UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA LAUDELINO GOMES FERREIRA FUNÇÕES GERADORAS: PROBLEMAS E APLICAÇÕES MOSSORÓ – RN 2018

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

LAUDELINO GOMES FERREIRA

FUNÇÕES GERADORAS: PROBLEMAS E APLICAÇÕES

MOSSORÓ – RN

2018

FUNÇÕES GERADORAS: PROBLEMAS E APLICAÇÕES

Dissertação apresentada à Universidade Federal Rural do Semiário - UFERSA, Campus Mos- soró, para obtenção do título de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Antonio Ronaldo Gomes Garcia-UFERSA

MOSSORÓ – RN

2018

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F383f Ferreira, Laudelino Gomes.

Funções Geradoras: Problemas e Aplicações / Laudelino Gomes Ferreira. - 2018.

74 f. : il.

Orientador: Antonio Ronaldo Gomes Garcia.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal Rural do Semi-árido, Programa de Pós-graduação em Matemática, 2018.

1. Funções geradoras. 2. Séries numéricas. 3.

Recorrências. I. Garcia, Antonio Ronaldo Gomes, orient. II. Título.

Ao meu filho, Lucas Justo

de Freitas Bisneto, e a mi-

nha esposa, Elaine Patri-

cia de Freitas Silva pela

compreens˜ ao nos momentos

mais estressantes.

A minha m˜ ae, Maria Segunda da Concei¸c˜ ao de Brito (em mem´ oria) que me ensinou a importˆ ancia da educa¸c˜ ao.

Ao meu pai, Jo˜ ao Gomes de Brito (em mem´ oria) que me ajudou nas primeiras aulas de matem´ atica.

A minha esposa Elaine Patricia pelo amor, companheirismo e incentivo.

Aos meus filhos Laudelino Gomes Ferreira Filho (em mem´ oria) e Lucas Justo de Freitas Bisneto.

Aos meus irm˜ aos Laudecir, Lancleide e Iolanda

Ao professor Antonio Ronaldo Gomes Garcia, que aceitou me orientar.

Aos amigos Elias, Frank e Djair que dedicaram seus finais de semanas em estudar para exame nacional de acesso ao PROFMAT.

Ao amigo Jo˜ ao Alexandre J´ unior que sempre me incentivou a estudar matem´ atica.

Aos professores, Antˆ onio Gomes Nunes e Ronaldo C´ esar por aceitarem fazer parte da banca examinadora.

Ao professor Jeovanizelio Firmino Gomes pelo profissionalismo e dedica¸c˜ ao a pro- fiss˜ ao.

A todos os meus colegas de turma que durante todo o tempo de curso estiveram jun- tos comigo nessa caminhada e, em especial, o grupo de estudos de Mossor´ o: Evanilson, Jo˜ ao e Mansinho.

Ao colega do curso de gradua¸c˜ ao e do PROFMAT Maximiliano Dias de Sousa (em

mem´ oria) que sempre nos contagiou com sua felicidade inabal´ avel.

Resumo

Neste trabalho, ap´ os apresentarmos uma breve exposi¸c˜ ao ao estudo das sequˆ encias e s´ eries foi feita uma introdu¸c˜ ao ` as fun¸c˜ oes geradoras ordin´ arias. Uma fun¸c˜ ao geradora G(x) ´ e uma s´ erie de potˆ encia associada a um problema de combinat´ oria. Nosso objetivo principal foi aplicar ` as fun¸c˜ oes geradoras para resolver problemas de combinat´ oria com restri¸c˜ oes em que a ordem dos objetos n˜ ao seja relevante.

Palavras-chave: Fun¸c˜ oes geradoras, S´ eries num´ ericas, Recorrˆ encias.

In this work, after introducing a brief exposition to the study of the sequences and series, an introduction was made to the ordinary generating functions. A generating function G(x) is a power series associated with a combinatorial problem. Our main aim was to apply the generating functions to solve some combinatorial problems with constraints in which the order of the objects is not relevant.

Keywords: Generating functions, Numerical series, Recorrence.

Lista de Figuras

3.1 Fortaleza x Cear´ a . . . . 39

3.2 Jogo dos an´ eis chineses . . . . 45

A.1 n-uplas . . . . 53

A.2 Solu¸c˜ ao inteiro positiva (2, 6, 2) . . . . 56

A.3 Solu¸c˜ ao inteiro positiva (4, 2, 4) . . . . 56

B.1 Sequˆ encias de dois termos . . . . 71

B.2 Sequˆ encias de n termos come¸cadas por 0 . . . . 71

B.3 Sequˆ encias de n termos come¸cadas por 1 . . . . 71

B.4 Sequˆ encias de n termos come¸cadas por 2 . . . . 72

Introdu¸ c˜ ao 12

1 Sequˆ encias e S´ eries 13

1.1 No¸c˜ oes de Sequˆ encias . . . . 13

1.1.1 Defini¸c˜ oes . . . . 13

1.1.2 Limites de Sequˆ encias . . . . 14

1.1.3 Opera¸c˜ oes com Limites de Sequˆ encias . . . . 15

1.1.4 Teorema do Bolzano-Weierstrass e Sequˆ encias de Cauchy . . . . 17

1.2 No¸c˜ oes sobre S´ eries de Potˆ encia . . . . 19

1.2.1 Defini¸c˜ oes e Exemplos . . . . 19

1.2.2 Convergˆ encia das S´ eries de Potˆ encias . . . . 20

2 Fun¸ c˜ oes Geradoras 23 2.1 Fun¸c˜ oes Geradoras Ordin´ arias . . . . 23

2.1.1 Determina¸c˜ ao dos Coeficientes . . . . 24

2.2 Resolu¸c˜ ao de Rela¸c˜ oes de Recorrˆ encia Usando Fun¸c˜ oes Geradoras . . . 28

3 Aplica¸ c˜ oes das Fun¸ c˜ oes Geradoras Ordin´ arias 31 3.1 Resolu¸c˜ ao de Problemas de Combinat´ oria via Fun¸c˜ oes Geradoras Or- din´ arias . . . . 31

3.2 Resolvendo Recorrˆ encias Lineares via Fun¸c˜ oes Geradoras . . . . 38

3.2.1 Fortaleza x Cear´ a . . . . 38

3.2.2 Jogo dos An´ eis Chineses . . . . 44

3.2.3 O Problema do Queijo de Steiner . . . . 47

4 Considera¸ c˜ oes Finais 49

Referˆ encias Bibliogr´ aficas 50

A M´ etodos B´ asicos de Contagem e Binˆ omio de Newton 52

A.1 Princ´ıpio Fundamental da Contagem . . . . 52

A.2 Permuta¸c˜ oes sem Elementos Repetidos . . . . 52

A.2.1 C´ alculo do N´ umero de Permuta¸c˜ oes (P

) . . . . 53

A.3 Arranjos e Combina¸c˜ oes . . . . 53

A.3.1 Arranjos . . . . 54

A.3.2 Combina¸c˜ oes . . . . 54

A.4 Combina¸c˜ oes com Elementos Repetidos . . . . 55

A.4.1 Solu¸c˜ oes Inteiras Positivas . . . . 56

A.4.2 Solu¸c˜ oes Inteiras N˜ ao-negativas . . . . 57

A.5 Binˆ omio de Newton . . . . 59

A.5.1 Termo Geral do Desenvolvimento (x + a)

. . . . 62

B No¸ c˜ oes de Recorrˆ encias Lineares 63 B.1 Defini¸c˜ oes e Exemplos . . . . 63

B.2 Recorrˆ encias Lineares de Primeira Ordem . . . . 64

B.2.1 Resolu¸c˜ ao de Recorrˆ encias Lineares Homogˆ eneas de Primeira Or- dem . . . . 65

B.3 Resolu¸c˜ ao de Recorrˆ encias Lineares n˜ ao Homogˆ eneas de Primeira Ordem 66 B.4 Recorrˆ encias Lineares de Segunda Ordem . . . . 69

B.4.1 Recorrˆ encias lineares de Segunda Ordem Homogˆ eneas . . . . 69

B.5 Recorrˆ encias Lineares de Segunda Ordem n˜ ao Homogˆ eneas . . . . 70

C Teorema dos Intervalos Encaixados 73

C.1 Teorema dos Intervalos Encaixados . . . . 73

Neste trabalho faremos uma introdu¸c˜ ao ao estudo das fun¸c˜ oes geradoras. Esta t´ ecnica surgiu no s´ eculo XV II nos trabalhos de Abraham De Moivre. Os matem´ aticos Leonhard Euler, Laplace e N. Bernoulli usaram para resolver problemas na teoria de parti¸c˜ oes, estudo de probabilidade e permuta¸c˜ oes ca´ oticas respectivamente.

O Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ e uma ferramenta poderosa na resolu¸c˜ ao de problemas de an´ alise combinat´ oria, mas, torna-se praticamente imposs´ıvel aplic´ a-lo a problemas com restri¸c˜ oes . Por isso, o principal objetivo desta disserta¸c˜ ao ´ e apresentar solu¸c˜ oes via fun¸c˜ oes geradoras ordin´ arias. Mais especificamente, nos concentramos nos problemas de contagem do n´ umero de elementos de um conjunto nos quais a ordem n˜ ao importe e que a repeti¸c˜ ao seja permitida.

No Cap´ıtulo 1, apresenta-se uma breve introdu¸c˜ ao ` as sequˆ encias e s´ eries. Os t´ opicos abordados s˜ ao muito importantes no desenvolvimento do cap´ıtulo , pois uma fun¸c˜ ao geradora ´ e uma s´ erie de potˆ encia cujos coeficientes est˜ ao associados a um problema de combinat´ oria.

No Cap´ıtulo 2, defini-se fun¸c˜ ao geradora ordin´ aria e apresenta-se os principais re- sultados para a determina¸c˜ ao dos coeficientes. Temos tamb´ em, a solu¸c˜ ao de recorrˆ encia via fun¸c˜ oes geratrizes.

No Cap´ıtulo 3, est˜ ao as aplica¸c˜ oes das fun¸c˜ oes geradoras na resolu¸c˜ ao de problemas de contagem e na resolu¸c˜ ao de recorrˆ encias.

Completando o trabalho, adicionamos trˆ es apˆ endices. O Apˆ endice A traz os m´ etodos

b´ asico de contagem e binˆ omio de Newton. No Apˆ endice B, faz-se uma introdu¸c˜ ao a

teoria das recorrˆ encia lineares de primeira e segunda ordem. Finalmente, no Apˆ endice

C trata-se do teorema dos intervalos encaixados.

Cap´ıtulo 1

Sequˆ encias e S´ eries

Neste cap´ıtulo apresentamos os resultados essenciais sobre sequˆ encias e s´ eries, o m´ınimo, para estudar as fun¸c˜ oes geratrizes. Para escrever este cap´ıtulo consultou-se os seguintes livros [8, 10] e [15].

1.1 No¸ c˜ oes de Sequˆ encias

Neste trabalho, denota-se a sequˆ encia (a

, a

, a

, . . . , a

, . . .) por (a

)

com n ∈ N .

1.1.1 Defini¸ c˜ oes

Defini¸ c˜ ao 1.1. Uma sequˆ encia de n´ umeros reais ´ e uma fun¸c˜ ao x : N → R que associa cada n´ umero natural n a um n´ umero real x(n). O valor x(n), para todo n ∈ N ser´ a representado por x

e denominado n−´ esimo termo da sequˆ encia.

Defini¸ c˜ ao 1.2. Uma sequˆ encia (a

)

chama-se crescente, se para qualquer n´ umero natural n vale a desigualdade

a

> a

, ∀ n ∈ N .

Exemplo 1.1. Mostraremos que a sequˆ encia (a

)

com termo geral a

= 2

2n + 1 , ´ e uma sequˆ encia crescente.

Para todo n ∈ N temos 4n + 2 > 2n + 3. Equivalentemente 2

2n + 3 > 1 2n + 1 e portanto

a

= 2

2n + 3 > 2

2n + 1 = a

para todo n ∈ N .

Defini¸ c˜ ao 1.3. Uma sequˆ encia (a

)

chama-se decrescente, se para qualquer n´ umero natural n vale a desigualdade

a

< a

, ∀ n ∈ N .

Exemplo 1.2. Mostraremos que sequˆ encia (a

)

com termo geral a

= 1

n ´ e uma sequˆ encia decrescente.

Note que a

− a

= 1

n + 1 − 1

n = − 1

n(n + 10) < 0. Desta forma a

< a

. Defini¸ c˜ ao 1.4. Uma sequˆ encia (a

)

chama-se n˜ ao-decrescente, se para qualquer n´ umero natural n vale a desigualdade

a

≥ a

, ∀ n ∈ N .

Defini¸ c˜ ao 1.5. Uma sequˆ encia (a

)

chama-se n˜ ao-crescente, se para qualquer n´ umero natural n vale a desigualdade

a

≤ a

, ∀ n ∈ N .

As sequˆ encias definidas em 1.2, 1.3, 1.4 e 1.5 s˜ ao geralmente chamadas de sequˆ encias mon´ otonas.

Defini¸ c˜ ao 1.6. Seja (x

)

uma sequˆ encia. Ent˜ ao, a sequˆ encia (x

)

chama-se subsequˆ encia da sequˆ encia (x

)

.

1.1.2 Limites de Sequˆ encias

Defini¸ c˜ ao 1.7. O n´ umero real a ser´ a dito limite da sequˆ encia (x

)

de n´ umeros reais se, para cada ε > 0, for poss´ıvel encontrar um natural n

∈ N tal que |x

− a| < ε sempre que n > n

. Simbolicamente:

lim x

= a se e somnete se, dado ε > 0, ∃ n

∈ N tal que n > n

⇒ |x

− a| < ε.

Teorema 1.1 (Unicidade do limite). Seja (x

)

uma sequˆ encia convergente. Se lim x

= a e lim x

= b, ent˜ ao a = b.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja x

uma sequˆ encia convergente. Suponhamos, por contradi¸c˜ ao,

que lim x

= a e lim x

= b, com a 6= b. Suponha, sem perda de generalidade, que

1. Sequˆ encias e S´ eries

a > b. Sendo assim, podemos tomar ε = a − b

2 > 0. Neste caso existiriam N

e N

em N tais que

|x

− a| < ε, ∀ n ≥ N

(1.1)

|x

− b| < ε, ∀ n ≥ N

(1.2)

Assim, se n > max{N

, N

}, de (1.1), temos

|x

− a| < ε ⇒ −ε < x

− a < ε ou seja, a − ε < x

< a + ε. Mas por hip´ otese ε = a − b

2 , logo, a − a − b

2

< x

< a + a − b 2

⇒ a + b

2 < x

< 3a − b 2 . Portanto, x

∈ a + b

2 , 3a − b 2

. E de forma an´ aloga, desenvolvendo (1.2), temos x

∈ 3b − a

2 , a + b 2

, ou seja, x

∈ 3b − a 2 , a + b

2

∩ a + b

2 , 3a − b 2

= ∅, absurdo.

Portanto, o limite de (x

)

´ e ´ unico.

Teorema 1.2. Toda sequˆ encia convergente ´ e limitada.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja (a

)

uma sequˆ encia convergente para L. Considerando ε = 1 temos que existe N ∈ N tal que |a

− L| < 1, para todo n ≥ N . Note que,

|a

| = |a

− L + L| ≤ |a

− L| + |L|

ent˜ ao, para todo n ≥ N temos |a

| < 1 + |L|. Tomando

M = max{|a

|, |a

|, . . . , |a

|, 1 + |L|}, obtemos |a

| ≤ M, ∀ n ∈ N , demonstrando que (a

)

´ e limitada.

1.1.3 Opera¸ c˜ oes com Limites de Sequˆ encias

Teorema 1.3. Sejam (a

)

e (b

)

duas sequˆ encias convergentes, com limites a e b, respectivamente. Ent˜ ao, (a

+ b

)

, (a

b

)

e (ka

)

, onde k ´ e uma constante qualquer, s˜ ao sequˆ encias convergentes e

(i) lim(a

+ b

) = lim a

+ lim b

= a + b;

(ii) lim(ka

) = k lim a

= ka;

(iii) lim(a

b

) = (lim a

) · (lim b

) = ab;

(iv) se, al´ em das hip´ oteses acima, b 6= 0, ent˜ ao existe o limite de a

b

, e este limite ´ e igual a a

b .

Demonstra¸ c˜ ao. (i) Seja ε > 0 e suponhamos que lim a

= a e lim b

= b. Assim, existem n

e n

pertencentes a N tais que

|a

− a| < ε

2 se n ≥ n

e

|b

− b| < ε

2 se n ≥ n

.

Escolhendo n

= max{n

, n

}, usando a desigualdade triangular,

|(a

+ b

) − (a + b)| = |(a

− a) + (b

− b)| ≤ |a

− a| + |b

− b| ≤ ε 2 + ε

2 = ε para todo n ≥ n

, por defini¸c˜ ao (a

+ b

)

converge e lim(a

+ b

) = a + b = lim a

+ lim b

.

(ii) Considere k ∈ R e lim a

= a. Seja > 0. Pela Defini¸c˜ ao 1.7, existe n

∈ N tal que para todo n ≥ n

,

|a

− a| <

|k| + 1 . Portanto,

|ka

− ka| = |k||a

− a| < |k|

|k| + 1 <

sempre que n ≥ n

. Por defini¸c˜ ao, lim ka

= ka = k lim a

.

(iii) Suponhamos que lim a

= a e lim b

= b. Primeiro, fa¸camos uma estimativa de

|a

b

− ab|.Temos que

|a

b

− ab| = |a

b

− ab

+ ab

− ab|

≤ |a

b

− ab

| + |ab

− ab|

= |b

||a

− a| + |a||b

− b|.

Como, por hip´ otese, (b

)

´ e convergente, temos pelo Teorema 1.2, que existe um M > 0 tal que |b

| ≤ M para todo n ∈ N . Assim , dado ε > 0, desde que lim a

= a e lim b

= b existem n

e n

n´ umeros naturais tais que

|a

− a| < ε

2M , se n ≥ n

1. Sequˆ encias e S´ eries

e

|b

− b| < ε

2(|a| + 1) , se n ≥ n

. Seja n ≥ n

= max{n

, n

}, ent˜ ao

|a

b

− ab| ≤ |b

||a

− a| + |a||b

− b| ≤ M ε

2M + |a| ε

2(|a| + 1) < ε 2 + ε

2 = ε.

Portando, segue o resultado.

(iv ) Suponha que lim b

= b com b > 0. Existe n

∈ N tal que b

>

para todo n > n

. Para n > n

1 b

− 1 b

= |b

− b|

bb

< 2

b

|b

− b|.

Dado > 0 conseguimos n

∈ N tal que n > n

implica em |b

− b| < · b

2 . Assim, para n > max {n

, n

}

1 b

− 1

b

< 2

b

|b

− b| < . Em resumo provamos que, neste caso, lim

n

=

. Analogamente ao que foi demons- trado, se lim b

= b com b < 0, teremos lim

n

=

. Pelo item (iii), lim a

b

= lim a

· 1 b

= lim a

· lim 1 b

= a · 1 b = a

b . Portanto, segue o resultado.

1.1.4 Teorema do Bolzano-Weierstrass e Sequˆ encias de Cau- chy

Teorema 1.4 (Bolzano-Weierstrass). Toda sequˆ encia limitada possui uma subsequˆ encia convergente.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja (x

)

uma sequˆ encia limitada. Assim, existem a, b ∈ R tais que a ≤ x

≤ b, ∀ n ∈ N ⇔ {x

; n ∈ N } ⊂ [a, b]

Vamos dividir o intervalo [a, b] em dois intervalos iguais, e suponhamos que um deles, digamos [a

, b

] contenha infinitos termos da sequˆ encia. A seguir dividimos novamente o intervalo [a

, b

] em dois intervalos iguais, e suponhamos que um deles, digamos [a

, b

] contenha infinitos termos da sequˆ encia. Continuando com este processo, vamos obter uma sequˆ encia de intervalos encaixantes

[a, b] ⊃ [a

, b

] ⊃ [a

, b

] ⊃ . . .

Assim, temos que |b

− a

| = |b − a|

2

, ou seja, lim

n→∞

|b

− a

| = 0. Do Teorema C.3, temos ∩

n∈N

[a

, b

] 6= ∅, ou seja, existe c ∈ [a

, b

], ∀ n ∈ N . Para cada sequˆ encia crescente (x

)

existe uma subsequˆ encia (x

)

com x

∈ [a

, b

], pois em cada intervalo [a

, b

] temos infinitos termos da sequˆ encia. Portanto, como |x

− c| ≤ |b

− a

| → 0, segue que lim

n→∞

x

= c.

Defini¸ c˜ ao 1.8. A sequˆ encia num´ erica (x

)

´ e dita de Cauchy se satisfaz a seguinte condi¸c˜ ao: dado ε > 0, existe n

tal que

|x

− x

| < ε, ∀n, m > n

.

Teorema 1.5 (Crit´ erio de Cauchy). Uma sequˆ encia ´ e convergente se, e somente se, for uma sequˆ encia de Cauchy.

Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que (x

)

seja uma sequˆ encia convergente para a ∈ R . Assim, dado ε > 0, existe n

∈ N tal que

|x

− a| < ε

2 , se n > n

Assim, se m, n > n

, temos que

|x

− x

| ≤ |x

− a| + |x

− a| < ε 2 + ε

2 = ε o que implica que (x

)

´ e uma sequˆ encia de Cauchy.

Reciprocamente, suponhamos que (x

)

seja uma sequˆ encia de Cauchy. Mostrare- mos que ela ´ e convergente. Primeiro, mostraremos que (x

)

´ e limitada. Assim, para ε = 1, existe n

∈ N tal que

|x

− x

| < 1, se m, n ≥ n

e, assim, |x

− x

| < 1, se n ≥ n

. Note que,

|x

| = |x

− x

+ x

| ≤ |x

− x

| + |x

| < 1 + |x

|, se n ≥ n

. Isso significa que o conjunto {x

, x

, x

, . . .} ´ e limitado. Tomando

M = max{|x

|, |x

|, . . . , |x

|},

conclu´ımos que |x

| ≤ max{M, 1 + |x

|}, ∀ n ∈ N . Portanto a sequˆ encia ´ e limitada.

Pelo Teorema 1.4, a sequˆ encia (x

)

possui uma subsequˆ encia (x

)

que converge para

1. Sequˆ encias e S´ eries

a ∈ R . Mostraremos que a pr´ opria sequˆ encia tamb´ em converge para a. Para todo termo x

da sequˆ encia, temos

|x

− a| = |x

− x

+ x

− a| ≤ |x

− x

| + |x

− a|. (1.3) Dado ε > 0. Assim, como (x

)

´ e uma sequˆ encia de Cauchy, ent˜ ao existe n

∈ N tal que

|x

− x

| < ε

2 , se m, n ≥ n

e como (x

) converge para a, ent˜ ao existe n

∈ N tal que

|x

− a| < ε

2 , se n

≥ n

Tomando n

≥ max{n

, n

} e usando (1.3) com n

= n

, temos que

|x

− a| ≤ |x

− x

0

| + |x

0

− a| < ε 2 + ε

2 = ε, se n ≥ n

Portanto, segue que (x

)

converge para a.

1.2 No¸ c˜ oes sobre S´ eries de Potˆ encia

1.2.1 Defini¸ c˜ oes e Exemplos

Defini¸ c˜ ao 1.9. Uma s´ erie infinita, ou simplesmente s´ erie, ´ e um par de sequˆ encias (a

)

e (s

)

cujos termos est˜ ao ligados pelas rela¸c˜ oes

s

=

n

X

k=1

a

= a

+ a

+ a

+ . . . + a

cada s

´ e chamado de n-´ esima soma parcial da s´ erie e a

´ e seu termo geral da s´ erie.

Defini¸ c˜ ao 1.10. Dada uma s´ erie

∞

X

n=1

a

, se a sequˆ encia das somas parciais (s

)

con- vergir para s diremos que a s´ erie converge e escrevemos

s =

∞

X

n=1

a

.

Caso a sequˆ encia das somas parciais n˜ ao convirja, diremos que a s´ erie diverge.

Defini¸ c˜ ao 1.11. Seja (a

)

, uma sequˆ encia num´ erica dada, e seja x

um n´ umero

real dado. A s´ erie

∞

X

n=0

a

(x − x

)

= a

+ a

(x − x

) + a

(x − x

)

+ . . . + a

(x − x

)

+ . . .

denomina-se s´ erie de potˆ encia, com coeficientes a

, centrada em x

.

1.2.2 Convergˆ encia das S´ eries de Potˆ encias

O Teorema 1.6 a seguir nos fornece uma condi¸c˜ ao necess´ aria para que uma s´ erie convirja.

Teorema 1.6. Se uma s´ erie

∞

X

n=1

a

converge, ent˜ ao lim a

= 0.

Demonstra¸ c˜ ao. Como a s´ erie

∞

X

n=1

a

´ e convergente, considerando

s

= a

+ a

+ a

+ . . . + a

.

Existe S = lim s

. Da mesma forma, S = lim s

. Como a

= s

− s

, segue que lim a

= 0.

Note que a rec´ıproca do Teorema 1.6 n˜ ao ´ e verdadeira. Pois, por exemplo a s´ erie

+∞

X

n=1

1

n (s´ erie harmˆ onica) ´ e divergente, veja a demonstra¸c˜ ao em [14] , mesmo tendo lim a

= 0.

Da mesma forma que operamos com n´ umeros reais (opera¸c˜ oes alg´ ebricas em R ), operamos com s´ eries convergentes. O Teorema 1.7 a seguir nos permite relacionar s´ eries convergentes como se fossem somas finitas.

Teorema 1.7. Sejam

∞

X

n=1

a

e

∞

X

n=1

b

s´ eries convergentes, e k um n´ umero real qualquer.

Ent˜ ao s˜ ao v´ alidas (i) a s´ erie

∞

X

n=1

ka

converge e

∞

X

n=1

ka

= k

∞

X

n=1

a

;

(ii) a s´ erie

∞

X

n=1

(a

+ b

) converge e

∞

X

n=1

(a

+ b

) =

∞

X

n=1

a

+

∞

X

n=1

b

.

Demonstra¸ c˜ ao. (i) Por hip´ otese, a s´ erie

∞

X

n=1

a

´ e convergente. Assim, seja s

a soma parcial de

∞

X

n=1

a

, ou seja,

s

= a

+ a

+ a

+ . . . + a

1. Sequˆ encias e S´ eries

e existe lim s

= S.

Seja t

a soma parcial da s´ erie P

ka

, onde k um n´ umero real qualquer. Assim, temos que

t

= ka

+ ka

+ ka

+ · · · + ka

= ks

e por isso, temos

lim t

= lim ks

= k lim s

⇒ lim t

= kS.

Portanto, segue o resultado.

(ii) De forma an´ aloga ao item (i).

Teorema 1.8 (Teste de Compara¸c˜ ao). Sejam

∞

X

n=1

a

e

∞

X

n=1

b

s´ eries de termos n˜ ao negativos (a

≥ 0 e b

≥ 0). Se existe c > 0, tal que a

≤ c · b

, ∀n ∈ N , podemos afirmar que

(i) Se

∞

X

n=1

b

converge, ent˜ ao

∞

X

n=1

a

converge;

(ii) Se

∞

X

n=1

a

diverge, ent˜ ao

∞

X

n=1

b

diverge.

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam (s

)

e (t

)

as sequˆ encias das somas parciais de

∞

X

n=1

a

e

∞

X

n=1

b

. a

< cb

para todo j ∈ N , implica que s

< ct

para todo n ∈ N . Temos:

(i) se

∞

X

n=1

b

converge, ent˜ ao (t

)

´ e limitada e como c > 0 temos que (s

) ´ e limitada.

Por hip´ otese a

≥ 0, isto garante que (s

)

´ e n˜ ao-decrescente. Pelo Teorema 4, p. 25 de [8], a s´ erie

∞

X

n=1

a

converge.

(ii) Se

∞

X

n=1

a

diverge, como a

≥ 0 a sequˆ encia (s

)

´ e n˜ ao decrescente, ent˜ ao pelo Teorema 4, p. 25 de [8], a sequˆ encia (s

)

n˜ ao ´ e limitada. Pela desigualdade s

≤ ct

e c > 0 conclu´ımos que (t

)

n˜ ao ´ e limitada e portanto n˜ ao pode ser convergente. Segue que

∞

X

n=1

b

diverge.

No Teorema 1.8, podemos substituir a hip´ otese de a

≤ cb

para todo n ∈ N por a

≤ cb

para n suficientemente grande. A demonstra¸c˜ ao do teorema considerando esta nova hip´ otese ´ e an´ aloga a demonstra¸c˜ ao feita.

Teorema 1.9 (Teste da Raz˜ ao). Seja

∞

X

n=1

a

uma sequˆ encia de termos positivos, tal que exista lim a

a

e que esse limite seja L. Ent˜ ao,

(i) se L < 1, ent˜ ao a s´ erie converge;

(ii) se L > 1 ou L = +∞, ent˜ ao a s´ erie diverge.

Demonstra¸ c˜ ao. (i) Se lim a

a

= L < 1, ent˜ ao dada uma constante c, com L < c < 1, existe um n´ umero n

, tal que a

a

< c, ∀ n ∈ N , n ≥ n

. Assim, temos que : a

< ca

, a

< ca

< c

a

, a

< ca

< c

a

, . . . ,

desse modo, em geral, a

< c

a

, para j = 1, 2, 3, . . .. Pelo Teorema 1.8 (compa- rando com uma s´ erie geom´ etrica convergente), a s´ erie P

a

converge.

(ii) Se lim a

a

= L > 1, ent˜ ao dada uma constante c, com 1 < c < L, existe um n´ umero n

, tal que a

a

> c, ∀ n ∈ N , n ≥ n

. Assim, temos que :

a

> ca

, a

> ca

> c

a

, a

> ca

> c

a

, . . . ,

desse modo, em geral, a

> c

a

, para j = 1, 2, 3, . . .. Pelo Teorema 1.8 (compa- rando com uma s´ erie geom´ etrica divergente), a s´ erie P

a

diverge.

Teorema 1.10 (Teste da Raiz). Seja n

∈ N e

∞

X

n=1

a

uma s´ erie, tal que a

≥ 0, ∀n ∈ N , n ≥ n

. Suponha que lim √

a

= L. Ent˜ ao:

(i) se L < 1, ent˜ ao a s´ erie converge;

(ii) se L > 1 ou L = +∞, ent˜ ao a s´ erie diverge.

Demonstra¸ c˜ ao. (i) Se lim √

a

= L < 1, ent˜ ao existe uma constante c, real positiva, tal que √

a

< c < 1, para todo n suficientemente grande. Logo, a

< c

, para todo n suficientemente grande. Comparando com a s´ erie geom´ etrica P

c

, que converge porque c < 1 , pelo Teorema 1.8, a s´ erie

∞

X

n=0

a

converge.

(ii) Se lim

n→+∞

√

a

= L > 1, ent˜ ao existe uma constante c, real positiva, tal que √

a

>

c > 1, para todo n suficientemente grande. Logo, a

> c

, para todo n suficientemente grande. Pelo Teorema 1.8, a s´ erie

∞

X

n=0

a

diverge.

Cap´ıtulo 2

Fun¸ c˜ oes Geradoras

Neste cap´ıtulo definiremos as fun¸c˜ oes geradoras ordin´ arias e apresentaremos suas principais propriedades na Se¸c˜ ao 2.1. E na Se¸c˜ ao 2.2 apresentamos solu¸c˜ oes de re- corrˆ encias lineares via fun¸c˜ oes geradoras. Os resultados deste cap´ıtulo s˜ ao baseados nos livros [6], [11] e [16].

2.1 Fun¸ c˜ oes Geradoras Ordin´ arias

Nesta se¸c˜ ao definiremos as fun¸c˜ oes geradoras ordin´ arias. Esta ´ e a principal ferra- menta para a resolu¸c˜ ao de problemas de contagem em que a ordem dos elementos n˜ ao

´ e relevante, ou seja, problemas de combina¸c˜ oes simples e combina¸c˜ oes completas.

Defini¸ c˜ ao 2.1. Seja (a

)

uma sequˆ encia de n´ umeros reais. A s´ erie G(x) =

∞

X

n=0

a

x

´ e chamada de fun¸c˜ ao geradora ordin´ aria e os coeficientes da fun¸c˜ ao geradora nos fornece a solu¸c˜ ao de um problema de contagem.

Exemplo 2.1. Considere n como um n´ umero inteiro positivo. Considere a

=

, para r = 0, 1, 2, 3, . . . , r . Qual a fun¸c˜ ao geradora da sequˆ encia a

, a

, . . . , a

?

A fun¸c˜ ao geradora ordin´ aria para essa sequˆ encia ´ e a seguinte f (x) =

n 0

+

n 1

x +

n 2

x

+ · · · + n

n

x

que do Teorema A.4 sabemos que ´ e o desenvolvimento de (1 + x)

. Tamb´ em ´ e equi- valente ao problema de encontrar o n´ umero de maneiras de retirarmos r objetos de um conjunto de n objetos distintos. O coeficiente

que est´ a associado a x

significa que n˜ ao foi retirado nenhum objeto, o coeficiente

que est´ a associado a x significa que foi retirado um objeto e continuando com este racioc´ınio, o coeficiente

x

est´ a

associado a x

significa que foram retirados n objetos.

Exemplo 2.2. Neste exemplo encontraremos a fun¸c˜ ao geradora ordin´ aria f (x) para sequˆ encia de Lucas F

= F

+ F

, com F

= 1 e F

= 3.

Os primeiros termos da sequˆ encia de Lucas s˜ ao : 1, 3, 4, 7, 11, 18, . . .. Temos, ent˜ ao que a fun¸c˜ ao geradora ordin´ aria para essa sequˆ encia ´ e

f (x) = x + 3x

+ 4x

+ 7x

+ 11x

+ 18x

+ · · · .

2.1.1 Determina¸ c˜ ao dos Coeficientes

Nesta se¸c˜ ao, discutiremos as principais formas de calcularmos os coeficientes de uma fun¸c˜ ao geradora. Note que, da Defini¸c˜ ao 2.1, temos que uma fun¸c˜ ao geradora ordin´ aria ´ e uma fun¸c˜ ao polinomial de grau n. Do c´ alculo diferencial e integral temos que fun¸c˜ oes polinomiais s˜ ao deriv´ aveis e integr´ aveis.

Teorema 2.1. Sendo f(x) e g(x) as fun¸ c˜ oes geradoras das sequˆ encias (a

)

e (b

)

, respectivamente, e A, B ∈ R , temos:

(i) Af (x) + Bg(x) ´ e a fun¸ c˜ ao geradora para a sequˆ encia (Aa

+ Bb

)

; (ii) f (x) · g(x) =

∞

X

n=0 n

X

k=0

(a

b

)

! x

;

(iii) A fun¸ c˜ ao geradora para (a

+ a

+ · · · + a

)

´ e igual (1 + x + x

+ · · · )f (x).

(iv) A fun¸ c˜ ao geradora para (ra

)

´ e igual a xf

(x), onde f

(x) ´ e a derivada de f com rela¸ c˜ ao a x;

(v) Z

f (x)dx =

∞

X

n=0

a

n + 1 x

, n 6= −1.

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam f (x) =

∞

X

k=0

a

x

e g(x) =

∞

X

k=0

b

x

fun¸c˜ oes geradoras para as sequˆ encias (a

) e (b

), respectivamente, temos (i)

Af (x) + Bg(x) = A(a

+ a

x + a

x

+ · · · ) + B(b

+ b

x + b

x

+ · · · )

= (Aa

+ Bb

) + (Aa

+ Bb

)x + (Aa

+ Bb

)x

+ · · ·

=

∞

X

k=0

(Aa

+ Bb

)x

.

2. Fun¸c˜ oes Geradoras

Portanto, Af (x) + Bg(x) ´ e uma fun¸c˜ ao geradora para a sequˆ encia (Aa

+ Bb

).

(ii) Note que

f (x)g(x) = (a

b

) + (a

b

+ a

b

)x + · · · + (a

b

+ a

b

+ · · · + a

b

)x

+ · · ·

=

∞

X

n=0 n

X

k=0

(a

b

)

! x

.

(iii) Fazendo b

= 1, do item (ii), temos f (x)g(x) =

∞

X

n=0 n

X

k=0

(a

· 1)

! x

=

∞

X

n=0 n

X

k=0

(a

)

! x

Portanto, segue o resultado.

(iv ) Sendo f

(x) =

∞

X

r=1

ra

x

, segue que

xf

(x) =

∞

X

r=1

ra

x

Logo, segue o resultado.

(v ) ´ E imediato, da integra¸c˜ ao de fun¸c˜ oes polinomiais.

O Teorema 2.2 a seguir, que ´ e uma generaliza¸c˜ ao do Teorema A.4, ´ e muito ´ util na determina¸c˜ ao de coeficientes de fun¸c˜ oes geradoras.

Teorema 2.2 (Teorema Binomial Generalizado). Seja u um n´ umero real qualquer.

Assim, temos (1 + x)

=

u 0

+

u 1

x +

u 2

x

+ · · · + u

k

x

+ · · · =

∞

X

k=0

u k

x

onde

u k

=







u(u − 1)(u − 2) . . . (u − k + 1)

k! , se k > 0

1, se k = 0

Demonstra¸ c˜ ao. Ver [14].

Exemplo 2.3. Usaremos o Teorema 2.2 a sequˆ encia cuja fun¸c˜ ao geradora ´ e dada por:

g(x) = 1 (1 − x)

. Note que g(x) = 1

(1 − x)

= (1 − x)

. Aplicando o Teorema 2.2, temos (1− x)

= 1 + (−4) · (−x) + (−4)(−4 − 1)

2 (−x)

+ (−4)(−4 − 1)(−4 − 2)

3 · 2 (−x)

+ · · · , ou seja,

(1 − x)

= 1 + 4x + 10x

+ 20x

+ 35x

+ 56x

+ 84x

+ 120x

+ · · · .

Portanto, g(x) ´ e a fun¸c˜ ao geradora da sequˆ encia (a

) = (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, . . .).

Teorema 2.3. (i) Seja a

o coeficiente de x

na fun¸ c˜ ao geradora ordin´ aria g(x) = (1 + x + x

+ x

+ · · · )

,

ent˜ ao a

=

; (ii) (1 − x

)

= 1 −

x

+

x

− · · · + (−1)

x

(iii) (1 + x + x

+ x

+ · · · + x

)

= (1 − x

)

(1 + x + x

+ · · · )

. Demonstra¸ c˜ ao. (i) Suponha que |x| < 1. Ent˜ ao, temos que

∞

X

k=0

x

= 1

1 − x , ou seja,

(1 + x + x

+ x

+ . . .)

= 1

1 − x

= (1 − x)

. Agora, no Teorema 2.2 substituindo x por −x e u por −n, temos

(1 − x)

=

∞

X

r=0

−n r

(−x)

=

∞

X

r=0

−n r

(−1)

x

, (2.1)

2. Fun¸c˜ oes Geradoras

onde

−n r

= (−n)(−n − 1)(−n − 2) . . . (−n − r + 1) r!

= (−1)

(n)(n + 1)(n + 2) . . . (n + r − 1) r!

= (−1)

(n + r − 1) . . . (n + 1)n(n − 1)!

r!(n − 1)!

= (−1)

n + r − 1 r

Substituindo em (2.1), temos

g(x) = (1 + x + x

+ x

+ · · · )

=

∞

X

r=0

n + r − 1 r

x

Portando, a

=

. (ii) No desenvolvimento ,

(1 + t)

= n

0

+ n

1

t + n

2

t

+ n

3

t

+ · · · + n

n

t

Fa¸ca t = (−x

), (1 − x

)

=

n 0

+

n 1

(−x

) + n

2

(−x

)

+ n

3

(−x

)

+ · · · + n

n

(−x

)

(1 − x

)

= 1 −

n 1

x

+

n 2

x

−

n 3

x

+ · · · + (−1)

x

Portanto, segue o resultado.

(iii) Note que 1 + x + x

+ x

+ · · · + x

= (1 − x

)(1 + x + x

+ x

+ · · · ). Elevando, ambos os membros, a n temos,

(1 + x + x

+ x

+ · · · + x

)

= (1 − x

)

(1 + x + x

+ x

+ · · · )

Portanto, segue o resultado.

Exemplo 2.4. Encontraremos o coeficiente de x

em (x

+ x

+ x

+ · · · )

. Note que

(x

+ x

+ x

+ · · · )

= [x

(1 + x + x

+ x

+ · · · )]

,

ou seja, (x

+ x

+ x

+ . . .)

= x

· (1 + x + x

+ . . .)

. Considerando |x| < 1, temos

que 1 + x + x

+ x

+ . . . = 1

1 − x . Assim,

(x

+ x

+ x

+ . . .)

= x

· (1 − x)

.

Como queremos o coeficiente de x

, temos que o fator (1−x)

deve contribuir com x

. Nesse exemplo, n˜ ao ´ e vi´ avel aplicarmos o Teorema 2.2, pois s˜ ao necess´ arios muitos c´ alculos para encontrarmos o coeficiente de x

. Usando o Teorema 2.3-(i), teremos o coeficiente de forma mais r´ apida. Assim, temos

a

=

r + n − 1 r

=

9 + 6 − 1 9

= 14

9

⇒ a

= 2002.

Logo, o coeficiente de x

´ e 2002.

2.2 Resolu¸ c˜ ao de Rela¸ c˜ oes de Recorrˆ encia Usando Fun¸ c˜ oes Geradoras

Nesta se¸c˜ ao apresentarmos um algoritmo que nos possibilitar´ a resolvermos rela¸c˜ oes de recorrˆ encias usando fun¸c˜ oes geradoras ordin´ arias. Para mais detalhes consultem [16].

Sejam (a

)

e G(x) =

∞

X

n=0

a

x

a sequˆ encia que gera os coeficientes e a fun¸c˜ ao geratriz, respectivamente. A resolu¸c˜ ao por fun¸c˜ oes geradoras ´ e feita em quatro passos.

Seguem os passos:

1. Escreva uma ´ unica equa¸c˜ ao que expresse a

em termos de outros elementos da sequˆ encia. Esta equa¸c˜ ao deve ser v´ alida para todos os inteiros n;

2. Multiplique ambos os lados da equa¸c˜ ao por x

. Somando-se todas as equa¸c˜ oes e fazendo as manipula¸c˜ oes necess´ arias para obtemos alguma outra express˜ ao en- volvendo G(x);

3. Resolva a equa¸c˜ ao resultante, obtendo uma forma fechada para G(x).

4. Expanda G(x) em uma s´ erie de potˆ encias e leia os coeficientes de x

; esta ´ e uma

forma fechada para a

.

2. Fun¸c˜ oes Geradoras

Exemplo 2.5. Resolveremos, usando fun¸c˜ oes geradoras, a seguinte recorrˆ encia

F

= 2F

+ 1, F

= 2, n > 1. (2.2) Seja G(x) = F

+ F

x + F

x

+ · · · + F

x

+ · · · =

∞

X

k=1

F

x

uma fun¸c˜ ao geratriz para a recorrˆ encia (2.2), e suponha |x| < 1. Assim, temos

n = 1 ⇒ F

x = 2F

x + x n = 2 ⇒ F

x

= 2F

x

+ x

n = 3 ⇒ F

x

= 2F

x

+ x

.. .

F

x

= 2F

x

+ x

Somando ordenadamente as equa¸c˜ oes, temos

F

x + F

x

+ · · · = 2(F

x + F

x

+ · · · ) + x(1 + x + x

+ · · · ), ou seja, ap´ os todas as manipula¸c˜ oes alg´ ebricas e simplifica¸c˜ oes

G(x) = 2

1 − 2x + x

(1 − x)(1 − 2x) . (2.3)

A decomposi¸c˜ ao em fra¸c˜ oes parciais para a segunda parcela ´ e a seguinte, x

(1 − x)(1 − 2x) = −1

1 − x + 1 1 − 2x Substituindo em (2.3), temos

G(x) = 3

1 − 2x − 1

1 − x . (2.4)

Agora, usando as formas expandidas determinaremos os coeficientes. Note que 1

1 − x = 1 + x + x

+ x

+ · · · =

∞

X

k=0

x

, ou seja, o n-´ esimo coeficiente ´ e 1. E que 1

1 − 2x = 1 + (2x) + (2x)

+ (2x)

+ · · · =

∞

X

k=0

2

x

, ou seja, o n-´ esimo coeficiente ´ e 2

. Substituindo os coeficientes em (2.4), temos

F

= 3 · 2

− 1 ⇒ F

= 3 · 2

− 1

Portanto, a solu¸c˜ ao ´ e F

= 3 · 2

− 1 com F

= 2.