LISTA COMPLEXOS – REPRESENTAÇÃO E RADICIAÇÃO - GABARITO
1) (MACK) A representação gráfica dos complexos x yi tais que
1 xyi 2, onde x y 0 , define uma região de área:
a) b) /2 c) 3/2 d) 2 e) 3/4
Solução. O módulo de um número representa uma distância. No caso dos complexos, o módulo de “z”
onde z = x + iy é calculado como a distância do afixo (x,y) no plano Argand-Gauss até a origem. A expressão algébrica é
z x2 y2. Interpretando esse módulo como o conjunto de pontos que distam a mesma medida da origem, conclui-se que trata-se de uma circunferência de centro na origem e raio
medindo
z
. Com essas considerações, temos:
2 2 2
2 2 2
2 2
1 2 1
1 x yi x y
y x yi yi x
x . As duas equações representam
respectivamente as regiões limitadas por uma circunferência de raio 1 e outra de raio 2. Ou seja, uma coroa circular. A restrição
xy0exige que os pontos sejam tais que x y . A área vale a metade da diferença entre as áreas dos círculos:
2 3 2
) 1 2 . (
2 1 1
2
.
.
2 2 2 2
coroa coroa
A r
R
r R A
.
2) (ANGLO) Se 0 360, então o produto dos números u = 1 + i e v = cos i. sen será real e positivo se o valor de for igual a:
a) 315 b) 225 c) 135 d) 90 e) 45
Solução. Escrevendo o complexo “u” na forma trigonométrica, temos:
i)
)º45 º45 .(cos 2 2
1 2 cos 1
2 1 1
1 2 2
isen sen u
u i u
.
ii) u . v 2 .(cos 45 º isen 45 º ) .(cos isen ) 2 cos( 45 º ) 2 isen ( 45 º ) .
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
Para que seja real e positivo, a parte imaginária deverá ser nula e o ângulo deverá estar no 1º ou 2º quadrante.
º 315 º 45 0
º 45 0 ) º 45 ( 2 0 ) .
Im(uv isen
C
.
3) Uma fórmula conhecida para calcular a área de um triângulo dado por coordenadas cartesianas no plano é
1 1 1 2 .
1
3 3
2 2
2 1
y x
y x
y x
A , onde P(x
1, y
1), Q(x
2, y
2) e R(x
3, y
3) são os vértices do triângulo. Utilizando essa
informação, responda. As representações gráficas dos complexos 1 + i , (1 + i)², –1 e (1 – i)², com i² = –1, são vértices de um polígono de área:
a) 2 b) 1 c) 3/2 d) 3 e) 4
Solução. Pontos representados no plano nem sempre estão alinhados. Vamos estabelecer a condição de alinhamento entre três pontos. Observe a figura e os pontos
P, Q e R com suas coordenadas.
Observando ainda a semelhança dos triângulos formados, temos
1 3
1 3 1 2
1 2
y y
x x y y
x x
.
Desenvolvendo essa expressão, vem:
1 1 2 1 1 3 2 3 1 1 3 1 1 1 2 3
2
y x y x x y x y x y x y x y x y
x .
Eliminando x
1y
1e segue
2
0
3 1 2 3 1 1 3 3 2 2
1
y x y x y x y x y x y
x . Uma forma de organização dessa equação pode ser feita
multiplicando cada termo pelo fator 1. Esse processo permite a representação de um determinante
matricial: 0
1 1 1 0
1 . 1
. 1
. 1
. 1
. 1
.
2 3
2 2
1 1 2
3 1 2 3 1 1 3 3 2 2
1
y x
y x
y x y
x y x y x y x y x y
x .
Caso os pontos não estejam alinhados, o determinante será diferente de zero. Caso as condições sobre a existência de um triângulo sejam satisfeitas, chega-se à fórmula exibida para a área de um triângulo conhecendo suas coordenadas. No caso do exercício temos os pontos:
i) 1 i P ( 1 , 1 ) ii) 1 i
2 2 i P ( 0 , 2 ) iii) 1 P ( 1 , 0 ) iv) 1 i
2 2 i P ( 0 , 2 ) Dividindo o quadrilátero em dois triângulos aplica-se a fórmula somando-se os resultados.
A1:
2 ) 3 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( 2 1 1 1 0 1
1 2 0
1 1 1 2
1
A2:
2 ) 5 2 ( 1 ) 1 ( 0 ) 3 ( 2 1 1 1 1 1
1 2 0
1 0 1 2
1
. Logo, a área será
2 4 8 2 5 2
3
A
4) (MACK) No plano complexo, o conjunto dos pontos z = x + yi, tais que z 1 com x 0 e y 0 , determina uma figura cuja área é :
a)1 b) /4 c)/6 d) e) /2
Solução. De acordo com o exercício (1), a figura é a região limitada pela círculo de raio 1 considerando somente os valores positivos de “x” e “y”, logo o 1º quadrante. A região representa a quarta parte da
área:
4 4
) 1 ( 4
.
2
2
r
A .
5) Determine e represente geometricamente:
a) As raízes quartas da unidade. b) As raízes sextas da unidade.
Solução. Calcular as raízes da unidade significa calcular os complexos que satisfazem z
n= 1.
a)
4 2º0
1 1 º0
º0 cos.
1 1
4 4cos
4 4 4
k
z z isen w
w
isen z
z , onde “k” assume os valores 0, 1, 2 e 3.
i i isen
isen z
k
isen isen
z k
i i isen
isen z
k
isen isen
z k
) 0 ( 2 1 3 2
cos 3 4 1
) 3 ( 2 º 0 4
) 3 ( 2 º cos 0 1 3
1 ) 0 1 ( 1 cos
4 1 ) 2 ( 2 º 0 4
) 2 ( 2 º cos 0 1 2
) 0 ( 2 1 cos 2
4 1 ) 1 ( 2 º 0 4
) 1 ( 2 º cos 0 1 1
1 ) 0 1 ( 1 º 0 º 0 cos 4 1
) 0 ( 2 º 0 4
) 0 ( 2 º cos 0 1 0
4 3 2
1
.
b)
6 2º0
1 1 º0
º0 cos.
1 1
6 6cos
6 6 6
k
z z isen w
w
isen z
z , onde “k” assume 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
i i
isen isen
z k
i i
isen isen
z k
isen isen
z k
i i
isen isen
z k
i i
isen isen
z k
isen isen
z k
2 3 2 1 2
3 2 1 1 3 5 3
cos 5 6 1
) 5 ( 2 º 0 6
) 5 ( 2 º cos 0 1 5
2 3 2 1 2
3 2 1 1 3 4 3
cos 4 6 1
) 4 ( 2 º 0 6
) 4 ( 2 º cos 0 1 4
1 ) 0 1 ( 1 cos
6 1 ) 3 ( 2 º 0 6
) 3 ( 2 º cos 0 1 3
2 3 2 1 2
3 2 1 1 3 2 3
cos 2 6 1
) 2 ( 2 º 0 6
) 2 ( 2 º cos 0 1 2
2 3 2 1 2
3 2 1 1 3 cos 3
6 1 ) 1 ( 2 º 0 6
) 1 ( 2 º cos 0 1 1
1 ) 0 1 ( 1 º 0 º 0 cos 6 1
) 0 ( 2 º 0 6
) 0 ( 2 º cos 0 1 0
6 5 4 3 2
1
.
Repare que as raízes z = 1 e z = - 1 repetiram-se em ambos os cálculos.
Representação das soluções
OBS: Embora as escalas não estejam ajustadas, são polígonos regulares: quadrado e hexágono.
6) Determine todos os números complexos tais que:
a) z
3= 8 b) z
4= -1 c) z
3= -27i d) z
4= 2 .( 3 1 ) Solução. Em cada caso aplicaremos a fórmula da radiciação.
a) O afixo está sobre o eixo real (w = 8). Logo, o argumento é 0º.
3 2 1
3 2 2 1 3 4 3
cos 4 3 2
) 2 ( 2 º 0 3
) 2 ( 2 º cos 0 8 2
3 2 1
3 2 2 1 3 2 3
cos 2 3 2
) 1 ( 2 º 0 3
) 1 ( 2 º cos 0 8 1
2 ) 0 1 ( 2 º 0 º 0 cos 3 2
) 0 ( 2 º 0 3
) 0 ( 2 º cos 0 8 0
3 3 2 3
3 1
i i
isen isen
z k
i i
isen isen
z k
isen isen
z k
b) O afixo está sobre o eixo real (w = - 1). Logo, o argumento é π.
2 2 2 1 2
2 2
1 2 4 7 4
cos 7 4 1
) 3 ( 2 4
) 3 ( cos 2 1 3
2 2 2 1 2
2 2
1 2 4 5 4
cos 5 4 1
) 2 ( 2 4
) 2 ( cos 2 1 2
2 2 2 1 2
2 2
1 2 4 3 4
cos 3 4 1
) 1 ( 2 4
) 1 ( cos 2 1 1
2 2 2 1 2
2 2
1 2 4 cos 4
4 1 ) 0 ( 2 4
) 0 ( cos 2 1 0
4 3 2
1
i i
isen isen
z k
i i
isen isen
z k
i i
isen isen
z k
i i
isen isen
z k
c) O afixo está sobre o eixo imaginário (w = - 27i). Logo, o argumento é π/2.
i isen
isen z
k
i isen
isen z
k
i isen
isen z
k
2 3 3 2
cos 3 3 3
) 2 ( 2 2 / 3
) 2 ( 2 2 cos / 27 2
3 3 6 3
5 6
cos 5 3 3
) 1 ( 2 2 / 3
) 1 ( 2 2 cos / 27 1
3 3 6 3
cos 6 3 3
) 0 ( 2 2 / 3
) 0 ( 2 2 cos / 27 0
3 3
3 2
3 1
d) O afixo está sobre o eixo real (w = 2 ( 3 1 ) ). Logo, o argumento é 0º.
1 3 4 2
) 3 ( 2 º 0 4
) 3 ( 2 º cos 0 1 3 2 3
1 3 4 2
) 2 ( 2 º 0 4
) 2 ( 2 º cos 0 1 3 2 2
1 3 4 2
) 1 ( 2 º 0 4
) 1 ( 2 º cos 0 1 3 2 1
1 3 4 2
) 0 ( 2 º 0 4
) 0 ( 2 º cos 0 1 3 2 0
4 3 2
1
i isen
z k
isen z
k
i isen
z k
isen z
k
7) Os afixos dos complexos 2 . cis e
6 . 7
2
cis são dois vértices consecutivos de um polígono regular com o centro na origem do referencial .
a) De que polígono se trata?
Solução. Se os vértices são consecutivos, o ângulo entre esses afixos representa a fração de 360º do ângulo central.
i) 2 . cis 2 (cos isen ) 2 ( 1 0 ) 2 . Ângulo de 180º. ii)
) 3 ( 2 2
1 2 2 3 6 ) 7 6
(cos 7 6 2
. 7
2 cis isen i i
. Ângulo de 210º.
A diferença entre esses ângulos é de 30º. Ou seja, 30º = 360º ÷ 12. Logo o polígono possui 12 lados. É um
dodecágono.
b) Indique dois vértices do polígono, diferentes dos dados, de modo a que um esteja no segundo quadrante e outro no quarto quadrante.
Solução. Para a escolha procura-se um múltiplo de 30º no 2º quadrante. Por exemplo, 120º e o afixo será
3 2 1
3 2 2 1 6 4 6
cos 4 6 2
. 4
2 cis isen i i
; para o 4º quadrante pode ser escolhido
330º e o afixo seria 1 3
2 3 2 2 1 6 11 6
cos 11 6 2
. 11
2 cis isen i i
.
8) Seja z ( 1 3 ) ( 3 1 ) i . Mostre que z
12é um número real.
Solução. Este exercício apresenta um grau de complexidade pois não é visível o argumento na forma trigonométrica de “z”. Calculando z
2, vem:
i)
z i
i z
i i
i z
4 3 4 3
3 2 1 1 3 2 3 3 2 1
) 1 3 ( ) 1 3 ).(
3 1 ( . 2 ) 3 1 ( ) 1 3 ( ) 3 1 (
2 2
2 2 2 2
ii)
º 2 60
1 8 4 2
3 8
3 cos 4
8 64 16 48 4
3 4 4
3
4 2 2 2
2
senz i z