Est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxy para o plano euclidiano. Um ponto P de coordenadas (x

(1)

ufpe – ´ area ii – c 2019 prof. fernando j. o. souza MA036 (geometria anal´ıtica 1) – 2019.1 – turma p6

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^a

UNIDADE – LISTA DE REVIS ˜ AO – v. 2.1

Est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxy para o plano euclidiano. Um ponto P de coordenadas (x

P

, y

P

) no plano euclidiano ser´a denotado por P (x

P

, y

P

), sem sinal de igualdade. A origem ´e O (0, 0). J´a um vetor − → v no plano de coordenadas (v

x

, v

y

) com rela¸cão à base canônica ξ

²

(uma base ortonormal positiva fixada) ser´a denotado por − → v = (v

x

, v

y

), evitando confus˜ao com os pontos, apesar de valer −→

OP = (x

P

, y

P

).

Quest˜ ao 1. Mudando o sistema de coordenadas por uma rota¸ c˜ ao e/ou uma transla¸ c˜ ao se for necessário, obter uma equa¸cão reduzida para a curva cônica dada, identificar o tipo de curva cônica, e calcular todos os valores notáveis que se aplicam à curva dada dentre os seguintes: coordenadas do centro (no sistema de coordenadas Oxy original); raio; comprimentos dos eixos maior, menor, transverso (real, focal) e conjugado (imaginário), conforme o caso;

distˆancia focal; e excentricidade.

1.a. x

²

− 3xy + 5y

²

− 4 = 0;

1.b. 31x

²

− 10 √

3xy + 21y

²

− 144 = 0;

1.c. − x

²

+ 9y

²

+ 4x − 54y + 77 = 0;

1.d. 3x

²

+ 6xy + 3y

²

− x + y = 0.

Quest˜ ao “1 e meio’. Seja o ponto P (6, − 2) no sistema de coordenadas Oxy.

Suponha-se que este sistema foi rotacionado pelo ˆangulo trigonom´etrico π/6 (radianos), resultando num sistema de coordenadas cartesianas Ox

^′

y

^′

. Cal- cular as coordenadas (x

^′

, y

^′

) do ponto P neste novo sistema.

Quest˜ ao 2. Considerem-se os novos sistemas de coordenadas a seguir:

O

^′

x

^′

y

^′

resulta da transla¸c˜ao de Oxy pelo vetor de coordenadas (3, 4) em Oxy;

O

^′′

x

^′′

y

^′′

resulta da rota¸c˜ao do novo sistema O

^′

x

^′

y

^′

pelo ˆangulo trigonom´etrico π/3 (radianos); e

O ˜ x˜ ˜ y resulta da rota¸c˜ao do sistema original Oxy pelo mesmo ˆangulo π/3.

2.a. Escrever as coordenadas (x

^′′

, y

^′′

) de um ponto qualquer como fun¸c˜oes de suas coordenadas originais (x, y);

2.b. Considere-se a transla¸c˜ao que leva o sistema de coordenadas ˜ O x˜ ˜ y no

(2)

sistema de coordenadas O

^′′

x

^′′

y

^′′

. Seja − → u o vetor do plano que representa aquela transla¸c˜ao. Dar as coordenadas de − → u no sistema ˜ O x˜ ˜ y.

Est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxyz para o espa¸co euclidiano. Um ponto P de coordenadas (x

P

, y

P

, z

P

) ser´a denotado por P (x

P

, y

P

, z

P

). A origem ´e O (0, 0, 0). J´a um vetor − → v no espa¸co de coor- denadas (v

x

, v

y

, v

z

) com rela¸cão à base canônica ξ

³

= n

b i, b j, b k o

(uma base ortonormal positiva fixada) ser´a denotado por − → v = (v

x

, v

y

, v

z

).

Quest˜ ao 3. Considerem-se a esfera E de centro C (5, 0, − 3) e raio 3, o vetor

−

→ v = (4, 2, − 1), e a reta s : S(t) = C + t − → v , t ∈ R no espa¸co euclidiano.

3.a. Para cada valor t ∈ R , considere-se o plano α

t

que passa por S(t) e

´e normal a − → v = (4, 2, − 1). Calcular, em fun¸c˜ao de t:

• A posi¸c˜ao relativa entre E e α

t

;

• A distˆancia entre eles se o plano for exterior `a esfera;

• O ponto de tangˆencia se ele for tangente a ela; e

• O raio da circunferˆencia de centro S(t) ao longo da qual eles se inter- ceptam se ele for secante a ela;

3.b. Para cada valor t ∈ R , considere-se a esfera T (t) de centro S(t) e raio 3. Calcular, em fun¸c˜ao de t:

• A posi¸c˜ao relativa entre E e T (t);

• A distˆancia entre elas se E for exterior a T (t);

• O ponto de tangência se E for tangente exteriormente a T (t), bem como uma equa¸cão geral para o plano de tangência comum a elas; e

• O centro e o raio da circunferˆencia ao longo da qual E e T (t) se in-

terceptam se elas forem secantes, bem como uma equa¸c˜ao geral para o

plano que cont´em tal circunferˆencia;

(3)

3.c. Para cada valor t ∈ R , considere-se a esfera U (t) de centro S(t) e raio 1. Calcular, em fun¸c˜ao de t:

• A posi¸c˜ao relativa entre E e U (t);

• A distˆancia entre elas se U (t) for interior ou exterior a E ;

• O ponto de tangência se U (t) for tangente interior ou exteriormente a E , bem como uma equa¸cão geral para o plano de tangência comum a elas; e

• O centro e o raio da circunferência ao longo da qual E e U (t) se in- terceptam se elas forem secantes, bem como uma equa¸cão geral para o plano que contém tal circunferência;

3.d. Para cada valor real r > 0, considere-se a esfera O (r) de centro na origem O (0, 0, 0) e raio r. Calcular, em fun¸c˜ao de r:

• A posi¸c˜ao relativa entre E e O (r);

• A distˆancia entre elas se E for interior ou exterior a O (r);

• O ponto de tangência se E for tangente interior ou exteriormente a O (r), bem como uma equa¸cão geral para o plano de tangência comum a elas; e

• O centro e o raio da circunferência ao longo da qual E e O (r) se in- terceptam se elas forem secantes, bem como uma equa¸cão geral para o plano que contém tal circunferência;

3.e. Para cada valor real r > 0, considere-se a esfera P (r) de centro P (4, 2, − 1) e raio r. Calcular, em fun¸c˜ao de r:

• A posi¸c˜ao relativa entre E e P (r);

• A distˆancia entre elas se E for interior a P (r);

• O ponto de tangˆencia se E for tangente interiormente a P (r), bem como

uma equa¸c˜ao geral para o plano de tangˆencia comum a elas; e

(4)

• O centro e o raio da circunferência ao longo da qual E e P (r) se in- terceptam se elas forem secantes, bem como uma equa¸cão geral para o plano que contém tal circunferência.

Quest˜ ao “3 e meio”. Seja S a superf´ıcie esf´erica de centro (0, 1, 2) e raio 6. Dar equa¸ c˜ oes gerais para os dois planos ortogonais ao vetor ~ n = (2, − 1, − 2)

E

que s˜ao tangentes a S.

Quest˜ ao 4. Para cada superf´ıcie quádrica apresentada abaixo por meio de uma equa¸cão geral, obter sua equa¸cão reduzida (no sistema de coordena- das original) e identificar seu tipo, fazendo, se necessário, uma transla¸cão.

Estudar seus cortes (tra¸cos, interse¸c˜oes) pelos planos coordenados e pelos planos paralelos a estes.

4.a. 16x

²

− y

²

+ z

²

+ 16 = 0; 4.b. 3x

²

− 2z

²

+ 6x − y + 8z − 3 = 0;

4.c. x

²

− 4y

²

+ 4z

²

− 6x + 8z + 9 = 0; 4.d. 25x

²

− 25y

²

+ z

²

= 0;

4.r. x

²

− y

²

+ 4z

²

− 2x + 16z + 21 = 0.

Quest˜ ao 5. A interseçcão (tra¸co, corte) de um elipsóide E com o plano co- ordenado xy é a elipse de centro na origem O, eixo maior de comprimento 20 na dire¸cão x, e eixo menor de comprimento 16 na dire¸cão y. Já a interseçcão de E com o plano coordenado yz é a elipse de centro na origem O, eixo maior de comprimento 16 na dire¸cão y, e eixo menor de comprimento 12 na dire¸cão z. Obter a equa¸cão reduzida para o elipsóide E .

Quest˜ ao 6. Para cada superf´ıcie abaixo, descrevˆ e-la, primeiro, parame- trizada por (λ, µ) como foi estudado e, depois, por uma equa¸cão em (x, y, z) apenas ( eliminando os parâmetros). A superf´ıcie é gerada pela rota¸cão, em torno do eixo coordenado:

6.a. Oy, da reta s dada pelas equa¸c˜oes planares 2x − 3y = 0 e z = 0;

6.b. Oz, da curva c dada pelo sistema de equa¸c˜oes y = 2 + sen(z) e x = 0;

6.c. Oz, da reta s dada pelas equa¸c˜oes planares 4z − 3y = 0 e x = 0;

6.d. Oy, da curva c dada pelo sistema de equa¸c˜oes z = e

^y

e x = 0.

(5)

Quest˜ ao 7. Para cada situa¸cão descrita na tabela da próxima página:

• Confirmar o tipo de objeto geom´etrico descrito dando um exemplo com valores num´ericos para os coeficientes;

• Estudar os cortes de seu exemplo pelos trˆes planos coordenados; e

• Se o lugar geom´etrico dado puder ser obtido por meio de rota¸c˜ao (revo-

lu¸c˜ao) em torno de um eixo coordenado, dar os eixos coordenados que

forem apropriados e, para cada um deles, parametrizar a superf´ıcie

por (λ, µ) como foi estudado e, depois, reobter a equa¸c˜ao reduzida por

elimina¸c˜ao dos parˆametros.

(6)

TIPO M x

²

+ N y

²

+ P z

²

= R:

SUBTIPO R > 0. Para { M, N, P } : 7.a. 3 positivos: elips´oide ou esfera;

7.b. 2 positivos e 1 nulo: qu´adrica cil´ındrica, podendo ser el´ıptica ou de rota¸c˜ao;

7.c. 2 positivos e 1 negativo: hiperbol´oide de uma folha (podendo ser de rota¸c˜ao);

7.d. 1 positivo e 2 nulos: par de planos paralelos (distintos) a um dos planos coordenados;

7.e. 1 positivo, 1 nulo e 1 negativo: qu´adrica cil´ındrica hiperb´olica;

7.f. 1 positivo e 2 negativos: hiperbol´oide de duas folhas (podendo ser de rota¸c˜ao);

7.g. Nenhum positivo (ou seja, 3 n˜ao-positivos): ∅ . SUBTIPO R = 0. Para { M, N, P } :

7.h. 3 positivos ou 3 negativos: um ponto (a origem);

7.i. 2 positivos e 1 negativo, ou 2 negativos e 1 positivo: quádrica cônica, podendo ser el´ıptica ou de rota¸cão;

7.j. Apenas 1 nulo, e os outros 2 de mesmo sinal: reta (um eixo coordenado);

7.k. Apenas 1 nulo, e os outros 2 de sinais contr´arios: dois planos transver- sais que se interceptam ao longo de um dos eixos coordenados;

7.l. 2 nulos: Um par de planos coincidentes (um dos planos coordenados).

TIPO M x

²

+ N y

²

= Sz (ou M y

²

+ N z

²

= Sx ou M x

²

+ N z

²