Prof. Márcio Nascimento. 15 de fevereiro de 2017

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Introdu¸c˜ ao - ˆ Angulos

Prof. M´arcio Nascimento

marcio@matematicauva.org

Universidade Estadual Vale do Acara´u Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnologia

Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática Básica II - 2016.2

15 de fevereiro de 2017

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Sum´ ario

1 Cronograma da Disciplina

2 Breve hist´orico sobre o Desenvolvimento da Trigonometria

3 Anguloˆ

4 Unidade de Medida - Grau

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Sum´ ario

3 Anguloˆ

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Disciplina: Matem´atica B´asica II - Trigonometria (60h) Fluxo: 2012

Pré-Requisitos: Matemática Básica I – Rela¸cões e Fun¸cões Ementa: Trigonometria no triângulo. Trigonometria na

Circunferência. Fun¸cões Trigonométricas. Fun¸cões trigonométricas inversas. Identidades Trigonométricas. Trigonometria num

triângulo qualquer. Equa¸cões trigonométricas. Coordenadas Polares. Produ¸cão de v´ıdeos didáticos com aplica¸cões da trigonometria.

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Aulas:

Fevereiro: 14, 21 Mar¸co: 07, 14, 21, 28 Abril: 04, 11, 18, 25 Maio: 02, 09, 16, 23, 30 Junho: 06, 13, 20 Avalia¸c˜oes:

AP01 (18/04)

AP02 (06/06) Entrega dos v´ıdeos AP03 (13/06)

AF (20/06)

M´edia: (AP01+AP02+AP03)/3

OBS:Textos/V´ıdeos para estudo complementar!

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Sum´ ario

3 Anguloˆ

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A palavra trigonometria tem origem na Gr´ecia:

τ ριγ$νoµετ ρια

τ ριγ$νo (Triˆangulo) +µετ ρηση (medida);

A ‘Ciˆencia dos Triˆangulos’;

Surgiu devido as necessidades da Astronomia, Navega¸c˜ao e Cartografia;

Vocábulo criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus (1561-1613).

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Hiparco de Nic´eia: Considerado o “Pai” da Trigonometria, viveu em torno de 120 a.C.

Construiu tabelas de cordas (predecessoras das tabelas de senos).

Organizou a confeçcão de um catálogo de estrelas e um calendário de equinócios.

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Sum´ ario

3 Anguloˆ

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Angulo:ˆ palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto).

E a figura formada por duas semi-retas de mesma origem.´

Nota¸c˜ao: AOBb ouBOAb ou, ainda,∠AOB

−→OA e −→

OB: lados do ˆangulo.

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Geralmente s˜ao usadas letras gregas ou letras “de forma”para representar um ˆangulo:

α=AOBb =∠AOB =Ob =O

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Alguns ˆangulos recebem nomes especiais:

Angulo raso:ˆ Quando as semirretas tˆem a mesma dire¸c˜ao mas sentido oposto.

Angulo nulo:ˆ Quando as semirretas tˆem a mesma dire¸c˜ao e sentido.

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Angulo reto:ˆ Quando as semirretas s˜ao perpendiculares.

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Angulo agudo:ˆ Quando o ˆangulo formado ´e menor que um ˆ

angulo reto.

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Angulo obtuso:ˆ Quando o ˆangulo formado ´e menor que um ˆ

angulo raso e maior que um ˆangulo reto.

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Angulos Complementares:ˆ ˆangulos que quando justapostos formam um ˆanguloreto.

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Angulos Suplementares:ˆ ˆangulos que quando justapostos formam um ˆanguloraso.

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Angulos Adjacentes:ˆ Quando dois ângulos têm o mesmo vértice e uma das semirretas é um lado comum.

∠BAC e ∠CAD s˜ao adjacentes.

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Medida de um ˆ angulo

Quando falamos emmedida de um ˆangulo nos referimos `a abertura entre as semirretas.

Por exemplo, na figura abaixo, ∠BAD ´e maior do que∠DEF.

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Uma vez que podemos comparar, faz sentido falar emálgebra de ângulos, isto é, podemos somar e subtrair:

Por exemplo, na figura abaixo,

∠BAC+∠CAD =∠BAD , x−y =∠CAD

Da mesma forma, faz sentido multiplicar (ou dividir) um ˆ

angulo por um n´umero real:

2(∠BAC), 1

3(∠CAD), ...

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Se a partir do vértice de um ângulo tra¸camos uma semirreta, interior ao ângulo, então estamosdividindo este ângulo.

Quando tal reta divide o ângulo em duas partes iguais, tal reta é chamadabissetriz do ângulo.

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Sum´ ario

3 Anguloˆ

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Unidade de Medida - Grau

Imagine v´arias semirretas partindo de um mesmo ponto, como mostra a figura ao lado.

Considere que o ˆangulo determinado por quaisquer duas semirretas consecutivas ´e sempre o mesmo.

Se tivermos 360 semirretas, teremos 360 ˆangulos iguais. Cada um deles ser´a chamado grau.

Nota¸c˜ao: 1⁰.

Aparentemente, os Babilˆonios foram

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: De um mesmo ponto, partem 120 semirretas determinando ˆ

angulos iguais entre si. Qual a medida, em graus, de cada ˆangulo?

Resposta: 3⁰

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Unidade de Medida - Grau

A fra¸cão de 1/60 de um grau é chamadaminuto. Nota¸cão: 1⁰

60 = 1⁰ E a fra¸cão de 1/60 de um minuto, é chamadasegundo. Nota¸cão 1⁰

60 = 1⁰⁰

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Considere um c´ırculo de raio R. De seu centro O, partem 175 semirretas determinando ˆangulos iguais entre si.

Qual a medida em graus de cada ˆangulo?

Aproxidamente 2,06⁰

Qual a medida em minutos de cada ˆangulo?

Aproximadamente 123,43⁰

Qual a medida em segundos de cada ˆangulo?

Aproximadamente 7405,71⁰⁰

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Unidade de Medida - Grau

Observa¸cão: Em vez da nota¸cão decimal, algumas vezes é interessante usar graus, minutos e segundos na mesma representa¸cão

2,5⁰ = 2⁰+ 0,5⁰= 2⁰+ (0,5).60⁰ = 2⁰30⁰

3,12⁰ = 3⁰+ 0,12⁰ = 3⁰+ (0,12).60⁰= 3⁰+ 7,2⁰= 3⁰+ 7⁰+ 0,2⁰= 3⁰7⁰+ 0,2(60⁰⁰) = 3⁰7⁰12⁰⁰

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os ˆangulos A= 124,389⁰ eB = 75,765⁰, Converta A e B para a nota¸c˜ao grau/minuto/segundo A∼= 124⁰23⁰20⁰⁰ eB = 75⁰45⁰54⁰⁰

Expresse A+B, A−B na nota¸c˜ao grau/minuto/segundo A+B = 200,154⁰∼= 200⁰9⁰14⁰⁰ e

A−B = 48,624⁰ ∼= 48⁰37⁰26⁰⁰

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os ˆangulos A= 42⁰27⁰32⁰⁰ e B = 27⁰32⁰26⁰⁰, determine:

A+B 69⁰59⁰58⁰⁰ A−B 14⁰55⁰06⁰⁰

A 2 + B

3

Aproximadamente 30⁰24⁰32⁰⁰

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os ˆangulos A= 42⁰27⁰32⁰⁰ e B = 27⁰32⁰26⁰⁰, Converta A e B para a nota¸c˜ao decimal

Aé aproximadamente 42,46⁰ e B é aproximadamente 27,54⁰ Expresse A+B, A−B na nota¸cão decimal

A+B ∼= 69,99⁰ e A−B ∼= 14,92⁰

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Um rel´ogio marca 2 : 25. Qual o menor ˆangulo entre os ponteiros de horas e minutos?

Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maior percorre 360⁰ e o menor, 30⁰.

Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre 6⁰ e o menor 0,5⁰.

Da´ı, `as 2:25, o ponteiro maior ter´a percorrido (a partir do 12) 25×6⁰ = 150⁰ e o menor (a partir do 2), 25×0,5⁰= 12,5⁰.

Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, o menor ˆangulo seria de 150⁰−60⁰= 90⁰, mas

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às:

15:35 102,5⁰ 18:10 125⁰ 16:20 10⁰ 12:33 178,5⁰

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Origem das palavras

Grau: origem do latim - gradu- que significa degrau.

Minuto: primeiras menores partes -partes minutae primae Segundo: segundas menores partes - partes minutae secundae