UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO CENTRO DE ENGENHARIAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO

CENTRO DE ENGENHARIAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

DAIANE OLIVEIRA DA SILVA

CALIBRAÇÃO DA RUGOSIDADE ABSOLUTA DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA USANDO O MÉTODO ITERATIVO DO GRADIENTE HIDRÁULICO

ALTERNATIVO - MIGHA

MOSSORÓ 2017

DAIANE OLIVEIRA DA SILVA

CALIBRAÇÃO DA RUGOSIDADE ABSOLUTA DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA USANDO O MÉTODO ITERATIVO DO GRADIENTE HIDRÁULICO

ALTERNATIVO - MIGHA

Monografia apresentada ao Conselho do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal Rural do Semi-Árido, como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. Valder Adriano Gomes de Matos Rocha

MOSSORÓ 2017

© Todos os direitos estão reservados a Universidade Federal Rural do Semi-Árido. O conteúdo desta obra é de inteira responsabilidade do (a) autor (a), sendo o mesmo, passível de sanções administrativas ou penais, caso sejam infringidas as leis que regulamentam a Propriedade Intelectual, respectivamente, Patentes: Lei n° 9.279/1996 e Direitos Autorais: Lei n°

9.610/1998. O conteúdo desta obra tomar-se-á de domínio público após a data de defesa e homologação da sua respectiva ata. A mesma poderá servir de base literária para novas pesquisas, desde que a obra e seu (a) respectivo (a) autor (a) sejam devidamente citados e mencionados os seus créditos bibliográficos.

O722c Oliveira da Silva, Daiane.

CALIBRAÇÃO DA RUGOSIDADE ABSOLUTA DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA USANDO O MÉTODO ITERATIVO DO GRADIENTE HIDRÁULICO ALTERNATIVO - MIGHA / Daiane Oliveira da Silva. - 2017.

53 f. : il.

Orientador: Valder Adriano Gomes de Matos Rocha .

Monografia (graduação) - Universidade Federal Rural do Semi-árido, Curso de , 2017.

1. Calibração. 2. Fórmula Universal. 3.

Hidráulica. 4. Rugosidade absoluta. 5.

Abastecimento de água. I. Gomes de Matos Rocha , Valder Adriano , orient. II. Título.

O serviço de Geração Automática de Ficha Catalográfica para Trabalhos de Conclusão de Curso (TCC´s) foi desenvolvido pelo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo (USP) e gentilmente cedido para o Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal Rural do Semi-Árido (SISBI-UFERSA), sendo customizado pela Superintendência de Tecnologia da Informação e Comunicação (SUTIC) sob orientação dos bibliotecários da instituição para ser adaptado às necessidades dos alunos dos Cursos de Graduação e Programas de Pós-Graduação da Universidade.

DAIANE OLIVEIRA DA SILVA

CALIBRAÇÃO DA RUGOSIDADE ABSOLUTA DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA USANDO O MÉTODO ITERATIVO DO GRADIENTE HIDRÁULICO

ALTERNATIVO - MIGHA

Monografia apresentada ao Conselho do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal Rural do Semi-Árido, como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, quero agradecer a Deus, que sempre está presente em minha vida, me dando forças para continuar orientando-me em minhas decisões e sempre fornecendo a sabedoria necessária para alcançar os meus objetivos.

Aos meus pais, Rosângela da Oliveira da Silva e Francisco De Assis da Silva que sempre contribuíram para minha formação pessoal e também profissional.

À minha avó Maria do Socorro da Silva pela paciência, dedicação, ensinamentos e orações feitas a mim.

Aos meus familiares, que sempre me apoiaram.

Ao meu orientador, o professor Valder Adriano Gomes de Matos, pela orientação, dedicação, disponibilidade e sugestões para a execução deste trabalho.

Aos meus amigos, que sempre me deram força e apoio para prosseguir.

A todos os docentes do curso de Engenharia Civil.

A todos os meus colegas do curso de Engenharia Civil.

A todos que de alguma forma ou de outra contribuíram para a realização deste trabalho.

RESUMO

A rugosidade absoluta é um dos principais parâmetros que interferem na perda de carga e que apresentam maior grau de incerteza na sua determinação em virtude de sua característica dinâmica, devido às incrustações ou corrosão nas tubulações. As técnicas de calibração foram desenvolvidas com a finalidade de amenizar os erros presentes nos dados observados em campo, ajustando aos valores prognosticados do modelo e combinando tais valores com o comportamento real da rede hidráulica.

Porém, a calibração efetuada de modo incorreto induz a soluções errôneas dos parâmetros envolvidos, colaborando para um prognóstico ineficaz do comportamento dos sistemas de distribuição de água. Neste trabalho, uma rotina computacional é desenvolvida para calibração do parâmetro rugosidade absoluta de Darcy-Weisback das tubulações de redes de distribuição utilizando o MIGHA – Método iterativo de gradiente hidráulico alternativo, onde a cada iteração o MIGHA corrige a rugosidade absoluta a ser calibrada. O estudo, foi realizado em uma rede hipotética, onde são considerados dois cenários de consumo de rede diferentes.

Palavras-chave: Calibração, fórmula universal, hidráulica, rugosidade absoluta, abastecimento de água.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 4.1: Fluxograma do MIGHA na calibração de coeficientes de rugosidade ... 34 Figura 4.2: Rede exemplo utilizada ... 36 Figura 4.3: Rede exemplo inserida no EPANET 2.0 ... 38

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1: Cotas topográficas dos nós da rede ... 37

Tabela 4.2: Características físicas das tubulações da rede exemplo ... 37

Tabela 5.1: Cenários de demanda em cada rede ... 39

Tabela 5.2: Pressões reais para os dois cenários de demandas da rede ... 39

Tabela 5.3: Rugosidades absoluta calculadas pelo programa utilizando o MIGHA-C para o cenário 1. ... 41

Tabela 5.4: Rugosidades absoluta calculadas pelo programa utilizando o MIGHA-C para o cenário 2. ... 41

Tabela 5.5: Média das rugosidades médias obtidas dos dois cenários calibrados pelo MIGHA- C. ... 43

Tabela 5.6: Comparativo entre pressões observadas e simuladas com as médias das rugosidades absolutas calibradas utilizando o MIGHA-C no cenário 1. ... 44

Tabela 5.7: Comparativo entre pressões observadas e simuladas com as médias das rugosidades absolutas calibradas utilizando o MIGHA-C no cenário 2. ... 44

Tabela 5.8: Características físicas da rede hipotética utilizada por ROCHA (2008). ... 46

Tabela 5.9: Demandas nodais para os cenários estudados. ... 46

Tabela 5.10: Pressões reais para os dois cenários de demandas da rede. ... 47

Tabela 5.11: Comparativo entre pressões observadas e calculadas com as médias das rugosidades absolutas e coeficientes de rugosidade para o cenário 1. ... 47

Tabela 5.12: Comparativo entre pressões observadas e calculadas com as médias das rugosidades absolutas e coeficientes de rugosidade para o cenário 2. ... 48

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 5.1: Diferença entre a rugosidade absoluta média e real. ... 42

Gráfico 5.2: Diferença entre a rugosidade absoluta média e real. ... 42

Gráfico 5.3: Diferença entre a rugosidade absoluta média ε calculada e real. ... 43

Gráfico 5.4:Diferença entre pressão observada e calculada (m). ... 45

Gráfico 5.5:Diferença entre pressão observada e calculada (m). ... 45

Gráfico 5.6: Diferença entre pressão observada e calculada (m). ... 48

Gráfico 5.7: Diferença entre pressão observada e calculada (m). ... 49

LISTA DE SÍMBOLOS

[L] – Unidade de comprimento;

[M] – Unidade de massa;

[T] – Unidade de tempo;

ϕ – ângulo formado pelos vetores do gradiente hidráulico observado e calculado;

∇hcalc – gradiente hidráulico calculado;

∇hobs – gradiente hidráulico observado;

𝜕𝐹/ 𝜕𝑇 - Derivada da função objetivo;

|∇h|- Módulo do gradiente hidráulico;

A – Matriz Jacobiana;

Aij – Elementos da matriz Jacobiana;

C – Coeficiente de rugosidade de Hazen-Williams [L^0,3676T^-1];

Ci – demanda do nó i [L³T^-1];

D – Diâmetro da tubulação [L];

E – Erro;

f – Fator de atrito [adimensional];

F – Vetor de balanço de massa acrescido de um fator de correção de vazão;

F.O – Função objetivo;

h – Carga hidráulica [L];

H – Vetor de incógnitas em termos de cotas piezométricas;

h^calc – carga hidráulica calculada [L];

h^obs – carga hidráulica observada [L];

J – Perda de carga unitária [adimensional];

Jf – Conjunto de nós com carga hidráulica constante;

Ji – Conjunto de nós conectados ao nó i;

K – Condutividade hidráulica [LT-1];

L – Comprimento do trecho [L];

m – Coeficiente de perda de carga localizada [L];

n – Expoente da formulação perda de carga x vazão;

P – Pressão [ML^-1T^-2];

Q – Vazão [L³T^-1];

Qij – Vazão de chegada no nó I pelo tubo j [L³T^-1];

r – Termo de perda de carga que depende da formulação utilizada;

t – Tempo [T];

T – Transmissividade [L2T^-1];

v – Velocidade média [LT-1];

xij – Inverso da derivada da perda de carga total trecho entre os nós i e j [TL-2];

yij – Fator de correção de vazão dado para tubulações [L3T-1];

Z – Energia potencial [L], cota topográfica [L];

𝜕 – Derivada parcial;

Δh – Perda de carga [L];

𝑘 – Coeficiente de decaimento do cloro;

𝜀

– Rugosidade Absoluta [L];

 – Fator de comprimento de passo;

Σ – Somatório;

cos – Cosseno;

Subscritos

i – Nó, índice de vetor e matriz;

j – Nó, tubo;

mín – Mínimo;

máx - Máximo;

LISTA DE ABREVIAÇÕES MIGH – Método iterativo de gradiente hidráulico;

MIGHA – Método iterativo de gradiente hidráulico alternativo;

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ... 13

2. MÉTODO DE PESQUISA ... 15

2.1. Questão de pesquisa ... 15

2.2. Objetivos do trabalho ... 15

2.2.1. Objetivo principal ... 15

2.2.2. Objetivos secundários ... 15

2.3. Premissa ... 16

2.4. Limitações ... 16

2.5. Delineamento ... 17

3. REFERENCIAL TEÓRICO ... 18

3.1. Calibração de sistemas de distribuição de água ... 18

3.2. Métodos de calibração ... 19

3.2.1. Métodos Iterativos ... 19

3.2.2. Métodos Explícitos... 20

3.2.3. Métodos Implícitos ... 22

3.3. MIGHA ... 23

3.3.1. MIGHA Originalmente Utilizado ... 23

3.3.2. MIGHA adaptado para a calibração de coeficientes de rugosidade de redes de distribuição de água ... 26

3.3.3. MIGHA adaptado para a calibração do coeficiente de decaimento do cloro (Kw) em redes de abastecimento de água ... 27

3.3.4. MIGHA adaptado para a avaliação de calibração de redes hidráulicas aplicado a escoamento transiente ... 27

4. METODOLOGIA DA PESQUISA ... 29

4.1. MIGHA aplicado na calibração da rugosidade absoluta da rede de distribuição de água. ... 31

4.2. O simulador EPANET ... 32

4.3. Rede exemplo ... 36

4.4. Análise e precisão da calibração ... 38

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ... 39

5.1. Influência das iterações na rede observada ... 40

5.2. Comparação com o MIGHA adaptado para a calibração de coeficientes de rugosidade. ... 45

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS... 50

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 51

1. INTRODUÇÃO

O aumento populacional combinado ao comportamento despreocupado do homem quanto à preservação do meio ambiente levou a uma insuficiência de recursos naturais. A água, um recurso básico à sobrevivência humana está sendo afetado por esses descuidos.

Com base na conscientização de que a água é um recurso natural limitado, a segurança quanto à garantia do atendimento às demandas atuais e futuras se faz incontestavelmente necessária.

É sabido que apesar dos esforços de algumas companhias de água no sentido de oferecerem melhores serviços, algumas redes de abastecimento de água não possuem controle de perdas efetivas, e os dados cadastrais não são fiéis, se tornando evidente a necessidade de atualização do setor de abastecimento de água diante das exigências impostas pela sociedade atual, movida pelos processos de democratização e conscientização ecológica.

Contudo, para que o Sistema de Abastecimento de Água (SAA) seja operado com certo nível de confiança, é necessário que se conheçam as características físicas das tubulações que compõem o sistema de distribuição de água. Essa acaba se tornando uma das dificuldades ligadas à operação de redes hidráulicas, visto que muitas companhias possuem sequer as informações sobre diâmetro, material e extensão das tubulações que fazem parte do sistema utilizado.

Quando redes hidráulicas estão em funcionamento já a um certo tempo, algumas de suas características físicas modificam-se com o tempo, é o caso das rugosidades e consequentemente, dos fatores de atrito dos trechos das redes. Essa incerteza ou desconhecimento faz com que não seja possível simular o comportamento hidráulico da rede com precisão, assim, obtendo respostas incertas ou incorretas para as vazões nos trechos e pressões nos nós.

Assim deve-se lançar mão de um procedimento inverso, de onde a partir da medição de pressões possam se obter o parâmetro desconhecido, que no caso é a rugosidade absoluta dos trechos da rede.

As técnicas de calibração foram desenvolvidas com a finalidade de amenizar os erros presentes nos dados observados em campo, ajustando aos valores prognosticados do modelo e combinando tais valores com o comportamento real da rede hidráulica. Porém, a calibração efetuada de modo incorreto induz a soluções

errôneas dos parâmetros envolvidos, colaborando para um prognóstico ineficaz do comportamento dos sistemas de distribuição de água.

2. MÉTODO DE PESQUISA

2.1. Questão de pesquisa

A rugosidade é um dos principais parâmetros que interferem na perda de carga e que apresentam maior grau de incerteza na sua determinação em virtude de sua característica dinâmica, devido a incrustações ou corrosão nas tubulações. Desse modo, tem-se uma alteração do comportamento inicial da rede, ocasionando a necessidade de uma atualização no modelo hidráulico a fim de possibilitar o seu uso na operação.

Surge assim, a necessidade de calibração do sistema, visando o ajuste dos parâmetros da rede, já que determiná-los diretamente se torna uma tarefa difícil, cara e ineficiente. Por meio das medições de cargas hidráulicas nos nós e das vazões nos trechos, pode-se, utilizando-se de um método inverso, determinar parâmetros do modelo, entre eles os coeficientes de perda de carga.

2.2. Objetivos do trabalho

2.2.1. Objetivo principal

Tendo em vista o uso promissor das tecnologias de modelagem de redes de distribuição de água no controle operacional do sistema, o presente trabalho possui como objetivo principal, validar a aplicação do método iterativo dos gradientes hidráulicos alternativo – MIGHA á calibração dos fatores de atrito em redes de abastecimento de água.

2.2.2. Objetivos específicos

Realizar uma análise comparativa de eficiência com a calibração realizada por ROCHA (2008) de coeficientes de rugosidades de Hazen-Williams.

2.3. Premissa

Os modelos de simulação das redes de distribuição possibilitam a execução de análises, sob diferentes cenários e submetendo-se a diversificadas condições de funcionamento, procurando sempre a otimização da distribuição, não só a níveis econômicos, mas também no que corresponde às condições de utilização por parte dos consumidores da rede.

A utilização de modelos envolve atividades de projeto, operação e manutenção dos sistemas de distribuição de água, em particular no que diz respeito a avaliação de seus parâmetros, de um sistema existente, chamada de calibração. A calibração de uma rede hidráulica consiste na determinação de características físicas e operacionais do sistema a partir de respostas medidas, como pressão ou vazão. Isto pode ser interpretado como a determinação de parâmetros de modo que se possa obter um melhor ajuste entre as cargas hidráulicas medidas (observadas) e calculadas.

O método de calibração é importante porque as equações de condições de equilíbrio hidráulico dependem de vários fatores como a topografia local, características do fluido transportado e das peças do sistema, resultando em uma grande quantidade de variáveis envolvidas e, quanto mais adequado e preciso forem o uso dessas variáveis maior será a confiabilidade dos modelos hidráulicos.

O volume das perdas reais e aparentes de água, apesar de não se tornarem possíveis de eliminar, podem ser controlados e diminuídos. O que acaba se tornando uma das principais vertentes da funcionalidade dos modelos construídos, permitindo traduzir o comportamento da evolução das perdas de forma espacial e temporal.

2.4. Limitações

O trabalho limitou-se a verificação e análise da calibração da rugosidade absoluta das tubulações por meio do método iterativo dos gradientes hidráulicos alternativo – MIGHA, buscando validar a aplicação do MIGHA á calibração dos fatores de atrito em redes de abastecimento de água.

O estudo foi feito em duas etapas:

I. Levantamento de dados bibliográficos, que forneceu informações teóricas sobre o assunto e diferentes métodos que já foram utilizados por alguns autores e que contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho.

II. Realização das calibrações das rugosidades absolutas no simulador hidráulico EPANET 2.0.

2.5. Delineamento

O trabalho foi desenvolvido através das seguintes etapas:

a) Pesquisa bibliográfica

b) Aplicação da rede gabarito no EPANET 2.0 c) Obtenção dos valores da rede gabarito

d) Calibração das rugosidades absolutas por meio da rede calculada e) Comparação dos resultados

f) Considerações finais

3. REFERENCIAL TEÓRICO

3.1. Calibração de sistemas de distribuição de água

De acordo com Santos (2010) calibração é o processo de determinação dos parâmetros hidráulicos desconhecidos fundamentais para que o modelo de simulação hidráulica represente fielmente o comportamento de um sistema. Um sistema hidraulicamente calibrado, onde as variáveis são conhecidas permite um maior controle nos processos físicos, como o controle da pressão do sistema, por exemplo.

A confiança com que o modelo retrata a realidade é decisiva, pois não é simples avaliar o comportamento de um sistema e suas respectivas deficiências de maneira direta. A avaliação da resposta do modelo baseia-se, majoritariamente, em indicadores que são quantificáveis apenas através de sintomas exteriores, como a falta de água, elevados volumes de perdas de água, a falta de pressão, o aparecimento de água à superfície do solo e coloração ou turvação da água (COELHO; LOUREIRO; ALEGRE, 2006).

A calibração é a etapa de identificação dos parâmetros hidráulicos da rede que deve ser realizada periodicamente devido a constantes alterações dos mesmos. Um exemplo disso é a rugosidade absoluta do material utilizado em sistemas de condução, que pode sofrer alteração no processo de produção industrial, no grau de acabamento da superfície, e também com o passar dos anos (VASCONCELOS, 2014).

Nas últimas décadas, a inovação da tecnologia e informática, com relação à modelação e calibração de redes de distribuição de água, de acordo com Vilas-Boas (2008) tem permitido uma maior eficácia e qualidade no processo em geral. Porém, os dados de entrada continuam a ser fundamentais para o sucesso do mesmo, procurando-se sempre a maior precisão possível na caracterização destes dados.

Segundo Rocha (2008), as companhias de saneamento conseguem os dados de demandas em nós da rede por meio de micromedições e macromedições das unidades consumidoras. Porém essas medidas são imprecisas devido a vários fatores, como falhas de cadastro por parte da companhia, consumos faturados estimados, consumos não-faturados não-medidos, fraudes (ligações clandestinas,

incêndios, etc.), erros de medição provocado por hidrômetros descalibrados ou por vazamentos ao longo da rede de distribuição.

3.2. Métodos de calibração

Calibração é o processo de ajustes dos parâmetros de um determinado modelo, visando que o comportamento deste esteja próximo dos resultados obtidos em campo, melhorando assim a relação entre os dados observados e prognosticados por ele.

Estes dados podem ser demandas nodais, coeficientes de rugosidade, diâmetros, etc.

(WALSKI, 1983).

Segundo Neves (2007), esse processo é fundamental para que os dados obtidos ilustrem com fidelidade o funcionamento real do sistema de abastecimento, por meio de dados que se aproximam dos valores observados no sistema existente.

Dois passos básicos para descrever o processo de calibração são definidos por Walski (1986):

1. Comparação de pressões e fluxos previstos com pressões e fluxos reais para uma condição de operação conhecida, ou seja, operações de bombas, válvulas redutoras de pressão, nível de tanques.

2. Ajuste dos dados de entrada para o modelo, a fim de melhorar a eficácia do processo na obtenção dos valores calculados.

Em geral os procedimentos de calibração são classificados em três diferentes categorias:

• Iterativos;

• Explícitos, diretos ou analíticos;

• Implícitos ou inversos.

3.2.1. Métodos Iterativos

O processo iterativo de calibração é baseado no método de tentativa e erro, a cada iteração os parâmetros a serem calibrados são ajustados usando comparações entre pressões e vazões medidas e simuladas (SANTOS, 2010).

Nesse método atribuem-se, para efeito de simulação, valores aos parâmetros desconhecidos para, em seguida, comparar-se valores observados e simulados de pressão, carga hidráulica ou vazão. Uma faixa aceitável para o erro é determinada.

Após determinado número de iterações do processo, atinge-se essa faixa, encontrando, consequentemente, a solução do problema.

Os métodos iterativos, de acordo com Tucci (1998), possuem quatro características básicas:

• Definição do ponto de partida: O ponto de partida é a determinação inicial das variáveis de otimização. Se o valor inicial for muito distante da solução, a convergência pode ser demorada ou ainda apresentar solução inadequada.

• Direção de pesquisa: O vetor no qual serão realizadas as alterações das variáveis, é identificado. Os métodos podem se diferenciar dependendo da direção de pesquisa, buscando sempre o máximo de ganho com o mínimo de tentativas.

• Espaçamento de cada alternativa: A variação que será adotada na direção de pesquisa a cada tentativa é indicada. Cada alternativa é envolvida no cálculo da função objetivo com um certo conjunto de variáveis.

O espaçamento deve ser escolhido visando minimizar o número máximo de tentativas.

• Critério de parada: São definidos os critérios para aceitar uma determinada solução como ótimo da função. Caso o critério adotado seja muito folgado, a solução poderá se apresentar muito distante, já se o critério for muito restrito poderá gerar um número exagerado de iterações.

3.2.2. Métodos Explícitos

Os métodos explícitos resolvem um sistema de n equações não-lineares que descrevem a hidráulica da rede para um conjunto de n valores desconhecidos, os quais podem incluir os parâmetros que vêm a ser estimados (SOARES, 2003).

Neste método os parâmetros de projeto, operação e calibração, são determinados diretamente. As equações de energia e continuidade fornecem técnicas

para a determinação de condições de pressões e vazão em regime permanente, nas redes hidráulicas. A solução do problema baseia-se na reformulação das equações de equilíbrio da rede, em termos dos parâmetros específicos do sistema (CHENG E SOUZA, 2001)

Ormsbee e Wood (1986) formularam um algoritmo de calibração explícito para aplicação em redes de água em termos das rugosidades e da demanda nos nós, o método foi desenvolvido pela reformulação das equações de conservação de massa e de energia e de equações adicionais do escoamento, cujas equações são resolvidas explicitamente através do método de Newton-Raphson para determinadas condições de operação.

A aplicação do método explícito na realização de análise de redes, inclui as equações adicionais específicas de energia e continuidade e as equações adicionais que são utilizadas para determinar diretamente uma grande variedade de parâmetros do sistema de tubulações. Uma equação de energia ou continuidade pode vir a ser adicionada no conjunto de equações do sistema a cada especificação definida (CHEUNG, 2001).

De acordo com Cheung (2001), uma equação de energia é inserida, quando a energia em um determinado nó é especificada, e uma equação de continuidade é inserida, quando a velocidade ou vazão em uma determinada tubulação é especificada. As equações de continuidade incorporadas descrevem as vazões especificas nas seções críticas das tubulações, como a vazão requerida dentro ou fora do abastecimento, por exemplo. As equações de energias incorporadas descrevem as pressões específicas requeridas dos nós projetados, assim como a pressão mínima requerida de um determinado nó projetado para uma aplicação particular.

Os parâmetros que podem ser explicitamente determinados, segundo Cheung (2001), incluem parâmetros de projetos como:

• Diâmetros;

• Parâmetros de operação;

• Parâmetros de calibração.

Existem várias vantagens para uma aplicação que envolve o cálculo explícito dos parâmetros de rede hidráulica, e uma grande variedade de parâmetros vem sendo utilizada por diversos pesquisadores, e incorporados em programas generalizados (CHEUNG, 2001).

3.2.3. Métodos Implícitos

Os métodos implícitos iniciam com algumas informações de pressão e vazão da rede e utilizam uma função objetivo para realizar a aproximação do problema inverso, que consiste em minimizar a função objetivo, geralmente o módulo da diferença entre os valores de dados observados e calculados de pressão e/ou vazão do sistema (ROCHA, 2008).

No método implícito, segundo Vieira (2008), a cada iteração um conjunto de parâmetros que representam o sistema no modelo são encontrados. Com estes valores o modelo gera outros valores como resposta de vazões nos trechos de tubulações e cargas nos nós de toda a rede e estes, desse modo ,são comparados com os valores medidos, se as diferenças dos valores calculados com os valores medidos não estiverem dentro das faixas pré-determinadas, os parâmetros iniciais devem ser modificados e o processo deve ser repetido.

O uso do método inverso utilizando modelos de simulação em regime permanente já vem sendo estudado há algum tempo. Alguns dos autores que estudaram calibração automática de redes de distribuição de água em regime permanente no Brasil, foram Silva et al. (2002) e Soares (2003), entre outros. Contudo, nos últimos anos a calibração de redes de distribuição de água em regime transiente vêm se mostrando como uma técnica promissora.

A análise do regime transiente é realizada a partir das equações da continuidade e de momento, solucionadas, pelo método das características. Para isso, algumas restrições são aplicadas visando resolver o problema inverso. Valores de pressão e vazão conhecidos em alguns pontos da rede, podem ser usados como condições limites. As pressões dos nós e as vazões na entrada e saída de cada tubulação em uma rede, são consideradas variáveis. Pode-se utilizar as equações características de cada tubulação e a equação da conservação da massa assumindo que as pressões em cada nó são iguais (NEVES, 2007).

A aproximação por meio da análise inversa do transiente leva a um procedimento efetivo para a determinação de vazamentos e coeficientes de rugosidade para o sistema de distribuição de água. Por meio da iniciação de um evento transiente, são obtidas medidas de pressão por medição via telemetria ou por sistema de aquisição de dados e, as pressões são calculadas via simulador hidráulico utilizando-se o método inverso de análise de transiente. Partindo disso, determina-se

a localização dos vazamentos e a magnitude dos coeficientes de rugosidade, minimizando assim os desvios entre as pressões medidas e calculadas (NEVES, 2007).

O método inverso para calibração de redes, segundo Datta e Sridharan (1994), apresenta as seguintes vantagens:

• Simplicidade Conceitual;

• Implementação fácil;

• Habilidade em usar parâmetros com os valores que podem variar em algumas ordens de magnitude;

• Disponibilidade de informações acerca das incertezas em parâmetros estimados sem a necessidade de cálculos adicionais;

• Habilidade para computar o coeficiente de sensibilidade sem a realização de cálculos adicionais de matrizes em associação com o método de Newton-Raphson.

3.3. MIGHA

3.3.1. MIGHA Originalmente Utilizado

Entre as diversas técnicas de otimização, as mais conhecidas são, os algoritmos genéticos, programação linear, programação inteira, programação dinâmica, programação inteira mista, algoritmos heurísticos, método de enumeração e por fim método de busca por gradiente.

Guo & Zhang (2000) desenvolveram o método de estimativa dos parâmetros hidrodinâmicos formulado como uma minimização de uma função objetivo das diferenças dos gradientes hidráulicos observados e calculados para a estimativa dos parâmetros hidrodinâmicos, principalmente para a transmissividade ou condutividade hidráulica, na modelagem das águas subterrâneas de um aquífero (ROCHA, 2008).

Denominado pelos autores de MIGH - Método Iterativo de Gradiente Hidráulico, a técnica baseada nos princípios da minimização de uma função objetiva das diferenças dos gradientes hidráulicos observados e calculados através de procedimentos iterativos, com o parâmetro inicial estabelecido arbitrariamente e

sendo ajustado a cada iteração. Essa calibração é um método inverso indireto visto que utiliza o princípio da minimização (ROCHA, 2008).

O Método Iterativo do Gradiente Hidráulico Alternativo (MIGHA) foi desenvolvido visando abandonar o método de calibração tradicional dos mínimos quadrados, visto que quando o zoneamento do capo de distribuição hidráulico não era conhecido, os resultados se apresentavam insatisfatórios (SCHUSTER, 2004).

O MIGH formulado por Guo & Zhang (2000), é descrito como uma minimização de uma função objetiva das diferenças dos gradientes hidráulicos observados e calculados (∇hobs e ∇hcalc) através de um processo iterativo começando com um parâmetro inicial arbitrário que é ajustado a cada novo ciclo de iteração (SCHUSTER

& ARAUJO, 2004). Neste método o critério de otimização é a minimização de uma função objetiva do tipo:

𝐹

_𝑜𝑏𝑗

= ∫(∇ℎ

^{𝑐𝑎𝑙𝑐}

− ∇ℎ

^𝑜𝑏𝑠

)

²

. 𝑑𝑥𝑑𝑦 (3.1.)

O procedimento numérico do MIGH (Guo & Zhang, 2000) é um processo iterativo que se inicia com uma estimativa inicial arbitrária do parâmetro hidrodinâmico, ou seja, um valor inicial da transmissividade (ou condutividade hidráulica). Depois de cada iteração na simulação, o valor do parâmetro hidrodinâmico determinado para cada célula da malha do domínio do modelo será ajustado a partir do procedimento de método de descida profunda descrito na equação 3.2:

𝑇

_𝑗^𝑖+1

= 𝑇

_𝑗^𝑖

− 𝜆 . ( 𝜕𝐹

_𝑜𝑏𝑠

𝜕𝑇

_𝑗

)

𝑖

(3.2.)

Onde é o fator de comprimento de passo (step length), F/Tj é a derivada parcial da função objetiva com relação à transmissividade da célula j (j = 1, 2..., N) e i é o índice da iteração.

Segundo Schuster & Araújo (2004), o MIGHA se difere do MIGH apenas por substituição da equação 3.2 pela expressão da equação 3.3:

𝑇

_𝑗^𝑖+1

= 𝑇

_𝐽^𝑖

. |∇ℎ

_𝑗^{𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐}

|

|𝛻ℎ

_𝑗^{𝑖 𝑜𝑏𝑠}

| ^(3.3.)

Onde ∇ℎ_𝑗^{𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐} é o módulo do gradiente hidráulico calculado e ∇ℎ_𝑗^{𝑖 𝑜𝑏𝑠} é o módulo do gradiente observado da célula j no ciclo i. Em cada ciclo de iteração i será calculado um ângulo formado pelos vetores do gradiente hidráulico observado e calculado em cada célula j de modo que:

cos 𝜑

_𝑗

= ∇ℎ

_𝑗^𝑜𝑏𝑠

. ∇ℎ

_𝑗^{𝑐𝑎𝑙𝑐}

|ℎ

_𝑗^𝑜𝑏𝑠

|. |∇ℎ

_𝑗^{𝑐𝑎𝑙𝑐}

| ^(3.4.)

O critério é somente a aceitação de ângulos menores que 60º, ou seja,  < 60º, os ângulos maiores não são considerados até que as transmissividades dos trechos próximos induzam a redução deste ângulo nas próximas iterações, ou seja, calcula- se o ângulo em uma iteração i, se este for maior que 60º, calcula-se Tji+1 pela equação 3, senão repete-se o valor anterior (SCHUSTER & ARAUJO, 2004).

O critério de convergência no procedimento de otimização é a minimização do somatório dos ângulos



de modo que:

∑ 𝜑

_𝑗

𝑁

𝑗=1

= 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 (3.5.)

O procedimento iterativo termina quando a raiz do erro quadrático médio alcança um valor predefinido e/ou quando o valor do critério de convergência não diminui mais e atinge um valor estável. De acordo com SCHUSTER & ARAUJO (2004) isso ocorre após 10 a 15 ciclos de iteração, geralmente.

O MIGHA é um método inverso indireto eficaz, rápido e prático visto que minimiza os residuais dos gradientes hidráulicos dos trechos das redes de distribuição resultando numa minimização de suas respectivas cargas hidráulicas se tornando, desse modo, uma ferramenta importante na calibração dos parâmetros hidráulicos (ROCHA, 2008).

3.3.2. MIGHA adaptado para a calibração de coeficientes de rugosidade de redes de distribuição de água

Rocha (2008), utilizou o MIGHA na estimativa do parâmetro coeficiente de rugosidade de Hazen-Williams das tubulações, a fim de corrigir o coeficiente de rugosidade (a ser calibrado) a cada iteração por meio da expressão:

𝐶

_𝑗^𝑖+1

= 𝐶

_𝑗^𝑖

|∇ℎ

_𝑗^{𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐}

|

|∇ℎ

_𝑗^{𝑖 𝑜𝑏𝑠}

| (3.6.)

Onde, 𝐶_𝑗^𝑖 é o coeficiente de rugosidade de Hazen-Williams do trecho j na iteração i, 𝐶_𝑗^𝑖+1 o coeficiente de rugosidade do trecho j na iteração i+1, ∇ℎ_𝑗^{𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐} o gradiente hidráulico calculado na iteração i do trecho j e ∇ℎ_𝑗^{𝑖 𝑜𝑏𝑠} é o gradiente hidráulico observado na iteração i do trecho j (ROCHA, 2008).

O ângulo  formado entre vetores dos gradientes hidráulicos observado e calculado no espaço unidimensional foi calculado em cada iteração como critério de convergência pela eq. 3.4:

cos 𝜑

_𝑗

= ∇ℎ

_𝑗^𝑜𝑏𝑠

. ∇ℎ

_𝑗^{𝑐𝑎𝑙𝑐}

|∇ℎ

_𝑗^𝑜𝑏𝑠

|. |∇ℎ

_𝑗^{𝑐𝑎𝑙𝑐}

| ^(3.4.)

Desse modo o ângulo  só pode resultar em 0º ou 180º.

A aceitação apenas dos ângulos menores que 60º ( < 60º), foi o critério utilizado por Rocha (2008), os ângulos maiores que 60° não foram considerados até que as rugosidades dos trechos vizinhos induziram a diminuição deste ângulo nas iterações que se sucederam.

Ao calcular o ângulo  em uma iteração i, e este fosse maior que 60º, 𝐶_𝑗^𝑖+1 era obtido pela equação 2.18, caso contrário, repetia-se o valor anterior. As iterações cessavam ao atingir os seguintes critérios de parada: número máximo de iterações igual a 100 e função objetivo menor que 0,001. A função objetivo utilizada é expressa na equação 3.7.

𝐹. 𝑂 = ∑(∇ℎ

^{𝑐𝑎𝑙𝑐}

− ∇ℎ

^𝑜𝑏𝑠

)

²

(3.7.)

3.3.3. MIGHA adaptado para a calibração do coeficiente de decaimento do cloro (Kw) em redes de abastecimento de água

Pereira (2009) aplicou o MIGHA como técnica de otimização para a calibração do coeficiente de decaimento do cloro na parede da tubulação kw. O MIGHA corrigiu, a cada iteração, o coeficiente de decaimento do cloro pela equação:

𝑘

_𝑤^𝑖+1_𝑗

= 𝑘

_𝑤^𝑖 _𝑗

. |∇𝑐

_𝑗^{𝑖 𝑜𝑏𝑠}

|

|∇𝑐

_𝑗^{𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐}

| ^(3.8.)

Onde, 𝑘_𝑤^𝑖+1_𝑗 é o coeficiente de decaimento do cloro no trecho j na iteração i+1, 𝑘_𝑤^𝑖 _𝑗 o coeficiente de decaimento do cloro no trecho j na iteração i, |∇𝑐_𝑗^{𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐}| o módulo do gradiente de concentração calculado no trecho j na iteração i e |∇𝑐_𝑗^{𝑖 𝑜𝑏𝑠}| é o módulo do gradiente de concentração observado no trecho j na iteração i.

Em cada ciclo da iteração i, como critério de convergência, foi calculado φ formado pelos vetores dos gradientes da concentração observado e calculado no espaço unidimensional. (Eq. 3.4)

O critério utilizado por Pereira (2009), assim como Rocha (2008), foi a aceitação apenas de φ<60°, onde os valores φ>60° não serão considerados até que os valores dos coeficientes de decaimento do cloro nas paredes da tubulação em trechos vizinhos induzam a diminuição do φ nas próximas iterações. A função objetivo utilizada está descrita na equação 3.9.

𝐹

_𝑜𝑏𝑗

= ∑(∇𝑐

^{𝑐𝑎𝑙𝑐}

− ∇𝑐

^𝑜𝑏𝑠

)

²

(3.9.)

Os critérios de parada das iterações foram número máximo de iterações igual a 100 e função objetivo menor que 0,001.

3.3.4. MIGHA adaptado para a avaliação de calibração de redes hidráulicas aplicado a escoamento transiente

Rocha (2013), ao estimar a rugosidade de tubulações de redes de abastecimento de água durante um evento de transiente hidráulico, seguiu os mesmos princípios da aplicação do MIGHA realizada por Rocha (2008).

Devido seu estudo ser realizado com escoamento em estado transiente, utilizou-se o método das características (MOC) para o cálculo transiente, o que inviabiliza o processo de calibração do coeficiente da Hazen-Williams. Desse modo, ao invés de utilizar a equação de Hazen-Williams, Rocha (2013) decidiu utilizar a equação de Darcy-Weisback na calibração do parâmetro, visto que as equações características do MOC dependem do fator de atrito que está presente na fórmula universal de perda de carga.

Ao observar a eq. (3.6) deve-se notar que a equação de cálculo de perda de carga de Hazen-Williams mostra que o coeficiente de Hazen-Williams é inversamente proporcional ao gradiente hidráulico. A fórmula universal mostra que o fator de atrito, e consequentemente, a rugosidade, variam diretamente proporcional ao gradiente hidráulico. Desse modo a fórmula que altera a rugosidade

𝜀

, aplicada por Rocha (2013), é descrita como:

𝜀

_𝑗^𝑖+1

= 𝜀

_𝑗^𝑖

|∇𝐻

_𝑗^{𝑖 𝑜𝑏𝑠}

|

|∇𝐻

_𝑗^{𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐}

| ^(3.10.)

Sendo essa a única diferença com relação ao método descrito no tópico 3.3.2.

4. METODOLOGIA DA PESQUISA

A análise dos principais parâmetros envolvidos no MIGHA será feita utilizando a fórmula de Darcy-Weisback, mais conhecida como fórmula Universal.

Para tanto, o simulador hidráulico utilizado neste trabalho será o EPANET 2.0, escolhido por sua larga utilização na engenharia hidráulica, facilidade de uso e o fácil acesso ao pacote EPANET.

O EPANET, desenvolvido pela U.S. Environmental Protection Agency (USEPA), agência de proteção ambiental dos Estados Unidos, é um programa computacional de sistemas de abastecimento de água de uso público que permite executar simulações estáticas e dinâmicas do comportamento hidráulico e da qualidade da água em redes de distribuição pressurizada (LENHS, 2009).

Tendo como dados de entrada as pressões observadas, demandas nodais, níveis dos reservatórios, cotas topográficas dos nós, diâmetro das tubulações, comprimento das tubulações e rugosidades observadas das tubulações.

Os conceitos de três tipos de redes hidráulicas, que serão utilizadas no trabalho, são explanados a seguir:

• Rede Gabarito: É a rede cujos valores de rugosidades são conhecidos em todos os pontos e partindo disso obtêm-se, no simulador, as pressões e vazões as quais a rede está submetida. A rede gabarito é equivalente à rede instalada no campo.

• Rede Observada: Obtida a partir da rede gabarito, é a rede em que apenas alguns nós são medidos, nos quais se conhece a carga hidráulica. Para essa rede um conjunto de valores iniciais de rugosidades são atribuídos aleatoriamente para que se possam obter valores de gradientes hidráulicos que serão considerados “gradientes hidráulicos observados”. A rede observada pode coincidir, em termos de cargas hidráulicas, com a rede gabarito se as pressões em todos os nós forem medidas, assim, se a rede observada passar por um processo de calibração de rugosidades, as rugosidades finais desta rede serão iguais às da rede gabarito. Quanto menor o número de nós medidos, mais essa rede se afasta da rede gabarito em termos de rugosidades após um processo de calibração (ROCHA, 2008).

• Rede Calculada: É a rede em que um conjunto de valores iniciais de rugosidades são atribuídos (assim como na rede observada), mas que não apresenta nenhum valor de pressão medido. O simulador calculará seus gradientes que serão nomeados de “gradientes hidráulicos calculados”.

O processo de calibração realizado a partir do MIGHA tem o objetivo de que os resultados do gradiente hidráulico calculado fiquem o mais próximo possível dos gradientes hidráulicos da rede observada.

Durante o processo de calibração, serão realizadas iterações apenas na rede calculada, modificando, a cada iteração, as rugosidades e os gradientes hidráulicos obtidos. Este processo foi denominado MIGHA-C.

Quanto aos valores de carga hidráulica, a rede observada se equivale à rede gabarito na situação em que todos os pontos são medidos. Geralmente há poucos pontos medidos em uma grande rede na prática, o que significa dizer que os gradientes hidráulicos encontrados na rede observada têm a probabilidade de estarem distantes dos gradientes hidráulicos reais da rede gabarito em determinados trechos.

Desse modo deve-se realizar a leitura de pressão no maior número de nós possível para que a calibração possa ser bem-sucedida. A rede calibrada (calculada) ao se aproximar da rede observada, também estará se aproximando da rede gabarito.

O processo de calibração pelo MIGHA acontece de forma simples e direta quando as pressões em todos os pontos são conhecidas. A rede observada corresponde ao próprio gabarito (rede gabarito) conhecendo-se todos os gradientes hidráulicos observados (ROCHA, 2008). Quando se elabora a rede observada, adota- se um conjunto inicial de valores de fatores de atrito, o simulador hidráulico então retorna valores de pressão, mas, quando há apenas algumas pressões medidas, deve-se embuti-las no cálculo, ou seja, garantir que o EPANET retorne esses valores de pressão através do mesmo conjunto inicial de fatores de atrito.

Este trabalho segue a mesma solução proposta por Rocha (2008): Ligam-se reservatórios de nível fixo aos nós onde a pressão é conhecida, no campo “Nível de água” do reservatório é atribuído o valor correspondente ao da pressão medida mais a cota altimétrica no ponto.

O trecho que interliga o nó ao reservatório deve ser bem pequeno e de grande diâmetro para que seja garantido:

a. Que não haja perda de carga entre os dois e a carga hidráulica do nó seja equivalente à do reservatório

b. Que a vazão entre o nó e o reservatório seja bem próxima de zero, já que não deve haver vazão entre eles pois não se trata de um reservatório pertencente ao sistema, e sim, de uma adaptação usada apenas no simulador hidráulico.

Esses reservatórios serão considerados como “fictícios” uma vez que não existem realmente, e tratam-se apenas de uma solução prática encontrada para a fixação das pressões medidas na rede observada.

4.1. MIGHA aplicado na calibração da rugosidade absoluta da rede de distribuição de água.

Aplicado, neste trabalho, à estimativa do parâmetro rugosidade absoluta de Darcy-Weisback das tubulações, o MIGHA corrige a cada iteração a rugosidade absoluta (a ser calibrada) do trecho pela expressão:

𝜀

_𝑗^𝑖+1

= 𝜀

_𝑗^𝑖

∇ℎ

_𝑗^{𝑖 𝑜𝑏𝑠}

∇ℎ

_𝑗^{𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐}

(4.1.)

Onde 𝜀_𝑗^𝑖 é a rugosidade absoluta do trecho j na iteração i, 𝜀_𝑗^𝑖+1 a rugosidade absoluta do trecho j na iteração i+1, ∇ℎ_𝑗^{𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐} é o gradiente hidráulico calculado na iteração i do trecho j e ∇ℎ_𝑗^{𝑖 𝑜𝑏𝑠} é o gradiente hidráulico observado na iteração i do trecho j. Essa é a única modificação feita no método utilizado por (ROCHA, 2008), para que pudesse ser utilizada a equação de Darcy-Weisback para perda de carga.

Seguindo a metodologia de (ROCHA, 2008), será calculado em cada iteração o ângulo ϕ, formado entre vetores dos gradientes hidráulicos observado e calculado, como critério de convergência onde a equação é descrita na eq 4.2:

cos 𝜑

_𝑗

= ∇ℎ

_𝑗^𝑜𝑏𝑠

. ∇ℎ

_𝑗^{𝑐𝑎𝑙𝑐}

|∇ℎ

_𝑗^𝑜𝑏𝑠

|. |∇ℎ

_𝑗^{𝑐𝑎𝑙𝑐}

| ^(4.2.)

Desse modo resultados possíveis serão

cos 𝜑 = −1

ou

cos 𝜑 = 1

, ou seja, o ângulo

𝜑

só pode resultar em 0º ou 180º. Como o critério de aceitação será apenas ângulos menores que 60º, ou seja,

𝜑

< 60º, os ângulos maiores que este valor não são considerados até que as rugosidades dos trechos vizinhos induzam esse ângulo a diminuir nas próximas iterações.

Calculado o ângulo em uma iteração i, se este for maior que 60º, calcula-se 𝑓_𝑗^𝑖+1pela equação 4.1, senão repete-se o valor anterior. As iterações cessam ao atingir os seguintes critérios de parada:

• Número máximo de iterações igual a 100

• Função objetivo menor que 0,001

Foi-se definido um número máximo de iterações porque, segundo SCHUSTER (2002), após 25 iterações o método converge.

4.2. O simulador EPANET

O EPANET foi utilizado como simulador hidráulico cujo fluxograma da figura 4.1 demonstra todo o procedimento da utilização do MIGHA para calibração dos fatores de atrito deste trabalho.

De acordo com (ROCHA, 2008), o EPANET resolve simulações hidráulicas estáticas e dinâmicas da rede, e trata do comportamento da qualidade da água ao longo da rede de distribuição. O módulo de cálculo hidráulico trabalha com as seguintes equações de perda de carga:

• Hazen-Williams;

• Darcy-Weisbach;

• Chezy-Manning (para canais).

Cada uma com seus respectivos coeficientes.

As equações da continuidade e da conservação da energia caracterizam as condições de equilíbrio hidráulico da rede e por meio da relação entre a perda de carga e a vazão são resolvidas, no EPANET, através de um método híbrido Nó-Malha designado por TODINI & PILATI (1987) como “Método Gradiente”. O método é utilizado pelo simulador EPANET para obtenção dos valores de pressão e vazão na rede.

Considerando uma rede com N nós e NF nós com carga hidráulica fixa, a relação perda de carga x vazão em uma tubulação entre os nós i e j pode ser expressa por:

𝐻_𝑖 − 𝐻_𝑗 = ℎ_𝑖𝑗 = 𝑟𝑄_𝑖𝑗^𝑛 + 𝑚𝑄_𝑖𝑗²

(4.3.)

Onde H é a carga hidráulica no nó, h a perda de carga total, r o termo de perda de carga que varia conforme a formulação utilizada, Q a vazão na tubulação, n o expoente da formulação perda de carga x vazão e m o coeficiente de perda de carga localizada.

Figura 4.1: Fluxograma do MIGHA na calibração de coeficientes de rugosidade

ᵠ

Arbitrada uma solução inicial para as vazões nas tubulações, novas cargas hidráulicas nos nós são obtidas em cada iteração do método gradiente, por meio do sistema linear:

𝐴𝐻 = 𝐹

(4.4.)

Onde A é a matriz Jacobiana (N x N), H o vetor de incógnitas em termos de cotas piezométricas e F o vetor de balanço de massa acrescido de um fator de correção de vazão.

Os elementos da diagonal da matriz Jacobiana A são representados por:

𝐴_𝑖𝑖 = ∑ 𝑥_𝑖𝑗

𝑗 ∈𝑗_𝑖

(4.5.)

E os elementos não nulos fora da diagonal são definidos por:

𝐴_𝑖𝑗 = −𝑥_𝑖𝑗

(4.6.)

Sendo 𝑗_𝑖o conjunto de nós conectados ao nó i e 𝑥_𝑖𝑗o inverso da derivada da perda de carga total no trecho entre os nós i e j, dado por:

𝑥_𝑖𝑗 = 1

𝑛𝑟|𝑄_𝑖𝑗|^𝑛−1+ 2𝑚|𝑄_𝑖𝑗|

(4.7.)

A conservação de massa nos nós é calculada pela expressão:

∑ 𝑄_𝑖𝑗 − 𝐶_𝑖

𝑗 ∈ 𝑗_𝑖

= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, … , 𝑁

(4.8.)

Onde que C é o consumo no nó i. Desse modo, conhecendo a carga hidráulica nos NF nós, obtêm-se os valores de pressão e vazão na rede que satisfazem as equações 4.7 e 4.8.

O vetor F composto pela parcela do balanço de massa no nó acrescido de um fator de correção de vazão é descrito por:

𝐹_𝑖 = ( ∑ 𝑄_𝑖𝑗− 𝐶_𝑖

𝑗 ∈𝐽𝑖

) + ∑ 𝑦_𝑖𝑗

𝑗 ∈𝐽𝑖

+ ∑ 𝑥_𝑖𝑓𝐻_𝑓

𝑓 ∈ 𝐽_𝑓

(4.9.)

Sendo o último termo aplicável em qualquer trecho que ligue um nó i a um reservatório de nível fixo f, 𝐽_𝑓é o conjunto de nós, com carga hidráulica constante, ligados ao nó i e 𝑦_𝑖𝑗 o fator de correção de vazão dado para tubulações pela expressão:

𝑦_𝑖𝑗 = 𝑥_𝑖𝑗(𝑟|𝑄_𝑖𝑗|^𝑛+ 𝑚|𝑄_𝑖𝑗|²) 𝑠𝑛𝑔(𝑄_𝑖𝑗)

(4.10.)

Onde que 𝑠𝑛𝑔(𝑄_𝑖𝑗) = 1 se 𝑄_𝑖𝑗> 0, caso contrário 𝑠𝑛𝑔(𝑄_𝑖𝑗)= -1.

Após calculadas as cargas hidráulicas nos nós, os novos valores das vazões nos trechos são obtidos de acordo com a seguinte expressão:

𝑄_𝑖𝑗 = 𝑄_𝑖𝑓− [𝑦_𝑖𝑗 − 𝑥_𝑖𝑗(𝐻_𝑖 − 𝐻_𝑗)]

(4.11.)

Se a soma de todas as variações de vazão (em valor absoluto) relativas à vazão total em todos os trechos for superior à tolerância especificada, as equações 4.4 e 4.11 são resolvidas novamente.

4.3. Rede exemplo

A rede exemplo adotada por PORTO (1998) e por (ROCHA, 2008) foi aplicada no modelo afim de constatar sua eficiência.

A figura 4.2 representa a rede utilizada.

Figura 4.2: Rede exemplo utilizada

As variáveis necessárias sendo cotas topográficas, demandas nodais, nível do reservatório, diâmetros, rugosidades e comprimentos das tubulações são conhecidas e corretas.

A tabela 4.1 apresenta as cotas topográficas, em metros, dos nós da rede.

Tabela 4.1: Cotas topográficas dos nós da rede

R1 (m)

Nó 1 (m)

Nó 2 (m)

Nó 3 (m)

Nó 4 (m)

Nó 5 (m)

Nó 6 (m)

Nó 7 (m) 470,8 463,2 460,2 458,9 461,2 457,7 463,2 459,2 As características físicas das tubulações estão listadas abaixo:

Tabela 4.2: Características físicas das tubulações da rede exemplo

Tubo Nó inicial

Nó final

Diâmetro (mm)

Comprimento (m)

Rugosidade (m)

0 R1 1 250 520 0,30

1 1 2 150 1850 0,25

2 2 3 125 790 0,15

3 3 7 100 700 0,80

4 7 4 100 600 0,01

5 4 5 100 980 0,03

6 5 2 100 850 0,06

7 5 6 200 650 0,02

8 6 1 200 850 0,10

Os dados de entrada de pressão serão obtidos por meio da simulação realizada no EPANET 2.0 e tais valores serão considerados como pressão observada em campo, visto que o aplicativo será testado em um exemplo hipotético onde não serão tomadas observações em campo, a figura 4.3 apresenta a rede inserida no EPANET 2.0.

Figura 4.3: Rede exemplo inserida no EPANET 2.0

4.4. Análise e precisão da calibração

Seguindo a metodologia adotada por (ROCHA, 2008), a análise da performance da calibração para comparação entre os valores reais e os simulados será realizada com base nos critérios estabelecidos pelo WATER RESEARCH CENTRE (1989).

O critério deve se basear, para os valores de pressão, no erro absoluto expresso pela diferença entre o valor simulado e o observado, não devendo exceder uma das seguintes faixas:

• ± 0,5 m para 85% das medidas de pressão.

• ± 0,75 m para 95% das medidas de pressão.

• ± 2 m para 100% das medidas de pressão.

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Durante a calibração foram considerados dois cenários com demandas nodais diferentes. A tabela 5.1 descreve o consumo em cada nó da rede.

Tabela 5.1: Cenários de demanda em cada rede

Nó Demanda (L/s) Cenário 1 Cenário 2

1 0 5

2 10 3

3 8 7

4 5 2

5 10 12

6 5 14

7 2 7

Ao calcular as pressões dos nós da rede com a cota do reservatório da tabela 4.1 (470.8), a pressão final é negativa, para que o menor valor de pressão obtido seja positivo, utilizou-se uma nova cota para o reservatório de 485m.

As pressões consideradas reais (rede gabarito) foram calculadas pelo EPANET 2.0 utilizando a fórmula de Darcy-Weisbach e estão resumidas para os cenários 1 e 2 na tabela 5.2.

Tabela 5.2: Pressões reais para os dois cenários de demandas da rede

Nó Pressões Reais (m) Cenário 1 Cenário 2

1 20,26 20,41

2 14,75 17,04

3 12,57 13,38

4 10,60 10,72

5 21,33 20,08

6 17,22 15,73

7 12,24 11,07

5.1. Influência das iterações na rede observada

Como já citado anteriormente, o MIGHA tem o objetivo de aproximar em termos de gradiente hidráulico a rede calculada da rede observada. Como em situações reais não há como medir a pressão em todos os pontos do sistema, o EPANET 2.0 estima a pressão nos pontos em que esta é desconhecida, o que consequentemente implica em uma rede observada sensivelmente diferente da rede gabarito (real) em termos de gradientes hidráulicos. A consequência disto é uma calibração realizada na rede calculada que se aproxima da rede observada, mas que não se aproxima muito da rede gabarito.

Visando amenizar o problema explanado no parágrafo anterior, este trabalho seguirá a proposta de Rocha (2008) onde o processo de calibração será realizado de forma iterativa também com a rede observada, ou seja, a cada iteração, o novo conjunto de rugosidades será aplicado tanto à rede calculada quanto à rede observada e, a partir destes novos valores deverá ser realizada uma nova iteração.

Deste modo, o presente trabalho visa mostrar que a proposta de Rocha (2008) deverá aproximar a rede calculada da rede gabarito, já que aproxima a calculada da observada e esta, por sua vez, da rede gabarito, em termos de rugosidades.

Para cada um dos cenários realizaram-se as seguintes etapas: foram efetuadas 6 calibrações usando o MIGHA-C, para cada cenário, e em seguida, foi calculada a média, para cada tubo, das rugosidades obtidas das 6 calibrações. Com as médias das rugosidades dos dois cenários foi feita uma média de acordo com a expressão 5.1.:

𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑀𝐼𝐺𝐻𝐴 − 𝐶 =

𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑐𝑒𝑛á𝑟𝑖𝑜 1+𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑐𝑒𝑛á𝑟𝑖𝑜 2

2

(5.1.)

As rugosidades médias foram aplicadas na rede em ambos os cenários, determinando-se as pressões calculadas e, por conseguinte, a diferença, em cada trecho, entre as pressões reais e calculadas quando da utilização do MIGHA-C.

Os resultados das rugosidades absoluta obtidas nas 6 calibrações realizadas pelo MIGHA-C seguem apresentados na tabela 5.3 para o cenário 1 e na tabela 5.4 para o cenário 2.

Tabela 5.3: Rugosidades absoluta calculadas pelo programa utilizando o MIGHA-C para o cenário 1.

Calibração Rugosidade absoluta ε calculada por tubo (mm)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0,3001 0,0001 0,0310 0,9973 14,1961 0,2146 0,8956 0,1502 0,1502 2 0,3480 0,0292 0,0119 0,0000001620 5,7655 0,1914 0,4079 0,1439 0,2522 3 0,3376 0,0242 0,0172 0,0000000974 9,1237 0,2163 0,1684 0,1333 0,1948 4 0,3478 0,202 0,1318 0,7290000000 0,0506 0,0516 0,0685 0,0545 0,1373 5 0,3326 0,0792 0,0877 0,081361607 0,2201 0,0583 0,3533 0,1238 0,2067 6 0,3306 0,0506 0,0182 0,0000000821 6,3219 0,1927 0,1602 0,1154 0,1953 Média 0,3328 0,0642 0,0496 0,301283518 5,9463 0,1541 0,3423 0,1202 0,1894

Real 0,30 0,25 0,15 0,80 0,01 0,03 0,06 0,02 0,10

Erro (%) 10,933 74,312 66,919 62,33956024 59363 413,78 470,5 500,91 89,406

Erro médio por tubo (%) = 6783,6

Tabela 5.4: Rugosidades absoluta calculadas pelo programa utilizando o MIGHA-C para o cenário 2.

Calibração Rugosidade absoluta ε calculada por tubo (mm)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0,3342 0,0564 0,0202 0,2107 0,3277 0,2020 0,2037 0,1083 0,1611 2 0,3391 0,0692 0,0402 0,3002 0,2391 0,1605 1,1162 0,1252 0,1749 3 0,3308 0,1587 0,1027 0,8348 0,0169 0,0414 0,1784 0,0371 0,1234 4 0,3432 0,1116 0,0743 0,7978 0,0221 0,0462 0,2564 0,0630 0,1347 5 0,3506 0,1445 0,0860 0,7616 0,0716 0,0548 0,1427 0,0472 0,1360 6 0,3342 0,1351 0,0815 0,6709 0,0718 0,0565 0,1039 0,0448 0,1273 Média 0,3387 0,1126 0,0675 0,596 0,1249 0,0936 0,3336 0,0710 0,1429 Real 0,30 0,25 0,15 0,80 0,01 0,03 0,06 0,02 0,10 Erro (%) 12,89 54,972 55,006 25,499 1148,8 211,84 455,93 254,77 42,925

Erro médio por tubo (%) = 251,4