Ensino e aprendizagem de geometria em ambientes geométricos dinâmicos : o tema de geometria do plano no 9º ano de escolaridade

UNIVERSIDADE DO MINHO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO E PSICOLOGIA

Elsa Maria Barrigão Ferreira

ENSINO E APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA EM AMBIENTES GEOMÉTRICOS DINÂMICOS: O tema de Geometria do Plano no 9º ano de escolaridade

Dissertação de Mestrado em Educação

Área de Especialização em Supervisão Pedagógica em Ensino da Matemática

Trabalho efectuado sob a orientação do Professor Doutor José António Fernandes

É autorizada a reprodução integral desta dissertação apenas para efeitos de investigação, mediante declaração escrita do interessado, que a tal se compromete.

A G R A D E C I M E N T O S

Quero agradecer a todos o que tornaram este trabalho possível, em especial,

Ao Professor Doutor José António Fernandes pela sua orientação e disponibilidade, pelas suas sugestões e comentários, pelo seu estímulo positivo e por acreditar em mim.

Aos professores do curso de mestrado pela sua experiência e sabedoria que me abriram os olhos para muitas questões.

Ao Conselho Executivo da Escola Secundária de Felgueiras por ter permitido a realização desta experiência.

À professora Carla e aos seus alunos, que muito prontamente se dispuseram a ajudar nesta “caminhada”, pelo seu empenho e entusiasmo.

À Sónia pela sua disponibilidade e por ter “encontrado” a professora Carla.

À Paula, à Célia e à Cristina pela bibliografia fornecida, pelas suas sugestões e discussões.

Ao Sr. Fernandes e à D. Aida por me “aturarem” durante este tempo.

Ao Jorge pela paciência e carinho.

Aos meus pais por todo o seu amor e apoio incondicional.

ENSINO E APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA EM AMBIENTES GEOMÉTRICOS DINÂMICOS: O tema de Geometria do Plano no 9º ano de escolaridade

Elsa Maria Barrigão Ferreira

Dissertação de Mestrado

Universidade do Minho, Outubro de 2005

A matemática é cada vez mais utilizada na sociedade, com ligação às mais diversas áreas da actividade humana e, numa sociedade cada vez mais competitiva e mais tecnológica, espera-se que a escola seja capaz de formar seres "matematicamente alfabetizados" (NCTM, 1991, p. 5), que sejam capazes de reflectir criticamente, de resolver problemas, de efectuar escolhas, de tomar decisões, adoptando um papel mais activo e mais autónomo.

Torna-se, assim, urgente proporcionar ambientes de ensino/aprendizagem mais ricos, mais estimulantes e mais desafiantes, que permitam aos alunos desenvolver a sua capacidade para explorar, conjecturar, raciocinar logicamente, utilizar e reflectir sobre a informação disponível. Para tal, a Geometria constitui um tema propício ao desenvolvimento de tais capacidades, sendo os Ambientes de Geometria Dinâmica (AGD), como o Geometer’s Sketchpad (GSP), vistos como poderosos instrumentos de ensino da Geometria. Assim, neste estudo, pretendemos estudar as potencialidades do GSP como mediador no processo de ensino/aprendizagem da Geometria, quer no que diz respeito ao desempenho matemático, quer no que diz respeito às atitudes dos alunos.

O estudo desenvolveu-se com os alunos de uma turma do 9° ano de escolaridade, de uma escola secundária, do distrito do Porto, com idades compreendidas entre os 14 e os 17 anos, que trabalharam, em grupo, com recurso ao GSP, a unidade didáctica

Circunferência e Polígonos. Rotações.

Dada a problemática em estudo, optou-se por uma metodologia de investigação predominantemente qualitativa, tendo a recolha de dados sido centrada na observação de aulas, no registo de notas da investigadora, nos documentos produzidos pelos alunos, em dois questionários aos alunos e numa entrevista à professora da turma.

Em termos de resultados, salienta-se o aprofundamento de algumas das capacidades matemáticas mencionadas, a autonomia e as concepções acerca da demonstração. Apesar dos aspectos menos conseguidos, designadamente a resistência de alguns alunos à forma implementada para aprender geometria, no sentido de que tinham de “explicar tudo”, o balanço que alunos, professora e investigadora fazem da experiência é, em todos os sentidos, bastante positivo.

Finalmente, este estudo veio reforçar a ideia de que é importante romper com algumas tradições escolares, pelo menos no que diz respeito aos papéis dos intervenientes directos (professor e alunos) no processo de ensino/aprendizagem.

TEACHING AND LEARNING OF GEOMETRY IN DYNAMIC GEOMETRIC ENVIRONMENTS: The subject of Geometry of the Plan in 9th year grade

Elsa Maria Barrigão Ferreira

Master Dissertation

Universidade do Minho, October 2005

The mathematics is more used in society, with linking to most diverse areas of human’s activity and, in a society more competitive and more technological, expects that the school be able to form "mathematically literate" beings (NCTM, 1991, p. 5), that they are able to reflect critically, to solve problems, to make choices, to take decisions, adopting a more active and more autonomous role.

It is, thus, urgent to provide richer environments of teaching/learning, more challenging and more stimulants, where the students are allowed to develop their capacity to explore, to conjecture, to think logically and to use and to reflect on the available information. Thus, Geometry is a propitious subject to the development of such capacities, being the Environments of Dynamic Geometry, as Geometer's

Sketchpad (GSP), seen as powerful instruments in teaching Geometry. Thus, in this

study, we intend to analyze the potentialities of the GSP as a mediator in the process of teaching/learning Geometry, in respect to the mathematical performance or in respect to the attitudes of the students.

The study was carried with the students of a 9th year, of an intermediate school in the district of Porto, with ages between 14 and 17 years, who had worked, in groups, with the help of the GSP, the didactics unit Circumference and Polygons. Rotations.

On this subject the methodology chosen was predominantly qualitative, having the gathering of data been centred in the classroom notes taken by the investigator, in the student’s documents, in two questionnaires to the students and in an interview to the teacher of the class. In terms of results, it is noticeable the deepening of some of the mentioned mathematical capacities, the autonomy and the conceptions concerning the demonstration.

Despite of not so good results, for example, the resistance of some students to the given form to learn geometry, with the intent that they had "to explain everything", the summing up that pupils, teacher and investigator make of the experience is, in all senses, enough positive.

Finally, this study gives to strength to the idea that it is important to break with some school traditions, at least in respect to the performance of those directly involved (teacher and students) in the teaching/learning process.

ÍNDICE AGRADECIMENTOS... iii RESUMO ... iv ÍNDICE ... vi LISTA DE TABELAS ... ix LISTA DE FIGURAS ... x

CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO AO PROBLEMA ... 1

1.1. Problema de investigação... 2

1.2. Perspectivas actuais na Educação Matemática ... 5

1.3. Geometria, AGD e Demonstração... 10

1.4. Motivações para o estudo... 12

1.5. Aspectos da metodologia usada no estudo... 15

CAPÍTULO II – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 17

2.1. A Geometria no currículo de Matemática ... 17

2.1.1. Recuperação da Geometria no currículo de Matemática ... 17

2.1.2. Situação actual no ensino básico... 21

2.2. O computador ao serviço do ensino da Geometria ... 25

2.2.1. O computador no ensino e na aprendizagem da Geometria... 25

2.2.2. O ensino e a aprendizagem da Geometria em AGD ... 31

2.3. A demonstração em Matemática ... 39

2.3.1. Os diferentes papéis da demonstração ... 39

2.3.2. O ensino e a aprendizagem da demonstração ... 46

2.3.3. A demonstração em AGD ... 50

CAPÍTULO III – PLANO METODOLÓGICO ... 59

3.1. Opções metodológicas do estudo ... 59

3.2. Participantes no estudo... 60 3.2.1. Escolha da turma... 60 3.2.2. A professora da turma ... 61 3.2.3. Caracterização da turma/escola... 61 3.2.4. Intervenção didáctica ... 64 3.2.5. Grupos de trabalho ... 68

3.3. Materiais de ensino utilizados ... 70

3.3.2. Fichas de trabalho ... 74

3.4. Métodos e instrumentos de recolha de dados... 82

3.4.1. Observação... 83

3.4.2. Documentos produzidos pelos alunos... 85

3.4.3. Questionários ... 86

3.4.4. Entrevista ... 89

3.5. Análise de dados... 90

CAPÍTULO IV – IMPLEMENTAÇÃO DA EXPERIÊNCIA DE ENSINO... 93

4.1. Primeira sessão ... 93 4.2. Segunda sessão ... 95 4.3. Terceira sessão ... 96 4.4. Quarta sessão... 101 4.5. Quinta sessão... 104 4.6. Sexta sessão... 113 4.7. Sétima sessão... 119 4.8. Oitava sessão ... 120 4.9. Nona sessão ... 124 4.10. Décima sessão ... 127

4.11. Décima primeira sessão... 127

CAPÍTULO V – AVALIAÇÃO DA EXPERIÊNCIA ... 139

5.1. Ideias e atitudes dos alunos acerca da Geometria e da demonstração ... 139

5.1.1. Atitudes face à Geometria... 140

5.1.2. Concepções acerca da demonstração ... 146

5.2. Apreciação global sobre a experiência... 152

5.2.1. Apreciação sobre as aulas de Geometria ... 152

5.2.2. Apreciação das tarefas de Geometria... 159

5.3. Entrevista à professora ... 166

5.3.1. Ensino da Geometria: Circunferência e Polígonos ... 167

5.3.2. Experiência de ensino e aprendizagem ... 168

CAPÍTULO VI – CONCLUSÕES DO ESTUDO ... 173

6.1. Descrição do estudo ... 173

6.2. Principais conclusões ... 177

6.2.1. Desenvolvimento de capacidades matemáticas ... 177

6.2.3. Atitudes e concepções dos alunos acerca da geometria

e da demonstração... 190

6.3. Limitações e recomendações... 195

BIBLIOGRAFIA... 203

ANEXOS ... 219

Anexo I. Pedido de autorização ao Conselho Executivo ... 221

Anexo II. Pedido de autorização aos Encarregados de Educação... 222

Anexo III. Manual de iniciação ao Geometer’s Sketchpad, ver. 4.00... 223

Anexo IV. Fichas de trabalho propostas ... 239

Anexo V. Questionário sobre atitudes e concepções dos alunos acerca da geometria e da demonstração ... 263

Anexo VI. Questionário sobre a experiência de ensino e aprendizagem da Geometria ... 269

LISTA DE TABELAS

Tabela 1. Distribuição dos alunos que participaram no estudo por sexo e idade ... 62

Tabela 2. Classificação obtida no 1º período na disciplina de Matemática... 63

Tabela 3. Sistematização das sessões da intervenção didáctica e os respectivos assuntos abordados... 67

Tabela 4. Atitudes dos alunos face à Geometria... 141

Tabela 5. Situações do dia-a-dia em que seja necessária a Geometria ... 143

Tabela 6. Razões para a utilização do computador nas aulas de matemática ... 144

Tabela 7. Metodologias preferidas para a aprendizagem da geometria... 145

Tabela 8. Formas de se certificar da correcta resolução de exercícios ou problemas ... 146

Tabela 9. Como ter a certeza de que uma propriedade é verdadeira ... 147

Tabela 10. Funções da demonstração ... 148

Tabela 11. Definição de demonstração ... 149

Tabela 12. Razões para trabalhar como um verdadeiro matemático ... 150

Tabela 13. Demonstração de que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um qualquer paralelogramo é 360º... 150

Tabela 14. Apreciação global sobre a experiência... 153

Tabela 15. Importância e interesse dos temas estudados ... 159

Tabela 16. Dificuldades sentidas pelos alunos ... 160

Tabela 17. Finalidades das tarefas ... 161

Tabela 18. Finalidade do trabalho de grupo... 163

Tabela 19. Ajuda na formulação das conclusões, na explicação dos procedimentos e na explicação das conclusões ... 164

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Teorema de Napoleão (adaptada de De Villiers, 2003) ... 33

Figura 2. Quadrilátero de Varignon (adaptada de De Villiers, 2003)... 41

Figura 3. Centro de gravidade de um triângulo (adaptada de De Villiers, 2003) ... 42

Figura 4. Propriedades 2 e 3 do Bissectogramo [EFGH] do quadrilátero [ABCD]... 43

Figura 5. Caso particular do Quadrilátero de Varignon... 44

Figura 6. Um velho problema... ... 50

Figura 7. Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo [ABC] (adaptada de De Viliiers, 2003) ... 53

Figura 8. Resolução de uma tarefa da ficha 9, Recta tangente à circunferência... 86

Figura 9. Resolução da ficha de trabalho 1, pelo grupo GSP4 ... 98

Figura 10. Definição de ângulo ao centro dada por alguns grupos... 99

Figura 11. Resolução da ficha de trabalho 1, pelo grupo GSP5 ... 100

Figura 12. Para ângulos côncavos, o GSP continua a medir a amplitude do arco correspondente ao ângulo convexo ... 100

Figura 13. Exercício de aplicação, resolvido pelos alunos com recurso às ferramentas tradicionais, papel e lápis ... 102

Figura 14. Resolução da ficha 2, apresentada pelo grupo GSP7 ... 103

Figura 15. Resolução da tarefa 3, da ficha 3, apresentada pelo grupo GSP8 ... 106

Figura 16. Justificações apresentadas pelo grupo GSP11 para a conjectura estabelecida para os ângulos inscritos... 108

Figura 17. Resolução da tarefa 5, da ficha 3, pela Flávia ... 108

Figura 18. Resolução da tarefa 5, da ficha 3, pela Joana ... 109

Figura 19. Construção de um ângulo inscrito numa semi-circunferência, pelo grupo GSP5 ... 110

Figura 21. Resolução da ficha 5, pelo grupo GSP5 ... 115

Figura 22. Resolução da tarefa 2, da ficha 9, pelo grupo GSP5 ... 117

Figura 23. Resolução da tarefa 3, da ficha 9, pelo grupo GSP5 ... 119

Figura 24. “Construção do aeroporto” pelo grupo GSP5 ... 122

Figura 25. “Construção do aeroporto” pelo grupo GSP7 ... 122

Figura 26. Resolução da tarefa 2, da ficha 10, pelos grupos GSP7 e GSP6 ... 131

Figura 27. Resolução da ficha 10, pelo grupo GSP7 ... 132

Figura 28. Resolução da ficha 10, pelo grupo GSP5 ... 136

C A P Í T U L O I

INTRODUÇÃO AO PROBLEMA

Com este estudo procurou-se analisar as potencialidades educativas dos Ambientes Geométricos Dinâmicos (AGD), nomeadamente do Geometer’s Sketchpad (GSP) na influência quer no que diz respeito às atitudes e concepções dos alunos perante a geometria, quer no que diz respeito ao seu desempenho matemático no estudo do capítulo

Circunferência e Polígonos. Rotações, do 9º ano de escolaridade. Desempenho esse

centrado na construção de conceitos e relações matemáticas e na necessidade de justificação das mesmas.

Este estudo está organizado em seis capítulos. No presente capítulo começaremos por apresentar os objectivos do estudo e fundamentar as nossas opções à luz das actuais orientações em Educação Matemática e as razões que nos levaram a optar por esta temática. No capítulo que se segue, capítulo dois, é apresentada uma revisão de literatura, que consideramos essencial, sobre o ensino e a aprendizagem da geometria com recurso aos AGD e que orientou o desenvolvimento deste estudo. Começamos por nos referir às mudanças actuais na sociedade e às suas implicações no ensino, nomeadamente a utilização das novas tecnologias, para de seguida dar uma especial atenção aos AGD e à questão da demonstração em matemática.

A descrição geral do estudo é feita no terceiro capítulo, onde fundamentamos a escolha da metodologia adoptada e onde descrevemos pormenorizadamente as condições em que este decorreu, os participantes, os materiais de ensino utilizados e os instrumentos para a recolha e análise dos dados.

No capítulo quatro iremos debruçarmo-nos sobre a implementação da experiência de ensino, com especial enfoque no trabalho realizado pelos alunos na investigação, na

descoberta e na argumentação de conceitos e relações geométricas, com recurso ao GSP. No capítulo cinco é feita uma avaliação da experiência onde damos a conhecer a forma como os alunos e a professora viveram e sentiram a mesma.

Finalmente, as conclusões do estudo são deixadas para capítulo seis, onde se resumem e discutem os principais resultados obtidos. São também apresentadas as limitações do presente estudo e sugeridos possíveis caminhos para futuras investigações.

1.1. Problema de investigação

A matemática é cada vez mais utilizada na sociedade, com ligação às mais diversas áreas da actividade humana. Vivemos num “cenário matematizado” (Providência, 2001, p. 8), desde a arquitectura à engenharia, desde a biologia à medicina, desde a música à arte, a matemática faz parte do nosso quotidiano, e, portanto, para se ser seduzido pelo fascínio da matemática é necessário, segundo Pappas (2001), compreender que esta não é um assunto isolado sem relação com as coisas que nos rodeiam.

Deste modo, a Educação Matemática tem como objectivo promover a formação de cidadãos participativos, críticos e confiantes na forma como lidam com a matemática, uma vez que esta se distingue das outras ciências, em especial no modo como encara a generalização e a demonstração e no modo como combina o trabalho experimental com os raciocínios indutivo e dedutivo, oferecendo um contributo único como meio de pensar, de aceder ao conhecimento e de comunicar ( [Departamento de Educação Básica] DEB, 2001).

Nesta perspectiva, a geometria torna-se um campo privilegiado de matematização da realidade e da realização de descobertas. Segundo Mason (1991), aprendemos geometria para fortalecer e ajudar a organizar a noção de espaço, para ter conhecimento do mundo real em que vivemos e para contactar directamente com o mundo da matemática através da observação e da mente, indo de encontro às ideias já defendidas, em 1973, por Freudenthal, para quem a geometria é essencialmente “a compreensão do espaço” o qual a criança “deve aprender a conhecer, a explorar, a conquistar” de modo a poder aí “viver, respirar e movimentar-se melhor” (p. 403). Acções tão simples como consultar um mapa ou fazer

medições, pendurar um quadro, jogar bilhar ou fazer construções com legos exigem sentido de orientação, compreensão do espaço, ou seja, noções necessárias para compreender e viver no mundo que nos rodeia.

É, portanto, indubitável o papel relevante que a geometria deve ocupar na Educação Matemática. Mas, o ambiente em que esta é explorada influencia de formas diferentes a apropriação de saberes.

Ao longo dos tempos, os instrumentos disponíveis sempre propiciaram o desenvolvimento de ambientes geométricos criativos e didácticos. Agora, também o impacto das novas tecnologias, da sociedade actual, se traduzem em mudanças de conteúdos, abordagens, métodos e processos de pensamento no ensino e aprendizagem da geometria, que poderão ser patrocinados pela exploração do moderno software geométrico (Hershkowitz, 1994; citado em Junqueira, 1995). Tal como refere Laborde (1993), aprender geometria com papel, lápis, régua e compasso é diferente de aprender recorrendo a materiais manipuláveis, que por sua vez é diferente de aprender geometria recorrendo a ambientes computacionais dinâmicos, como o Cabri-Géomètre ou o Geometer’s Sketchpad. Estes libertam-nos de tarefas mecânicas e rotineiras, de construção, de medição e de cálculos, deixando tempo para um trabalho mais dinâmico e activo em geometria.

Os AGD vieram então dar um novo contributo ao processo de ensino/aprendizagem da geometria, uma vez que estes permitem, de uma maneira muito mais viva e eficaz (De Villiers, 1996a), explorar, descobrir e desenvolver conceitos matemáticos e não somente verificar resultados ou realizar experiências. Estes ambientes, oferecem, portanto, a professores e alunos, segundo Noss e Hoyles (1996), uma nova janela para a geometria, contribuindo, assim, para um ensino renovado deste tema.

Outra questão que tem vindo a recuperar o seu lugar na Educação Matemática é a demonstração que, considerada por muitos professores como a “entrada no mundo da matemática”, é vista por muitos alunos como o “ início do seu fracasso escolar” (Barbin, 1996, p. 195). Sendo assim, é necessário encontrar meios que motivem os alunos para a demonstração na sala de aula, para que comecem a senti-la como uma actividade útil e interessante.

demonstração. Mas, será que também se pode demonstrar com os AGD?

Estudos recentes, como os de Gardiner, Hudson e Povey (2000) e Mogetta (2000), mostram como a utilização dos AGD pode contribuir para o desenvolvimento nos alunos da ideia de construção e de demonstração. Contudo, esta questão ainda não tem uma resposta definitiva, pois há quem considere que a demonstração com recurso ao computador não é uma “verdadeira demonstração”. Por exemplo, a tão procurada demonstração do teorema das quatro cores, um dos mais famosos problemas da matemática contemporânea, demonstrado com o computador, em 1976, por Kennet Appel e Wolfang Hanken, é contestada por muitos matemáticos e filósofos. Enquanto que no entendimento de uns não chega a ser uma demonstração, para outros desafia o conceito tradicional de demonstração matemática. Hanken, citado em Providência (2001, p. 55), argumenta dizendo que:

“O facto de um computador percorrer mais pormenores nalgumas horas de que um humano alguma vez pode esperar ao longo de uma vida não altera o conceito básico da prova matemática. O que mudou não é a teoria, mas a prática das matemáticas.” Apesar da demonstração ter vindo a ocupar um papel mais relevante na Educação Matemática, alguns autores, dentre os quais Wu (1996, citado em Knuth, 2002b), salientam o facto da sua utilização se restringir, quase unicamente, ao campo da Geometria. Mas, a verdade é que com a ajuda dos AGD, devido à sua característica facilitadora da experimentação e através dos vários exemplos gerados, da investigação de propriedades e relações, a demonstração pode ser “vista com outros olhos”, motivar alunos e professores nesse sentido e, consequentemente, poder constituir o primeiro passo para que a demonstração “venha para ficar”, poder ser a porta da entrada principal. Assim, uma vez que a aprendizagem da Geometria é influenciada de diferentes formas, dependendo também do ambiente em que é explorada, o objectivo deste estudo foi estudar as potencialidades dos AGD como mediadores no processo de ensino/aprendizagem da Geometria e como é que estes podem aproximar os alunos da prática da demonstração matemática.

Estas considerações levaram-nos a formular as seguintes questões de investigação: - A utilização dos AGD contribui para o desenvolvimento de capacidades matemáticas, tão importantes, como compreender e relacionar objectos geométricos, formular conjecturas, estabelecer raciocínios lógicos, comunicar e usar correctamente a linguagem

matemática? Será que o recurso aos AGD leva os alunos a privilegiar a evidência como forma de argumentação?

- Os AGD poderão contribuir para uma nova aprendizagem da geometria tornando os alunos mais interessados e autónomos?

- Quais as concepções que os alunos têm acerca da geometria e da demonstração? É possível mudá-las através da utilização dos AGD?

1.2. Perspectivas actuais na Educação Matemática

“ De todos os lados assistimos a uma invasão crescente da vida moderna pela matemática, a uma matematização das ciências que dia a dia se tornam mais imprescindíveis aos homens. De modo que a orgulhosa «rainha das ciências», até aqui rainha distante, encerrada num Mont-Salvat mal abordável, tende a tornar-se numa companheira democratizada e querida de todos nós” (Caraça, 1978, p. 295). Bom, não tão “querida” assim de todos nós, mas com certeza um “mal necessário” para muitos e uma paixão para alguns. O que é de salientar é que há já 27 anos atrás Bento de Jesus Caraça falava da matemática como indispensável na vida de todos nós e é verdade que as transformações, incessantes e em ritmo acelerado, a que a sociedade está actualmente sujeita, exigem cada vez mais matemática, até ao mais comum dos cidadãos. Face a esta sociedade, em constante mudança, “fortemente matematizada e tecnológica” (Piteira, 2000, p. 1), torna-se necessário preparar os alunos para o mercado de trabalho e para exercer uma cidadania de modo crítico e consciente, pois vivemos num permanente desfio: adaptarmo-nos a um mundo em constante transformação. Tal desafio reflecte-se inevitavelmente no currículo de Matemática. Citando Ponte, Boavida, Graça e Abrantes (1997, p. 45):

“Um currículo pode vigorar durante mais ao menos tempo, conforme se revele mais ao menos adequado às suas funções e ao jogo das forças políticas e sociais a que se encontra submetido. Com a transformação acelerada da sociedade, característica deste final de século XX, é natural que os currículos passem a ter uma vida útil cada vez menor” (p. 45).

O currículo da disciplina de Matemática tem sofrido importantes alterações, salientando-se sobretudo as seguintes tendências: (1) a natureza das competências matemáticas que merecem especial atenção no processo de ensino/aprendizagem. A resolução de problemas e investigações, por parte dos alunos, permite dar asas à imaginação e à criatividade, desenvolvendo capacidades que vão além do cálculo e da memorização, como a comunicação, o espírito critico, a modelação, a capacidade de analisar dados e situações complexas, de realizar demonstrações, de planear, gerir e avaliar o seu próprio trabalho; (2) o impacto das novas tecnologias. As novas tecnologias estão a mudar a Matemática e as competências a que se deve dar mais ênfase, sendo uma tendência muito forte nos currículos actuais; (3) a emergência de novos domínios na Matemática. A evolução da própria matemática e a emergência de novos temas, como a matemática discreta, as probabilidades e as ciências da computação, redefinem os assuntos a abordar nos novos currículos; (4) o aprofundamento da investigação sobre o processo de aprendizagem.

As investigações sobre o processo de ensino/aprendizagem também influenciam as novas orientações curriculares. A investigação tem mostrado que a maioria dos alunos realiza as tarefas propostas mas sem reflectir muito sobre o seu sentido, acabando por ver a matemática como algo sem interesse e inútil. Esta visão encontra-se ainda muito marcada na cultura de sala de aula (Ponte, Boavida, Graça e Abrantes, 1997), pelo que é necessário invertê-la.

As novas tendências curriculares, no ensino e aprendizagem da Matemática, tiveram como motor principal a associação de professores de Matemática dos Estados Unidos, National Council of Teacher of Mathematics (NCTM).

Em Portugal, a principal protagonista pela reforma na matemática escolar foi a Associação de Professores de Matemática (APM). A reforma da matemática escolar é exigida pelas características de uma sociedade cada vez mais competitiva. De acordo com as Normas para o Currículo e Avaliação em Matemática Escolar do NCTM (1991, p. 5),

“a sociedade actual espera que as escolas garantam que todos os estudantes tenham a oportunidade de se tornar matematicamente alfabetizados, sejam capazes de prolongar a sua aprendizagem, tenham iguais oportunidades de aprender e se tornem

cidadãos aptos a compreender as questões em aberto numa sociedade tecnológica. Tal como a sociedade muda, também as suas escolas devem transformar-se”.

Neste contexto, torna-se prioritário combater a iletracia matemática a que os nossos alunos se resignam e torná-los matematicamente alfabetizados, de modo a fazer frente às novas exigências da actualidade.

O estudo internacional PISA 2000 (Programme for International Assessment) revelou que os alunos portugueses de 15 anos de idade tiveram um desempenho em literacia matemática claramente inferior à média conseguida pelos alunos dos países da OCDE (Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Económico). A literacia matemática no PISA é definida como “a capacidade de um indivíduo identificar e compreender o papel que a matemática desempenha no mundo, de fazer julgamentos bem fundamentados e de usar e se envolver na resolução matemática das necessidades da sua vida, enquanto cidadão construtivo, preocupado e reflexivo”, e procura avaliar até que ponto os alunos de 15 anos, de vários países, incluindo Portugal, podem ser considerados “cidadãos informados e reflexivos e consumidores esclarecidos” centrando-se na capacidade destes “utilizarem o conhecimento e a compreensão matemática” para os ajudar a perceber determinadas questões e levar a cabo as tarefas daí resultantes ([Ministério da Educação] ME e [Gabinete de Avaliação Educativa] GAVE, 2004, p. 2).

Os alunos portugueses tiveram um desempenho médio bastante modesto, aproximadamente 450 pontos, bastante inferior ao dos alunos do Japão com mais de 550 pontos e inferior ao dos alunos dos países da OCDE cuja média é de 500 pontos. Os estudantes portugueses encontram-se ao mesmo nível da Itália, da Grécia, da Letónia e do Luxemburgo. No que diz respeito ao desempenho dos alunos portugueses por ano de escolaridade, os alunos do 10º ano e um número reduzido de alunos do 11º ano situa-se acima da média da OCDE. Relativamente ao 9º ano, o decréscimo é evidente, para os 428 pontos, e acentua-se à medida que nos aproximamos do 5º ano de escolaridade, atingindo apenas os 247 pontos. Estes resultados são preocupantes e leva-nos a pensar que algo não está bem e é preciso fazer algo no sentido de preparar melhor os nossos alunos para a vida futura.

um conjunto de atitudes, capacidades e conhecimentos relativos à matemática, que todos devem desenvolver ao longo da educação básica e que inclui: (1) a predisposição para raciocinar matematicamente, isto é, para explorar situações problemáticas, procurar regularidades, fazer e testar conjecturas, formular generalizações, pensar de maneira lógica; (2) o gosto e a confiança pessoal em realizar actividades intelectuais que envolvem raciocínio matemático e a concepção de que a validade de uma afirmação está relacionada com a consistência da argumentação lógica, e não com alguma autoridade exterior; (3) a aptidão para discutir com os outros e comunicar descobertas e ideias matemáticas através do uso de uma linguagem, escrita e oral, não ambígua e adequada à situação; (4) a compreensão das noções de conjectura, teorema e demonstração, assim como das consequências do uso de diferentes definições; (5) a predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e a aptidão para desenvolver processos de resolução, assim como para analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas; (6) a aptidão para decidir sobre a razoabilidade de um resultado e de usar, consoante os casos, o cálculo mental, os algoritmos de papel e lápis ou os instrumentos tecnológicos; (7) a tendência para procurar ver e apreciar a estrutura abstracta que está presente numa situação, seja ela relativa a problemas do dia-a-dia, à natureza ou à arte, envolva ela elementos numéricos, geométricos ou ambos e (8) a tendência para usar a matemática, em combinação com outros saberes, na compreensão de situações da realidade, bem como o sentido crítico relativamente à utilização de procedimentos e resultados matemáticos.

As Normas para o Currículo e Avaliação em Matemática Escolar propõem para todos os alunos, desde o ensino pré-escolar ao 12º ano, os seguintes objectivos gerais: (1) aprender a dar valor à matemática; (2) adquirir confiança na sua capacidade de fazer matemática; (3) tornarem-se aptos na resolução de problemas matemáticos; (4) aprender a comunicar matematicamente e (5) aprender a raciocinar matematicamente. Infelizmente, alguns dados que temos acerca destes objectivos não são muito animadores (NCTM, 1991). Os resultados das provas de aferição do ensino básico no que diz respeito à Matemática, mostram que os alunos do 4º ano revelaram um melhor desempenho do que os do 6º ano, e apontam para uma recuperação do 9º ano relativamente aos resultados do 6º ano. Ainda assim, os dados globais apontam para um nível máximo de aproximadamente 50% para o

4º ano, contra 10% no 6º ano, verificando-se um grande desnível nos resultados do 4º para o 6º ano. Esse desnível diminui para o 9º ano, onde os níveis máximos chegam a aproximar-se dos 40%. Em 2003, na variável do conhecimento, os níveis máximos subiram um pouco acima dos 50%, na resolução de problemas diminui, não chegando aos 20%, no raciocínio também diminui e encontra-se um pouco acima dos 20% e na comunicação superam os 40% (ME, 2004). Apesar de haver uma recuperação no 9º ano e os níveis terem atingido os 40%, os resultados não se podem considerar animadores e estão longe do que é satisfatório.

Para ir de encontro dos objectivos atrás referidos, o NCTM (1991) sugere que os alunos: (1) participem em numerosas e variadas experiências relacionadas entre si e que os encorajem a dar apreço ao desenvolvimento da matemática, a desenvolver hábitos de pensamento matemático e a compreender e apreciar o papel da matemática na vida da humanidade; (2) sejam encorajados a explorar, a fazer tentativas, e mesmo a cometer erros e a tentar corrigi-los, de tal modo que ganhem confiança na sua capacidade de resolver problemas complexos; (3) leiam, escrevam e discutam matemática, e ainda conjecturem, testem e construam argumentos sobre a validade de uma conjectura. Mas, o alcance destes objectivos não é conseguido se mudarmos os conteúdos e as finalidades e continuarmos a utilizar as mesmas metodologias de ensino.

Já em 1964, Bento de Jesus Caraça (citado em Ponte et al., 1997, p. 50), era defensor do abandono do método expositivo tradicional e do uso das tecnologias mais desenvolvidas no ensino da matemática. No entanto, passados tantos anos, ainda há necessidade de continuar a insistir que os alunos devem ter um papel mais activo na aprendizagem e que devemos adoptar métodos de ensino diferentes, incluindo as potencialidades que as novas tecnologias nos oferecem. Pois, como evidencia Gomes (2001), a aprendizagem já não é entendida como um processo de transmissão e recepção de informação, mas sim como processo de construção cognitiva que se favorece mediante a estimulação dos processos de investigação dos alunos. Pretende-se actualmente que os alunos participem em numerosas e variadas experiências que lhes estimulem o gosto e o prazer da criação matemática, que os encorajem, a explorar, a questionar, a experimentar, a fazer estimativas, a sugerir aplicações e a aprender com os próprios erros.

A actual Lei de Bases do Sistema Educativo refere como objectivos específicos para o 3º Ciclo, “a aquisição sistemática diferenciada da cultura moderna, nas suas dimensões humanística, literária, artística, física e desportiva, científica e tecnológica, indispensável ao ingresso na vida activa e ao prosseguimento dos estudos, bem como a orientação escolar e profissional que facilite a opção pela realização da pessoa humana” (artigo 8º, alínea 3. c).

Face a estes objectivos, entre outros, partilhamos da estupefacção de Jaime Carvalho e Silva: “como compreender então que a escola ‘fuja ao uso da tecnologia?”. Para o autor, “infelizmente as dificuldades em integrar a tecnologia na escola afectam especialmente a disciplina de Matemática. (...) A integração da tecnologia na escola e na disciplina de Matemática é um dos maiores desafios da educação actual” (Silva, 2003, p. 1).

1.3. Geometria, AGD e Demonstração

A utilização das novas tecnologias, nomeadamente os AGD, veio também revolucionar, em particular, o ensino e a aprendizagem da geometria que experimentaram “um emocionante renascer” e que, diferente nos novos currículos, passou a ter “lugar cativo entre os melhores” (De Villiers, 1996a, p. 5). Há mesmo quem tenha chegado a afirmar que o novo software de geometria dinâmica veio salvar o currículo de geometria (De Villiers, 1996a).

As tendências actuais relativas ao ensino da geometria passam pela promoção de uma aprendizagem baseada na experimentação e na manipulação e pela utilização dos AGD, como Cabri-Géomètre e o Geometer’s Sketchpad. Estimular e reintroduzir a experiência e a investigação foram, na opinião de De Villiers (1996a), provavelmente, as principais vantagens introduzidas por estes programas, uma vez que “permitem a construção e manipulação de objectos geométricos e a descoberta de novas propriedades desses objectos, através da investigação das relações ou medidas que se mantêm invariantes”. Manipulação, essa, que pode “ajudar os alunos a dar sentido ao processo de demonstração” (Abrantes, Serrazina e Oliveira, 1999, pp. 68, 74). Esta opinião é partilhada por diversos autores (e.g., De Villiers, 1996a, 2002, 2003; Gardiner, Hudson e Povey, 2000; Hanna, 2002; Mogetta,

2000 e Osório, 2002). Para De Villiers (1996a) o aparecimento dos AGD veio também implicar uma mudança radical no ensino da demonstração. O ponto fulcral deixou de estar assente na verificação, mas sim noutras funções como a explicação e a descoberta. Para que os alunos vejam a demonstração como uma actividade significativa deve ser-lhes dada a oportunidade de formular problemas, explorar, conjecturar, refutar, reformular, explicar, etc.

Relativamente ainda à questão da demonstração, também os recentes documentos do NCTM (2000) falam da sua importância na Educação Matemática. A matemática deve fazer sentido para os alunos, devendo estes reconhecer, procurar e encontrar explicações para os padrões observados e para os procedimentos usados, de modo a desenvolver um conhecimento profundo da matemática (NCTM, 2000). Na sala de aula, os alunos deviam ser confrontados com a necessidade de explicar e justificar as suas conclusões. Segundo o ponto de vista de De Villiers (1997) podemos enriquecer as nossas investigações nos AGD, fazer generalizações e descobertas, se constantemente nos questionarmos “E se...?”. Questões do tipo “O que estás a fazer? Porquê? E se?”, “Porque é que isso faz sentido?”, “Como chegaste aí?” revestem-se de uma extrema importância no processo de ensino/aprendizagem, pois podem ajudar os alunos a clarificar o seu pensamento, levá-los a procurar novos caminhos e a desenvolver o raciocínio matemático, indo ao encontro das orientações apontadas, já em 1988, pela APM: “perguntas como: “Porquê?”, “o que acontece se...?”, “não existirá outro processo...?”, etc., devem proliferar e as suas respostas devem ser procuradas, quer individualmente, quer em grupo” (p. 71).

Em Portugal, a Comissão para a Promoção do Estudo da Matemática e das Ciências, num documento que constitui “um conjunto de orientações destinadas especificamente à matemática” (ME, 2003, p. 2), aliás muito contestado pela APM (2003a), uma das recomendações prende-se com o “raciocínio lógico e método hipotético-dedutivo” e a geometria surge como a protagonista principal desse processo, como fonte de “oportunidades para a realização de demonstrações simples e curtas que valem tanto pelos seus resultados como pelo facto de habituarem o aluno ao rigor da construção de provas lógicas”, de modo a acostumar progressivamente os alunos com o “estabelecimento de axiomas e definições e com os procedimentos demonstrativos que constituem o cerne da

matemática” (p. 9).

Concordamos que a geometria pode ser realmente uma porta aberta para a demonstração e que esta desempenha um papel importante na Educação Matemática, mas colocamo-nos a mesma questão que Boavida (2003, p. 44), “ Queremos seguir por aqui?!...”. A autora contra argumenta, dizendo que o cerne da matemática não está nos procedimentos matemáticos, mas “numa actividade muito mais abrangente que dá sentido a esses procedimentos e em que o conjecturar, o argumentar, o demonstrar e o formular e resolver problemas estão intimamente entrelaçados” (p. 45). Ainda, de acordo com a autora,

“Perspectivar o ensino e a aprendizagem da demonstração, exclusivamente, como uma familiarização progressiva, dos alunos, com axiomas, definições, procedimentos demonstrativos, como um meio de introduzir temas básicos de lógica e de os habituar ao rigor, não me parece ser uma via prometedora. Quando considerarmos a demonstração, de um ponto de visita educativo, o seu papel fundamental deve ser, como defendem diversos autores, o de promover a compreensão da matemática” (p. 45).

É aqui que a geometria pode entrar, como “bom veículo para fazer descobertas” (Saraiva, 1995, p. 5) e como fonte excepcional de tarefas não rotineiras (Afonso, 2002; Freixo, 2002; Junqueira, 1995), pode promover o desenvolvimento de diversas capacidades, apontadas como fundamentais para qualquer pessoa e, particularmente, para todos os alunos (Afonso, 2002, p. 12) e, estando presente em tudo o que tudo o que nos rodeia, pode ser vantajoso aproveita-la para promover aprendizagens geométricas baseadas na exploração e na investigação, onde os alunos fazem e compreendem matemática.

1.4. Motivações para o estudo

O estudo levado a cabo prendeu-se com o ensino e a aprendizagem da geometria e com a utilização das novas tecnologias, nomeadamente o computador.

As razões que levaram à escolha deste tema deveram-se principalmente a um gosto pessoal, quer por este ramo da matemática quer pelas novas tecnologias, em particular pelas potencialidades que o novo software de geometria dinâmica proporciona para o seu ensino.

Mas, outros factores estiveram na base da decisão, como a actualidade, a pertinência e a importância dos assuntos envolvidos, à luz das actuais orientações da Educação Matemática e algumas das sugestões de trabalhos de investigação nesta área, como os de Freixo (2002) e Junqueira (1995).

É indubitável a importância da geometria e essa importância assume-se também nas reformas curriculares, onde ocupa agora um lugar de destaque. Para o National Council of

Supervisors of Mathematics, a geometria é uma das doze componentes essenciais de

matemática para o século vinte e um (Geddes et al., 2001). Todavia, também é do conhecimento geral que, apesar da sua importância, apesar de todos os esforços empreendidos pelas novas orientações e por alguns professores, esta continua a ser relegada para segundo plano, conjuntamente com todas as suas potencialidades.

É necessário tentar colmatar essas dificuldades, sensibilizando os professores para esse facto, tendo em conta que muitas das vezes parte deles próprios a insegurança que acabam por transmitir aos seus alunos. É necessário sensibilizá-los para novas abordagens que poderão contribuir para um crescente interesse e aprendizagem da geometria por parte dos alunos, para que estes a comecem a ver como algo muito mais agradável, interessante e útil. Neste sentido, os investigadores têm procurado novas formas de ensinar e aprender geometria, uma delas recorrendo à utilização das novas tecnologias. Pois, a escola tem de se adaptar às novas exigências da sociedade, caso contrário arrisca-se a “ser cada vez mais rejeitada pelos jovens” (Ponte e Canavarro, 1997, p. 24).

É também incontestável a atracção que os computadores exercem sobre os jovens de hoje. Sabemos que são capazes de passar horas a fio à sua frente. Então, porque não transpor esse ambiente para a sala de aula, potencializando e rentabilizando a sua utilização na resolução de desafios que os cativem e que desenvolvam as suas competências matemáticas e não só matemáticas.

Segundo os mesmos autores, Ponte e Canavarro (1997), apesar de, nos anos 80, as novas tecnologias terem começado a entrar mais activamente na aula de Matemática, e apesar de as experiências de ensino com computadores terem vindo a aumentar, a utilização das novas tecnologias, na aula de Matemática, ainda fica muito aquém do que seria de esperar nos dias de hoje e restringe-se a um pequeno grupo de professores. É que, num

universo tão grande de professores, por muitos que pareçam ser, ainda representam uma percentagem bastante pequena. No prefácio da tradução portuguesa do livro Geometry

turned on – Dynamic software in learning, teaching and research, Veloso e Candeias

(2003) informam que num inquérito, realizado no ProfMat2001, em Vila Real, dos 228 professores que responderam, cerca de 66% não tinha utilizado nenhum software nas aulas de Geometria no ano lectivo anterior. E, portanto, estamos de acordo com os autores quando referem que “estes dados, sobretudo se considerarmos que dizem respeito a professores suficientemente interessados no seu desenvolvimento profissional e nas questões da educação matemática para participarem num ProfMat, não são muito animadores “ (p. 5).

A opção pelo capítulo Circunferência e Polígonos. Rotações, do 9º ano de escolaridade, deveu-se ao facto de este ser rico em conceitos geométricos e reunir um conjunto de características propícias à utilização dos AGD. Para King (1998), o software interactivo como o GSP permite-nos manipular dinamicamente objectos da geometria elementar, como é o caso da circunferência, e uma vez que este permite traçar o lugar geométrico de um objecto geométrico em movimento, podemos também criar e investigar dinamicamente muitas outras curvas. Consideramos que se trata de um capítulo importante para a aprendizagem da matemática no 3º Ciclo, pois possibilita o desenvolvimento do raciocínio dedutivo, característico desta disciplina, e vai de encontro a algumas das recomendações do programa de Matemática do 3º Ciclo do ensino básico: “ a observação e análise de figuras, a ligação à vida real, o aproveitamento da intuição e o desenvolvimento progressivo do rigor, o uso de raciocínios indutivos e dedutivos sem esquecer a importância da comunicação, da argumentação, a utilidade do esboço e da construção rigorosa” ([Direcção Geral do Ensino Básico e Secundário] DGEBS, 1991, p. 47). Além disso, como salienta Araújo (1999, p. 1), “a geometria do ensino básico é sem dúvida mais rica e dinâmica que a tristonha geometria analítica do ensino secundário”.

1.5. Aspectos da metodologia usada no estudo

A opção metodológica adoptada foi predominantemente qualitativa pois pretendemos observar, descrever, interpretar e intervir nos processos desenvolvidos por alunos, do 9º ano de escolaridade, em tempo real, num contexto natural de sala de aula, no estudo de conceitos geométricos, com recurso às novas tecnologias, nomeadamente ao AGD, o GSP.

Foram realizadas onze sessões, as duas primeiras com o objectivo de familiarizar os alunos com a nova metodologia de ensino, sete sessões onde os alunos trabalharam temas de geometria com recurso ao GSP, e duas sessões de exercícios práticos com recurso aos instrumentos tradicionais, papel e lápis, do manual adoptado, que decorreram na sala habitual de aula.

Para as sessões práticas com o GSP foram desenvolvidas diversas fichas de trabalho que abordaram vários temas de geometria, centrados, essencialmente, no estudo da circunferência.

Para a descrição e avaliação da experiência, recorremos ao registo de observações, aos documentos produzidos pelos alunos, aos questionários respondidos pelos mesmos e a uma entrevista realizada à professora da turma em estudo.

C A P Í T U L O I I

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

No sentido de encontrarmos referências, tomarmos posições e encontrarmos caminhos possíveis para a realização do nosso estudo, foi terminante recorrermos à literatura já existente. Assim sendo, com este capítulo pretendemos dar a conhecer alguma da literatura que orientou este estudo e que consideramos essencial sobre o ensino e aprendizagem da geometria e da demonstração, com recurso aos AGD.

Começamos por nos referir, na primeira secção, às mudanças actuais na sociedade, principalmente no que diz respeito ao desenvolvimento tecnológico e às suas implicações no ensino, em particular da geometria. Na segunda secção iremos debruçarmo-nos sobre as potencialidades do computador ao serviço da educação, em especial dos AGD, ao serviço do ensino da geometria. Por fim, na terceira secção, iremos centrar-nos na questão da demonstração, no seu papel e importância no currículo de Matemática.

2.1. A Geometria no currículo de Matemática

2.1.1. Recuperação da Geometria no currículo de Matemática

As rápidas transformações do mundo actual, resultantes dos avanços tecnológicos, científicos e sociológicos, ocorridos nas últimas décadas, exigem que os indivíduos, para além de adquirirem conhecimentos, os reconvertam de forma dinâmica, de modo a poderem resolver novos, e cada vez mais complexos, problemas que lhes vão surgindo, sempre à luz do sentido crítico e da criatividade. Deste modo, torna-se necessário encontrar os meios de concretização de um saber que se quer integrado, do desenvolvimento do espírito de

iniciativa, de hábitos de organização e de autonomia dos alunos. A matemática é uma área do saber que pode proporcionar tais competências, dentro da qual se encontra a geometria com os seus problemas e modelos perfeitamente construídos, onde se põe em jogo o poder da nossa imaginação e criação.

Assim, um pouco por todo o lado, e de modo a contemplar as exigências de uma sociedade dita da informação, espera-se que a escola já não se vire apenas para o saber, mas também para o saber fazer e para o ajudar a ser, permitindo aos alunos que “participem como cidadãos produtivos e auto-realizados” (Junqueira, 1995, p. 15.).

De acordo com as Normas para o Currículo e Avaliação em Matemática Escolar, “a sociedade actual espera que as escolas garantam que todos os estudantes tenham a oportunidade de se tornar matematicamente alfabetizados, sejam capazes de prolongar a sua aprendizagem, tenham iguais oportunidades de aprender e se tornem cidadãos aptos a compreender as questões em aberto numa sociedade tecnológica.” (NCTM, 1991, p. 5).

Nesse sentido, e ainda de acordo com o NCTM (1991), é necessário que o aluno desenvolva a sua capacidade para explorar, conjecturar, raciocinar logicamente e utilizar com eficácia uma variedade de métodos na resolução de problemas, indo de encontro às novas orientações que propõem que os currículos de Matemática dêem mais ênfase à compreensão dos conceitos, em vez do tradicional foco na aprendizagem de algoritmos, e à geometria como sendo um dos domínios a privilegiar.

Durante muitos anos, o ensino e a aprendizagem da geometria em Portugal, bem como noutros países, foi remetido para segundo plano, não sendo, de modo algum, uma grande prioridade nos currículos de Matemática. O reconhecimento desta situação levou, um pouco por todo o mundo, à “recuperação” da geometria e à sua reimplantação nos currículos escolares, pois é genericamente aceite que, através de problemas não rotineiros, pode propiciar o desenvolvimento de capacidades de visualização espacial, de raciocínio e de argumentação, identificadas como fundamentais para os cidadãos na época actual e no futuro (Junqueira, 1995).

Uma das alterações mais significativas no currículo de Matemática foi, então, a recuperação da geometria que esteve durante muito tempo esquecida no final dos manuais,

chegando mesmo, a nem fazer parte destes.

Foi Freudenthal que, com as suas preocupações quanto ao estado da Educação Matemática, maior influência exerceu no regresso da geometria. No seu livro Mathematics

as an Educational Task, publicado em 1973, apresenta, através de múltiplos exemplos e de

comentários, algumas das principais orientações que propõe para a renovação do ensino da geometria (Veloso, 1998).

Outro marco essencial no movimento da recuperação da geometria foi a publicação, em 1989, do documento Curriculum and Evaluation Standars for School Mathematics e traduzido para português, em 1991, com o título Normas para o Currículo e a Avaliação

em Matemática Escolar. Ainda hoje considerado como um documento de referência, as Normas, reflectem as novas tendências curriculares e o crescente aumento de interesse e de

experiências de ensino da geometria que caracterizou a parte final dos anos 80 e propõe-se, nas normas dedicadas à geometria, uma visão renovada do seu ensino (Veloso, 1998).

Esta visão foi intensificada com a publicação das Adendas às normas sobre geometria, com o intuito de fornecer ideias e materiais para o ensino, para apoiar e facilitar a implementação das Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar. Para os anos de escolaridade 9-12 – Geometria a partir de múltiplas perspectivas – aborda-se a reforma dos conteúdos, da pedagogia e da avaliação dos alunos em matemática escolar; propõe-se uma maior atenção ao estudo da geometria através de diversas perspectivas, como por exemplo, através das coordenadas e das transformações, através das aplicações ao mundo real e à modelação, através da investigação, tirando partido, por exemplo, das potencialidades nos novos AGD; e preconiza-se ainda que coloquemos a ênfase no “fazer matemática”, onde para isso os alunos terão de se envolver mais activamente na construção e aplicação dos seus conhecimentos.

Para os anos de escolaridade 5-8 – Geometria dos 2º e 3º ciclos – advoga-se uma nova visão da matemática e um novo ambiente de aprendizagem na sala de aula, recomendando-se que recomendando-se dê mais atenção à matemática como resolução de problemas, como comunicação, como raciocínio e às conexões matemáticas, bem como uma nova abordagem no ensino e mais eficaz, onde o facto de o professor conhecer os seus alunos e a forma como aprendem pode ajudá-lo a decidir acerca dos objectivos a atingir e das metodologias mais adequadas a

adoptar, que podem passar quer pela utilização de materiais manipuláveis, quer pela utilização de trabalho cooperativo, quer pela utilização das novas tecnologias.

Para além das alterações metodológicas que caracterizam a nova visão do ensino da matemática, no caso específico da geometria, são feitas propostas de alteração aos programas tradicionais no sentido de dar mais relevo a determinados aspectos, como, por exemplo, a compreensão dos objectos geométricos e das suas relações, a utilização da geometria na resolução de problemas, o desenvolvimento de curtas sequências de demonstrações, a exploração em computador de figuras bi e tridimensionais, as aplicações ao mundo real, a modelação e os argumentos dedutivos expressos oralmente ou por frases ou parágrafos escritos.

Também a publicação de diversos livros sobre geometria e o aparecimento de novos materiais e software para o seu ensino vieram ajudar ao seu “regresso”. As aplicações da geometria, como por exemplo à arte, vieram mostrar uma outra vertente não tão reconhecida na matemática que pode ajudar a despertar o interesse e a criatividade dos alunos.

Em Portugal, o aparecimento do programa LOGO, de Seymour Papert, desencadeou um maior interesse pelas questões e problemas da geometria, que se ampliou com o aparecimento do Projecto Minerva. Também a criação, em 1986, da Associação de Professores de Matemática (APM), veio dar um novo impulso através da publicação de artigos na sua revista Educação e Matemática, das numerosas conferências, comunicações e sessões práticas sobre geometria que se têm vindo a realizar nos diversos encontros de professores e educadores e da publicação de obras importantes, como foi a publicação, em 1988, de O geoplano na sala de aula, da autoria de Lurdes Serrazina e José Manuel Matos, que veicula uma metodologia inovadora do ensino da geometria (Veloso, 1998), onde o professor deixa de ser o centro das atenções e os alunos deixam de ser receptores passivos, para se tornarem participantes activos, de modo a adquirirem uma cultura matemática que lhes possibilite aplicar na sua vida diária e facilmente se adaptarem ao mundo de hoje, cada vez mais especializado.

A geometria deve fazer parte dessa cultura matemática, mas infelizmente é o tema que mais aversão tem provocado, quer em alunos, quer em professores. Em Para mim a

matemática é... pode ler-se o testemunho de uma aluna, do 1º ano do curso de

Português/Inglês, que a determinada altura escreve: “uma amiga minha fugia da sala de aula (...) especialmente se o conteúdo abordado era a geometria” (Barbosa, 2003, p. 51).

Segundo Serrazina e Matos (1996), as crianças têm, desde cedo, um interesse e uma curiosidade inata pelas ideias geométricas. Então como compreender tal aversão? Talvez não estejamos a ir ao encontro desse interesse e dessa curiosidade. Para estes autores o estudo da geometria possibilita o envolvimento dos alunos na descoberta de relações, no teste de conjecturas, no pensamento imaginativo e crítico e deve estar relacionado com o mundo real, devendo ser estimulados a explorar relações espaciais e a procurar exemplos de relações geométricas no mundo físico que os rodeia. A aprendizagem deve ser inicialmente informal, experimentando uma descoberta activa, raciocínios indutivos, elaboração e teste de conjecturas e desenvolvimento da percepção visual e imaginativa, para gradualmente traduzir essas experiências através de uma linguagem mais precisa e formal (Serrazina e Matos, 1996).

Em 1988, a publicação, também pela APM, do livro Renovação do Currículo de

Matemática, serviu de base para a elaboração dos actuais programas portugueses, e

recomenda uma reforma nos conteúdos e nos métodos de ensino, em particular da geometria.

Estavam, assim, lançadas algumas condições favoráveis para que a geometria recuperasse o lugar que há muito lhe competia no currículo.

2.1.2. Situação actual no ensino básico

O actual Programa de Matemática para o 3º ciclo do ensino básico, organizado por objectivos gerais e específicos, pretende desenvolver o aluno não só ao nível dos conhecimentos, mas também ao nível dos valores/atitudes e das capacidades/aptidões.

No que concerne à geometria, estes reflectem o movimento do seu regresso, tendo havido a preocupação de lhe reservar maior tempo lectivo, que, em alguns dos casos, chega a atingir mais de 40%. Ao nível das introduções gerais e das indicações metodológicas, realça-se o valor da intuição, como um poderoso guia na descoberta da verdade, e da

utilização de materiais manipuláveis na aprendizagem da geometria (Veloso, 1998).

A geometria passou a estar no centro das preocupações e são muitas e variadas as questões que se colocam relativamente ao seu ensino: – Que possibilidades trazem as novas tecnologias, em especial os AGD? Qual a importância da demonstração? Como evitar os dois extremos, igualmente nefastos, – o excesso de demonstrações “obrigatórias” que se decoram sem compreender ou o vazio total de demonstrações, onde não se faz a mínima ideia do que é uma demonstração matemática? Qual o lugar para o trabalho investigativo do aluno e do professor em geometria? Estas são algumas das questões que se podem colocar (Veloso e Ponte, 1999).

O objectivo central do ensino da geometria nos programas do ensino básico é desenvolver o conhecimento de espaço, estabelecendo sempre que possível a ligação espaço-plano-espaço. Enquanto nos programas anteriores se partia do plano para o espaço, pressupondo uma maior facilidade de aprendizagem da geometria formal do plano, nos novos programas dá-se mais valor ao espaço como compreensão da realidade, pressupondo vantagens na exploração de uma abordagem mais intuitiva e da sua ligação à realidade.

Para além de se enfatizar a ligação à vida real e o aproveitamento da intuição e da observação, são também preocupações dos novos programas do 3º ciclo, a análise de figuras, o uso de raciocínios indutivos e dedutivos e o desenvolvimento progressivo do rigor. Realça-se também a importância da comunicação e da argumentação, aspectos que podem ser bastante desenvolvidos com a geometria, através, por exemplo, de debates e discussões em grupo.

A utilização de modelos é outra das sugestões propostas pelo programa. Dada a dificuldade de abstracção dos alunos desta faixa etária, preconiza-se a elaboração de tarefas que permitam ao aluno fazer experiências, medições e construções, estabelecer hipóteses e estratégias, descrever e justificar processos de resolução.

No estudo da geometria, no 3º ciclo, torna-se importante a realização de experiências, bem como a justificação de raciocínios, a resolução de problemas, a comunicação oral e escrita de processos e raciocínios, de conjecturas ou conclusões, o que implica a exploração de tarefas variadas, quer em grupo quer individualmente, que sejam motivadoras, para desenvolver o espírito crítico, de pesquisa e de cooperação, o gosto por aprender e a

autonomia. Continua também a ser importante desenvolver o raciocínio indutivo, onde os alunos terão de verificar conjecturas, justificar propriedades, processos de resolução e casualmente fazer pequenas demonstrações, caminhando, aos poucos, para um pensamento progressivamente mais rigoroso.

Mais recentemente, em 2001, com a publicação, pelo DEB, do documento Currículo

Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais, o Ministério da Educação define

um conjunto de competências, consideradas essenciais e estruturantes no âmbito do desenvolvimento do currículo nacional, para cada um dos ciclos do ensino básico, o perfil de competências de saída deste nível de ensino e, ainda, os tipos de experiências educativas que devem ser proporcionadas a todos os alunos. Inclui ainda as competências de carácter geral, a desenvolver ao longo de todo o ensino básico, assim como as competências específicas que dizem respeito a cada uma das áreas curriculares.

No domínio da geometria, algumas das competências matemáticas que os alunos devem desenvolver, ao longo de todos os ciclos, são: (1) a aptidão para realizar construções geométricas e para reconhecer e analisar propriedades de figuras geométricas, nomeadamente recorrendo a materiais manipuláveis e a software geométrico; (2) a aptidão para utilizar a visualização e o raciocínio espacial na análise de situações e na resolução de problemas em geometria e em outras áreas da matemática; (3) a compreensão dos conceitos de comprimento e perímetro, área, volume e amplitude, assim como a aptidão para utilizar conhecimentos sobre estes conceitos na resolução e formulação de problemas; (4) a aptidão para efectuar medições e estimativas em situações diversas, bem como a compreensão do sistema internacional de unidades; (5) a predisposição para procurar e explorar padrões geométricos e o gosto por investigar propriedades e relações geométricas; (6) a aptidão para formular argumentos válidos recorrendo à visualização e ao raciocínio espacial, explicitando-os em linguagem corrente; e (7) a sensibilidade para apreciar a geometria no mundo real e o reconhecimento e a utilização de ideias geométricas em diversas situações, nomeadamente na comunicação.

Em particular, no 3º ciclo, as competências específicas a desenvolver são: (1) a aptidão para visualizar e descrever propriedades e relações geométricas, através da análise e comparação de figuras, para fazer conjecturas e justificar raciocínios; (2) a aptidão para

realizar construções geométricas, nomeadamente quadriláteros, outros polígonos e lugares geométricos; (3) a compreensão do conceito de forma de uma figura geométrica e o reconhecimento das relações entre elementos de figuras semelhantes; (4) a aptidão para resolver problemas geométricos através de construções, nomeadamente envolvendo lugares geométricos, igualdade e semelhança de triângulos, assim como para justificar os processos utilizados; (5) o reconhecimento do significado de fórmulas e a sua utilização no cálculo de áreas e volumes de sólidos e de objectos do mundo real, em situações diversificadas; (6) a predisposição para identificar transformações geométricas e a sensibilidade para relacionar a geometria com a arte e com a técnica; e (7) a tendência para procurar invariantes em figuras geométricas e para utilizar modelos geométricos na resolução de problemas reais.

Nos aspectos atrás referidos estão bem patentes as razões por que a geometria é “unanimemente escolhida como tópico obrigatório de ensino aos cidadãos de todo o mundo” (Loureiro, Oliveira, Ralha e Bastos, 1997, p. 14). O ensino da geometria permite desenvolver simultaneamente a capacidade de raciocínio lógico-dedutivo, de visualização e interpretação espacial e o conhecimento do mundo em que vivemos. O raciocínio lógico-dedutivo integra capacidades como a intuição, a descoberta de propriedades e relações entre objectos e constitui um processo gradual que começa com pequenas experiências concretas e que acaba numa organização de resultados num sistema axiomático, desenvolvendo-se assim a nossa capacidade de pensar matematicamente. A capacidade de visualização espacial é caracterizada por Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999) como um conjunto de capacidades relacionadas com a forma como vemos o mundo à nossa volta e como conseguimos representar, interpretar, modificar e antecipar transformações relativamente aos objectos que nos rodeiam, de modo a compreender o que se passa à nossa volta. As aplicações da geometria vão desde a sua relação com diferentes áreas da matemática e outras ciências à sua constante presença em inúmeras situações do dia-a-dia, do trabalho, do lazer e da própria natureza que nos oferece um sem fim de formas e relações geométricas, possíveis e inimagináveis.

Nos novos programas reconhece-se ainda a necessidade de mudança nos métodos de ensino e consequentemente das propostas de trabalho. Como ressaltam Méndez, Estévez e del Sol (2003), muitas das propostas tradicionais tornaram-se obsoletas com a introdução

dos computadores e do aparecimento de novas profissões e desafios. O estudo

Matemática2001, realizado pela APM, faz um conjunto de recomendações sobre o ensino e

a aprendizagem da Matemática em Portugal e vai de encontro a algumas das ideias já aqui referidas. No que diz respeito à prática pedagógica,

“Esta deve valorizar tarefas que promovam o desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos, nomeadamente a resolução de problemas e as actividades de investigação, e que diversifiquem as formas de interacção em aula, criando oportunidades de discussão entre os alunos, de trabalho de grupo e de trabalho de projecto (...). Os professores devem procurar utilizar situações de trabalho que envolvam contextos diversificados (...) e a utilização de materiais que proporcionem um forte envolvimento dos alunos na aprendizagem, nomeadamente, materiais manipuláveis, calculadoras e computadores” (APM, 1998b, pp. 81 – 82).

O uso das novas tecnologias é fortemente recomendado nos novos programas, mas muitos professores, pelas mais diversas razões, ainda colocam algumas reservas à sua utilização, principalmente ao computador, seja por falta de tempo, ou por falta de condições ou por achar que se perde o rigor e recear que a aula se possa transformar “numa brincadeira”. Não concordamos com esta última observação, pois acreditamos que as aulas até se podem tornar bastante mais exigentes e significativas, pois se ensinar e aprender envolve processos complexos, trazer as novas tecnologias traz ainda mais complexidade (Lagrange, Artigue e Frouxe, 2003), o que também exige muito mais trabalho e dedicação, quer por parte dos professores, quer por parte dos alunos.

2.2. O computador ao serviço do ensino da Geometria

2.2.1. O computador no ensino e na aprendizagem da Geometria

Como se pode constatar, são várias as referências que recomendam o recurso a materiais manipuláveis e a software geométrico no desenvolvimento de competências de geometria.

O “velho quadro negro”, auxiliar constante da actuação do professor de Matemática ao longo de gerações, embora continue a manter o seu lugar e importância, tem de partilhar o

seu papel didáctico com todos os outros meios que estão hoje ao dispor do professor, nomeadamente as inovações tecnológicas, porque uma pedagogia que conduza a uma aprendizagem significativa e à autonomia “requer a mobilização de recursos múltiplos de aprendizagem” (Vieira, Marques e Moreira, 1999, p. 533).

A autonomia é um valor importante a nível da educação dos nossos dias, estando consagrada em documentos oficiais. De acordo com a Lei de Bases do Sistema Educativo, este terá de contribuir para o “desenvolvimento pleno e harmonioso da personalidade dos indivíduos, incentivando a formação de cidadãos livres, responsáveis, autónomos e solidários e valorizando a dimensão humana do trabalho” (artigo 2º, 4). Ainda de acordo com o mesmo documento, é objectivo do ensino básico “proporcionar a aquisição de atitudes autónomas, visando a formação de cidadãos civicamente responsáveis e democraticamente intervenientes na vida comunitária” (artigo 7º, i)).

Sendo a autonomia um atributo indispensável do cidadão, ela deverá estar ligada ao próprio processo de ensino/aprendizagem. Para tal, a reforma do sistema educativo estabelece a adopção de metodologias centradas no aluno como sujeito construtor do seu saber, atribuindo ao professor um papel de orientador e mediador das aprendizagens a realizar. O que se exige é que o professor assuma que “ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua produção ou sua construção” (Freire, 1997, p. 52). Como diz o velho ditado chinês: “Se queres matar a fome a alguém, mais vale ensiná-lo a pescar do que oferecer-lhe um peixe”. Concretamente, se quisermos que os nossos alunos tenham sucesso na escola e na vida, ao ensiná-los a “pensar bem” estamos a contribuir para “matar o insucesso” e facilitar o sucesso, porque numa sociedade em que, cada vez mais, é preciso enfrentarmos e adaptarmo-nos a novas, e cada vez mais complexas, situações, a escola não se pode limitar à transmissão de conhecimentos. Caso contrário, arriscamo-nos a cair no erro a que Freire (1997) faz alusão:

“o educador que ensinando (...) “castra” a curiosidade do educando em nome da eficácia da memorização mecânica do ensino dos conteúdos, tolhe a liberdade do educando, a sua capacidade de aventurar-se. Não forma, domestica” (p. 63).

Hoje queremos uma escola dinâmica e inovadora onde o saber é construído e não simplesmente transmitido e memorizado, onde os alunos são confrontados e estimulados