Mecânica dos Fluidos II

Mecânica dos

Fluidos II

Prof. D.Sc. Cláudio C. Pellegrini

Análise dimensional, semelhança

e modelos físicos

Visão geral

•

Entender os métodos experimentais em MFL

•

Aplicar o teorema dos Pi

•

Conhecer os principais grupos adimensionais em FTR

Métodos experimentais em MFL

Motivação

• Métodos analíticos (integral e diferencial) resolvem problemas simples em MFL

• Problemas mais complexos exigem dados de experimento ou de campo

• Mas, experimentos são caros e difíceis de se controlar

• Os dados são de difícil análise devido ao grande número de variáveis envolvidas:

1 2

Túneis de Vento

Construção de Experimentos

Full scale WT at NASA's research center (Langley Air Force Base)

Construção de Experimentos

Construção de Experimentos

Scale model for

Folsom Dam Model of Addenbrooks _{Hospital in BMT's WT}

Análise de dados

( , , , )

d

F f d V

( ) 10 pontos experimentais d

F f d

3

4

( , ) 10x10 pontos ( , , ) 10 pontos ( , , , ) 10 pontos d

d

d

F f d V F f d V F f d V

D

F

1 ₁

1

D

F

Variáveis como e não variam contínua ou

Análise dimensional

• AD é um método matemático que permite reduzir o número de variáveis envolvidas em um fenômeno físico

• Se o fenômeno depende de n variáveis dimensionais, a AD

reduzirá este número a k variáveis adimensionais (com k < n,

obviamente)

• No exemplo: _{1 2}

2 2

( , , , ) d ( )

d

F _Vd

F f d V f

Vantagens

•

Execução dos experimentos mais rápida e mais barata.

Em alguns casos, experimentos tornam-se factíveis!

•

Guia na busca de soluções analíticas e na apresentação

de resultados de simulação

•

Permite obter resultados testando modelos em escala

•

Pode ser aplicada a todos os ramos da ciência

1 2

( , , , ) (Re)

d f

F f d V

Teorema dos



(Vaschy-Riabouchinsky-Buckingham)

Suposições Iniciais

1 1 2 3 1

Se o problema depende de 1 grandezas físicas mensuráveis, logo

tal que ( , , , _n )

n

g g f g g g

Nenhum problema real viola as seguintes hipóteses:

1 2 1 2

3 4

As grandezas envolvem dimensões fundamentais denominadas

, , ..., . Em problemas mecânicos por exemplo, , ,

. Em problemas térmicos, ainda .

m

n m

L L L L M L L

L T L

1 2

1 2

1 2 1 2

A dimensão de , denotada [ ], é sempre uma combinação das

grandezas fundamentais do tipo [ ]

em que ( , , , ) (geralmente ( , , , ) )

m

i i

a a _a

i m

m m

m m

g g

g L L L

a a a a a a

distância, massa tempo, temperatura

L M

T

corrente elétrica, N massa molar intensidade luminosa

Suposições Iniciais

1 2

1 2

1 2 1 2

Sendo [ ] , o vetor dimensão de é

(g ) , supondo ( , , , ) ordenado

m

a a a

i m i

T

i m m

g L L L g

a a a L L L

A

Uma grandeza é dita adimensional quando [ ] 1, ou seja

(g ) 0 0 0

i T i g A 1 2 1 2

11 12 1

21 22 2

1

Um problema que depende de grandezas possui uma matriz

dimensional (única?) dada por , ou seja

n n n n m m n

g g g

a a a

a a a

a a

B A A A

B

1

2

2 mn m

Suposições Iniciais

Um problema que depende, por exemplo, de , , , , :

1 1 1 3 1

1 0 0 1 1 , pois

2 1 0 0 1

F V d

F V d

L M T

B

2 1

3 1 1

[ ] ,

[ ] ,

[ ] ,

[ ] ,

[ ] .

F MLT

V LT

d L

Suposições Iniciais

1 2

Um sistema de unidades é uma maneira particular de

mensurar ( , , ,L L L_m). Exemplos são o MKS e o CGS do SI.

1 2 1 1 2 2

1 2

Trocar de sistema de unidades é realizar uma mudança positiva de escala nas dimensões fundamentais do problema, ou seja,

: ( , , , ) (c , , , ), em que

(c , , , ) são os fatores de conversã

m m m

m

T L L L L c L c L

c c o

Grandezas adimensionais são invariantes com o sistema de unidades e podem, portanto, ser ditas intrinsicamente "grandes" ou "pequenas".

1 2 3 1

A relação ( , , , ) deve permanecer válida sob qualquer

sistema de unidades, inclusive na forma adimensional.

n

g f g g g

1 2 3 4

L L

L M

L T

Resumindo

1 2 3 1

Se o problema depende de 1 grandezas físicas mensuráveis, então

( , , , _n )

n

g f g g g

1 2 3 1

A relação ( , , , ) deve permanecer válida sob qualquer

sistema de unidades, inclusive na forma adimensional.

n

g f g g g

1 2

1 2 3 1

1 2 3 1 2

Logo, a validade de ( , , , ) implica na validade de

( , , , ), sendo ,

[ ] 1. Obviamente,

i i _im

n

b b _b

k i m

i

g f g g g

F g g g

k n

Enunciando o Teorema dos Pi

Se um processo físico satisfaz a LHD e involve variáveis dimensionais, então ele pode ser reduzido a uma (outra) relação

entre variáveis adimensionais, ou grupos . n

k

Para ser preciso, ,

em que é o posto da matriz dimensional do problema

k n p

p

2 2

( , , , ) ( )

5, 3 2

d d

F Vd

F f d V g

V d

n m k

A redução é tal que:

,

em que é o numero de dimensões do problema.

k n m

O problema da esfera lisa

1 Colocação do problema

( , , , ); 5

d

p

F f d V n

2

2 1 3 1 1

Dimensões das grandezas envolvidas:

d

p

F _{d V}

LMT L LT ML ML T

3 Redução do número de variáveis ( ):

3 ( , , ), 2

p k n m

m L M T k

4 Escolha das variáveis repetitivas: , ,

p

O problema da esfera lisa

5

1 0 0 0

1

Obtenção do grupos adimensionais:

, , ,

a b c d

p

F d V M L T a b c

2 3 0 0 0

1

a b b c c

MLT L L T M L M L T

3 2 0 0 0

1 ( )( )( )

c a b c b

MM LL L L T T M L T

1 1 3 2 0 0 0

(M c)(L a b c)(T b) M L T

1 0

1 3 0

2 0

c

a b c

b

3 1

2 1

a b c

b

c

1 1 3 1 2

0 1 0 2 2

0 0 1 1 1

a a

b b

c c 1 2 2

d

F

V d

Entenderam por que m = 3?

O problema da esfera lisa

1 0 0 0

5 2

a b c

p d V M L T

3 1 1 1 0 0 0

2

a b b c c

L L T M L M LT M L T

1 3 1 1 0 0 0

2 ( )( )( )

c a b c b

M M L L L L T T M L T

1 3 1 1 0 0 0

(Mc )(La b c )(T b ) M L T

3 1

1 1

a b c

b c

1 1 1

a b c

2

O problema da esfera lisa

2

3 2 2 2

3 1

1 1

1, ok

Re 1, ok

f

MLT C

ML L T L ML LT L

ML T

1 _{2 2} , 2

d

F Vd

V d

Se um processo físico satisfaz a LHD e involve variáveis dimensionais, então ele pode ser reduzido a uma relação entre

variáveis adimensionais, ou grupos . Então: n

k

1( , , , ) _{2 2} 2

Re

d d

A

F Vd

F f d V f

V d

Metodologia

• Liste todas as variáveis dimensionais envolvidas

– Se houver falta, a análise falhará

– Se houver sobra, o experimento ficará mais caro

– Exige uma certa experiência

• Obtenha as dimensões de cada variável da lista anterior

• Suponha k = n – m

• Selecione m variáveis repetitivas – Não inclua as variáveis dependentes

– Escolha variáveis que contenham todas as grandezas fundamentais

– Nesse sentido, faça a escolha mais simples possível

– Não use uma variável adimensional

1

2 2 2

( , , , )

5, 3 ( , , ) 2

( )

d

d

F f d V

n m L M T k

F Vd

Metodologia

• Adicione uma das variáveis restantes às repetitivas (com expoente 1 ou -1) e forme um grupo Pi.

• Calcule os expoentes por linha-redução da matriz dos coeficientes.

• Repita até exaurir as variáveis

• Escreva a função adimensional

• Verifique a adimensionalidade

1

2 2 2

( , , , )

5, 3 ( , , ) 2

( )

d

d

F f d V

n m L M T k

F Vd

Lei da homogeneidade dimensional

• Toda equação capaz de representar uma lei física deve possuir termos aditivos com as mesmas dimensões

• Se isso não ocorrer, a fórmula dependerá das unidades escolhidas

2

0 0

1 2

S S V t gt

1 2 2

[1]

L L LT T LT T

L L L L

Variável dimensional

Cte. dimensional Cte.

O problema da perda de carga

1 ( , , , , , ); 7

p p f D e V n

2

1 2 1 3 1 1

, ,

p D e _V

p

ML T L LT ML ML T

3 3 ( , , )

p m L M T

4 Repetitivas: , ,

p D V

0 0 0

5 1

a b c

p pD V M L T

1 2 3 0 0 0

1

a b b c c

ML T L L T M L M L T

1 0

1 3 0

2 0

c

a b c

b

1 1 3 1 0

0 1 0 2 2

0 0 1 1 1

O problema da perda de carga

0 0 0

5 2

a b c

p eD V M L T

3 0 0 0

2

a b b c c

L L L T M L M L T

0

1 3 0

0

c

a b c

b

1 1 3 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

a a b b c c 2 e D 3 D

1 0 0 0

5 4

a b c

p D V M L T

4

VD

2

2 , , Re

p e

f

D D V

0 0 0

5 3

a b c

2 , , Re

p e

f

O diagrama de Moody

2 , , Re

p e

f

Variações

1 ( , , , , , ); 7

p p f D e V n

2

1 2 1 3 1 1

, ,

p D e _V

p

ML T L LT ML ML T

3 3 ( , , )

p m L M T

4 Repetitivas: , ,

p e V

0 0 0

5 1

a b c

p pe V M L T

1 2 0 0 0

1

a b b c c c

ML T L L T M L T M L T

1 0

1 0

2 0

c

a b c

Variações

5 2

0 0 0 2

a b c

a b b c c c

p De V M L T

L L L T M L T M L T

1 0 1

0 0

0 0

a b c a

b c b

c c 2

D e

3

Por desenvolv. idêntico,

e

0 0 0

5 4

3 0 0 0

4

a b c

a b b c c c

p e V M L T

ML L L T M L T M L T

4

Ve

3 , , Re

e p D

f

V e e

3 0 1

0 1

1 0 1

a b c a

b c b

Manipulação dos



s

• É possível manipular um grupo de parâmetros adimensionais e chegar em outro grupo igualmente válido

• Isso é equivalente a reiniciar a análise usando outra base ou mudar o método experimental

• As manipulações podem mudar a aparência dos grupos adimensionais, porém

– Eles não podem deixar de ser adimensionais

Manipulação Permitidas

• Os Pis podem ser multiplicados por uma constante real, formando um novo grupo que substitui um dos anteriores

• Eles podem ser multiplicados ou divididos entre si, formando um novo grupo que substitui um dos anteriores

• Eles podem ser invertidos, formando um novo grupo que substitui ...

• Eles podem ser elevados a um expoente real, formando um novo grupo que substitui ...

Resumo Manipulação

1 2

Se , , , são variáveis adimensionais válidas de um problema físico, então

qualquer uma pode ser substituida por umn produto de potências (reais) das outras.

1 2

1 1 1 2 n , 1, 1 0

a a a

n

k k a

1 ₂ 2 3 4 Por exemplo: / / p V e D D VD 1 2 3 4 ' ' / ' / ' e p V D e e Ve 1 1 1 4

1

2 2

1

3 3 2

4 4 2

' '

'

' ' ' '

1 2 1 1 1

E se f( , , _n), então sob certas condições _m g( , , _m , _m , , _n)

1 2

1 2

2 2 1 2 2 2

1 2

, , 0

, , 0

n

n

b b b

n

n n n

n n n n n

k k b

O problema do tubo capilar (

k = n

–

p

)

1 ( , , s); 4

p h f D n

2

2 2 2

s

h D

p

L L ML T MT

3 3 ( , , )

p m L M T

4 Repetitivas: , , s

p D

0 0 0 5 1

a b c s

p hD M L T

0

1 2 0

2 2 0

b c

a b

b c

1 2 0 1

0 1 1 0

0 2 2 0

a b c n dF dl

2 2 2 0 0 0

1

a b b b c c

L L M L T M T M L T

1 2 0 1 0 1 1 0 0 2 2 0

3 3 2

( 2 )

1 2 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0

L L L

1 2 0

2 1

0

0

2 2 0

a b a b b c b c b c 3 4

2 (o posto da matriz)

Repetitivas: , , _s

p p

p D

0 0 0

5 1

2 2 0 0 0 1

a b

a b b b

p hD M L T

L L M L T M L T

0

0

1 2 0

1 2 0 b b a b a b 1 h D

O problema do tubo capilar

0 0 0

5 2

2 2 2 0 0 0 2

a b s

a b b b

p D M L T

L M L T MT M L T

1 0 1 2 0

2 0 0 1 1

2 2 0 0 2 2

b

a b

b

3 3 2

( 2 )

1 2 0

1 1 2 0

0 1 1

2 0 1 1

0 0 0

L L L

b a

2

s

h

f

D _D

2 s₂

Conclusão

1. Suponha inicialmente k = n – m e selecione m variáveis

repetitivas

2. Se obtiver uma linha nula, use k = n – p, pois a estas alturas

você já conhece o posto da matriz

3. O sistema linear representado pela matriz dimensional m x m

só tem solução se seu determinante for não-nulo

1 1 3

det 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1

1 2 0

2 0 0 0 0 2 0 det 0 1 1

(duas linhas proporcionais) 0 2 2

Perda de carga

Tubo capilar det( )

Regra de Cramer:

det( )

i i

x A

Mais Manipulação dos



s

• Grandezas dimensionais representam algum efeito físico no problema:

• Se algum efeito for desprezível, o grupo adimensional associado pode ser excluído, caso seja único

• Grupos adimensionais podem ser combinados para combinar efeitos

2 , ,

p e VD

f

D D V

, , , , ,

p f D e V

Efeito da rugosidade

Efeito do comprimento Efeito da viscosidade

Efeito da rugosidade

O Problema da Têmpera

1 ( 0, , , , , , , , , ,p 1 2 1 2); 12

p f t c k h D d d n

0 1

2 3 2 2 1 3 1 3 1

, D d, ,... t c_p k h

p

L T ML L T MLT MT

3 4 ( , , , )

p m L M T

4 Repetitivas: , , , 0

p D t k

0 0 0 0

5 1 0

a b c d

p D t k M L T

3 0 0 0 0

1

a b c c c c d

L T M L T M L T

0 0 3 0 1 0 c a c b c c d 0 0 0 1 a b c d 1 0 D d₁ d₂ ℓ₁ ℓ₂

Dif. temperatura ao longo do tempo, dif. inicial, tempo, props., geometria.

O Problema da Têmpera

0 0 0 0

5 2 0

a b c d

p h D t k M L T

3 1 3 0 0 0 0

2

a b c c c c d

MT L T M L T M L T

0

1 0

3 3 0

1 0 a c c b c c d 1 0 1 0 a b c d 2 Bi hD k

0 0 0 0

5 3 0

a b c d p

p c D t k M L T

2 2 1 3 0 0 0 0

3

a b c c c c d

L T L T M L T M L T

2 0

0

2 3 0

O Problema da Têmpera

0 0 0 0

5 4 0

a b c d

p D t k M L T

3 3 0 0 0 0

4

a b c c c c d

ML L T M L T M L T

3 0 1 0 3 0 0 a c c b c c d 4 3 1 1 a b c d 4 4 ₃ 0 D t k

Informação externa: o problema só depende de ( c_p)

3,4 ₂ Fo

p

kt c D 1

3,4 3 4

O Problema da Têmpera

Os fatores de forma: tendo escolhido a grandeza geométrica repetitiva:

1 2 1 2

5 ; 6 ; 7 ; 8 ;

d d

D D D D

0

Bi, Fo, fat.forma f

2 Bi

Fo

p

hD k

kt

c D O que acontece se k , deixando de ser relevante?

0 f (Bi Fo), fat.forma

O que acontece se h , deixando de ser relevante?

Um grupo adimensional

1 cte.

1

2

Demonstração:

Seja uma grandeza que não pertence ao problema e

o grupo correspondente (que também não pertence)

n

g

1 2

Então f( )

2 2 1

Mas como não pertence ao problema, (f ) cte. , cqd.

1 2 3 1

Nenhum grupo adimensional?

Falta de informação na colocação do problema, ou seja

( , , , _n ) está incompleta

Um Problema em RMA

1 Colocação do problema

( , , , ); 5

p

f F L I E n

2

2 1 2 4

Dimensões das grandezas envolvidas:

, p

L

F E I

LMT L ML T L

3 Redução do número de variáveis ( ):

3 ( , , )

p k n m

m L M T

4 Escolha das variáveis repetitivas:

, , p

L F E

Um Problema em RMA

5

0 0 0 1

Obtenção do grupos adimensionais:

a b c

p

L F E M L T

2 2 0 0 0

1

a b b b c c c

L L M L T M L T M L T

1 0

0

2 2 0

a b c b c

b c

1 0

0

a b c b c

4 Escolha das variáveis repetitivas:

, p

L F

5

0 0 0 1

Obtenção do grupos adimensionais:

a b

p

L F M L T

2 0 0 0

1

a b b b

L L M L T M L T

Um Problema em RMA

1

L

1 0 1

0 0

a b a

b b

5

0 0 0 2

Obtenção do grupos adimensionais:

a b

p

IL F M L T

4 2 0 0 0

2

a b b b

L L M L T M L T

4 0 4

0 0

a b a

b b

2 ₄

I

L

5

0 0 0 3

Obtenção do grupos adimensionais:

a b

p

EL F M L T

1 2 2 0 0 0

3

a b b b

ML T L M L T M L T

1 0

2

1 0

1

2 2 0

b a a b b b 2 3 EL F

2 , 4

F I

f

Informações Externas

• É possível particularizar a relação funcional obtida pela AD, desde que se possua informações externas

• Exemplo: viga mono-engastada com carga na ponta

• Sabe-se que:   F, logo

2 , 4

F I

f

L _{EL L}

2

4 4

1 2

Como e aparecem isoladamente nos grupos

, em que

( / ), ( / )

F

F

A B

L _EL

A f I L B f I L

Mas 0 quando F 0, logo B 0

aF b

2

F A

Informações Externas

• Sabe-se que:   1/I. Pelo mesmo motivo:

3

FL C

EI

4 * 4

2 2

4

2

( / ) F ( / ) F

A I L A L I

L _{EL EL}

L F

C D

L I _EL

Mas 0 quando 0, logo 0

L

D

3

3 FL

EI 4

L F

L C D

I E

Other Dimensionless Groups

• Abbe number: Dispersion in optical materials

• Archimedes number: Motion of fluids due to density differences

• Biot number: Surface vs volume conductivity of solids

• Bodenstein number : residence-time distribution

• Capillary number: fluid flow influenced by surface tension

• Damköhler numbers: reaction time scales vs transport phenomena

• Deborah number: Rheology of viscoelastic fluids

• Drag coefficient: Flow resistance

• Eckert number : Convective heat transfer

• Ekman number: Frictional (viscous) forces in geophysics

• Euler number : Hydrodynamics (pressure forces vs. inertia forces)

• Darcy Friction factor: Fluid flow

• Froude number: Wave and surface behaviour

• Grashof number: Free convection

• Hagen number: Forced convection

• Knudsen number: Continuum approximation in fluids

• Laplace number: Free convection with immiscible fluids

• Lift coefficient: lift force from given airfoil

• Mach number: Gas dynamics

Other Dimensionless Groups

• Nusselt number: Heat transfer with forced convection

• Ohnesorge number : Atomization of liquids

• Peclet number: Forced convection

• Pressure coefficient: local pressure at an airfoil

• Poisson's ratio: Load in transverse and longitudinal direction

• Power number: Power consumption by agitators

• Prandtl number: Forced and free convection

• Rayleigh number: Buoyancy and viscous forces in free convection

• Reynolds number: Characterizing flow behaviour (laminar or turbulent) etc.

• Richardson number: buoyancy

• Rockwell scale: Mechanical hardness

• Rossby number: Inertial forces in geophysics

• Sherwood number: Mass transfer with forced convection

• Coefficient of static friction : Friction of solid bodies at rest

• Coefficient of kinetic friction : Friction of solid bodies in traslational motion

• Stokes number : Dynamics of particles

• Strouhal number: Oscillatory flows

• Weber number : Characterization of multiphase flow with strongly curved surfaces

Modelos físicos e semelhança

Construção de Modelos Físicos

• Modelos podem ser construídos no tamanho conveniente

• Modelos podem ser ensaiados em condições controladas

Condições de Semelhança

1 2 1 2

Se em um dado problema modelo-protótipo tivermos

, , , = , , , numericamente,

a semelhança é óbvia pois implica modelo=protótipo

n _m n _p

g g g g g g

1 2 1 2

Isso permite construir uma lista de grupos iguais também:

, , , _k , , , _k

m p

A condição de semelhança é, portanto, , para 1,2, , .

m p

i i i k

Isso permite a construção de um modelo físico

Condição de Semelhança

2

Por exemplo, em

, , Re

p e

f

D D V

Existe semelhança se

,

m p

m p

e e

D D

D D

Semelhança geométrica, óbvio

2 2

e

m p _{m p}

VD VD p p

V V

Semelhança geométrica

• Todas as dimensões do escoamento sobre o modelo e o protótipo guardam a mesma razão de comprimento

• Implica dimensões do modelo e do protótipo proporcionais

Exemplo 7.4 (Fox)

Teste em TV (15 C) de protótipo de sonar marítimo, operando a 10 C. V_p = 2,57 m/s, d_p

= 30,48, cm d_m = 15,24 cm, F_m = 24,82 N. Determine V_m e F_p

2 2

F Vd

f

V d P

V_p Fp

M

V_m F_m

Similaridade implica: m p p p m m ar a Vd Vd V d V d 5 6

1, 5 10 0, 3048

2, 57 1, 5 10 0,1524

m

V

2 2 2 2

p m

ar m m a p p

F F

V d V d

2 2

2 2

a p p

p m

ar m m

V d F F V d ar p m p a m d V V d 2 2 2 2

999 2, 57 30, 48 24, 82

1, 025 51, 4 15,24

p

F

51, 40 m/s

m

V

241, 90 N

p

Exemplo 5.9 (White)

Teste de modelo reduzindo de aeronave supersônica em escala 1:8 em TV de Hélio

(100ºC e 1 atm). Protótipo voa a Ma = 2,0 a 10.000 m. Calcule a velocidade de

ensaio. Problemas?

2 2 Re, Ma

; Re ; Ma

A

A

C f

F Vc V

C

a V c

3

5

Obtendo as propriedades: Para o ar a 10.000 m:

223,16 K,

0, 4125 kg/m , 299, 5 m/s 26.416 Pa,

1, 48.10 kg/m.s, lei de potência ar ar ar ar ar T a p 2 2 5

Para o He a 373,15 K:

2.077 m /s .K, 1, 66

2, 32.10 kg/m.s, lei de potência He

He

R k

Mostraremos no Modulo 4 que

1, 66 2.077 373 1.134 m/s

g He

He

a kR T

a a

3

/ 101.325 / 2.077.373,15 0,131 kg/m ,

He He

He

p R T

Similaridade implica: Re_m Re_p

m p

Exemplo 5.9

Teste de modelo reduzindo de aeronave supersônica em escala 1:8 em TV de Hélio

(100ºC e 1 atm). Protótipo voa a Ma = 2,0 a 10.000 m. Calcule a velocidade de

ensaio. Problemas?

5 5

0, 4125 2 299, 5 0,131

8

2, 31.10 1, 48.10

p p

m c c

V

23.552 m/s

m

V

Ma_m V_m/a_m 23.552/1.134 20, 8

Mas

Ma_m Ma_p 2, 0...

Re Re

( )

m p

ar p p ar p p p He m m

He ar ar

V c M a c

V c

Parece suspeito

Exemplo 5.9

O problema matemático é encontrar

para satisfazer simultaneamente

m

ar p p He m m

He ar p m He ar V V c V c V V a a Ou seja

ar p He m

p He m ar

m He p ar c V V c V a V a Se exigirmos

percebemos que só é possível

alterar ou / para

satisfazer a igualdade

ar p He He

ar He m ar

He p m

c a

a c

c c

Nas condições do teste isto não acontece.

( , ) ( , ) ( )

p He ar

He ar

m ar He

He ar

c a

c a

p T p T f T

Calculamos  e alteramos a pressão, para que a viscosidade

não se altere também

Exemplo 5.9

5 5

8 2, 32.10 299, 5 0, 4125

1 _{1, 48.10} 1.134

He

3

1, 37 kg/m

He

Para um gás ideal,

g

p R T

10, 48 atm

He

p

p He ar

He ar

m ar He

c a

c a

1, 37.(2.077).373,15 1.061, 8 kPa

He

He

p p

5 5

Voltando ao cálculo de

( )

0, 4125 2 299, 5 1, 37

8

2, 31.10 1, 48.10

m

ar p p p He m m

He ar

p p

m

V M a c V c c c V 2.252 m/s m V Ma /

Ma 2.252 /1.134 2, 0

m m m

m

Equações de governo

adimensionais

Motivação

• Existe outro método matematicamente rigoroso de resolver o problema da semelhança

• Ele exige que se conheça as eqs. de governo do problema

• Se dois problemas são regidos por EDP’s idênticas com CF’s idênticas, então seus resultados são idênticos

Equações de governo

0

u v w

x y z

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

x

y

z

u u u u p u u u

u v w g

t x y z x x y z

v v v v p v v v

u v w g

t x y z y x y z

w w w w p w w w

u v w g

Variáveis Adimensionais

2

Sejam:

; ; ; ; ; ; ;

/

x y z t u v w p

X Y Z U V W P

L L L L U U U U U

2

Logo,

; ; ; / ; ; ; ;

x XL y YL z ZL t L U u UU v VU w WU p P U

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 torna-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) x x

u u u u p u u u

u v w g

t x y z x x y z

UU UU UU UU

UU VU WU

L U XL YL ZL

P U UU UU

g

XL XL YL 2

) ( )

UU

ZL

2 2 2

2 2 2 2 2 2

x

Lg U

U U U U P L U U U

U V W

Variáveis Adimensionais

• Se dois problemas são regidos por EDP’s idênticas com CF’s idênticas, então seus resultados são idênticos

2 2 2

2 2 2 2

x

Lg

U U U U P U U U

U V W

X Y Z U X U L X Y Z

2 2 2

2 2 2

1 1

Re

U U U U P U U U

U V W

Lista V1

• LHD e Teorema de RVB: 5.10 a 5.41 – 4ª ed.

• Semelhança: 5.58 a 5.84 – 4ª ed.

• Sobre a V1: no mínimo três questões, sendo uma sobre números adimensionais e outra sobre similaridade,

Escoamentos sem atrito

Visão geral

•

Equação de Bernoulli

•

Pressões de estática, dinâmica e de estagnação

•

Restrições no uso da Eq. de Bernoulli

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

p V p V

z z

g g

2 0

1 2

p p V

p estagnação

p termodinâmica

Aplicações

• Região do escoamento livre, fora da CL

• Linha de centro de tubulações

Equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli

Eq. de Euler esc. incompressível:

d

p dt

V

g

Como ( , ),s t

dt ds

p t dt s dt

V V

V V

g

Produto escalar por : 1 d V p ds ds V

ds g ds ds

Em regime permanente,

1 V p s d V p ds V g V g

Como ,

1

1 d

dV

V ds d p d

ds

VdV d p d

V s

g s s

g s s

( , , )

ds

ds dx dy dz

Equação de Bernoulli

, , , ,

p p p p p p

p dx dy dz dx dy dz dp

x y z x y z

ds

0, 0, g dx dy dz, , gdz

g ds

0

dp

VdV gdz

dp

VdV gdz B 2

2

V p

gz B

1

0

VdV g ds p ds

( , , )

ds

ds dx dy dz

ds t

0

t t

V

LC's ds

Equação de Bernoulli

2

2

V p

gz B

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

p V p V

gz gz

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

p V p V

z z

g g

Conservação da energia

2

2

mV

mgz pv C

h₁: escoamento incompressível

h₂: escoamento sem atrito

h₃: escoamento permanente

Pressões estática e dinâmica

Pressões estática e dinâmica

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

p V p V

z z

g g

2

0

0

Na LC de estagnação:

2

V p

p

z z

g

p termodinâmica ou estática

0

2 0

Se

1 2

z z

p p V

p estagnação p termodinâmica

Exemplo 6.2

h

Tubo de pitot, h = 30 mm de Hg. Determine V do ar.

2 0

1 2

p p V

0 2( ) ar p p V 1 1 1 2

2 3 1

3 0

( )

ar

Hg

ar

p p gh

p p gh

p p g h h

p p

p estagnação

p termodinâmica

0

________________

ar Hg

p p gh gh

0 Hg

p p gh

2 Hg ar

V gh _{2 9, 81 0, 03} 13.600 _{80, 8 m/s}

Exemplo 6.3

Escoamento de ar em bocal.

A_s = 0,02 m2_{, A}

1 = 0,1 m2,

V_s = 50 m/s. Determine p₁.

2 2 1 1 1 2 2 S S s

p V p V

z z g g Hipóteses OK? 2 2 1 1 1 2 2 atm S S

p V p V

z z

g g

2 2

1

1 ( 1)

2 S

atm S

V V

p p z z

2 2

1 ( 1 )

2

atm S

p p V V

1 1

CM: V A V A_{S S}

2 2 2 1 2 1 2 S S atm S V A

p p V

A 2

2

1 1 ( / 1 )

2 S

atm S

V

p p A A

2

2 2

1,

1,225 50

1 0, 02 / 0,1 2

man

p

1,man 1, 48 kPa

p

Exemplo 6.4

p V p V

z z g g s 1 2 2 1 1 1 ( ) 2 S s S

V V p p

z z g 2 2 1 ₀ 2 S V V h g 1

Mas CM: V_S V ,

2 2

2 2

A A S S

A S

p V p V

z z

g g

2 2

( )

2

A s s A

A s

p p V V

z z

g

, 0 ( )

A man

p H h

2 , ( ) 2 s A man V

p H h H

g

2 S

V gh 4 , 3

11, 7 m/s, 78, 5 kPa 9,202 10 m /s

s A man

s V p Q 2 2 4 s d Q gh h

Escoamento em sifão. H = 1 m, h = 7 m,

d_s = 10 mm. _{Determine V}

Exemplo 6.4

O caso limite é: p_A p_vap , , , ( ) ( ) ( ) A man vap man vap man

p H h

H h p

H h p

2

5 ,

5

H O a 10 C: 1,228 kPa 1, 00097 10 Pa 1, 00097 10

( )

9, 806 999, 6 vap vap man p p H h max

(H h) 10,21 m

2

2 ( )

4

Isso é verdade mesmo para ?

s s

d

Q gh Q f H

H max

(H h)_real (H h)

s

1

Cavitação

Time Warp S01.Ep10

Exemplo 3.4

(Potter)

Vento soprando sobre janela de 0,91x1,82 m em uma tempestade com ventos a 29,06 m/s. Determine a força sobre a janela.

2 2

1 1 0 0

1 0

2 2

p V p V

z z

g g

2

1 0

0 0 0 0

2

V p

g 2 1 0

2

V

p 12

0

2

V

F A

2

0

1,225 29, 06

1, 672 2

F

Precauções

•

Escoamento sem atrito

– Tubos longos

– Camada limite, com ou sem separação

•

Escoamento incompressível

•

Escoamento turbulento

•

Presença de máquinas

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

p V p V

z z

Escoamentos com Atrito em

Dutos

Aplicações

• Dimensionamento de tubulações para demanda industrial e residencial

• Cálculo da vazão estabelecida em sistemas de tubulação existentes ou projetados

• Dimensionamento de bombas, ventiladores, compressores

Perdas de Carga Distribuídas

em Tubos

Efeitos do Atrito

0 

2 2

1 1 2 2

1 2

Considerando o atrito,

2 2 f

p V p V

z z h

g g

1 2 f

p p h

2_/2 , Re

p L e

f D D V 2 2 f L V h f D g 2 2 f L V

p h f

D

1 2 1

Informação externa: p L

1

2 , , Re

p e L

f

O Diagrama de Moody

• Os resultados de Nikuradse foram refinados e modernizados

• Uma equação válida para toda a faixa usual de Re foi obtida por Colebrook (1939)

Equações para

_f

2 2

2

Para escoamento laminar: 1 ( ) 4 8 z z dp

v R r

dz R dp v dz 2 8 p VL R 2 Lembrando que 8 dp p dz L R p V L 2

Mas, , logo,

8 f f p h h VL R 2 2 L V f D g 2

16g D 64

f VD VR 64 Re_D f

Equações para

_f

Escoamento turbulento, expressões implícitas

2

0 0.9

1 / 2.51

2.0 log , Colebrook (Diagr. Moody)

3.7 _Re

/ 5.74

com 0.25 log , por Swamee e Jain

3.7 Re

e D

f f

e D

f

1

2 log Re_D f 0.8, Prandtl (Colebrook para tubos lisos) f

Equações para

_f

Escoamento turbulento, expressões explícitas

2

Re

1.8 log , Colebrook, 1938 (Haaland p/ tubos lisos) 6.9

d

f

1.11

1 / 6.9

1.8 log , Haaland (dif. 2% Colebrook)

3.7 Re

e D

f

1/4 5

Dependência de



P

com

V

e

D

1/4

Com o modelo mais simples,

0.316 Re_d

f

2

2

f

L V

p h f

D 2 1/4 1/4 ₂ 0.316 Re 2 0.316 2 d L V p D L V VD D

3/4 1/4 7/4 5/4

L

p V

D

P é proporcional à V 1,75

7/4 3/4 1/4 5/4 2 4 L Q p D D

3/4 1/4 7/4 19/4

L

p Q

D

P é inversamente proporcional à

D 4,75_{. Dobrar D diminui a perda}

Os três tipos de problemas

• Tipo 1: cálculo da perda de carga

• Tipo 2: cálculo da velocidade/vazão

• Tipo 3: dimensionamento diâmetro

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2 f

p V p V

z z h

g g

Solução iterativa

Equação de Bernoulli modificada 1 (perdas por atrito distribuídas incluídas)

2 2

2 f

V L

h f

Exemplo 6.6

1.1

2

1 / 6.9

1.8 log , Haaland 3.7 Re

2

f

e D

f

L V

p h f

Exemplo Tipo 1

2 2

2 2 1 1

2 1

2 2 f

p V p V

z z h

g g

2

2 1 1

2

p p _L V

f

D g

2 1 / 2

D p L f V 2 5 2 8 D p L f Q 2 5

4 4 930 2, 944 Re

1,2192 1, 676.10 Re 1, 71.10

Q D

1.1

5

1 0, 0005 / 4 6.9

1.8 log

3.7 1, 71.10

0, 01685 f

f

Ferro galvanizado: e 0, 0005 ft (tab. 6.1)

2 5 6

2

1,2192 7, 9290.10 8 0, 01685 930 2, 944 L

3

2, 944 m /s 1,2192 m

7, 9290 MPa

V

Q D

p

194, 019 km L

1.1

1 / 6.9

1.8 log , Haaland

3.7 Re

e D

Exemplo Tipo 1

,

2 1

, em que

h B V B B

P Q h

h B B

2 2

2 2 1 1

2 1

2 1

2 2

B

B

p V p V

h z z

g g

p p

h

6

/

2, 944 7, 9290.10 / 0, 85

B V B

B

P Q p

P

27, 9287 MW 37.453 CV

B

B P P

Energia por unidade de peso absorvida

pelo fluido

Considerando a eficiência da B:

/

B V B B

P Q h

Isso não é passar Bernoulli por dentro da bomba!

3

2, 944 m /s 1,2192 m

7, 9290 MPa

V

Q D

Eq. De Bernoulli Modificada 2

2 2

2 2

A equação anterior,

2 2

pode ser reescrita:

2 2

s s e e

B s e

e e s s

e B s

p V p V

h z z

g g

p V p V

z h z

g g

2 2

1 1 2 2

1 2

2 fe B 2 fs

p V p V

z h h z h

g g

s e

2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 Mas 2 2 e e e fe s s s fs

p V p V

z z h

g g

p V p V

z z h

g g

2 2

1 1 2 2

1 ₂ B 2 ₂ f tot,

p V p V

z h z h

Eq. De Bernoulli Modificada 2

Equação de Bernoulli modificada 2 (máquinas e perdas distribuídas incluídas)

2 2

1 1 2 2

1 2

2 B 2 T f

p V p V

z h z h h

g g

Na verdade _B é qualquer máquina

geradora: bomba, ventilador,

compressor ,etc.

Semelhantemente, _T é qualquer máquina motora: turbina, MCI,

turbocompressor, etc.

A eq. Bernoulli precisa continuar valendo, óbvio.

/

B V B B

T V T T

P Q h

Exemplo Tipo 2

2 2ghD

fV

L

2 2 9, 81 8 0, 3

0, 471 100

fV

0 0, 014 (valor cte. para / 0, 0002)

f D

0, 471 /

V f

1.1 1

1

1 0, 0002 6.9

1.8 log

3.7 87.000

0, 01927

f f

0 0, 471 / 0, 014 5, 80 m/s

V

0 -5

5, 80 0, 3

Re 87.000

2 10 VD

1

1 -5

0, 471 / 0, 01927 4, 94 m/s 4, 94 0, 3

Re 74.178 2 10 V 1.1 0 1

1 / 6.9

1.8 log 3.7 Re e D f 1.1 2 2

1 0, 0002 6.9

1.8 log

3.7 74.178

0, 01982 f

f

Óleo ( = 950 kg/m3 _e  _{= 2 E-5}

m2_{/s) escoa por um tubo de 300}

mm de diâmetro e 100 m de

Exemplo Tipo 2

0, 471 / 0, 01982 4, 8748 m/s 4, 87 0, 3

Re 73.118

2 10

1 0, 0002 6.9

1.8 log 3.7 73.118 0, 01987 V f f 3 4

0, 471 / 0, 01987 4, 8689 m/s

0, 01987 V

f

4, 87 m/s V

2

4, 87 0, 3 4

Q VA

3

0, 344 m /s Q

Óleo ( = 950 kg/m3 _e  _{= 2 E-5}

m2_{/s) escoa por um tubo de 300}

mm de diâmetro e 100 m de

comprimento, com perda de carga igual a 8 m. A rugosidade relativa é 0.0002. Calcule a vazão

Critério de parada: precisão de 1 cm/s em V

Exemplo Tipo 3

2 2

2 2 1 1

2 ₂ 1 ₂ f

p V p V

z z h

g g

2

2 1 f ₂

L V

p p h f

D

2 2 5

8fL Q p

D

1 6

6 1

4 4 0, 09462 Re

0,1023 1,139.10 Re 1, 033.10

Q D

3

max

0, 09462 m /s 152, 4 m

0,2413 MPa Q L p 1, 1 4 in 102, 3 mm

nom D D 1.1 5 6 1 1

1 1, 46.10 6.9

1.8 log

3.7 1, 033.10 0, 01183 f f 5 1 0, 0015 1, 46.10 102, 3 e D 2 2

1 2 5 2 5

1 max

8 8 0, 01183 154,2 999 0, 09462 0,1023

1,18 MPa 0,2413 MPa =

fL Q p

D

p p

Exemplo Tipo 3

2 6

6 2

4 4 0, 09462 Re

0,1556 1,139.10 Re 0, 6797.10

Q D

2,nom 6 in; D2 155, 6 mm

D 1.1 6 6 2 2

1 9, 64.10 6.9

1.8 log

3.7 0, 6797.10 0, 01253 f f 6 2 0, 0015 9, 64.10 155, 6 e D 2

2 2 5

2 max

8 0, 01253 154,2 999 0, 09462 0,1556

0,153 MPa

p

p p

Diâmetro aceito. Fim?

Critério de parada: D | D₂ < D < D₁

e p < p_max ?

6

3 6

4 0, 09462

Re 0, 8244.10

0,1283 1,139.10 3,nom 5 in, 3 128, 3 mm

D D 1.1 5 6 3 3

1 1,169.10 6.9

1.8 log

3.7 0, 8244.10 0, 01218 f f 5 3 1,169.10 e D 2

3 2 5

3

8 0, 01218 154,2 999 0, 09462 0,1283

0, 391 MPa

p

p

Diâmetro rejeitado D = 6 in

3

max

0, 09462 m /s 152, 4 m

0,2413 MPa

Q L

Dutos (não circulares )

• Uso prático: ar condicionado e ventilação, escape de gases de combustão, etc.

• Em geral, seções de grande área não são circulares

Dutos

• No caso anterior:

• Aqui, como a pressão age na área transversal e o atrito age no perímetro molhado (SL não incluída), tem-se

• Para evitar o aparecimento de outro grupo adimensional, criamos um diâmetro equivalente, D_h , baseado no círculo

2

( , , , , , ); 7

, Re

p f D e V n

p e

f

D D

V

( , _m, , , , , ); 8

p f A P e V n

/ 4 4 /

h m h m

A D P D A P

2 d , , Reh

Dutos

• A definição é tal que na geometria circular, D_h = D

• Mas, em princípio, f  f_d e o diagrama de Moody e as

fórmulas de Colebrook e Haaland não poderiam ser usadas

• Porém, a diferença é em torno de 40% no caso laminar e 15% no caso turbulento, e pode ser compensada com um fator de correção

• Bóra “roubar” então

4 /

h m

Dutos Retangulares

• Soluções analíticas para dutos lisos (f de 40% e 15%):

f Tubos Dutos retangulares

Laminar

Turbulento

96 / Re

h

D

f 64 / Re_D

f

1/2

2 log Re_D 0.8

f f 1/2 2 log Re 1.19

h D

f f

Pode-se compensar a diferença do caso turbulento introduzindo-se um diâmetro efetivo, :

2 log Re 0, 8 2 log Re 2 log 0, 8

h h

ef h

D D

D C D

C f f C

2 log Re 2 log 0, 8 1,19 1,19

h

D f C

2 log Re (2 log 0, 39) 1,19

h

D f C

Dutos Retangulares

• Coincidentemente também funciona aprox. para o caso laminar, pois

64 100 96

0, 64 Re Re Re

h h h

D D D

Laminar: 64 / Re Turbulento: 96 / Re

h

D D

f

f 0, 64

ef h

D D

Resumo: Tubos e Dutos Retangulares

4

h

m

A D

P

2

(Re , / )

2

ef

f D ef

h

L V

h f e D

D g

0.64

ef h

D D

2

(Re , / )

2

f D

L V

h f e D

D g

Correção de f

Correção da AD

64 / Re ou Colebrook

ef

D