DCC008 Aula04 Raiz EqNonLin

(1)

Introdu¸cão Método da Bisse¸cão Método da Falsa Posi¸cão Método do Ponto Fixo Método de Newton Método da Secante Considera¸cões Finais

Resolu¸cão de Equa¸cões Não-Lineares

DCC008 - C´alculo Num´erico

Departamento de Ciˆencia da Computa¸c˜ao Universidade Federal de Juiz de Fora

(2)

Num´erico -UFJF

Introdu¸cão Método da Bisse¸cão Método da Falsa Posi¸cão Método do Ponto Fixo Método de Newton Método da Secante Considera¸cões Finais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 M´etodo da Bisse¸c˜ao

3 M´etodo da Falsa Posi¸c˜ao

4 M´etodo do Ponto Fixo

5 M´etodo de Newton

6 M´etodo da Secante

(3)

Introdu¸c˜ao

Método da Bisse¸cão Método da Falsa Posi¸cão Método do Ponto Fixo Método de Newton Método da Secante Considera¸cões Finais

1 Introdu¸c˜ao

(4)

Num´erico -UFJF Introdu¸c˜ao

Introdu¸c˜ao

• Vamos considerar agora m´etodos para resolver equa¸c˜oes

não-lineares. Dada uma fun¸cão não-linear escalar

f :R→R, procuramos o valor dex para o qual

f(x) = 0

• No caso vetorial onde f :Rn→Rn, o problema consiste em encontrar o vetor xtal que todas as componentes de

f(x) s˜ao iguais a zero simultaneamente.

Exemplos

f(x) =x2₋4 sin (x) = 0

(5)

Introdu¸c˜ao

• As ra´ızes correspondem aos pontos onde o gr´afico da fun¸c˜ao f(x) intercepta o eixo x

✲

x

✻

y

f(x)

x1 x2 x3

(6)

Introdu¸c˜ao

• Para polinômios de grau até quatro, suas ra´ızes podem ser calculadas através de uma expressão fechada, como por exemplo no caso de uma fun¸cão quadrática

ax2+bx+c = 0 _⇒ x= −b±

√

b2₋₄_ac

2a

• De forma geral, não podemos encontrar os zeros de uma fun¸cão através de uma expressão fechada. Portanto, para encontrar os zeros de uma fun¸cão temos que recorrer a

m´etodos aproximados.

• Em alguns casos, os zeros das fun¸c˜oes podem ser n´umeros complexos:

(7)

Introdu¸c˜ao

Defini¸c˜ao

Sef : [a,b]_→Ré uma fun¸cão dada, um pontoα_∈[a,b] é um

(8)

Raiz de uma fun¸c˜ao

Exemplos

Sejaf : (0,_∞)_→Re considere as seguintes fun¸c˜oes

f(x) = log (x) e f(x) =tanh(x)₋x/3.

0 2 4 6 8 10

(9)

Introdu¸c˜ao

Teorema (Multiplicidade)

Um pontoα_∈[a,b]´e uma raiz de multiplicidade m da equa¸c˜ao f(x) = 0 se f(α) =f′₍_α_{) =}_{. . .}₌_f(m₋1)₍_α_{) = 0} _e

(10)

Multiplicidade

Exemplo

Sejaf(x) =x2+ 2x+ 1 = (x+ 1)2. Nesse caso temos α=₋1 com multiplicidadem= 2, pois f′₍_x_{) = 2(}_x_{+ 1),} _f′′₍_x_{) = 2 e} assim temos quef(₋1) = 0,f′₍₋_{1) = 0 e} _f′′₍₋₁₎₆_{= 0.}

−4 −3 −2 −1 0 1 2

(11)

Introdu¸c˜ao

• Os m´etodos num´ericos podem ser divididos em duas etapas:

• Isolamento das ra´ızes

• Encontrar um intervalo [a,b] que contenha apenas uma raiz, ou

• Determinar uma aproxima¸c˜ao inicialx₀ (ou mais de uma, dependendo do m´etodo)

• Refinamento

(12)

Raiz de fun¸c˜oes

Teorema

(13)

Introdu¸c˜ao

(14)

Exemplo

Existem 3 ra´ızes no intervalo [0,10] da fun¸c˜ao

f(x) = (x₋1)(x₋5)(x₋10)

-40 -20 0 20 40 60

y

(15)

Introdu¸c˜ao

Exemplo

Como encontrar o intervalo da raizx>0 de

f(x) = x₂2

−sen(x)?

Solu¸c˜ao

Inspe¸c˜ao visual. Neste exemplo,x _∈[1,5; 2].

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y

(16)

Exemplo

Cont. Solu¸c˜ao

• Outra possibilidade ´e fazer uma tabela de valores

x f(x) sinal

0,5 -0,416925538604 <0 1,0 -0,591470984808 <0 1,5 -0,434994986604 <0 2,0 0,0907025731743 >0 2,5 0,964027855896 >0 3,0 2,10887999194 >0

• Logo, h´a ao menos uma raiz em [1,5; 2]

(17)

Introdu¸c˜ao

Exemplo

Encontre um intervalo de tamanho unit´ario em que haja ao menos uma raiz paraf(x) =√x₋5e−x _{= 0 de modo que}

(18)

Exemplo

Encontre um intervalo de tamanho unit´ario em que haja ao menos uma raiz paraf(x) =√x₋5e−x _{= 0 de modo que}

x_≥0.

Solu¸c˜ao

x f(x) sinal

0,0 -5,0 <0

1,0 -0,839397205857 <0 2,0 0,73753714619 >0

(19)

Introdu¸c˜ao

Teorema

(20)

(21)

Introdu¸c˜ao

Exemplo

H´a garantia de haver apenas uma raiz para

(22)

Exemplo

H´a garantia de haver apenas uma raiz para

f(x) =√x₋5e−x _{= 0 no intervalo [1}_,_2]?

Solu¸c˜ao

Sim, poisf(x) ´e cont´ınua nesse intervalo,f(1)f(2)<0 e

f′₍_x_{) =} 1

2√x + 5e−

(23)

Introdu¸c˜ao

• Definido o intervalo (ou formas de inicializa¸cão), pode-se então gerar iterativamente uma sequência de aproxima¸cões para a raiz def(x)

• Antes de estudar os métodos numéricos para gera¸cão dessas aproxima¸cões, é importante definir um critério de parada para o processo iterativo

• Alguns dos crit´erios normalmente adotados s˜ao:

|xk−xk₋1| ≤ǫ |

xk −xk₋1|

|xk| ≤

ǫ _|f(xk)| ≤ǫ

onde

• k ´e o passo do processo iterativo

• ǫé a precisão/tolerância da solu¸cão

(24)

Ordem de convergˆencia

´

E importante definir com qual rapidez a sequˆencia de aproxima¸c˜oes_{x0,x1, . . .}converge para a raiz exataα.

Ordem de convergˆencia

Uma sequˆencia_{xn|n≥0}´e dita convergir com ordem p ≥1 para um pontoα se

|α₋xn+1| ≤c|α−xn|p, n≥0

para uma constantec >0.

Sendoc <1, dizemos que :

• sep = 1: convergˆencia linear

(25)

Introdu¸c˜ao

Na pr´atica o que isso significa a ordem de convergˆencia?

|α₋xn+1| ≤c|α−xn|p

Exemplos de convergˆencia:

• Linear: 10−2_,₁₀−3_,₁₀−4_,₁₀−5_{, . . .} _com_c _{= 10}−1

• Linear: 10−2_,₁₀−4_,₁₀−6_,₁₀−8_{, . . .} _com_c _{= 10}−2

• Super-linear: 10−2_,₁₀−3_,₁₀−5_,₁₀−8_{, . . .}

(26)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

M´etodo da Bisse¸c˜ao

Método da Falsa Posi¸cão Método do Ponto Fixo Método de Newton Método da Secante Considera¸cões Finais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(27)

Introdu¸c˜ao

• O método da bisse¸cão baseia-se na ideia de que seja f(x) cont´ınua e f(a)f(b)<0, então existe ao menos uma raiz no intervalo [a,b].

• A cada passo, o intervalo ´e dividido ao meio

xk =

a+b

2

• O novo (sub-)intervalo ser´a aquele que cont´em a raiz

• [a,xk], sef(a)f(xk)<0

• [xk,b], caso contr´ario

• A busca continua at´e que algum crit´erio de parada seja atendido:

b₋a< ǫ; _|f(xk)|< ǫ; |

xk−xk₋1|

|xk|

(28)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

M´etodo da Bisse¸c˜ao

✲

x

✻

y

a

b f(a)

f(b)

r r

r

(29)

Introdu¸c˜ao

✲

x

✻

y

a x1

b f(a)

f(b)

r r r

r

(30)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

M´etodo da Bisse¸c˜ao

✲

x

✻

y

a

b

r r

(31)

Introdu¸c˜ao

✲

x

✻

y

a

x2 b

r r r

r r

(32)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

M´etodo da Bisse¸c˜ao

✲

x

✻

y

a

b

r r

(33)

Introdu¸c˜ao

✲

x

✻

y

a

x3 b

r r r

r r

(34)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

M´etodo da Bisse¸c˜ao

✲

x

✻

y

a b

r r

r

(35)

Introdu¸c˜ao

✲

x

✻

y

a x4

b

r r

r

(36)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

M´etodo da Bisse¸c˜ao

✲

x

✻

y

a x1x4

x3 x2 b

f(a)

f(b)

r r r r

r

r r

(37)

Introdu¸c˜ao

Algoritmo 1:Algoritmo do m´etodo da Bisse¸c˜ao

Entrada: f(x) cont´ınua em [a,b], intervalo [a,b] tal que

f(a)f(b)<0, precisãoǫe máximo número de itera¸cões

1 in´ıcio 2 k ←−0;

3 enquantocritério de parada não é satisfeito fa¸ca 4 xk ←− a+₂b;

5 se f(a)f(xk)<0 ent˜ao 6 b←−xk;

7 sen˜ao

8 a←−xk;

9 k _←−k+ 1;

(38)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Exemplo

Encontre uma aproxima¸c˜ao para o zero da fun¸c˜ao

f(x) = x₂2

−sen(x) no intervalo [1,5; 2] executando 5 passos do m´etodo da bisse¸c˜ao.

Solu¸c˜ao

k a b xk f(a) f(b) f(xk)

(39)

Introdu¸c˜ao

Exemplo

f(x) = x₂2

Solu¸c˜ao

(40)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Exemplo

f(x) = x₂2

Solu¸c˜ao

(41)

Introdu¸c˜ao

Exemplo

f(x) = x₂2

Solu¸c˜ao

(42)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Exemplo

f(x) = x₂2

Solu¸c˜ao

(43)

Introdu¸c˜ao

• A cada intera¸c˜aok, a raiz def(x) = 0 est´a num intervalo [ak,bk]

• Assim, sendo r a solu¸c˜ao do problema, pode-se dizer que

(44)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

An´alise

• A cada intera¸c˜aok, a raiz def(x) = 0 est´a num intervalo [ak,bk]

• Assim, sendo r a solu¸c˜ao do problema, pode-se dizer que

|r₋xk| ≤ 1₂(bk −ak)

• Al´em disso, o intervalo (bk −ak) no passo k pode ser escrito como

bk −ak =

bk₋1−ak₋1

2 =

bk₋2−ak₋2

22 =· · ·=

b0−a0

2k

• Logo, o erro absoluto no passo k satisfaz

|r₋xk| ≤

b0−a0

(45)

Introdu¸c˜ao

• O limitante para o erro absoluto pode ser utilizado para determinar o número de itera¸cões necessárias para se obter uma raiz com uma dada precisão ǫ

• Considerando como crit´erio de parada

b₋a_≤ǫ

• Nesse sentido, deseja-se determinar k tal que

|r₋xk| ≤

b0−a0

(46)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

An´alise

• Logo,

b₀₋a₀

2k+1 ≤ǫ

b0−a0

ǫ ≤2

k+1

2k+1 _≥ b0−a0 ǫ

log₂(2k+1)_≥log₂

b0−a0

ǫ

k+ 1_≥log₂

b0−a0

ǫ

≥log

b0−a0

−1 ou _≥

lnb0−a0

ǫ

(47)

Introdu¸c˜ao

Número de itera¸cõesvs Precisão

Número de itera¸cõesk para o método da bisse¸cão atingir uma precisãoǫ

k _≥log₂

b0−a0

ǫ

−1 ou k_≥

lnb0−a0

ǫ

(48)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Exemplo

Qual o número de itera¸cões necessárias para encontrar uma aproxima¸cão para o zero da fun¸cãof(x) = x

2

(49)

Introdu¸c˜ao

Exemplo

Qual o número de itera¸cões necessárias para encontrar uma aproxima¸cão para o zero da fun¸cãof(x) = x

2

−sen(x) no intervalo [1,5; 2] de modo queb₋a_≤ǫ= 10−5_?

Solu¸c˜ao

k_≥log₂b0−a0

ǫ

−1 = log₂2−1,5

10−5

−1_≈15,61₋1 = 14,61

(50)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Ordem de Convergˆencia

• Ordem de convergˆencia de um m´etodo

|α₋xn+1| ≤c|α−xn|p

• No método da bisse¸cão o erro cai pela metade (em média) a cada itera¸cão na busca da solu¸cão α, ou seja,

|α₋xk|

|α₋xk₋1| ≤

1 2

Assim,

|α₋xk| ≤ 1

2|α−xk−1|

e verifica-se que este m´etodo tem ordem de convergˆencia

(51)

Introdu¸c˜ao

Exerc´ıcios

1) Mostre que as seguintes equa¸c˜oes possuem exatamente uma raiz e que em cada caso a raiz est´a no intervalo [0.5,1.0]

a) x2+ln(x) = 0

b) xex₋_{1 = 0}

(52)

Num´erico -UFJF

Introdu¸cão Método da Bisse¸cão

M´etodo da Falsa Posi¸c˜ao

Método do Ponto Fixo Método de Newton Método da Secante Considera¸cões Finais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(53)

• Dado um intervalo [a,b] que cont´em uma raiz para

f(x) = 0, então ométodo da falsa posi¸cão pode então ser descrito como

• Calcula-se a aproxima¸c˜aoxk:

xk =

af(b)−bf(a)

f(b)−f(a)

• Determina-se o novo (sub-)intervalo, que ser´a aquele que cont´em a raiz

• [a,xk], sef(a)f(xk)<0

• [xk,b_{], caso contr´}_ario

• A busca continua at´e que algum crit´erio de parada seja atendido:

b−a< ǫ; |f(xk)|< ǫ; |

xk−xk−1|

|xk|

(54)

Num´erico -UFJF

M´etodo da Falsa Posi¸c˜ao

✲

x

✻

y

a

b

reta

x0

f(a)

f(b)

r r

r

r r

(55)

✲

x

✻

y

b

reta

a f(a)

f(b)

f(a)f(b)<0

x1

r r

(56)

Num´erico -UFJF

M´etodo da Falsa Posi¸c˜ao

✲

x

✻

y

a f(a)

f(b)

b x2

r

r r

(57)

Algoritmo 2:Algoritmo do m´etodo da Falsa Posi¸c˜ao

Entrada: f(x) cont´ınua em [a,b], intervalo [a,b] tal que

f(a)f(b)<0, precisãoǫe máximo número de itera¸cões

1 in´ıcio

2 k ←−0;

3 enquantocritério de parada não é satisfeito fa¸ca

4 xk ←− af_f(₍b_b₎)−₋bf_f₍_a(₎a); 5 se f(a)f(xk)<0 ent˜ao 6 b←−xk;

7 sen˜ao

8 a←−xk;

9 k _←−k+ 1;

(58)

Num´erico -UFJF

Exemplo

f(x) = x₂2

−sen(x) no intervalo [1,5; 2] utilizando o m´etodo da falsa posi¸c˜ao, com_|f(xk)|< ǫ= 10−4.

Solu¸c˜ao

(59)

Exemplo

f(x) = x₂2

Solu¸c˜ao

(60)

Num´erico -UFJF

Exemplo

f(x) = x₂2

Solu¸c˜ao

(61)

Exerc´ıcios

1) Aplique o método da Bisse¸cão e o da Falsa Posi¸cão para calcular a raiz positiva de x2₋7 = 0 comǫ= 10−2 _,

partindo do intervalo inicial [2.0, 3.0] e utilizando 4 d´ıgitos significativos. Qual chegou na resposta com menos

itera¸c˜oes?

2) Aplique o m´etodo da Falsa Posi¸c˜ao utilizando 4 d´ıgitos significativos para resolver utilizando ǫ= 10−2_:

a) ex−3x = 0

(62)

Num´erico -UFJF

Introdu¸cão Método da Bisse¸cão Método da Falsa Posi¸cão

M´etodo do Ponto Fixo

Método de Newton Método da Secante Considera¸cões Finais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(63)

• Outra alternativa para encontrar a raiz r da equa¸c˜ao

f(x) = 0,

onde f é uma fun¸cão cont´ınua no intervalo [a,b] em que a raiz é procurada, é reescrever f(x) na forma

x =φ(x)

(64)

Num´erico -UFJF

Exemplo

(65)

Exemplo

(66)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Sejaf(x) =x2₋x₋2 = 0. Podemos escrever a) x =x2₋2

(67)

Exemplo

(68)

Num´erico -UFJF

Exemplo

b) x =√2 +x c) x = 1 +2_x d) x = x2+2

2x₋1

Existem diversas formas de expressarf(x) = 0 como um

(69)

No m´etodo do ponto fixo define-sex =φ(x) satisfazendo: 1) φ(x) e φ′₍_x_{) cont´ınuas para} _x _∈_I

2) _|φ′₍_x₎_|_<_1,_∀_x _∈_I

Dada uma aproxima¸c˜ao inicialx0 para a raizr, ent˜ao as

aproxima¸c˜oes sucessivasxk s˜ao obtidas fazendo

xk =φ(xk₋1), k = 1,2, . . .

O processo continua at´e algum crit´erio de parada ser atendido:

|xk−xk₋1|

|xk|

(70)

Num´erico -UFJF

Ponto Fixo

Algoritmo 3:Algoritmo do m´etodo Ponto Fixo

Entrada: Aproxima¸c˜ao inicialx0, fun¸c˜ao associada φ(x),

precisãoǫe máximo número de itera¸cões 1 in´ıcio

2 k _←−1;

3 enquantocritério de parada não é satisfeito fa¸ca 4 xk ←−φ(xk₋1);

5 k _←−k+ 1;

(71)

Exemplo

f(x) =x2₋x₋2 usando o seguinte esquemax =x2₋2. ConsiderandoI = [1.5,2.5], sabemos que a raiz ´eα = 2.

φ(x) =x2₋2 _⇒ φ′₍_x_{) = 2}_x

Assim temos queφ(x) e φ′₍_x_{) s˜ao cont´ınuas. Entretanto}

max x_∈I |φ

′₍_x₎_|_{= max}

x_∈I |2x|>1

(72)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Por outro lado, paraf(x) =x2₋x₋2 comI = [1.5,2.5] usandoφ(x) =√x+ 2, temos

φ′₍_x_{) =} 1 2√x+ 2

e assim

max x∈I |φ

′₍_x₎_|_{= max}

x∈I 1 2√x+ 2

= 0.267<1

(73)

Exemplo

Considere a equa¸c˜aof(x) = 2x2₋5x+ 2 = 0, cujas ra´ızes s˜ao α1 = 0.5 eα2 = 2. Considere os processos iterativos:

a) xk+1=

q

5xk

2 −1

b) xk+1= 2

x2

k+2

5

Qual dos dois processos vocˆe utilizaria para obter a raizα1?

(74)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Considere a equa¸c˜aof(x) = 2x2₋5x+ 2 = 0, cujas ra´ızes s˜ao α1 = 0.5 eα2 = 2. Considere os processos iterativos:

a) xk+1=

q

5xk

2 −1

b) xk+1= 2

x2

k+2

5

Qual dos dois processos vocˆe utilizaria para obter a raizα1?

Por que? Solu¸c˜ao

Para a) temos que

φ(x) = 5x

2 −1 1/2

⇒ φ′₍_x_{) =}1

2

1

q₅

xk

2 −1

5 2

|φ′(α1)|=

5

(75)

Solu¸c˜ao do exemplo - (cont.) Para b) temos que

φ(x) = 2x

2_{+ 2}

5 ⇒ φ′(x) = 4x

5

|φ′₍_α

1)|=

4(0.5)

5 =

2

5 = 0.4<1

Temos então queφ(x) e φ′₍_x_{) são cont´ınuas e se} _x₀ _for suficientemente próximo deα1, então o processo b) irá

(76)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Sejaf(x) =x3₋9x+ 3. Considere a seguinte fun¸c˜ao de itera¸c˜aox=φ(x) = x3+3

9 . Queremos encontrar a raiz de

(77)

Exemplo

Sejaf(x) =x3₋9x+ 3. Considere a seguinte fun¸c˜ao de itera¸c˜aox=φ(x) = x3+3

9 . Queremos encontrar a raiz de

f(x) = 0 no intervalo [0,1]. O m´etodo ir´a convergir?

Solu¸c˜ao

Temos queφ′₍_x_{) =} x2

3 , e portanto temos queφ(x) e φ′(x) s˜ao

cont´ınuas.

Verificamos agora que

|φ′₍_x₎_|₌

x2 3

<1,_∀x _∈[0,1]

(78)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Solu¸c˜ao do exemplo - (cont.) Na primeira itera¸c˜ao, temos

x₁=0.25

3_{+ 3}

9 =

0.015625 + 3

9 = 0.335069

f₍x₁_{) =}x₁3₋₉x₁_{+ 3 = 0.037618}₋_{3.015621 + 3 = 0.021997}_{> ǫ}

Mais uma itera¸c˜ao

x₂₌ 0.335069

3_{+ 3}

9 = 0.337513

f(x₂) =x₂3−9x₂+ 3 = 0.038447−3.037617 + 3 = 0.00083< ǫ

Como o crit´erio de parada_|f(x2)|< ǫfoi satisfeito,

terminamos o processo comx2 = 0.337513 como aproxima¸c˜ao

(79)

Solu¸c˜ao do exemplo - (cont.)

Se tomarmos outra aproxima¸c˜ao inicialx0 = 0.5 mais distante

(80)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Se tomarmos outra aproxima¸c˜ao inicialx0 = 0.5 mais distante

da raiz temos:

k xk f(xk)

0 0.5 -1.375

(81)

Exemplo

Considere as seguintes fun¸c˜oes: a) φ1(x) = 2x−1

b) φ2(x) =x2−2x+ 2

(82)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Considere as seguintes fun¸c˜oes: a) φ1(x) = 2x−1

b) φ2(x) =x2−2x+ 2

Qual delas vocˆe escolheria para obter a raiz 1, utilizando o processo iterativoxk+1=φ(xk)? Exiba a sequˆencia gerada com sua escolha tomandox0 = 1.2.

Solu¸c˜ao

Temos queφ1(x) e φ′1(x) s˜ao cont´ınuas pois

φ1(x) = 2x−1, φ′1(x) = 2

(83)

Solu¸c˜ao do exemplo - (cont.) Por outro lado

φ2(x) =x2−2x+ 2, φ′2(x) = 2x−2

|φ′

2(x)|=|2x−2|<1

de onde temos

−1<2x₋2<1 1<2x<3

1

2 <x < 32

Portanto_|φ′

2(x)|<1 se e somente sex ∈I = [0.5,1.5]. Como

φ2(x) eφ′2(x) s˜ao cont´ınuas, tomando uma aproxima¸c˜ao inicial

(84)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Tomando ent˜aoφ2(x) =x2−2x+ 2 e x0= 1.2, temos:

k xk

0 1.2

1 1.04

2 1.0016

(85)

Exerc´ıcios

1) Considere o problema de encontrar o zero da fun¸c˜ao

f(x) =x+ln(x) no intervalo [0.5,0.6] usando um método de ponto fixo. Analise a convergência, quando a fun¸cão de itera¸cão é dada por:

a) ϕ(x) =−ln(x)

b) ϕ(x) =e−x

2) A equa¸c˜aox2+ 5x₋1 = 0 tem uma raiz em [0,0.5]. Verifique quais dos processos abaixo podem ser utizados, com sucesso, para obtˆe-la.

a) xk+1= 1−x

2

k 5

b) xk+1= 1−_xk5xk

(86)

Num´erico -UFJF

Introdu¸cão Método da Bisse¸cão Método da Falsa Posi¸cão Método do Ponto Fixo

M´etodo de Newton

M´etodo da Secante Considera¸c˜oes Finais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(87)

M´etodo de Newton

O m´etodo de Newton ´e definido por

xk =xk₋1−

f(xk₋1)

(88)

Num´erico -UFJF

M´etodo de Newton

(89)

M´etodo de Newton

Algoritmo 4:Algoritmo para o M´etodo de Newton

Entrada: f(x), f′₍_x_{), valor inicial}_x₀_{, precisão} _ǫ_{e máximo} número de itera¸cões

1 in´ıcio 2 k _←−1;

4 xk ←−xk₋1−_ff′(₍x_xkk−1) −1);

5 k ←−k+ 1;

(90)

Num´erico -UFJF

M´etodo de Newton

Exemplo

Resolvaf(x) =x₋x1/3₋2 = 0 usandox0 = 3 como

(91)

M´etodo de Newton

Exemplo

Resolvaf(x) =x₋x1/3₋2 = 0 usandox0 = 3 como

aproxima¸c˜ao inicial.

Solu¸c˜ao

Temos que a derivada ´e

f′₍_x_{) = 1}₋ 1 3x−

2/3

nesse caso a fórmula de itera¸cão é

xk+1=xk −

(92)

Num´erico -UFJF

M´etodo de Newton

Cont. Solu¸c˜ao

Aplicando o m´etodo de Newton temos

k xk f′(xk) f(xk)

0 3.0 0.839750 -0.442250e+00

1 3.526644 0.856130 4.506792e-03

2 3.521380 0.855986 3.771414e-07

3 3.52137971 0.855986 0.00000e+00

E assim ao final das itera¸c˜oes obtemosα_≈x3 = 3.52137971

(93)

M´etodo de Newton

Exerc´ıcios

1) O valor de π pode ser obtido atrav´es das seguintes equa¸c˜oes:

a) sen(x) = 0

b) cos(x) + 1 = 0

Aplique o m´etodo de Newton com x0 = 3 e com precis˜ao

10−7_{. Compare os resultados.}

2) Suponha que você deseja computar √b em um computador que não possui a fun¸cão de ”raiz quadrada”. Responda:

a) Use o m´etodo de Newton para estabelecer uma forma de calcular a raiz

(94)

Num´erico -UFJF

Introdu¸cão Método da Bisse¸cão Método da Falsa Posi¸cão Método do Ponto Fixo Método de Newton

M´etodo da Secante

Considera¸c˜oes Finais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(95)

M´etodo da Secante

• Algumas desvantagens do m´etodo de Newton

• Determinarf′₍_x₎

• Calcularf′₍_x_{) a cada passo}

• Uma adapta¸cão poss´ıvel é substituir f′₍_x_{) pela} aproxima¸cão

f′₍_x

k₋1)≈

f(xk₋1)−f(xk₋2)

xk₋1−xk₋2

• Dada a aproxima¸c˜ao para f′₍_x_k

−1), o m´etodo da secante resulta em

xk =xk−1−

f(xk₋1)

f(xk−1)−f(xk−2)

(96)

Num´erico -UFJF

M´etodo da Secante

Algoritmo 5:Algoritmo para o M´etodo da Secante

Entrada: f(x), valores iniciais x0 ex1, precis˜ao ǫe m´aximo

n´umero de itera¸c˜oes 1 in´ıcio

2 k ←−2;

4 d ←− f(xk_xk−1)−f(xk−2)

−1−xk−2 ;

5 xk ←−xk−1−f(xk_d−1);

6 k ←−k+ 1;

(97)

M´etodo da Secante

Exemplo

(98)

Num´erico -UFJF

M´etodo da Secante

Exemplo

Encontre a raiz de√x₋5e−x _{= 0, usando o m´etodo da} secante comx0= 1.4 e x1 = 1.5 com uma precis˜aoǫ= 10−3.

Solu¸c˜ao

Avaliando a fun¸c˜ao emx₀ e x₁ temos

f(x0) =f(1.4) =

√

1.4₋5e−1.4 _{= 1}_.₁₈₃

−5(0.247) =₋0.052

f(x1) =f(1.5) =

√

1.5₋5e−1.5 _{= 1}_.₂₂₅

−5(0.223) = 0.110

pelo m´etodo da secante temos

x2=1.4

f(1.5)−1.5f(1.4)

f(1.5)−f(1.4) =

1.4(0.110)−1.5(−0.052)

0.110 + 0.052 = 1.432

(99)

M´etodo da Secante

Cont. da solu¸c˜ao do exemplo Avaliando a fun¸c˜ao emx2

f(x2) =f(1.432) =

√

1.432−5e−1.432= 1.197−5(0.239) = 0.002

assim

x3=

1.5f(1.432)−1.432f(1.5)

f(1.432)−f(1.5)

= 1.5(0.002)−1.432(0.110)

0.002−0.110 = 1.431

e3= |

x3−x2|

|x3|

= 0.0007< ǫ

(100)

Num´erico -UFJF

M´etodo da Secante

Exerc´ıcios

1) Encontre o zero das seguintes fun¸cões pelo método da secante com ǫ= 0.0005 ou até seis itera¸cões:

a) f(x) =x3₋_cos₍_x_{) no intervalo [0,1]}

(101)

Introdu¸cão Método da Bisse¸cão Método da Falsa Posi¸cão Método do Ponto Fixo Método de Newton Método da Secante

1 Introdu¸c˜ao

(102)

Num´erico -UFJF

Compara¸c˜ao entre os M´etodos

• Método da bisse¸cão e falsa posi¸cão

• Utiliza a ideia da existˆencia de ao menos uma raiz no intervalo [a,b] quandof(x) ´e cont´ınua ef(a)f(b)<0

• Convergˆencia linear

• M´etodo do ponto fixo

(103)

• M´etodo de Newton

• Possui crit´erios mais restritivos para a convergˆencia

• Requer o c´alculo def(x) ef′₍_x_{) a cada passo}

• Pode em certas condi¸cões atingir convergência quadrática

• M´etodo da secante

• Similar ao m´etodo de Newton

(104)

Num´erico -UFJF

Compara¸c˜ao entre os m´etodos

• De forma geral, entre os m´etodos apresentados aqui

• O m´etodo de Newton ´e o mais indicado

• Sempre que for poss´ıvel garantir as condi¸c˜oes de convergˆencia, ef′₍_x_{) estiver dispon´ıvel e for simples de}

ser avaliada

• Sef′₍_x_{) n˜ao estiver dispon´ıvel ou for computacionalmente}

custosa para se calcular, ent˜ao sugere-se o m´etodo da secante