Curso de Ciˆ encias Atuariais

Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Ciˆ encias Cont´ abeis

Curso de Ciˆ encias Atuariais

Lista 2

Algebra Linear 02/2010 ´

31/08/2010

1. (0 points ) Seja V o primeiro quadrante do plano xy, isto ´ e, V = {(x, y) : x > 0, y > 0}.

(a) Se dois vetores u e v est˜ ao em V, ser´ a que u+v est˜ ao em V? Por que?

(b) Determine um certo v ∈ V e um certo c ∈ R, tais que c.v n˜ ao esteja em V.

2. (0 points) Se W ´ e a uni˜ ao do 1

e 3

quadrante do plano xy, isto ´ e, W = {(x, y) : x.y ≥ 0}.

(a) Seja v um vetor qualquer de W e c um n´ umero real qualquer. Ser´ a que c.v est´ a em W? Por que?

(b) Determine os vetores u e v em W tais que u+v n˜ ao perten¸ ca a W. (Isto ´ e suficiente para mostrar que W n˜ ao ´ e um espa¸ co vetorial).

3. (0 points ) Seja H o conjunto dos pontos no interior de um c´ırculo unit´ ario no plano xy, ou seja, H = {(x, y) : x

+ y

≤ 1}. Encontre dois vetores u e v em H, ou um escalar real c e um vetor v em H para mostrar que H n˜ ao ´ e um subespa¸ co vetorial do conjunto de n´ umeros reais R.

4. (0 points) Construa uma figura geom´ etrica que ilustre porque uma reta no espao R

, que n˜ ao passa pela origem, n˜ ao ´ e fechada com rela¸ c˜ ao a soma dos vetores.

Nos exerc´ıcios 5 a 8 abaixo, determine se o conjunto dado ´ e um subespa¸ co vetorial de P

para um valor apropriado de n. Justifique suas respostas.

5. (0 points ) Todos os polinˆ omios da forma P

= at

com a ∈ R.

6. (0 points ) Todos os polinˆ omios da forma P

= t

+ a com a ∈ R.

7. (0 points ) Todos os polinˆ omios de grau menor ou igual a 3, cujos coeficientes s˜ ao n´ umeros inteiros.

8. (0 points ) Todos os polinˆ omios de P

, tais que P

= 0.

9. (0 points ) Seja H = {(s, 3s, 2s) ∈ R

: s ∈ R}.

(a) Determine um vetor v do R

, tal que H = [v].

(b) Porque isto mostra que H ´ e um subespa¸ co de R

.

10. (0 points ) Seja H = {(2t, 0, −t) ∈ R

: t ∈ R}. Mostre que H ´ e um subespa¸ co do R

.

11. (0 points) Seja W = {(2b + c, b, c) ∈ R

: b, ct ∈ R}, b e c s˜ ao arbitr´ arios. Determine u e v tais que W=[u,v]. Porque isto mostra que W ´ e um subespa¸ co do R

?

12. (0 points) V = M

e W ´ e o conjunto de todas as matrizes em que a

≤ 0. Mostrar

que a 1

condi¸ c˜ ao da defini¸ c˜ ao de subespa¸ co vetorial ´ e satisfeita, mas a 2

n˜ ao ´ e; portanto, W

n˜ ao ´ e um subespa¸ co do espa¸ co vetorial W.

13. (0 points) Se um sistema linear n˜ ao for homogˆ eneo, o que acontece com seu conjunto solu¸c˜ ao? Considere o exemplo:

A =







2x + 4y + z = 1 x + y + z = 1 x + 3y − z = 0

(1)

Provar que a soma de dois vetores-solu¸ c˜ ao sempre ´ e um vetor-solu¸ c˜ ao, e assim o conjunto-solu¸c˜ ao

n˜ ao ´ e um subespa¸ co de M

.