Sistemas de equações lineares MCEF 2011/12

(1)

Sistemas de equações lineares

MCEF

2011/12

(2)

O Sistemas lineares constituem um caso particular dos sistemas não lineares, sendo que os métodos estudados se aplicam também a estes. Chamamos sistema de equações lineares a qualquer sistema do tipo:

Sistemas Lineares

Determinar x

₁

, x

₂

, · · · , x

_n

tais que:

8 >

> >

<

> >

> :

a

₁₁

x

₁

+ a

₁₂

x

₂

+ · · · + a

_1n

x

_n

= b

₁

a

₂₁

x

₁

+ a

₂₂

x

₂

+ · · · + a

_2n

x

_n

= b

₂

.. .

a

_m1

x

₁

+ a

_m2

x

₂

+ · · · + a

_mn

x

_n

= b

_m

(3)

Os sistemas lineares podem ser escritos na sua forma matricial, tendo em conta a definição da operações de multiplicação de matrizes.

Forma matricial

0 BB B@

a11 a12 · · · a1n

a₂₁ a₂₂ · · · a_2n

... ... . .. ...

a_m1 a_m2 · · · a_mn

1 CC CA

0 BB B@

x1

x₂ ... x_n

1 CC CA =

0 BB B@

b1

b₂ ... b_m

1 CC CA ,

Ax = b Em que

A = 0 BB B@

a₁₁ a₁₂ · · · a_1n

a₂₁ a₂₂ · · · a_2n

... ... . .. ...

am1 am2 · · · amn

1 CC

CA, x = 0 BB B@

x₁ x₂ ... xn

1 CC

CA, b = 0 BB B@

b₁ b₂ ... bm

1 CC CA

(4)

Vamos tentar resolver o um sistema linear utilizando o método do ponto fixo. Para tal devemos reescrever o sistema na forma x = G(x), o que equivale a, em cada equação, isolar a respectiva variável. Uma forma de o fazer pode ser a seguinte:

Métodos Iterativos para sistemas lineares (um exemplo)

8>

>>

<

>>

>:

a11x1 +a12x2 +· · ·+a1nxn = b1

a₂₁x₁ +a₂₂x₂ +· · ·+a_2nx_n = b₂

...

a_n1x₁ +a_n2x₂ +· · · +a_nnx_n = b_n ,

8>

>>

<

>>

>:

x₁ = 1 a11

0

@b₁ X

j6=1

a_1jx_j 1 A

x₂ = 1 a22

0

@b₂ X

j6=2

a_2jx_j 1 A

...

x_n = 1 a_nn

0

@b_n X

j6=n

a_njx_j 1 A

(5)

O Processo descrito anteriormente conduz a um método conhecido como Método de Jacobi, que pode ser descrito pelo seguinte algoritmo

Método de Jacobi

1. Escolher uma aproxima¸c˜ao inicial x

⁽⁰⁾

= (x

⁽⁰⁾₁

, · · · , x

⁽⁰⁾_n

) 2 R

ⁿ

. 2. para cada k 0 calcular x

^(k+1)

atrav´es da f´ ormula

x

^(k+1)_i

= 1 a

_ii

0 @b

_i

X

j6=i

a

_ij

x

^(k)_j

1 A , i = 1, · · · , n

3. Terminar o processo iterativo se k x

^(k+1)

x

^(k)

k < " (ou se for atingido

um n´ umero m´ aximo de itera¸c˜ oes)

(6)

O Método de Jacobi pode ser obtido de uma forma um pouco diferente da apresentada, se começarmos por decompor a matriz A :

Convergência do Método de Jacobi

A = L+D+U

0 BB B@

a11 a12 · · · a1n

a₂₁ a₂₂ · · · a_2n

... ... . .. ...

an1 an2 · · · ann

1 CC CA =

0 BB BB B@

0 0 0 · · · 0

a₂₁ 0 0 · · · 0

a31 a32 0 · · · 0

... ... . .. . .. ...

a_n1 a_n2 · · · a_n,n ₁ 0

1 CC CC CA

+ 0 BB BB B@

a₁₁ 0 0 · · · 0

0 a₂₂ 0 · · · 0

0 0 a33 · · · 0

... ... . .. ... ...

0 0 · · · 0 a_nn

1 CC CC CA

+ 0 BB BB BB

@

0 a12 a13 · · · a1n

0 0 a₂₃ · · · a_2n

0 0 0 . .. ...

... ... . .. ... a_n _1,n

0 0 · · · 0 0

1 CC CC CC A

(7)

Método de Jacobi

Ax = b , (L + D + U )x = b , Dx = b (L + U )x

, x = D

¹

(b (L + U )x)

, x = D

¹

b D

¹

(L + U )x

Assim, do ponto de vista matricial, a itera¸c˜ ao do m´etodo de Jacobi pode ser calculada como:

x

^(k+1)

= D

¹

b D

¹

(L + U )x

^(k)

(8)

Teorema. Considere o m´etodo iterativo x

^(k+1)

= g + Cx

^(k)

. O método é convergente se e s´ o se k C k < 1, para alguma norma matricial. Em caso de convergência, esta n˜ ao depende da aproxima¸c˜ ao inicial x

⁽⁰⁾

2 R

ⁿ

. Al´em disso temos a estimativa de erro a posteriori

k z x

^(k)

k  k C k

^k

1 k C k k x

⁽¹⁾

x

⁽⁰⁾

k

Obs 1: A convergir, o m´etodo converge para a solu¸c˜ ao do sistema linear x = g + Cx.

Obs 2: No caso do m´etodo de Jacobi, podemos usar este resultado com g =

D

¹

b e C = D

¹

(L + U ).

(9)

Condições suficientes de convergência

A convergˆencia do m´etodo de Jacobi depende na norma da matriz C = D

¹

(L + U ). Esta matriz ´e dada por

C =

0 B B B B B B B B B B B B B B B B B B

@

0 a

12

a

₁₁

a

13

a

₁₁

· · · a

1n

a

₁₁

a

₂₁

a

₂₂

0 a

₂₃

a

₂₂

· · · a

_2n

a

₂₂

a

₃₁

a

₃₃

a

₃₂

a

₃₃

0 · · · a

_3n

a

₃₃

.. . .. . . .. .. .

a

_n1

a

nn

a

_n2

a

nn

· · · a

_n,n ₁

a

nn

0

1 C C

C C

A

(10)

Pensando nas duas normas matriciais que estudámos, elas serão inferiores a 1 para a matriz C se o módulo de cada elemento na diagonal de A for estritamente superior a todos os elementos na mesma linha ( no caso da norma infinito) ou na mesma coluna (no caso da norma 1). De facto,

Este facto motiva a definição seguinte:

Condições suficientes de convergência

k C k

₁

= max

i=1,···,n

X

j6=i

| a

_ij

|

| a

_ii

| , k C k

¹

= max

j=1,···,n

X

i6=j

| a

_ji

|

| a

_jj

|

(11)

Defini¸ c˜ ao: Uma matriz quadrada A diz-se de diagonal estrita- mente dominante por linhas se e s´o se

| a

_ii

| > X

j6=i

| a

_ij

| , i = 1, · · · , n

Do mesmo modo A diz-se de diagonal estritamente dominante por colunas se e s´o se

| a

_ii

| > X

j6=i

| a

_ji

| , i = 1, · · · , n

(12)

Condições suficientes de convergência: O resultado

Teorema. Se a matriz A for de diagonal estritamente dominante por linhas (ou colunas) o método de Jacobi é convergente, qual- quer que seja a aproxima¸cão inicial.

Obs: Esta condi¸cão não é necess´ aria. O método pode convergir,

mesmo que esta n˜ao se verifique. Mesmo que as normas k C k

¹

e

k C k

1

n˜ ao sejam inferiores a 1, outras poder˜ ao ser.

(13)

Exemplo

A = 0

@ 4 1 1 2 4 1 0 1 2

1 A , b = 0

@ 1 0 1

1 A

Como a matriz é de diagonal estritamente dominante por linhas, temos a garantia que o método de Jacobi é convergente. Além disso, neste caso, k C k

1

=

³₄

. Sabemos ent˜ ao que

k z x

^(k)

k

1

 (3/4)

^k

1 3/4 k x

⁽¹⁾

x

⁽⁰⁾

k

1

= 4(3/4)

^k

k x

⁽¹⁾

x

⁽⁰⁾

k

1

(14)

Várias medidas do erro …

k k x

^(k)

z k

1

4(3/4)

^k

k x

⁽¹⁾

x

⁽⁰⁾

k

1

k x

^(k)

x

^(k ¹⁾

k

1

1 2.30769 ⇥ 10

^-1

1.5 5. ⇥ 10

^-1

2 1.15385 ⇥ 10

^-1

1.125 2.5 ⇥ 10

^-1

5 1.20192 ⇥ 10

^-2

4.74609 ⇥ 10

^-1

3.125 ⇥ 10

^-2

10 9.20222 ⇥ 10

^-4

1.12627 ⇥ 10

^-1

2.44141 ⇥ 10

^-3

15 6.87379 ⇥ 10

^-5

2.67269 ⇥ 10

^-2

1.84059 ⇥ 10

^-4

18 1.45298 ⇥ 10

^-5

1.12754 ⇥ 10

^-2

3.89218 ⇥ 10

^-5

19 8.65643 ⇥ 10

^-6

8.45657 ⇥ 10

^-3

2.31862 ⇥ 10

^-5

20 5.15695 ⇥ 10

^-6

6.34242 ⇥ 10

^-3

1.38134 ⇥ 10

^-5

(15)

Método de Gauss-Seidel

Ax

=

b ,

(L +

D

+

U

)x =

b ,

(L +

D)x

=

b U x

, x = (L +D) ¹(b U x)

| {z }

G(x)

A aplica¸c˜ ao do m´etodo do ponto fixo conduz ao processo iterativo

x^(k+1)

=

G(x^(k)

):

x^(k+1)

=

G(x^(k) , x^(k+1)

= (L +

D) ¹

(b

U x^(k)

)

,

(L +

D)x^(k+1)

=

b U x^(k) , Dx^(k+1)

=

b U x^(k) Lx^(k+1) , x^(k+1) = D ¹(b U x^(k) Lx^(k+1))

(16)

Método de Gauss-Seidel Algoritmo

1. Escolher uma aproxima¸c˜ ao inicial x

⁽⁰⁾

2 R

ⁿ

. 2. Para cada k 0 calcular

x

^(k+1)_i

= 1 a

_ii

0 @b

_i

X

j>i

a

_ij

x

^(k)_j

X

j<i

a

_ij

x

^(k+1)_j

1 A , i = 1, · · · , n

3. Parar se k x

^(k+1)

x

^(k)

k < ", ou se for atingido o n´ umero

m´aximo de itera¸c˜ oes pr´e-estabelecido.

(17)

Convergência do método de Gauss-Seidel

Trata-se de um m´etodo iterativo do tipo x

^(k+1)

= g + Cx

^(k)

em que

g = (L + D)

¹

b, C = (L + D)

¹