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 .cos seni z

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(1)

LISTA COMPLEXOS – REPRESENTAÇÃO E RADICIAÇÃO - GABARITO

1) (MACK) A representação gráfica dos complexos x yi tais que

1 xyi 2

, onde x y 0 , define uma região de área:

a)  b) /2 c) 3/2 d) 2 e) 3/4

Solução. O módulo de um número representa uma distância. No caso dos complexos, o módulo de “z”

onde z = x + iy é calculado como a distância do afixo (x,y) no plano Argand-Gauss até a origem. A expressão algébrica é

zx2y2

. Interpretando esse módulo como o conjunto de pontos que distam a mesma medida da origem, conclui-se que trata-se de uma circunferência de centro na origem e raio

medindo

z

. Com essas considerações, temos:



 

 

2 2 2

2 2 2

2 2

1 2 1

1 x yi x y

y x yi yi x

x . As duas equações representam

respectivamente as regiões limitadas por uma circunferência de raio 1 e outra de raio 2. Ou seja, uma coroa circular. A restrição

xy0

exige que os pontos sejam tais que x y . A área vale a metade da diferença entre as áreas dos círculos:

 

2 3 2

) 1 2 . (

2 1 1

2

.

.

2 2 2 2

 

 

 

 

coroa coroa

A r

R

r R A

.

2) (ANGLO) Se 0   360, então o produto dos números u = 1 + i e v = cos   i. sen  será real e positivo se o valor de  for igual a:

a) 315 b) 225 c) 135 d) 90 e) 45

Solução. Escrevendo o complexo “u” na forma trigonométrica, temos:

i)

)º45 º45 .(cos 2 2

1 2 cos 1

2 1 1

1 2 2

isen sen u

u i u

 

 



.

ii) u . v 2 .(cos 45 º isen 45 º ).(cos isen ) 2 cos( 45 º ) 2 isen ( 45 º ) .

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

(2)

Para que seja real e positivo, a parte imaginária deverá ser nula e o ângulo deverá estar no 1º ou 2º quadrante.

º 315 º 45 0

º 45 0 ) º 45 ( 2 0 ) .

Im(uv   isen

  C  

 

.

3) Uma fórmula conhecida para calcular a área de um triângulo dado por coordenadas cartesianas no plano é

1 1 1 2 .

1

3 3

2 2

2 1

y x

y x

y x

A  , onde P(x

1

, y

1

), Q(x

2

, y

2

) e R(x

3

, y

3

) são os vértices do triângulo. Utilizando essa

informação, responda. As representações gráficas dos complexos 1 + i , (1 + i)², –1 e (1 – i)², com i² = –1, são vértices de um polígono de área:

a) 2 b) 1 c) 3/2 d) 3 e) 4

Solução. Pontos representados no plano nem sempre estão alinhados. Vamos estabelecer a condição de alinhamento entre três pontos. Observe a figura e os pontos

P, Q e R com suas coordenadas.

Observando ainda a semelhança dos triângulos formados, temos

1 3

1 3 1 2

1 2

y y

x x y y

x x

 

.

Desenvolvendo essa expressão, vem:

1 1 2 1 1 3 2 3 1 1 3 1 1 1 2 3

2

y x y x x y x y x y x y x y x y

x        .

Eliminando x

1

y

1

e segue

2

0

3 1 2 3 1 1 3 3 2 2

1

yx yx yx yx yx y

x . Uma forma de organização dessa equação pode ser feita

multiplicando cada termo pelo fator 1. Esse processo permite a representação de um determinante

matricial: 0

1 1 1 0

1 . 1

. 1

. 1

. 1

. 1

.

2 3

2 2

1 1 2

3 1 2 3 1 1 3 3 2 2

1

       

y x

y x

y x y

x y x y x y x y x y

x .

Caso os pontos não estejam alinhados, o determinante será diferente de zero. Caso as condições sobre a existência de um triângulo sejam satisfeitas, chega-se à fórmula exibida para a área de um triângulo conhecendo suas coordenadas. No caso do exercício temos os pontos:

i) 1  iP ( 1 , 1 ) ii)  1  i

2

 2 iP ( 0 , 2 ) iii)  1  P (  1 , 0 ) iv)  1  i

2

  2 iP ( 0 ,  2 ) Dividindo o quadrilátero em dois triângulos aplica-se a fórmula somando-se os resultados.

A1:  

2 ) 3 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( 2 1 1 1 0 1

1 2 0

1 1 1 2

1    

A2:  

2 ) 5 2 ( 1 ) 1 ( 0 ) 3 ( 2 1 1 1 1 1

1 2 0

1 0 1 2

1        

. Logo, a área será

2 4 8 2 5 2

3   

A

(3)

4) (MACK) No plano complexo, o conjunto dos pontos z = x + yi, tais que z 1 com x 0 e y 0 , determina uma figura cuja área é :

a)1 b) /4 c)/6 d) e) /2

Solução. De acordo com o exercício (1), a figura é a região limitada pela círculo de raio 1 considerando somente os valores positivos de “x” e “y”, logo o 1º quadrante. A região representa a quarta parte da

área:

4 4

) 1 ( 4

.

2

2

r

A .

5) Determine e represente geometricamente:

a) As raízes quartas da unidade. b) As raízes sextas da unidade.

Solução. Calcular as raízes da unidade significa calcular os complexos que satisfazem z

n

= 1.

a)  

 

 

 

 

 

4 2º0

1 1 º0

º0 cos.

1 1

4 4cos

4 4 4

 

k

z z isen w

w

isen z

z , onde “k” assume os valores 0, 1, 2 e 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

i i isen

isen z

k

isen isen

z k

i i isen

isen z

k

isen isen

z k

) 0 ( 2 1 3 2

cos 3 4 1

) 3 ( 2 º 0 4

) 3 ( 2 º cos 0 1 3

1 ) 0 1 ( 1 cos

4 1 ) 2 ( 2 º 0 4

) 2 ( 2 º cos 0 1 2

) 0 ( 2 1 cos 2

4 1 ) 1 ( 2 º 0 4

) 1 ( 2 º cos 0 1 1

1 ) 0 1 ( 1 º 0 º 0 cos 4 1

) 0 ( 2 º 0 4

) 0 ( 2 º cos 0 1 0

4 3 2

1

 

.

b)  

 

 

 

 

 

6 2º0

1 1 º0

º0 cos.

1 1

6 6cos

6 6 6

 

k

z z isen w

w

isen z

z , onde “k” assume 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

   

 

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

i i

isen isen

z k

i i

isen isen

z k

isen isen

z k

i i

isen isen

z k

i i

isen isen

z k

isen isen

z k

2 3 2 1 2

3 2 1 1 3 5 3

cos 5 6 1

) 5 ( 2 º 0 6

) 5 ( 2 º cos 0 1 5

2 3 2 1 2

3 2 1 1 3 4 3

cos 4 6 1

) 4 ( 2 º 0 6

) 4 ( 2 º cos 0 1 4

1 ) 0 1 ( 1 cos

6 1 ) 3 ( 2 º 0 6

) 3 ( 2 º cos 0 1 3

2 3 2 1 2

3 2 1 1 3 2 3

cos 2 6 1

) 2 ( 2 º 0 6

) 2 ( 2 º cos 0 1 2

2 3 2 1 2

3 2 1 1 3 cos 3

6 1 ) 1 ( 2 º 0 6

) 1 ( 2 º cos 0 1 1

1 ) 0 1 ( 1 º 0 º 0 cos 6 1

) 0 ( 2 º 0 6

) 0 ( 2 º cos 0 1 0

6 5 4 3 2

1

 

.

Repare que as raízes z = 1 e z = - 1 repetiram-se em ambos os cálculos.

Representação das soluções

OBS: Embora as escalas não estejam ajustadas, são polígonos regulares: quadrado e hexágono.

6) Determine todos os números complexos tais que:

a) z

3

= 8 b) z

4

= -1 c) z

3

= -27i d) z

4

= 2 .( 3  1 ) Solução. Em cada caso aplicaremos a fórmula da radiciação.

a) O afixo está sobre o eixo real (w = 8). Logo, o argumento é 0º.

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

   

 

 

   

3 2 1

3 2 2 1 3 4 3

cos 4 3 2

) 2 ( 2 º 0 3

) 2 ( 2 º cos 0 8 2

3 2 1

3 2 2 1 3 2 3

cos 2 3 2

) 1 ( 2 º 0 3

) 1 ( 2 º cos 0 8 1

2 ) 0 1 ( 2 º 0 º 0 cos 3 2

) 0 ( 2 º 0 3

) 0 ( 2 º cos 0 8 0

3 3 2 3

3 1

i i

isen isen

z k

i i

isen isen

z k

isen isen

z k

b) O afixo está sobre o eixo real (w = - 1). Logo, o argumento é π.

(5)

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

   

2 2 2 1 2

2 2

1 2 4 7 4

cos 7 4 1

) 3 ( 2 4

) 3 ( cos 2 1 3

2 2 2 1 2

2 2

1 2 4 5 4

cos 5 4 1

) 2 ( 2 4

) 2 ( cos 2 1 2

2 2 2 1 2

2 2

1 2 4 3 4

cos 3 4 1

) 1 ( 2 4

) 1 ( cos 2 1 1

2 2 2 1 2

2 2

1 2 4 cos 4

4 1 ) 0 ( 2 4

) 0 ( cos 2 1 0

4 3 2

1

i i

isen isen

z k

i i

isen isen

z k

i i

isen isen

z k

i i

isen isen

z k

c) O afixo está sobre o eixo imaginário (w = - 27i). Logo, o argumento é π/2.

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

i isen

isen z

k

i isen

isen z

k

i isen

isen z

k

2 3 3 2

cos 3 3 3

) 2 ( 2 2 / 3

) 2 ( 2 2 cos / 27 2

3 3 6 3

5 6

cos 5 3 3

) 1 ( 2 2 / 3

) 1 ( 2 2 cos / 27 1

3 3 6 3

cos 6 3 3

) 0 ( 2 2 / 3

) 0 ( 2 2 cos / 27 0

3 3

3 2

3 1

d) O afixo está sobre o eixo real (w = 2 ( 3  1 ) ). Logo, o argumento é 0º.

   

   

   

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

1 3 4 2

) 3 ( 2 º 0 4

) 3 ( 2 º cos 0 1 3 2 3

1 3 4 2

) 2 ( 2 º 0 4

) 2 ( 2 º cos 0 1 3 2 2

1 3 4 2

) 1 ( 2 º 0 4

) 1 ( 2 º cos 0 1 3 2 1

1 3 4 2

) 0 ( 2 º 0 4

) 0 ( 2 º cos 0 1 3 2 0

4 3 2

1

i isen

z k

isen z

k

i isen

z k

isen z

k

7) Os afixos dos complexos 2 . cis  e

6 . 7

2 

cis são dois vértices consecutivos de um polígono regular com o centro na origem do referencial .

a) De que polígono se trata?

Solução. Se os vértices são consecutivos, o ângulo entre esses afixos representa a fração de 360º do ângulo central.

i) 2 . cis 2 (cos isen ) 2 ( 1 0 ) 2 . Ângulo de 180º. ii)

) 3 ( 2 2

1 2 2 3 6 ) 7 6

(cos 7 6 2

. 7

2 cis isen i      i

 

  

  

. Ângulo de 210º.

A diferença entre esses ângulos é de 30º. Ou seja, 30º = 360º ÷ 12. Logo o polígono possui 12 lados. É um

dodecágono.

(6)

b) Indique dois vértices do polígono, diferentes dos dados, de modo a que um esteja no segundo quadrante e outro no quarto quadrante.

Solução. Para a escolha procura-se um múltiplo de 30º no 2º quadrante. Por exemplo, 120º e o afixo será

3 2 1

3 2 2 1 6 4 6

cos 4 6 2

. 4

2 cis isen i      i

 

  

 

 

 

  

; para o 4º quadrante pode ser escolhido

330º e o afixo seria 1 3

2 3 2 2 1 6 11 6

cos 11 6 2

. 11

2 cis isen i     i

 

 

 

 

 

  

 .

8) Seja z  ( 1  3 )  ( 3  1 ) i . Mostre que z

12

é um número real.

Solução. Este exercício apresenta um grau de complexidade pois não é visível o argumento na forma trigonométrica de “z”. Calculando z

2

, vem:

i)      

    z i

i z

i i

i z

4 3 4 3

3 2 1 1 3 2 3 3 2 1

) 1 3 ( ) 1 3 ).(

3 1 ( . 2 ) 3 1 ( ) 1 3 ( ) 3 1 (

2 2

2 2 2 2

ii)  

º 2 60

1 8 4 2

3 8

3 cos 4

8 64 16 48 4

3 4 4

3

4 2 2 2

2

sen

z i z

.

iii) z

12

   z

2 6

  8  cos 60 º  isen 60 º  

6

 8

6

 cos 360 º  isen 360 º   262144 ( 1  i . 0 )  262144  (Re al ) . 9) Considere a equação z

4

z

3

 2 z

2

z  1  0 .

a) Verifique que z = i e seu conjugado são soluções da equação.

Solução. Para que “i” e “- i” sejam raízes, basta substituir esses valores na equação e verificar que o resultado é nulo.

i)   i

4

   i

3

 2   i

2

   i  1  1  (  i )  2 (  1 )  i  1  1  i  2  i  1  0 . ii)    i

4

    i

3

 2    i

2

    i  1  1  ( i )  2 (  1 )  i  1  1  i  2  i  1  0 . b) Sabendo que as outras soluções são

3 cis

z  e seu conjugado, expresse a forma algébrica destes números.

Solução. Escrevendo as formas algébricas, temos:

2 3 2 1 i z   e

2 3 2 1 i

z   .

10) Encontre as raízes quadradas de

2 3 2 1  i

 .

Solução. Considerando o complexo mostrado como “w” e escrevendo sua forma trigonométrica, o exercício se resume em encontrar as soluções de z

2

= w.

i)

3 2 3

cos 2 2

3 1 2 3 2

1 1

2 1 cos

4 1 3 1 2

3 2

1 2

3 2

1

2 2

 

sen isen

w i

w

 

 

 

 

 

 

 

  

.

(7)

ii)

 

 

 

 

 

 

 

2 3 2 2 2 cos 3 2 2 ) cos 3 2 3 (cos 2 1

2    

k i k isen z

w w z

, k variando em 0 e 1.

iv)

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

2 3 2 1 3

4 3

cos 4 2

)1 ( 2 3 / 2 2

)1 ( 2 3 / cos 2 1

2 3 2 1 3 cos 3

2 ) 0 ( 2 3 / 2 2

) 0 ( 2 3 / cos 2 0

2 1

i isen

isen z

k

i isen

isen z

k

.

Referências

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