Aula 08 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TODOS OS CARGOS DA PC-BA. Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima

Aula 08

RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TODOS OS CARGOS DA PC-BA

Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima

Sumário

SUMÁRIO... 2

PROBLEMAS ARITMÉTICOS ... 3

EQUAÇÕESDE1º GRAU ...3

Sistemas de equações de primeiro grau (sistemas lineares) ... 7

PROPORCIONALIDADE ...14

GRANDEZASDIRETAMENTEPROPORCIONAIS ...15

GRANDEZASINVERSAMENTEPROPORCIONAIS... 17

REGRADETRÊSCOMPOSTA... 20

Método tradicional para regras de três compostas ... 20

Método alternativo para regras de três compostas ... 25

DIVISÃOEMPARTESPROPORCIONAIS ... 28

DIFERENÇASDERENDIMENTO ... 33

PROGRESSÕESARITMÉTICASEGEOMÉTRICAS ... 37

Progressões aritméticas ... 37

Progressões geométricas...41

QUESTÕES DE PROVA COMENTADAS ... 46

LISTA DE QUESTÕES ... 80

GABARITO ... 93

RESUMO DIRECIONADO ... 94

Problemas Aritméticos

Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.

É com muita alegria que inicio mais essa aula.

Vamos tratar sobre os seguintes tópicos neste encontro:

Raciocínio Lógico envolvendo Problemas Aritméticos.

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

EQUAÇÕES DE 1º GRAU

Para começar o estudo deste tópico, vamos trabalhar o seguinte exemplo: “João tinha uma quantidade de bolas cheias, porém 5 murcharam, restando apenas 3 cheias. Quantas bolas tinha João?”. Neste caso, a variável que pretendemos descobrir é o número de bolas. Chamando essa variável de x, sabemos que x menos 5 bolas que murcharam resulta em apenas 3 bolas cheias. Matematicamente, temos:

x – 5 = 3 portanto, x = 8 bolas

Este é um exemplo bem simples. Note que a variável x está elevada ao expoente 1 (lembra-se que x¹= x

?). Quando isso acontece, estamos diante de uma equação de 1º grau. Estas equações são bem simples de se resolver: basta isolar a variável x em um lado da igualdade, passando todos os demais membros para o outro lado, e assim obtemos o valor de x.

Antes de prosseguirmos, uma observação: você notará que eu não gosto de usar a letra x, mas sim uma letra que “lembre” o que estamos buscando. No exemplo acima, eu teria usado B (de bolas), pois acho que isso evita esquecermos o que representa aquela variável – principalmente quando estivermos trabalhando com várias delas ao mesmo tempo.

O valor de x que torna a igualdade correta é chamado de “raiz da equação”. Uma equação de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz. Vejamos outro exemplo:

3x - 15 = 0

3x = 15 x = 5 Note que as equações abaixo NÃO são de primeiro grau:

2 16 0

x − = 30 0 x + −x = 1 x 5 0 x + − =

Uma equação do primeiro grau pode sempre ser escrita na forma ax+ =b 0, onde a e b são números que chamaremos de coeficientes, sendo que, necessariamente, a0 (a deve ser diferente de zero, caso contrário 0.x = 0, e não estaríamos diante de uma equação de primeiro grau). Veja que, isolando x em

0

ax+ =b , temos:

ax = -b x b

a

=− Portanto, a raiz da equação é sempre dada por ^b

a

− . Na equação de primeiro grau 2x−13=0, temos a

= 2 e b = -13. Portanto, a raiz será x = ( 13) 13

2 2

b a

− =− − = .

Agora imagine o seguinte problema: “O número de bolas que João tem, acrescido em 5, é igual ao dobro do número de bolas que ele tem, menos 2. Quantas bolas João tem?”

Ora, sendo B o número de bolas, podemos dizer que B + 5 (o número de bolas acrescido em 5) é igual a 2B – 2 (o dobro do número de bolas, menos 2). Isto é:

B + 5 = 2B – 2

Para resolver este problema, basta passar todos os termos que contém a incógnita B para um lado da igualdade, e todos os termos que não contém para o outro lado. Veja:

-(-2) + 5 = 2B – B

Repare que, quando passamos um termo de um lado para o outro da igualdade, devemos mudar a sua operação. Se o número está somando (é positivo), ele passa para o outro lado subtraindo (negativo). Se um número está multiplicando, ele passa para o outro lado dividindo. E vice-versa. Continuando o cálculo:

2 + 5 = B 7 = B Sobre este tema, resolva as questões a seguir:

FGV – IBGE – 2017) Fernando teve três filhos em três anos seguidos. Quando ele fez 39 anos reparou que essa sua idade era igual à soma das idades dos seus três filhos. Nesse dia, o seu filho mais velho tinha:

(A) 12 anos;

(B) 13 anos;

(C) 14 anos;

(D) 15 anos;

(E) 16 anos.

RESOLUÇÃO:

Como os filhos nasceram em anos seguidos, podemos dizer que o mais novo tem N anos, os demais tem N+1 e N+2 anos de idade. Sabemos que a idade de Fernando (39) é igual à soma das idades dos filhos, ou seja,

39 = N + N+1 + N+2 39 = 3N + 3 3N = 39 – 3 3N = 36

N = 12 O filho mais velho tem N+2 = 12+2= 14 anos.

Resposta: C

VUNESP – CÂMARA SJC– 2018) Três quartos do total de uma verba foi utilizada para o pagamento de um serviço A, e um quinto do que não foi utilizado para o pagamento desse serviço foi utilizado para o pagamento de um serviço B. Se, da verba total, após somente esses pagamentos, sobraram apenas R$ 200,00, então é verdade que o valor utilizado para o serviço A, quando comparado ao valor utilizado para o serviço B, corresponde a um número de vezes igual a

(A) 13.

(B) 14.

(C) 15.

(D) 16.

(E) 17.

Resolução:

Seja “N” o valor da verba. O serviço A foi pago com ¾ dessa verba: ¾ de N = 3N/4. Não foi utilizado, portanto, ¼ de N = N/4.

O serviço B foi pago com um quinto do que não foi utilizado do serviço A. Logo: 1/5 x N/4 = N/20.

Após esses dois pagamentos, restaram 200 reais. Portanto:

N – 3N/4 – N/20 = 200 20N/20 – 15N/20 – N/20 = 200

20N – 15N – N = 20 x 200 4N = 4000 N = 1000 reais Os valores usados para pagar os serviços A e B foram:

Serviço A = 3000/4 = 750 reais Serviço B = 1000/20 = 50 reais Logo, o valor de A em relação a B é: 750/50 = 15 vezes maior.

Resposta: C

CESPE – PM/AL – 2017) Em um tanque A, há uma mistura homogênea de 240 L de gasolina e 60 L de álcool;

em outro tanque B, 150 L de gasolina estão misturados homogeneamente com 50 L de álcool.

A respeito dessas misturas, julgue os itens subsequentes.

( ) Para que a proporção álcool/gasolina no tanque A fique igual à do tanque B é suficiente acrescent ar no tanque A uma quantidade de álcool que é inferior a 25 L.

RESOLUÇÃO:

A proporção álcool/gasolina do tanque B é de 50/150 = 1/3.

Suponha que precisamos acrescentar uma quantidade X de álcool no tanque A para ele chegar nesta mesma proporção. A quantidade de álcool passará a será de 60 + X, e a de gasolina será 240, de modo que ficaremos com a razão:

1/3 = (60+X) / 240

Como o 240 está dividindo o lado direito, vamos passá-lo para o lado esquerdo multiplicando:

240 x 1/3 = 60 + X 80 = 60 + X 60 + X = 80 X = 80 - 60 X = 20 litros Item CERTO.

Resposta: C

FCC – TRT24 – 2017) Um funcionário arquivou certo número de processos ao longo dos cinco dias úteis de trabalho de uma semana. Na terça-feira ele arquivou 2/3 do número de processos que havia arquivado na segunda-feira. Na quarta-feira ele arquivou o dobro do que havia arquivado na terça-feira. Tanto na quinta- feira quanto na sexta-feira ele arquivou 5 processos a mais do que havia arquivado na terça-feira. Sabendo-se

que esse funcionário arquivou 49 processos de segunda a sexta-feira dessa semana, a soma do número de processos arquivados por ele nos três dias da semana em que arquivou mais processos foi igual a

(A) 38 (B) 32 (C) 41 (D) 31 (E) 34

RESOLUÇÃO:

Seja N o número de processos arquivados na segunda. Na terça foi 2/3 disto, ou seja, 2N/3 processos. Na quarta foi o dobro disso, ou seja, 4N/3 processos. Na quinta e na sexta ele arquivou 5 a mais que na terça, ou seja, 2N/3 + 5 processos. Como o total de processos é 49, então:

N + 2N/3 + 4N/3 + 2N/3 + 5 + 2N/3 + 5 = 49 N + 10N/3 + 10 = 49

3N/3 + 10N/3 = 49 – 10 13N/3 = 39

N/3 = 3 N = 9

Assim, na segunda-feira ele arquivou N = 9 processos. Na terça ele arquivou 2N/3 = 2.9/3 = 6 processos. Na quarta ele arquivou o dobro disso, ou seja, 12 processos. Na quinta foram 5 a mais que na terça, ou seja, 11 processos, e na sexta a mesma quantidade.

Nos 3 dias que ele arquivou mais processos, o total foi de 12 + 11 + 11 = 34.

Resposta: E

Sistemas de equações de primeiro grau (sistemas lineares)

Em alguns casos, pode ser que tenhamos mais de uma incógnita. Imagine que um exercício diga que:

x + y = 10

Veja que existem infinitas possibilidades de x e y que tornam essa igualdade verdadeira: 2 e 8, -2 e 12 etc.

Por isso, faz-se necessário obter mais uma equação envolvendo as duas incógnitas para poder chegar nos seus valores exatos. Portanto, imagine que o mesmo exercício diga que:

x – 2y = 4

Portanto, temos o seguinte sistema, formado por 2 equações e 2 variáveis:

10

2 4

x y x y

 + =

 − =



A principal forma de resolver esse sistema é usando o método da substituição. Este método é muito simples, e consiste basicamente em duas etapas:

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO (SISTEMAS LINEARES)

1 - Isolar uma das variáveis em uma das equações;

2 - Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item anterior.

A título de exemplo, vamos isolar a variável x na primeira equação acima. Teremos, portanto:

10 x = −y

Agora podemos substituir x por 10 – y na segunda equação. Assim:

2 4

(10 ) 2 4 10 3 4 10 4 3 6 3

2 x y

y y

y y y y

− =

− − =

− =

− =

=

=

Uma vez encontrado o valor de y, basta voltar na equação x = 10 – y e obter o valor de x:

10 10 2 8

x y

x x

= −

= −

=

É importante conhecer bem o método da substituição, visto que ele auxiliará a resolver diversas questões de sua prova!

Outro método bastante útil é o método da adição (ou soma) de equações. Ele também é um método muito simples e consiste basicamente em duas etapas:

MÉTODO DA SOMA DE EQUAÇÕES (SISTEMAS LINEARES):

1 - Multiplicar uma das equações por um número que seja mais conveniente para eliminar uma variável.

2 - Somar as duas equações, de forma a ficar apenas com uma variável.

Vejamos como aplicar o método da adição no mesmo exemplo visto anteriormente.

10

2 4

x y x y

 + =

 − =



Primeiramente, vamos multiplicar a primeira equação por 2:

2x + 2y = 20

Veja que nós somos obrigados a multiplicar TODOS os termos dos DOIS lados da equação pelo número escolhido (neste caso, o 2). Você deve estar se perguntando: professor, por que você decidiu multiplicar justamente por 2? Calma, já vai ficar claro. Agora o nosso sistema de equações ficou assim:

{2𝑥 + 2𝑦= 20 𝑥 − 2𝑦= 4

Quando temos duas igualdades como acima, nós também podemos dizer que a SOMA dos termos da esquerda das duas equações é igual à SOMA dos termos da direita das duas equações. Isto é,

(2x + 2y) + (x – 2y) = 20 + 4

Ao fazer isso, veja que o 2y vai ser cancelado pelo -2y! Este foi o motivo pelo qual, lá no início, decidi multiplicar a primeira equação por 2! O meu objetivo era que, ao somar as equações, alguma variável fosse cancelada, restando apenas uma. Veja como fica a continuação do cálculo:

3x = 24 x = 24/3 x = 8

Obtido o valor de x, basta substituir este valor em qualquer uma das equações para obter o valor de y. Por exemplo, substituindo na segunda equação:

x – 2y = 4 8 – 2y = 4 8 – 4 = 2y 4 = 2y y = 4/2

y = 2

Esta é a única forma de resolver pelo método da substituição? NÃO! Poderíamos, por exemplo, ter decidido multiplicar a segunda equação por -1. Olha o que teríamos:

x + y = 10 -x + 2y = -4

Agora podemos somar as duas equações. Note que, agora, o x da primeira equação vai cancelar com o -x da segunda, ficando:

y + 2y = 10 + (-4) 3y = 6 y = 6/3 y = 2

Substituindo este valor de y em qualquer das equações originais, vamos descobrir que x = 8.

Enfrente as questões a seguir, envolvendo sistema de equações:

VUNESP – CÂMARA SJC– 2018) Em um concurso somente para os cargos A e B, cada candidato poderia fazer inscrição para um desses cargos. Sabendo que o número de candidatos inscritos para o cargo A era 3000 unidades menor que o número de candidatos inscritos para o cargo B, e que a razão entre os respectivos números, nessa ordem, era igual a 0,4, então é verdade que o número de candidatos inscritos para o cargo B correspondeu, do total de candidatos inscritos, a

(A) 3/7 (B) 5/9 (C) 4/7 (D) 2/3 (E) 5/7 Resolução:

Seja “A” o número de candidatos do cargo A e “B” o número de candidatos do cargo B.

O enunciado afirma que “o número de candidatos inscritos para o cargo A era 3000 unidades menor que o número de candidatos inscritos para o cargo B”. Portanto:

A = B – 3000

Afirma, ainda, que “a razão entre os respectivos números, nessa ordem, era igual a 0,4”. Logo:

A/B = 0,4 A = 0,4B Substituindo essa última equação na primeira, temos:

0,4B = B – 3000 3000 = B – 0,4B 3000 = 0,6B B = 3000/0,6 B = 5000 Lembrando que A = 0,4B, podemos obter o valor de A:

A = 0,4 x 5000 A = 2000 O total de inscritos será:

A + B = 5000 + 2000 = 7000 O número de inscritos para o cargo B, em relação ao total, será:

5000/7000 = 5/7 Resposta: E

CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2018) Os indivíduos S1, S2, S3 e S4, suspeitos da prática de um ilícito penal, foram interrogados, isoladamente, nessa mesma ordem. No depoimento, com relação à responsabilização pela prática do ilícito, S1 disse que S2 mentiria; S2 disse que S3 mentiria; S3 disse que S4 mentiria.

A partir dessa situação, julgue os itens a seguir.

( ) Caso S3 complete 40 anos de idade em 2020, S1 seja 8 anos mais novo que S3 e S2 seja 2 anos mais velho que S4, se em 2020 a soma de suas idades for igual a 140 anos, então é correto afirmar que S2 nasceu antes de 1984.

RESOLUÇÃO:

Vamos assumir que S3 tem 40 anos em 2020. S1 é 8 anos mais novo que S3, ou seja, em 2020 sabemos que S1 terá 32 anos de idade. Como S2 é 2 anos mais velho que S4, podemos dizer que:

Idade de S2 = Idade de S4 + 2

Usando ID1, ID2, ID3 e ID4 para designar as respectivas idades no ano de 2020, podemos escrever que:

ID2 = ID4 + 2

Sabemos que a soma das idades, em 2020, é igual a 140 anos:

ID1 + ID2 + ID3 + ID4 = 140 32 + (ID4+2) + 40 + ID4 = 140

74 + 2.ID4 = 140 2.ID4 = 66

ID4 = 33

Logo, ID2 = ID4 + 2 = 33 + 2 = 35 anos em 2020. Assim, S2 deve ter nascido em 2020 – 35 = 1985. Não podemos afirmar que S2 nasceu antes de 1984, tornando o item ERRADO.

Resposta: E

FGV – IBGE – 2017) O número de balas de menta que Júlia tinha era o dobro do número de balas de morango.

Após dar 5 balas de cada um desses dois sabores para sua irmã, agora o número de balas de menta que Júlia tem é o triplo do número de balas de morango. O número total de balas que Júlia tinha inicialmente era:

(A) 42;

(B) 36;

(C) 30;

(D) 27;

(E) 24.

RESOLUÇÃO:

Sendo Me balas de menta e Mo balas de morango inicialmente, sabemos que as de menta são o dobro das de morango:

Me = 2.Mo

Após dar 5 balas de cada sabor para a irmã, sobram Me – 5 balas de menta e Mo – 5 balas de morango. Agora, as de menta são o triplo das de morango:

Me – 5 = 3.(Mo – 5) Me – 5 = 3.Mo – 15

Me = 3.Mo – 10 Aqui, temos um sistema formado por duas equações 2 variáveis:

Me = 2.Mo Me = 3.Mo – 10

Veja que, na segunda equação, podemos substituir Me por 2.Mo, como mostra a primeira equação. Fazendo isso, temos:

2.Mo = 3.Mo – 10 10 = 3.Mo – 2.Mo

10 = Mo Podemos calcular também o valor de Me lembrando que:

Me = 2.Mo Me = 2.10

Me = 20

Inicialmente ela tinha 10 balas de morango e 20 de menta, totalizando 30 balas.

Resposta: C

FCC – ARTESP – 2017) Sérgio tem algumas notas de 2 reais e algumas moedas de 50 centavos, totalizando R$

76,00. Somando-se o número de notas de 2 reais com o número de moedas de 50 centavos que ele tem, o resultado é 71. Admitindo-se que suas moedas de 50 centavos sejam idênticas e que tenham massa de 7,81 gramas cada, a massa total das moedas que Sérgio tem, em gramas, é um número que está entre

(A) 310 e 320.

(C) 280 e 290.

(D) 370 e 380.

(E) 400 e 419.

RESOLUÇÃO:

Sendo D notas de dois reais e C moedas de cinquenta centavos, sabemos que o valor total é de 76 reais, ou seja:

D x 2 + C x 0,50 = 76 2D + 0,5C = 76 O total de notas e moedas é 71:

D + C = 71

Veja que podemos isolar a variável D na equação acima, escrevendo D = 71 – C. Agora, podemos substituir D na equação 2D + 0,5C = 76, pois sabemos que D é o mesmo que 71 – C. Assim:

2 x (71 – C) + 0,5C = 76 142 – 2C + 0,5C = 76 142 – 76 = 2C – 0,5C

66 = 1,5C C = 66 / 1,5

C = 44 moedas de cinquenta centavos Se a massa de cada moeda é 7,81g, a massa total é de 44 x 7,81g = 343,64g.

Resposta: B

FCC – TRT/PE – 2018) Amanda, Manuela, Patrícia, Olívia e Daniela fizeram uma mesma prova, cuja nota mais alta, dentre elas, foi 18. Amanda obteve a metade da nota conquistada por Manuela. Patrícia tirou nota equivalente à média aritmética das notas de Daniela e Manuela. Olívia obteve a mesma nota que Daniela, e o triplo da nota de Amanda. A segunda maior nota dentre as cinco pessoas foi igual a

(A) 15 e obtida por Patrícia (B) 16,5 e obtida por Patrícia.

(C) 12 e obtida por Manuela.

(D) 16,5 e obtida por Manuela.

(E) 15 e obtida por Olívia e Daniela.

RESOLUÇÃO:

Chamando de A, M, D, O e P as notas de cada mulher, podemos tentar escrever as notas de todas elas em função de uma única. No caso, vamos tentar escrever todas em função da nota de Amanda (A). Veja:

- Amanda obteve a metade da nota conquistada por Manuela: A = M/2, ou se ja, M = 2A.

- Patrícia tirou nota equivalente à média aritmética das notas de Daniela e Manuela: P = (D+M)/2 - Olívia obteve a mesma nota que Daniela, e o triplo da nota de Amanda: O = D = 3A.

Da segunda equação, veja que:

P = (D+M)/2 P = (3A + 2A)/2

P = 5A/2 P = 2,5A Portanto, temos notas de valores:

3A (duas pessoas) 2,5A

2A A

A maior nota é 3A. O enunciado disse que a maior nota vale 18:

3A = 18 A = 18/3

A = 6

Assim, a segunda maior nota dentre as cinco pessoas foi igual a 2,5A = 2,5×6 = 15. Esta é a nota de Patrícia.

Resposta: A

Proporcionalidade

Para começar, imagine que estamos dirigindo um carro. Você concorda que, quanto MAIS rápido eu dirigir o carro, MAIOR será a distância que eu vou conseguir percorrer em um determinado período de tempo (por exemplo, 1 hora)? E, quanto MENOR for a minha velocidade, MENOR será a distância por mim percorrida?

Perceba que temos duas “entidades” ou “grandezas” envolvidas neste exemplo: a velocidade que eu dirijo o carro e a distância percorrida. Nós podemos falar que a distância é proporcional à velocidade pois, como vimos, essas duas grandezas variam juntas!

Portanto, já guarde isso: duas grandezas são proporcionais quando elas variam juntas – seja as duas aumentando, as duas diminuindo, ou uma aumentando e a outra diminuindo.

Precisamos conhecer dois tipos de proporcionalidade: aquelas com grandezas diretamente proporcionais, e aquelas com grandezas inversamente proporcionais. Vamos lá?

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando elas variam no mesmo sentido, isto é: quando uma cresce, a outra também cresce. Já, se a primeira diminui, a segunda diminui também.

Imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente proporcional ao tempo de serviço.

O que significa isso? Ora, significa que, à medida que o tempo de serviço aumenta, o salário do profissional também aumenta. Por outro lado, quanto menor for o tempo de serviço do funcionário, menor será o seu salário. Essa variação ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma razão entre o salário e o tempo trabalhado.

Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa onde salários e tempos de serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de Kléber é de R$1500 por mês, há quanto tempo ele trabalha nesta empresa?

Temos duas grandezas envolvidas (tempo e salário). Para encontrar o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), podemos organizar as informações da seguinte maneira:

Tempo (anos) Salário (reais)

5 1000

T 1500

Veja que, na primeira linha, coloquei as informações relativas a João. Na segunda linha estão as informações relativas a Kléber. A forma de resolver um exercício como este é muito conhecida: estamos diante de uma regra de três simples. Basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000). Costumamos chamar isso de “multiplicação cruzada”. Veja:

5 x 1500 = T x 1000 7500 = T x 1000 𝑇 =7500

1000 𝑇 = 7,5 𝑎𝑛𝑜𝑠 Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos.

Guarde esse procedimento básico para a solução de problemas de proporcionalidade direta:

PROPORÇÃO DIRETA:

1 – Confirme que as grandezas são diretamente proporcionais (aumentam juntas / diminuem juntas);

2 – Monte a tabela com os valores dados no enunciado;

3 – Faça a multiplicação cruzada e encontre o valor solicitado.

Veja essa questão:

FCC – TRT/PE – 2018) A relação entre funcionários homens e funcionárias mulheres em uma repartição pública é de 5 para 4, nessa ordem. Após um concurso, foram admitidos 5 novos funcionários homens e 12 novas funcionárias mulheres nessa repartição. Com o ingresso desses funcionários, a proporção entre funcionários homens e funcionárias mulheres da repartição passou a ser de 9 para 8, nessa ordem. Sendo assim, depois do concurso a repartição passou a ter um total de funcionárias mulheres igual a

(A) 64.

(B) 78.

(C) 80 (D) 72.

(E) 70.

RESOLUÇÃO:

Foi afirmado que para cada 5 homens, temos 4 mulheres na repartição. Sendo H e M os totais de homens e mulheres inicialmente, temos:

5 homens --- 4 mulheres H homens --- M mulheres

5 x M = 4 x H H = 5M/4

Após entrarem 5 homens e 12 mulheres, ficamos com H+5 homens e M+12 mulheres, e a razão passou a ser de 9 homens para 8 mulheres. Ou seja:

9 homens --- 8 mulheres H + 5 homens --- M + 12 mulheres

9 x (M + 12) = 8 x (H + 5) 9M + 108 = 8 x (5M/4) + 40

9M + 108 = 10M + 40 10M – 9M = 108 – 40

M = 68

Originalmente havia 68 mulheres. Com as 12 contratações, passamos para 80 mulheres.

Resposta: C

Antes de prosseguir, trabalhe mais esta questão:

CESPE – EMAP – 2018) Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente eficientes. Em um único dia, seis desses operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carregam 12 navios.

Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte.

( ) Para carregar 18 navios em um único dia, seis desses operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas.

RESOLUÇÃO:

Observe que, aparentemente, temos TRÊS grandezas envolvidas: o número de operadores, o número de horas de trabalho, e o número de navios carregados. Entretanto, perceba que o número de operadores NÃO MUDA (permanecem 6). Quando uma grandeza não muda, podemos simplesmente ignorá-la e trabalhar somente com as demais. Anotando-as em uma tabela:

Horas por dia --- Navios

8 12

X 18

Perceba que quanto MAIS horas de trabalho por dia nós tivermos, MAIS navios conseguiremos carregar. Ou seja, temos grandezas diretamente proporcionais. Fazendo a multiplicação cruzada, temos:

8 . 18 = X . 12 2 . 18 = X . 3

2 . 6 = X . 1 12 = X

Portanto, os operadores precisam trabalhar 12 horas. O item é ERRADO, pois afirma que os operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas.

Resposta: E

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra diminui. Por exemplo, imagine que 2 pedreiros trabalhando juntos levam 6 horas para erguer uma parede.

Quanto tempo levariam 3 pedreiros? Temos duas grandezas inversamente proporcionais: número de pedreiros e tempo para erguer a parede. Isso porque, quanto MAIS pedreiros trabalhando em uma obra, MENOS tempo é necessário para finalizá-la, concorda? É muito importante ser capaz de imaginar o “mundo real” para fazer esse julgamento!

A forma de resolução do problema é bem parecida com o caso anterior, há apenas uma pequena (mas importantíssima) diferença. O primeiro passo consiste em anotar as informações do enunciado em uma tabela:

Número de pedreiros Tempo (hr)

2 6

3 T

Aqui vem a diferença: como as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais, antes de realizar a multiplicação cruzada nós precisamos INVERTER uma das colunas. Você pode escolher qualquer coluna para inverter, ok? Eu escolhi inverter os termos da coluna dos Pedreiros. Veja como ficou:

Número de pedreiros Tempo (hr)

3 6

2 T

Feito isso, basta efetuar a multiplicação cruzada:

3 x T = 2 x 6 3 x T = 12

𝑇 =12 3 𝑇 = 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Portanto, o AUMENTO de número de pedreiros (de 2 para 3) REDUZ o tempo necessário para erguer a parede de 6 para 4 horas. Era exatamente isso que nós esperávamos, concorda?

Vamos então anotar a “receita de bolo” para enfrentar problemas de proporcionalidade inversa:

PROPORÇÃO INVERSA:

1 – Confirme que as grandezas são inversamente proporcionais (quando uma aumenta, a outra diminui, e vice-versa);

2 – Monte a tabela com os valores dados no enunciado;

3 – INVERTA os valores de uma das colunas (troque-os de linha);

4 – Faça a multiplicação cruzada e encontre o valor solicitado.

Perceba que a única diferença está no passo 3!

Resolva essa questão introdutória antes de avançarmos:

FCC – TRT/11 – 2017) Um ciclista cumpriu seu trajeto de treinamento com uma velocidade média de 20 km/h e um tempo de 6 horas e 24 minutos. No dia seguinte, ao voltar, o ciclista cumpriu o mesmo trajeto em exatamente 8 horas. Nesse dia sua velocidade média caiu, em relação ao treinamento do dia anterior, um valor igual a

(A) 1,5 km/h.

(B) 3 km/h.

(C) 7 km/h.

(D) 4 km/h.

(E) 6 km/h.

RESOLUÇÃO:

Podemos escrever:

20km/h —————— 6h 24min V km/h ——————– 8h

Uma dica importante: nunca trabalhe com horas e minutos. O ideal é transformar tudo em minutos. Como 1 hora corresponde a 60 minutos, fica fácil dizer que 8 horas são 8 x 60 = 480 minutos. Da mesma forma, 6 horas são 6 x 60 = 360 minutos. Somando ainda os 24 minutos (de 6h24min), temos 384 minutos. Assim, ficamos com:

20km/h —————— 384 min V km/h —————— 480 min

Repare que, quanto MAIOR a velocidade que percorremos um trajeto, MENOR será o tempo gasto no trajeto.

O enunciado não disse, mas nós percebemos claramente que as grandezas são inversamente proporcionais!

Devemos inverter uma das colunas. No caso, vou inverter a coluna das velocidades:

V km/h —————— 384 min 20 km/h ——————– 480 min Agora basta fazer a multiplicação cruzada:

V x 480 = 20 x 384 V x 24 = 384 V = 384 / 24 V = 16 km/h

A queda na velocidade foi de 20 para 16 km/h, ou seja, uma queda de 4km/h.

Resposta: D

Vamos trabalhar mais uma questão?

VUNESP – PM/SP – 2018) Uma máquina trabalhando ininterruptamente 5 horas por dia produz um lote de peças em 3 dias. Para que esse mesmo lote fique pronto em 2 dias, o tempo que essa máquina terá que trabalhar diariamente, de forma ininterrupta, é de

(A) 7 horas e 50 minutos.

(B) 6 horas e 45 minutos.

(C) 6 horas e 35 minutos.

(D) 7 horas e 30 minutos.

(E) 7 horas e 05 minutos.

RESOLUÇÃO:

Vamos anotar os dados do enunciado na tabela abaixo:

Horas por dia Dias

5 3 T 2

Note que quanto MAIS horas trabalhamos por dia, conseguimos produzir um lote em MENOS dias. Isto evidencia que as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais. Portanto, devemos inverter uma das colunas.

Vou inverter a coluna das horas por dia. Veja:

Horas por dia Dias

T 3 5 2 Agora é só montar a nossa multiplicação cruzada:

T x 2 = 3 x 5 T = 15/2

T = 7,5 T = 7h + 0,5h T = 7 horas + 30 minutos Resposta: D

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Até aqui trabalhamos apenas com duas grandezas por vez. Nas questões onde aparecem 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou inversamente), temos a famosa regra de três composta.

Quero te ensinar a resolver as questões de regra de três composta usando dois métodos, para que você fique à vontade para escolher aquele que se identificar melhor, ok?

Método tradicional para regras de três compostas

Vamos entender como funciona este método através de um exemplo:

2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 5 pedreiros em 7 meses?

Perceba que agora nós temos 3 grandezas: número de pedreiros, número de paredes e tempo de construção. Veja o esquema abaixo, onde anotei os dados fornecidos:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

A seguir, podemos colocar uma seta na coluna onde está a grandeza que precisamos descobrir (X), apontando para baixo ou para cima (como você quiser):

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

Agora, vamos comparar as demais grandezas com aquela onde está o X (número de paredes), para descobrir se há uma relação direta ou inversamente proporcional entre elas. Observe que, quanto MAIOR o número de paredes, MAIS pedreiros serão necessários para construí-las. Portanto, trata-se de uma relação diretamente proporcional. Assim, colocamos a seta no MESMO SENTIDO (isto é, para baixo) na coluna do Número de pedreiros:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

Da mesma forma, vemos que quanto MAIOR o número de paredes, MAIOR será o tempo de construção.

Portanto, essas grandezas também são diretamente proporcionais, e podemos colocar a seta no mesmo sentido:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

Obs.: se alguma grandeza fosse inversamente proporcional, colocaríamos a seta no sentido oposto. Depois, para colocar a seta no mesmo sentido das demais, precisaríamos inverter os termos daquela grandeza (trocá-los de linha). Veremos exercícios tratando sobre isso.

Uma vez alinhadas as setas, podemos montar a nossa proporção. Para isso, montamos a razão (divisão) entre os termos da coluna onde está o X (isto é, fazemos _𝑋⁴) e a igualamos à multiplicação das razões obtidas nas demais colunas (²

5 e ¹

7), ficando com:

4 2 1 5 7 X = 

Para obter o valor de X, basta terminar os cálculos. É interessante, neste momento, tentar SIMPLIFICAR os números, visando trabalhar com valores menores. Para você não ficar inseguro, vamos lembrar do ÚNICO caso em que você NÃO PODE simplificar: nunca simplifique na DIAGONAL, ou seja, o numerador de um lado com o denominador do outro. Ou seja, não é possível fazer as simplificações nos sentidos vistos na figura abaixo:

Podemos simplificar o 4 (numerador da esquerda) com o 2 (numerador da direita). Basta dividir ambos por 2, ficando com:

2 𝑋=1

5𝑥1 7

2 𝑋= 1

35

2 . 35 = X . 1

70 = X

Portanto, seria possível erguer 70 paredes com 5 pedreiros trabalhando por 7 meses. Veja no quadro abaixo um resumo do que fizemos neste exemplo.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA:

1. Encontrar quais são as grandezas envolvidas e montar uma tabela com elas;

2. Colocar uma seta na coluna onde estiver o valor a ser descoberto (X);

3. Comparar as demais grandezas à da coluna do X, verificando se são direta ou inversamente proporcionais à ela, e colocando setas no mesmo sentido ou no sentido oposto;

4. Alinhar todas as setas, invertendo os termos das colunas onde for necessário;

5. Montar a proporção, igualando a razão da coluna com o termo X com o produto das demais razões;

6. Obter X.

Uma observação: você verá que muitas vezes eu nem desenho as setas! Elas são um bom recurso em um momento inicial, para que você fixe melhor o procedimento de resolução. Mas, se preferir, nem perca tempo as desenhando!

A propósito, resolva essas questões comigo:

FCC – TRF/3ª – 2016) Uma indústria produz um tipo de máquina que demanda a ação de grupos de funcionários no preparo para o despacho ao cliente. Um grupo de 20 funcionários prepara o despacho de 150 máquinas em 45 dias. Para preparar o despacho de 275 máquinas, essa indústria designou 30 funcionários. O número de dias gastos por esses 30 funcionários para preparem essas 275 máquinas é igual a

(A) 55.

(B) 36.

(C) 60.

(D) 72.

(E) 48.

RESOLUÇÃO:

Podemos esquematizar assim:

Funcionários Máquinas Dias

20 150 45

30 275 D

Note que quanto MAIS dias tivermos para fazer o trabalho, MENOS funcionários são necessários, e MAIS máquinas podem ser despachadas. Portanto, devemos inverter a coluna dos funcionários, que é inversamente proporcional. Ficamos com:

Funcionários Máquinas Dias

30 150 45

20 275 D

Montando a proporção:

45 𝐷 =30

20𝑥150 275 Preste atenção nas simplificações:

45 𝐷 =3

2𝑥150 275

15 𝐷 =1

2𝑥150 275

1 𝐷 =1

2𝑥 10 275

1 𝐷 =1

1𝑥 5 275

1 𝐷= 5

275

Podemos inverter os dois lados, ficando com:

𝐷 =275 5

Multiplicando em cima e embaixo por 2 (é um bom truque para quando o denominador é 5):

𝐷 =550

10 = 55 𝑑𝑖𝑎𝑠 Resposta: A

FGV – CGM NITERÓI – 2018) Dois funcionários fazem, em média, doze relatórios em três dias. Mantendo a mesma eficiência, três funcionários farão vinte e quatro relatórios em

(A) um dia.

(B) dois dias.

(C) três dias.

(D) quatro dias.

(E) seis dias.

RESOLUÇÃO:

Anotando as informações fornecidas:

2 funcionários --- 12 relatórios --- 3 dias 3 funcionários --- 24 relatórios --- N dias

Agora devemos comparar a coluna onde está a variável (dias) com as demais. Note que quanto MAIS dias de trabalho nós temos disponíveis, MENOS funcionários são necessários para concluir um trabalho. E quanto

MAIS dias de trabalho nós temos disponíveis, MAIS relatórios podem ser feitos. Fica claro que “funcionários” é INVERSAMENTE proporcional ao número de dias, o que nos leva a inverter essa coluna:

3 funcionários --- 12 relatórios --- 3 dias 2 funcionários --- 24 relatórios --- N dias Agora podemos montar a nossa proporção:

3 𝑁 =3

2𝑥12 24 3

𝑁 =3 2𝑥1

2 1

𝑁 =1 2𝑥1

2 1 𝑁 =1

4 𝑁 = 4 𝑑𝑖𝑎𝑠 Resposta: D

Método alternativo para regras de três compostas

Pela minha experiência, a maioria dos alunos acaba tendo alguma dificuldade em verificar se duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Existe um segundo método de resolução que dispensa este passo. Para resolvê-lo, entretanto, é preciso ser capaz de separar as grandezas do enunciado em dois

“tipos”:

- aquela grandeza que representa o “resultado”;

- aquelas grandezas que representam os “ingredientes” para aquele resultado.

Como assim? Vamos retomar o nosso exemplo:

2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 5 pedreiros em 7 meses?

Repare que temos os PEDREIROS, as PAREDES e o TEMPO (meses). Note que o resultado buscado é a construção de paredes, concorda? E quais são os ingredientes utilizados para construir as paredes? Os pedreiros e o tempo de trabalho! Sabendo disso, podemos anotar as informações em uma tabela como esta abaixo, deixando de um lado dos ingredientes e do outro lado o resultado:

INGREDIENTES RESULTADO

Pedreiros Tempo Paredes

2 1 4

5 7 P

Para chegar em nosso resultado, basta fazermos as multiplicações dos termos marcados pelas linhas abaixo:

INGREDIENTES RESULTADO

Pedreiros Tempo Paredes

2 1 4

5 7 P

Repare que o procedimento é simples: basta multiplicar os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra linha. Agora, podemos igualar as duas multiplicações:

2 x 1 x P = 5 x 7 x 4

Uma vez montado o problema, basta terminarmos de resolver:

2P = 140 P = 70

Simples e rápido, não? Anote aí a “receita de bolo”:

REGRA DE TRÊS COMPOSTA (MÉTODO ALTERNATIVO):

1 – identificar qual é o OBJETIVO ou RESULTADO pretendido e quais são os INGREDIENTES necessários;

2 – montar uma tabela separando os ingredientes do resultado;

3 – multiplicar os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra;

4 – igualar as duas multiplicações, obtendo o valor da variável buscada.

Vamos praticar esse método nos mesmos exercícios que trabalhamos anteriormente?

FCC – TRF/3ª – 2016) Uma indústria produz um tipo de máquina que demanda a ação de grupos de funcionários no preparo para o despacho ao cliente. Um grupo de 20 funcionários prepara o despacho de 150 máquinas em

45 dias. Para preparar o despacho de 275 máquinas, essa indústria designou 30 funcionários. O número de dias gastos por esses 30 funcionários para preparem essas 275 máquinas é igual a

(A) 55.

(B) 36.

(C) 60.

(D) 72.

(E) 48.

RESOLUÇÃO:

Temos as grandezas: máquinas despachadas, funcionários trabalhando, e dias de trabalho. Qual é o RESULTADO que buscamos? Ora, queremos despachar máquinas! E, para fazer isso, quais são os ingredientes utilizados? Nós estamos utilizando funcionários e tempo de trabalho, concorda? Portanto, podemos montar a nossa tabela:

Veja que eu já coloquei as linhas que indicam as multiplicações a serem realizadas: multiplicamos os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra! Ficamos com:

20 x 45 x 275 = 30 x D x 150 Simplificando os cálculos:

2 x 45 x 275 = 3 x D x 150 2 x 15 x 275 = 1 x D x 150 2 x 1 x 275 = 1 x D x 10

550 = D x 10 D = 55 dias Resposta: A

FGV – CGM NITERÓI – 2018) Dois funcionários fazem, em média, doze relatórios em três dias. Mantendo a mesma eficiência, três funcionários farão vinte e quatro relatórios em

(A) um dia.

(B) dois dias.

(C) três dias.

(D) quatro dias.

(E) seis dias.

RESOLUÇÃO:

Veja que o OBJETIVO aqui é produzir relatórios. Para produzi-los, os ingredientes são:

- funcionários trabalhando;

- tempo (dias) de trabalho.

Podemos anotar as informações:

Agora basta seguir as linhas azul e vermelha para resolvermos o exercício:

2 x 3 x 24 = 3 x D x 12 2 x 3 x 2 = 3 x D x 1 2 x 1 x 2 = 1 x D x 1

4 = D Resposta: D

DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS

Algumas questões nos apresentam situações onde devemos dividir alguma coisa (ex.: lucro da empresa) entre algumas pessoas de maneira PROPORCIONAL a algum critério (ex.: fatia da empresa possuída por cada sócio). A resolução é relativamente tranquila, pois podemos usar até mesmo regras de três simples! Para voc ê compreender melhor, vejamos um exemplo.

Suponha que André, Bruno e Carlos são pedreiros, e trabalharam juntos na construção de uma casa. O patrão combinou de pagar um total de R$40000, sendo que cada pedreiro receberia um valor proporcional ao tempo que trabalhasse. Ao final, André trabalhou 200 horas, Bruno trabalhou 300 horas e Carlos trabalhou 500 horas. Quanto foi recebido por cada rapaz?

Veja que temos uma coisa (40.000 reais) a ser dividida entre 3 pessoas seguindo um determinado critério de proporcionalidade (a divisão deve ser diretamente proporcional aos tempos de trabalho de cada um).

Uma primeira forma de resolver consiste em uma regra de três simples com a seguinte “cara”:

Dinheiro TOTAL --- Tempo TOTAL Dinheiro de Fulano --- Tempo de Fulano

Veja que basta montar uma regra de três relacionando os valores totais (dinheiro e tempo) e os valores de um determinado indivíduo (que pode ser André, Bruno ou Carlos). O dinheiro total é 40.000 reais, e o tempo total é dado pela soma 200 + 300 + 500 = 1000 horas de trabalho. Assim, no caso de André, que trabalhou 200 horas, temos a regra de três:

40000 reais --- 1000 horas Dinheiro de André --- 200 horas Fazendo a multiplicação cruzada:

40000 x 200 = 1000 x Dinheiro de André 40 x 200 = Dinheiro de André 8000 reais = Dinheiro de André

De maneira similar, podemos calcular o dinheiro de Bruno. Como ele trabalhou 300 horas:

40000 reais --- 1000 horas Dinheiro de Bruno --- 300 horas

Fazendo a multiplicação cruzada:

40000 x 300 = 1000 x Dinheiro de Bruno 40 x 300 = 1 x Dinheiro de Bruno 12000 reais = Dinheiro de Bruno

Você pode calcular a parcela de Carlos da mesma forma, basta usar 500 horas. Outra forma, até mais fácil, é simplesmente pegar o total (40.000 reais) e subtrair os valores dados a André e Bruno, ou seja,

Carlos = 40.000 – 8.000 – 12.000 = 20.000 reais

Perceba que a divisão foi mesmo DIRETAMENTE proporcional! André, que trabalhou MENOS horas, ganhou MENOS dinheiro. Já Carlos, que trabalhou MAIS horas, ganhou MAIS dinheiro.

Uma segunda forma de resolver consiste no uso de ‘constantes de proporcionalidade’. Considero IMPORTANTÍSSIMO que você aprenda este segundo método, pois ele é fundamental em questões mais complexas sobre divisão proporcional. A ideia básica é criar uma variável, que chamamos de constante de proporcionalidade. Eu costumo usar a letra K. Assim, como André trabalhou 200 horas, ele tem direito a 200K.

Como Bruno trabalhou 300 horas, ele faz jus a 300K e, como Carlos trabalhou 500 horas, ele deve receber 500K.

A soma dos valores recebidos, que é 200K + 300K + 500 K = 1000K, deve ser igual a 40.000 reais, concorda?

Logo,

1000K =40000 K =40

Sabendo o valor da constante, conseguimos calcular rapidamente o valor recebido por cada rapaz:

André = 200K = 200 . 40 = 8000 reais Bruno = 300K = 300 . 40 = 12000 reais Carlos = 500K = 500 . 40 = 20000 reais Entendeu? Excelente!

E se a questão falasse que o dinheiro deveria ser distribuído de forma INVERSAMENT E proporcional ao tempo de trabalho de cada um??? Neste caso, você poderia usar a mesma constante K. Entretanto, André faria jus a ₂₀₀^𝐾 , Bruno a ^𝐾

300, e Carlos a ₅₀₀^𝐾 . Essa é a única mudança! Ao invés de multiplicar a constante pelos valores de cada pessoa, nós dividimos a constante pelo valor de cada pessoa, uma vez que a divisão é inversamente proporcional a esses valores.

A soma continua sendo de 40000 reais, portanto:

𝐾 200+ 𝐾

300+ 𝐾

500= 40000

Multiplicando todos os termos por 100, ficamos com:

𝐾 2+𝐾

3+𝐾

5 = 4.000.000

O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 5 é o 30. Podemos multiplicar todos os termos por 30, ficando com:

15𝐾 + 10𝐾 + 6𝐾 = 120.000.000 31𝐾 = 120.000.000

𝐾 =120.000.000 31 𝐾 = 3.870.967,74

(não se assuste com o tamanho dos números... isso ocorre porque este exercício NÃO foi concebido para trabalharmos com

Agora que sabemos o valor da constante, podemos encontrar o valor recebido por cada rapaz:

André = K/200 = 3.870.967,74 / 200 = 19.354,83 reais Bruno = K/300 = 3.870.967,74 / 300 = 12.903,22 reais Carlos = K/500 = 3.870.967,74 / 500 = 7.741,93 reais

Repare que a soma dos valores é mesmo 40.000 reais (ou quase isso, por conta dos arredondamento s). E veja que a divisão foi mesmo INVERSAMENTE proporcional. André, que trabalhou MENOS horas, ganhou MAIS dinheiro! E Carlos, que trabalhou MAIS horas, ganhou MENOS dinheiro!

Compreendido? Vamos então empregar os dois métodos nos próximos exercícios!

FCC – SABESP – 2018) Em um centro de telemarketing de uma rede de academias, três operadores dividem entre si um bônus no final do ano de forma proporcional às quantidades de clientes matriculados por cada um ao longo do ano. No ano de 2017, o operador Carlos matriculou 700 clientes; a operadora Silvânia, 850 clientes;

o operador Josias, 800 clientes. Se o bônus recebido por Josias foi de R$ 1.200,00, então o valor total do bônus dividido entre os três operadores em 2017 foi de

(A) R$ 2.515,50.

(B) R$ 9.600,00.

(C) R$ 8.400,00.

(D) R$ 3.525,00.

(E) R$ 10.200,00.

RESOLUÇÃO:

➔ PRIMEIRA SOLUÇÃO (regra de três simples):

Veja que temos mais informações em relação a Josias: ele ganhou 1200 reais de bônus, e matriculou 800 clientes. Podemos montar a seguinte regra de três relacionando os bônus e os números de matriculados:

Bônus total --- Total de matriculados Bônus de Josias --- Matriculados por Josias

O total de matriculados é de 700 + 850 + 800 = 2350. Assim, substituindo os valores conhecidos, temos:

Bônus total --- 2350 1200 --- 800 Resolvendo a regra de três simples:

Bônus total x 800 = 1200 x 2350

Bônus total x 8 = 12 x 2350 Bônus total x 2 = 3 x 2350

Bônus total = 3 x 1175 Bônus total = 3525 reais Podemos marcar a alternativa D, que é o nosso gabarito.

➔ SEGUNDA SOLUÇÃO (constante de proporcionalidade):

Outra forma de resolver consiste em trabalhar com “k”, a nossa constante de proporcionalidade. As partes a serem divididas para os operadores são diretamente proporcionais à quantidade de clientes matriculados por cada um (700, 850 e 800 clientes), ou seja, os valores de cada um são 700k, 850k e 800k. Foi dado que Josias recebeu 1200 reais. O bônus de Josias é 800k, ou seja,

800k = 1200 k = 1200/800

k = 1,5 Assim, o valor total do bônus foi de:

Total = 700k + 850k + 800k Total = 2350k Total = 2350 . 1,5 Total = 3525 reais Resposta: D

Veja ainda uma situação menos comum em prova, mas que você também deve aprender a resolver:

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) O número 772 foi dividido em três partes diretamente proporcionais a 7, 4 e 8 e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente. Assinale a alternativa que apresenta o menor desses números.

(A) 120.

(B) 160.

(C) 180.

(D) 200.

(E) 240.

RESOLUÇÃO:

Como temos uma divisão que é diretamente proporcional a alguns números e inversamente proporcional a outros, a solução mais recomendável é o uso da constante de proporcionalidade K.

Devemos dividir 772 em três partes, que ao mesmo tempo são diretamente proporcionais a 7, 4 e 8, e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. Isto significa que podemos escrever cada uma das três partes da seguinte forma:

- 7

K2 (diretamente proporcional a 7 e inversamente proporcional a 2);

- 4

K3 (diretamente proporcional a 4 e inversamente proporcional a 3);

- 8

K5 (diretamente proporcional a 8 e inversamente proporcional a 5);

Neste caso, chamamos K de “constante de proporcionalidade”. A soma dos 3 números é igual a 772, ou seja:

7 4 8

772=  +  + K 2 K 3 K 5 105 40 48

772 30

K+ K+ K

=

23160 193K= 120 K =

Portanto, a constante K é igual a 120. Deste modo, os 3 números são:

7

K2 = 120 x (7/2) = 420 4

K3= 120 x (4/3) = 160 8

K5 = 120 x (8/5) = 192 Repare que, de fato, 160 + 192 + 420 = 772. O menor dos 3 números é 160.

Resposta: B

DIFERENÇAS DE RENDIMENTO

Imagine que Paulo e Marcos levam 1 hora para arrumar 600 livros na estante. Sabemos ainda que Paulo, trabalhando sozinho, levaria 3 horas para completar este serviço. Quanto tempo levaria Marcos, trabalhando sozinho, para completar o serviço?

Esse é um tipo de questão que pode aparecer em provas como a sua. Aqui, o exercício deixa implícito que podem haver diferenças de rendimento entre os trabalhadores. Isto é, pode ser que Paulo seja mais eficiente que Marcos, sendo capaz de guardar os livros mais rapidamente. Assim, Paulo gastaria menos tempo que Marcos, se cada um tivesse que executar o trabalho inteiro sozinho.

Neste tipo de exercício, o enunciado sempre informará dados sobre:

a) o desempenho dos 2 funcionários trabalhando juntos (neste caso, eles levam 1 hora para arrumar 600 livros);

b) o desempenho de um dos funcionários trabalhando sozinho (neste caso, Paulo levaria 3 horas).

Com base nisso, você precisará deduzir qual é o desempenho do outro funcionário, para então calcular o tempo que ele levaria para executar o trabalho sozinho.

Se Paulo leva 3 horas para guardar 600 livros, em 1 hora ele guarda 200 livros (600 / 3). Esta foi a parcela de trabalho executada por Paulo quando eles trabalharam juntos por 1 hora: 200 livros. Os outros 400 foram guardados por Marcos! Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros em 1 hora. Descobrimos o desempenho de Marcos. Com isso, podemos calcular o que foi pedido pelo enunciado: se Marcos guarda 400 livros em 1 hora, ele levará 1,5 hora para guardar os 600 livros, trabalhando sozinho. Vamos escrever as regras de três que seriam necessárias para resolver este exercício:

1. Descobrir a parcela do trabalho de Paulo no tempo que trabalharam juntos:

Horas de trabalho Livros guardados

3 600

1 P

3 1 600 200 P

P livros

= 

=

2. Descobrir a parcela de trabalho de Marcos no tempo que trabalharam juntos:

P + M = 600

M = 600 – P = 600 – 200 = 400livros

3. Descobrir o tempo gasto por Marcos para efetuar a tarefa sozinho:

Horas de trabalho Livros guardados

1 400

T 600

1 600 400 600 1,5 400

T

T hora

 =

= =

Você deve ter reparado que a segunda informação dada pelo enunciado (tempo gasto por um dos funcionários para executar o trabalho sozinho) serviu para obtermos a capacidade de trabalho daquele funcionário. Em alguns exercícios, o enunciado pode fornecer a capacidade operacional daquele funcionário.

Por exemplo: ao invés de ter dito que Paulo leva 3 horas para executar o trabalho sozinho, o exercício poderia ter dito que a capacidade operacional de Paulo é 50% da capacidade operacional de Marcos (afinal, Paulo guarda 200 livros por hora, enquanto Marcos guarda 400).

Com essa informação da capacidade operacional em mãos, também seria possível resolver o exercício.

Bastaria observar que, se Marcos é capaz de guardar M livros em 1 hora, então Paulo é capaz de guardar 50%

de M, ou seja, 0,5M livros no mesmo tempo. Portanto, juntos eles guardam M + 0,5M, ou seja, 1,5M livros em 1 hora. Com a regra de três abaixo obteríamos a capacidade de trabalho de Marcos (M):

1,5M --- 600 livros M --- X livros

1,5 600

600 400 1,5

M X M

X

 = 

= =

Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros por hora, como já havíamos constatado no caso anterior.

Vamos resolver juntos a questão a seguir:

FCC – TRT/24ª – 2011) Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho – Matilde e Julião – foram incumbidos de arquivar X processos. Sabe-se que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3

5^{de X em 2} horas; trabalhando sozinha, Matilde seria capaz de arquivar 1

4 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria para, sozinho, arquivar todos os X processos?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

RESOLUÇÃO:

O exercício apresentou dois casos: os 2 funcionários trabalhando juntos e Matilde trabalhando sozinha. E pediu um terceiro caso: Julião trabalhando sozinho. Nessas questões, não podemos assumir que os 2 funcionários tem a mesma eficiência, isto é, são capazes de arquivar o mesmo número de processos por hora. Estamos diante de um exercício onde há diferença de rendimento! Devemos, portanto, começar analisando o caso onde Matilde trabalha sozinha, pois assim saberemos de sua capacidade de trabalho. Feito isso, analisaremos o caso

dos dois funcionários trabalhando juntos, para descobrir a capacidade de trabalho de Julião (uma vez que já saberemos a de Matilde). Por fim, podemos trabalhar com o caso de Julião trabalhando sozinho. Acompanhe tudo isso abaixo.

Matilde arquiva 1

4de X em 5 horas. Assim, podemos descobrir quanto Matilde arquiva em 2 horas (que é o tempo em que ela e Julião trabalharam juntos) utilizando uma regra de três simples:

Número de processos arquivados por Matilde Tempo gasto 1

4^{X 5}

P 2

Efetuando a multiplicação cruzada:

1 2 5

4

2 5

4 2 5

2 5 10

X P

X P

X P

X X

P

 = 

=

=

= =

 Portanto, em 2 horas Matilde arquiva

10

X processos. O enunciado disse que, trabalhando juntos, Matilde e

Julião arquivam 3

5X em 2 horas. Como a parte de Matilde é de 10

X , restam para Julião:

3

5 10 6

10 10 5

10 2

X X X X X X

− =

− =

=

Portanto, em 2 horas Julião arquiva 2

X processos. Como Julião arquiva metade dos processos em 2 horas, ele arquivará todos os processos no dobro deste tempo (4 horas) trabalhando sozinho. Você também poderia descobrir isso através da seguinte regra de três:

Número de processos arquivados por Julião Tempo gasto

2

X 2

X T

2 2

1 2

2 4 X T X

T T

 = 

 =

= Resposta: A

E aí, compreendeu? Eu sei que esse é o caso mais complicado! Fique à vontade para me procurar no fórum de dúvidas se for necessário.

Podemos sintetizar assim o processo de resolução das questões onde há diferença de rendimento:

MÉTODO DE SOLUÇÃO – DIFERENÇAS DE RENDIMENTO:

1 - Partir da pessoa sobre a qual temos a informação de sua capacidade de trabalho isolada;

2 - Descobrir quanto essa pessoa produz (sozinha) no tempo em que ela trabalhou junto da outra;

3 - Subtrair essa parte do trabalho total realizado pelas duas pessoas juntas, para descobrir quanto a outra pessoa fez sozinha naquele tempo de trabalho conjunto;

4 – Montar uma regra de três para saber em quanto tempo a segunda pessoa é capaz de fazer o trabalho sozinha.

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS

As progressões aritméticas e geométricas são tipos especiais de sequências numéricas. Elas se caracterizam pelo fato de que, com base em apenas dois elementos, é possível reconstruir toda a sequência de números. Estou falando dos seguintes elementos:

1. Termo inicial: valor do primeiro número que compõe a sequência;

2. Razão: regra que permite, a partir de um termo, obter o seguinte.

A razão da progressão não pode ir variando ao longo dos termos, ela deve ser sempre a mesma. Vamos conhecer, portanto, cada um desses tipos de sequência.

Progressões aritméticas Veja a sequência abaixo:

{1, 4, 7, 10, 13, 16...}

Veja que 4 = 1 + 3; assim como 7 = 4 + 3; 10 = 7 + 3 etc. De um termo para o outro, basta ir somando 3 unidades, concorda?

Este é um exemplo de PROGRESSÃO ARITMÉTICA ou, simplesmente, PA. As progressões aritméticas são sequências de números nas quais o termo seguinte é equivalente ao termo anterior somado de um valor fixo, que chamaremos de “razão” da PA. Portanto, a razão da PA acima é r = 3. Note ainda que o primeiro termo desta progressão, também chamado de termo inicial, é o valor 1.

Em questões envolvendo progressões aritméticas, é importante você saber obter o termo geral e a soma dos termos, conforme veremos a seguir.

Termo geral da PA

Trata-se de uma fórmula que, a partir do primeiro termo e da razão da PA, permite calcular qualquer outro termo. Veja-a abaixo:

1

( 1)

a

= +  − a r n

Nesta fórmula, a_n é o termo de posição n na PA (o “n-ésimo” termo); a₁é o termo inicial, r é a razão e n é a posição do termo na PA. Usando a sequência que apresentamos acima, vamos calcular o termo de posição 5. Já sabemos que:

- o termo que buscamos é o da quinta posição, isto é, a_5; - a razão da PA é 3, portanto r = 3;

- o termo inicial é 1, logo

a

= 1

- n, ou seja, a posição que queremos, é a de número 5: n=5

Portanto,

1 5 5 5

( 1) 1 3 (5 1) 1 3 4 13

an a r n a

a a

= +  −

= +  −

= + 

=

Isto é, o termo da posição 5 é o 13. Volte na sequência e confira. Perceba que, com essa fórmula, podemos calcular qualquer termo da PA. O termo da posição 100 é:

1 100 100

( 1) 1 3 (100 1) 1 3 99 298 an a r n a

a a

= +  −

= +  −

= + 

=

Soma do primeiro ao n-ésimo termo:

A fórmula a seguir nos permite calcular a soma dos “n” primeiros termos de uma progressão aritmética:

( 1 ) 2

n n

n a a

S  +

=

Assim, vamos calcular a soma dos 5 primeiros termos da PA que apresentamos acima. Já sabemo s que a1 = 1, e n = 5. O termo a_n será, neste caso, o termo a₅, que calculamos acima usando a fórmula do termo geral (

a

= 13

1

5

( )

2

5 (1 13) 5 14 2 2 35

n n

n a a S

S

 +

=

 + 

= = =

Dependendo do sinal da razão r, a PA pode ser:

PA crescente: se r > 0, a PA terá termos em ordem crescente. Ex.: { 1, 4, 7, 10, 13, 16...} → r = 3 PA descrescente: se r < 0, a PA terá termos em ordem decrescente. Ex.: {10, 9, 8, 7 ...} → r = -1 PA constante: se r = 0, todos os termos da PA serão iguais. Ex.: {5, 5, 5, 5, 5, 5, 5...} → r = 0.

Antes de prosseguirmos, exercite as fórmulas de PROGRESSÕES ARITMÉTICAS nestas duas questões:

IBFC – Câmara de Vassouras/RJ – 2015) O total de múltiplos de 4 existentes entre os números 23 e 125 é:

a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 24

RESOLUÇÃO:

O primeiro múltiplo de 4 neste intervalo é 24, e o último é 124. Veja que os múltiplos de 4 formam uma PA de razão igual a 4, afinal basta ir somando este número (a partir do 24) para obtermos os múltiplos no intervalo dado:

24, 28, 32, 36, 40, ..., 120, 124

Temos uma progressão aritmética com termo inicial a1 = 24, termo final an = 124, e razão r = 4 (afinal devemos ir somando de 4 em 4 unidades para obter os múltiplos). Na fórmula do termo geral da PA:

an = a1 + (n-1).r 124 = 24 + (n-1).4

100 = (n-1).4 25 = n-1

n = 26 Resposta: B

IBFC – MGS – 2016) Numa P.A.(progressão aritmética) o segundo termo é igual a 15 e a razão é igual a ( -2).

Nessas condições, a soma dos sete primeiros termos dessa P.A. é:

a) 77 b) 63 c) 80 d) 64

RESOLUÇÃO:

Temos uma PA de termo inicial a1 desconhecido, porém a2 = 15 e razão r = -2. Calculando o primeiro termo:

an = a1 + (n - 1) x r a2 = a1 + (2 - 1) x (-2) 15 = a1 + (2 - 1) x (-2)

a1 = 17

A questão pede a soma dos sete primeiros termos dessa P.A. que é dada pela fórmula:

1 n

n

n (a + a )

S = 2



Para aplicá-la, precisamos encontrar o sétimo termo (a7):

an = a1 + (n - 1) x r a7 = a1 + (7 - 1) x ( - 2)

a7 = 13 + (6) x ( - 2) a7 = 1

Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos da PA. Temos:

1 n

n

n (a + a )

S = 2



7

7 (17 + 1)

S = 2



7

7 (18) S = 2



S = 63

Resposta: A

Progressões geométricas Veja a sequência abaixo:

{1, 3, 9, 27, 81...}

Observe que cada termo é igual ao anterior multiplicado por 3. Este é um exemplo típico de Progressão Geométrica, que chamaremos simplesmente de PG.

Em uma PG, cada termo é obtido pegando-se o termo anterior e multiplicando-se por um mesmo número, que chamamos de RAZÃO da progressão geométrica. Esta razão é simbolizada pela letra q. No exemplo acima, temos q = 3, concorda? E o termo inicial é

a

= 1

Veja abaixo as principais fórmulas envolvendo progressões geométricas.

Termo geral

A fórmula a seguir nos permite obter qualquer termo (an) da progressão geométrica, partindo-se do primeiro termo (a1) e da razão (q):

1 1

n

an = a q ⁻

Por exemplo, na PG vista acima, o quarto termo (n = 4) pode ser encontrado assim:

a4 = a1 x q^{4 – 1} a4 = 1 x 3³

a4 = 27

Soma do primeiro ao n-ésimo termo

A fórmula abaixo permite calcular a soma dos “n” primeiros termos da progressão geométrica:

1 ( 1)

1

n n

a q

S q

 −

= −

No nosso exemplo acima, caso eu queira obter a soma dos 4 primeiros termos (n = 4), basta fazer:

𝑆₄=1 × (3⁴− 1) 3 − 1

𝑆₄=1 × (81 − 1) 2

𝑆₄=80 2

𝑆₄= 40

Retornando à nossa progressão, veja que, de fato: 1 + 3 + 9 + 27 = 40.

Exercite as fórmulas vistas acima:

IBFC – MGS – 2016) As razões entre a progressão aritmética 3,7,... e a progressão geométrica cujo primeiro termo é 5 são iguais. Desse modo, o quinto termo da progressão geométrica é igual a:

a) 320 b) 80 c) 1280 d) 2560

RESOLUÇÃO:

Observe que temos a seguinte progressão aritmética:

3,7,...

Nessa PA observamos que a razão r = 4 (basta fazer a subtração 7 – 3).

O enunciado nos diz que a progressão geométrica cujo primeiro termo “a1” é 5 tem a mesma razão da PA que vimos acima. Portanto, trata-se de uma progressão geométrica de razão q = 4, na qual o termo inicial e a1 = 5 e é solicitado o 5º termo. Assim, pela fórmula do termo geral da PG, podemos obter esse termo:

n -1

n 1

a = a x q

5-1

5 1

a = a x 4

4

a = 5 x 4

a = 5 x 256

a = 1280

Resposta: C

IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) O valor da soma dos termos da progressão geométrica finita (1,5, ..., 78125) é:

a) 97656 b) 98342 c) 88654 d) 99936 e) 83525 RESOLUÇÃO:

A soma dos termos de uma progressão geométrica finita de n termos, onde q é a razão da P.G e a1 é o primeiro termo é dada por:

𝑆

𝑎

𝑥 (

𝑞−1 )

Repare que para efetuar o cálculo da soma desses termos será preciso saber três termos: primeiro termo (a1), razão (q) e número de termos (n).

Sabe-se que a1 = 1 e q = 5, então devemos ir a busca de n (número de termos). Isso é feito por meio do termo geral da P.G, a saber: an = a1 x q^{(n - 1)}. Ou seja:

78125 = 1 x q^{(n - 1)} 78125 = q^{(n - 1)} Fazendo a fatoração de 78125, encontramos 5⁷. Assim:

5⁷ = q^{(n – 1)} 7 = n – 1 n = 8 Portanto, a soma pedida vale:

𝑆 ₈

1𝑥 ( ⁵

^{− 1}

5−1

390624

4

Resposta: A

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica