PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

AMÉRICO CAMPOS FILHO

2014

SUMÁRIO

1 – Introdução...

1.1 – Generalidades ...

1.2 – Classificação das lajes quanto à relação entre os lados ...

1.3 – Vinculação ...

1.4 – Vãos efetivos de lajes ...

1.5 – Cargas nas lajes ...

1.6 – Determinação da espessura das lajes ...

1.7 – Cálculo das solicitações...

1.8 – Dimensionamento das armaduras ...

2 – Lajes armadas em uma só direção ...

2.1 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares paralelas ao vão ...

2.2 – Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares perpendiculares ao vão ...

2.3 – Exemplo de laje armada em uma só direção com carga linear paralela ao vão ...

3 – Lajes armadas em duas direções ...

3.1 – Solicitações conforme o regime elástico ...

3.2 – Solicitações conforme o regime rígido plástico ...

3.3 – Dimensionamento e detalhamento das armaduras ...

3.4 – Reações de apoio ...

3.5 – Exemplo de laje submetida a cargas superficiais ...

3.6 – Exemplo de laje submetida a carga linear além das cargas superficiais ...

4 – Programa para o projeto de lajes retangulares maciças de concreto armado ...

Anexo – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado (NBR7480:2007) ...

1 - Introdução

1.1 - Generalidades

As lajes são elementos estruturais laminares planos, solicitados predominantemente por cargas normais ao seu plano médio. Elas constituem os pisos dos edifícios correntes de concreto armado. Nas estruturas laminares planas, predominam duas dimensões, comprimento e largura, sobre a terceira que é a espessura. De mesma forma, que as vigas são representadas pelos seus eixos, as lajes são representadas pelo seu plano médio. As lajes são diferenciadas pela sua forma, vinculação e relação entre os lados. Geralmente, nas estruturas correntes, as lajes são retangulares, mas podem ter forma trapezoidal ou em L.

1.2 - Classificação das lajes quanto à relação entre os lados

As lajes retangulares são classificadas como:

 lajes armadas em uma só direção: são aquelas em que a relação entre o maior e o menor vão é maior que 2.

 lajes armadas em duas direções ou armadas em cruz: em caso contrário.

laje armada em uma só direção laje armada em duas direções

onde, a é o vão menor e b é o vão maior b

a

b/a > 2

b

a

1 < b/a < 2

Em função da vinculação das bordas da laje, a classificação acima apresenta exceções. Se a laje for suportada continuamente somente ao longo de duas bordas paralelas (as outras duas forem livres) ou quando tiver três bordas livres (laje em balanço), ela será também armada em uma só direção, independentemente da relação entre os lados.

1.3 - Vinculação

As bordas das lajes podem apresentar os seguintes tipos de vinculação:

 apoiada: quando a borda da laje é continuamente suportada por vigas, paredes de alvenaria de tijolos cerâmicos, de blocos de concreto ou de pedras.

 livre: quando a borda da laje não tiver nenhuma vinculação ao longo daquele lado.

 engastada: quando a borda da laje tem continuidade além do apoio correspondente daquele lado (laje adjacente).

Exemplo:

engaste

apoio apoio apoio engaste engaste engaste livre

livre

livre

livre

livre livre

livre

livre

livre

CORTE A-A:

CORTE B-B:

B

B

A A

engaste

livre

apoio apoio

Observações sobre a continuidade das bordas das lajes:

Uma laje não deve ser considerada engastada em outra que tenha uma espessura mais do que 2 cm inferior.

Toda a laje que tiver um lado adjacente a uma laje rebaixada tem este lado apoiado;

toda a laje rebaixada deve ser considerada apoiada (salvo se tiver outros três lados livres).

Quando em um lado da laje ocorrerem duas situações de vínculo (apoiado e engastado), a favor da segurança considera-se todo o lado apoiado; se o engaste for superior a 85% do comprimento do lado, pode-se considerar como engastado.

> 2 cm apoio engaste

< 2 cm engaste engaste

apoio

apoio apoio

apoio

engaste apoio

exceção: laje em balanço

Exemplo:

Observação:

Normalmente, quando se inicia o cálculo das lajes, não são conhecidas as espessuras; deve-se, então, considerar inicialmente engastados todos os lados que são

4,00 2,00 4,00

4,002,50

2,00 4,00

6,501,50

L1 h=10

L2 h=8

L3 h=11

L4 h=8

L5 h=8

L6

lajes rebaixadas h=12

2,00

4,00

L1

4,00

2,00

L2 L3

4,00

6,50

L4

2,50

L5

4,00

4,00

2,50

L6

4,00

1,50

1.4 - Vãos efetivos de lajes

Conforme o item 14.7.2.2 da NBR6118:2014, quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão:



= 

+ a

+ a

com a

igual ao menor valor entre (t

/2 e 0,3h) e a

igual ao menor valor entre (t

/2 e 0,3h), conforme a figura abaixo.

Nas lajes em balanço, o vão efetivo é o comprimento da extremidade até o centro do apoio, não sendo necessário considerar valores superiores ao comprimento livre acrescido de trinta por cento da espessura da laje junto ao apoio.

h

t

mín(t/2 ; 0,3h)

1.5 - Cargas nas lajes

Em lajes o carregamento, em geral, é considerado como uniformemente distribuído:

p (kN/m

), onde:

p = g + q onde:

g – é a parcela permanente das cargas que atuam sobre a laje (peso próprio, revestimento, reboco, etc.);

q – é a parcela variável das cargas que atuam sobre a laje (peso das pessoas, móveis, equipamentos, etc.).

Os valores das cargas a serem considerados no cálculo de estruturas de edificações são indicados na NBR6120:1980.

Para edifícios residenciais, os valores mais usuais de cargas são:

- peso específico do concreto armado = 25 kN/m

- peso específico do concreto simples = 24 kN/m

- enchimento de lajes rebaixadas = 14 kN/m

- reboco (1cm) = 0,2 kN/m

- revestimento de tacos ou tabuões de madeira = 0,7 kN/m

- revestimento de material cerâmico = 0,85 kN/m

- forro falso = 0,5 kN/m

- carga variável em salas, dormitórios, cozinhas, banheiros = 1,5 kN/m

- carga variável em despensa, lavanderia, área de serviço = 2,0 kN/m

- carga variável em corredores, escadas em edifícios:

não residenciais = 3,0 kN/m

residenciais = 2,5 kN/m

- sacada: mesma carga da peça com a qual se comunica.

- carga variável linear nas bordas livres das lajes de 2 kN/m (vertical) e 0,8 kN/m na altura do corrimão (horizontal)

Exemplos:

* laje de 10cm de espessura de uma sala de estar: peso próprio - 0,10 x 25 = 2,5 kN/m

revestimento (tacos) = 0,7 kN/m

reboco = 0,2 kN/m

q (carga variável) = 1,5 kN/m

4,9 kN/m

* laje de uma área de serviço, rebaixada de 20cm, com 15 cm de enchimento; espessura de 8 cm:

peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m

enchimento - 0,15 x 14 = 2,1 kN/m

revestimento (cerâmico) = 0,85kN/m

reboco = 0,2 kN/m

q (carga variável) = 2,0 kN/m

7,15kN/m

Além da carga superficial, é comum ocorrer cargas lineares, correspondentes a paredes de alvenaria executadas sobre a laje.

A carga linear é obtida a partir do peso específico da alvenaria (13 kN/m

- tijolos furados; 18kN/m

- tijolos maciços), da espessura da parede e de sua altura.

Exemplo:

p = 0,15 x 2,60 x 13 = 5,1 kN/m 1.6 - Determinação da espessura das lajes

Conforme o item 13.2.4.1 (NBR 6118:2014), nas lajes maciças de concreto armado devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura:

a) 7 cm para lajes de cobertura não em balanço;

b) 8 cm para lajes de piso não em balanço;

c) 10 cm para lajes em balanço;

d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;

d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN.

No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γ

, de acordo com o indicado na tabela abaixo.

Tabela - Valores do coeficiente adicional γ

para lajes em balanço

h

cm > 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10

n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45

Onde:

n = 1,95 – 0,05 h;

h é a altura da laje em cm.

NOTA: O coeficiente n deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nas lajes em balanço, quando do seu dimensionamento.

As lajes devem ter uma espessura tal que atendam a verificação do estado limite de serviço de deformações excessivas. Desta forma, sugere-se o seguinte procedimento para determinar a espessura de uma laje, que esteja submetida exclusivamente a cargas uniformemente distribuídas:

(a) arbitrar a espessura da laje como sendo o valor mínimo;

(b) fazer a composição de cargas para a laje, determinando os valores da carga permanente e variável;

(c) determinar o valor da carga de serviço, correspondente à combinação quase permanente de serviço:

p

=  g

+  

q

(d) como a armadura a ser colocada na laje não é conhecida ainda, não é possível determinar a sua rigidez. O momento de inércia da seção, I

, pode ser estimado da seguinte forma:

se m

 m

 I

= I

se m

> m

 I

= 0,30 I

I

é o momento de inércia da seção bruta de concreto;

m

é o momento fletor na seção crítica, momento máximo no vão para lajes biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para lajes em balanço, para a combinação quase permanente de serviço;

m

é o momento de fissuração da laje, calculado por:

m

= 0,25 f

b h

onde o valor de f

é obtido das seguintes expressões:

- para concretos de classes até C50:

f

= 0,3 f

- para concretos de classes de C55 até C90:

f

= 2,12 ln (1+0,11 f

) onde f

e f

são expressos em MPa.

A flecha imediata deve ser calculada utilizando o módulo de elasticidade secante do concreto:

E

= 

. E

sendo:

0 , 80 1 2 f , 0 8 ,

0

i

  



e onde, E

é o módulo de deformação tangente inicial, que pode ser calculado pelas expressões:

E

= 

. 5600 f

, para f

de 20 MPa a 50 MPa

E

= 21,5.10

. 

(f

/10 + 1,25)

, para f

de 55 MPa a 90 MPa sendo:



= 1,2 para basalto e diabásio



= 1,0 para granito e gnaisse



= 0,9 para calcário



= 0,7 para arenito onde, E

e f

são dados em MPa.

A expressão para cálculo da flecha imediata é a seguinte:

I E 0) p f(t

eq cs

4 ser

d,









onde:

Tabela – Valores de  para lajes armadas em uma direção



1,30



0,53



0,26



12,5

Tabela – Valores de  para lajes armadas em duas direções

a/b 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,99 0,85 0,71 0,59 0,48 0,40

0,25 0,23 0,21 0,18 0,15 0,13

0,46 0,41 0,36 0,30 0,25 0,21

0,83 0,63 0,48 0,35 0,26 0,19

0,25 0,25 0,24 0,23 0,21 0,19

0,91 0,73 0,58 0,46 0,35 0,28

0,48 0,44 0,41 0,36 0,31 0,28

0,24 0,24 0,23 0,20 0,18 0,16

0,44 0,38 0,32 0,25 0,20 0,16

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

(e) calcular a flecha de longa duração, levando em conta as deformações por fluência do concreto:

f(t=) = (1+

) f(t=0)

Considerando, que as lajes não têm armadura de compressão e, a favor da segurança, tomando-se t= e t

=1 mês, tem-se:

1,32 0,68

- 2 1mês) ( t

)

(t

f

           



(f) comparar o valor da flecha de longa duração com o valor da flecha admissível; se a flecha de longa duração for superior à flecha admissível, deve-se incrementar a espessura da laje em 1 cm e voltar ao passo (b); em caso contrário, adota-se a espessura corrente para a laje.

Exemplo de determinação de espessura de uma laje:

A laje, da figura abaixo, corresponde a um dormitório e apresenta revestimento de tacos de madeira na face superior e reboco de 1cm de espessura na face inferior. A laje será executada para um concreto C20 e o agregado graúdo será de granito.

- arbitra-se, inicialmente, que a espessura h=8 cm (valor mínimo);

- calcula-se a carga permanente, que atua na laje:

peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m

revestimento (tacos) = 0,7 kN/m

reboco = 0,2 kN/m

g = 2,9 kN/m

- a carga variável a ser considerada é de 1,5 kN/m

;

- a carga de serviço, correspondente a combinação quase permanente é de:

p

=  g

+  

q

= 2,9 + 0,3 x 1,5 = 3,35 kN/m

- o módulo de elasticidade secante do concreto é de:

0 , 1 85 , 80 0

0 2 2 , 0 8 , 80 0 2 f , 0 8 ,

0

i

     



E

= 

. 

5600 f

= 0,85 x 1 x 5600 (20)

= 21287 MPa a=4m

b=5m

- o valor médio da resistência à tração do concreto:

f

= 0,3 f

= 0,3 (20)

= 2,21 MPa - o momento de fissuração:

m

= 0,25 f

b h

= 0,25 x 0,221 x 100 x 8

= 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/m - o momento de serviço:

m

= 0,039 p



= 0,039 x 3,35 x 4

= 2,09 kN.m/m como m

<m

, a seção não está fissurada e deve-se considerar I

= I

.

- o valor correspondente ao momento de inércia da seção bruta de concreto:

I

= I

= b h

/12 = 100 x 8

/12 = 4267 cm

- a flecha de curta duração é dada por (para a/b=0,8, =0,30):

cm 0,283 7

2128,7x426 00 0,000335x4 0,30

I E 0) p f(t

4

eq cs

4 ser

d,

 





 

- a flecha de longa duração é dada por:

f(t=) = (1+

) f(t=0) = 2,32 x 0,283 = 0,657cm

- a flecha admissível, para a situação de aceitabilidade visual (deslocamentos visíveis em elementos estruturais), é:

f

= /250 = 400/250 = 1,60 cm

Como a flecha provável é inferior à flecha admissível, pode-se adotar para a laje a espessura de 8 cm.

1.7 - Cálculo das solicitações

As lajes podem ser calculadas como placas em regime elástico ou em regime rígido-plástico. Considerar o concreto armado um material elástico é uma boa aproximação para o comportamento das lajes submetidas a cargas de serviço (verificação de estados limites de serviço). Considerar o concreto armado um material rígido-plástico é uma boa aproximação para o comportamento das lajes na ruptura (verificação de estados limites últimos).

Para garantir condições apropriadas de dutilidade, quando as solicitações forem determinadas no estado limite último através do regime rígido-plástico, a posição da linha neutra deve ficar limitada em:

MPa f 50

se 25 , 0 d

x 



MPa f 50

se 15 , 0 d

x 



No estado limite último, para lajes retangulares, deve ser adotada uma razão mínima de 1,5:1 entre momentos de borda e momentos no vão.

Em lajes de estruturas de edifícios correntes, as cargas atuantes são relativamente

baixas e não é necessária a verificação das tensões devidas às forças cortantes e nem o

dimensionamento de armadura transversal.

1.8 – Dimensionamento das armaduras

O dimensionamento das armaduras das lajes deve ser feito para uma seção retangular de largura b = 100 cm e altura útil d = h – c – 0,5cm.

Conforme a classe de agressividade ambiental, que a laje se encontra exposta, o cobrimento da armadura é dado pela tabela seguinte:

classe de agressividade ambiental I II III IV cobrimento nominal (mm) 20 25 35 45

Para a face superior das lajes, que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por um cobrimento nominal de 15 mm, não podendo ser inferior ao diâmetro das barras de armadura.

O dimensionamento da armadura à flexão simples deve ser feito pelas seguintes expressões (armadura simples):

 





 





 

 



c cd d

d b f

m 1 2

d 1 x

f x b A f

yd c cd s

 



onde o valor do parâmetro λ pode ser tomado igual a:

λ = 0,8 para f

≤ 50 MPa; ou λ = 0,8 – (f

- 50)/400 para f

> 50 MPa e α

é definido como:

- para concretos de classes até C50: α

= 0,85

- para concretos de classes de C55 até C90: α

= 0,85 [1,0 - (f

- 50) / 200]

Esta armadura deve atender os valores mínimos indicados na tabela abaixo.

Tabela - Valores mínimos para armaduras em lajes de concreto armado

Armadura Armaduras

negativas

Armaduras negativas de bordas

sem continuidade

Armaduras positivas de lajes armadas nas duas

direções

Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma

direção

Armadura de distribuição nas lajes armadas em

uma direção

Valores mínimos para armaduras



s min



s 0,67min 

s 0,67min



s min

s/s 20 % da armadura principal

s  0,5 min

s/s 0,9cm²/m

A armadura mínima deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15%:

M

= 0,8 W

f

onde:

W

é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada;

f

é a resistência característica superior do concreto à tração, conforme o item 8.2.5 da NBR6118:2014:

f

= 1,3 f

- para concretos de classes até C50:

f

= 0,3 f

- para concretos de classes de C55 até C90:

f

= 2,12 ln (1+0,11 f

) onde f

e f

são expressos em MPa.

Alternativamente, a armadura mínima pode ser considerada atendida se forem respeitadas as taxas mínimas de armadura da abaixo.

Tabela - Taxas mínimas de armadura de flexão

Forma da seção

Valores de mín1)

(As,mín/Ac)

%

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Retangular ^{0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256}

1) Os valores de mín estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h = 0,8, c = 1,4 e s = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, mín deve ser recalculado.

A NBR-6118:2014 (item 20.1) apresenta, ainda, as seguintes prescrições gerais relativas às armaduras das lajes:

 As armaduras devem ser detalhadas no projeto de forma que durante a execução seja garantido o seu posicionamento durante a concretagem.

 Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8.

 As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm.

 Nas lajes maciças armadas em uma ou em duas direções, toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios, não se permitindo escalonamento desta armadura. A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio.

 A armadura de distribuição, nas lajes armadas em uma só direção, deve ser igual ou

superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre

barras de no máximo 33 cm.

Recomendam-se os seguintes critérios para a escolha da bitola e do espaçamento das armaduras das lajes:

- para a armadura negativa (colocada junto à face superior da laje):

diâmetro mínimo:  5

espaçamento: entre 15 e 20cm

- para a armadura positiva (colocada na face inferior da laje):

diâmetro mínimo:  4,2 espaçamento: entre 10 e 15cm

Tabela – Áreas de armadura por unidade de comprimento (cm

/m), para diferentes bitolas e espaçamentos

10cm 11cm 12cm 13cm 14cm 15cm 16cm 17cm 18cm 19cm 20cm 21cm 22cm 23cm 24cm 25cm

4,2 1,39 1,26 1,16 1,07 0,99 0,93 0,87 0,82 0,77 0,73 0,70 0,66 0,63 0,60 0,58 0,56

4,6 1,66 1,51 1,38 1,28 1,19 1,11 1,04 0,98 0,92 0,87 0,83 0,79 0,75 0,72 0,69 0,66

 1,96 1,78 1,63 1,51 1,40 1,31 1,23 1,15 1,09 1,03 0,98 0,93 0,89 0,85 0,82 0,78

5,5 2,38 2,16 1,98 1,83 1,70 1,59 1,49 1,40 1,32 1,25 1,19 1,13 1,08 1,03 0,99 0,95

6 2,83 2,57 2,36 2,18 2,02 1,89 1,77 1,66 1,57 1,49 1,42 1,35 1,29 1,23 1,18 1,13

 3,12 2,84 2,60 2,40 2,23 2,08 1,95 1,84 1,73 1,64 1,56 1,49 1,42 1,36 1,30 1,25

4 3,22 2,93 2,68 2,48 2,30 2,15 2,01 1,89 1,79 1,69 1,61 1,53 1,46 1,40 1,34 1,29

 3,85 3,50 3,21 2,96 2,75 2,57 2,41 2,26 2,14 2,03 1,93 1,83 1,75 1,67 1,60 1,54

 5,03 4,57 4,19 3,87 3,59 3,35 3,14 2,96 2,79 2,65 2,52 2,40 2,29 2,19 2,10 2,01

 7,09 6,45 5,91 5,45 5,06 4,73 4,43 4,17 3,94 3,73 3,55 3,38 3,22 3,08 2,95 2,84

10 7,85 7,14 6,54 6,04 5,61 5,23 4,91 4,62 4,36 4,13 3,93 3,74 3,57 3,41 3,27 3,14

12,5 12,27 11,15 10,23 9,44 8,76 8,18 7,67 7,22 6,82 6,46 6,14 5,84 5,58 5,33 5,11 4,91

2 - Lajes armadas em uma só direção

As lajes armadas em uma só direção são dimensionadas como se fossem vigas. A vinculação é definida segundo o vão menor “a”.

Nas lajes armadas em uma só direção, podem ocorrer os seguintes esquemas estruturais:

vinculação regime elástico regime rígido-plástico m

= p

/8

r = p/2

m

= p

/8 r = p/2

m

= -p

/8 m

= 9p

/128 r

= p/2 + |M

|/

r

= p/2 - |M

|/

m

= -p

/8,88 m

= p

/13,32 r

= p/2 + |M

|/

r

= p/2 - |M

|/

m

= -p

/12 m

= p

/24

r = p/2

m

= -3p

/40 m

= p

/20

r = p/2

m

= -p

/2 r = p

m

= -p

/2 r = p

p



p



p



p



Exemplo:

* Seja uma laje em balanço, com vão efetivo de 1,50m, correspondente a uma sacada, que está rebaixada de 20cm, e recebe um enchimento de 15cm além do revestimento cerâmico e um reboco de 1cm. Considerar concreto C20 (agregado graúdo de granito) e aço CA-50.

São três os carregamentos atuantes sobre a laje em balanço:

(a) carga permanente uniformemente distribuída:

peso próprio:

enchimento – 0,15m x 14 kN/m

: revestimento cerâmico:

reboco:

h x 25 kN/m

2,1 kN/m

0,85kN/m

0,2 kN/m

g = 3,15kN/m

+ h x 25kN/m

(b) carga variável uniformemente distribuída: q = 1,5 kN/m

(c) carga variável linear na borda livre da laje:

Q

= 2 kN/m Q

= 0,8 kN/m

Para o projeto desta laje, devem ser consideradas combinações últimas e de serviço:

- combinações últimas:

 

 



   

 

 



n 2

j 0j Qj,k k

q Q1, m

1 i Gi,k

d g

F F F

F

- combinação quase-permanente de serviço:

  

 





n j

k Qj, 2j m

1 i

k Gi,

d

F F

F

1

Conforme a norma brasileira, 

= 

= 

= 1,4 e, para edifícios residenciais, 

=0,5 e 

=0,3.

p Q

Q



1m

Para a determinação da espessura da laje, é necessária a verificação do estado limite de deformações excessivas. Arbitra-se, inicialmente, que a espessura da laje é de 10 cm.

- as cargas de serviço são:

p

= g + 0,3 q = 0,10m x 25kN/m

+ 3,15kN/m

+ 0,3 x 1,5kN/m

= 6,10kN/m

P

= 0,3 x 2kN/m = 0,6 kN/m

P

= 0,3 x 0,8 kN/m = 0,24 kN/m - o módulo de elasticidade secante do concreto é de:

0 , 1 85 , 80 0

0 2 2 , 0 8 , 80 0 2 f , 0 8 ,

0

i

     



E

= 

. 

5600 f

= 0,85 x 1 x 5600 (20)

= 21287 MPa - o valor médio da resistência à tração do concreto:

f

= 0,3 fck

= 0,3 (20)

= 2,21 MPa - o momento de fissuração:

m

= 0,25 f

b h

= 0,25 x 0,221 x 100 x 10

= 559 kN.cm/m = 5,59 kN.m/m - o momento de serviço:

kN.m/m 00

, 8 1 x 0,24 1,5 x 2 0,6

x 1,5 (1m) 6,10

P 2 P

p m

2 ser

dH, ser

dV, 2 ser d,

a

        

como m

>m

, a seção está fissurada e deve-se considerar I

= 0,30 I

. - o valor correspondente ao momento de inércia equivalente da seção:

I

= 0,30 I

= 0,30 b h

/12 = 0,30 x 100 x 10

/12 = 2500 cm

- a flecha de curta duração é dada por:

 





 



  



 2/100

P (1m) 3/100

P 8/100 p I E 0) 1 f(t

ser 2 3 dH,

ser dV, 4 ser d, eq cs



 

cm 90 , 2/100 0

x150 0,0024x100 3/100

0,006x150 8/100

0,00061x150 2500

x 2128,7 0) 1 f(t

2 3

4 



 



  





- a flecha de longa duração é dada por:

f(t=) = (1+

) f(t=0) = 2,32 x 0,90 = 2,09cm

- conforme a norma, quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço; a flecha admissível, para a situação de aceitabilidade visual (deslocamentos visíveis em elementos estruturais), será então:

f

= /250 = (2x150)/250 = 1,20 cm

Desta forma, como a flecha provável é maior do que a flecha admissível, torna-se

necessário o aumento da espessura da laje, com verificações sucessivas do estado limite de

deformações excessivas. Estas verificações estão resumidas na tabela abaixo.

Tabela – Verificação do estado limite de deformações excessivas h

(cm)

p

(kN/m

)

m

(kN.m/m)

m

(kN.m/m)

I

(cm

)

f(t=0) (cm)

f(t=) (cm)

10 6,10 5,59 8,00 2500 0,90 2,09

11 6,35 6,69 8,28 3328 0,70 1,63

12 6,60 7,96 8,57 4320 0,56 1,29

13 6,85 9,34 8,85 18308 0,12 0,27

Assim, a menor espessura da laje, que atende o estado limite de deformações excessivas é de h=13cm. Para esta espessura, a flecha provável de 0,27 cm é inferior a flecha admissível de 1,20 cm.

Para o dimensionamento da armadura, no estado limite último, devem se consideradas duas combinações últimas de carga: a primeira tem a carga variável distribuída como ação variável principal e a segunda tem o carregamento linear da borda livre da laje como ação variável principal.

- a carga distribuída q é a ação variável principal:

g = 3,15 + 0,13 x 25 = 6,40 kN/m

p = 6,40 + 1,50 = 7,90 kN/m

P

= 0,5 x 2,0 = 1,0 kN/m P

= 0,5 x 0,8 = 0,4 kN/m

kN.m/m 79

, 0 1 1 x 0,4 1,5 x 0 , 2 1

x 1,5 (1m) 7,90

P 2 P

m p

2 H

V

2

     

  

- o carregamento linear de borda (Q

, Q

) é a ação variável principal:

g = 3,15 + 0,13 x 25 = 6,40 kN/m

p = 6,40 + 0,5 x 1,50 = 7,15 kN/m

P

= 2,0 kN/m P

= 0,8 kN/m

kN.m/m 84

, 11 1 x 0,8 1,5 x 0 , 2 2

x 1,5 (1m) 7,15

P 2 P

m p

2 H

V

2

     

  

O esforço normal n=P

é pequeno, frente ao momento fletor, e pode ser desprezado

para o dimensionamento da armadura. Deste modo, a armadura deve ser calculada para o

momento de 11,84 kN.m/m. Conforme a NBR6118:2014, no dimensionamento das lajes

em balanço, os esforços solicitantes de cálculo devem ser multiplicados por um coeficiente

adicional γ

= 1,95 – 0,05 h = 1,30, considerando que a espessura da laje é de 13 cm.

- dimensionamento à flexão simples:

m = 1184 kN.cm/m f

= 20 MPa b = 100 cm h = 13 cm

d = h – c – 0,5cm = 13 – 1,5 – 0,5 = 11 cm

cm 19 , 2 x100x11 0,85x2/1,4

x1,4x1184 1,30

x 1 2 8 1

, 0

11 d

f b m 1 2

d 1

x

c cd

n d

  



 

  

 







 







 

 



(x/d = 2,19/11 = 0,20 < 0,25 OK.)

/m cm 89 , 15 4

, 1 / 50

19 , 2 x 100 x 4 , 1 / 2 x 8 , 0 x 85 , 0 f

x f b

A

yd c cd

S

    

- armadura mínima:

A

= 0,15% bh = 0,15 x 13 = 1,95 cm

/m < A

 armadura adotada: 10 c/16 cm - armadura de distribuição:

 























m cm / 9 , 0

m cm / 98 , 2 0 95 , 1 2 A

m cm / 98 , 5 0

89 , 4 5 A

A

2 Smín 2

2 Sprinc

Sdistr

A

  4,2 c/14cm ou  5 c/20cm

 10 c/16 cm

 4,2 c/14 cm

5 c/20 cmou

2.1 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares paralelas ao vão

A nova versão da NBR6118:2014 não traz recomendações específicas para o cálculo de lajes armadas em uma só direção submetidas a cargas lineares. Por esta razão, recomenda-se, ainda, o emprego das recomendações constantes na versão anterior da norma.

Conforme a NBR6118:1980, as cargas se distribuem a 45

até o plano médio da laje e se pode calcular a laje armada em uma só direção como uma viga de largura b

, onde:

b

= b +  sendo  dado por:

(a) para momentos fletores positivos:

 

  

 

  

  2 .

.

1

a  a . b

 

(b) para momentos fletores negativos:

 

  

 

  

  a

2 a

b

. . 1

 .

 

(c) para momentos fletores em lajes de balanço:

   

  

  1 5 , . a

. 1 b



onde a

é a distância do centro da carga ao apoio para cujo lado está a seção que se estuda.

Para se adotar estes valores de b

, deve-se cumprir que:

(I) b

 B (II) b

 2 C (III)

s A b 0,8 b s 1

A

w Sdistr

 

 



 



Esta armadura de distribuição deverá se estender sobre toda a largura b

, acrescida de um comprimento de 50  para cada lado de b

(comprimento de ancoragem).

a

b = a + h

45^o 45^o h

B

C bw



2.2 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares perpendiculares ao vão

Para o dimensionamento de lajes armadas em uma só direção, submetidas a cargas lineares na direção perpendicular ao vão, deve-se determinar a solução do problema específico, utilizando o método das rótulas plásticas (regime rígido-plástico).

2.3 – Exemplo de laje armada em uma só direção com carga linear paralela ao vão

Seja uma laje armada em uma só direção, que recebe uma parede de 12 cm de espessura e 2,60 m de altura (alvenaria com 13kN/m

de peso específico). Considerar o concreto C20 (agregado graúdo de granito) e o aço CA-50.

Arbitra-se, inicialmente, que h = h

= 8 cm.

- cálculo da largura de influência da parede (vão):

cm 2 140

280 a

 2   

b = a + h = 12 + 8 = 20 cm b

= b + 

 

cm 280 130

1 20 280

140) 2x140(280 1 b

a . . 2.a

V

 



 

  

 

 

 

  

 

  



b

= 20 + 130 = 150 cm

 P p

p

b

- composição de cargas:

peso próprio – 0,08m x 25kN/m

: revestimento (tacos):

reboco:

parede: 0,12mx2,60mx13kN/m

/1,50m:

2,0 kN/m

0,7 kN/m

0,2 kN/m

2,7 kN/m

g = 5,6 kN/m

carga variável: q = 1,5 kN/m

- carga de serviço:

p

= g + 

q = 5,6 + 0,3x1,5 = 6,05kN/m

- momentos da seção crítica e de fissuração:

(elástico) kN.m/m

128 3,34 x 2,8 6,05 x 9 128 p 9 m

2 2 ser d,

a

   

f

= 0,3 f

= 0,3 (20)

= 2,21 MPa

m

= 0,25 f

b h

= 0,25 x 0,221 x 100 x 8

= 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/m como m

<m

, a seção não está fissurada e deve-se considerar-se I

= I

.

- flecha imediata:

E

= 

x 

x 5600 f

= 0,85 x 1 x 5600 (20)

= 21287 MPa I

= I

= b h

/12 = 100 x 8

/12 = 4267 cm

cm 0,217 4267

x 2128,7

280 x 0,000605 0,53

I E 0,53 p 0) f(t

4

eq cs

4 ser

d,

 



 

- flecha provável:

f(t=) = (1+

) f(t=0) = 2,32 x 0,217 = 0,503cm - flecha admissível:

f

= /250 = 280/250 = 1,12 cm

Assim, como a flecha provável é menor do que a flecha admissível, a espessura adotada é suficiente.

Conforme as exigências da NBR6118:2014, relativas aos cobrimentos das

armaduras, admitir-se-á como altura útil da laje, no vão, d=5,5cm e, no engaste, d=6cm.

- largura de influência da parede:

cm 2 140

280 a

 2   

b = a + h = 12 + 8 = 20 cm b

= b + 

 

cm 280 130

1 20 280

140) 2x140(280 1 b

a . . 2.a

V

 



 

  

 

 

 

  

 

  



 

cm 280 195

1 20 280

140) 140(2x280 1 b

a . .

a

E

 



 

  

 

 

 

  

 

  

 2

b

= 20 + 130 = 150 cm b

= 20 + 195 = 215 cm - Trecho fora da faixa de largura b

:

peso próprio – 0,08 x 25 = 2,0 kN/m

revestimento (tacos) = 0,7 kN/m

reboco = 0,2 kN/m

q = 1,5 kN/m

4,40 kN/m

kN.m/m 59

, 32 2 , 13

80 , 2 x 40 , 4 32 , 13 m p

2 2

V

   

; 3 , 88 kN.m/m

8,88 4,40x2,80 8,88

m p

2 2

E

      

 





 





 

 



c cd d

d b f

m 1 2

d 1 x

f x f b A

yd c cd S

 



m (kN.m/m)

d (cm)

x

(cm)

A

(cm

)

A

(cm

)

vão 2,59 5,5 0,716 0,130 1,60 1,20 5c/12

engaste 3,88 6,0 0,998 0,166 2,23 1,20 c/14

 armadura de distribuição (no vão):

 





 

















m / cm 9 , 0

m cm / 60 , 2 0 20 , 1 2 A

m cm / 32 , 5 0 60 , 1 5

A A

2 Smín 2

Sprinc 2

Sdistr

adotado: 0,9 cm

/m  5 c/21

- Trecho de largura b

, onde atua a carga de parede, além da carga superficial de 4,4 kN/m

.

* no vão:

b

= 150 cm

p = 0,12m x 2,6m x 13kN/m

= 4,06 kN/m p’= 4,06 kN/m/1,50m = 2,71 kN/m

kN.m/m 18

, 13,32 4

2,71)x2,80 (4,40

13,32 m p

2 2

V

    

b = 100 cm; d = 5,5 cm cm 1,200 d

f b m 1 2

d 1

x

c cd

d

  





 





 

 

 (x/d = 0,218<0,25)

/m cm A 1,20

/m cm f 2,68

x f b

A

2 yd

c cd

S

       6,3 c/11

/m cm 150 2,39

0,8x20 1

68 , 2 b A

0,8 b 1

A

w

Sdistr

 



 

  

 



 



 



2,39 cm

/m - 0,93 cm

/m = 1,46 cm

/m ( c/21)

* no engaste:

b

= 215 cm p = 4,06 kN/m

p’= 4,06 kN/m/2,15m = 1,89 kN/m

kN.m/m 55

, 8,88 5

)x2,80 89 , 1 (4,40 8,88

m p

2 2

E

       

b = 100 cm; d = 6,0 cm

cm 479 , d 1

b f

m 1 2

d 1

x

c cd

d

  





 





 

 

 (x/d = 0,247<0,25)

/m cm A 1,20

/m cm f 3,30

x b

A f

2 yd

c cd

S

        c/15

- armadura negativa:

- armadura positiva:

215 cm

6,3 c/14  c/15  c/14

150 cm

5 c/12  c/11 5 c/12

5 c/21

 c/21

213 cm

3 - Lajes armadas em duas direções

3.1 – Solicitações conforme o regime elástico

Para a verificação de estados limites de serviço, deve-se considerar os momentos fletores determinados pelo regime elástico. No caso das lajes armadas em duas direções, estes valores podem ser calculados pela expressão:

m =  p 

onde  é o vão menor da laje e p é a carga superficial atuante na laje. O valor de  deve ser retirado de uma tabela, em função da relação entre os vãos e da vinculação da laje.

3.2 – Solicitações conforme o regime rígido plástico

Para o dimensionamento da armadura das lajes, no estado limite último, devem ser empregados os momentos fletores determinados considerando-se o regime rígido-plástico.

O método que utiliza este regime para o cálculo dos momentos das lajes é conhecido por método das linhas de ruptura.

Conforme este método, em uma laje retangular, engastada nas quatro bordas, vão aparecer momentos fletores negativos nos engastes, dados por:

m’ = - i . m

onde i é o grau de engastamento e m é o momento do vão.

Tabela – Valores de  para lajes armadas em duas direções (regime elástico)

a/b 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

m

0,099 0,086 0,073 0,061 0,051 0,042 m

0,032 0,037 0,040 0,042 0,043 0,042 m

0,041 0,038 0,034 0,029 0,025 0,021 m

0,010 0,013 0,017 0,018 0,020 0,021 m

’ 0,084 0,080 0,074 0,067 0,059 0,052 m

’ 0,058 0,058 0,058 0,057 0,055 0,052 m

0,057 0,052 0,045 0,039 0,033 0,027 m

0,016 0,020 0,024 0,026 0,027 0,027 m

’ 0,119 0,111 0,101 0,091 0,080 0,070 m

’ 0,082 0,082 0,080 0,078 0,074 0,070 m

0,084 0,065 0,049 0,037 0,027 0,020 m

0,036 0,038 0,039 0,037 0,034 0,031 m

’ 0,119 0,111 0,102 0,091 0,080 0,070 m

0,042 0,041 0,039 0,037 0,034 0,031 m

0,008 0,010 0,013 0,016 0,018 0,020 m

’ 0,084 0,083 0,082 0,078 0,074 0,070 m

0,091 0,075 0,060 0,048 0,037 0,030 m

0,034 0,038 0,040 0,039 0,038 0,036 m

’ 0,122 0,117 0,110 0,102 0,093 0,084 m

0,060 0,056 0,051 0,046 0,040 0,036 m

0,015 0,019 0,023 0,026 0,028 0,030 m

’ 0,122 0,116 0,109 0,101 0,093 0,084 m

0,042 0,040 0,037 0,033 0,029 0,026 m

0,009 0,012 0,015 0,018 0,019 0,021 m

’ 0,085 0,083 0,079 0,074 0,068 0,062 m

’ 0,056 0,057 0,058 0,058 0,057 0,055 m

0,055 0,048 0,040 0,033 0,026 0,021 m

0,018 0,023 0,025 0,027 0,026 0,026

’

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

Chamando-se de 1, 2, 3, 4 os lados da laje, começando a numeração sempre por uma borda de menor comprimento, os graus de engastamento serão i

, i

, i

e i

, com valores:

 entre 0,7 e 2,0, para as bordas engastadas (a NBR6118 recomenda que i  1,5);

 igual a 0, para as bordas apoiadas.

Sendo:

m

: o momento correspondente à armadura As

, paralela ao vão “a”

m

: o momento correspondente à armadura As

, paralela ao vão “b”

Os momentos negativos vão ser:

m

’ = - i

. m

m

’ = - i

. m

m

’ = - i

. m

m

’ = - i

. m

(a) cargas uniformemente distribuídas:

(a.1) lajes isótropas:

As lajes com 0,8 a/b 1 são consideradas lajes isótropas, isto é, m

= m

= m e As

= As

. O momento no vão será calculado por:

 

 



  



a b b a

b p a m

r r r r

r r

1 8

onde, p é a carga superficial e a

e b

são os vãos reduzidos, que dependem dos graus de

engastamento i

, i

, i

, i

.

4 2

r

1 i 1 i

a a 2





 

3 1

r

1 i 1 i

b b 2





 

(a.2) lajes ortótropas:

As lajes com 0,5  a/b < 0,8 são consideradas lajes ortótropas, ou seja, m

 m

e As

 As

.

O coeficiente de ortotropia é definido por:

  m m

b a

e pode ser calculado por

   

 



  

  12

12

2 4

1 3

i i

i i a . b

,

A laje ortótropa é calculada pelas mesmas fórmulas da isótropa, considerando-se que o lado maior b tem um comprimento ^b

 . Assim,

 b

 br

 

 



  



a b b 1 a 8

b p a m

r

*r

*r r

*r r

com

4 2

r

1 i 1 i

a a 2





 

r

1 i 1 i

b b 2





 

m

’ = - i

. m

m

’ = - i

. m

m

’ = - i

. m

m

’ = - i

. m

(b) cargas lineares:

O formulário do método das linhas de ruptura, para lajes submetidas a cargas lineares, paralelas aos vãos “a” e “b”, sendo as cargas superficiais predominantes, é o seguinte:

  p p b

a

.   p

p a

b

. p *  p  1    2  

4 2

r

1 i 1 i

a a 2





 

3 1

*

r

1 i 1 i

b . 2

3 1

2 . 1

b 1





 











 

 





 



  



a b b 1 a 8

a b m p

r

* r

* r r

* r r

*

com m

= m e m

=  m .

Este formulário foi obtido para a pior situação de posição da parede e com um

comprimento ao longo de toda laje. Pode-se usar este mesmo formulário em outras

situações a favor da segurança.

3.3 – Dimensionamento e detalhamento das armaduras

Após a determinação dos momentos nos vãos m

e m

e dos momentos nos engastes m

’, m

’, m

’ e m

’, o dimensionamento das armaduras é feito da seguinte maneira:

(a) laje isótropa: dados: b = 100 cm; d = h – c – 0,5cm; m=m

=m

calcular: A

= A

= A

(b) laje ortótropa: dados: b = 100 cm; d

= h – c – 0,5cm; m=m

calcular: A

= A

dados: b = 100 cm; d

= h – c – 1cm; m=m

calcular: A

= A

Neste cálculo, admite-se que d

difere de d

de um  (~5mm). Nas lajes isótropas, usa-se um d único para se ter A

= A

. Sempre a armadura do menor vão deve ser colocada por baixo da armadura do vão maior.

Conforme a NBR6118, quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes vizinhas podem ser consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos momentos de continuidade (negativos) de forma aproximada. A compatibilização pode ser realizada mediante alteração dos graus de engastamento, em procedimento iterativo, até a obtenção de valores equilibrados nas bordas. Permite-se, simplificadamente, a adoção do maior valor de momento negativo ao invés de equilibrar os momentos de lajes diferentes sobre uma borda comum.

Desta forma, as lajes são calculadas separadamente, mas devem ter uma armadura única de continuidade ao longo da borda comum que foi considerada engastada. Para isto, deve-se dimensionar a armadura para o maior entre os dois momentos de engastamento e a menor das alturas úteis. Estas armaduras devem se estender para cada lado do eixo do apoio de um comprimento igual a 1/4 do maior dos vãos menores das duas lajes consideradas.

Nos apoios de borda de piso, onde a laje termina, deve ser colocada uma armadura de contorno correspondente a uma taxa de 0,67 

, não menor do que 5 c/20 cm (1 cm

/m), com uma extensão igual a 1/5 do vão menor da laje.

A armadura correspondente a uma laje em balanço deve se estender, na laje adjacente, de um comprimento igual ao da laje em balanço. Quando o comprimento da laje em balanço ultrapassar 3 m é conveniente colocar uma armadura, nas duas direções,

d

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