de derivada é, dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma

Cálculo Integral

Função primitiva

1RHVWXGRGDGHULYDGDSULPLWLYDWtQKDPRVXPDIXQ- omRHREWLYHPRVDSDUWLUGHODXPDRXWUDDTXHFKDPDPRV de derivada1HVWDVHomRIDUHPRVRFDPLQKRLQYHUVRLVWR é, dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma IXQomRRULJLQDOTXHFKDPDUHPRVGHSULPLWLYD9RFrGHYH REVHUYDUTXHpLPSRUWDQWHFRQKHFHUEHPDVUHJUDVGH derivação e as derivadas de várias funções, estudadas no Capítulo 5, para determinar as primitivas. O que acabamos GHPHQFLRQDUQRVPRWLYDDVHJXLQWHGHÀQLomR

Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervaloI, se para todo xDI , tem-se

F'(x) f(x).

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 7.1 A funçãoF(x) x⁵

5 é uma primitiva da função f(x)x⁴, pois

F'(x)5x⁴

5 x⁴ f(x), ™xD°

Exemplo 7.2 As funções T(x) x⁵

5 9 , H(x) x⁵

5 <2 também são primitivas da função f(x)x⁴, poisT'(x)H'(x) f(x).

Nesta unidade, passaremos a nos preocupar com o teorema mais importante do cálculo diferencial, que é o Teorema Fundamental do Cálculo. É importante TXHYRFrFRPSUHHQGDHVWD temática antes de prosseguir seus estudos. Não esqueça TXHYRFrQmRHVWiVR]LQKR conte com o Sistema de

$FRPSDQKDPHQWRSDUD

auxiliar-lo nas suas dúvidas.

Exemplo 7.3 A função F(x)e

<3 é uma primitiva da função f(x) e^<3x, pois

F'(x) <3 = e^<3x

<3 e^<3x f(x),™xD°. Exemplo 7.4 A função F(x) x x

1

2 é uma primitiva da função f(x) 1

2 x , pois F'(x) 1

2x

1 2<1

1 2 = x^<

1

2 1

2= 1 x

1 2

1

2 x f(x),x0. Observação Seja I um intervalo em°. SeF:I A° é uma primitiva de

f :I A°, então para qualquer constante realk, a função G(x) dada por G(x)F(x)k é também uma primitiva def(x).

Se F,G:I A° são primitivas de f :I A°, então existe uma constante real k, tal queG(x)F(x)k, para todoxDI .

Exemplo 7.5 Sabemos que

senx ^{'cosx. Assim, F(x)senx} é uma primitiva da função f(x)cosx e toda primitiva da função

f(x)cosx é do tipo G(x)senxk parak D °.

Assim, G₁(x)senx10 , G₂(x)senx<50 e G₃(x)senx<3 4são todas primitivas da função f(x)cosx, pois

G₁^{`</sup>(x)G<sub>2</sub><sup>`}(x)G₃^`(x)cos x f(x).

E xe mp l o 7. 6 E n c o n t ra r u m a p r i m i t i v aF(x), d a f u n ç ã o f(x)2x³<4x² 5x<1, para todo xD°, que satisfaça a seguinte condiçãoF(1)4.

Resolução:3HODGH¿QLomRGHIXQomRSULPLWLYDWHPRVF'(x) f(x) para todox D °, assim, F(x)será uma função cuja derivada será a função f(x) dada. Logo,

F(x) 2

4x⁴<4x³ 3 5x²

2 <xk, pois

F'(x) 2

4u4x³<4u3x²

3 5u2x

2 <10

2x³<4x² 5x<1 f(x), ou seja,

F(x) 1

2x⁴<4x³ 3 5x²

2 <xk.

Como F(x)deve satisfazer a condiçãoF(1)4, vamos calcular o valor da constantek, fazendo x1 na funçãoF(x),

isto é,

F(1) 1

2

1 ^4<4

¹³

3 <5

1²

2 <1k4 e resolvendo temosk10

4 . Assim,

F(x) 1

2x⁴<4x³ 3 5x²

2 <x10 3 . Portanto,

F(x) 1

2x⁴<4x³ 3 5x²

2 <x13 3 , é uma função primitiva de

f(x)2x³<4x² 5x<1, que satisfaz condiçãoF(1)4.

Exemplo 7.7Encontrar uma primitivaF(x), da função f(x) 1

1 x² x³+2, que satisfaça a seguinte condiçãoF(0)2.

Resolução: Sabemos que F(x) é uma função cuja derivada é a função f(x) dada. Conforme visto no Capitulo 5, temos

d

dx

arc tgx ₁¹_x^{2 ou}

^{arc tgx '}₁¹_x^{2 .}

Logo,

F(x)arc tgxx⁴

4 2xk, pois,

F'(x)

arc tgx ^{' + £}_¤²^x₄^4¥_¦´^v(2x)'k'

1

1x² 4x³

4 20

= 1

1 x² x³2 f(x), ou seja,

F(x)arc tgxx⁴

4 2xk.

Como F(x)deve satisfazer a condiçãoF(0)2, com isto vamos calcular o valor da constante k fazendox0 na funçãoF(x), isto é,

F(x)arc tgx x⁴

4 2xk

‰ F(0)arc tg 00⁴

4 2u0k2

‰000k2 ‰ k2 Assim,

F(x)arc tg xx⁴

4 2x2 . Portanto,

F(x)arc tg xx⁴

4 2x2 é uma função primitiva de

f(x) 1

1x² x³+2 que satisfaz a condiçãoF(0)2.

Exemplo 7.8Encontrar uma primitivaF(x), da função

f(x)e^<3x x ,

que satisfaça a condiçãoF(0)1.

Resolução: Sabemos que F(x) será uma função cuja derivada

será a função f(x)dada, logo F(x) <e^<3x

3 2 3 x

3 2 k, pois,

F'(x) <e^<3x 3

£

¤²

¥

¦´

v

2 3 x

3

£ 2

¤²

¥

¦´ v

k <(<3)e^<3x

3 2

3u3 2 x

3 2<1

e^<3x x

1

2 e^<3x x f(x),

ou seja,

F(x) <e^<3x 3 2

3ux

3 2 k.

Como F(x) deve satisfazer a condiçãoF(0)1, com isto vamos calcular o valor da constantekfazendox0 na funçãoF(x), isto é,

F(x) <e^<3x 3 2

3 .x

3

2 k

‰ F(0) <e^{<3 . 0} 3 2

3 . 0

3

2 k 1

‰ <1 3 2

3u0k1

‰ <1

30k1

‰k11 3 4

3‰k 4 3

.

Assim,

F(x) <e^<3x 3 2

3x

3

2 4

3. Portanto, F(x) <e^<3x

3 2 3x

3

2 4

3, é uma função primitiva de f(x) e^-3x xque satisfaz a condiçãoF(0)1.

+PVGITCNKPFGſPKFC

Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito também muito importante é o de Integral. Exis- te uma estreita relação entre estas duas idéias. Assim, nesta seção, será introduzida a idéia de integral, mostrando sua relação com a derivada.

Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x)Cé chamada LQWHJUDOLQGHÀQLGD da função f(x) e é denotada por

f(x)dxF(x)C

0

onde

0

^<é chamado sinal de integração;

f(x) <é a função integrando;

dx ²DGLIHUHQFLDOTXHVHUYHSDUDLGHQWLÀFDUDYDULiYHOGH integração;

C – é a constante de integração.

/rVH,QWHJUDOLQGHÀQLGDGHf(x) em relação a x ou simplesmente integral de f(x) em relação ax.

2SURFHVVRTXHSHUPLWHHQFRQWUDUDLQWHJUDOLQGHÀQLGDGHXPD IXQomRpFKDPDGRintegração.

Observação'DGHÀQLomRGHLQWHJUDOLQGHÀQLGDWHPRVDVVHJXLQWHV observações:

(i)

0

f(x)dxF(x)C ‹ F'(x) f(x)^.

(ii)

0

f(x)dxrepresenta uma família de funções, isto é, a família ou o conjunto de todas as primitivas da função integrando.

(iii) d

dx

0

f(x)dx _dx^d

^F(x)C _dx^{d F(x)F'(x) f(x).}

Vejamos alguns casos, no exemplo a seguir.

Exemplo 7.9 (i) Se d

dx

senx ^{cosx então}

₀

^{cosx dxsenxC.} (ii) Se d

dx

x^{4 4x3 então}

0

^4x3dxx4+C.

(iii) Se d

dx

x ₂ ¹_x ^então

⁰

₂¹_x ^{dx xC.} (iv) Se d

dx

tg x ^{sec2x então}

₀

^{sec2x dx tgx C.} (v) Se d

dx

arctg x ₁¹_x^{2 então}

₀

₁¹_x^{2 dxarctgxC.} (vi) Se d

dx 3 5 x

5

£ 3

¤² ¥

¦´ x

2

3, então x

2

3 dx 3

5x

5

3C

0

^.

Observação Pelos exemplos acima, temos:

f(x)dxF(x)C

0

^‰_dx^d

0

^{f(x)dx f(x).}

Isto nos permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente das fórmulas para diferenciação.

Propriedades da integral indefinida

Sejam f(x) e g(x)IXQo}HVUHDLVGHÀQLGDVQRPHVPRGRPtQLRH k uma constante real. Então:

a)

0

k f(x)dxk

0

f(x) dx^.

b)

₀

f(x) g(x) ^dx

₀

^f(x)dx

₀

^g(x)dx. Algumas integrais imediatas

Daremos a seguir algumas fórmulas de integrais simples e imediatas.

(i)

0

dxxC^. (ii) xⁿdx xⁿ¹

x1C, n& <1

0

^.

(iii) dx

x lnx C

0

^.

(iv) a^xdx a^x

lna C, a0, a&1

0

^.

(v)

0

e^xdxe^x C^.

(vi)

0

senx dx <cosxC^. (vii)

0

cosx dxsenxC^. (viii)

0

tgx dxln secx C^. (ix)

0

cotgx dxln senx C^. (x)

0

secx duln secxtgx C^.

(xi)

0

cosecx dxln cosecx<cotgx C^. (xii)

0

secxtgx dxsecxC^.

(xiii)

0

cosecxcotgx dx <cosecxC^. (xiv)

0

sec²x dxtgxC^.

(xv)

0

cosec²x dx <cotgxC^. (xvi) dx

x² a² 1

aarctgx a C

0

^.

(xvii) dx x² <a²

0

_2a^{1 ln x}_x^<a_a ^{C, x2 a2.}

(xviii) dx x²a²

0

^{lnx x2 a2 C.}

(xix) dx x² <a²

0

^{lnx x2<a2 C.}

(xx) dx

2 < ² arcsenx

a C, x² a²

0

^.

(xxi) dx

x x²<a² 1

aarcsecx a C

0

^.

Observação Apesar de que não estudarmos as funções inversas trigo- nométricas, mas nas integrais (xvi), (xx) e (xxi) as respostas das inte- grais é em termos de funções inversas. Estas integrais foram colocadas aqui, apenas para cumprir a tabela. Para conhecimento do leitor:

arctgxtg^<1x, arcsenxsen^<1xearcsecxsec^<1x.

Usando as propriedades da integral e a tabela de integrais imediatas, vamos calcular, através de alguns exemplos, a integral de funções.

Exemplo 7.10Calcular

7x⁴sec²x

0

^dx.

Resolução: 'DVSURSULHGDGHVGDLQWHJUDOLQGHÀQLGDHGDWDEHODGH integrais imediatas, temos

7x⁴ sec²x

0

^dx

7

0

x⁴ dx

0

sec² x dx =7x⁴¹

41C₁tgxC₂ 7x⁵

5 tgxC₁C₂, onde C₁ e C₂ são constantes arbitrárias.

Como a soma C₁ + C₂pXPDQRYDFRQVWDQWHDUELWUiULDYRFr escreve C₁ + C₂ C e vem

7x⁵

5 tgx C₁ C₂ 7x⁵

5 tgx C. Portanto,

7x⁴sec²x

0

^{dx 7x}₅^{5 tgxC.}

Atenção:

Sempre que você tiver uma soma de duas ou mais integrais LQGHÀQLGDVHVFUHYDDSHQDV

Exemplo 7.11Calcular

3e^x 1

4x< senx

£

¤²

¥

0

¦´ ^dx.

Resolução: Das propriedades da integral, vem 3e^x 1

4 x<senx

£

¤²

¥

0

¦´ ^dx

0

^{3ex dx}

0

₄¹_x ^dx<

0

^{senx dx}

3 e^x dx 1

4 dx

0

x ^<

0

^{senx dx}

0

= 3 e^xdx1

4 dx

0

x

0

^<

0

^{senx dx}

3e^x 1

4lnx <(<cos x)C

3e^x 1

4lnx cosxC,

onde utilizamos os resultados da Tabela (v), (iii) e (vii), respecti- vamente.

Portanto, 3e^x 1

4 x<senx

£

¤²

¥

0

¦´ ^{dx=3ex 1}₄^{lnx cosxC.} Exemplo 7.12 Calcular

4e^x< senx cos²x 4

x⁵

£

¤²

¥

0

¦´ ^dx.

Resolução: Aplicando as propriedades da integral e como cos²xcosx.cosx, vem

4e^x< senx cos²x 4

x⁵

£

¤²

¥

0

¦´ ^dx

= 4e^x dx< senx

cos² x dx 4 x⁵

0

^dx

0 0

= 4

0

e^{x dx<}

0

_cosx^sen₌^x_cosx ^dx

0

⁴⁼_x^{15 dx}

= 4 e^x dx< senx cos x= 1

cos x

0

^dx4

0

^{x<5 dx}

0