem ser empregados:

1. Critério do maior aumento: escolhe-se aquela variável que irá realizar o maior aumento no valor de Z.

2. Critério do primeiro aumento: escolhe-se a primeira variável que irá realizar um aumento no valor de Z.

Max Z=5x

1

+ 2x

2

Variável não-básica que deve virar variável básica !

28

Para que x1 se torne variável básica (diferente de zero) é necessário que uma variável básica passe a ser não-básica

(igual a zero). Para tanto, verifica-se qual das variáveis básicas causa a maior limitação no aumento de x1:

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

3

= 3 – x

1

x

4

= 4 – x

2

x

5

= 9 – x

1

– 2x

2

+

x

3

≥ 0

x

4

≥ 0

x

5

≥ 0

3 – x

1

≥ 0

9 – x

1

≥ 0

x

1

= 3

x

1

= 9

Observe que a maior limitação no aumento de x1 decorre da

variável básica x3, tal que, quando x1 for igual a 3

(15)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

A variável não-básica x1(valor zero) vira básica e

passa a valer 3.

30

© UNESP 6 Agosto 2008

Para a nova solução é necessário reescrever as equações

(restrições) de modo a refletir que x3 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 3).

x

1

= 3 – x

3

x

3

= 3 – x

1

x

1

= 3 – x

3

x

1

= 3 – x

3

x

4

=

x

5

=

x

1

= 3 – x

3

x

4

=

x

5

=

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Nova solução:

(16)

© UNESP 6 Agosto 2008

Para a nova solução é necessário reescrever as equações

(restrições) de modo a refletir que x3 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 3).

x

1

= 3 – x

3

x

4

= 4 – x

2

x

5

= 9 –

x

1

– 2x

2

x

3

= 3 – x

1

x

1

= 3 – x

3

x

1

= 3 – x

3

x

4

= 4 – x

2

x

5

= 9 –

(3 – x

3

)

– 2x

2

x

1

= 3 – x

3

x

4

= 4 – x

2

x

5

= 6 + x

3

– 2x

2

variáveis básicas variáveis não-básicas

Nova solução:

(

x

1

,

x

2

,

x

3

,

x

4

,

x

5

)

=

(

3

,

0

,

0

,

4

,

6

)

32

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

Solução: z = 15 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

(17)

© UNESP 6 Agosto 2008

Para a nova solução é necessário reescrever também a

função objetivo de modo a refletir que x3 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 3).

x

3

= 3 – x

1

x

1

= 3 – x

3

Max Z=5x

1

+ 2x

2

Exercício 2

34

© UNESP 6 Agosto 2008

Para a nova solução é necessário reescrever também a

função objetivo de modo a refletir que x3 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 3).

x

3

= 3 – x

1

x

1

= 3 – x

3

variáveis não-básicas

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Max Z=5x

1

+ 2x

2

Max Z=5

(3 – x

3

)

+ 2x

2

(18)

© UNESP 6 Agosto 2008

A solução anterior pode ainda ser melhorada, pois x2 tem uma contribuição positiva no valor de Z.

Max Z = 15 - 5x

3

+ 2x

2

Variável não-básica que deve virar variável básica !

Assim, x2 deve se tornar variável básica, passar a ter valor diferente de 0, e o valor de Z para esta nova solução será maior que o fornecido pela solução atual.

Variável não-básica com contribuição negativa para Z !

36

Para que x2 se torne variável básica (diferente de zero) é necessário que uma variável básica passe a ser não-básica

(igual a zero). Para tanto, verifica-se qual das variáveis básicas causa a maior limitação no aumento de x2:

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

+

x

x

14

≥ 0

≥ 0

x

5

≥ 0

Observe que a maior limitação no aumento de x2 decorre da

variável básica , tal que, quando x2 for igual a (variável

básica), será igual a 0 (se tornará não-básica).

x

1

= 3 – x

3

x

4

= 4 – x

2

x

5

= 6 + x

3

– 2x

2

(19)

© UNESP 6 Agosto 2008

Para que x2 se torne variável básica (diferente de zero) é necessário que uma variável básica passe a ser não-básica

(igual a zero). Para tanto, verifica-se qual das variáveis básicas causa a maior limitação no aumento de x2:

+

x

x

14

≥ 0

≥ 0

x

5

≥ 0

4 – x

2

≥ 0

6 – 2x

2

≥ 0

x

2

= 4

x

2

= 3

Observe que a maior limitação no aumento de x2 decorre da

variável básica x5, tal que, quando x2 for igual a 3

(variável básica), x5 será igual a 0 (se tornará não-básica).

x

1

= 3 – x

3

x

4

= 4 – x

2

x

5

= 6 + x

3

– 2x

2

38

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

A variável não-básica x2(valor zero) vira básica e

(20)

© UNESP 6 Agosto 2008

x

5

= 6 + x

3

– 2x

2

x

2

= 3 + x

3

/2– x

5

/2

x

1

= 3 – x

3

x

4

= 4 –

(3+x

3

/2–x

5

/2)

x

2

= 3+x

3

/2–x

5

/2

x

1

= 3–x

3

x

4

= 1-x

3

/2+x

5

/2

x

2

= 3+x

3

/2–x

5

/2

variáveis básicas variáveis não-básicas

x

1

= 3 – x

3

x

4

= 4 –

x

2

x

2

= 3+x

3

/2–x

5

/2

Para a nova solução é necessário reescrever as equações

(restrições) de modo a refletir que x5 é variável não-básica (igual a 0) e que x2 é variável básica (igual a 3).

Nova solução:

(

x

1

,

x

2

,

x

3

,

x

4

,

x

5

)

=

(

3

,

3

,

0

,

1

,

0

)

40

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

Solução: z = 21 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

(21)

© UNESP 6 Agosto 2008

variáveis não-básicas

Max Z = 21 – 4x

3

– x

5

Max Z = 15 - 5x

3

+ 2x

2

Max Z = 15 - 5x

3

+

2(3 + x

3

/2– x

5

/2)

Para a nova solução é necessário reescrever também a

função objetivo de modo a refletir que x4 é variável não-básica (igual a 0) e que x2 é variável básica (igual a 3).

x

5

= 6 + x

3

– 2x

2

x

2

= 3 + x

3

/2– x

5

/2

42

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Max Z =

21 – 4x

3

- x

5

(22)

© UNESP 6 Agosto 2008

A solução anterior não pode ser melhorada, pois nenhuma

variável não-básica (x3, x5) tem uma contribuição positiva

no valor de Z, tal que se entrar na base irá aumentar o valor de Z.

Variável não-básica com contribuição negativa para Z !

Assim, a solução(x1,x2,x3 ,x4,x5)=(3,3,0,1,0) é ótima, pois não existe variável não-básica que se se tornar básica irá fornecer uma melhoria no valor de Z cujo valor máximo é 21.

Variável não-básica com contribuição negativa para Z !

Max Z = 21 – 4x

3

- x

5

PARE !

44

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

(23)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

Solução: z = 0 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

(0, 0, 3, 4, 9)

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

46

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

A variável não-básica x1(valor zero) vira básica e

(24)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

Solução: z = 15 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

( 3, 0, 0, 4, 6 )

48

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

A variável não-básica x2(valor zero) vira básica e

(25)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

Solução: z = 21 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

( 3, 3, 0 , 1 , 0 )

50

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Max Z =

21 – 4x

3

- x

5

(26)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

5

MÉTODO SIMPLEX

52

O que é um Algoritmo?

É uma sequência finita de passos que resolve um dado problema ! Um bom exemplo de algoritmo é uma receita de bolo, pois a ordem

dos passos pode mudar o resultado final!

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

+

(27)

© UNESP 6 Agosto 2008

Início

Determine uma solução inicial

Z tem coef. positivos?

Encontrou a solução ótima

Fim

1. Escolha uma variável não-básica xi com

coeficiente positivo.

2. Determine a variável básica xj que limita xi

e vira não-básica.

3. Modifique as equações das restrições e a função objetivo.

Sim

Não

Algoritmo para resolução analítica

54

© UNESP 6 Agosto 2008

Exercício 4:

E se no início da resolução analítica do problema anterior a variável não-básica x2 fosse escolhida

para entrar na base ao invés da variável x1? O que

ocorreria? Resolva o problema anterior considerando esta hipótese.

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Max Z=5x

1

+ 2x

2

Variável não-básica que deve virar variável básica !

x

3

= 3 – x

1

x

4

= 4 – x

2

x

5

= 9 – x

1

– 2x

2

x1 = x2 = 0

x

3

= 3

x

4

= 4

x

5

= 9

Solução inicial:

(

x

1

,

x

2

,

x

3

,

x

4

,

x

5

)

=

(28)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

Solução: z = 0 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

(0, 0, 3, 4, 9)

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

56

Para que x2 se torne variável básica (diferente de zero) é necessário que uma variável básica passe a ser não-básica

(igual a zero). Para tanto, verifica-se qual das variáveis básicas causa a maior limitação no aumento de x2:

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

3

= 3 – x

1

x

4

= 4 – x

2

x

5

= 9 – x

1

– 2x

2

+

x

3

≥ 0

x

4

≥ 0

x

5

≥ 0

4 – x

2

≥ 0

9 – 2x

2

≥ 0

x

2

= 4

x

2

= 4,5

Observe que a maior limitação no aumento de x2 decorre da

variável básica x4, tal que, quando x2 for igual a 4

(29)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

A variável não-básica x2(valor zero) vira básica e

passa a valer 4.

58

© UNESP 6 Agosto 2008

Para a nova solução é necessário reescrever as equações

(restrições) de modo a refletir que x4 é variável não-básica (igual a 0) e que x2 é variável básica (igual a 4).

x

3

= 3 – x

1

x

2

= 4 – x

4

x

5

= 9 – x

1

– 2

x

2

x

4

= 4 – x

2

x

2

= 4 – x

4

x

3

= 3 – x

1

x

2

= 4 – x

4

x

5

= 9 – x

1

– 2

(4 – x

4

)

x

3

= 3 – x

1

x

2

= 4 – x

4

x

5

= 1 – x

1

+ 2x

4

variáveis básicas variáveis não-básicas

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Nova solução:

(30)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

Solução: z = 8 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

( 0, 4, 3, 0, 1 )

60

Para a nova solução é necessário reescrever também a

função objetivo de modo a refletir que x4 é variável não-básica e que x2 é variável básica (igual a 4).

x

2

= 4 – x

4

x

2

= 4 – x

4

variáveis não-básicas

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Max Z=5x

1

+ 2x

2

Max Z=5x

1

+ 2

(4 – x

4

)

Max Z=8 + 5x

1

- 2x

4

Variável não-básica que deve virar

Variável não-básica com contribuição

Assim, x1 deve se

(31)

© UNESP 6 Agosto 2008

Para que x1 se torne variável básica (diferente de zero) é necessário que uma variável básica passe a ser não-básica

(igual a zero). Para tanto, verifica-se qual das variáveis básicas causa a maior limitação no aumento de x1:

+

x

x

32

≥ 0

≥ 0

x

5

≥ 0

3 – x

1

≥ 0

1 – x

1

≥ 0

x

1

= 3

x

1

= 1

Observe que a maior limitação no aumento de x1 decorre da

variável básica x5, tal que, quando x1 for igual a 1

(variável básica), x5 será igual a 0 (se tornará não-básica).

x

3

= 3 – x

1

x

2

= 4 – x

4

x

5

= 1 – x

1

+ 2x

4

62

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

A variável não-básica x1(valor zero) vira básica e

(32)

© UNESP 6 Agosto 2008

x

5

= 1 – x

1

+ 2x

4

x

1

= 1 – x

5

+ 2x

4

x

3

= 3 –

(1 – x

5

+ 2x

4

)

x

2

= 4 – x

4

x

1

= 1 – x

5

+ 2x

4

x

3

= 2 + x

5

- 2x

4

x

2

= 4 – x

4

x

1

= 1 – x

5

+ 2x

4

variáveis básicas variáveis não-básicas

x

3

= 3 –

x

1

x

2

= 4 – x

4

x

1

= 1 – x

5

+ 2x

4

Para a nova solução é necessário reescrever as equações

(restrições) de modo a refletir que x5 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 1).

Nova solução:

(

x

1

,

x

2

,

x

3

,

x

4

,

x

5

)

=

(

1

,

4

,

2

,

0

,

0

)

64

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

Solução: z = 13 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

(33)

© UNESP 6 Agosto 2008

Max Z = 13 – 5x

5

+ 8x

4

Max Z=8 + 5x

1

- 2x

4

Max Z=8 + 5

(1 – x

5

+ 2x

4

)

- 2x

4

Para a nova solução é necessário reescrever também a

função objetivo de modo a refletir que x5 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 1).

x

5

= 1 – x

1

+ 2x

4

x

1

= 1 – x

5

+ 2x

4

variáveis não-básicas

Variável não-básica que deve virar variável básica ! Variável não-básica

com contribuição negativa para Z !

Assim, x4 deve se tornar variável básica (“sair do zero”) !

66

© UNESP 6 Agosto 2008

Para que x4 se torne variável básica (diferente de zero) é necessário que uma variável básica passe a ser não-básica

(igual a zero). Para tanto, verifica-se qual das variáveis básicas causa a maior limitação no aumento de x4:

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

+

x

x

32

≥ 0

≥ 0

x

1

≥ 0

2 – 2x

4

≥ 0

1 + 2x

4

≥ 0

1 ≥ x

4

x

4

≥ -1/2

Observe que a maior limitação no aumento de x4 decorre da

variável básica x3, tal que, quando x4 for igual a 1

(variável básica), x3 será igual a 0 (se tornará não-básica).

x

3

= 2 + x

5

- 2x

4

x

2

= 4 – x

4

(34)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

A variável não-básica x4(valor zero) vira básica e

passa a valer 1.

68

x

3

= 2 + x

5

- 2x

4

x

4

= 1 + x

5

/2- x

3

/2

x

4

= 1 + x

5

/2- x

3

/2

x

2

=4–

(1 + x

5

/2- x

3

/2)

x

1

=1–x

5

+2

(1 + x

5

/2- x

3

/2)

x

4

= 1 + x

5

/2- x

3

/2

x

2

= 3 – x

5

/2+x

3

/2

x

1

= 3 – x

3

variáveis básicas variáveis não-básicas

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

4

= 1 + x

5

/2- x

3

/2

x

2

= 4 –

x

4

x

1

= 1 – x

5

+ 2

x

4

Para a nova solução é necessário reescrever as equações

(restrições) de modo a refletir que x3 é variável não-básica (igual a 0) e que x4 é variável básica (igual a 1).

Nova solução:

(35)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

Solução: z = 21 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

( 3, 3, 0 , 1 , 0 )

70

© UNESP 6 Agosto 2008

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Max Z = 21 – x

5

- 4x

3

Max Z = 13 – 5x

5

+ 8x

4

Max Z = 13 – 5x

5

+ 8

(1 + x

5

/2- x

3

/2)

Para a nova solução é necessário reescrever também a

função objetivo de modo a refletir que x5 é variável não-básica (igual a 0) e que x1 é variável básica (igual a 1).

variáveis não-básicas

Variável não-básica com contribuição negativa para Z !

(36)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

5

Max Z =

21 – 4x

3

- x

5

Solução ótima

72

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

A solução anterior não pode ser melhorada, pois nenhuma

variável não-básica (x3, x5) tem uma contribuição positiva

no valor de Z, tal que se entrar na base irá aumentar o valor de Z.

Assim, a solução(x1,x2,x3 ,x4,x5)=(3,4,0,1,0) é ótima, pois não existe variável não-básica que se se tornar básica irá fornecer uma melhoria no valor de Z cujo valor máximo é 21.

Variável não-básica com contribuição negativa para Z !

(37)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

5

Max Z =

21 – 4x

3

- x

5

Solução ótima

74

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

(38)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

Solução: z = 0 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

(0, 0, 3, 4, 9)

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

76

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

A variável não-básica x2(valor zero) vira básica e

(39)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

Solução: z = 8 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

( 0, 4, 3, 0, 1 )

78

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

A variável não-básica x1(valor zero) vira básica e

(40)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

Solução: z = 13 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

( 1, 4, 2 , 0 , 0 )

80

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

A variável não-básica x4(valor zero) vira básica e

(41)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

+ x

5

=9

x

1

5

x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

Solução: z = 21 ( x1, x2, x3, x4, x5 )

=

( 3, 3, 0 , 1 , 0 )

82

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

5

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Max Z =

21 – 4x

3

- x

5

(42)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

5

MÉTODO SIMPLEX

84

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Toda inequação de maior ou igual pode ser transformada em

uma equação desde que uma variável de excesso seja

empregada. Por exemplo:

x1 + 2x2 ≥ 9 ⇔⇔⇔⇔ x1 + 2x2 - x3= 9

x

1

+ 2x

2

- x

3

= 9

x

1

2x

2

x

3

9

(43)

© UNESP 6 Agosto 2008

x

1

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

x

1

+ 2x

2

≥ 9

86

© UNESP 6 Agosto 2008

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

1

4

x

2

0

3

3

1

(1,4)

(3,3)

(44)

© UNESP 6 Agosto 2008

4

x

2

0

3

3

1

5

x

1

2

x

1

+ 2x

2

- x

3

= 9

x

3

= 2

x

2

= 3

x

1

= 5

5 + 6 - 2 = 9

88

Min Z=5x

1

+ 2x

2

S.a.: x

1

≤ 3

x

2

≤ 4

x

1

+ 2x

2

≥ 9

x

1

, x

2

≥ 0

Max -Z=-5x

1

-2x

2

S.a.: x

1

+ x

3

= 3

x

2

+ x

4

= 4

x

1

+ 2x

2

-

x

5

= 9

x

, x

, x

, x

, x

≥ 0

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Referências

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