SIMULAÇÃO DE SISTEMAS LISTA 3 – RESOLUÇÃO PARCIAL

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 03 de Outubro 2013

SIMULAÇÃO DE SISTEMAS

LISTA 3 – RESOLUÇÃO PARCIAL

2

TEORIA DE FILAS

Questão 1:

(2)

Sejam λλλλ = 18 clientes por hora e µµµµ= 15 clientes por hora e ρ= λλλλ/sµµµµ< 1 →→→→s > 18/15, então, s ≥≥≥≥ 2. Deve haver pelo menos 2 caixas para não “explodir” o número de clientes. E agora, calcula-se para s = 2, 3, ... e comparar qual o menor:

Custo esperado

hora

Custo serviço

hora

=

Custo espera

hora

+

Custo espera

hora

=

(0,25*60)Wqλλλλ

=

15*Wq*18

=

270*Wq Custo serviço

hora

=

20 * no. caixas

Custo por hora

4

TEORIA DE FILAS

Sejam λλλλ = 18 clientes por hora e µµµµ= 15 clientes por hora e s = 2 tal que ρρρρ= λλλλ/sµµµµ →→→→ ρρρρ= 18/2*(15) = 18/30 = 0,6. Então:

∑

−

=

−

+

=

₁

0 0

)

1 (

!

)

(

!

)

(

1

s

i

s i

s

i

s

ρ

π

25 ,

0

4

1

8 ,

1

2 ,

1

0

=

+

=

π

)

6 ,

0

1 (

!

2 )

6 ,

0 *

2 (

!

1 )

6 ,

0 *

2 (

!

0 )

6 ,

0 *

2 (

1

2 1

0 0

−

+

(3)

5

horas

0375

,

0

18 )

15 (

2

45 ,

0 )

(

=

−

=

−

≥

=

λ

µ

λ

s

j

P

L

W

_q q

45 ,

0 )

6 ,

0

1 (

!

2

25 ,

0 )

6 ,

0 *

2 (

)

1 (

!

)

(

)

(

2

0

=

−

=

−

=

≥

ρ

π

ρ

s

j

P

s

Sejam ρρρρ = 0,6 e ππππ0 = 0,25. Então:

Custo espera

hora

=

270*Wq

=

R$ 10,12

Custo esperado

hora

=

+

R$ 20 * 2 R$ 10,12

=

R$ 50,12

6

minutos

25 ,

2

60 *

0375

,

0 =

=

q

W

TEORIA DE FILAS

Uma alternativa para o cálculo de Wq seria usar o custo de espera por cliente por minuto (R$ 0,25) e λλλλ e Wq em minutos:

Custo esperado

hora

=

+

R$ 20 * 2 R$ 10,12

=

R$ 50,12 Custo espera

hora

=

0,25*Wq*λλλλ

=

(0,25*Wq*18/60)*60

=

R$ 10,12

Em princípio seria necessário calcular s = 3, mas o acréscimo de 1 caixa, que corresponde ao custo de serviço, (R$ 20,00) é maior que a redução no custo de espera (R$ 10,12). Portanto, o menor custo médio ocorre quando s = 2.

custo por minuto

chegadas por minuto

(4)

Questão 2:

Um pequeno banco esta tentando determinar quantos atendentes deve empregar. O custo total para se empregar um atendente é de R$ 100 por dia e um atendente pode servir, em média, 60 clientes por dia. Uma média de 50 clientes chegam ao banco por dia e tanto o intervalo entre as chegadas como o tempo de atendimento é exponencial. Se o custo por atraso por consumidor/dia é de R$ 100, então, quantos atendentes o banco deverá ter?

8

TEORIA DE FILAS

Sejam λλλλ = 50 clientes por dia e µµµµ= 60 clientes por dia e

ρ= λλλλ/sµµµµ< 1 →→→→s > 50/60, então, s ≥≥≥≥ 1. Deve haver pelo menos 1 caixa para não “explodir” o número de clientes. E agora, calcula-se para s = 1, 2, ... e comparar qual o menor:

Custo esperado

dia

Custo serviço

dia

=

Custo espera

dia

+

Custo espera

dia

=

(100) * Wqλλλλ

=

100*Wq*50

=

dia

=

100 * no. caixas

(5)

9

Sejam λλλλ = 50 clientes por dia e µµµµ= 60 clientes por dia e s = 1 tal que ρρρρ= λλλλ/sµµµµ →→→→ ρρρρ= 50/1*(60) = 50/60 = 0,83. Então:

∑

− =

−

+

=

₁ 0 0

)

1 (

!

)

(

!

)

(

1

s i s i

s

i

s

ρ

π

17 ,

0 8823

,

4

1

0

=

+

=

π

)

83 ,

0

1 (

!

1 )

83 ,

0 *

1 (

!

0 )

83 ,

0 *

1 (

1

1 0 0

−

+

=

π

10

dias

083 ,

0

50 )

60 (

1

83 ,

0 )

(

=

−

=

−

≥

=

λ

µ

λ

s

j

P

L

W

_q q

TEORIA DE FILAS

83 ,

0 )

83 ,

0

1 (

!

1

17 ,

0 )

83 ,

0 *

1 (

)

1 (

!

)

(

)

(

1 0

=

−

=

−

=

≥

ρ

π

ρ

s

j

P

s

Custo espera

dia

=

5000*Wq

=

R$ 415

Custo esperado

dia

=

+

(6)

Será necessário calcular s = 2, pois o acréscimo de 1 caixa, que corresponde ao custo de serviço, (R$ 100) é menor que a possível redução no custo de espera (R$ 415). Portanto, o

custo médio quando s = 2 deve ser avaliado. Custo esperado

dia

=

+

R$ 100*1 R$ 415

=

R$ 515,00

12

TEORIA DE FILAS

Sejam λλλλ = 50 clientes por dia e µµµµ= 60 clientes por dia e

ρ= λλλλ/sµµµµ< 1 →→→→s > 50/60, então, s ≥≥≥≥ 1. Deve haver pelo menos 1 caixa para não “explodir” o número de clientes. E agora, calcula-se para s = 2, e comparar qual o menor:

Custo esperado

dia

Custo serviço

dia

=

Custo espera

dia

+

Custo espera

dia

=

(100) * Wqλλλλ

=

100*Wq*50

=

dia

=

100 * no. caixas

(7)

13

Sejam λλλλ = 50 clientes por dia e µµµµ= 60 clientes por dia e s = 2 tal que ρρρρ= λλλλ/sµµµµ →→→→ ρρρρ= 50/2*(60) = 50/120 = 0,41. Então:

∑

− =

−

+

=

₁ 0 0

)

1 (

!

)

(

!

)

(

1

s i s i

s

i

s

ρ

π

42 ,

0

38 ,

2

1

56 ,

0

82 ,

0

1

0

=

+

=

π

)

41 ,

0

1 (

!

2 )

41 ,

0 *

2 (

!

1 )

41 ,

0 *

2 (

!

0 )

41 ,

0 *

2 (

1

2 1 0 0

−

+

=

π

14

dias

0032

,

0

50 )

60 (

2

23 ,

0 )

(

=

−

=

−

≥

=

λ

µ

λ

s

j

P

L

W

_q q

TEORIA DE FILAS

23 ,

0 )

41 ,

0

1 (

!

2

42 ,

0 )

41 ,

0 *

2 (

)

1 (

!

)

(

)

(

2 0

=

−

=

−

=

≥

ρ

π

ρ

s

j

P

s

Custo espera

dia

=

5000*Wq

=

R$ 16,00

Custo esperado

dia

=

+

(8)

Em princípio seria necessário calcular s = 3, mas o acréscimo de 1 caixa, que corresponde ao custo de serviço, (R$ 100,00) é maior que a redução no custo de espera (R$ 16). Portanto, o menor custo médio ocorre quando s = 2.

Custo esperado

dia

=

+

R$ 100*2 R$ 16,00

=

R$ 216,00

16

TEORIA DE FILAS

Questão 3:

Neste problema, tanto o intervalo entre as chegadas e o tempo de serviço são exponenciais.

Item (A): Até o momento o departamento financeiro e o de marketing possuem cada um apenas um digitador. Cada digitador pode preparar 25 cartas por dia. O financeiro precisa que, em média, 20 cartas por dia sejam digitadas ao passo que o Marketing precisa que, em média, 15 cartas sejam digitadas por dia. Para cada departamento, determine, em média, o tempo entre a requisição de uma carta e a finalização do serviço.

Item (B): Suponha que dois digitadores foram agrupados em um centro de digitação, isto é, cada digitador está disponível para digitar cartas de qualquer departamento. Para este arranjo calcular o tempo, em média, entre a requisição de uma carta e a finalização do serviço.

(9)

17

L = λλλλW →→→→ W = L/λλλλ

W = 4/20 = 0,2 dia

4 )

5 /

4

1 (

5 /

4 )

1 (

−

=

−

=

ρ

L

Item (A): Considerando que cada departamento tem cada um único digitador que não é compartilhado, então, pode-se empregar o modelo M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞ para cada local:

Para o departamento financeiro: λλλλ = 20 clientes por dia e µµµµ= 25 clientes por dia tal que ρρρρ= λλλλ/µµµµ →→→→ ρρρρ= 20/25 = 4/5 = 0,8. Então:

L = λλλλW →→→→ W = L/λλλλ

W = (3/2)/20 = 0,0750 dia

2 /

3 )

5 /

3

1 (

5 /

3 )

1 (

−

=

−

=

ρ

L

Para o departamento de Marketing: λλλλ= 15 clientes por dia e µµµµ= 25 clientes por dia tal que ρρρρ= λλλλ/µµµµ →→→→ ρρρρ= 15/25 = 3/5 = 0,6. Então:

18

TEORIA DE FILAS

Item (B): Considerando que os departamentos tem dois

digitadores compartilhados, então, pode-se empregar o modelo M/M/s/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞, λλλλ = 35 clientes/dia, µµµµ= 25 clientes/dia, s = 2 e ρρρρ= λλλλ/sµµµµ= 35/2*25 = 0,7:

∑

−

=

−

+

=

₁

0 0

)

1 (

!

)

(

!

)

(

1

s

i

s i

s

i

s

ρ

π

17 ,

0

66 ,

5

1

26 ,

3

4 ,

1

0

=

+

=

π

)

7 ,

0

1 (

!

2 )

7 ,

0 *

2 (

!

1 )

7 ,

0 *

2 (

!

0 )

7 ,

0 *

2 (

1

2 1

0 0

−

+

(10)

5553

,

0 )

7 ,

0

1 (

!

2

17 ,

0 )

7 ,

0 *

2 (

)

1 (

!

)

(

)

(

2

0

=

−

=

−

=

≥

ρ

π

ρ

s

j

P

s

dia

077 ,

0

25

1

35

25 *

2 5553

,

0

1 )

(

=

+

−

=

+

−

≥

=

µ

λ

µ

s

j

P

W

No segundo caso ocorre um ligeiro aumento no tempo para se realizar o atendimento da demanda do depto de Marketing, mas uma significativa redução no tempo necessário para atender a demanda do depto Financeiro. Isto porque no primeiro caso o tempo ocioso dos digitadores (ππππ0 = (1 - ρρρρ)) é

0,2 e 0,4 no deptos Financeiro e Marketing. Assim, o segundo caso representa o compartilhamento de um recurso ocioso (no depto de Marketing) de modo a melhorar o serviço em um local de maior demanda (no depto Financeiro).

20

TEORIA DE FILAS

Questão 6:

Em média 90 clientes chegam por hora em um hotel (tempo entre as chegadas é exponencial) para realizar check-in. Existem 5 atendentes e os clientes esperam em uma fila única pelo primeiro atendente ocioso. O tempo médio de serviço de um atendente é de 3 minutos (distribuição exponencial). O atendente ganha R$ 10 por hora e o hotel assume que o custo de espera é de R$ 20 para cada hora que um cliente espera na fila.

Item (A): Calcular o custo esperado por hora para o sistema atual.

(11)

21

Item (A): Sejam λλλλ = 90 clientes por hora e µµµµ= 20 clientes por hora e ρρρρ = λλλλ/sµµµµ< 1 →→→→s > 90/20, então, s ≥≥≥≥ 5. Deve haver pelo menos 5 atendentes para não “explodir” o número de clientes. E agora, calcula-se para s = 5 o custo esperado:

Custo esperado

hora

Custo serviço

hora

=

Custo espera

hora

+

Custo espera

hora

=

(20) * Wq * λλλλ

=

20*Wq*90

=

hora

=

10 * no. atendentes

Custo por hora

chegadas por hora horas

22

TEORIA DE FILAS

∑

− =

−

+

=

₁ 0 0

)

1 (

!

)

(

!

)

(

1

s i s i

s

i

s

ρ

π

005 ,

0

65 ,

201

1

77 ,

153

08 ,

17

18 ,

15

12 ,

10

5 ,

4

1

0

=

(12)

horas

07689

,

0

90 )

20 (

5 7689

,

0 )

(

=

−

=

−

≥

=

λ

µ

λ

s

j

P

L

W

_q q

7689

,

0 )

9 ,

0

1 (

!

5

005 ,

0 )

9 ,

0 *

5 (

)

1 (

!

)

(

)

(

5

0

=

−

=

−

=

≥

ρ

π

ρ

s

j

P

s

Sejam λλλλ = 90 clientes por hora e µµµµ= 20 clientes por hora e s = 5 tal que ρρρρ= λλλλ/sµµµµ→→→→ ρρρρ= 90/5*(20) = 90/100 = 0,9. Então:

Custo espera

hora

=

1800*Wq

=

R$ 138,40

Custo serviço

hora

=

5*10

=

R$ 50

24

Custo esperado

hora

Custo serviço

hora

=

Custo espera

hora

+

TEORIA DE FILAS

Custo esperado

hora

=

(13)

25

Item (B): Agora 80% dos clientes passam por 4 atendentes tal que λλλλ = 90*80% = 72 clientes por hora e µµµµ= 20 clientes por hora com ρρρρ = λλλλ/sµµµµe s = 4 tal que ρρρρ = 72/4*20 = 0,9. Agora, calcula-se para s = 4 o custo esperado:

Custo esperado

hora

Custo serviço

hora

=

Custo espera

hora

+

Custo espera

hora

=

(20) * Wq * λλλλ

=

20*Wq*72

=

hora

=

Custo por hora

26

TEORIA DE FILAS

∑

−

=

−

+

=

₁

0 0

)

1 (

!

)

(

!

)

(

1

s

i

s i

s

i

s

ρ

π

01 ,

0

61 ,

96

1

98 ,

69

55 ,

15

48 ,

6

6 ,

3

1

0

=

+

=

π

)

9 ,

0

1 (

!

4 )

9 ,

0 *

4 (

!

3 )

9 ,

0 *

4 (

!

2 )

9 ,

0 *

4 (

!

1 )

9 ,

0 *

4 (

!

0 )

9 ,

0 *

4 (

1

4 3

2 1

0 0

−

+

(14)

horas

0875

,

0

72 )

20 (

4 6998

,

0 )

(

=

−

=

−

≥

=

λ

µ

λ

s

j

P

L

W

_q q

6998

,

0 )

9 ,

0

1 (

!

4

01 ,

0 )

9 ,

0 *

4 (

)

1 (

!

)

(

)

(

4

0

=

−

=

−

=

≥

ρ

π

ρ

s

j

P

s

Sejam λλλλ = 72 clientes por hora e µµµµ= 20 clientes por hora e s = 4 tal que ρρρρ= λλλλ/sµµµµ→→→→ ρρρρ= 72/4*(20) = 72/80 = 0,9. Então:

Custo espera

hora

=

1440*Wq

=

R$ 126,00

Custo serviço

hora

=

4*10

=

R$ 40

28

Custo esperado

hora

Custo serviço

hora

=

Custo espera

hora

+

TEORIA DE FILAS

Custo esperado

hora

=

R$ 10

*

4

+

R$ 126,00

=

R$ 166,00

Além do custo acima, deveria ser calculado, também, a parcela do custo referente a operação do SAA, pois o valor de R$ 166 é referente aos custos com 4 atendentes.

(15)

29

Item (B): Agora 20% dos clientes passam por 1 SAA tal

que λλλλ = (90 - 72) = 18 clientes por hora e µµµµ = 60 clientes por hora com ρρρρ = λλλλ/µµµµtal que ρρρρ= 18/60 = 0,3. Agora,

calcula-se o custo esperado:

Custo esperado

hora

Custo serviço

hora

=

Custo espera

hora

+

Custo espera

hora

=

(20) * Wq * λλλλ

=

20*Wq*18

=

hora

=

Custo por hora

30

Custo esperado

hora

Custo serviço

hora

=

Custo espera

hora

+

TEORIA DE FILAS

Custo esperado

hora

=

R$ 48

*

1

+

R$ 2,57

=

R$ 50,57

O custo total do sistema com 4 atendentes e 1 SAA é de R$ 216,57. O custo com 5 atendentes é de: R$ 188,40.

Portanto, isto significa que não é vantajoso adotar, neste caso,

o SAA.

0071

,

0 )

3 ,

0

1 (

18 )

3 ,

0 (

)

1 (

/

2 2

=

−

=

−

=

ρ

λ

ρ

λ

(16)

Questão 9:

Uma média de 40 estudantes por hora chegam em um laboratório de computação. Os estudantes usam, em média, 20 minutos o laboratório. Assumir que o intervalo entre as chegadas e o tempo de serviço são exponenciais.

Item (A): Se se espera que o tempo médio que um estudante espera por um PC deve ser de no máximo 10 minutos, quantos computadores o laboratório deverá ter?

Item (B): Se se espera que 95% dos estudantes gaste no máximo 5 minutos ou menos esperando por um PC, quantos computadores o laboratório deverá ter?

Este exercício não será cobrado na prova teórica devido aos cálculos laboriosos que, para serem realizados, necessitam de um programa de computador!

32

Item (A): Sejam λλλλ= 2/3 clientes por minuto e µµµµ= 1/20 clientes por minuto e ρ= λλλλ/sµµµµ< 1 →→→→s > 40/3, então, s ≥≥≥≥ 14. Deve haver pelo menos 14 computadores para não “explodir” o número de clientes. Argumentar que para se verificar se Wq ≤ 10 usam-se valores de s = 14, 15, 16, começando com s= 14 e ρ= 0,95 :

TEORIA DE FILAS

∑

−

=

−

+

=

₁

0 0

)

1 (

!

)

(

!

)

(

1

s

i

s i

s

i

s

ρ

π

)

95 ,

0

1 (

!

14 )

95 ,

0 *

14 (

!

13 )

95 ,

0 *

14 (

...

!

1 )

95 ,

0 *

14 (

!

0 )

95 ,

0 *

14 (

1

14 13

1 0

0

−

+

(17)

33

minutos

10

3 /

2

20 /

14 )

14 (

)

(

<

−

≥

=

−

≥

=

P

j

s

j

P

L

W

_q q

λ

µ

λ

)

95 ,

0

1 (

!

14 )

95 ,

0 *

14 (

)

1 (

!

)

(

)

(

0

14 0

−

=

−

=

≥

π

ρ

π

ρ

s

j

P

s

A partir do valor de ππππ₀, calcular Wq como dado abaixo, se o valor obtido for menor que 10 minutos, então, parar. Senão, incrementar s e refazer os cálculos:

34

Item (B): Determinar o número de computadores s a partir do seguinte cálculo:

TEORIA DE FILAS

Onde: t = 5 minutos, λλλλ = 2/3 clientes por minuto e µµµµ= 1/20 clientes por minuto e s é fixado em um valor. Além disso:

)

1 (

!

)

(

)

(

0

ρ

π

ρ

−

=

≥

s

j

P

s

[

(

1 )

]

0 ,

05 exp

)

(

)

(

Wq

>

t

=

P

j

≥

s

−

s

−

t

<

P

µ

ρ

Se a probabilidade P(Wq > t) obtida for menor que 0,05, adota-se o s atual, senão, s é incrementado e o novo valor da probabilidade é calculado. Refazer os passos

até se obter um s adequado.

∑

−

=

−

+

=

₁

0 0

)

1 (

!

)

(

!

)

(

1

s

i

s i

s

i

s

ρ

(18)

Questão 10:

Uma loja para lavagem de roupas possui 5 máquinas. Uma máquina de lavagem quebra uma vez a cada 5 dias e um mecânico pode consertar a mesma, em média em 2,5 dias. Atualmente, 3 mecânicos estão contratados e a loja tem a opção de substituir os 3 por um super-mecânico que é capaz de consertar, em média, em 5/6 de dia. O salário do super-mecânico é igual a soma dos salários dos 3 mecânicos. O processo de quebra e os tempos de serviços seguem uma distribuição exponencial. A loja deve substituir os 3 trabalhadores pelo super-mecânico?

36

Sejam K = 5, R = 3 e λλλλ = 1/5 carros por dia e µµµµ= 1/2,5 carros por dia. Então: ρρρρ = (1/5)/(1/2,5) = 1/2. Observação importante:

ρ= λλλλ/µµµµ!!!Para se calcular as probabilidades de se estar em cada estado, usa-se:

TEORIA DE FILAS

Item (A): Determinar o número médio de máq. em boas condições para 3 mecânicos.

(j=1,...,R)

0

π

ρ

π

j

K













=

(j=R+1,R+2,...,K)

R j j

j

R

j

K

−













=

!

π

0

(19)

37

0 1 0 1

1

5

1

5 π

ρ

π

ρ

π

_

=











=

0

2 0

2

10

2

5 π

ρ

π

ρ

π

_

=











=

0 3 0

3

10

3

5 π

ρ

π

ρ

π

_

=











=

0 4 0

3 4 4 4

3 20 3

! 3

! 4 4 5

π

ρ

π

ρ

π

 =

    

= ₋ 0

5 0

3 5 5 5

9 20 3

! 3

! 5 5 5

π

ρ

π

ρ

π

 =

    

= ₋

Item (A): Determinar o número médio de máq. em boas condições para 3 mecânicos.

38

TEORIA DE FILAS

3232

,

0

5

1 ₀

1

=

ρ

π

=

π

10

0

0 ,

3232

2

=

ρ

π

=

π

1616

,

0

10

0

3

=

ρ

π

=

π

0539 , 0 3

20

0 4 4=

ρ

π

=

π

0,0090

9 20

0 5 5=

ρ

π

=

π

Seja ππππ0+ππππ1+ππππ2+ππππ3+ππππ4+ππππ5 =1, então:

ππππ0 (1 + 5ρρρρ + 10ρρρρ2 + 10ρρρρ3 + (20/3)ρρρρ4 + (20/9)ρρρρ5) = 1

ππππ0 (1 + 5/2 + 10/4 + 10/8 + 20/48 + 20/288) = 1

ππππ0 (7,7361) = 1

(20)

O número esperado de máq. em manutenção é dado por:

7150 , 1 )] 0090 , 0 ( 5 ) 0539 , 0 ( 4 ) 1616 , 0 ( 3 ) 3232 , 0 ( 2 ) 3232 , 0 ( 1 ) 1293 , 0 ( 0 [ 5 4 3 2 1 0 0 5 4 3 2 1 0 = + + + + + = + + + + + = =

∑

= K j j j

L

π

Assim, o número esperado de máq. em boas condições é dado por: K – L = 5 – 1,7150 = 3,2850 máq. em boas condições. Item (A): Determinar o número médio de máq. em boas condições para 3 mecânicos.

40

TEORIA DE FILAS

0 1 0 1 1

5

1

5 π

ρ

π

ρ

π

_

=











=

0 4 0 1 4 4 4 120 1 ! 1 ! 4 4 5

π

ρ

π

ρ

π

 =

    

= ₋ 5 ₀

0 1 5 5 5 120 1 ! 1 ! 5 5 5

π

ρ

π

ρ

π

 =

     = ₋

Sejam K = 5, R = 1 e λλλλ = 1/5 máq. por dia e µµµµ = 6/5 máq. por dia. Então: ρρρρ = (1/5)/(6/5) = 1/6. Assim:

0 3 0 1 3 3 3 60 1 ! 1 ! 3 3 5

π

ρ

π

ρ

π

_ =

     = ₋ 0 2 0 1 2 2 2 20 1 ! 1 ! 2 2 5

π

ρ

π

ρ

π

 =

     = ₋

(21)

41

3003

,

0

5

1 ₀

1

=

ρ

π

=

π

20

0

0 ,

2002

2

=

ρ

π

=

π

1001

,

0

60

0

3

=

ρ

π

=

π

0334

,

0

120

0

4 4

=

ρ

π

=

π

120 0 0,0056

5 5=

ρ

π

=

π

Seja ππππ0+ππππ1+ππππ2+ππππ3+ππππ4+ππππ5 =1, então:

ππππ0 (1 + 5ρρρρ + 20ρρρρ2 + 60ρρρρ3 + 120ρρρρ4 + 120ρρρρ5) = 1

ππππ0 (1 + 0,8333 + 0,5556 + 0,2778 + 0,0926 + 0,0154) = 1

ππππ0 (2,7747) = 1

Assim: ππππ₀ = 0,3604

42

TEORIA DE FILAS

O número esperado de máq. em manutenção é dado por:

1626 , 1 )] 0056 , 0 ( 5 ) 0334 , 0 ( 4 ) 1001 , 0 ( 3 ) 2002 , 0 ( 2 ) 3003 , 0 ( 1 ) 3604 , 0 ( 0 [

5 4 3 2 1

0 0 1 2 3 4 5

0

= +

+ +

=

+ + + + + = =

∑

=

π

K

j j

j L

Assim, o número esperado de máq. em boas condições é dado por: K – L = 5 – 1,1626 = 3,8374 máq. em boas condições.

Portanto, a loja deve trocar os 3 mecânicos (3,2850 máquinas em boas condições) pelo super-mecânico (3,8374 máquinas em boas condições).

(22)

Questão 11:

Suponha que uma sorveteria possui 3 competidores e que as pessoas não gostam de esperar em longas filas tal que a taxa de chegada na sorveteria depende do número de pessoas presentes. Mais especificamente, quando j≤≤≤≤

4 clientes estão presentes na sorveteria, os clientes chegam em uma taxa de (20 – 5j) clientes por hora. Se houver mais que 4 pessoas na sorveteria, então, a taxa de chegada é zero. Para cada consumidor, o lucro líquido (venda menos custos de material) é de R$ 0,50. O custo de cada atendente é de R$ 3 por hora. Para maximizar o lucro médio (vendas menos custos de material e custos trabalhistas) quantos atendentes deverão ser contratados? Assuma o intervalo entre as chegadas e os tempos de serviço como exponenciais.

Este exercício não será cobrado na prova teórica, pois o enunciado não está bem formulado. Em particular,

a taxa de atendimento (µµµµ) por funcionário não foi fornecida !

44