2 Modelos de Volatilidade Condicional

Modelos de Volatilidade Condicional

2.1

Introdução

A teoria de análise de séries temporais, em particular os modelos ARIMA Box-Jenkins, permite a modelagem de variáveis de interesse, a partir da formulação explícita da dependência linear apresentada pelas mesmas.

Dentre os modelos empregados, podemos destacar os autoregressivos.

Um processo autoregressivo de ordem p (AR(p)), para uma determinada variável y

t

, tem a seguinte forma:

t p t p t

t

t

c y y y u

y = + φ

₁

.

₋₁

+ φ

₂

.

₋₂

+ _K + φ .

₋

+ (2.1.1)

Onde, u

_t

assume a forma de um ruído branco.

( )

( )

⎩ ⎨

⎧

≠

→

=

= →

=

τ τ λ

τ

t

w t w E

w E

t t

0 0

2

Dessa forma, pode-se afirmar que:

- O processo será estacionário de segunda ordem, caso as raízes do polinômio em “z” estejam localizadas fora do círculo unitário;

0 . .

.

1 − φ

₁

z − φ

₂

z

²

− _K − φ

_p

z

^p

= (2.1.2)

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- A previsão um passo à frente, condicional a toda informação disponível no instante de tempo “t-1”, corresponde à projeção linear da variável de interesse sobre uma constante e seus próprios defasamentos (média condicional);

- Enquanto o valor da média condicional do processo é expresso como função daqueles observados para os respectivos defasamentos, a média incondicional, considerando o processo como sendo estacionário de segunda ordem, se mostra constante.

Para determinadas séries temporais, em particular aquelas observadas no mercado financeiro, pode ser interessante a realização de previsões, não somente relacionadas ao nível da variável, como também à variância da mesma.

A variância de séries financeiras representa um dos assuntos de maior importância na atualidade, uma vez que investidores racionais exigirão um prêmio maior, à medida que a volatilidade (incerteza) dos retornos de seus investimentos aumenta.

Aos pontos enumerados acima, soma-se o fato de que mudanças no regime da volatilidade afetam a própria eficiência das inferências estatísticas com relação aos parâmetros do modelo (c, φ

1

, φ

2

, ..., φ

p

).

2.2

Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH)

Introduzidos por Engle (1982), o modelo ARCH propõe uma formulação autoregressiva para capturar a estrutura de dependência linear existente na variância do ruído de uma determinada série de interesse.

Dessa forma, sendo o processo estocástico definido pela equação 2.1.1, diz-se que u

t2

segue um processo ARCH (m), desde que este assuma a seguinte forma funcional:

t m t m t

t

t

u u u w

u

²

= ς + α

₁

.

²₋₁

+ α

₂

.

²₋₂

+ _K + α .

²₋

+ (2.2.1)

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Onde, w

_t

corresponde a um ruído branco.

• Esperança condicional:

[ ]

2 ²2 ²

2 1 1 1

2 _t

.

_t

.

_{t m}

.

_{t m}

t

I u u u

u

E

₋

= ς + α

₋

+ α

₋

+ _K + α

₋

(2.2.2)

• Como u

_t²

≥ 0 , então, tem-se:

ƒ Equação 2.2.1 – deve ser não-negativa;

ƒ Equação 2.2.2 – deve ser positiva.

• Pode-se garantir que as condições acima sejam atendidas, se:

ƒ − ς < w

_t

;

ƒ 0 < ς ;

ƒ α

_j

≥ 0 → j = 1 , 2 , K , m .

• Estacionaridade de segunda ordem (covariância):

ƒ Raízes do polinômio em Z devem corresponder a valores fora do círculo unitário.

0 .

. .

1 − α

₁

z − α

₂

z

²

− _K − α

_m

z

^m

= (2.2.3)

Como α

_j

≥ 0 → j = 1 , 2 , K , m , então: α

₁

+ α

₂

+ _K + α

_m

< 1

Uma vez satisfeitas as condições de estacionaridade de segunda ordem e aquelas referentes à própria característica dos dados de interesse, tem-se:

• Variância incondicional de u

t

:

[ ] _{( )}

m

u

t

E ς α α α

σ = = _{− − − −}

K

2 1 2

2

1 (2.2.4)

• Previsão “s” passos-à-frente:

( , , K )

ˆ

_t²_+st

= E u

_t²_+s

u

_t²

u

_t²₋₁

u (2.2.5)

( ) ( ) (

2 ² 2 ²

) (

^{2 2}

)

2 2

1 1 2

2

ˆ ˆ ˆ

ˆ

_t+jt

− σ = α u

_{t+j− t}

− σ + α u

_{t+j− t}

− σ + + α

_m

u

_t+j−mt

− σ

u K (2.2.6)

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s j = 1 , 2 , K ,

Dessa forma, u ˆ

_t²_+st

⎯ ⎯→

^p

σ

²

(considerando os pressupostos assumidos).

2.2.1

Representação alternativa

Corresponde a um pressuposto mais forte sobre a dependência de u

_t

. Seja:

( ) 0 , 1

~

. iid

h

u

_t

=

_t

ν

_t

→ ν

_t

(2.2.7)

( )

_t

= 0 E ν

( )

t²

^{= 1}

E ν

Se h

_t

= ς + α

₁

. u

_t²₋₁

+ α

₂

. u

_t²₋₂

+ _K + α

_m

. u

_t²_−m

(2.2.8)

Então:

ARCH(m): ( )

2 ²2 ²

2 1 1 2

1 2

2_{s t}

,

_t

, .

_t

.

_{t m}

.

_{t m}

t

u u u u u

u

E

_{+ −}

_K = ς + α

₋

+ α

₋

+ _K + α

₋

(2.2.9)

Substituindo (2.2.7) e (2.2.8) em (2.2.1), segue:

( ¹ )

.

_t

=

_t

+

_t

∴

_t

=

_{t t}²

−

t

h w w h

h ν ν (2.2.10)

Assim, a variância (condicional) de w

t

será: E ( ) w

t²

^{= λ}

²

.

Cabe ressaltar que a variância incondicional de w

t

(quarto momento – curtose) não existe para todos os modelos ARCH estacionários.

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2.2.2

Estimação dos parâmetros (máxima verossimilhança)

• ν

t

é Gaussiano:

Seja a equação de regressão

t T

t

t

X u

y = . β + (2.2.11)

Onde,

X

t

– variáveis explicativas (incluindo defasamentos de y

t

)

t t

t

h

u = . ν ν

_t

~ N ( ) 0 , 1 (2.2.12)

2 2

2 2 2

1

1

.

_t

.

_{t m}

.

_{t m}

t

u u u

h = ξ + α

₋

+ α

₋

+ _K + α

₋

Condicionando a estimação nas m primeiras observações (t = -m+1, - m+2,..., 0). t = 1, 2, ..., T.

Seja Y

_t

= (y

_t

, y

_t-1

,..., y

₁

, y

₀

,..., y

_-m+1

, X’

_t

, X’

_t-1

,..., X’

₁

, X’

₀

,..., X’

_-m+1

). Então, sendo ν

t

~ i.i.d. N(0, 1) e ν

t

independente de X

t

e Y

t

, tem-se que a distribuição condicional de y

t

é gaussiana com média X’β e variância h

t

.

( ) ( )

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ −

−

−

=

t T t t t

t t

t

h

X y Y h

X y f

2 1

. . 2 exp 1 . .

. 2

; 1 β

π (2.2.13)

Onde,

( )

2

(

2 2

)

²

( )

²

2 1 1

1

. . β α . . β α . . β

α

ξ

_{t t}^T _{t t}^T _{m t m t}^T_m

t

y X y X y X

h = +

₋

−

₋

+

₋

−

₋

+ K +

₋

−

₋

[ ( ) β ]

^T

. δ

t

Z

h = (2.2.14)

( ξ α α α

m

)

δ = ,

₁

,

₂

, K , (2.2.15)

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[ ^Z ( ) ^β ]

^T

⁼ [ ^{1 ,} ( ^y

^t−1

^{− X}

^tT−1

^{. β} ) (

²

^{, y}

^t−2

^{− X}

^tT−2

^{. β} )

²

^, K ^, ( ^y

^t−m

^{− X}

^tT−m

^{. β} )

²

] (2.2.16) Sendo θ o vetor de hiperparâmetros.

( )₁

( β ' , δ ' )

θ

_ax

≡

Log-verossimilhança:

( ) _∑ [ ( ) ]

= −

=

^T

t

t t

t

X Y

y f L

1

1

;

;

log θ

θ

( ) ( ) _∑ ( ) _∑ ( )

=

=

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

^T

t t

T t t T

t

t

h

X h y

L T

1

2

1

. . 2 log 1

2 . . 1 2 log 2 .

π β

θ (2.2.17)

Trata-se, portanto, de um problema de otimização não-linear com restrições (estacionaridade).

( ) ( ) ( ) ( )

1 0 . .

. . 2 log 1

2 . . 1 2 log 2 .

1

1

2

1

<

→

≥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

∑

∑

∑

=

=

=

m

j j j

T

t t

T t t T

t

t

j todo para a

s

h X h y

L T Max

α α

π β θ

2.3

Outras formulações propostas

2.3.1 GARCH

Seja:

( ) 0 , 1

~

. iid

h

u

_t

=

_t

ν

_t

→ ν

_t

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2 2

2 2 2

1

1

.

_t

.

_{t m}

.

_{t m}

t

u u u

h = ς + α

₋

+ α

₋

+ _K + α

₋

ARCH(m)

Pode-se imaginar um processo no qual a variância condicional dependa de um número infinito de defasamentos da variável de interesse.

( ) .

_t²

t

L u

h = ς + π (2.3.1)

( ) ∑

^∞

=

=

1

.

j

j

j

L

L π

π (2.3.2)

Dessa forma, poder-se-ia definir π(L) como sendo a razão de dois polinômios de ordem finita, onde as raízes daquele contido no denominador fossem maiores que 1 (um) em módulo.

( ) ( )

( )

_r ^r

m m

L L

L

L L

L L

L L

. .

. 1

. .

.

1

₁ ¹ ₂ ²

2 2 1 1

δ δ

δ

α α

α δ

π α

−

−

−

−

+ +

= +

= −

K K

Aplicando π(L) ter-se-ia:

( ) ( ) ^.

²

1

^t

t

u

L h L

δ ς α

+ −

=

[ 1 − δ ( ) L ] . h

_t

= [ 1 − δ ( ) L ] . ς + α ( ) L . u

_t²

Assim, GARCH(r, m): h

_t

− δ ( ) L . h

_t

= K + α ( ) L . u

_t²

(2.3.3)

Adicionando u

_t

, tem-se:

( )

²

( ) ( )

²

( )

²

2

2 _t

.

_t

.

_t

.

_t

.

_t

t

t

u u K L u L h L u L u

h + − = + α + δ + δ − δ

Fazendo (u

_t²

– h

_t

) = w

_t

, tem-se:

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( ) ( )

[

t p p t p

]

t t r t r

t

K u u w w w

u

²

= + α

₁

+ δ

₁

.

²₋₁

+ _K + α + δ .

²₋

+ − δ

₁

.

₋₁

− _K − δ .

₋

(2.3.4)

Onde,

w

t

– erro de previsão da variância (ruído branco) – seqüência de diferenças Martingale.

Assim, pode-se propor uma analogia entre o modelo GARCH (r, m) e os modelos ARMA (p, q), onde p = Max (r, m).

Pontos importantes:

- O requerimento de não-negatividade é satisfeito se:

p j

para

K > 0 ; α

_j

≥ 0 ; δ

_j

≥ 0 → = 1 , K ,

- De modo análogo aos processos ARMA, o modelo GARCH se mostrará estacionário de segunda ordem (covariância) se as raízes do polinômio em Z (conforme definido a seguir) apresentarem valores maiores do que 1 (um) em módulo.

( ) ^. ( ) ^. ( ) ^{. 0}

1 − δ

₁

+ α

₁

Z − δ

₂

+ α

₂

Z

²

− _K − δ

_p

+ α

_p

Z

^p

=

Considerando as restrições de não-negatividade, o processo será estacionário se:

( δ

1

+ α

1

) ( + δ

2

+ α

2

) + _K + ( δ

_p

+ α

_p

) < ¹

Tomando por base o que fora apresentado até o presente momento, tem- se que:

• a média incondicional de u

t2

será:

( ) [ _{( ) ( )} (

p p

) ]

t

u K

E σ δ α δ α δ α

+

−

− +

− +

= −

=

1 1 2 2

K

2 2

1 (2.3.5)

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• a previsão û

t+s2

, considerando u

t2

, u

t-12

, ..., u

02

, será:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ^{( )} ( )

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

>

− +

+ +

− +

=

−

−

−

− +

+ +

− +

=

−

− +

− +

−

− +

− +

+

r s p u

u

r s

p w

w

u u

u

s t s

t

r t r t

s

s t s

t

s t

ˆ / ˆ

, , 1 ˆ /

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

2 2

1 1 1 2

2 1 1 1

2 2

1 1 1 2

2 1 1 1

2 2

σ α

δ σ

α δ

δ δ

σ α

δ σ

α δ σ

K

K K

K

(2.3.6)

OBS.

O cálculo da seqüência de variâncias condicionais {h

_t

}

^T_t=1

requer uma

“amostra pré-existente” (h

-p+1

, ..., h

0

e u

-p+12

, ..., u

02

). Para contornar tal problema, Bollerslev propôs o seguinte procedimento:

1) Fazer h

_j

= u

²_j

= σ ˆ

²

→ p / j = ( − p + 1 ) , K , 0 ;

2) Definir _∑ ( )

=

−

−

=

^T

t

T

X

t

y T

1 1 2

2

. .

ˆ β

σ ;

3) Estimar a seqüência {h

t

}

^Tt=1

pelo método da máxima verossimilhança (otimização não-linear com restrições).

2.3.2 IGARCH

Dizemos que u

_t²

segue um processo IGARCH, caso este apresente raiz unitária (integrável). De forma análoga, tem-se:

1

1 1

= + ∑

∑

= = m

l l r

j

j

α

δ

Da mesma forma que nos processos ARIMA, se u

t2

possui raiz unitária, então a variância incondicional tende para infinito (comportamento explosivo).

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2.3.3

ARCH-M (ARCH “na média”)

O modelo ARCH-M toma por base a teoria de finanças, a qual sugere que investidores racionais exigem um retorno maior (prêmio de risco) para negociarem ativos financeiros com maior grau de risco (risco associado à dispersão – volatilidade). Dessa forma, sendo:

t t

t

u

r = µ + (2.3.7)

Onde,

r

t

– retorno de um determinado ativo financeiro;

µ

_t

– parcela do retorno antecipada pelos investidores em t-1;

u

_t

– parcela do retorno não antecipada.

Então, a teoria propõe que µ

t

estaria associado com a própria variância do retorno -h

t

(parâmetro de risco).

Tomando por base o que foi disposto anteriormente, em 1987 Engle propôs a seguinte formulação:

t t T

t

t

X h u

y = . β + δ . + (2.3.8)

t t

t

h

u = . ν ν

_t

~ N ( ) 0 , 1 (2.3.9)

2 2

2 2 2

1

1

.

_t

.

_{t m}

.

_{t m}

t

u u u

h = ξ + α

₋

+ α

₋

+ _K + α

₋

(2.3.10)

onde o efeito da volatilidade sobre o prêmio de risco (consolidado no retorno) é medido pelo hiperparâmetro δ.

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2.3.4

E-GARCH (Exponential GARCH)

Seja:

t t

t

h

u = . ν (2.3.11)

( ) _∑

^∞

{ }

= −

−

−

+

−

+

=

1

. .

log

j

j t j

t j t j

t

E

h ξ π ν ν χ ν (2.3.12)

então, se π

j

> 0, um desvio ν

_t−j

ocasiona um aumento da variância condicional de u

_t

.

Já o termo χ, é responsável por modelar adequadamente o efeito resultante da assimetria presente na distribuição de retornos de ativos financeiros. Assim, tem-se:

• χ = 0 – choques positivos e negativos geram o mesmo efeito na variância;

• -1 < χ < 0 – choques positivos aumentam menos a variância do que os negativos;

• χ < -1 – choques positivos reduzem a volatilidade e choques negativos produzem o efeito contrário.

Uma das vantagens da formulação do E-GARCH é o fato de o processo de estimação dos parâmetros não apresentar quaisquer tipos de restrições com relação aos valores que os mesmos poderão assumir, uma vez que estar-se-á trabalhando com log(h

t

) e que π

j

> 0.

Uma parametrização natural é modelar π(L) como a razão de dois polinômios de ordem finita – procedimento análogo ao GARCH(r, m). Deste modo, ter-se-ia:

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( ) ( ) ( ) { } {

t m t m t m

}

m

t t

t r

t r

t t

E

E h

h k

h

−

−

−

−

−

−

−

−

+

− +

+

+

− +

+ + +

=

ν χ ν

ν α

ν χ ν ν

α δ

δ

. .

. .

log . log

.

log

_{1 1 1 1 1 1}

K

K (2.3.13)

2.3.4.1

Estimação dos parâmetros: máxima verossimilhança

Para o processo de estimação dos parâmetros, torna-se necessário especificar a função de distribuição de probabilidades de ν

t

.

Uma alternativa seria a utilização da distribuição padronizada generalizada do erro (Nelson).

( )

_{( )}

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ Γ ⎛

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ −

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

λ υ

λ υ ν

ν

υ υ

υ

. 1 2

.

2 . exp 1 .

1 t

f

t

(2.3.14)

Onde,

() .

Γ – função gama;

12 2

3 . 1 2

⎪ ⎪

⎭

⎪⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ Γ ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ Γ ⎛

=

−

υ λ υ

υ

υ – parâmetro positivo que governa a largura das caudas.

ƒ υ < 2 – caudas largas;

ƒ υ > 2 – caudas estreitas.

OBS. Para υ = 2 , então, λ = 1 e, por conseguinte, f ( ) ν

_t

~ Normal .

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