Nota de Aula 11 Teorias de Estrutura a Termo da Taxa de Juros

Fundação Getúlio Vargas / EPGE Economia Monetária e Financeira Prof. Marcos Antonio Silveira

Nota de Aula 11

Teorias de Estrutura a Termo da Taxa de Juros

Bibliografia:

• Mishkin, cap.7 (5. edição traduzida)

1 Estrutura a Termo da Taxa de Juros

• Preço e YTM (ao ano) em t de um TSC com vencimento em t+n (prazo de n anos):

P (t, n) = 1

[1 + Y (t, n)] ⁿ (1)

• YTM (ao ano) com frequência de capitalização contínua:

y(t, n) = ln { 1 + Y (t, n) }

= ⇒ y(t, n)n = n ln { 1 + Y (t, n) } = ln [1 + Y (t, n)] ⁿ

= ⇒ exp { y(t, n)n } = [1 + Y (t, n)] ⁿ

= ⇒ P (t, n) = 1

exp { y(t, n)n } (2)

• Interpretação da YTM y(t, n): taxa de juros à vista em t sobre empréstimos com vencimento em t+n

• Estrutura a termo em t: { y(t, 1), y(t, 2), .y(t, 3), ... }

• Estrutura a termo informa a diferença de custo (taxa de juros) entre empréstimos que diferem apenas com relação ao prazo de vencimento (mesmo risco de crédito, liquidez, impostos,....)

• Convenção:

n = 1 = ⇒ y(t, 1) : taxa de juros de curto prazo / taxa curta (YTM de TSC de curto prazo / título curto)

∀ n > 1 = ⇒ y(t, n) : taxa de juros de longo prazo / taxa longa (YTM de TSC de longo prazo / título longo)

• Spread entre taxas longa e curta ⇐⇒ formato da estrutura a termo

• Diferentes formatos possíveis para a estrutura a termo

• Estrutura a termo dinâmica: formato variante ao longo do tempo

• Fatos estilizados para a estrutura a termo:

1. taxas de juros para diferentes prazos tendem a se mover juntas

2. taxa de juros de curto prazo baixa (alta) = ⇒ ET tende a ser positivamente (negativa- mente) inclinada

3. ET tende a ser positivamente inclinada

• Teorias para explicar o formato da estrutura a termo (spread entre as taxas longas e a taxa curta):

1. Hipótese da Expectativas

2. Teoria dos Mercados Segmentados

3. Teorias do Habitat Preferido e da Preferência por Liquidez

2 Alguns Resultados Úteis

• Antes de apresentar a hipótese das expectativas e demais teorias, é preciso ter em mente três resultados abaixo

• Cabe frisar que tais resultados seguem diretamente de definições e, portanto, independem de qualquer teoria

2.1 Relação entre YTM de um título longo e suas taxas de retorno de curto prazo até o vencimento

• Segue diretamente da eq.(2) a seguinte expressão:

P (t, n) = 1

exp { y(t, n)n } = ⇒ exp { y(t, n)n } = 1

P (t, n) = ⇒ exp { y(t, n)n } = 1

P (t, n) = P (t + 1, n − 1) P (t, n)

P (t + 2, n − 2)

P (t + 1, n − 1) ... P (t + n − 1, 1) P (t + n − 2, 2)

1

P (t + n − 1, (3) 1)

• Taxa de retorno bruta entre t e t+1 (horizonte de investimento de um período / curto prazo) de um título longo com vencimento em n períodos:

R (t, n) = P (t + 1, n − 1)

P (t, n) (4)

• Generalizando a definição (4) para qualquer período e substituindo-a em (3):

exp { y(t, n)n } = 1 P (t, n) =

R(t,n)

z }| { P (t + 1, n − 1)

P (t, n)

R(t+1,n − 1)

z }| { P (t + 2, n − 2) P (t + 1, n − 1) ...

R(t+n − 2,2)

z }| { P (t + n − 1, 1) P (t + n − 2, 2)

R(t+n − 1,1)

z }| { 1

P (t + n − 1, 1)

= R (t, n) R (t + 1, n − 1) ...R (t + n − 2, 2) R (t + n − 1, 1)

• Calculando o logarítimo de ambos os lados da equação acima:

y(t, n)n = R (t, n) R (t + 1, n − 1) ...R (t + n − 2, 2) R (t + n − 1, 1) = ⇒

y(t, n) = ln R (t, n) + ln R (t + 1, n − 1) + ... + ln R (t + n − 2, 2) + ln R (t + n − 1, 1) n

= 1 n

n − 1

X

i=0

ln R (t + i, n − i) (5)

• Logarítimo da taxa de retorno:

r (t + i, n − i) = ln R (t + i, n − i) (6)

• Usando a definição (6) em (5):

y(t, n) = r (t, n) + r (t + 1, n − 1) + ... + r (t + n − 2, 2) + r (t + n − 1, 1) n

= 1 n

n − 1

X

i=0

r (t + i, n − i)

• Aplicando o operador expectância sobre ambos os lados da equação acima:

y(t, n) = 1 n

n − 1

X

i=0

E t [r (t + i, n − i)] (7)

• Observe que a taxa curta (YTM do título curto) é igual à taxa de retorno do título curto no horizonte de um período (curto prazo):

y(t, 1) = E t [r (t, 1)] = r (t, 1)

2.2 Relação entre o retorno de curto prazo de um título longo e mu- danças na sua YTM

• Combinando as equações (6) e (4):

r (t, n) = ln R (t, n) = ln P (t + 1, n − 1) P (t, n)

= ln P (t + 1, n − 1) − ln P (t, n) (8)

• Combinando as expressões (2) e (8) acima

r (t, n) = ln P (t + 1, n − 1) − ln P (t, n)

= ln exp {− y(t + 1, n − 1) (n − 1) } − ln exp {− y(t, n)n }

= y(t, n)n − y(t + 1, n − 1) (n − 1) (9)

= y(t, n) + y(t, n) (n − 1) − y(t + 1, n − 1) (n − 1)

= y(t, n) + (n − 1) [y(t, n) − y(t + 1, n − 1)]

= y(t, n) − (n − 1) [y(t + 1, n − 1) − y(t, n)] (10)

• Aplicando o operador expectância sobre ambos os lados da equação acima:

E t [r (t, n)] = y(t, n) − (n − 1) E t [y(t + 1, n − 1) − y(t, n)] (11)

2.3 Taxa de retorno da estratégia de rolar títulos curtos durante n períodos

• Taxa de retorno efetivo da estratégia: :

[1 + Y (t, 1)] [1 + Y (t + 1, 1)] ... [1 + Y (t + n − 1, 1)]

• Taxa de retorno ao ano da estratégia

{ [1 + Y (t, 1)] [1 + Y (t + 1, 1)] ... [1 + Y (t + n − 1, 1)] }

• Taxa de retorno ao ano da estratégia com frequencia de capitalização contínua:

ln { [1 + Y (t, 1)] [1 + Y (t + 1, 1)] ... [1 + Y (t + n − 1, 1)] }

= ln { [1 + Y (t, 1)] [1 + Y (t + 1, 1)] ... [1 + Y (t + n − 1, 1)] } n

= ln [1 + Y (t, 1)] + ln [1 + Y (t + 1, 1)] + ... + ln [1 + Y (t + n − 1, 1)]

n

= y(t, 1) + y(t + 1, 1) + ... + y(t + n − 1, 1) n

= 1 n

n − 1

X

i=0

y(t + i, 1)

• Taxa esperada de retorno ao ano da estratégia com frequencia de capitalização contínua:

E t

"

1 n

n − 1

X

i=0

y(t + i, 1)

#

= 1 n

n − 1

X

i=0

E t y(t + i, 1)

3 Hipótese das Expectativas Pura (HEP)

• Hipótese central: o retorno de curto prazo (horizonte de um período) de um título longo é igual à taxa de juros de curto prazo (YTM do título de curto prazo / taxa curta), ou seja,

E t [r (t, n)] = y(t, 1) (12)

• Proposição: A expressão (12) é equivalente à expressão abaixo:

y(t, n) = 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)] . (13)

Logo, a HEP significa que a taxa de juros de longo prazo (YTM do título longo / taxa longa) é a média das expectativas das taxas de juros de curto prazo futuras (ao longo da vida do título longo)

• Primeiro, vamos demonstrar que (12) implica (13). A expressão (12) implica que:

E t [r (t, n)] = y(t, 1) (14)

E t+1 [r (t + 1, n − 1)] = y(t + 1, 1) .. .

E t+i [r (t + i, n − i)] = y(t + i, 1) .. .

E t+n − 1 [r (t + n − 1, 1)] = r (t + n − 1, 1) = y(t + n − 1, 1) (15) Combinando o resultado (7) com a lei das expectativas iteradas:

y(t, n) = 1 n

n − 1

X

i=0

E t [r (t + i, n − i)]

= 1 n

n − 1

X

i=0

E t [E t+i [r (t + i, n − i)]] (16) Substituindo os resultados (14)-(15) em (16):

y(t, n) = 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)]

• Agora, vamos demonstrar que (13) implica (12). Substituindo a eq. (13) para t e t+1 em (9):

r (t, n) = y(t, n)n − y(t + 1, n − 1) (n − 1)

= ( 1

n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)]

) n −

( 1 n − 1

n − 2

X

i=0

E t+1 [y(t + 1 + i, 1)]

)

(n − 1)

= ( 1

n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)]

) n −

( 1 n − 1

n − 1

X

i=1

E t+1 [y(t + i, 1)]

)

(n − 1)

=

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)] −

n − 1

X

i=1

E t+1 [y(t + i, 1)]

= y(t, 1) +

n − 1

X

i=1

E t [y(t + i, 1)] −

n − 1

X

i=1

E t+1 [y(t + i, 1)]

= y(t, 1) + E t

" _{n − 1} X

i=1

y(t + i, 1)

#

− E t+1

" _{n − 1} X

i=1

y(t + i, 1)

#

Aplicando o operador expectância sobre ambos os lados da expressão acima e usando a lei das expectativas iteradas:

E t [r (t, n)] = y(t, 1) +

n − 1

X

i=1

E t [y(t + i, 1)] −

n − 1

X

i=1

E t E t+1 [y(t + i, 1)]

= y(t, 1) +

n − 1

X

i=1

E t [y(t + i, 1)] −

n − 1

X

i=1

E t [y(t + i, 1)]

= y(t, 1)

Observe que o resultado acima poderia ser também derivado atrevés da substituição da

expressão (13) em (11).

3.1 HPE e Formato da Estrutura a Termo

• Segue da expressão (13) que:

y(t, n) = 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)] = y(t, 1)

n + 1

n

n − 1

X

i=1

E t [y(t + i, 1)]

= ⇒ y(t, n) − y(t, 1) = 1 − n

n y(t, 1) + n − 1 n

( 1 n − 1

n − 1

X

i=1

E t [y(t + i, 1)]

)

= ⇒ y(t, n) − y(t, 1) = n − 1 n

("

1 n − 1

n − 1

X

i=1

E t [y(t + i, 1)]

#

− y(t, 1) )

Caso particular:

y(t, 2) − y(t, 1) = 1

2 { E t [y(t + 1, 1)] − y(t, 1) }

• Podemos concluir do resultado acima que:

— Mercado espera um aumento da taxa de curto prazo entre t e t+1 = ⇒ ET positivamente inclinada

— Mercado espera uma queda da taxa de curto prazo entre t e t+1 = ⇒ ET negativamente inclinada

• Hipótese das Expectativas explica bem os fatos estilizados 1 e 2, mas não o fato 3. Por que

um aumento da taxa de juros é mais provável que uma queda?

4 Hipótese das Expectativas (Forma Generalizada)

• Violação da HEP pela introdução de um prêmio de risco pr:

y(t, n) = 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)] + pr (17)

• Hipótese das expectativas (HE): o prêmio pode depender da maturidade do instrumento, mas não do tempo

• HEP é caso particular da HE onde o prêmio de risco é nulo para qualquer prazo

• Prêmio de risco pr positivo implica que y(t, n) = 1

n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)] + pr > 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)]

• Prêmio de risco pr negativo implica que y(t, n) = 1

n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)] + pr < 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)]

• O que determina a inclinação da estrutura a termo? Segue da hipótese (17) que y(t, n) = 1

n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)] + pr = y(t, 1)

n + 1

n

n − 1

X

i=1

E t [y(t + i, 1)] + pr

= ⇒ y(t, n) − y(t, 1) = 1 − n

n y(t, 1) + n − 1 n

( 1 n − 1

n − 1

X

i=1

E t [y(t + i, 1)]

) + pr

= ⇒ y(t, n) − y(t, 1) = n − 1 ("

1 X ^{n − 1}

E [y(t + i, 1)]

#

− y(t, 1) )

+ pr (18)

• Dadas as expectativas do mercado quanto às taxas curtas futuras, o resultado (18) permite concluir que...

— quando pr > 0. a ET pela HE é mais positivamente (menos negativamente) inclinada que seria pela HEP

— quando pr < 0. a ET pela HE é menos positivamente (mais negativamente) inclinada que seria pela HEP

• Pelo resultado (18), pr > 0 implica ET positivamente inclinada mesmo que o mercado espere uma taxa curta constante no futuro.

• Pelo resultado (18), pr < 0, então ET é negativamente inclinada mesmo que o mercado espere uma taxa curta constante no futuro

• Analogamente a HEP, como pr não varia no tempo, HE ainda estabece que movimentos na taxa longa refletem apenas revisões das expectativas quanto às taxas curtas futuras

• Evidência empírica mostra que o prêmio é variante no tempo (violação da HE) = ⇒ movi-

mentos na taxa longa também refletem mudanças no prêmio de risco

5 Teoria das Mercados Segmentados

• Hipótese central: títulos com prazos diferentes não mantém qualquer substitubilidade entre si

• Motivação da teoria: classes de investidores com preferência por títulos com prazos diferentes

• Mercados de títulos com prazos diferentes são completamente separados

• Curva de demanda e oferta de títulos de cada prazo não depedem dos retornos dos títulos com outros prazos

• Violação total da HE e da HEP

• Teoria capaz de explicar fato estilizado 3, embora conflite com os fatos 1 e 2

6 Teoria do Habitat Preferido e da Preferência pela Liq- uidez

• Repetindo o resultado (18), temos que y(t, n) = 1

n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)] + pr = ⇒

y(t, n) − y(t, 1) = n − 1 n

("

1 n − 1

n − 1

X

i=1

E t [y(t + i, 1)]

#

− y(t, 1) )

+ pr

de forma que a inclinação da ET depende...

— das expectativas das taxas curtas futuras e

— do tamanho do prêmio de risco

6.1 Preferência pela liquidez

• Hipótese: investidores avessos ao risco com horizonte de investimento de curto prazo

• Tais investidores exigem um prêmio de risco positivo para manter títulos de longo prazo, a fim de compensá-los pelo risco de taxa de juros

• Pela equação (10), quanto maior a duração do título, maior o risco de taxa de juros r (t, n) = y(t, n) − [y(t + 1, n − 1) − y(t, n)] (n − 1)

= ⇒ V AR t [r (t, n)] = (n − 1) ² V AR t [y(t + 1, n − 1)]

Logo, quanto maior a duração n do título longo, maior o prêmio de risco positivo exigido pelos investidores, ou seja,

E t [r (t, n)] = y(t, 1) + pr (n) (19) onde

pr (n) > 0

∂pr (n)

∂n > 0

• Além disso, é possível provar que o resultado (19) implica que:

y(t, n) = 1 n

n − 1

X

i=0

E t [r (t + i, n − i)] = 1 n

n − 1

X

i=0

E t [E t+i [r (t + i, n − i)]]

= 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1) + pr (n − i)]

= 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)] +

pr>0

z }| { 1

n

n − 1

X

i=0

pr (n − i) (20)

Consequentemente, como pr > 0, o resultado (18) permite.concluir que a ET pela teoria

da preferência pela liquidez é mais positivamente (menos negativamente) inclinada que seria

pela teoria HEP

6.2 Habitat Preferido

• Hipótese: classes de investidores com horizontes de investimento distintos

— Investidores de curto prazo preferem títulos curtos

— Investidores de longo prazo preferem títulos longos

• Investidores de curto prazo preferem títulos curtos. Logo, se todos os investidores pertencem a esta classe (como acontece na teoria dos mercados segmentados), o prêmio de risco pr é positivo e dado pela equação (20) acima, de forma que

y(t, n) = 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)] + pr > 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)] (21)

• Investidores de longo prazo (ex.: fundos de pensão) preferem títulos longos (sem risco quando carregados até o vencimento). Logo, se todos os investidores pertencem a esta classe, deve-se esperar que

y(t, n) < 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)]

= ⇒ y(t, n) = 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)] + pr < 1 n

n − 1

X

i=0

E t [y(t + i, 1)]

com

pr < 0

• Com base nos resultados acima, a teoria do habitat preferido estabelece que o tamanho e sinal do prêmio de risco pr dependem da distribuição proporcional dos investidores nas diferentes classes

• A teoria do habitat preferido e da preferência pela liquidez explicam os três fatos estilizados

7 Estrutura de Risco da Taxa de Juros

• Estrutura de risco da taxa de juros: diferença (spread) entre taxas de juros prometidas por títulos com mesmo vencimento em decorrência de.diferenças de...

— risco de default (risco de crédito)

— risco de liquidez

— impostos

• Estrutura a termo do spread entre classes de diferentes ativos

7.1 Risco de default

• Quanto maior o risco de default de um título, menor a demanda pelo título, menor seu preço e maior a taxa de juros (YTM) prometida pelo título

• Fatores que afetam o risco de default de um título: capacidade de pagamento do emissor, garantias,...

• Títulos sem risco de default: títulos do Tesouro norte- americano (Treasuries)

• SOT: spread entre a taxa de juros (YTM) de um título e um Treasury com mesma duração

−→ percepção de risco do mercado

• Classificação periódica títulos por risco de default por empresas de rating: Moody’s e Stan- dard and Poor’s: análise fundamentalista

• Investment grade: títulos com baixo risco de default

7.2 Risco de liquidez

• Custos de transação na venda do título: corretagem, perda de valor,...

• Quanto maior o risco de liquidez, menor a demanda pelo título, menor seu preço e maior a taxa de juros (YTM) prometida pelo título

• Fatores que afetam o risco de liquidez: volume de negociação no mercado secundário, taxas

de corretagem, tamanho da posição,...