Notas para o acompanhamento das aulas de
Geometria Anal´ıtica
Licenciatura e Bacharelado em Matem´
atica
Sum´
ario
Um Curso de Geometria Anal´ıtica 5
1 Brev´ıssima Revis˜ao de Ensino M´edio 7
1.1 Conjuntos Num´ericos . . . 7
1.2 OSistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais no plano . . . 8
1.3 Distˆancia entre dois pontos noPlano Cartesiano . . . 9
1.4 Alinhamento entre trˆes pontos noPlano Cartesiano . . . 10
1.5 Retas noPlano Cartesiano . . . 11
2 Vetores e Coordenadas Cartesianas 15 2.1 Vetores: abordagem geom´etrica . . . 15
2.2 Vetores: abordagem alg´ebrica . . . 18
2.2.1 Vetores no plano . . . 18
2.2.2 Vetores no espa¸co . . . 19
2.3 Produto Escalar (ou Produto Interno) . . . 20
2.4 Produto Vetorial . . . 21
2.5 Produto Misto . . . 23
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Vetores e Coordenadas Cartesianas . . . 24
3 Retas, Planos e Distˆancias 37 3.1 Retas . . . 37
3.1.1 Equa¸c˜ao Vetorial de uma Reta no Espa¸co . . . 37
3.1.2 Equa¸c˜oes Param´etricas de uma Reta no Espa¸co . . . 38
3.1.3 Equa¸c˜oes Sim´etricas de uma Reta no Espa¸co . . . 38
3.1.4 Equa¸c˜oes Reduzidas de uma Reta no Espa¸co . . . 38
3.1.5 Casos Particulares de Retas no Espa¸co . . . 39
3.1.6 Angulo entre Duas Retas no Espa¸co . . . .ˆ 41 3.2 Planos . . . 42
3.2.1 Equa¸c˜ao Vetorial de um Plano no Espa¸co . . . 42
3.2.2 Equa¸c˜oes Param´etricas de um Plano no Espa¸co . . . 42
3.2.3 Equa¸c˜ao Geral de um Plano no Espa¸co . . . 43
3.2.4 Angulo entre Reta e Plano no Espa¸co . . . .ˆ 43 3.2.5 Angulo entre Dois Planos no Espa¸co . . . .ˆ 44 3.3 Distˆancias . . . 44
3.3.1 Distˆancia de Ponto a Ponto . . . 44
3.3.2 Distˆancia de Ponto a Reta . . . 45
3.3.3 Distˆancia de Ponto a Plano . . . 45
3.3.4 Distˆancia de Reta a Reta . . . 46
3.3.5 Distˆancia de Reta a Plano . . . 47
3.3.6 Distˆancia de Plano a Plano . . . 47
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Retas, Planos e Distˆancias . . . 48
4 Curvas e Superf´ıcies 67 4.1 Curvas Cˆonicas . . . 67
4.1.1 Sec¸c˜oes Cˆonicas . . . 67
4.1.2 Defini¸c˜oes Geom´etricas das Curvas Cˆonicas . . . 69
4.1.3 Equa¸c˜oes Cartesianas de Algumas Curvas Cˆonicas . . . 71
4.1.4 Caracteriza¸c˜ao de Curvas Cˆonicas N˜ao Degeneradas em Termos de Diretriz e Excentricidade . 73 4.1.5 Identifica¸c˜ao de Curvas Cˆonicas a Partir da Equa¸c˜ao Geral . . . 74
4.3 Superf´ıcies . . . 83
4.3.1 Defini¸c˜oes Geom´etricas de Algumas Superf´ıcies . . . 83
4.4 Superf´ıcies Qu´adricas . . . 84
4.4.1 Equa¸c˜oes Cartesianas de Algumas Superf´ıcies Qu´adricas . . . 85
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Curvas e Superf´ıcies . . . 90
Um Curso de Geometria Anal´ıtica
Estas notas para acompanhamento de aulas s˜ao para um curso de Geometria Anal´ıtica voltado para o primeiro per´ıodo dos cursos de gradua¸c˜ao em ciˆencias exatas.
Este material est´a em constante aperfei¸coamento e podemos divid´ı-lo em oito partes: - Geometria Anal´ıtica de Ensino M´edio (revis˜ao).
- Vetores - Retas - Planos - Distˆancias - Curvas Cˆonicas - Coordenadas Polares - Superf´ıcies
O t´opico deGeometria Anal´ıtica de Ensino M´edio´e apenas uma brev´ıssima revis˜ao do conte´udo que, grosso modo, deveria ser o pr´e-requisito de Ensino M´edio para o estudo da Geometria Anal´ıtica de gradua¸c˜ao.
No t´opico deVetoresestudamos o conceito geom´etrico de vetor, aprendendo a operar vetores no sentido de somar e multiplicar por um escalar (n´umero real). Tamb´em abordamos os conceitos de norma, ˆangulo e proje¸c˜ao de um vetor sobre outro para o qual precisamos do conceito de produto escalar entre vetores. Outras opera¸c˜oes entre vetores a serem estudadas ser˜ao a de produto vetorial e produto misto. Veremos aplica¸c˜oes de vetores em problemas de Geometria e de F´ısica. Podemos subdividir este t´opico em:
- Vetores;
- Opera¸c˜oes com vetores; - Vetores no R2e no R3;
- Produto escalar e ˆangulo entre vetores; - Produto vetorial;
- Produto misto.
No t´opico Retas estudamos os diversos tipos de equa¸c˜oes para retas no espa¸co. Ap´os o estabelecimento das equa¸c˜oes, o estudo das posi¸c˜oes relativas entre retas no espa¸co torna-se bastante acess´ıvel, bem como a no¸c˜ao de ˆangulo entre elas. Podemos subdividir esse t´opico em:
- Equa¸c˜ao vetorial de reta; - Equa¸c˜oes param´etricas de reta; - Equa¸c˜oes sim´etricas de reta; - Equa¸c˜oes reduzidas de reta; - ˆAngulo entre duas retas no espa¸co;
- Posi¸c˜oes relativas entre duas retas no espa¸co; - Intersec¸c˜ao de retas no espa¸co.
No t´opicoPlanos, assim como nas retas, estudamos os diversos tipos de equa¸c˜oes para planos no espa¸co. Ap´os o estabelecimento das equa¸c˜oes, o estudo das posi¸c˜oes relativas entre planos e retas no espa¸co torna-se bastante acess´ıvel, bem como a no¸c˜ao de ˆangulo entre esses objetos. Podemos subdividir esse t´opico em:
- Equa¸c˜ao vetorial de plano; - Equa¸c˜oes param´etricas de plano;
- Equa¸c˜ao geral de plano e vetor normal a um plano; - ˆAngulo entre dois planos no espa¸co;
- ˆAngulo entre reta e plano no espa¸co;
No t´opicoDistˆanciasestudamos meios de como calcular as distˆancias entre os elementos geom´etricos estudados at´e aqui: pontos, retas e planos. Podemos subdividir esse t´opico em:
- Distˆancia entre dois pontos; - Distˆancia de ponto a reta; - Distˆancia de ponto a plano; - Distˆancia entre duas retas; - Distˆancia entre reta e plano; - Distˆancia entre dois planos.
No t´opico Curvas Cˆonicas estudamos as chamadas curvas cˆonicas n˜ao degeneradas: as par´abolas, as circun-ferˆencias, as elipses e as hip´erboles. Al´em do estudo das equa¸c˜oes cartesianas dessas importantes curvas planas, as defini¸c˜oes geom´etricas e os principais elementos dessas curvas, como centros, focos, v´ertices, eixos, diretrizes, ass´ıntotas e excentricidades, tamb´em far˜ao parte de nosso desenvolvimento te´orico. Podemos subdividir esse t´opico em:
- As curvas cˆonicas par´abola, circunferˆencia, elipse, e hip´erbole como se¸c˜oes cˆonicas; - As defini¸c˜oes geom´etricas da par´abola, da circunferˆencia, da elipse e da hip´erbole;
- O principais elementos das curvas cˆonicas: centros, focos, v´ertices, eixos, diretrizes, ass´ıntotas e excentricidades. - As dedu¸c˜oes das equa¸c˜oes cartesianas reduzidas da par´abola, da circunferˆencia, da elipse e da hip´erbole a partir das suas defini¸c˜oes geom´etricas;
- Aplica¸c˜ao das transla¸c˜oes e rota¸c˜oes ao estudo da equa¸c˜ao quadr´atica Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.
No t´opicoCoordenadas Polaresintroduzimos um novo e importante sistema de coordenadas no plano: oSistema de Coordenadas Polares. Naturalmente, as equa¸c˜oes de curvas nesse novo sistema de coordenadas, as chamadas equa¸c˜oes polares, s˜ao diferentes das respectivas equa¸c˜oes cartesianas. Desta forma, as t´ecnicas de transforma¸c˜ao das equa¸c˜oes de um sistema para outro ´e de fundamental importˆancia. Al´em disso, esbo¸cos de curvas a partir de suas equa¸c˜oes polares, intersec¸c˜oes de curvas e c´alculos de distˆancias nesse novo sistema tamb´em s˜ao itens de interesse e estudo. Podemos subdividir esse t´opico em:
- O Sistema de Coordenadas Polares;
- Transforma¸c˜ao de Coordenadas Polares em Coordenadas Cartesianas e vice-versa; - Esbo¸co de curvas a partir de sua equa¸c˜ao polar;
- Intersec¸c˜ao de gr´aficos em Coordenadas Polares; - F´ormula da distˆancia entre dois pontos;
- Equa¸c˜oes polares das curvas cˆonicas;
No t´opico Superf´ıcies estudamos algumas classes de superf´ıcies: as esf´ericas, as cil´ındricas, as cˆonicas e as qu´adricas. O enfoque principal ´e o estudo das equa¸c˜oes cartesianas dessas superf´ıcies. Em particular, as superf´ıcies cil´ındricas e cˆonicas quadr´aticas s˜ao de especial interesse, pois enquadram-se no tipo de equa¸c˜ao que ser´a abordada em nossos estudos. As superf´ıcies qu´adricas de revolu¸c˜ao e seus principais elementos, como focos, v´ertices e eixos s˜ao objetos importantes em nossos estudos devido a sua potencial utiliza¸c˜ao pr´atica. Podemos subdividir esse t´opico em: - A esfera;
- Superf´ıcies cil´ındricas; - Superf´ıcies cˆonicas;
- Equa¸c˜oes reduzidas das seguintes superf´ıcies qu´adricas: Elips´oide;
Hiperbol´oide de uma folha; Hiperbol´oide de duas folhas; Parabol´oide el´ıptico;
Parabol´oide hiperb´olico; Cone quadr´atico;
Cap´ıtulo 1
Brev´ıssima Revis˜
ao de Ensino M´
edio
(o Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais e Equa¸c˜oes de Retas no plano - sem o uso de vetores)
1.1
Conjuntos Num´
ericos
A teoria envolvendo a constru¸c˜ao matem´atica rigorosa dos conjuntos num´ericos, suas opera¸c˜oes e propriedades foge aos objetivos deste curso introdut´orio. Tal estudo ´e visto em disciplinas mais avan¸cadas de Teoria dos N´umeros e An´alise Real (ouAn´alise Complexa).
Abaixo segue um resumo de tais conjuntos.
Conjunto don´umeros naturais:
N={1, 2, 3, 4, 5, . . .}. Alguns autores consideram0(zero) como n´umero natural.
Conjunto dosn´umeros inteiros:
Z={. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}. A palavran´umeros em alem˜ao ´e escrita comozahlen.
Conjunto dosn´umeros racionais:
Q=a
b :a, b∈Zeb6=0
. Existe uma rela¸c˜ao de equivalˆencia importante emQ:
a b =
c
d ⇐⇒ad=bc.
Assim, por exemplo, 1 2=
3
6, pois1.6=2.3.
Todo n´umero racional pode ser escrito em uma forma decimal, sendo esta forma “finita” ou “infinita” formando uma d´ızima peri´odica. Por exemplo,
1 2 =0, 5
7
8 =0, 875 1
3 =0, 3333 . . .
41
333 =0, 123123123 . . .
Existem n´umeros que n˜ao s˜ao racionais. Por exemplo, o comprimento da hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo cujos catetos medem uma unidade de comprimento. Tal n´umero ´e indicado por√2e ´e uma raiz da equa¸c˜aox2=12+12 (esta equa¸c˜ao ´e proveniente doTeorema de Pit´agoras), ou seja, x2=2.
Ö2
Podemos associar os n´umeros racionais a pontos de uma reta.
Para tanto, basta fixarmos dois pontosOePdistintos na reta e associarmos os n´umeros0e1, respectivamente. Com isto, estabelecemos uma unidade de medida geom´etrica sobre a reta que, por meio de seus m´ultiplos e subm´ultiplos, permite a localiza¸c˜ao dos demais n´umeros racionais sobre a reta. Os n´umeros racionais positivos est˜ao associados a pontos da semirreta com origem emOque passa porP, enquanto que os n´umeros racionais negativos est˜ao associados a pontos da semirreta com origem emOque n˜ao passa porP. A figura abaixo esclarece o procedimento acima.
0 1 2 3
-1 -2 -3
-0 5,
O P
2 5, 5
2
Existem pontos da reta que n˜ao est˜ao associados a n´umeros racionais. Tais pontos est˜ao associados aos chamados n´umeros irracionais.
`
A reuni˜ao do conjunto dos n´umeros racionais e do conjunto dos n´umeros irracionais chamamos de conjunto dos n´umeros reaise indicamos porR.
A reta associada ao conjunto dos n´umeros reais, conforme descrevemos acima, chamamos de reta orientada de origem O, ou ent˜ao reta real, ou ainda, simplificadamente, deeixo.
Todo n´umero irracional pode ser aproximado por n´umeros racionais e possui uma representa¸c˜ao decimal “infinita” que n˜ao formad´ızima peri´odica. Por exemplo,
√
2=1, 41421356 . . . √3=1, 73205080 . . . √5=2, 23606797 . . . π=3, 14159265 . . . e=2, 71828182 . . .
Ainda h´a o conjunto dos n´umeros complexos:
C=a+bi:a, b∈Rei=√−1 Em resumo:
N Z Q R C
Neste curso trabalharemos apenas com o conjunto dos n´umeros reais, admitindo suas opera¸c˜oes usuais, bem como suas propriedades.
1.2
O
Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais
no plano
Consideremos dois eixos congruentes (isto ´e, com a mesma unidade de medida geom´etrica) perpendiculares e com origens coincidentes no ponto O.
Um dos eixos ser´a chamado deeixo das abscissas, indicado porOx, enquanto que o outro ser´a chamado deeixo das ordenadas, indicado porOy. Cada um desses eixos tamb´em ´e chamado, genericamente, deeixo coordenado. Um plano determinado por dois eixos, conforme descrito acima, ser´a dito um plano munido de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonaisou, simplificadamente,plano cartesianoe ser´a indicado porxOy. O ponto O´e chamado deorigemdo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
´
E comum representar o plano cartesiano como o eixoOxna horizontal com a orienta¸c˜ao da esquerda para a direita e o eixo Oyna vertical com orienta¸c˜ao de baixo para cima.
A grande utilidade do plano cartesiano est´a no fato de cada ponto deste plano estar associado a um par ordenado de n´umeros reais e vice-versa. Esta associa¸c˜ao ´e feita do seguinte modo:
0 1 2 3
-1
-2
-3
P x y=( , )
x
-1
-2
-3 1 2 3 y
O
x y
Px
Py
eixo das ordenadas
eixo das abscissas
(ii)Dado um par ordenado de n´umeros reais(x, y), tomamos os pontos Px, associado ao n´umeroxno eixo Ox, ePy associado ao n´umeroyno eixoOy. PorPx tra¸camos uma perpendicular aOxe porPy tra¸camos uma perpendicular a Oy. O cruzamento dessas perpendiculares determina um ponto P. O par ordenado de n´umeros reais (x, y) fica, portanto, associado ao ponto P.
Abaixo seguem alguns exemplos para esclarecer os procedimentos descritos acima.
0 1 2 3
-1
-2
-3
P 1 2=( , )
x
-1
-2
-3 1 2 3
y
O 0 0=( , )
Q=(- , )2 0
R 0 2=( ,- )
S=(- ,3-2)
T=(- , )1 3
U 3 2=( ,- )
V 3 1=( , )
O conjunto dos pares ordenados de n´umeros reais ´e indicado porR2, ou seja:
R2={(x, y) :x, y∈R}
A associa¸c˜ao entre pontos do plano cartesiano e pares ordenados de n´umeros reaisR2 descrita em(i)e(ii)acima permite que se diga que existe uma bije¸c˜aoentre o plano cartesiano eR2. ´E por isso que alguns textos referem-se ao conjunto R2como “plano cartesiano”.
1.3
Distˆ
ancia entre dois pontos no
Plano Cartesiano
0 x1
x y
x2 y1
y2
| -x x2 1|
|y y2- 1|
P1
P2
d(P, P
1 2 )
Proposi¸c˜ao. Se P1= (x1, y1)e P2= (x2, y2) s˜ao pontos no plano cartesiano, ent˜ao a distˆanciad(P1, P2) entreP1
e P2 ´e dada por:
d(P1, P2) = q
(x2−x1)2+ (y2−y1)2.
Exemplo. A distˆancia entre P1(−3, 2)eP2= (4,−1)´ed(P1, P2) = q
(4− (−3))2+ (−1−2)2=√49+9=√58.
Exerc´ıcio. Calcule e distˆancia entreP1= (5, 0)eP2= (−1, 1).
1.4
Alinhamento entre trˆ
es pontos no
Plano Cartesiano
Recordemos que o determinante de uma matriz 2×2 pode ser calculado por
det
a b c d
=ad−bc.
Recordemos, tamb´em, que o determinante de uma matriz3×3pode ser calculado pela Regra de Sarrus:
det
a b c d e f g h i
=aei+bfg+chd−ceg−bdi−ahf.
Procedimento pr´atico daRegra de Sarrus:
g h i g h d e f d e a b c a b
-ceg-afh bdi aei bfg cdh- + + +
Muitas vezes ´e extremamente ´util saber quando trˆes pontos no plano cartesiano est˜ao alinhados por meio de um c´alculo alg´ebrico. A resposta ´e dada pela seguinte proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao. Os pontosP1= (x1, y1),P2= (x2, y2)eP3= (x3, y3)no plano cartesiano est˜ao alinhados se, e somente se,
det
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1 =0.
0 x1
x y
x2
y1
y2
P1
P2
P3
y3
Exemplo. Os pontosP1= (−3, 1),P2= (5,−1)eP3= (1, 0)est˜ao alinhados, pois
det
−3 1 1 5 −1 1
1 0 1
=3+1+0− (−1) −5−0=0.
Exerc´ıcio. Verifique se os pontosP1= (5, 0),P2= (−1, 1)eP3= (0, 3)est˜ao alinhados.
1.5
Retas no
Plano Cartesiano
Retas no plano cartesiano pode ser associada a uma equa¸c˜ao de acordo com a proposi¸c˜ao abaixo.
Proposi¸c˜ao. Toda reta do plano cartesiano pode ser associada a pelo menos uma equa¸c˜ao da forma
ax+by+c=0
sendoa, b, c∈Rcom a6=0 oub6=0. O par ordenado (x, y)representa um ponto gen´erico da reta.
Reciprocamente, dada uma equa¸c˜ao da forma ax+by+c= 0, existe uma ´unica reta no plano cartesiano cujos
pontos(x, y)a satisfazem.
Uma equa¸c˜ao de reta da formaax+by+c=0´e ditaequa¸c˜ao geralda reta.
0
x y
x y P x y=( , )
Observemos que dada uma reta, podem existir v´arias equa¸c˜oes gerais. Por exemplo,x+2y+3=0e2x+4y+6=0 s˜ao equa¸c˜oes da mesma reta.
Observemos tamb´em que uma equa¸c˜ao de reta no plano cartesiano ´e, na verdade, uma condi¸c˜ao para que os pontos
(x, y)da reta cumpram.
Algumas particularidades:
Sejaax+by+c=0 equa¸c˜ao da retar.
(1)Sea=0ec=0(portanto,b6=0), ent˜ao a retarcoincide com o eixo coordenadoOxe corta o eixo coordenado Oyna origem.
(2)Sea=0 ec=6 0 (portanto,b6=0), ent˜ao a retar´e paralela ao eixo coordenadoOxe corta o eixo coordenado Oyno ponto que corresponde `a ordenaday= −c
b.
(3)Seb=0ec=0(portanto,a6=0), ent˜ao a retarcoincide com o eixo coordenadoOye corta o eixo coordenado Oxna origem.
(4)Seb=0ec=6 0(portanto,a6=0), ent˜ao a retar´e paralela ao eixo coordenado Oye corta o eixo coordenado Oxno ponto que corresponde `a abscissax= −c
a
0
x y
0
x y
c
b r
r
0
x y
0
x y
c a
r
r
0
x y
r
c a
c b
y=0 y= c
b x=0
x= c
a ax+by+c =0
Quandob6=0na equa¸c˜ao geralax+by+c=0da reta r, podemos isolarye escrever aequa¸c˜ao reduzidader como sendo
y=mx+n. Observemos quem= −a
b enquanto quen= − c b.
O n´umero m ´e chamado de coeficiente angular da reta r e mede a “inclina¸c˜ao” dessa em rela¸c˜ao ao eixo coordenado Ox.
Comob6=0, a retar sempre corta o eixo coordenadoOyno ponto que corresponde `a ordenadan. Sem6=0, a retarcorta o eixo coordenado Oxno ponto que corresponde `a abscissa−n
m. Sem=0 temos quer´e paralela ou coincidente com o eixo coordenadoOx.
0
x y
r
n m
n
y mx n m 0
= +
¹
O coeficiente angular pode ser interpretado geometricamente de acordo com a proposi¸c˜ao abaixo.
Proposi¸c˜ao. Se y=mx+n´e equa¸c˜ao reduzida da reta r no plano cartesiano, ent˜ao
m=tg(θ)
sendoθ a medida do ˆangulo orientado no sentido anti-hor´ario que a retar forma com o eixo coordenado Ox.
0
x y
r y=mx+n
m=tg(q) >0
q
0
x y
r
q
y=mx+n m =tg(q) <0
Por fim, a pr´oxima proposi¸c˜ao ´e bastante ´util para encontrar equa¸c˜oes de retas.
Proposi¸c˜ao. (1) Se P = (x0, y0) e Q = (x1, y1) s˜ao pontos de uma r no plano cartesiano e x0 6= x1, ent˜ao o coeficiente angular de r´e dado por m= y1−y0x1−x0.
(2)Sejam P= (x0, y0)ponto de uma retar no plano cartesiano e mseu coeficiente angular. Ent˜ao,
y−y0=m(x−x0)
0
x
y r
m=tg(q) =
q
x0 x1 y0
y1
x x1- 0
y y1- 0 P
Q
q
x x1- 0 y y1- 0
0
x y
r x0
x1 y0 y1
x x0- 1 P Q
q q
y y1- 0
Exemplo. Sejam P1= (−3, 1)eP2= (5,−1)pontos dar no plano cartesiano. Como−36=5, a retarn˜ao ´e paralela ou coincidente ao eixo coordenadoOye podemos calcular o coeficiente angularmda retar,que ´e dado por
m= −1−1
5− (−3) = −
2 8 = −
1 4. Logo,
y−1= −1
4(x− (−3))⇒y= − 1 4x+
1 4 ´e equa¸c˜ao reduzida der.
Cap´ıtulo 2
Vetores e Coordenadas Cartesianas
2.1
Vetores: abordagem geom´
etrica
Grandezas escalares: s˜ao caracterizadas apenas por um ´unico valor num´erico como, por exemplo, temperatura, distˆancia, massa, ´area, volume, etc.
Grandezas vetoriais: s˜ao caracterizadas por um valor num´erico, dire¸c˜ao e sentido como, por exemplo, velocidade, acelera¸c˜ao, for¸ca, etc.
(1)Em grandezas vetoriais, a dire¸c˜ao ´e determinada por uma reta no espa¸co. Retas paralelas determinam a mesma dire¸c˜ao;
(2)Fixada uma dire¸c˜ao, ou seja, uma reta, h´a dois poss´ıveis sentidos de percurso, ou orienta¸c˜oes;
(3)Consideremos, em todo o desenvolvimento que faremos nessas notas, queuma unidade de medida de comprimento foi fixada.
Observa¸c˜ao: uma dire¸c˜ao tamb´em pode ser determinada por um segmento de reta no espa¸co. Portanto, segmentos paralelos determinam a mesma dire¸c˜ao. Al´em disso, fixado um segmento, h´a dois poss´ıveis sentidos de percurso ou orienta¸c˜oes.
Um segmento de reta AB com sentido de percurso fixado de Apara B ser´a chamado de segmento orientado, sendoAa origem eBo extremo.
Consideremos um segmento orientado AB com origem em Ae extremo em B. Um segmento orientadoCD com origem emCe extremo emDparalelo aAB, com o mesmo comprimento deABe com mesmo sentido de percurso de AB´e chamado de segmento orientadoequipolenteaAB. Neste caso, dizemos ainda que os segmentos orientadosAB eCDs˜ao equipolentes. Tamb´em consideramos que um segmento orientado ´e equipolente a ele pr´oprio.
Ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado AB chamamos de vetorcom origem em A e extremo em B e indicamos por −AB. Dizemos que o segmento orientado→ AB ´e um representante do vetor −AB, ou que o vetor→ −AB→ est´a representado pelo segmento orientado AB. Qualquer segmento orientado CD equipolente aAB pode ser representante do vetor−AB, ou seja,→ −AB→=−CD.→
A
B v
C
D
v
Figura 1
Observa¸c˜ao: notemos que um vetor n˜ao depende de suaposi¸c˜ao no espa¸co, ou seja, um determinado vetor pode ter um representante com origem em qualquer ponto do espa¸co. Desta forma, ´e natural representarmos vetores por uma ´
unica letra (geralmente com uma seta em cima), sem especificar os pontos de origem e extremo de um representante. NaFigura 1,~v=−AB→=−CD.→
Defini¸c˜oes Complementares
indicado por~v=~0. Neste caso o vetor nulo com origem em Atamb´em possui extremo emAe podemos indic´a-lo por ~v=−AA. ´→ E claro que, neste caso, o vetor nulo n˜ao determina dire¸c˜ao e, portanto, tamb´em n˜ao determina sentido. (2)Ocomprimentode um vetor~v´e o comprimento de qualquer segmento orientado que o represente. Indicamos o comprimento de~vpork~vk ou|~v|. As vezes o comprimento de um vetor tamb´em ´e chamado dem´oduloounorma. O vetor nulo possui comprimento tamb´em nulo, ou seja||~0||=0.
(3) Os vetores n˜ao nulos ~u e~v s˜ao paralelos, ou possuem mesma dire¸c˜ao, quando segmentos orientados que os representem s˜ao paralelos ou colineares, conforme exemplos na Figura 2. Indicamos por~u//~v. Convencionamos que o vetor nulo ´e paralelo a qualquer outro vetor.
w
u//v//w
u v
Figura 2
(4) Dois vetores n˜ao nulos~ue~v paralelos possuem mesmo sentido quando possuem segmentos orientados que os representem com mesmo sentido, caso contr´ario,~ue~v possuemsentidos opostos.
(5)Dizemos que dois vetores n˜ao nulos~ue~vs˜aoiguais, ou possuem mesmo comprimento, dire¸c˜ao e sentido, quando segmentos orientados que os representem possuem mesmo comprimento, dire¸c˜ao e sentido. Neste caso, escrevemos ~
u=~v.
(6)O oposto de um vetor n˜ao nulo~v´e o vetor paralelo e de mesmo comprimento de~v mas que possui sentido oposto ao sentido de ~v. Indicamos o vetor oposto de~v por −~v (Figura 3). Desta forma, temos que se ~v = −AB, ent˜ao→
−~v= −−AB→=−BA. Al´em disso,→ −~v//~vek−~vk=k~vk.
A
B v
-v
B
A Figura 3
(7)Um vetor~v´e ditounit´arioquandok~vk=1.
(8)Oversorde um vetor n˜ao nulo~u´e o vetor unit´ario que possui a mesma dire¸c˜ao e sentido de~u. Desta forma, se ~v´e versor de~u, ent˜ao~v= ~u
||~u||.
(9)Dois vetores n˜ao nulos~ue~vs˜aoortogonaisquando possuem segmentos orientados que os representem que sejam perpendiculares. Indicamos por ~u⊥~v (Figura 4). Convencionamos que o vetor nulo ´e ortogonal a qualquer vetor.
A
B v
v u
u O
Figura 4
(10)Trˆes ou mais vetores n˜ao nulos s˜ao coplanaresquando possuem segmentos orientados que os representem que sejam coplanares, conforme exemplo na Figura 5. Notemos que dois vetores n˜ao nulos s˜ao sempre coplanares. O vetor nulo ´e coplanar a qualquer conjunto de vetores coplanares.
v u
w coplanares não coplanares
v u
w
Opera¸c˜oes com Vetores
Adi¸c˜ao: sejam ~ue~v vetores. Podemos tomaru~ =−AB→e~v= BC. Definimos o vetor soma−→ ~u+~v =AB−→+−BC→= −AC→ (Figura 6).
u
v
v
u u+v
D A
B C
u
v
u+v
A
B C
u
v
Figura 6
Observa¸c˜oes:
(1)Poder´ıamos tomar ~u=−AB→ e~v=−−AD. Logo,→ ~u+~v poderia ser representado pela diagonal ACdo paralelogramo baseado emABeAD, conforme aFigura 6`a direita.
(2)A soma de trˆes ou mais vetores processa-se de modo an´alogo, por exemplo, se~u=−PQ,→ ~v=−QR→ew~ =−RS, ent˜ao→ ~
u+~v+w~ =−PS.→
Propriedades da adi¸c˜ao de vetores
Sejam ~u,~vew~ vetores. Ent˜ao, valem as seguintes propriedades:
(i)Comutativa: ~u+~v=~v+~u;
(ii)Associativa: (~u+~v) +w~ =~u+ (~v+w~);
(iii)O vetor nulo ´e elemento neutro aditivo: ~u+~0=~u;
(iv)Todo vetor n˜ao nulo possui um elemento oposto: ~u+ (−~u) =~0. O vetor~u+ (−~v)se escreve~u−~v e ´e chamado ediferen¸caentre~ue~v.
Observemos que o vetor ~u−~v possui representante que forma uma das diagonais de um paralelogramo baseado em representantes de ~ue~v, conforme exemplo naFigura 7(a outra diagonal ´e a do representante da soma).
u
-v
v
u
u v
-Figura 7
Multiplica¸c˜ao de n´umero real por vetor: sejamα∈Re~v vetor. Definimos o vetorα~vde tal modo que:
• comprimento: o comprimento de α~v´ekα~vk=|α|k~vk.
• dire¸c˜ao: quandoα6=0e~v6=~0, a dire¸c˜ao deα~v´e a dire¸c˜ao de~v. Quando α=0ou~v=~0,α~v´e o vetor nulo.
• sentido: quandoα > 0o sentido deα~v´e o mesmo de~v. Quandoα < 0o sentido deα~v´e o oposto ao de~v. AFigura 8ilustra alguns exemplos.
-2v
v 3v
Figura 8
Propriedades da multiplica¸c˜ao de real por vetor
Sejam α, β∈Re~u,~v vetores. Ent˜ao, valem as seguintes propriedades:
(i)Associativa: α(β~v) = (αβ)~v;
(ii)Distributiva em rela¸c˜ao `a soma de vetores: α(~u+~v) =α~u+α~v;
(iii)Distributiva em rela¸c˜ao `a soma de n´umeros reais: (α+β)~v=α~v+β~v;
(iv)O n´umero real1´e elemento neutro multiplicativo: 1~v=~v.
Proposi¸c˜ao. (condi¸c˜ao de paralelismo)Os vetores ~ue ~v,~v6=~0, s˜ao paralelos se, e somente se, existe α∈Rtal que ~
u=α~v.
ˆ
Angulo formado por Vetores
Consideremos os vetores n˜ao nulos~ue~v.
Definimos o ˆangulo formado pelos vetores ~u e~v como sendo o ˆangulo formado por dois segmentos orientados representantes de ~ue~vtomados com a mesma origem (Figura 9).
O q
v
u Figura 9
2.2
Vetores: abordagem alg´
ebrica
2.2.1
Vetores no plano
Sejam~i e~j vetores ortogonais, com comprimento 1. Fixado um ponto O no espa¸co, os dois segmentos orientados representantes de~ie~jcom origem emOdeterminam um par de retas perpendiculares orientadas chamadas deeixos. Dizemos que um plano determinado por esses eixos est´a munido de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais ou, simplificadamente, chamamos este plano de plano cartesiano. ´E comum indicar os eixos pela nota¸c˜aoOxeOye o plano cartesiano porxOy. Tamb´em ´e comum representar, no plano cartesiano, o eixoOycomo sendo obtido do eixo Oxpor uma rota¸c˜ao de90◦ no sentido anti-hor´ario em torno de O, conforme ilustra aFigura 10`a esquerda. Por fim, chamamos o conjuntoB=~i,~jdebase canˆonicado plano cartesiano.
v=xi+yj
O i j
x y
O xi yj
x
y P
Figura 10
Proposi¸c˜ao. Seja xOy plano cartesiano com base canˆonica B = ~i,~j. Se ~v = −OP→ ´e vetor no plano xOy, ent˜ao existem ´unicos x, y∈Rtais que~v=x~i+y~j. Reciprocamente, se (x, y)´e par ordenado de n´umeros reais, ent˜ao existe um ´unico vetor ~v=−OP→no plano xOytal que~v=x~i+y~j. (Figura 10 `a direita)
A proposi¸c˜ao acima estabelece uma bije¸c˜ao entre o conjunto dos vetores do plano cartesiano e o conjunto dos pares ordenados de n´umeros reais, indicado porR2. Desta forma, podemos representar~v=−OP→por meio de um ´unico par ordenado de n´umeros reais(x, y)e escrever~v=OP−→= (x, y). Devido `a bije¸c˜ao natural entre o conjunto dos pontos P e o conjunto dos vetores−OP→do plano cartesiano, tamb´em ´e comum escrever P= (x, y).
Em~v = −OP→ = (x, y) ou P = (x, y), os n´umeros x e y s˜ao as coordenadas cartesianas de~v ou P, sendo x a abscissaeyaordenada. ´E comum omitir os vetores~ie~jna representa¸c˜ao de~v no sistema de coordenadas.
Como casos particulares, os pontos sobre o eixo Oxpossuem ordenada nula, ou seja, s˜ao da formaP= (x, 0). ´E claro que se P = (0, 0), ent˜ao~v = −OP→ ´e o vetor nulo. Se~v = −OP→ = (x, 0) 6=~0 possui o mesmo sentido de~i, ent˜ao x > 0e, se~vpossui sentido oposto,x < 0. Observa¸c˜ao an´aloga vale para os pontos sobre o eixoOy, que s˜ao da forma P= (0, y).
Os eixos do sistema de coordenadas dividem o plano cartesiano em quatro regi˜oes congruentes chamadas de quadrantes, (Figura 11) sendo que:
- o 1o. quadrante ´e constitu´ıdo pelos pontos de coordenadas positivas;
- o 2o. quadrante ´e constitu´ıdo pelos pontos de abscissas negativas e ordenadas positivas; - o 3o. quadrante ´e constitu´ıdo pelos pontos de coordenadas negativas;
- o 4o. quadrante ´e constitu´ıdo pelos pontos de abscissas positivas e ordenadas negativas.
O x
y
1oquadrante
2oquadrante
4oquadrante
3oquadrante
+ +
Propriedades
(1)(opera¸c˜oes) Se~u= (x1, y1)e~v= (x2, y2), ent˜ao ~u+~v= (x1+x2, y1+y2). (Figura 12`a esquerda) Seα∈Re~v= (x, y), ent˜aoα~v= (αx, αy). (Figura 12 `a direita)
O
x y
x1 x2 x1+x 2 y1
y2 y1+y2
v
u u v+
O
x y
v
av
x ax
y ay
a > 0
Figura 12
Consequentemente, todas as propriedades de adi¸c˜ao de vetores e multiplica¸c˜ao por escalar por vetor valem para pares ordenados de n´umeros reais.
(2)(condi¸c˜ao de paralelismo) Os vetores~u= (x1, y1)e~v= (x2, y2), sendo~v6=~0, s˜ao paralelos se, e somente se, existe α∈Rtal que x1=αx2ey1=αy2.
(3) (vetor definido por dois pontos) Se A = (x1, y1) e B = (x2, y2), ent˜ao~v = −AB→ = (x2−x1, y2−y1). Por esse motivo, ´e comum escrevermos~v=B−A,ouB=A+~v. (Figura 13 `a esquerda)
(4) (ponto m´edio) Se A = (x1, y1) e B = (x2, y2), ent˜ao as coordenadas do ponto m´edio M do segmento AB ´e M= x1+x2
2 , y1+y2
2
. (Figura 13ao centro)
(5)(m´odulo) Se~v= (x, y), ent˜aok~vk=px2+y2. (Figura 13`a direita)
O
x y
x2 x1 y2
y1 v
O
x y
x2-x1 y2-y1
v A
B
x1 x2
y2 y1+y2 2
x1+x2 2
B
A M
O
x y
x y
v | |y
| |x
y1 || ||v
Figura 13
2.2.2
Vetores no espa¸co
Sejam~i,~j e~kvetores dois a dois ortogonais, com comprimento 1. Fixado um pontoOno espa¸co, os trˆes segmentos orientados representantes de~i,~j e~kcom origem em Odeterminam trˆes eixos dois a dois perpendiculares no espa¸co. Nessas condi¸c˜oes, dizemos que o espa¸co est´a munido de umsistema de coordenadas cartesianas ortogonais. ´E comum indicar os eixos pela nota¸c˜aoOx,OyeOze o sistema de coordenadas no espa¸co porOxyz. Tamb´em ´e comum representar, no espa¸co, os trˆes eixos de tal modo que seus sentidos satisfazem a chamada “regra da m˜ao direita”, ou seja, os sentidos de~i,~je~ks˜ao determinados pelos sentidos naturais dos dedos indicador, m´edio e polegar, respectivamente, da m˜ao direita, conforme ilustra a Figura 14 `a esquerda. Por fim, chamamos o conjunto B = ~i,~j,~k de base canˆonicado espa¸co.
i y
z
xi
yj k
j
x O
y z
zk
x
P
plano cartesianoxOy i
k
j
v =xi+yj+zk O
base canônica
Proposi¸c˜ao. Seja Oxyzsistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espa¸co com base canˆonica B=~i,~j,~k. Se ~v=−OP, ent˜→ ao existem ´unicos x, y, z∈Rtais que~v=x~i+y~j+z~k. Reciprocamente, se (x, y, z)´e terna ordenada de n´umeros reais, ent˜ao existe um ´unico vetor~v=−OP→ tal que~v=x~i+y~j+z~k. (Figura 14`a direita)
A proposi¸c˜ao acima estabelece uma bije¸c˜ao entre o conjunto dos vetores do espa¸co e o conjunto das ternas ordenados de n´umeros reais, indicado porR3. Desta forma, podemos representar~v=−OP→por meio de uma ´unica terna ordenado de n´umeros reais (x, y, z)e escrever~v= OP−→= (x, y, z). Devido `a bije¸c˜ao natural entre o conjunto dos pontos Pe o conjunto dos vetores−OP→do espa¸co, tamb´em ´e comum escreverP= (x, y, z).
Em~v =−OP→= (x, y, z) ouP= (x, y, z), os n´umeros x,y ez s˜ao ascoordenadas cartesianas de~v ouP, sendo x a abscissa, y a ordenada e z a cota. ´E comum omitir os vetores~i,~j e~k na representa¸c˜ao de~v no sistema de coordenadas.
Como casos particulares, os pontos sobre o eixoOxs˜ao da formaP= (x, 0, 0). ´E claro que seP= (0, 0, 0), ent˜ao ~v = −OP→ ´e o vetor nulo. Se~v = −OP→ = (x, 0, 0)6=~0 possui o mesmo sentido de~i, ent˜aox > 0 e, se~v possui sentido oposto, x < 0. Observa¸c˜oes an´alogas valem para os pontos sobre os eixos OyeOz, que s˜ao da forma P= (0, y, 0)e P= (0, 0, z), respectivamente.
Observemos que os eixosOx, OyeOzdeterminam trˆes planos cartesianos no espa¸co. Os pontosPno planoxOy, quando considerados pontos do espa¸co est˜ao associados a trˆes coordenadas tais que P= (x, y, 0). Analogamente, os pontos dos planos cartesianos xOzeyOzs˜ao da formaP= (x, 0, z)eP= (0, y, z), respectivamente.
Os planos cartesianosxOy,xOzeyOzdividem o espa¸co em oito regi˜oes congruentes chamadas deoctantes. Propriedades
(1)(opera¸c˜oes) Se~u= (x1, y1, z1)e~v= (x2, y2, z2), ent˜ao ~u+~v= (x1+x2, y1+y2, z1+z2). Seα∈Re~v= (x, y, z), ent˜aoα~v= (αx, αy, αz).
Consequentemente, todas as propriedades de adi¸c˜ao de vetores e multiplica¸c˜ao por escalar por vetor valem para ternas ordenadas de n´umeros reais.
(2)(condi¸c˜ao de paralelismo) Os vetores ~u= (x1, y1, z1)e~v= (x2, y2, z2), sendo~v 6=~0, s˜ao paralelos se, e somente se, existeα∈Rtal quex1=αx2,y1=αy2ez1=αz2.
(3)(vetor definido por dois pontos) SeA= (x1, y1, z1)eB= (x2, y2, z2), ent˜ao~v=−AB→= (x2−x1, y2−y1, z2−z1). Por esse motivo, ´e comum escrevermos~v=B−A,ouB=A+~v.
(4)(ponto m´edio) SeA= (x1, y1, z1)eB= (x2, y2, z2), ent˜ao as coordenadas do ponto m´edioMdo segmento AB´e M= x1+x2
2 , y1+y2
2 , z1+z2
2
.
(5)(m´odulo) Se~v= (x, y, z), ent˜aok~vk=px2+y2+z2.
2.3
Produto Escalar (ou Produto Interno)
Seja Oxyz sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espa¸co com base canˆonica B = ~i,~j,~k. Sejam ~u = (x1, y1, z1)e~v= (x2, y2, z2)vetores no espa¸co com coordenadas emOxyz. Definimos oproduto escalar de ~upor ~v como sendo o n´umero real
~
u·~v=x1x2+y1y2+z1z2.
Tamb´em ´e comum chamar o produto escalar de produto interno. Propriedades
Sejam ~u,~vew~ vetores no espa¸co eα∈R.
(1)~u·~0=0;
(2)~u·~v=~v·~u(comutativa);
(3)~u·(~v+w~) =~u·~v+~u·w~ (distributiva);
(5)~u·~u≥0 e, al´em disso,u~ ·~u=0se, somente se,~u=~0;
(6)k~uk2=~u·~u, ou seja,k~uk=√~u·~u.
Exerc´ıcios. (1)Mostre quek~u+~vk2=ku~k2+2.~u·~v+k~vk2.
(2)Mostre quek~u−~vk2=k~uk2−2.~u·~v+k~vk2.
(3)Sejam ~ue~v vetores n˜ao paralelos no espa¸co e 0 < θ < πa medida, em radianos, do ˆangulo entre ~ue~v. Mostre que~u·~v=k~uk k~vkcos(θ). (sugest˜ao: use a Lei dos Cossenos no triˆangulo formado por ~u,~ve ~u−~v,juntamente com o Exerc´ıcio 2 acima)
(4)Sejam~ue~v vetores n˜ao nulos e paralelos e de mesmo sentido. Mostre queu~ ·~v=k~uk k~vk.
(5)Sejam~ue~v vetores n˜ao nulos e paralelos e de sentidos opostos. Mostre que~u·~v= −k~uk k~vk.
A jun¸c˜ao dos Exerc´ıcios 3, 4e5 acima, permite que estabele¸camos uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para o produto escalar que escreveremos sob a forma de proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao. (interpreta¸c˜ao geom´etrica do produto escalar)Sejam ~ue~v vetores n˜ao nulos no espa¸co e 0≤θ≤πa medida, em radianos, do ˆangulo entre ~ue~v. Ent˜ao,~u·~v=k~uk k~vkcos(θ).
Observemos que, nas condi¸c˜oes da proposi¸c˜ao acima, podemos deduzir (Figura 15):
(i)o ˆangulo entre~ue~v´e agudo ou nulo se, e somente se,~u·~v > 0;
(ii)se o ˆangulo entre~ue~vfor reto, ent˜ao~u·~v=0;
(iii)o ˆangulo entre~ue~v´e obtuso ou raso se, e somente se,~u·~v < 0.
O q
v
u
O q v
u
O q v
u
u.v>0 u.v =0 u.v <0
Figura 15
Podemos ainda generalizar a segunda observa¸c˜ao acima e escrever a seguinte proposi¸c˜ao (que vale para vetores nulos, inclusive).
Proposi¸c˜ao. O vetor ~u´e ortogonal ao vetor ~v se, e somente se,~u·~v=0. Exerc´ıcios. (1)Mostre que|~u·~v|≤ k~uk k~vk(Desigualdade de Cauchy-Schwarz).
(2)Mostre quek~u+~vk ≤ k~uk+k~vk(Desigualdade Triangular).
(3)Prove que as diagonais de um losango cortam-se formando ˆangulo reto.
(4)Sejam~uvetor qualquer e~v=6 ~0. Mostre que o vetor proje¸c˜ao ortogonal de~una dire¸c˜ao do vetor~v, indicado por proj~v~u, ´e dado por proj~v~u= k~u~v·~kv2~v.
2.4
Produto Vetorial
Seja Oxyz sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espa¸co com base canˆonica B = ~i,~j,~k. Sejam ~u = (x1, y1, z1)e~v= (x2, y2, z2)vetores no espa¸co com coordenadas emOxyz. Definimos oproduto vetorial de~upor ~v (nessa ordem) como sendo o vetor
~
u×~v=det
y1 z1 y2 z2
~i−det
x1 z1 x2 z2
~j+det
x1 y1 x2 y2
~k
=
det
y1 z1 y2 z2
,−det
x1 z1 x2 z2
,det
x1 y1 x2 y2
.
Observa¸c˜ao: a defini¸c˜ao do produto vetorial sugere a aplica¸c˜ao do desenvolvimento de Laplace para c´alculo do determinante na primeira linha da matriz com entradas mistas
~i ~j ~k x1 y1 z1
x y z
Estamos empregando a palavra “sugere” e “entradas mistas” porque a matriz acima possui a primeira linha constitu´ıda de vetores, enquanto que as demais linhas s˜ao n´umeros reais. O desenvolvimento de Laplace geralmente ´e aplicado em matrizes quadradas com entradas num´ericas e, portanto, o resultado ´e um determinante num´erico.
Com a observa¸c˜ao acima e com uma boa dose de abuso de nota¸c˜ao matem´atica, podemos facilitar o c´alculo do produto vetorial aplicando a regra de Sarrus (que vale apenas para o c´alculo de determinantes de matrizes 3×3) na matriz mista acima, ou seja,
~
u×~v=det
~i ~j ~k x1 y1 z1 x2 y2 z2 .
Propriedades
Sejam ~u,~vew~ vetores no espa¸co eα∈R.
(1)~u×~v=~0se, e somente se,~u´e paralelo a~v. Particularmente, a propriedade ´e verdadeira quando~uou~v´e o vetor nulo.
(2)~u×~v= −~v×~u(portanto, o produto vetorial n˜ao ´e comutativo);
(3)~u×(~v+w~) =~u×~v+~u×w~ (distributiva `a direita) e (~u+~v)×w~ =u~ ×w~ +~v×w~ (distributiva `a esquerda);
(4)α(~u×~v) = (α~u)×~v=~u×(α~v)(associativa em rela¸c˜ao ao produto por escalar);
(5)~u·(~v×w~) = (~u×~v)·w~ (comutatividade em rela¸c˜ao aos produtos escalar e vetorial)
Observemos que ~u·(~v×w~)´e um n´umero e n˜ao um vetor. Al´em disso, como n˜ao faz sentido a express˜ao (~u·~v)×w~ (pois produto vetorial envolve dois vetores e n˜ao um n´umero e um vetor), podemos omitir os parˆenteses e escrever esta propriedade simplesmente como~u·~v×w~ =~u×~v·w. Veremos mais propriedades do n´~ umero~u·~v×w~ na pr´oxima se¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao. (caracteriza¸c˜ao geom´etrica do produto vetorial - Figura 16). Sejam ~u e ~v vetores n˜ao paralelos no espa¸co. Ent˜ao:
(1)a dire¸c˜ao de ~u×~v´e ortogonal a ~ue a ~v simultaneamente.
(2)o sentido de ~u×~vsatisfaz a “regra da m˜ao direita”, ou seja, ~u,~v e ~u×~v possuem os sentidos estabelecidos pelos dedos indicador, m´edio e polegar, respectivamente, da m˜ao direita. De modo rigoroso, do ponto de vista matem´atico, o sentido de ~u×~v ´e tal que, fixado Oxyz, sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espa¸co, e escrevendo ~
u= (x1, y1, z1),~v= (x2, y2, z2)e ~u×~v= (x3, y3, z3)no sistema Oxyz, ent˜ao
det
x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 > 0.
(3)o comprimento de ~u×~v´e igual a ´area do paralelogramo gerado por (ou baseado em)~ue ~v. Estamos considerando que os vetores ~u=−AB→ e~v=−−AD→geram (ou baseiam) o paralelogramo ABCD.
v u uxv
A
D
B
C
Figura 16
Exerc´ıcios: (1)Sejam ~ue~v vetores n˜ao paralelos e 0 < θ < π a medida do ˆangulo, em radianos, entre os vetores ~
ue~v. Mostre quek~u×~vk=k~uk k~vksen(θ). (sugest˜ao: divida em trˆes casos: ˆangulo agudo, reto e obtuso - fa¸ca as ilustra¸c˜oes)
(2)Seja B=~i,~j,~k base canˆonica do sistema de coordenadas cartesianas ortogonaisOxyz do espa¸co. Mostre que ~i×~j=~k,~j×k~ =~i e~k×~i=~j.
(3) Mostre, com um exemplo, que o produto vetorial n˜ao cumpre a propriedade associativa, ou seja, geralmente ~
u×~v6=~v×~u. (sugest˜ao: ~u=~i e~v=~j)
(4) Mostre, com um exemplo, que o produto vetorial n˜ao cumpre a propriedade associativa, ou seja, geralmente
2.5
Produto Misto
Vimos que ´e poss´ıvel definir duas opera¸c˜oes produto distintas envolvendo vetores: oproduto escalar (que ´e n´umero) e o produto vetorial (que ´e vetor). Nesta se¸c˜ao iremos definir oproduto misto. Na verdade, n˜ao trata-se de uma nova opera¸c˜ao entre os vetores, mas apenas combina¸c˜ao dos dois produtos j´a definidos. A motiva¸c˜ao vem da propriedade ~
u·~v×w~ =~u×~v·w, vista na se¸c˜~ ao anterior, sendo~u,~vew~ vetores quaisquer do espa¸co. Nesta propriedade podemos constatar que, desde que a ordem dos vetores ~u,~v ew~ n˜ao mude, podemos comutar os produtos escalar e vetorial. O n´umero real~u·~v×w~ ´e chamado deproduto misto dos vetores ~u,~v e w~ (nesta ordem). Veremos abaixo uma propriedade geom´etrica bastante interessante do produto misto.
Proposi¸c˜ao. Fixemos um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espa¸co. Se ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2)e w~ = (x3, y3, z3), ent˜ao ~u·~v×w~ =det
x1x2 y1y2 z1z2 x3 y3 z3 .
Propriedades
(1)Sejam~u,~v,w~ vetores no espa¸co. Ent˜ao,~u·~v×w~ =0se, e somente se, os vetores~u,~vew~ forem coplanares. Particularmente, se algum dos trˆes vetores for nulo, ou se dois dos vetores forem paralelos, temos o produto misto nulo.
(2)Se dois vetores forem comutados no produto misto~u·~v×w, ent˜ao o produto misto muda de sinal, ou seja,~ ~u·~v×w~ = −~v·~u×w~
= −w~ ·~v×~u
= −~u·w~ ×~v
(3)Sejam~u,~u1,~u2,~v,~v1,~v2,w,~ w1~ ew2~ vetores no espa¸co. Ent˜ao,
(~u1+~u2)·~v×w~ =u1~ ·~v×w~ +~u2·~v×w;~ ~
u·(~v1+~v2)×w~ =~u·~v1×w~ +~u·~v2×w;~ ~u·~v×(w~1+w~2) =~u·~v×w~1+~u·~v×w~2.
(4)Sejam~u,~v,w~ vetores no espa¸co eα∈R. Ent˜ao,
α(~u·~v×w~) = (α~u)·~v×w~ =u~ ·(α~v)×w~ =~u·~v×(αw~).
Proposi¸c˜ao. (caracteriza¸c˜ao geom´etrica do produto misto)Sejam ~u,~v e w~ vetores n˜ao coplanares. Ent˜ao, o volume V do paralelep´ıpedo baseado em ~u,~v e w~ (Figura 17`a esquerda)´e igual ao m´odulo do produto misto ~u·~v×w, ou~ seja, V=|~u·~v×w|.~
v
u w
v
u w
Paralelepípedo Tetraedro Figura 17
Se¸c˜
ao de Exerc´ıcios Propostos:
Vetores e Coordenadas Cartesianas
Exerc´ıcio 2.1 Dados representantes dos vetores~ue~vconforme figura, ache um representante de~xtal que~u+~v+~x=~0.
v u
Exerc´ıcio 2.2 Ache a soma dos vetores indicados na figura nos casos:
D
C
B A
D
C
B A
( )i ( )ii
C
B
( )iii ( )iv
D
A
F E
G H
C
B D
A
F E
G H
Resolu¸c˜ao de 2.2-(i): −AB→+BC−→+−CD→=−−AD→.
Resolu¸c˜ao de 2.2-(ii): −AB→+−BD→+DC−→+−CA→=−AA→=~0. Resolu¸c˜ao de 2.2-(iii): −AE→+EF−→+−FG→+−GC→=−AC→.
Resolu¸c˜ao de 2.2-(iv): −AB→+AD−−→+−AE→=−AB→+BC−→+−CG→=−AG→, poisAD−−→=−BC→ e−AE→=−CG→.
Exerc´ıcio 2.3 Dados os vetoresa,~ ~be~c, como na figura a seguir, apresentar um representante de cada um dos vetores:
(i) 4~a−2~b−~c
(ii) ~a+~b+~c
(iii) 2~b− (~a+~c)
a b
c
Resolu¸c˜ao de 2.3-(iii): Observemos que2~b− (~a+~c) =2~b−~a−~c=2~b−~c−~a. Ent˜ao, geometricamente temos:
c
2b
-c
-a
2b - (a+ )c
a b
Exerc´ıcio 2.4 Sabendo que a medida do ˆangulo entre os vetores~ue~v´e60◦, determinar a medida do ˆangulo formado pelos vetores:
(i)~ue−~v (ii) −~ue~v (iii) −~ue−~v (iv)2~ue3~v
Resolu¸c˜ao de 2.4-(i): O ˆangulo entre~ve−~vmede180◦, pois esses vetores possuem mesma dire¸c˜ao por´em sentidos opostos. Logo, o ˆangulo entre ~ue−~v ´e suplementar do ˆangulo entre ~ue~v.
Sabemos que o ˆangulo entre ~ue~v mede60◦, ent˜ao o ˆangulo entreu~ e−~v mede180◦−60◦=120◦.
v
u a =60o
b =120o -v
Exerc´ıcio 2.5 Considere a figura:
P
B M
C
N
A
Sabendo queM,N ePs˜ao pontos m´edios. Exprima−BP,→ −−AN→e−−CM→em fun¸c˜ao de−AB→e−AC.→
Resolu¸c˜ao de 2.5: Observemos a figura abaixo:
P
B M
C
N
A
P
B M
C
N
A P
B M
C
N
A
Quanto a−−AN→: temosN como ponto m´edio do ladoBCdo triˆangulo, assim, −BN→= 1
2 −→
BC. Pela figura podemos notar
queAN−−→=−AB→+BN−→=−AB→+1 2
−→
BC. Como−BC→=−BA→+−AC→=AC−→−−AB→, ent˜aoAN−−→=−AB→+1 2(
−→
AC−−AB→) = 1 2(
−→
AB+−AC→).
Quanto a−BP→: temos Pcomo ponto m´edio do ladoAC do triˆangulo, assim,−AP→= 1
2 −→
AC. Pela figura podemos notar
queBP−→=−BA→+−AP→=AP−→+ (−−AB→). Logo, −BP→= 1 2
−→
AC−−AB→.
Quanto aCM−−→: temos queMcomo ponto m´edio do lado ABdo triˆangulo, assim, AM−−→= 12−AB→. Pela figura podemos
notar queCM−−→=−CA→+−−AM→=AM−−→+ (−−AC→). Logo,−−CM→= 1 2
−→
AB−−AC→.
Exerc´ıcio 2.6 Demonstre que todo ˆangulo inscrito em uma semicircunferˆencia ´e reto.
Dica: sendo ABCb o ˆangulo inscrito e Ocentro da semicircunferˆencia (logo,O´e ponto m´edio de AC), deve-se mostrar que BA−→´e ortogonal a −BC. Para isso, escreva esses dois vetores em fun¸c˜→ ao de OA,−−→ −OB→ e −OC→e desenvolva o produto escalar −BA→·−BC.→
Exerc´ıcio 2.7 Escreva o vetor (7,−1)como soma de dois vetores, um dos quais ´e paralelo e o outro ´e perpendicular ao vetor (1,−1).
Dica: use proje¸c˜ao ortogonal.
Resposta: (7,−1) = (4,−4) + (3, 3).
Exerc´ıcio 2.8 Calcule a medida do ˆangulo entre os vetores~v ew~ sabendo-se que: a medida do ˆangulo entre~ue~v´e π
8 rad,k~uk=kw~k=5,k~vk=1, k~u−~v+w~k=k~u+~v+w~k.
Dica: eleve os dois membros da ´ultima equa¸c˜ao ao quadrado e desenvolva, chegando a~v·w~ = −~u·~v.
Resposta: 7π 8 rad.
Exerc´ıcio 2.9 Prove que as diagonais de um paralelogramo tˆem o mesmo ponto m´edio.
Exerc´ıcio 2.10 Considere representantes dos vetores~a= (2,−3, 6)e~b= (−1, 2,−2)que tˆem mesma origem. Calcular as coordenadas do vetor~csobre a bissetriz do ˆangulo formado pelos vetores~aeb, sabendo-se que~ k~ck=3√42. Dica: trabalhe com os versores de ~ae~b.
Observa¸c˜ao: a bissetriz de um ˆangulo n˜ao nulo e n˜ao raso ´e uma semirreta com origem no v´ertice do ˆangulo, e contida em seu interior, que divide esse ˆangulo em dois ˆangulos congruentes.
Resposta: ~c= (−3, 15, 12).
Resolu¸c˜ao de 2.11: Sejamαa medida do ˆangulo formado por~a+~be~aeβa medida do ˆangulo formado por~a+~b e~b. Sendo~ae~bn˜ao paralelos, temosa~,~bea~+~bn˜ao nulos e, portanto,cos(α) = a~·(~a+~b)
||~a||.k~a+~bk ecos(β) =
~ b·(a+~~ b)
k~bk.k~a+~bk.
Mas pela hip´otese,α=β. Logo,
~ a·(~a+~b)
||a||.~ ka+~ ~bk =
~ b·(~a+~b)
k~bk.ka+~ ~bk ⇒
~ a·a+~~ a·~b
||~a|| = ~ a·~b+~b·~b
k~bk ⇒
||a~||2 +~a·~b ||~a|| =
~ a·~b+k~bk2
k~bk ⇒
||~a||+ a~·~b ||~a|| = ~a·
~ b
k~bk+k~bk⇒||~a||−k~bk=
~ a·~b
k~bk −
~ a·~b
||a~|| ⇒||~a||−k~bk=
||~a||−k~bk
||~a||.k~bk~a·~b
H´a dois caminhos para analisarmos essa ´ultima equa¸c˜ao: ||~a||−k~bk=0 ou||~a||−k~bk 6=0.
(i)se ||~a||−k~bk=0 temos que a igualdade ocorre e, neste caso,
||~a||=k~bk.
(ii)se ||~a||−k~bk 6=0podemos escrever 1= || a~·~b
~
a||.k~bk, o que significa que o cosseno da medida do ˆangulo entre ~a e~b
´e1e, portanto, o ˆangulo entre ~ae~b´e nulo. Neste caso ter´ıamos~aparalelo a~b(e com o mesmo sentido), o que ´e
barrado pela hip´otese.
Conclus˜ao: a condi¸c˜ao necess´aria para que~a+~bdivida~ae~bn˜ao paralelos em ˆangulos congruentes ´e que||~a||=k~bk.
Exerc´ıcio 2.12 Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor~v= (2,−5), sabendo que sua origem ´e o pontoA(−1, 3).
Resolu¸c˜ao de 2.12: Dados~v= (2,−5)eA(−1, 3), origem de~v, determinemos o pontoB(x, y)extremidade de~v. Observemos que
~v=−AB→=B−A⇒(2,−5) = (x, y) − (−1, 3)⇒(x, y) = (2,−5) + (−1, 3)⇒(x, y) = (1,−2).
Portanto, a extremidade de~v ´eB(1,−2).
Exerc´ıcio 2.13 Dados os vetores~u= (2,−4),~v= (−5, 1)ew~ = (−12, 6), determinark1ek2tais quew~ =k1~u+k2~v. Resposta: k1= −1e k2=2.
Exerc´ıcio 2.14 Dados os pontosA(−1, 2, 3)eB(4,−2, 0), determinarPtal que−AP→=3−AB.→
Resolu¸c˜ao de 2.14: Temos A(−1, 2, 3),B(4,−2, 0)eP(x, y, z).
De−AP→=3−AB→temos P−A=3(B−A), ou seja,
(x+1, y−2, z−3) =3(4+1,−2−2, 0−3)⇒(x+1, y−2, z−3) =3(5,−4,−3)⇒
(x+1, y−2, z−3) = (15,−12,−9)⇒
x+1=15 y−2= −12
z−3= −9
⇒
x=14 y= −10
z= −6
Logo,P= (14,−10,−6).
Exerc´ıcio 2.15 Determinaraebde modo que os vetores~u= (4, 1,−3)e~v= (6, a, b)sejam paralelos. Resposta: a= 3
2 e b= − 9 2.
Exerc´ıcio 2.16 Verificar se s˜ao colineares os pontos:
(i)A(−1,−5, 0),B(2, 1, 3)eC(−2,−7,−1) (ii)A(2, 1,−1),B(3,−1, 0)eC(1, 0, 4)
Resposta: sim e n˜ao, respectivamente.
Exerc´ıcio 2.18 Mostrar que os pontosA(4, 0, 1),B(5, 1, 3), C(3, 2, 5)eD(2, 1, 3)s˜ao v´ertices de um paralelogramo.
Resolu¸c˜ao de 2.18: Dados os pontos A(4, 0, 1),B(5, 1, 3),C(3, 2, 5)eD(2, 1, 3), temos: −→
AB=B−A= (1, 1, 2); DC−→=C−D= (1, 1, 2); AD−−→=D−A= (−2, 1, 2) e BC−→=C−B= (−2, 1, 2)
de onde conclu´ımos queAB−→=−DC→ eAD−−→=−BC→, ou seja, o quadril´ateroABCD´e, de fato, um paralelogramo.
Exerc´ıcio 2.19 Determinar o sim´etrico do pontoA(3, 1,−2)em rela¸c˜ao ao pontoM(−1, 0,−3). Resposta: B(−5,−1,−4).
Exerc´ıcio 2.20 Dados os vetores~u= (1, a,−2a−1),~v = (a, a−1, 1)ew~ = (a,−1, 1), determinar ade modo que ~
u·~v= (~u+~v)·w.~
Resolu¸c˜ao de 2.20: Dada a equa¸c˜ao~u·~v= (u~+~v)·w~, sendo~u= (1, a,−2a−1),~v= (a, a−1, 1)ew~ = (a,−1, 1)
temos:
(1, a,−2a−1)·(a, a−1, 1) = (1+a, 2a−1,−2a)·(a,−1, 1)⇒
a+a(a−1) −2a−1= (1+a)a+ (2a−1)(−1) −2a⇒
a+a2−a−2a−1=a+a2−2a+1−2a⇒ a=2
Exerc´ıcio 2.21 Dados os pontos A(−1, 0, 2),B(−4, 1, 1)eC(0, 1, 3), determinar o vetor~xde forma que2~x−−AB→= ~
x+ (−BC→·−AB→)−AC.→
Resposta: ~x= (−17,−13,−15).
Exerc´ıcio 2.22 Dados os pontosA(1, 2, 3),B(−6,−2, 3)eC(1, 2, 1), determinar o versor do vetor 3−BA→−2−BC.→ Resposta: 7
9, 4 9,
4 9
.
Exerc´ıcio 2.23 Determinarnpara que o vetor~v= n,25,45seja unit´ario. Resposta: n=±√1
5.
Exerc´ıcio 2.24 Obter o pontoPdo eixo das abscissas, que seja equidistante dos pontosA(2,−3, 1)eB(−2, 1,−1). Resposta: P(1, 0, 0).
Exerc´ıcio 2.25 Seja o△ABC, sendoA(−1,−2, 4),B(−4,−2, 0)eC(3,−2, 1). Determinar a medida do ˆangulo interno ao v´erticeB.
Resposta: 45◦.
Exerc´ıcio 2.26 Os pontosA,BeCs˜ao v´ertices de um triˆangulo equil´atero cujo lado mede10 cm. Calcular o produto escalar dos vetores−AB→e−AC.→
Resolu¸c˜ao de 2.26: De acordo com o enunciado temos k−AB→k =kAC−→k=10. Mas o triˆangulo ABC´e equil´atero.
Logo, a medida de seu ˆangulo interno com v´ertice emA´eα= π
3 rad. Da teoria sabemos que
−→
AB·−AC→=k−AB→k.k−AC→kcos(α)⇒−AB→·−AC→=10.10cos π 3
⇒−AB→·−AC→= 100 2 =50
Exerc´ıcio 2.27 Os lados de um triˆangulo retˆangulo ABC(reto em A) medem5,12 e13. CalcularAB−→·−AC→+−BA→· −→
Exerc´ıcio 2.28 Sabe-se que o ˆangulo entre os vetores~u= (2, 1,−1)e~v= (1,−1, m+2)mede π
3 rad, determinem. Resposta: m= −4.
Exerc´ıcio 2.29 Dados os vetores~a= (2, 1, α),~b= (α+2,−5, 2)e~c= (2α, 8, α), determinar o valor de αpara que o vetor~a+~bseja ortogonal ao vetor~c−~a.
Resposta: α=3ou α= −6.
Exerc´ıcio 2.30 Determinar o vetor~v, paralelo a~u= (1,−1, 2), tal que~v·~u= −18. Resposta: ~v= (−3, 3,−6).
Exerc´ıcio 2.31 Determinar o vetor~v, ortogonal ao vetor~u= (2,−3,−12)e colinear aw~ = (−6, 4,−2).
Resolu¸c˜ao de 2.31: Sejam ~u= (2,−3,−12),w~ = (−6, 4,−2)e~v= (x, y, z). Como~v´e colinear aw~ 6=~0, temos que existe λ∈Rtal que~v=λw~, ou seja,
~v= (x, y, z) =λ(−6, 4,−2) = (−6λ, 4λ,−2λ).
Como~v ´e ortogonal a~u, ent˜ao ~u·~v=0, ou seja,
(2,−3,−12)·(−6λ, 4λ,−2λ) =0⇒−12λ−12λ+24λ=0⇒0λ=0
e constatamos que a equa¸c˜ao 0λ=0 ´e verdadeira para qualquer valor deλ.
Deste modo, qualquer vetor da forma~v= (−6λ, 4λ,−2λ), comλ∈R, satisfaz as condi¸c˜oes do enunciado.
Exerc´ıcio 2.32 Verificar se existe um ˆangulo reto no△ABC, sendoA(2, 1, 3),B(3, 3, 5)eC(0, 4, 1). Resposta: sim, e ele est´a no v´ertice A.
Exerc´ıcio 2.33 As medidas dos ˆangulos diretores de um vetor podem ser de45◦,60◦e90◦? Justifique.
Resolu¸c˜ao de 2.33: N˜ao! Se α, β e γ s˜ao as medidas dos ˆangulos diretores de um vetor, vimos que ocorre a seguinte propriedade:
cos2(α) +cos2(β) +cos2(γ) =1.
No caso em quest˜ao temos
cos2(45◦) +cos2(60◦) +cos2(90◦) =√2 2
2
+ 1
2 2
+02= 2 4+
1 4 =
3 46=1.
Exerc´ıcio 2.34 As medidas dos ˆangulos diretores de um vetor s˜ao45◦,60◦ eγ. Determinarγ. Resposta: γ=60◦ ou γ=120◦.
Exerc´ıcio 2.35 Determinar o vetor~v, sabendo quek~vk=5,~v´e ortogonal ao eixoOz,~v·w~ =6ew~ =2~j+3~k. Resposta: ~v= (4, 3, 0)ou~v= (−4, 3, 0).
Exerc´ıcio 2.36 Determinar um vetor de m´odulo5paralelo ao vetor~v= (1,−1, 2). Resposta: ~u=√5
6,− 5 √ 6,
10 √
6
ou ~u=−√5 6,
5 √
6,− 10 √
6
.
Exerc´ıcio 2.37 Determinar o vetor~v, ortogonal ao eixoOz, que satisfaz as condi¸c˜oes~v·~v1=10e~v·~v2= −5, sendo ~v1= (2, 3,−1)e~v2= (1,−1, 2).
Resposta: ~v= (−1, 4, 0).
Resolu¸c˜ao de 2.38: Seja ~n= (x, y, z) um vetor unit´ario e ortogonal a~v. Assim, x2+y2+z2 =1 e ~n·~v= 0. Sendo−→v = (2,−1, 1)temos
x2+y2+z2=1
2x−y+z=0⇒z=y−2x ⇒x
2+y2+ (y−2x)2
=1⇒5x2−4xy+2y2=1
que claramente possui infinitas solu¸c˜oes (geometricamente isso era esperado).
Podemos tomar uma solu¸c˜ao particular fazendo, por exemplo,z=0. Logo,
x2+y2=1
y−2x=0⇒y=2x ⇒x
2+4x2=1
⇒5x2=1⇒x=±√1 5
Substituindoxem y=2x temosy=±√2
5.
Logo,~n=√1
5, 2
√
5, 0
´e um(dentre infinitos)dos vetores unit´arios ortogonais a~v.
Exerc´ıcio 2.39 O vetor~v´e ortogonal aos vetores~u= (2,−1, 3)ew~ = (1, 0,−2)e forma ˆangulo agudo com o vetor~j (da base canˆonica). Calcular~v, sabendo quek~vk=3√6.
Resposta: ~v= (2, 7, 1).
Exerc´ıcio 2.40 Determinar o vetor proje¸c˜ao do vetor~u= (1, 2,−3)na dire¸c˜ao de~v= (2, 1,−2). Resposta: proj~v~u= 20
9, 10
9,− 20
9
.
Exerc´ıcio 2.41 Qual o comprimento do vetor proje¸c˜ao de~u= (3, 5, 2)sobre o eixo dosx? Resposta: 3.
Exerc´ıcio 2.42 Calcular a proje¸c˜ao ortogonal do vetor~v = (4,−3, 2) sobre uma reta que forma com os eixos do Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais ˆangulos congruentes.
Resolu¸c˜ao de 2.42: Consideremos uma retar no espa¸co e~u= (a, b, c)um vetor n˜ao nulo paralelo ar.
Da teoria sabemos que a medidaα do ˆangulo entre r e o eixo Ox(que ´e paralelo ao vetor~i= (1, 0, 0))´e dada pela
f´ormula
cos(α) = |~u·~i|
ku~k.k~ik
(aqui ´e bom lembrar que, por defini¸c˜ao, o ˆangulo entre duas retas nunca ´e obtuso - por isso o m´odulo no produto
escalar).
Analogamente para as medidas β e γ dos ˆangulos entre r e os eixos Oy e Oz (com vetores diretos~j= (0, 1, 0) e
~k= (0, 0, 1), respectivamente), ou seja,
cos(β) = |~u·~j|
k~uk.k~jk e cos(γ) =
|~u·~k|
k~uk.k~kk.
Do enunciado sabemos que os ˆangulos entrer e os eixos coordenados s˜ao congruentes, de onde concluimos que
|u~·~i|
k~uk.k~ik =
|~u·~j|
k~uk.k~jk =
|~u·~k|
ku~k.k~kk ⇒|~u·~i|=|~u·~j|=|~u·~k|⇒|a|=|b|=|c|.
Sendo|a|=m > 0temos quatro pares de possibilidades:
~
u1= (m, m, m) =m(1, 1, 1) e seu oposto; ~
u2= (−m, m, m) =m(−1, 1, 1) e seu oposto; ~
u3= (m,−m, m) =m(1,−1, 1) e seu oposto;
~
u4= (m, m,−m) =m(1, 1,−1) e seu oposto;
Portanto, temos quatro retasr que satisfazem as condi¸c˜oes do enunciado (como era de se esperar...).
Da teoria sabemos que
proju~1~v= ~v·~u1
ku~1k2~u1=
(4,−3,2)·(1,1,1)
(√12 +12
+12)2.(1, 1, 1) = 3
3.(1, 1, 1) = (1, 1, 1)
Procedendo de modo an´alogo para~u2,~u3 e~u4temos
proj~u2~v= − 5
3.(−1, 1, 1) = 5 3,−
5 3,−
5 3
proj~u3~v= 93.(1,−1, 1) = (3,−3, 3)
proj~u4~v= − 1
3.(1, 1,−1) = − 1 3,−
1 3,
1 3
Exerc´ıcio 2.43 Mostrar que se~ue~vs˜ao vetores, tais que~u+~v´e ortogonal a~u−~v, ent˜ao k~uk=k~vk.
Exerc´ıcio 2.44 Calcular o m´odulo dos vetores ~u+~ve~u−~v, sabendo quek~uk=4, k~vk=3 e o ˆangulo entre~ue~v mede 60◦.
Resposta: √37e √13, respectivamente.
Exerc´ıcio 2.45 Sabendo-se que k~uk = 2, k~vk = 3 e que~u e~v formam um ˆangulo de medida 3π
4 rad, determinar |(2~u−~v)·(~u−2~v)|.
Resolu¸c˜ao de 2.45: Se α´e a medida do ˆangulo entre os vetores n˜ao nulos~ue~v, vimos que cos(α) = ~u·~v
ku~k.k~vk.
No caso em quest˜ao, sendok~uk=2,k~vk=3e α= 3π4 rad, temos:
cos 3π 4
= ~u·~v
2.3 ⇒~u·~v= − 6√2
2 ⇒~u·~v= −3 √
2
Utilizando as propriedades de produto escalar temos:
|(2~u−~v)·(~u−2~v)|=|(2~u)·~u− (2~u)·(2~v) −~v·~u+~v·(2~v)|=|2k~uk2−4(~u·~v) −~u·~v+2k~vk2|
=|2.22−5−3√2+2.32|=|8+15√2+18|=26+15√2
Exerc´ıcio 2.46 Determinar~u·~v+~u·w~ +~v·w, sabendo-se que~ ~u+~v+w~ =~0, k~uk=2,k~vk=3 ekw~k=√5. Resposta: −9.
Exerc´ıcio 2.47 Dados os vetores~u= (2,−1, 1),~v= (2,−1, 0)ew~ = (−1, 2, 2), calcular:
(i)w~ ×~v (v) (u~ ×~v)·(~u×~v)
(ii)~v×(w~ −~u) (vi) (~u×~v)·w~ eu~ ·(~v×w~) (iii) (~u+~v)×(~u−~v) (vii) (~u×~v)×w~ e~u×(~v×w~) (iv)2~u×3~v (viii) (~u+~v)·(~u×~v)
Resolu¸c˜ao de 2.47-(v): Dados ~u= (2,−1, 1)e~v= (2,−1, 0)fa¸camos~u×~v:
~
u×~v≡det
~i ~j ~k 2 −1 1 2 −1 0
≡~i+2~j+ (−2+2)~k= (1, 2, 0)
Agora, fa¸camos(~u×~v)·(~u×~v):
(~u×~v)·(~u×~v) = (1, 2, 0)·(1, 2, 0) =1+4+0=5.
Respostas dos demais itens:
De(i)at´e(iv): (2, 4,−3),(−1,−2, 3),(−2,−4, 0) e(6, 12, 0), respectivamente. De(vi)at´e(viii): 3,(4,−2, 4) e0, respectivamente.
Resolu¸c˜ao de 2.48: Dados A(2,−1, 2),B(1, 2,−1)eC(3, 2, 1), observemos que −→
CB=B−C= (1, 2,−1) − (3, 2, 1) = (−2, 0,−2).
Como−BC→= −−CB→, temos−BC→= (2, 0, 2).
Quanto a−CA→ temos
−→
CA=A−C= (2,−1, 2) − (3, 2, 1) = (−1,−3, 1).
Agora, calculemos−CB→×(−BC→−2−CA→): −→
CB×(−BC→−2−CA→) = (−2, 0,−2)×[(2, 0, 2) −2(−1,−3, 1)] = (−2, 0,−2)×[(2, 0, 2) + (2, 6,−2)] = (−2, 0,−2)×(4, 6, 0)
≡det
~i ~j ~k
−2 0 −2
4 6 0
≡12~i−8~j−12~k
= (12,−8,−12).
Exerc´ıcio 2.49 Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores2~a+~be~b−a, sendo~ ~a= (3,−1,−2)e ~
b= (1, 0,−3).
Resposta: qualquer vetor da forma (3λ, 7λ, λ)com λ∈R.
Exerc´ıcio 2.50 Dados os vetores~a= (1,−1, 2),~b= (3, 4,−2)e~c= (−5, 1,−4), mostrar que~a·~b×~c=~a×~b·~c e calcular seu valor.
Resposta: 10.
Exerc´ıcio 2.51 Determinar o valor dempara que o vetorw~ = (1, 2, m)seja simultaneamente ortogonal aos vetores ~v1= (2,−1, 0)e~v2= (1,−3,−1).
Resolu¸c˜ao de 2.51: Sendo w~ simultaneamente ortogonal a~v1 e a~v2 temos quew~ ´e paralelo a~v1×~v2. Assim,
k~v1×~v2k ≡det
~i ~j ~k
2 −1 0
1 −3 −1
≡~i+2~j+ (−6+1)~k= (1, 2,−5).
Assim,w~ =λ(~v1×~v2), ou seja (1, 2, m) =λ(1, 2,−5), de onde concluimos que λ=1 e, portanto,m= −5.
Exerc´ıcio 2.52 Dados os vetores~v= a, 5b,−c 2
ew~ = (−3a, x, y), determinar os valores dexeypara que~v×w~ =~0. Resposta: x= −15be y= 3
2c.
Exerc´ıcio 2.53 Sek~u×~vk=3√3,k~uk=3 e60◦ ´e a medida do ˆangulo entre~ue~v, determinark~vk. Resposta: 2.
Exerc´ıcio 2.54 Mostrar que o quadril´atero que tem como v´ertices os pontos A(1,−2, 3), B(4, 3,−1), C(5, 7,−3) e D(2, 2, 1)´e um paralelogramo e calcular sua ´area.
Resolu¸c˜ao de 2.54: Paralelogramo ´e quadril´atero plano com lados opostos paralelos. Se mostrarmos que−AB→=−DC→
e−−AD→=−BC→concluiremos que os lados ABe DCs˜ao paralelos; e o mesmo com os lados ADeBC.
Vejamos:
DeA(1,−2, 3),B(4, 3,−1),C(5, 7,−3)eD(2, 2, 1)temos:
−→
AB=B−A= (3, 5,−4)
−→
DC=C−D= (3, 5,−4) ⇒
−→
AB=−DC→ e
−−→
AD=D−A= (1, 4,−2)
−→
BC=C−B= (1, 4,−2) ⇒
−−→
AD=−BC→
