Nós sabemos que muitos de vocês não sabem a diferença entre equação e função, certo? Então, vamos começar aprendendo essa diferença.

Resumão

Maio

Inequações dos 1º e 2º graus

Resumo

Nós sabemos que muitos de vocês não sabem a diferença entre equação e função, certo? Então, vamos começar aprendendo essa diferença.

Equações

O conceito de equação é toda sentença que apresenta uma igualdade (=). Por exemplo, 3x + 2 = 5, em que x

= 1 é a solução da equação, ou seja, esse é o valor que torna a sentença verdadeira.

Já função é uma relação específica entre dois números x e y. Por exemplo, y = x + 1 é uma função, mas, se fixarmos um valor para x ou y , teremos uma equação. Ou seja:

• y = x + 1 é uma função.

• 2 = x + 1 é uma equação.

Inequações

As inequações se destacam por possuir os sinais > (maior que), < (menor que), ≥ (maior ou igual que) e ≤ (menor ou igual que) e diferentemente das equações, a solução é um intervalo. Em outras palavras, em geral, as inequações possuem infinitas soluções.

Por exemplo, lembra que falamos que 2 = x + 1 era uma equação? Agora, 2 > x + 1 é uma inequação! Quais valores de x fazem essa sentença ser verdadeira?

2 > x + 1 2 – 1 > x 1 > x X < 1

Ou seja, a sentença é verdadeira desde que x seja menor do que 1. Faça o teste!

Obs: Repare que a inequação nos pede somente que x + 1 seja menor que 2, ou seja, x = 1 faz a x + 1 ser exatamente igual a 2, o que não é o caso pedido, então x = 1 não é uma resposta para a inequação. Se a inequação tive pedido que x + 1 fosse menor ou igual a 2, então x = 1 seria uma resposta. Fique ligado nisso!

Inequação do 1º grau

Resolvemos inequações do primeiro grau muito parecidamente com equações do primeiro grau, como vimos no exemplo anterior. Só precisamos tomar cuidado ao multiplicarmos a inequação por -1, pois, nesse caso, invertemos o sinal da inequação, como no exemplo abaixo:

- x + 1 < 0 - x < -1

x > 1

Inequações do 2º grau

Para resolvermos inequações do segundo grau, precisamos fazer um esboço da função quadrática fazer o

Na análise dos sinais da função quadrática, são as raízes que delimitam os intervalos nos quais a função é positiva ou negativa. Então, o primeiro passo é encontrar as raízes! A partir daí, de acordo com os sinais de ∆ e de a, escolhe-se o esquema adequado para descrever o sinal da função.

Só precisamos tomar cuidado ao multiplicarmos a inequação por -1, pois, nesse caso, invertemos o sinal da inequação, como no exemplo abaixo:

- x² + 1 < 0 x² – 1 > 0

Exercícios

1.

Uma empresa de comunicação tem a tarefa de elaborar um material publicitário de um estaleiro para divulgar um novo navio, equipado com um guindaste de 15 m de altura e uma esteira de 90 m de comprimento. No desenho desse navio, a representação do guindaste deve ter sua altura entre 0,5 cm e 1 cm, enquanto a esteira deve apresentar comprimento superior a 4 cm. Todo o desenho deverá ser feito em uma escala 1 : X. Os valores possíveis para X são, apenas,

a) X > 1 500.

b) X < 3 000.

c) 1 500 < X < 2 250.

d) 1 500 < X < 3 000.

e) 2250 < X < 3000.

2.

Um clube tem um campo de futebol com área total de 8 000 m², correspondente ao gramado.

Usualmente, a poda da grama desse campo é feita por duas máquinas do clube próprias para o serviço.

Trabalhando no mesmo ritmo, as duas máquinas podam juntas 200 m² por hora. Por motivo de urgência na realização de uma partida de futebol, o administrador do campo precisará solicitar ao clube vizinho máquinas iguais às suas para fazer o serviço de poda em um tempo máximo de 5 h. Utilizando as duas máquinas que o clube já possui, qual o número mínimo de máquinas que o administrador do campo deverá solicitar ao clube vizinho?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 14 e) 16

3.

O gráfico a seguir mostra a evolução mensal das vendas de certo produto de julho a novembro de 2011.

Sabe-se que o mês de julho foi o pior momento da empresa em 2011 e que o número de unidades vendidas desse produto em dezembro de 2011 foi igual à média aritmética do número de unidades vendidas nos meses de julho a novembro do mesmo ano. O gerente de vendas disse, em uma reunião da diretoria, que, se essa redução no número de unidades vendidas de novembro para dezembro de 2011 se mantivesse constante nos meses subsequentes, as vendas só voltariam a ficar piores que julho de 2011 apenas no final de 2012. O diretor financeiro rebateu imediatamente esse argumento mostrando que, mantida a tendência, isso aconteceria já em:

a) janeiro.

b) fevereiro.

c) março.

d) abril.

e) maio.

4.

O setor de recursos humanos de uma empresa pretende fazer contratações para adequar-se ao artigo 93 da Lei no. 8.213/91, que dispõe:

Art. 93. A empresa com 100 (cem) ou mais empregados está obrigada a preencher de 2% (dois por cento) a 5% (cinco por cento) dos seus cargos com beneficiários reabilitados ou pessoas com deficiência, habilitadas, na seguinte proporção:

I. até 200 empregados . . . .2%;

II. de 201 a 500 empregados . . . .3%;

III. de 507 a 1 000 empregados . . . .4%;

IV. de 1 001 em diante . . . .5%.

Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 3 fev. 2015.

Constatou-se que a empresa possui 1 200 funcionários, dos quais 10 são reabilitados ou com deficiência, habilitados. Para adequar-se à referida lei, a empresa contratará apenas empregados que atendem ao perfil indicado no artigo 93. O número mínimo de empregados reabilitados ou com deficiência, habilitados, que deverá ser contratado pela empresa é:

a) 74.

b) 70.

c) 64.

d) 60.

5.

A capacidade de um reservatório de água é maior que 250 litros e menor que 300 litros. O número x de litros que há nesse reservatório satisfaz à inequação ^x₂

+ 1 < 127

.

Assinale a alternativa que apresenta quantos litros de água há nesse reservatório.

a) 250 b) 251 c) 252 d) 253 e) 255

6.

O gerente de um estacionamento, próximo a um grande aeroporto, sabe que um passageiro que utiliza seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa gasta cerca de R$ 10,00 em combustível nesse trajeto.

Ele sabe, também, que um passageiro que não utiliza seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa gasta cerca de R$ 80,00 com transporte. Suponha que os passageiros que utilizam seus próprios veículos deixem seus carros nesse estacionamento por um período de dois dias. Para tornar atrativo a esses passageiros o uso do estacionamento, o valor, em real, cobrado por dia de estacionamento deve ser, no máximo, de

a) R$ 35,00.

b) R$ 40,00.

c) R$ 45,00.

d) R$ 70,00.

e) R$ 90,00.

7.

O pacote de salgadinho preferido de uma menina é vendido em embalagens com diferentes quantidades. A cada embalagem é atribuído um número de pontos na promoção:

“Ao totalizar exatamente 12 pontos em embalagens e acrescentar mais R$ 10,00 ao valor da compra, você ganhará um bichinho de pelúcia”.

Esse salgadinho é vendido em três embalagens com as seguintes massas, pontos e preços:

A menor quantia a ser gasta por essa menina que a possibilite levar o bichinho de pelúcia nessa promoção é

a) R$ 10,80.

b) R$ 12,80.

c) R$ 20,80.

d) R$ 22,00.

e) R$ 22,80.

8.

O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98% foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta:

Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo.

Proposta 11: vacinação de 55,8% do público-alvo.

Proposta 111: vacinação de 88,2% do público-alvo.

Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo.

Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo.

Para diminuir os custos, a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas.

Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado) A proposta implementada foi a de número

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

9.

Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$

300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação

q = 400 – 100p

Na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais.

A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo

a) R$ 0,50 p < R$ 1,50 b) R$ 1,50 p < R$ 2,50 c) R$ 2,50 p < R$ 3,50 d) R$ 3,50 p < R$ 4,50 e) R$ 4,50 p < R$ 5,50

10.

Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 115 cm. A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.

O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é

a) 25.

b) 33.

c) 42.

d) 45.

e) 49.

Gabarito

1. C

Sendo 15m = 1500cm e 90m = 9000cm, temos 1

𝑥. 9000 > 4  X < 22250 e ¹

2 < 1500 .¹

𝑥 < 1  1500 < x < 3000.

Portanto, das duas condições, segue que 1500 < X < 2250

2. D

Seja n o número de máquinas que o administrador do campo deverá solicitar ao clube vizinho. Se duas máquinas juntas podam 200m², então cada máquina poda 100m² sozinha. Assim, deve-se ter

(n + 2) . 100 . 5 ≥ 8000  n ≥ 14

Portanto, como queremos o valor mínimo de n, segue que a resposta é 14.

3. D

A média de julho a novembro é igual a

700 + 2500 + 2500 + 2800 +2700

5 = ¹¹²⁰⁰₅ = 2240.

A redução verificada de novembro para dezembro de 2011 foi de 2700 – 2240 = 460 unidades. Logo, o número de unidades vendidas n meses após novembro é dado por

Q(n) = -460n + 2700.

Queremos calcular o menor número inteiro n para o qual se tem Q(n) < 700. Assim, temos -460n + 2700 <

700  n > 4,34.

Portanto, segue que n = 5 e a resposta é abril de 2012.

4. E

Seja n o número de empregados reabilitados ou com deficiência, habilitados, que será contratado. Logo, deve-se ter

n + 10 ≥ 0,05 . (n + 1.200)  0,95 . n ≥ 50  n ≥ 52,6 Portanto, a resposta é 53.

5. B

Resolvendo a inequação temos:

𝑥

2 + 1 < 127 → ^𝑥

2 + ²

2 < ²⁵⁴₂ → 𝑥 + 2 < 254 𝑥 < 252 → 𝑥 = 251 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

6. A

Seja v o valor cobrado por dia no estacionamento. Para que o usuário prefira deixar seu carro no estacionamento pode dias, deve-se ter

2v + 10 ≤ 80  v ≤ R$ 35,00

Portanto, o valor deve ser no máximo R$ 35,00.

7. C

Sejam x, y e z, respectivamente, o número de embalagens de 50g, o número de embalagens de 100g e o número de 200g que serão compradas.

Queremos encontrar a terna (x, y, z) tal que a soma S = 2x + 3,6y + 6,4z + 10 seja mínima e 2x + 4y + 6z = 12. Por inspeção, concluímos que dentre as ternas (6, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 2), (4, 1, 0), (3, 0, 1), (2, 2, 0) e (1,1,1) a que satisfaz simultaneamente as duas condições é a (0, 3, 0), com S = 3 . 3,6 + 10 = R$ 20,80.

8. A

Seja p o percentual da população vacina, e supondo que para os 2% em que a vacina é ineficaz ainda há 50% de probabilidade de infecção, temos

0,2 . 0,5 . p + 0,5 . (1- p) ≤ 0,059 ↔ 0,49p ≥ 0,441 ↔ p ≥ 0,9 Portanto, a proposta implementada foi a I.

9. A

A receita r obtida com a venda dos pães é dada por r = p(400 – 100p). Logo, queremos calcular o valor de p tal que r ≥ R$ 300,00 e a quantidade q seja máxima. Assim temos

p(400 – 100p) ≥ 300 p² -4p + 3 ≤ 0

1 ≤ p ≤ 3.

A quantidade q é máxima quando p é mínimo. Portanto, segue que p = 1.

10. E

De acordo com a figura, tem-se que a altura da caixa mede 24cm. Além disso, a largura mede 90 – 2 . 24

= 42cm. Daí, o comprimento x, em centímetros, deve ser tal que 0 < x + 42 + 24 ≤ 115 ↔ 0 < x ≤ 49.

Portanto, o maior valor possível para x, em centímetros, é 49.

Inequação produto e inequação quociente

Resumo

Inequação produto

É toda inequação na qual há um produto de termos.

Ex: Resolva a inequação (x - 2 )(3x - 4) < 0

Para resolver essa desigualdade, devemos olhar para as funções x – 2 e 3x - 4 separadamente e fazer o estudo de sinais de ambas as funções.

Tirando as raízes das funções e fazendo o estudo de sinais temos:

Como a inequação precisa ser menor que zero, as raízes não entram no nosso conjunto solução, pois elas zeram as funções. Agora, podemos montar nosso quadro:

Assim, nossa inequação (x - 2)(3x - 4) < 0 tem como solução

4

3

< x < 2.

Inequação quociente

É toda inequação na qual há uma divisão de termos.

Ex: Resolva a inequação ^{x - 1} x - 5

> 0.

Tirando as raízes das funções e fazendo o estudo de sinais temos:

Como a inequação precisa ser menor que zero, as raízes não entram no nosso conjunto solução, pois elas zeram as funções. Agora, podemos montar nosso quadro:

Assim, nossa inequação ^𝑥−1

𝑥−5 > 0 tem como solução .

Exercícios

1.

A desigualdade ^{x2− 4x + 3}

x² − 7x + 10> 0 se verifica para todos os números reais x tais que:

a) – 1 < x ou – 3 < x < -2 ou x < -5 b) x < 1 ou 2 < x < 3 ou x > 5 c) 1 < x < 2 ou 3 < x < 5 d) x > 1 ou 2 < x <5 e) 1 < x < 3 ou 2 < x < 5

2.

O sistema de inequações abaixo admite k soluções inteiras:

Pode se afirmar que:

a)

b)

c)

d)

e)

3.

O conjunto solução S, nos reais, da inequação é a)

b)

c)

d)

4.

A soma das soluções da inequação ^{−x + 3}

2x −1 > 0 , onde x pertence ao conjunto dos naturais é:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

5.

A soma de todos os números inteiros que satisfazem simultaneamente a inequação-produto (3x – 7)(x + 4) < 0 e a inequação-quociente 2𝑥+1

5 −𝑥

> 0

^é

a) 3.

b) 5.

c) 6.

d) 7.

e) 8.

6.

O conjunto solução da inequação (5x² – 6x – 8)(2 – 2x) < 0 é

a)

b)

c)

d)

e)

7.

O número de soluções inteiras da inequação 2𝑥+6

14 −2𝑥 ≥ 0 é:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) Infinito

8.

A função f(x) =

√

^{9 − 𝑥2}

𝑥²+ 𝑥 −2 tem como domínio o conjunto solução:

a)

b)

c)

d)

e)

9.

Sobre a inequação-produto (-4x² + 2x – 1)(x² – 6x + 8) ≥ 0, nos reais, é correto afirmar que:

a) Não existe solução nos reais.

b) O conjunto admite infinitas soluções nos reais.

c) O conjuntos solução é S = { x

𝜖 ℤ

/ 2 ≤ x ≤ 4}

d) O conjuntos solução é S = { x

𝜖 ℤ

/ x ≤ 2 ou x ≥ 4}

10.

Tem-se (x + 2)(x - 1) < 0 se e somente se:

a) x < 1 b) x > - 2 c) - 2 < x < 0 d) x ≠ 2 e x = 1 e) - 2 < x < 1

Gabarito

1. B

Fazendo o estudo do sinal de cada uma das funções e depois o sinal do quocinete entre elas, temos:

Portanto, a solução da inequação quociente será dada por S = {x ∈ ℝ | x < 1 ou 2 < x < 3 ou x > 5}

2. D

3. B

Tem-se que -4 . (2x – 1) (𝑥

3 -1) > 0  ⁸

3 . ( x - 1

2) . (x - 3) < 0

1

2 < x < 3.

Portanto, S = { x ∈ ℝ | 1

2 < x < 3}.

4. A

Tem-se que

− 𝑥 + 3

2𝑥 − 1 > 0  𝑥 − 3 2(𝑥− ¹

2) > 0

 1

2 < x < 3.

Logo, as soluções naturais da inequação são x = 1 e x = 2. Em consequência, o resultado pedido é igual a 1 + 2 = 3.

5. A

Temos que

(3x – 7) . (x + 4) < 0  3 .

(𝑥 −

⁷

3

) .

(x + 4) < 0

 - 4 < x < 7 3

e 2x − 1

5 − x ^{> 0} 2 . (x + ¹ 2)

− (x − 5) > 0

 𝑥+ ¹ 2 𝑥− 5 < 0

- 1 2 < x < 5

Logo, os números reais x que satisfazem simultaneamnete as inequações são tais que

-

¹

2< x < ⁷ 3 , e portanto, a soma pedida é igual a 0 + 1 + 2 = 3.

6. E

Tem-se que

(5x² – 6x – 8)(2 – 2x) < 0 

(x +

⁴

5

)

(x - 1)(x - 2) > 0



-

⁴

5 < x < 1 ou x > 2.

7. C

Fazendo o estudo do sinal, temos:

Logo, a solução da equação será dada por S = {x ∈ R/-3 ≤ 𝑥 ≤ 7} com os seguintes números inteiros:

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Dez no total.

8. B

O domínio da função será a solução da seguinte inequação ^{9− 𝑥2} 𝑥² + 𝑥 − 2≥ 0 9 – x² = 0  x = 3 ou x = -3

de x² + x – 2 = 0  x = -2 ou x = 1 Estudando o sinal de _𝑥^{9− 𝑥}_2+𝑥−2² , temos:

Resolvendo a inquação, temos:

S = {x ∈ ℝ / -3 ≤ x < -2 ou 1 < x ≤ 3}

9. C

Reescrevendo a inequação, obtemos

(- 4x² + 2x - 1) (x² – 6x + 8) ≥ 0  (4x² + 2x + 1)(x² – 6x + 8) ≤ 0

 4

(𝑥 −

¹

2

)

² (x - 2)(x - 4) ≤ 0

 x = ¹

2ou 2 ≤ x ≤ 4.

Portanto, o conjunto solução da inequação, em ℤ, é S = {x ∈ ℤ; 2 ≤ x ≤ 4}.

10. E

A função x + 2 é positiva quando x > -2. Já a função x – 1 é positiva quando x > 1. Fazendo o quadro, temos:

Ou seja, como queremos que (x + 2)(x – 1) seja menor que zero, temos que -2 < x < 1.

Equação e inequação exponencial Resumo

Equação exponencial

Uma equação exponencial é aquela em que a variável a ser encontrada aparece como expoente de uma base constante ou variável. Um método usado para resolução de equações exponenciais consiste em reduzir ambos os membros da equação a potência de mesma base a (0 < a ≠ 1). Feito isso, igualamos os expoentes.

Ou seja:

a^x = a^y  x = y Separamos as equações exponenciais em 3 casos:

1º caso: a ^f(x) = a^g(y)  f(x) = g(x), para a ℝ+* - {1}

2^2x -1 = 8^3-x 2^2x -1 = (2³)^{3 – x} 2x – 1 = 9 – 3x x =2

2º caso: a ^f(x)

=

^{bf(x)  {}

a = b ou f(x) = 0

, para a ℝ+* - {1}

𝑥^{𝑥2 + 1} = 3^𝑥2 + 1

x = 3 ou x² + 1 = 0, o que não convém.

3º caso: f(x)^g(x) = f(x)^h(x)  {

g(x) = h(x) ou f(x) = 0 ou

f(x) = 1 𝑥^{𝑥2−6𝑥+11} = x³

x = 0 ou x = 1 ou x² -6x + 11 =3 x = 0

x = 1 x = 2 x = 4

Inequação exponencial

Uma inequação exponencial deve ser resolvida da seguinte forma:

• Primeiro, temos que colocar ambos os lados da inequação na mesma base.

• Depois, transformamos a inequação entre as potências em uma inequação entre os expoentes. Para isso, temos dois casos a serem estudados.

1º caso: base >1 (exponencial crescente) O sentido da desigualdade se mantém.

a^x > a^y  x > y

2º caso: 0 < base < 1 (exponencial decrescente) Invertemos o sinal da inequação.

a^x > a^y  x < y

Exercícios

1.

Quanto vale a soma de todas as soluções reais da equação abaixo?

(5^x)² – 26 . 5^x + 25 = 0 a) 0

b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

2.

Se (4^x)² = 16 . 2^𝑥2, o valor de x^x é:

a) 27 b) 4 c) ¹

4 d) 1 e) ^-1

27

3.

A inequação 10^x + 10^{x + 1} + 10^x+2 + 10^x+3 + 10^x+4 < 11.111 em que x é um número real, a) não tem solução.

b) tem apenas uma solução.

c) tem apenas soluções positivas.

d) tem apenas soluções negativas.

e) tem soluções positivas e negativas.

4.

A soma das raízes da equação (4^x)^{2x -1} = 64 igual a:

a)

-

¹₂

b) – 1 c) ¹

2 d) 1 e) ⁵

2

5.

A volemia V de um indivíduo é a quantidade total de sangue em seu sistema circulatório (coração, artérias,veias e capilares). Ela é útil quando se pretende estimar o número total N de hemácias de uma pessoa, a qual é obtida multiplicando-se a volemia V pela concentração C de hemácias no sangue, isto é, N = V x C. Num adulto normal essa concentração é de 5 200 000 hemácias por mL de sangue, conduzindo a grandes valores de N. Uma maneira adequada de informar essas grandes quantidades é utilizar a notação científica, que consiste em expressar N na forma N = Qx10ⁿ, sendo 1≤ Q < 10 e n um número inteiro.

Considere um adulto normal, com volemia de 5 000 mL.

Disponível em: http://perfline.com.Acesso em: 23 fev. 2013 (adaptado).

Qual a quantidade total de hemácias desse adulto, em notação científica?

a) 2,6 x 10^-10 b) 2,6 x 10^-9 c) 2,6 x 10⁹ d) 2,6 x 10¹⁰ e) 2,6 x 10¹¹

6.

Admita que o número de visitas diárias a um site seja expresso pela potência 4n, com n sendo o índice de visitas ao site. Se o site S possui o dobro do número de visitas diárias do que um site que tem índice de visitas igual a 6, o índice de visitas ao site S é igual a

a) 12.

b) 9.

c) 8,5.

d) 8.

e) 6,5

7.

O conjunto solução da equação 64^𝑥2 = 16^{𝑥2 + 2x -2} é o conjunto

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

8.

Considere a equação exponencial 2 . 3^x-4 = 150. Sobre o valor de x, é verdade afirmar que

a)

b)

c)

d)

e)

9.

A solução real da equação 3^x – 3^x-1 + 3^x-3 – 3^x-4 = 56 é : a) 0

b) 1 c) 3 d) 4 e) 6

10.

No intervalo [-1,8], o número de soluções inteiras da inequação 2^x – 7 > 2^{3 - x} é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Gabarito

1. C

Completando o quadrado, vem

Portanto, a resposta é 0 + 2 = 2.

2. B Como

segue-se que x^x = 2² = 4 3. D

Resolvendo a inequação, obtemos:

Portanto, a inequação dada tem apenas soluções negativas.

4. C

5. D N = V . C V = 5.000 ml

C = 5.200.000 hemácias/ml

N = 5.000 . 5.200.000 = 26.000.000.000 = 2,6 . 10¹⁰ hemácias 6. E

Seja k o índice de visitas ao site S. Desse modo, temos 4^k = 2 . 4⁶  4^k = 4^0,5 . 4⁶  4^k = 4^6,5

A resposta é k = 6,5.

7. A

Tem-se que

Portanto, S = {2}.

8. B

Como 27 < 75 < 81, podemos escrever:

A alternativa correta é a [B], pois [6, 8[ contém o intervalo ]7, 8[

9. D

Pode-se reescrever a equação acima utilizando as propriedades da potenciação:

Fazendo 3^x = y, pode-se escrever:

Como 3^x = y tem-se:

10. D Observe:

Resolvendo a inequação do segundo grau, encontramos que Como y < -1 não convém, temos:

Como x 𝜖 [-1,8], temos um total de 5 soluções inteiras.

Função exponencial

Resumo

Função exponencial

A função exponencial é uma aplicação de 𝑅 em 𝑅+∗ que associa a todo número real x ao resultado da potência a^x, em que a, chamada base da função exponencial é um número real positivo e diferente de 1.

Cuidado! Precisamos tomar alguns cuidados em relação à base a.

● Se a base fosse negativa, nem sempre o resultado da função não seria um número real. Observe o exemplo:

Sabemos que esse resultado não existe no conjunto dos números reais.

● Se a base for igual a zero, também poderá nos trazer problemas. Observe o exemplo:

Sabemos que divisão por 0 é indeterminado.

● Se a base for igual a 1, o resultado da função seria sempre 1, o que a tornaria uma função constante e não exponencial.

Gráfico

Sendo respeitadas todas as restrições, construiremos o gráfico da função exponencial. Dividiremos em casos:

1º caso: a > 1 Ex: f(x) = 2^x

Podemos observar algumas coisas importantes:

● A função é crescente, pois a base é maior do que 1.

● A curva nunca corta o eixo x, pois é impossível que uma potência de base positiva dê 0.

● A curva corta o eixo y em y = 1, pois, quando x = 0, temos que f(0) = 2⁰ = 1.

2º caso: a > 0 Ex: f(x) =

(

¹

2

)

^𝑥

Podemos observar algumas coisas importantes:

● A função é decrescente, pois a base está entre 0 e 1.

● A curva nunca corta o eixo x, pois é impossível que uma potência de base positiva dê 0.

● A curva corta o eixo y em y = 1, pois, quando x = 0, temos que f(0) = 1⁰ 2 = 1.

Exercícios

1.

O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:

p(t) = 40 x 2^3t

em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será

a) reduzida a um terço.

b) reduzida à metade.

c) reduzida a dois terços.

d) duplicada.

e) triplicada.

2.

Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu plantio, modelado pela função y(t) = a ^{t -1}, na qual y representa a altura da planta em metro, t é considerado em ano, e a é uma constante maior que 1. O gráfico representa a função y.

Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda quando plantada, e deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m após o plantio. O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual a:

a) 3.

b) 4.

c) 6.

d) log27. e) log215.

3.

O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t) , em anos, é s(t) = 1800.(1,03)^t. De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,

a) 7.416,00.

b) 3.819,24.

c) 3.709,62.

d) 3.708,00.

e) 1.909,62.

4.

Em um laboratório, cientistas observaram crescimento de uma população de bactérias submetida a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa população, após t horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial N(t) = N0 e^kt em que N0 é o número de bactérias no instante do início da observação (t = 0) e representa uma constante real maior que 1, e k é uma constante real positiva. Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado. Cinco horas após o início da observação, o número de bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi

a) 3 N0 b) 15 N0 c) 243 N0 d) 360 N0 e) 729 N0

5.

A função real f definida por

f x ( ) = a 3

^x

+ b

, sendo a e b constantes reais, está graficamente representada abaixo.

Pode-se afirmar que o produto (a.b) pertence ao intervalo real:

a) [−4, −1[

b) [−1,2[

c) [2,5[

d) [5,8]

e) ]8, 10]

6.

O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor X, o segundo √𝑋, o terceiro 𝑋¹³ , o quarto X² e o último X³ Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo. Qual desses países obteve o maior IDH?

a) O primeiro.

b) O segundo.

c) O terceiro.

d) O quarto.

e) O quinto.

7.

Um trabalhador possui um cartão de crédito que, em determinado mês, apresenta o saldo devedor a pagar no vencimento do cartão, mas não contém parcelamentos a acrescentar em futuras faturas.

Nesse mesmo mês, o trabalhador é demitido. Durante o período de desemprego, o trabalhador deixa de utilizar o cartão de crédito e também não tem como pagar as faturas, nem a atual nem as próximas, mesmo sabendo que, a cada mês, incidirão taxas de juros e encargos por conta do não pagamento da dívida. Ao conseguir um novo emprego, já completados 6 meses de não pagamento das faturas, o trabalhador procura renegociar sua dívida. O gráfico mostra a evolução do saldo devedor.

Com base no gráfico, podemos constatar que o saldo devedor inicial, a parcela mensal de juros e a taxa de juros são:

a) R$ 500,00; constante e inferior a 10% ao mês.

b) R$ 560,00; variável e inferior a 10% ao mês.

c) R$ 500,00; variável e superior a 10% ao mês.

d) R$ 560,00; constante e superior a 10% ao mês.

e) R$ 500,00; variável e inferior a 10% ao mês.

8.

Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho “An Essay on the Principle of Population”, formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Esse modelo, utilizado para acompanhar o crescimento de populações ao longo do tempo t, fornece o tamanho N(t) da população pela lei N(t) = N0 x e^kt , onde N0 representa a população presente no instante inicial e k, uma constante que varia de acordo com a espécie de população. A população de certo tipo de bactéria está sendo estudada em um laboratório, segundo o modelo de Thomas Malthus. Inicialmente foram colocadas 2000 bactérias em uma placa de Petri e, após 2 horas, a população inicial havia triplicado.

A quantidade de bactérias presente na placa 6 horas após o início do experimento deverá aumentar:

a) 6 vezes b) 8 vezes c) 18 vezes d) 27 vezes e) 30 vezes

9.

Um modelo de automóvel tem seu valor depreciado em função do tempo de uso segundo a função f(t)=

b.a^t, com t em ano. Essa função está representada no gráfico.

Qual será o valor desse automóvel, em real, ao completar dois anos de uso?

a) 48000 b) 48114 c) 48600 d) 48870 e) 49683

10.

Em um experimento, uma cultura de bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação de um agente bactericida. Neste experimento, o número de bactérias em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo:

a) afim.

b) seno.

c) cosseno.

d) logarítmica crescente.

e) exponencial.

11.

A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meiavida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meiavida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é igual a 50% da quantidade no início desse intervalo.

O gráfico acima representa, de forma genérica, o que acontece com a quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo.

F. D. Fuchs e Cher l. Wannma. Farmacologia Clínica. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992, p. 40.

A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12 h em um paciente, o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13 h 30 min será aproximadamente de

a) 10%

b) 15%

c) 25%

d) 35%

e) 50%

Gabarito

1. D

2. B

3. E

4. C

5. A

6. C

7. C

Do gráfico, tem-se que o saldo devedor inicial é R$500,00. Além disso, como a capitalização é composta, podemos concluir que a parcela mensal de juros é variável. Finalmente, supondo uma taxa de juros constante e igual a 10% ao mês, teríamos, ao final de 6 meses, um saldo devedor igual a 500. (1,1)⁶ ≅ R$885,78. Portanto, comparando esse resultado com o gráfico, podemos afirmar que a taxa de juros mensal é superior a 10%.

8. D

9. C

10. E

O número de bactérias N(t), em função do tempo t, em horas, pode ser modelado por uma função do tipo N(t) = N0 . 2^-t, com N0 sendo a população inicial. A função N é exponencial.

11. D

De 12h às 13h30min temos 1,5 meias-vidas. Assim, do gráfico podemos concluir que às 13h30 min o percentual da dose que restará no organismo é aproximadamente 35%.

Logaritmos: definição, condição de existência e consequências da definição

Resumo

Definimos como logaritmo de um número positivo

a

na base

b

o valor do expoente da potência de base

b

que tem como resultado o número

a

. Ou seja:

log

_b

a = x  b

^x

= a

Chamamos a de logaritmando, sendo

a  0

, e b de base, sendo

b  0

e

b  1

. Ex:

log 8 3

₂

=

, pois

2

³

= 8

.

Condição de existência

Para que

log

_b

a

esteja definido duas condições devem ser atendidas:

Base: 0 e 1 Logaritimando: 0

b b

a

 

  



Essas condições são fundamentais na resolução de equações e inequações logarítmicas, bem como para determinar o domínio das funções logarítmicas.

Consequências da definição

a)

log 1 0

_b

=

log 1

_b

=  x b

^x

=  = 1 x 0

b)

log

_b

b = 1

log

_b

b =  x b

^x

=  = b x 1

c)

b

^logba

= a

Fazendo

b

^logba

= b

^x, temos que

log

_b

a = x

e, da definição desse logaritmo, temos que

b

^x

= a

. Portanto:

log_ba

b = a

Sistemas de logaritmos

1. Sistema decimal (base 10):

Nos exercícios, é mais usual usarmos logaritmos na base 10. Dessa maneira, podemos omiti-la. Ex:

log100 log 100 =

10

= 2

, pois

10

²

= 100

. 2. Sistema neperiano (base e):

O número e, chamado de número de euler, pertence ao conjunto dos números irracionais e vale, aproximadamente, 2,7. Ou seja, e ≅ 2,71828...

O logaritmo neperiano, também chamado de logaritmo natural, é o logaritmo de base e e é apresentado pela letra n:



Exercícios

1.

Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é a) o número ao qual se eleva a para se obter b.

b) o número ao qual se eleva b para se obter a.

c) a potência de base b e expoente a.

d) a potência de base a e expoente b.

e) a potência de base 10 e expoente a.

2.

O valor CORRETO da expressão

3 2

0, 001 1 log 8

10000 2 E

 

−

= + +    

^é:

a) 10000.

b) 11,0000001.

c) 11  10^–7 . d) 11.

e) –1

3.

A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com

pH

 7) a flor é azul, enquanto que em solo alcalino (ou seja, com

pH

 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada comercialmente numa determinada região seja aquela produzida em solo com

pH

inferior a 8. Sabe- se que

pH = log −

₁₀

x

, em que

x

é a concentração de íon hidrogênio

( ) ^H

⁺ . Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que

x

assuma a) qualquer valor acima de

10

⁻⁸.

b) B qualquer valor positivo inferior a

10

⁻⁷. c) C valores maiores que

7

e menores que

8

. d) D valores maiores que

70

e menores que

80

. e) E valores maiores que

10

⁻⁸ e menores que

10

⁻⁷.

4.

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. Mw e M0 se relacionam pela fórmula:

10 0

10, 7 2 log ( )

w

3

M = − + M

onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mw = 7,3

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)?

a) 10^-5,10. b) 10^-0,73. c) 10^12,00. d) 10^21,65. e) 10^27,00.

5.

A acidez de frutas cítricas é determinada pela concentração de íons hidrogênio. Uma amostra de polpa de laranja apresenta pH = 2,3. Considerando log2 = 0,3, a concentração de íons hidrogênio nessa amostra, em mol.L⁻¹ , equivale a:

Obs: pH = - log[H⁺] a) 0,001

b) 0,003 c) 0,005 d) 0,007

6.

Uma calculadora tem duas teclas especiais, A e B. Quando a tecla A é digitada, o número que está no visor é substituído pelo logaritmo decimal desse número. Quando a tecla B é digitada, o número do visor é multiplicado por cinco. Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, nesta ordem, e obteve no visor o número 10.

Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente o seguinte número:

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50

7.

Calcule o valor de S:

𝑆 = log4(log39) + log2(log813) + log0,8(log1632)

a) -5/2 b) 5/2 c) 3/2 d) -3/2

8.

Calcule o valor de 7^{1+ log74}: a) 11

b) 28 c) 35 d) 42

9.

Se ₂

1 2

₂

log log

2 3

y = − + x

, para

x  0

então a)

3 2

2 y = x

b)

3

2 y = x

c)

1

^{3 2}

y = − 2 + x

d)

y = 2.

³

x

² e)

y = 2 x

³

10.

Considerando-se

K = 100

^log3

+ 1000

^{log 2}, onde os logaritmos são decimais, é correto afirmar-se que K é

a) Múltiplo de 10.

b) Negativo.

c) Maior que 100.

d) Ímpar.

Gabarito

1. B

Dados dois números reais a e b positivos e b diferente de 1.

Denotamos o logaritmo de a na base b por logb (a) em que b é a base do logaritmo e a é o logaritmando.

Esse logaritmo é o expoente ao qual devemos elevar a base b para se obter acomo resultado:

É o número ao qual se eleva b para se obter a.

2. B

3. E

Segundo o enunciado, a flor de maior valor comercial é produzida quando a cor é rosa e o pH é inferior a 8. E para que a flor seja rosa o pH deve ser superior a 7. Então temos que 7<pH<8.

Dado a fórmula do pH, temos:

7  − log

10

x  8

vamos multiplicar por -1 e por consequencia, inverter os sinais de desigualdade.

7 log

10

x 8

−   −

7 8

10

⁻

  x 10

⁻

4. E

Basta substituir na fórmula as informações dadas no enunciado:

MW = 7,3.

Substituindo na equação das escalas, vamos obter, 7,3 = -10,7 + 2/3 log(M0). Operando:

7,3 + 10,7 = 2/3 log(M0) 18 = 2/3 log(M0) 9= 1/3 log(M0) 27 = log(M0)

Agora, podemos aplicar a definição de logarítmo:

10²⁷ = M0

5. C

A concentração de íons hidrogênio dessa fruta pode ser denotada como [H⁺].

Portanto:

pH = -log10 [H⁺] 2,3 = log10 [H⁺] - 2,3 = log10 [H⁺] 10^-2,3 = [H⁺] 10^-0,3 x 10^-2 = [H⁺]

1 10^{0,3 x}

1 100 ⁼ [H⁺]

Como log10 2 = 0,3, tem-se 10^0,3 = 2. Logo 1

2

𝑥

¹

100 = [H⁺] [H⁺] = ¹

200

[H⁺] = 0,0005 mol x L^-1

6. A

Número inicial no visor = x Tecla B = 5x

Tecla A = log10 (5x)

Tecla B = 5 (log10 (5x)) = 10 → log10 (5x) = 2 → 5x = 10² → x = ¹⁰⁰ 5 = 20 7. A

𝑆 = log₄2 + log₂1 4+ log4

5

5 4 𝑆 = 1

2+ (−2) + (−1)

𝑆 =

¹

2– 3 S =

−

⁵

2 8. B

7¹. 7^log74 = 7 . 4 = 28

9. A

10. D

Logarítmos: propriedades dos logarítmos

Resumo

Temos algumas propriedades que serão fundamentais na resolução de problemas que envolvem logaritmos.

Dá só uma olhada!

Propriedades:

I.

^log

b

( p q  ) = ^log

b

p + ^log

b

q

II.

^log

b

( p q  ) = ^log

b

p − ^log

b

q

Ex: Considerando log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, determine:

a) log 6 b) log 5 Solução:

a) log 6 = log (2 × 3) = log 2 + log 3 = 0,3 + 0,48 = 0,78 b) log 5 = log (10 ÷ 2) = log 10 – log 2 = 1 – 0,3 = 0,7

III.

log

_b

a

^

=  log

_b

a

IV.

1

log

_b

a log

_b

a

=  

Ex: 3

4

27 3 3

4 4

log 81 log 3 log 3

3 3

= = =

V. Mudança de base:

log log log

c b

c

a a

= b

Cuidado! O número C é o número que você quiser.

VI.

1

log

^b

a log

_a

= b

VII.

log

_b

b

^a

= a

Pronto! Com essas propriedades você consegue fazer todos os exercícios.

Exercícios

1.

Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.

Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cm² de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).

Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).

Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?

a) 1999 b) 2002 c) 2022 d) 2026 e) 2146

2.

Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por

0

2 log( ) 3

M E

= E

sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0, uma constante real positiva. Considere que E1, e E2, representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.

Qual é a relação entre E1, e E2? a) E1 = E2 + 2

b) E1 = 10². E2

c) E1 = 10³. E2

d) E1 = 10^9/7. E2

e) E1 = 9/7. E2

3.

Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir.

– A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.

– O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação:

T(x) = T0(0,5)^0,1x

Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial.

Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:

a) 30 b) 32 c) 34 d) 36

4.

Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação.

Admita um filtro que deixe passar ⁴

5

da intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar n filtros.

Considerando log 2 = 0,301, o menor valor de n é igual a:

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12

5.

Quando ocorre um terremoto, o sismógrafo registra o tremor de terra em um gráfico como o apresentado a seguir.

A altura máxima A, que aparece no desenho é chamada de amplitude da onda sísmica e é medida em milímetros. A magnitude do terremoto a uma distância de 200 km do local onde ele ocorreu é um número calculado por

m = log10A + 2,5

Notícia No dia 13 de agosto de 2011 foi registrado na costa sudeste do México, um terremoto com epicentro a cerca de 200 km de Salinas Cruz, onde o sismógrafo mostrou ondas de amplitude máxima de 160mm.

(Serviço Sismológico Nacional, Brasília).

Usando log2= 0,3, a magnitude desse terremoto foi de:

a) 4,6 b) 5,0 c) 5,4 d) 5,7 e) 6,1

6.

Pedro estudava para uma prova de Matemática, quando se deparou com a seguinte questão:

‘’Se

log

_c

a = 10

e

log

_c

b = 2

, então quanto vale

log

_b

a

^?’’

Ele a resolveu da seguinte forma:

Em sua resposta, Pedro

a) acertou completamente a questão.

b) errou a questão entre os passos 0 e 1.

c) errou a questão entre os passos 1 e 2.

d) errou a questão entre os passos 2 e 3.

e) errou a questão entre os passos 3 e 4.

7.

Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em determinar o valor x que satisfaz a equação

10

^x

= N

e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número. Dados

log 2 = 0, 30

e

log 3 = 0, 47

use esse método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima de

N = 2 3

^{120 30}

a)

10

⁴⁵ b)

10

⁵⁰ c)

10

⁵⁵ d)

10

⁶⁰ e)

10

⁶⁵

8.

Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão

2 3 7

1 1 1

2 log 2016 5 log 2016 10 log 2016

S = + +

. O valor de S é

a)

1 2

b)

1 3

c)

1 5

d)

1 7

e)

1 10

9.

Sendo log 2 = m e log 3 = n, aplicando as propriedades de logaritmo, escreve-se log 3,6 em função de m e n como

a)

2mn

b)

² ² 10 m n

c)

10

m n +

10.

Considerando

log 2

₇

= w

, temos que o valor de

log 14

₄ pode ser expresso por

a)

2 1 w +

b)

2 1 w w +

c)

3 2

w

d)

2 w

e)

1

2 w

w

+

Gabarito

1. C

Atualemente 400000 T Queremos 100.10⁹T T(a) = 400000 . 2ª 10.10⁹ = 400000 . 2ª 10⁶ =4.2^a

10⁶ = 2^ª+2 log 10⁶ = log 2^ª+2 6 = (a + 2) (0,3) 6 = 0,3ª + 0,6 a = 18

Ou seja, se dobramos 18 vezes, quer dizer que se passaram 36 anos.

2. C

3. C

Considerando Ti o nível inicial de toxidez, conclui-se que T0 = 10Ti. Substituindo os valores na equação, temos:

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0,1 0,1 0 0,1 0,1

0 0 0 0,5

10. 10

1 1

( ) . 0, 5 . 0, 5 . 0, 5 0, 5 0,1 log

10 10 10

( )

log 1

log1 log10 0 1 1 10 100

0,1 10 0,1 33, 3

1 log1 log 2 10 0 0, 3 10 0, 3 10 3 3

log2

i i

x x x x

i i

T T T T

T x T T T T T x

T x T

x x x

x x x

 =  =

 =  =  =  =  = 

 =



− −

 =  =  =  =  =  = 

− −

O valor mínimo será 34, pois 33 dias não serão suficientes para retornar ao nível inicial.

4. C

Como cada filtro deixa passar 4/5 da intensidade da luz que nele incide, usando n filtros, passará (4/5)ⁿ da luz incidente.

O objetivo é reduzir essa intensidade a menos de 10% da original. Logo:

(

⁴

5

)

^𝑛< ₁₀₀¹⁰

(

⁸

10

)

^𝑛 < ¹

10

log

(

⁸

10

)

^𝑛 < log ¹ 10

n (log 8 – log10) < log1 – log10 n(3log2 - 1) < 0 – 1

n(-0,097) < -1 n > _0,097¹ n > 10,3

Portanto, o menor valor de n é 11.

5. D

Como A = 160 mm, substituímos ele na equação dada:

M = log10A +2,5 M = log(10 x 160) + 2,5 m = log10 + log 160 +2,5

Fatorando o 160, temos 160 = 2 x 2 x 2 x 2 x 10. Assim:

M = log10 + log(2⁴ x 10) + 2,5 M = log10 + log2⁴ +log10 + 2,5 M = log10 + 4log2 + log10 + 2,5 M = 1 + 4(0,3) + 1 + 2,5

M = 1 + 1,2 + 1 + 2,5 M = 5,7

Logo, a magnitude do local foi 5,7.

6. D

Ele errou entre os passos 2 e 3, pois ele não soube utilizar a propriedade de mudança de base de logaritmos. A propriedade nos diz que

log

log log

c

b c

a a

b =

, só que a questão nos diz que

log log log

log

c

c c

c

a a b

b = −

.

7. B

Para resolver esta questão, precisamos relembrar de duas propriedades importantes do logaritmo, a propriedade da potência e da multiplicação.

Pelo enunciado, temos que determinar o valor de x que satisfaça a equação

10

^x

= N

Se dado que

N = 2 3

^{120 30} , podemos igualar os

N

:

10

^x

= 2 3

^{120 30}

Aplicando o logaritmo de base 10 nos dois membros e aplicando as propriedades:

( ) (

^{120 30}

)

120 30

log 10 log 2 3 log10 log 2 log 3 .1 120 log 2 30 log 3

120.0, 3 30.0, 47 36 14,1

50,1

x

x x x x x

=

= +

= +

= +

= +

=

Então o valor que mais se aproxima de

N

é

10

⁵⁰.

8. E

9. D

10. E